Термогидродинамическое исследование фильтрации бинарной смеси в широком диапазоне давлений и температур тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, доктор наук Афанасьев Андрей Александрович

• Афанасьев Андрей Александрович
• доктор наук
• 2016

Оглавление диссертации доктор наук Афанасьев Андрей Александрович

1.2.4. Модель Чёрной нефти

1.2.5. Область применимости классических моделей

1.3. Цели и задачи

1.4. Научная новизна

1.5. Теоретическая и практическая значимость работы

1.6. Методология и методы исследования

1.7. Положения, выносимые на защиту

1.8. Степень достоверности и апробация результатов

1.9. Личный вклад

1.10. Структура диссертационной работы

2. Результаты для моделей фильтрации в случае произвольного числа компонентов

2.1. Основные уравнения

2.1.1. Законы сохранения

2.1.2. Закон Дарси

2.1.3. Термодинамические соотношения

2.1.4. О замкнутой системе уравнений

2.2. Представление уравнений многокомпонентной фильтрации в форме Годунова

2.2.1. Вывод представления

2.2.2. Уравнение на энтропию

2.2.3. Геометрическая интерпретация

2.2.4. Оценка влияния работы силы тяжести

2.2.5. Представление через функцию давления

2.3. Достаточное условие неотрицательного производства энтропии

для разностных схем расчёта фильтрации

2.3.1. Конечно-разностная формулировка законов сохранения

2.3.2. Аппроксимация потоков

2.3.3. Аппроксимация работы силы тяжести

2.3.4. Конечно-разностное уравнение для энтропии

2.3.5. Достаточное условие неотрицательного производства энтропии

2.3.6. Обсуждение

2.4. Выводы к главе

3. Метод определения теплофизических свойств бинарных смесей

3.1. Введение

3.1.1. Обзор методов композиционного моделирования

3.1.2. Обзор предлагаемого метода

3.1.3. Основные термодинамические соотношения

3.1.4. Замкнутая математическая модель бинарной смеси

3.2. Термодинамический потенциал бинарной смеси в переменных

давление-энтальпия-состав

3.2.1. Определение термодинамических параметров в однофазном состоянии по давлению, энтальпии и составу смеси

3.2.2. Расчёт термодинамического потенциала

3.3. Определение многофазных парожидкостных равновесий

3.3.1. Постановка задачи

3.3.2. Случай однофазных равновесий

3.3.3. Случай двухфазных равновесий

3.3.4. Случай трёхфазных равновесий

3.3.5. Геометрическая интерпретация

3.3.6. Определение критических условий

3.3.7. Алгоритм расчёта равновесия

3.4. Соотношения для расчёта вязкости

3.5. Бинарная смесь СО2-Н2

3.5.1. Многокоэффициентное уравнение состояния смеси СС^-

2

3.5.2. Точность определения свойств при низких температурах

3.5.3. Точность определения свойств при высоких температурах

3.5.4. Расчёт фазовой диаграммы смеси

3.5.5. Фазовая диаграмма при давлении 10 МПа

3.5.6. Сравнение с углеводородными смесями

3.6. Выводы к главе

4. Результаты дисперсионного анализа уравнений фильтрации

бинарных смесей и исследования сильных разрывов

4.1. Основные уравнения

4.1.1. Замкнутая система уравнений

4.1.2. Случай y =

4.2. Анализ малых возмущений

4.2.1. Дисперсионное уравнение

4.2.2. Случай однофазных течений

4.2.3. Случай двухфазных течений

4.2.4. Случай трёхфазных течений

4.3. Исследование сильных разрывов

4.3.1. Условия на разрывах

4.3.2. Условия эволюционное™

4.3.3. Некоторые особенности поведения адиабаты разрыва на фазовой плоскости

4.3.4. Поведение адиабаты в окрестности двухкратной точки Жуге

4.4. Выводы к главе

5. Результаты исследований в проблемах подземного захоронения углекислого газа

5.1. О подземном захоронении углекислого газа

5.2. Задача Римана

5.2.1. Постановка задачи и обзор литературы

5.2.2. Предварительные оценки

5.2.3. Оценка влияния силы тяжести

5.2.4. Асимптотическое приближение

5.2.5. Диаграмма решений

5.2.6. Сравнение с решением в полной постановке

5.2.7. Определение волновой картины по диаграмме решений

5.2.8. Исследование устойчивости переднего фронта вытеснения

5.2.9. Обсуждение результатов

5.3. Трёхфазные течения при закачке С02

5.3.1. Постановка задачи

5.3.2. Результаты

5.4. Решение трёхмерных задач фильтрации в проблемах подземного

захоронения

5.4.1. Закачка С02

5.4.2. Нагнетание С02

5.5. Выводы к главе

6. Результаты моделирования природных процессов

6.1. Исследование конвекции в геотермальной системе Сатр1 Р^ге1

6.1.1. Введение

6.1.2. Постановка задачи

6.1.3. Результаты моделирования конвекции

6.1.4. Параметрический анализ

6.2. Исследование серпентинизации при остывании кимберлитовых трубок

6.2.1. Постановка задачи

6.2.2. Математическая модель

6.2.3. Результаты расчётов

6.3. Устойчивость серпентинизации оливина

6.3.1. Постановка задачи

6.3.2. Фоновое решение

6.3.3. Предварительное обсуждение

6.3.4. Критерий устойчивости

6.3.5. Численные эксперименты

6.3.6. Влияние параметров уравнения реакции

6.4. Выводы к главе

7. Комплекс программ для моделирования фильтрации

7.1. Обзор комплекса

7.1.1. Цели и задачи

7.1.2. Архитектура и модули уравнений состояния

7.1.3. Алгоритмы и методы

7.2. Тестирование гидродинамического симулятора

7.2.1. Тестовый расчёт с модулем ВШМ1ХТ

7.2.2. Тестовые расчёты с модулем ВЬАСКСНЬ

7.2.3. Тестовый расчёт с модулем САБЯТСЖЕ

7.2.4. Тестовый расчёт с модулем Т2Е081

7.2.5. Другие способы тестирования

7.3. Практическое использование

7.4. Выводы к главе

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Глава 1 Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Термогидродинамическое исследование фильтрации бинарной смеси в широком диапазоне давлений и температур»

1.1. Актуальность темы исследования

Исследование многофазных течений жидкостей и газов в пористой среде с взаимосвязанными гидродинамическими и термодинамическими явлениями, обусловленными фазовыми превращениями и критическими условиями, востребовано в широком спектре задач подземной гидромеханики. Актуальность данного исследования связана с тем, что его результаты могут использоваться для научно-обоснованного прогнозирования и оптимизации показателей эксплуатации недр Земли и при описании природных процессов.

Во-первых, сложные термогидродинамические явления происходят при подземном захоронении углекислого газа в проницаемых геологических пластах. Данная тематика, связанная с проблемой глобального потепления, в настоящее время активно развивается в зарубежной науке [64,116,127,168]. Для снижения выбросов парниковых газов в атмосферу углекислый газ продукт горения закачивают в проницаемые недра, а не выбрасывают в атмосферу. Возможно захоронение как в истощенных месторождениях углеводородов, так и в водона-сыщенных пластах. В последнем случае нагнетание газа в пласт сопровождается фильтрацией бинарной смеси углекислого газа и воды (СО2-Н2О). Исследование подобных течений осложняется тем, что захоронение может происходить при околокритических термодинамических условиях для СС^ (7.28 МПа, 31.04°С), при которых его теплофизические свойства чувствительны к малым изменениям давления и температуры. Утечка углекислого газа из пласта к поверхности может сопровождаться падением давления ниже критического зна-

чения и сопутствующим расслоением С02 на две различные фазы - жидкую и газовую. При этом формируются области трёхфазного течения с термодинамическими равновесиями пар-жидкость-жидкость (VLL-eqшlibria), где пар

22

В связи с усиливающимся эффектом глобального потепления моделирование подземного захоронения и его возможных последствий, несомненно, есть актуальная задача.

Во-вторых, взаимосвязанные термогидродинамические процессы происходят в естественных конвективных течениях в геотермальных системах в проницаемых породах, насыщенных водой, водяным паром и магматическим флю-

2

и геотермальными системами сопровождается фильтрационными течениями в широком диапазоне давлений и температур. В частности, в приповерхностных пластах течение грунтовых вод происходит при низких давлениях и температурах, а в глубокопогруженных породах при сверхкритических условиях, приближающихся к параметрам в магматическом очаге. Таким образом, в промежуточных областях геотермальной системы давление и температура имеют критические значения для воды (22.09 МПа, 374.14°С), что влияет на интенсивность конвекции. При этом изменение компонентного состава геотермального флюида, связанное с притоком углекислого газа из магматического очага, приводит к значительному изменению критических параметров и развитию в глубокопогруженных областях геотермальных систем двухфазных течений с термодинамическими равновесиями типа жидкость-жидкость [154,156]. Получение новых знаний относительно геотермальных систем, с учётом описанных процессов, востребовано как при прогнозировании активности вулканических систем, так и в геотермальной энергетике.

В-третьих, многофазные фильтрационные течения в широком диапазоне до- и сверхкритических давлений и температур происходят при формировании рудных месторождений и при остывании кимберлитовых трубок верти-

кадьыых геологических тел, образовавшихся при прорыве магматического расплава сквозь земную кору [121,151]. В кимберлитовых трубках сосредоточены значительные запасы алмазов на Земле. После формирования трубка наполнена нагретыми проницаемыми породами, насыщенными магматическим газом и воздухом, а одним из основных породообразующих минералов является оливин. Остывание кимберлита сопровождается внедрением более холодных подземных вод из окружающих трубку водонасыщенных пластов и, следовательно, фазовыми превращениями испарением воды. Также происходит гидротермальное изменение кимберлитовых пород, т.е. происходят минеральные реакции в системе флюид-порода. При повышенных температурах вода вступает в реакцию с оливином, приводя к образованию нового минерала серпентинита, причём норовое пространство забивается серпентинитом, перекрывая приток подземных вод. Обратное влияние фазовых превращений и минеральных реакции на фильтрацию может приводить к сложному распределению серпентинита. Исследование подобных процессов представляет теоретический интерес для обоснования геофизических гипотез о процессе формирования кимберлитовых трубок и имеет практическое значение для уточнения их геологического строения.

В-четвёртых, многофазные течения при до- и сверхкритических термодинамических условиях происходят при разработке месторождений нефти и газа, в частности газоконденсатных залежей [1,21,24,39,78]. В пластовых условиях углеводородная смесь может находиться при сверхкритических термодинамических условиях. В подобном случае снижение давления, вызванное отбором флюида, приводит к ретроградной конденсации, выпадению углеводородного конденсата и снижению объёма добычи ценных компонентов газа. Развитие методов моделирования данных процессов, с учётом многофазных парожидкост-ных равновесий углеводородной смеси [87], несомненно, представляет актуальную задачу для нефтегазовой отрасли.

В отмеченных приложениях теплофизические свойства флюида, фазовые превращения и критические явления определяют характер гидродинамических

процессов в пластах. Все данные эффекты не могут быть в полной мере учтены в существующих моделях фильтрации, ограниченных либо докритическими условиями, либо парожидкостными равновесиями с не более чем двумя фазами, либо изотермическими процессами. Тема исследования настоящей работы заключается в разработке нового метода моделирования неизотермической многофазной фильтрации бинарных смесей и в его использовании для выявления закономерностей между термодинамическими и гидродинамическими процессами в отмеченных приложениях.

1.2. Степень разработанности темы исследования

1.2.1. Обзор подходов для моделирования фильтрации

Предположение о локальном термодинамическом равновесии

Модели фильтрации часто опираются на предположение о течениях, равновесных по отношению к внутренним процессам в среде. Предполагается, что и ластовый флюид находится в локальном термодинамическом равновесии, т.е. что характерное время изменения параметров в элементарном объёме сплошной среды из-за гидродинамических процессов - thyd.ro ~ значительно больше характерного времени установления локального термодинамического равновесия

tthermo■

tthermo /thydro ^^ 1 (1.2.1)

В случае неизотермической фильтрации также делается допущение о локальном тепловом равновесии между флюидом и породой. Обоснование данных предположений связано тем, что в теории фильтрации рассматриваются медленные течения, характерная скорость которых лежит в диапазоне 10-6 — 10-4 м/сек [29]. Отсюда, предполагая, что характерный размер элементарного объёма сплошной среды есть 1 м (данное значение заведомо меньше характерных размеров в геофизических приложениях), имеем характерное время для гидро-

динамических процессов ¿^го = 104 — 106 сек. Данные времена в большинстве случаев на несколько порядков больше времени ¿гнегто установления термодинамического равновесия в камерах РУТ, т.е. в лабораторных установках для исследования свойств флюидов.

Отметим, что в пористой среде жидкости и газы разделены искривлёнными межфазными границами капиллярами, а давления в фазах различаются. Это может приводить к различным термодинамическим равновесиям в пористой среде и камерах РУТ. В теории фильтрации часто предполагается, что данные равновесия мало отличаются друг от друга и что можно ввести среднее эффективное давление многофазного флюида Р, при котором определяется парожидкостное равновесие в пласте [24,39].

Несомненно возможны случаи нарушения предположения (1.2.1), например в призабойной зоне скважин, однако в настоящей работе подобные течения не рассматриваются.

Применение численных методов

Использование моделей фильтрации в практических приложениях и в современных теоретических исследованиях требует привлечения развитых методов прямого численного моделирования [1]. Во-первых, это связано с необходимостью описания гидродинамики в сложнопостроенных неоднородных геологических пластах и совместных течений пласт-скважина. Во-вторых, в каждый момент времени в каждом элементарном объёме сплошной среды необходимо решать термодинамическую задачу, связанную с определением парожидкост-11014) равновесия флюида, а затем эти решения учесть в системе законов сохранения. Нелинейное поведение теплофизических свойств многофазных пластовых флюидов осложняет аналитическое исследование фильтрации во многих приложениях. В связи с этим неотъемлемым элементом исследований фильтрации является разработка и использование пакетов программ для модели-

рования фильтрации гидродинамических симулятороь. В зарубежной науке создание новых моделей фильтрации или новых методов моделирования связано с их апробацией в академических пакетах программ [103,112,142,167]. Если доказывается, что модели и методы эффективны, то в дальнейшем они могут внедряться в более сложные коммерческие пакеты.

Явные и композиционные модели

Основополагающим фактором при исследовании фильтрационных течений является термодинамическая модель пластового флюида. Существующие модели фильтрации можно разбить на два типа в зависимости от используемых уравнений для описания теплофизических свойств жидкостей и газов. К первому типу отнесём модели, в которых свойства многофазного флюида, в частности условия термодинамического равновесия, задаются явными аналитическими формулами или табличными данными. Например, к первому типу относится модель Чёрной нефти [1,78,82,157], широко использующаяся для прогнозирования показателей разработки месторождений нефти и газа и при оценке последствий подземного захоронения углекислого газа [88,101]. Также, явными соотношениями часто задаются свойства воды и водяного пара в моделях, применяющихся к геотермальным системам [4,22,44,163], и свойства газовых гидратов при исследовании их разложения в пласте [41,45].

Достоинство моделей первого типа заключается в их относительной простоте фазовая диаграмма флюида явно задана уравнениями термодинамической модели, что упрощает исследование и расчёт соответствующих фильтрационных течений. К недостаткам этих моделей следует отнести то, что они работают в узком диапазоне параметров, например только при докритических условиях, при которых применимо соответствующее упрощённое описание свойств. Второй недостаток заключается в том, что для задания теплофизических свойств используются интерполяционные формулы, которые имеют свой уникальный

вид для каждого пластового флюида [142]. Такой подход не универсален, например, если моделируются свойства бинарной смеси, то для смеси различных веществ могут потребоваться качественно различные интерполяционные формулы. Определение вида и коэффициентов таких формул нужно проводить для каждого набора веществ отдельно, что представляет собой сложную задачу.

Ко второму типу отнесём композиционные модели фильтрации [1,24,75,82, 126], в которых свойства многокомпонентного флюида задаются кубическим (или более сложным) уравнением состояния. В подобных моделях термодинамическое равновесие не задано явными алгебраическими соотношениями, а определяется из системы нелинейных неразрешимых явно уравнений, для которой во многих случаях необходимо строить численное решение. Композиционные модели активно применяются в проблемах разработки газоконденсатных месторождений, сопровождающихся сложными фазовыми превращениями и изменениями компонентного состава флюида в пласте. Подобные модели более универсальны по-сравнению с моделями первого типа, так как они позволяют в рамках единого подхода описывать фильтрацию флюидов различного компонентного состава.

Редуцирование композиционных моделей

В общем случае пластовые флюиды представляют собой многокомпонентные термодинамические системы [1,24,39]. Исследование фильтрации смесей со значительным числом компонентов есть сложная задача, в том числе в рамках прямого численного моделирования. В связи с этим актуально соблюдение баланса между сложностью модели и точностью прогнозируемых ею результатов. Большее число компонентов, используемых в композиционном моделировании фильтрации, соответствует как улучшенному описанию теплофизических свойств, так и большему (процессорному) времени, затрачиваемому на расчёт фильтрации. В проблемах фильтрации применяется редуцирование много ком-

поыеытыой композиционной модели к более простой модели с меньшим числом компонентов. Например, в случае месторождений нефти и газа многокомпонентную углеводородную смесь описывают бинарной смесью двух псевдокомпонент, соответствующих тяжёлым (группа С5+) и лёгким фракциям (модель Чёрной нефти) [82]. Подобный подход позволяет достаточно точно и за приемлемое процессорное время рассчитывать фазовые превращения в пласте и сопутствующие гидродинамические эффекты. Подземное захоронение углекислого газа и течения в геотермальных системах также часто рассматриваются в рамках уравнений фильтрации двухкомпонентной смеси [88,140,142]. Отсюда можно резюмировать, что редуцирование многокомпонентной системы к бинарной смеси позволяет во многих случаях достичь удовлетворительного баланса между точностью модели и вычислительной эффективностью. Далее обсудим уравнения фильтрации двухкомпонентных смесей и некоторые их частные случаи, широко использующиеся в приложениях.

1.2.2. Уравнения неизотермической фильтрации бинарной смеси

В общем случае, не конкретизируя соотношения для теплофизических свойств флюида и породы, уравнения неизотермической многофазной фильтрации бинарной смеси имеют вид [1,24,142]:

русу^адЛ =0, г = 1, 2 (1.2.2)

д_ Ж

^Ру

? = 1

+ сНУ

Юр \ I Юр \

ф^^рубуву + (1 — ф)ргег I + сИу I ^^руНуШу — ^гас1Т I = 0 (1.2.3)

д

— \ф2_^Ру 67 ву 1 (1 ф)рг 6г I / ^ру >у шу --о---- I

7=1 ) \Э=1 '

К

Шу = —К^ (ёгас1 Ру — ру7) (1.2.4)

Ку = Ку(в), Ру — Рк = Ру (в), 1 < з,к < Пр, ] = к (1.2.5)

О = ), О = {пр,Р,Т,ву,р^, Су(г),ез, Ь, ,рг, ег, ф, К} (1.2.6)

Пр 2

Е ^ = !' Е = ! а-2-7)

¿=1 г=1

Здесь пр - число фаз, ф - пористость, р - истинная плотность, Су(¿) - массовая доля г-ого компонента в ^'-й фазе, й - насыщенность, - скорость фильтрации, е _ внутренняя энергия, Ь - энтальпия, Л - эффективный коэффициент тепло-

ТК пронпцаемость, Ку - относительная фазовая проницаемость, ^ - вязкость, Р -давление, 7 - ускорение свободного падення, Рс^к ~ капиллярное давление между ^'-й и к-й фазами. Индекс (г) - соответствует параметрам г-ого компонента, ^ _ параметрам ^'-й фазы, а г - параметрам породы. Уравнения ( ) - законы сохранения массы компонентов г = 1, 2, ( ) - закон сохранения энергии, (1.2.4) закон фильтрации Дарси, (1.2.5) заданные функции от насыщенно-стей й = {й1,...,йПр}: относительные фазовые проницаемости и капиллярное давление, (1.2.6) уравнения состояния флюида, породы и условия термодинамического равновесия, записанные в общем виде: параметры О зависят от некоторого набора определяющих (независимых) термодинамических переменных и, ( ) - дополнительные замыкающие соотношения. В соответствии с правилом фаз Гиббса [24,36], максимальное число фаз бинарной смеси в состоянии ненулевой вариантности равно трём: пр < 3. В ( ) предполагается, что при известных Р и Т всегда можно вычислить параметры породырг, ег, фи К.

Рассмотрим подробнее два частных случая уравнений (1.2.2) (1.2.7), описав зависимости (1.2.6).

1.2.3. Модель фильтрации воды и водяного пара

Уравнения для течений бинарной смеси в пористой среде (1.2.2) (1.2.7) сводятся в частном случае к модели однокомпонентной фильтрации воды и

г=1

в составе смеси {су(\) = 0), а компонент г = 2 есть Н20. Обозначим индексом 3 = V параметры фазы водяного пара, а 3 = V - воды. В этом случае, первое г = 1) уравнение ( ) выполняется тождественно, а, так как Су(2) = 1, второе г=2

д

(Ф (руву + рпвт)) + сНУ (руШу + ршШп) = 0 (1.2.8)

Форма записи остальных уравнений (1.2.3) (1.2.7) не изменится.

Уравнения состояния (1.2.6) для воды и пара представим в виде [5,22,23,44, 142]

ру = ру (Р,Т), 6у = 6у (р,Т)

Ну = Ну (Р,Т), р,у = р,у (Р,Т), з = v,w

Т = Т1 (Р) (1.2.10)

где (1.2.10) уравнение кривой термодинамического равновесия пар-жидкость (Рисунок а)

В случае однофазных течений воды (вп = 1, ву = 0 Т < Т^ (Р)) или пара (ву = 1, вп = 0 Т > Т^(Р)) в качестве определяющих переменных и используются давление и температура [23,44,142]

Пр = 1: и = {Р,Т} (1.2.11)

Подставляя (1.2.11) в (1.2.9), получаем зависимости (1.2.6). Соотношения (1.2.9) и (1.2.10) удобно интерпретировать как решение следующей термодинамической задачи. Пусть Н20 находится в цилиндрическом сосуде под подвижным поршнем (Рисунок ). На поршень положен груз массы ш, т.е. задано дав-РТ

Рисунок 1.1. Фазовая диаграмма однокомпонентного флюида в переменных {Р,Т} (а) и {Р, ^} (б). 51 - кривая термодинамического равновесия между жидкостью (/) и паром (д), С - критическая точка, во - сверхкритический флюид, линии уровня - изохоры.

РТ

параметры Н2О в однофазном состоянии. Еели точка (Р, Т), соответствующая условиям термодинамической задачи, лежит правее кривой 5х (Т > Tf (Р)), то имеем однофазное состояние пара, а если левее - то однофазное состояние воды с параметрами (1.2.9) (Рисунок 1.1а).

РТ

поэтому они не задают однозначно параметры двухфазных равновесий. Значениям Р и Т на кривой 5х соответствуют двухфазные равновесия со всеми возможными насыщенностями фаз в^ Е [0,1], в1 + в2 = 1 (Рисунок б). В свя-

П и и

зи с этим, при пр = 2 вместо температуры в качестве независимой переменной используется насыщенность одной из фаз, например пара [5,23,44,142]:

пр = 2: и = {Р,ву}

1.2.12)

Для заданных параметров (1.2.12) теплофизические свойства воды и пара определяются из (1.2.9), температура вычисляется в соответствии с (1.2.10), а насыщенность воды вw находится из ( ). В результате получим зависимости

Рисунок 1.2. Интерпретация задачи определения теплофизических свойств в классических моделях фильтрации: 1 - цилиндрический сосуд, 2 - груз, 3 -поршень, 4 ~ термостат.

(1.2.6).

Таким образом, имеем переключение определяющих переменных U: при

nP

= 1 используются переменные ( ),а при np = 2 - ( ).

1.2.4. Модель Чёрной нефти

Система (1.2.2) - (1.2.7) содержит в себе как частный случай уравнения двухкомпонентной двухфазной фильтрации нефти и газа в рамках модели Чёрной нефти. Здесь предполагается, что насыщенность воды равна нулю. Обозначим индексом (i) = (g), (o) параметры компонентов газа и нефти, а индексом j = g,o параметры фаз газа и нефти, соответственно. Так как модель Чёрной нефти описывает изотермическое течение (T = const), то закон сохранения энергии (1.2.3) пропадает из системы определяющих уравнений модели (1.2.2) - (1.2.7), а остальные уравнения не изменяются.

Плотности и компонентный состав фаз в законах сохранения массы (1.2.2)

задаются соотношениями [1,29,78,157

ро^Ьс + Явро,в1с

ро =-в-' Рд

рд,$Ьс + Яу ро,$Ьс

К

со(д) =

Яврд,вЬс

ро,$Ьс + Яврд,в1с

Ко)

= 1- Со

(д)

(1.2.13)

сд(о)

Яу р,

V ро,8Ье

рд,в1с + Яу ро,$Ьс

сд(д)

=1

сд(о)

Во = Бо(Р,Я3), Вд = Вд (Р,Яу )

Ц.о = Ц,о (Р,Я3), ^д = ^д (Р,Яу) (1-2.14)

Яв,ед Яв,ед(Р); Яу,ед Яу,ед(Р)

где В - объёмный фактор, Я3 - газонефтяной фактор (задаёт количество газа, растворённого в фазе нефти), Яу - газоконденсатная характеристика (задаёт количество паров нефти в фазе газа), индекс вЬс - параметры при поверхностных условиях {рд^и = сопб^ ро^агс = сопб^, индекс вд - параметры в двухфазном равновесии газ-нефть, (1.2.14) заданные функции.

На фазовой диаграмме (Рисунок ), кривая ЬС соответствует равновесному газонефтняному фактору Я3,ед; при Я3 < Я8,ед имеем однофазное состояние нефти (область о). А кривая ОС соответствует равновесной газоконденсатной характеристике и Яу < Яуед имеем однофазное состояние газа (область

В качестве основных независимых переменных в модели Чёрной нефти выберем

и = {Р, Ъ(о)} (1.2.15)

где 'СЬ(о) - общая, просуммированная по фазам, мольная концентрация нефти.

Соотношения (1.2.13) и (1.2.14) удобно интерпретировать как решение термодинамической задачи, схема которой показана на Рисунке 1.2. Пусть под поршнем находится смесь нефти и газа с заданной молярной долей нефти що), т.е. в сосуд помещено заданное число м олей нефти (с^о) и газ а ((^д =

с

Рисунок 1.3. Пример фазовой диаграммы бинарной смеси газ-нефть при постоянной температуре (Т = сопз!), с^(о) - общая мольная концентрация нефти. Петлеобразная кривая 5х ограничивает область двухфазных состояний (пр = 2), С - критическая точка, о - нефть, д - газ, во - сверхкритический флюид.

1 — с^(о)). Рассмотрим изменение параметров парожидкостного равновесия при Р = сопз! < Рсг и уменьшении с^(о) от единицы до нуля, т.е. на фазовой диаграмме перемещаем точку (Р, с^о)) направо по прямой Ьх(Рисунок ). При ^(о) = 1 (Я8 = 0) имеем однофазное состояние нефти. Пр и увеличении с^о) (Я5 в области о увеличивается количество газа, растворённого в нефти, однако смесь остаётся в однофазном состоянии. В точке Ьх (Я5 = Я8еч] точка кипения) достигается предел растворимости и появляется первый пузырёк свободного газа (в^ — 0). Дальнейшему уменьшенпю с^(о) на отрезке Ьхсоответствует рост насыщенности газа (в^ /*) и уменьшение насыщенности нефти (во \) в двухфазных равновесиях. В точке (Яу = Я^; точка росы) свободная фаза нефти пропадает (во = 0). Дальнейшему уменьшенпю с^о) (Яу \) д

ющимся) количеством паров нефти. При с^о) = 0 (Яу = 0) имеем однофазное

состояние чистого компонента газа.

Таким образом, согласно (1.2.13), (1.2.14), независимые переменные (1.2.15) полностью задают соотношения ( ), т.е. как число фаз npj так и их парамет-

1.2.5. Область применимости классических моделей

Приложение модели фильтрации воды и водяного пара [4,22,44,163] ограничено течениями при докритических условиях, т.е. если P < Pcr (Рисунок ). Это связано с тем, что в критической точке С свойств а Н20 (например плот-

P

иТ, а уравнения фильтрации вырождаются: якобиан системы законов сохранения относительно переменных P и Т есть вырожденная матрица [ ]. Это существенно осложняет расчёт фильтрации, приводя к плохой сходимости алгоритмов прямого численного моделирования. Известный приём для решения данной проблемы заключается в использовании вместо (1.2.11) и (1.2.12) независимых переменных U = {P, ht}, где ht - общая, просуммированная по фазам, удельная энтальпия. В данных переменных вырождение отсутствует [15,103].

Определение парожидкостных равновесий в зависимости от U = {P,ht} связано с решением следующей термодинамической задачи, отличающейся от задачи в классических моделях (Рисунок 1.4). Пусть флюид находится в теплоизолированном сосуде: т.е. термостат отсутствует, поэтому температура флюида не задана. Вместо температуры задано количество энтальпии ht) которым обладает флюид.

Согласно правилу фаз Гиббса, однокомпонентный флюид имеет не более двух фаз в состоянии ненулевой вариантности (np < 2). Перемениые U = {P,ht} задают все подобные равновесия при до- и сверхкритических условиях. На фазовой диаграмме в переменных {P, ht} (Рисунок б) петлеобразная кривая LCG ограничивает область двухфазных состояний (np = 2). Левее от-

Рисунок 1.4. Интерпретация задачи определения парожидкостого равновесия в переменных давление-энтальпия-состав (1.2.16). 1 - теплоизолированный сосуд, 2 - груз, 3 - поршень.

резка LC, при низких значениях энтальпии ht (и температуры T), расположена область однофазных состояний воды (/), а правее отрезка GC, при вьicokhx ht (и T), - область однофазных состояний пара (#). При P = const значение ht из области np = 2 задаёт насыщенности фаз Sj j = v, w.

Модель Чёрной нефти также ограничена докритическими параметрами (Рисунок ; P < Pcr) и ус лови ем T = const. Также модель не допускает простого обобщения на случай трёхфазных (np = 3) течений с равновесиями пар-жидкость-жидкость (газ-конденсат-нефть). Как и в более простом случае од-нокомпонентного флюида, для учёта этих эффектов и для того чтобы система законов сохранения не вырождалась при критических условиях вместо температуры в качестве независимой переменной необходимо использовать энтальпию. Например, в качестве определяющих переменных можно положить

и = { p, tit, %)}

(1.2.16)

где - общая мольная энтальпня, а с^) - общая мольная концентрация первого компонента бинарной смеси.

Интерпретация расчёта равновесий бинарной смеси в переменных (1.2.16) совпадает со случаем однокомпонентного флюида (Рисунок 1.4). Отличие заключается только в том, что дополнительно задано число молей первого и

второго с^(2) = 1 — с^(1) компонентов, помещённых в теплоизолированный сосуд. Согласно правилу фаз Гиббса, двухкомпонентный флюид имеет не более трёх фаз в состоянии ненулевой вариантности (пр < 3). В отличие от классических случаев (Рисунок 1.2) переменные (1.2.16) задают все подобные равновесия при до- и сверхкритических условиях (Рисунок 1.4). Если вместо Ь независимой переменной выбрать Т, то вектор и = {Р^Т,^^)} не будет задавать трёхфазные равновесия [141]. Здесь ситуация аналогична случаю с однокомпонентным флюидом, для которого переменные (1.2.11) не задают состояния с максимально возможным числом фаз (пр = 2).

Определение теплофизических свойств в зависимости от (1.2.16) нетривиальная задача, связанная с созданием уравнения состояния в переменных ( ) (в классической термодинамике используются {Р,Т,Сь(1)}) и ускоренных алгоритмов расчёта равновесий. Настоящая работа посвящена исследованиям в данном области и их приложению к проблемам рационального недропользования и к природным процессам.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Афанасьев Андрей Александрович, 2016 год

/ / / /

форм Л/ и дг/ а векторы = { ^0,^1,^2} и Л у = {г^о, »V, г^} - левым и

/

правым собственным вектором, соответствующим собственному значению Лу:

/ / /

(Л?ЛУ - ) = 0, (/гА - ^ = 0 (4.2.6)

Здесь и ниже в данной главе по повторяющимся индексам предполагается суммирование от нуля до двух. Согласно определению (4.2.6), правый собственный вектор Л у задаёт направление изменения величин в малом возмущении, распространяющемся со скоростью су, а левый и правый собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны [32].

Случай ф = 0

Если ф = 0, т.е. если учитываются дополнительные диссипативные процессы (теплопроводность, капиллярное давление, молекулярная диффузия), то система (4.1.1) (или (4.1.11)) имеет меньше двух возмущений гиперболического типа и более одного возмущения параболического типа. Однако общее число возмущений остаётся равным трём. Таким образом, (4.1.1) есть система смешанного типа или, если гиперболические возмущения отсутствуют, система параболического типа.

Ниже исследованы малые возмущения гиперболического типа в случаях Л = 0 (ф = 0 ) и Л = 0 (ф = 0), т.е. если в системе ( ) учитывается или не учитывается теплопроводность в соответствии с (4.1.2), (4.1.3).

4.2.2. Случай однофазных течений

Для получения характеристических скоростей с^ достаточно рассмотреть коротковолновое приближение ш ~ к — то уравнений фильтрации. Так как, согласно ( ), система ( ) содержит вторую производную по г от Р, то при ш ~ к — то давление Р ^ ^^^^^ ^^^^^^^^^^ изменяется градиент и0 = дР/ дг. В случае Л = 0 ( ) также содержит вторую производную от Т, поэтому при Л = 0, ш ~ к — то температура постоянна, а изменяется градиент и* = дТ/ дг [7,9,33].

При Л = 0и ш ~ к —У то уравнения ( ) в области однофазного течения приводятся к виду

^ = 0, щ = £ (Л^Т) =0 (4.2.7)

дг дг \ дг у

И+Ш=0 _(«■«>

Согласно ( ), объёмный поток среды щ и кондуктивный поток тепла Л дТ/ дг г

смеси с = с, = С(1).

Система (4.2.7), (4.2.8) имеет следующие решения в форме простых волн (4.2.1):

Т = 4 = W, М^Sc +М' ^uc = 0, ¿u* = 0(£T = 0) (4.2.9)

k ф

k2 = 0, ¿u* = 0 (¿T = 0), ¿с = 0 (4.2.10)

k2 = 0, ¿uo = 0, ¿с = 0 (4.2.11)

где ¿A (A = {u0,u*, с}) - амплитуды возмущения.

В волнах гиперболического типа а ( ) распространяются возмущения состава смеси ¿С и градиента давления ¿u0 = ifcJP, а градиент температуры не изменяется ¿u* = ¿^¿Т = 0. Так как диффузия компонентов смеси не учитывается, то возмущения С переносятся с действительной скоростью течения Амплитуды ¿Си ¿u0 согласованы так, что объёмный поток среды имеет однородное распределение = const. Так как ф = const, то, согласно ( ), скорость са волн ( ) не зависит от r.

В решении (4.2.10) происходит мгновенный перенос только возмущений эл-

¿u0 = 0

маемостью скелета пористой среды и флюида в приближении ш ~ k ^ то. Решение (4.2.11) соответствуют мгновенному перераспределению градиента температуры (¿u* = 0). Это связано с тем, что при Т = const смесь и порода не запасают тепло (не нагреваются) и, следовательно, возмущения кондуктивного потока тепла AdT/dr распространяются мгновенно.

При А = 0и ш ~ k ^ то однофазная фильтрация описывается уравнениями (4.2.8), (4.2.12) и (4.2.13):

dt (С)+дГ (I)=0 («•«)

+ 1 - Ф дСг + w =0 (4 2 13)

С dt Cr dt С1 дг

Система ( ), ( ), ( ) имеет решение ( ) для волна, совпадающее Л=0

к = се = Щ (С )(С (С1)т+ ^ & )т )-1,

(4.2.14)

Ь(бТ,био) = 0, бс = 0

Здесь и ниже Ь - однородная линейная функция, дающая связь между амплитудами возмущений параметров течения. Так как при Л = 0 среда является сжимаемой (объём С зависит от Т), то скорость щ может иметь неоднородное распределение. Следовательно, в отличие от случая Л = 0, скорость са волн

г

Скорость се волн (4.2.14), с которыми распространяются возмущения температуры (бТ = 0), определяется отношением теплоёмкости смеси к общей, с учётом скелета породы, теплоёмкости сплошной среды. Механизм распространения волн (4.2.14) связан с перераспределением тепла, переносимого смесью, между ней и породами, например, в случае если горячая смесь при заполнении холодного резервуара отдаёт тепло породам, при этом охлаждаясь и перемещаясь далее вглубь резервуара. Так как отношение теплоёмкостей в (4.2.14) меньше единицы, то при пр = 1 возмущения состава смеси ( ) всегда обгоняют возмущения температуры (4.2.14), т.е. се < са [10].

На Рисунке для случая фильтрации бинарной смеси СС^-Н20 показана проекция правых собственных векторов ( ) на плоскость {и1,и2} вдоль оси и0. Данная плоскость совпадает с фазовой диаграммой смеси, изображённой на Рисунке . Штрих-пунктирные кривые ограничивают параметры однофазных (пр = 1) и двухфазных (пр = 2) парожидкостных равновесий смеси. В отличие от Рисунка 3.17, серым цветом выделена область са > с^, которая, в соответствии с предыдущим параграфом, содержит все параметры пр = 1 ({пр = 1} е {са > се})•

Собственные векторы са и г^ на Рисунке задают направление измене-

\ „ /_г\

кДж/моль ои

Рисунок 4.1. Собственные векторы са и с в на плоскости {их, и2} при Р =10 МПа (светлые и тёмные стрелки, соответственно). Линии уровня -изотермы; выделена область са > ср.

ння параметров в расширяющихся волнах Рпмана типа а и в ПРИ и0 < 0, 7 = 0. Противоположное направление соответствует опрокидывающимся волнам. На плоскости {их, и2}, в частности в областяхпр = 1, существуют границы (кривые), на которых векторы са или ср изменяют направление на противоположное. Положение данных границ задаётся теплофизическими свойствами бинарной смеси и породы и, также, относительными фазовыми проницаемостями

КВ области однофазной фильтрации (Рисунок , точка ах) собственные векторы с в коллинеарны оси их, так как, согласно ( ), в волнах в состав смеси и2 не изменяется (бС = 0). Векторы са направлены вдоль изотерм, так как, согласно ( ), в волнах а температура постоянна (бТ = 0).

4.2.3. Случай двухфазных течений

В данном разделе предполагается, что с £ (0,1) при А = 0. Частный случай двухфазной фильтрации однокомпонентного флюида (С = 0 или С = 1) рассмотрен в работах автора диссертации [4 7].

Так как при np = 2 значения P, Т = const однозначно задают поду двухфазного равновесия (Раздел 3.5.5), то параметры фаз в двухфазном течении при А = 0, ш ~ k ^ то не изменяются. В этом случае система ( ) приводится к виду

+5 = 0- j = 1,2 (4-2-15)

<9r ( A dr) 0 ( ^

Уравнения (4.2.15) классическая система Баклея Леверетта для фильтрации двух несмешивающихся несжимаемых жидкостей [ , ]. Согласно условию s1 + s2 = 1, из ( ) следует, что

= 0, wt = W1 + W2 (4.2.17)

dr

В соответствии с (4.2.15), объём каждой из несжимаемых фаз сохраняется фазовые переходы отсутствуют, а, согласно (4.2.17), просуммированный по фазам объёмный поток смеси wt = const не зависит от r. Уравнения ( ) -(4.2.17) имеют решения в виде простых волн

ш = 6 = 1 (w1)S(w2)Ц0 - (w2)/g(w1)U0

k а ф (w1)Uo + (w2)Uo

(4.2.18)

(^+ ми0¿Мо = 0, ¿м, = 0 (¿Т = 0)

к2 = 0, ¿м, = 0, ¿в = 0 (4.2.19)

к2 = 0, ¿мо = 0, ¿в = 0 (4.2.20)

где используется обозначение в = вь Если пренебречь силой тяжести 7 = 0, то характеристическая скорость са ( ) стандартным образом выражается

через производную функции Бакдея Леверетта (см. ниже) [21,69]. Так как в волнах а ( ) термодинамические параметры фаз и температура постоянны, то изменениям насыщенности в решении (4.2.18) соответствует движение по фазовой диаграмме вдоль фиксированной ноды двухфазного равновесия изотермы (Рисунок ). Скорость са определяется исключительно гидродинамическими эффектами различием скоростей фаз.

Решение (4.2.19) соответствует мгновенному распространению возмущений градиента давления, а (4.2.20) градиента температуры.

При А = 0 система () имеет решение ( ) для волн а, совпадающее со случаем А = 0, и решения в виде простых волн ( ), ( ).

-1

(4.2.21) = 0, т = 1, 2

С, = (¡-)Т - 1(Ъ)Т, 3 = 1, 2 (4.2.22)

где с,- =

В отличие от ( ), в решении ( ) волны в переносят возмущения температуры, что приводит к изменению ноды равновесия и к фазовым переходам. Можно показать, что в двухфазном равновесии для поддержания фазовых переходов, обусловленных увеличением температуры смеси на единицу (Р, Ъ = сопв^, к 3-й фазе необходимо подвести тепло

- ^(Ъ)ТЪ (4.2.23)

С2 - С1 '

Таким образом, величины С* в (4.2.21), (4.2.22) есть теплоёмкости фаз в условиях двухфазного равновесия. Действительно, первый член в правой части

3

её температуры на единицу, а второй член, пропорциональный (4.2.23), тепло, необходимое для поддержания фазовых переходов.

ш

к

св

1

Ф

Ъ1

С1* +

Т2

Ъ

Если составы фаз не зависят от температуры (cj)'T = 0 j = 1, 2, то, согласно (3.3.2), фазовые переходы отсутствуют Vj = const, а величины Cj* = (hj)'T есть теплоёмкости при постоянном давлении. В этом случае скорость се волн (4.2.21) определяется только механизмом, связанным с перераспределением тепловой энергии между смесью и породами. Этот же механизм управляет распространением возмущений в ( ) в однофазном течении. Действительно, при (cj )T = 0 скорость ( ) пропорциональна отношению просуммированной по фазам теплоёмкости смеси к общей теплоёмкости сплошной среды. При (cj)T = 0 на распространение возмущений также влияют фазовые переходы, связанные с изменением температуры смеси. В этом случае конвективный приток тепла из-за движения фаз расходуется не только на нагрев пород, но и на фазовые переходы.

В области двухфазной фильтрации (Рисунок , точка а2) собственные векторы га направлены вдоль изотерм T = const, так как, согласно ( ), волны а не переносят возмущения температуры (6T = 0). Векторы г^ не коллине-арны изотермам, так как в волнах в переносятся возмущения температуры и происходят фазовые переходы.

При y = 0 в областях np = 2 скорость волн а задаётся соотношением из классической теории Баклея-Леверетта [21,69,126]

1 dF п

Са = -тт^ wt, F (s) = —'—, wt = K (ni + ng )uo (4.2.24)

Ф osi ni + Пд

F

фазы sl (Рисунок ), n _ подвижность фазы ( ), a wt = const - объёмный поток.

Неотрицательная производная dF/dsi > 0 обращается в ноль, если насыщенность одной из фаз равна нулю (Рисунок , линия S^ si = sg = 0). Следовательно, на линии Si скорость волны а равна нулю (са = 0). Таким образом, на плоскости {ui, u2} со стороны области np = 2 линия Si ограничивает область параметров, при которых са < с^ (так как в случае общего положения

Рисунок 4.2. Функция Баклея-Леверетта.

се > 0). При перемещении точки (их, и2) по ноде двухфазного равновесия от линий 5х скорость волны а возрастает, достигая максимума в точке перегиба функции ^ (Рисунок , 5/ = 5*). При рассматриваемых условиях фильтрации бинарной смеси СО2-Н2О в области пр = 2 существуют параметры, при которых волна а обгоняет волну в (¿а > ¿в). Данная область параметров, на

«-»о / /

границах которой при пр = 2 выполняется равенство са = ¿в, выделена на Рисунках и (^ е (5, )).

4.2.4. Случай трёхфазных течений

В областях трёхфазной фильтрации (np = 3) температура T = Tf (P) и другие параметры фаз зависят только от давления. Следовательно, припр = 3 параметры фаз не изменяются, так как в приближении и ~ k — оо давление постоянно P = const. В этом случае, уравнения ( ) приводятся к виду

ф

ds, dwj

dt dr

= 0, j = 1,2,3

(4.2.25)

W = w j -

(cj+2 - Cj+i) . ,dp

д A Tf dT"

Д = det

111

Cl C2 C3

^ hi h2 h3 у

(4.2.26)

В ( ) сумма в индексах есть число по модулю 3, т.е. m + n = (m + n)( mod 3) +1. Уравнения ( ) и ( ) описывают течение несжимаемых фаз, между которыми происходят фазовые переходы. В соответствии с (4.2.25), относительные объёмы фаз (насыщенность) сохраняются, т.е происходит фильтрация трёх несжимаемых жидкостей. Первое слагаемое в правой части (4.2.26)

j

ходов. Так как второе слагаемое пропорционально Л dT/ dr, то в трёхфазном течении смеси фазовые превращения происходят только из-за кондуктивного переноса тепла.

Складывая уравнения ( ) и используя условие si + s2 + s3 = 1, получим

dw

dWt = 0, wt = wi + w2 + we (4.2.27)

dr

Л=0

wt = Л = 0

wt =

интеграла для двухфазной фильтрации однокомпонентного флюида из работы автора [7].

Система (4.2.25) имеет два решения (4.2.28) в форме простых волн, соответствующих возмущениям гиперболического типа для насыщенностей фаз l = 1, 2, и одно решение ( ), описывающее мгновенное распространение возмущений эллиптического типа для градиента давления (¿u0 = 0) в несжимаемой среде:

Ш = с, Lim(Jsi,Js2,^uo) = 0, l,m = 1, 2 (4.2.28)

k

k2 = 0, ¿si = 0, ¿s2 = 0 (4.2.29)

При определении решений системы (4.2.25) в форме простых волн (4.2.1) имеем дисперсионное уравнение на ш и k, решение которого, в частности, сводится к вычислению корней ¿i, l = 1, 2 ( ) квадратного уравнения относительно ш/k. Коэффициенты этого уравнения и, следовательно ¿i, определи-

ются видом функций относительной фазовой проницаемости (4.1.8) и вязкости (3.4.3). Система (4.2.25) обладает всеми характерными свойствами моделей трёхфазной фильтрации [96,97]. В частности, при моделировании трёхфазных течений необходимо задавать фазовые проницаемости (4.1.8) (4.1.10) таким образом, чтобы при всех параметрах течения в ( ) скорости с/ - корни квадратного уравнения были действительными числами. Это условие обеспечивает диссипативность системы (4.2.25) (или (4.1.11)).

В одномерной постановке направим ось г по нормале к поверхности разрыва (т.е. фронта вытеснения, фронта фазового перехода и т.д.). В соответствии с [21,22,33,41] предполагаем, что давление непрерывно на разрыве параметров фильтрационного течения, а при ^ = 0 рвутся параметры щ, г = 0,1, 2. Условия на разрыве, следующие из законов сохранения при 7 = 0 ( ), представим в виде

Здесь Ж > 0 - скорость разрыва (положим и0 < 0, так как этого всегда можно

г

соответствующей величины на разрыве: [Ь] = — б-, где верхние индексы + и -

Соотношения (4.3.1) представляют собой систему трёх линейных однородных уравнений относительно неизвестных Ж, и—. Из условия совместности данной системы получим уравнение адиабаты разрыва

4.3. Исследование сильных разрывов

4.3.1. Условия на разрывах

ж[/(*)] + [£(0ио] = 0, г = 0,1, 2

(4.3.1)

( [/(о)] 0(0) % ^ ^ [/(1)] 0+) 0—1) =0 \ [/(2)] 0(0) 2) /

(4.3.2)

Согласно ( ), при заданном давлении P ( ) есть уравнение относительно четырёх неизвестных u± i = 1, 2. Пусть точка O на плоскости {u^u2} соответствует параметрам перед u++ (или зa u") разрывом. Тогда уравнение (4.3.2) определяет на плоскости {u1,u2} семейство линий - адиабату разрыва, выпущенную из начальной точки O. По известным u" (или u+) i = 1, 2, удовлетворяющим уравнению (4.3.2), параметры u" (или u+) и W определяются из уравнений (4.3.1).

В соответствии с общей теорией относительно нелинейных волн [32], адиа-

O

вектора г^ (Раздел ). Следовательно, из точки O выходит две ветви адиабаты, так как при Vnp и ф = 0 существует два собственных вектора ca и iß. Обозначим через а (ß) ту ветвь, которая касается вектора ca (iß) (Рисунок ).

4.3.2. Условия эволюционное™

Введём обозначения

ci = min(ia, Cß), С2 = max(ca,ce)

Для эволюционности разрыва необходимо потребовать, чтобы число уходящих от разрыва малых возмущений было на единицу меньше числа заданных на нём условий [32]. В случае фильтрации бинарной смеси на разрыве всегда задано четыре условия: три закона сохранения (4.3.1) и условие непрерывности давления: P + = PОт разрыва обязательно уходит два (по одному в каждую сторону) малых возмущения параболического (эллиптического) типа для давления ((4.2.10) или (4.2.19)), поэтому для эволюционности необходимо потребовать, чтобы уходящим было только одно малое возмущение гиперболического типа (4.2.4). Таким возмущением может быть либо медленная волна за разрывом c" < W, либо быстрая волна перед разрывом W < c++. В первом случае условие эволюционности записывается в виде (4.3.3), а во втором в

г_ А ?_ А

Рисунок 4.3. Диаграммы эволюционности. Выделены области эволюционных

разрывов.

виде (4.3.4):

max (q , c++) < W < c- (4.3.3)

c++ < W < min (c+f, c++) (4.3.4)

Для определения эволюционных отрезков адиабаты удобно использовать диаграмму эволюционности (Рисунок 4.3). Отложим на плоскости вдоль оси абсцисс (ординат) характеристические скорости перед c+ (за c-) разрывом [32]. При этом масштаб вдоль осей является условным, так как для анализа эволюционности необходимо только соблюдение неравенств между W и c±. На Рисунке 4.3 выделены области эволюционности разрыва (4.3.3) и (4.3.4). Каждой точке адиабаты (4.3.2) можно поставить в соответствие точку на рассматриваемой плоскости с координатами (W, W), а если т - некоторый параметр, отсчитываемый вдоль адиабаты, то адиабате можно поставить в соответствие линию W(т). Отрезки данной линии, расположенные внутри выделенных областей, -эволюционные отрезки адиабаты.

4.3.3. Некоторые особенности поведения адиабаты разрыва на

фазовой плоскости

Рассмотрим характерный вид эволюционных отрезков адиабаты разрыва при фильтрации смеси С02-Н20 (Р = 10 МПа) в случае если и+ фиксированы, а изменяются параметры за разрывом и", г = 0,1, 2. Таким образом, начальная точка О адиабаты имеет на плоскости {их,и2} координаты (и+,и+). Будем перемещать точку О из области высоких значений энтальпии их (температуры Т и2

изменением ветвей адиабаты (Рисунок 4.4а е).

На Рисунке 4.4а изображена адиабата для случая Т+ = 357°С, с+ = 0.9. Кривая АхОА2 соответствует ветви а адиабаты, а кривая ВхОВ2 - ветви в- В данном случае ветвв а полностью лежит в области пр = 1, совпадая с изотермой Т = Та каждая точка на ветви соответствует эволюционному фронту

а

(см. (4.2.9) и (4.2.18)). Для однофазной фильтрации данные разрывы соответствуют поршневому вытеснению смеси переменного состава. При постоянной

и2

илитуды, переносятся со скоростью течения. Следовательно, скорость разрыва,

аа а

1/ / , / / выполняется неравенство сх = ср < са = с2, то от данных раз-

в

а

В соответствии с общими результатами относительно нелинейных волн [32], с одной стороны от точки О расположен эволюционный отрезок ОВ2, а с другой стороны - неэволюционный отрезок ЕхЕ2О ветви в- В области пр = 1 ветвь в совпадает с прямой и2 = и+ - отрезок Е2ОВ2. На соответствующих ударных волнах разрыв имеет только температура (энтальпия и2). На отрезке Е2ОВ2

Рисунок 4.4. Ветви а и в на плоскости {и1, u2} при P =10 МПа и различных положениях начальной точки адиабаты O (а-е): жирные кривые - эволюционные отрезки адиабат. Выделены области cа > cлинии уровня - изотермы.

эволюционность разрыва может быть определена при помощи построения для разрывов температуры аналога функции Баклея-Леверетта и секущей к ней между состояниями перед и за разрывом [ , , ]• Кроме отрезка ОВ2 на ветви в также имеется эволюционный отрезок в области пр = 2.

При уменьшении и", г = 1, 2 точка О и ветвь а адиабаты приближаются

пр = 2 а

пересекает линию (Рисунок б] Т + = 292^С, с+ = 0.8). В данном случае ветвь а имеет эволюционный отрезок С4ОА2, содержащий начальную точку О и соответствующий описанным выше эволюционным фронтам вытеснения, на

а

и в области пр = 2, которые соответствуют разрывам температуры

и состава смеси. Эволюционными отрезками на ветви в являются Е2Е3,

Е4О и Е5В2. На границе между областями пр = 1 и пр = 2 собственные /

значения Л^,(их,и2) и, следовательно, характеристические скорости с^, у = а, в имеют разрыв, поэтому точки Е4 и С4, расположенные на пересечении адиабаты и кривой ограничивают эволюционные отрезки адиабаты.

На Рисунках в и г (Т+ = 100°С, С+ = 0.45 и Т+ = 40°С, С+ = 0.3 со-

О

пр = 2 при с+ < с+. В данном случае ветвь а в области пр = 2 совпадает с нодой двухфазного равновесия при Т = Т С = С+ (отрезок СхОС2). С одной стороны точка О ограничивает эволюционную часть отрезка СхО, а с другой -неэволюционный отрезок ОС2. На разрывах, соответствующих отрезку СхОС2, теплофизические свойства среды непрерывны, а рвутся только насыщенности фаз (см. (4.2.18)). Эволюционность данных разрывов может быть определена в рамках классической теории двухфазной фильтрации несмешивающихся жидкостей, т.е. из рассмотрения областей выпуклости функции Баклея-Леверетта ^ и секущей к ней между состояниями перед и за разрывом [ , , , ].

Ветви а и в пересекаются не только в начальной точке О, но и в точке О', расположенной в области са > ср (Рисунок 4.4в и г). При приближении О к гра-

нице между областями са < с^ и са > с^ точка О' также приближается к данной границе с другой стороны. В тот момент когда О попадает на линию са = се точки О и О' совпадают. При дальнейшем перемещении О в области са > се по поде равновесия к С1 точка О' удаляется от границы са = се в область са < с^, приближаясь к С2 (Рисунок В тот момент когда О' совпадает с С2 вторая

точка пересечения ветвей О' пропадает и при дальнейшем пе ремещении О к С1 ветви адиабаты имеют только одно пересечение (Рисунок 4.4е).

При уменьшении температуры Т+ (Рисунок г) обе част и ветви в адиабаты заканчиваются в области низких температур (Б1 и В2, Т = 0°С), а в случае, представленном на Рисунке д (Т + = 127°С, с+ = 0.095), ветвь в имеет несвязанный с точкой О отрезок 0102.

При уменьшении с+ (Рисунок е; Т+ = 137^С, с+ = 0.055) ветвь в приближается к прямой и2 = 0 (с, = 0). Если с+ = 0 и О лежит в области пр = 1, то ветвь в совпадает с прямой и2 = 0, описывая разрывы температуры при фильтрации чистой воды, которые подробно рассмотрены в работе автора диссертации [9].

На Рисунках 4.3а и б представлены диаграммы эволюционное™ для адиабат, изображённых на Рисунках 4.4г и д, соответственно. Начальной точке адиабаты О на диаграмме соответствуют две точки с координатами (с+,с-) и (с+,с-). Для адиабаты, представленной на Рисунке 4.4г (Рисунке 4.4(9), из (с+,с-) выходит ветвь в (ветвь а), а из (с+,с -) выходит ветвь а (ветвь в)- Это связано с положением О в области са < с^ (са > с^).

При пересечении адиабаты и линии са = с^ горизонтальные прямые W = с-, г = 1, 2 совпадают. Полагаем, что в точке, соответствующей данному пересечению, адиабата касается горизонтальной прямой W = с ил и W = с'+00.

Линия W(т) на диаграмме разрывна в точках пересечения адиабаты с линией Скачок имеет только ордината линии W (т) (например С1 и С2 на

Рисунке а). Это свойство линии W(т) связано с тем, что собственные зна-/

чения Л^(и1,и2) и следовательно характеристические скорости ( ) рвутся

вдоль линии £4.

4.3.4. Поведение адиабаты в окрестности двухкратной точки Жуге

Точки пересечения адиабаты и вертикальных W = с++ (горизонтальных № = с") прямых на диаграмме эволюционное™ являются точками Жуге, причём, согласно общим результатам относительно поведения адиабаты [32], при пересечении прямых № = с+ линия №(т) должна иметь вертикальную касательную. Данное условие выполнятся для всех точек Жуге на Рисунке 4.3 за исключением О' (например, точки Е3 и на Рисунке а).

Рассмотрим поведение адиабаты во второй точке пересечений ветвей адиабаты О' подробнее. Покажем сначала, что в О' условие Жуге выполняется два раза, т.е. скорость разрыва № совпадает с одной из характеристических скоростей как перед, так и за разрывом. Продифференцируем условия на разрыве (4.3.1) вдоль адиабаты

¿и" г п dW

(№Л; + ^ио) = [/(0] —, г = 0,1, 2 (4.3.5)

О'

т = №. Вычтем получившиеся соотношения друг из друга для каждого г = 0, 1, 2 уравнения

. ¿и

/у + и0)

в

=0

а в а

в О'

одновременно не обращаются в ноль. Таким образом, уравнения (4.3.6) представляют собой систему линейных однородных уравнений относительно этих величин. Из условия совместности системы получим

/ № \

¿в! —у- + = 0 (4.3.7)

\ио /

а

Сравнивая ( ), ( ) и ( ), заключаем, что дробь — W/uo равна од/

ному из собственных значений ^ а скорость W равна соответствующей харак-теристическои скорости с+ перед разрывом.

О'

О

заключаем, что скорость рассматриваемого фронта W равна одной из характеристических скоростей с— также и за разрывом.

Для адиабат, рассмотренных в настоящем разделе (Рисунок 4.3), скорость О' в

W = с±. Действительно, например, рассмотрим адиабату, представленную на Рисунках 4.4г и 4.3а (Рисунке 4.4(9 и 4.36'). В данном случае в О' W = с+ = с— = с- = с+). ^чка О расположена в области са < ср {¿а > с^), поэтому с+ = с+, а О' расположена в об ласти са > с^ (са < с^), поэто му с — = с-—. Таким образом, получаем равенство W = с±.

Покажем теперь, что линия W(т) на Рисунке может не иметь вертикаль-

О' г = 0, 1, 2

на соответствующие компоненты вектора 1/Зп9—1 (см- ( )) и сложим получившиеся соотношения. Тогда, левые части уравнений (4.3.5) взаимно сократятся, так как в точке О' скорость разрыва равна характеристической скорости с+:

1 г п dW

0 = 1/зпд—1 [/«] -^т (4.3.8)

Согласно [32], уравнение (4.3.8) можно получить для любой точки Жуге. В случае общего положения множитель, стоящий перед dW/dт, не равен нулю, откуда следует, что dW/dт = 0, а линия W(т) имеет на диаграмме эволюционное™ вертикальную касательную в однократных точках Жуге.

В рассматриваемом случае двухкратной точки Жуге заметим, что началь-О О'

а О'

резку поды, то, согласно (4.3.1), выполняются соотношения

[/(.)] = -^¡Г = - ^ (4.3.9)

Подставляя (4.3.9) в (4.3.8), получим

1

0 = ^'а Ж^Г (43'10)

Левые и правые собственные векторы, соответствующие различным соб-

/

ственным значениям, ортогональны (/р'Г'а = 0), поэтому коэффициент перед /¿т в ( ) обращается в ноль. Таким образом, в О' соотношение ( ) удовлетворяется без требования /¿т, а линия №(т) на диаграмме эволюционное™ (Рисунок 4.3) не обязана иметь вертикальную касательную.

4.4. Выводы к главе

Сформулирована замкнутая система уравнений фильтрации бинарных смесей. Проведён дисперсионный анализ уравнений модели и определены характеристические скорости в областях течения с различным числом фаз. Показано,

1) Если пренебречь диссипативными членами, то при пр < 2 система всегда имеет два малых возмущения гиперболического типа а и в? а с учётом теплопроводности имеется только одно возмущение типа а;

а

ратура и другие теплофизические параметры фаз (плотность, компонента

фронтам вытеснения в изотермическом течении;

3) В волнах в распространяются возмущения температуры и происходят фазовые превращения. Параметры фаз изменяются в волнах только данного типа;

ав На фазовой плоскости ограничены соответствующие области параметров;

5) При пр = 3 система имеет две характеристики как в пренебрежении дис-сипативными членами, так и с учётом теплопроводности. Фазовые превращения в областях трёхфазного течения происходят только из-за кон-дуктивного притока тепла.

22

следовано поведение ветвей адиабаты разрыва в зависимости от положения её

а

сывает фронты вытеснения в пористой среде, а вторая ветвь (соответствующая

в

строены диаграммы эволюционности разрывов. Каждая из двух ветвей адиабаты может иметь несколько эволюционных отрезков. Возможны разрывы, на которых условие Жуге выполняется два раза - перед и за разрывом.

Глава 5

Результаты исследований в проблемах подземного захоронения углекислого газа

5.1. О подземном захоронении углекислого газа

Захоронение углекислого газа в недрах Земли является относительно новым способом снижения выбросов парниковых газов в атмосферу. Технология захоронения основывается на закачке углекислого газа в пористые проницаемые породы, в которых углекислый газ из-за влияния различных физических процессов удерживается в течение продолжительного промежутка времени. Положительный эффект от организации крупномасштабных проектов захоронения связан с улучшением экологической обстановки, в частности со снижением риска развития глобального потепления на Земле.

Потенциально опасным последствием захоронения является утечка углекислого газа из проницаемого резервуара. В результате утечки СС^ может подняться из недр к поверхности Земли и вернуться в атмосферу, что снизит положительный эффект от захоронения. Надёжность захоронения обеспечивается правильным выбором проницаемого резервуара, геологическое строение которого позволяет удержать углекислый газ в недрах на протяжении тысячелетий. Также на надёжность захоронения влияет выбранная стратегия закачки, в том числе пространственное положение нагнетательной скважины и режимы нагнетания.

На относительно небольших для геологических процессов масштабах времени несколько тысячелетий имеется три основных физических механизма, позволяющих удержать С02 в водонасыщенном пласте [ , ].

Рисунок 5.1. Физические механизмы удержания С02 в пласте: (а) - структурный захват, (б) - остаточные явления и (в) - растворение в пластовой воде.

Первый механизм связан с геологическим строением резервуара, имеющем структурные ловушки - куполы. В данном случае проницаемый пласт ограничен сверху и снизу непроницаемыми породами, которые вместе формируют антиклинальную геологическую складку, т.е. складку обрагцённую выпуклостью вверх (Рисунок 5.1а). Непроницаемые породы служат естественным барьером, препятствующим вытеканию воды и газа из пласта. Углекислый газ легче воды, поэтому при закачке в водонасыщенные породы С02 стремится всплыть к поверхности. Подобному течению газа вверх препятствует непроницаемая кровля пласта. Таким образом, углекислый газ может подняться к поверхности Земли, перемещаясь только в направлении напластования. При нагнетании газа в область антиклинальной складки газ, как более лёгкая по сравнению с водой фаза, накапливается внутри структурной ловушки и не перемещается из области нагнетания.

Второй механизм связан с остаточными явлениями - процессами на масшта-

бах пор, которые учитываются в законе фильтрации Дарси (2.1.9) с помощью фазовых проницаемостей К- ( ), ( ). Кривые относительных фазовых проницаемостей характеризуют взаимодействие подвижных фаз и скелета породы на микроуровне. В частности, вид данных кривых определяется капиллярными эффектами в пористой среде. Если насыщенность газа (или воды) мала й/ > йтах (или < 5т1п), то в результате действия капиллярных сил данная фаза неподвижна = 0 (или = 0) при любом градиенте давления. Она удерживается в виде пузырьков/капель и/или заполняет наиболее узкие поры (Рисунок 5.1 б). Данный эффект моделируется приравниванием нулю фазовой проницаемости Кд = 0 при й/ > йтах (или К/ = 0 при й/ < 5т1п). Если в проницаемом пласте высокая после закачки насыщенность газайд снижается из-за его перераспределения в коллекторе, то скорость фильтрации газа падает, обращаясь в ноль при йд = 1 — йтах. Таким образом, только из-за гидродинамических процессов насыщенность газа не может опуститься ниже остаточной насыщенности 1 — йтах, а относительный объём газа 1 — йтах удерживается (обездвижен) в пласте.

Третий механизм связан с растворением углекислого газа в воде (Рисунок в). При нагнетании, сверхкритический С02 частично растворяется в пластовой воде, насыщающей проницаемый резервуар. Это приводит к увеличению

её плотности: вода становится тяжелее и не может подняться к поверхности.

2

2

деляющее значение из-за большого объёма пластовой воды.

Таким образом, при моделировании подземного захоронения необходимо учитывать эффекты различной физической природы, в том числе фазовые превращения.

2

в водонасыщенных пластах. Решена осесимметричная краевая задача Римана в полупространстве, описывающая термогидродинамические процессы в приза-

бойной зоне скважины при нагнетании С02. Исследованы тепловые эффекты, сопровождающие фазовые переходы между жидким и газообразным С02 при утечке газа из пласта в область докритических давлений. Решены трёхмерные задачи нагнетания С02 в реальные геологические формации.

5.2. Задача Римана 5.2.1. Постановка задачи и обзор литературы

Задача Римана классическая одномерная автомодельная задача (задача о распаде произвольного разрыва) для системы уравнений в частных производных, представляющих собой законы сохранения [111,114]. Начальное условия для задачи Римана кусочно постоянное распределение параметров с одним произвольным разрывом. Эволюция данного распределения может привести к распаду начального разрыва на систему нескольких разрывов (ударных волн) и волн Римана (волн разрежения). Задача Римана позволяет детальнее интерпретировать физические эффекты в различных моделях механики сплошной среды. Например, данная задача рассматривалась в газовой динамике [42], магнитной гидродинамике [34], в теории упругости [35] и многих других моделях. Решения задачи Римана также использовались для построения алгоритмов численного моделирования [26], например в расчёте фильтрации методом линий тока [98,149].

Имеется обширная литература об аналитических решениях задач Римана для многофазных течений в пористой среде. В классической теории Баклея-Леверетта [69] задача Римана рассмотрена для двухкомпонентного двухфазного изотермического вытеснения. Показано, что распространение фронта вытеснения с присоединённой волной Римана описывается функцией Баклея-Ле-ве-ретта, в частности её точками перегиба, а скорость разрыва пропорциональна тангенсу угла наклона секущей к функции между состояниями перед и за раз-

рывом. В различных предположениях данная теория была развита на случай неизотермического несмешивающегося вытеснения [66,108,122,135,153].

Теория многокомпонентных многофазных течений в пористой среде, основывающаяся на методе характеристик, также широко используется для исследования изотермического несмешивающегося вытеснения в рамках решения задач Римана [83,89,107,126]. Это более общая теория для решения задач фильтрации, включающая в себя как частный случай метод Баклея-Леверетта. В основе алгоритма построения решений лежит концепция многоконтактного динамического смешения и опорных под термодинамического равновесия пластового флюида [126]. Эта теория активно применялась ранее для исследования газового заводнения нефтяных пластов [106,126], физико-химических методов повышения нефтеотдачи [65] и полимерного заводнения [95]. Схожий подход применялся для исследования трёхфазной фильтрации [59,97]. Разработано ограниченное число обобщений теории на случай неизотермической фильтрации в

таких проблемах как вытеснение нефти с учётом тепловых процессов [166], по-

2

теля [160] и закачка воздуха и пара для очистки загрязнённых грунтов [109]. Основная проблема в приложении теории к неизотермическим процессам связана с тем, что перенос тепла отличается от переноса дополнительного компонента смеси. Тепло не только переносится с каждой фазой флюида, но и запасается породой. Решения, построенные ранее для неизотермической фильтрации бинарных смесей [109, 160, 166], отличаются от решений для изотермической фильтрации трёхкомпонентных смесей [126]. Концепция опорных под термодинамического равновесия не работает для течений с переменной температурой.

В данном разделе диссертации исследуются решения задачи Римана для процесса закачки сверхкритического углекислого газа в водонасыщенный пласт

с учётом тепловых эффектов и фазовых переходов. Плотность и вязкость сверх-

2

висимости от давления и температуры (см. Главу 3) [3, 152]. Следовательно,

теория многокомпонентных многофазных течений в пористой среде не может применяться для полноценного исследования закачки сверхкритического С02, так как, во-первых, её приложения ограничены изотермическим процессами, а во-вторых, она наиболее эффективна, если используются предположения о постоянном объёме фаз при смешении и о постоянных коэффициентах распределения между жидкостью и паром. В данной работе, нагнетание С02 в водона-сыщенный пласт исследуется методом характеристик в общем виде (без дополнительных предположений, использующихся в отмеченной теории) [32,111,114]. Учитываются значительные вариации плотности и состава фаз смеси С02^Н20

из-за изменения давления и температуры, а также из-за фазовых превращений.

2

2

скважины в однородный горизонтальный пласт бесконечной протяжённости (Рисунок 5.2а). Пористость и проницаемость имеют однородные распределения, а верхняя и нижняя границы (кровля и подошва пласта) непроницаемые и теплоизолированные. В начальный момент времени £ = 0 пласт насыщен водой с однородным распределением давления Р = Р0 и температуры Т = Т0. При £ = 0 через скважину начинается закачка С02 с постоянным расходом Q и заданной энтальпией ^д, соответствующей температуре Т = Тд = То при Р = Р0. Влияние силы тяжести на начальном (£ ^ 0) этапе закачки С02 пренебрегается (Раздел 5.2.3) [51].

Сформулированная задача Римана не содержит характерного масштаба по времени £ и по пространству г, поэтому у неё существуют решения, зависящие только от отношения г/лА, где г - расстояние до скважины.

5.2.2. Предварительные оценки

Сначала рассмотрим соотношения между пространственными и временны-

Рисунок 5.2. Схема задачи о закачке С02 (а) и пространственные масштабы соответствующего течения в пористой среде (б).

Цель данного раздела заключается в определении безразмерных параметров, описывающих влияние различных физических процессов на течение.

Пространственные масштабы течения схематически показаны на Рисунке 5.2б. В данном разделе (при проведении предварительных оценок) предполагается, что происходит поршневое вытеснение воды углекислым газом. Координата фронта вытеснения даёт пространственный масштаб конвективных процессов, связанных с распространением С02 от скважины в пласт. Это только оценка, так как многофазный характер течения и фазовые превращения не учитываются. За фронтом вытеснения (г < г^) происходит однофазное течение чистого С02, а перед фронтом (г > г^) происходит однофазное течение чистой воды. Изменения температуры, связанные с конвективным переносом тепла, происходят в более узкой области рядом со скважиной. Соответствующий температурный фронт, координату которого обозначим символом г^, отстаёт от фронта вытеснения (г < г^) из-за теплообмена с породами. Нагнетаемый газ достигает начальной температуры пласта То в области г < г и проникает далее в область г < г < г^. Если пренебречь различием между теплоёмкостями флюида и породы, то из закона сохранения энергии следует, что объём пористой среды за тепловым фронтом (пг|) равен поровому объёму, занятому С02 (фп^).

Следовательно, выполняется соотношение

Г = г^УФ (5.2.1)

2

ратуре Т0 (фп^2), к полному объёму закачанного газа (фпг^) равно пористости - малой величине (ф < 0.4). Следовательно, проводимые оценки будут точ-

22

условиях в пласте (Р0 и То). Далее, в Разделе обозначи м индексами «с параметры чистой воды (Н20) и чистого газа (С02) при давлении Р0 и температуре Т0. Объёмный расход закачиваемого С02 на единицу длины скважины V (м2/день) определим соотношением

V* = = фпг2 (5.2.2)

где правая часть объём норового пространства, занятого газом. Из соотношения (5.2.2) получаем

г(1 = й (5.2.3)

Пфрс

В окрестности нагнетательной скважины (в призабойной зоне) давление возрастает. Определим соответствующий масштаб гр как максимальное расстояние

от скважины, на котором происходит заметное изменение давления. Для того

гр

изменения давления в областях однофазного течения Н20 (гад) и С02 (гс):

К

Гт = \fVmt, = ф——, т = ад, с (5.2.4)

Здесь ( - коэффициент сжимаемости флюида при Т = сопб^ а V - коэффициент пьезопроводности насыщенной пористой среды. Сравним масштабы гт и г^, введя безразмерные числа

Пт = — = */пО^С , т = ад,с (5.2.5)

г<1 У QMmЦm

Проведённые оценки показывают, что данные числа существенно больше единицы > 100, Пс > 10) для реальных случаев подземного захоронения (К > 10 мД, Q < 100 тоннДдень-м), Р0 > РсД), Т0 > 10°С) и, следовательно, возмущения давления распространяются существенно дальше от скважины чем фронт вытеснения г = г^. Таким образом, основное возрастание давления происходит в области г > г^, насыщенной водой. Следовательно, положим

Большие значения безразмерных чисел и Пс означают также, что возмущения давления распространяются быстро па масштабе г ~ г^.

Решая простую осесимметричную задачу для однофазной изотермической фильтрации в окрестности нагнетательной скважины [51,78], получим следующую оценку для распределения давления в пласте

где Е1 - экспоненциальный интеграл. Таким образом, давление остаётся постоянным на расстоянии г^ от скважины:

Безразмерное число Л связывает давление Р^ на масштабе процессов вытеснения (г ~ г^) с другими параметрами автомодельной задач и о закачке СС^. Если Л ^ 0, то давление Р^ возрастает незначительно по сравнению с началь-

Р0

Процессы теплопроводности приводят к размазыванию фронтов температуры, которые суть узкие области быстрого непрерывного изменения температуры между значениями Тд за тепловым фронтов и значением Т0 перед фронтом. Соответствующий пространственный масштаб - протяжённость (толщина) г^

г

(5.2.6)

(5.2.7)

где к - коэффициент температуропроводности. Согласно ( ), в оценке ( ) пренебрегаем влиянием флюида на теплопроводность. В соответствии с (5.2.1), ( ) и ( ), сравним масштабы г^ и г^, введя безразмерное число

Ф = ^ = */п-^^РС- (5.2.8)

П у -рг С г

Ф

сти на процессы в пласте по сравнению с конвективным переносом тепла. Это приводит к более резкому скачку температуры при г = г^, который в пределе Ф ^ 0 переходит в разрыв температуры.

5.2.3. Оценка влияния силы тяжести

Оценим масштаб по времени, на котором гравитационным расслоением (т.е. растеканием С02 вдоль кровли пласта [ , , ]) можно пренебречь, а решение задачи Римана описывает течение в призабойной зоне скважины. Предполагаем, что нагнетательная скважина вертикальная и совершенная.

Скорость Дарси в вертикальном направлении для газовой фазы, вызванная положительной плавучестью газа в водонасыщенном пласте, оценивается как

К ( )

^ = -(рп - рс)Т

Мс

где К - проницаемость в вертикальном направлении, а 7 - ускорение свободного падения.

Скорость газа в горизонтальном направлении от скважины в пласт оценивается величиной _

¿га 1 Г-

Wd =

2 V пфрсЬ

где га даётся соотношением ( ).

Сравним скорости и введя безразмерное число

г иг 0КЧ , ЫфреЗ ( ,

т = — = 2—(рп - Рс)1\ —^- (5.2.9)

и Мс V -

Меньшие гравитационные числа Г соответствуют меньшему влиянию силы тяжести на течение. Согласно (5.2.9), на ранних этапах нагнетания СО? силой тяжести можно пренебречь, так как Г ^ 0 при £ ^ 0, а решение задачи Рима-на описывает течение вблизи скважины. Число Г возрастает со временем что соответствует возрастающему влиянию силы тяжести на более поздних этапах нагнетания. При £ ^ то растекание С02 вдоль кровли пласта становится существенным процессом (Г ^ то), а решения задачи Римана не может применяться для описания процессов в пласте.

Дадим оценку для времени £ = при котором гравитационное число достигает значения Гд = 0.1. Используя соотношение ( ), получим

Предполагая, что Q = 23.56 тонн/(день-м), ф = 0.25 (как в случае А1; см. ниже) и К = 25 мД, время в зависимости от начальных пластовых давления Р0

Т0 Т0

соответствуют меньшей плотности С02 рс и более высокому контрасту плотностей между жидкой и газовой фазами (разность — рс в соотношении (5.2.10) выше). Следовательно, время меньше при высокихТ0, так как более высокий контраст плотностей соответствует более высокой положительной плавучести газа и так как вязкость С02 меньше. Аналогично, более высокое значение

Р0 2

контрасту плотностей. Следовательно, время возрастает при увеличении Р0.

В соответствии с Рисунком , начальный промежуток времени £ < на котором решение задачи Римана описывает течение в пласте, может достигать 100 дней. Однако, отметим, что время быстро изменяется в зависимости от проницаемости К и, также, определяется расходом газа Q. В 10 раз более высокое (низкое) значение проницаемости К^, которая в реальных осадочных

К

пластования [79,150], соответствует в 100 раз большему (меньшему) времени

(5.2.10)

Рисунок 5.3. Линии Ьд(Т0) при различных пластовых давлениях Р0.

Ьд. В проведённых оценках не учитывается солёность пластовой воды, которая соответствует более высоким значениям плотности жидкой фазы по сравнению с рассматриваемым случаем чистой воды, большему контрасту плотностей между жидкостью и газом и, следовательно, меньшему времени Ьд.

5.2.4. Асимптотическое приближение

В полярной системе координат уравнения (4.1.11) представим в виде (по постановке, течение не зависит от угловой координаты)

д 1 д

/(0(их, щ, Р) + —(их, Щ, Р)щ + ф{г)) = 0, г = 0,1, 2 (5.2.11)

дЬ

Начальные и граничные условия для сформулированной задачи имеют вид

Ь = 0 : Р = Ро, щ = (их)0 , Щ = 0

г 0 :

Щх) ио

-

Я

2п,

Я

9(2) ^ 0, г9(о) ио ^ -

(5.2.12)

(5.2.13)

( и х ) о Ро

ре Т0. В соответствии с ( ) и ( ), изначально пласт насыщен водой, а массовый расход газа на скважине равен Я, расход воды - 0, энтальпия нагнетаемого газа Нд.

Если = 0 - т.е., если мы можем пренебречь теплопроводностью (Ф ^ 0) и другими диссипативными процессами то (5.2.11) суть система смешанного типа (см. Раздел 4.2).

Задача Римана обычно ставится для гиперболических, а не для смешанных систем уравнений [32,34,42]. Это связано с тем, что в случае общего положения у смешанных систем не существует решений в виде простых волн Римана. Следовательно, необходимо упростить систему (5.2.11), чтобы она имела решения в виде волн Римана. В качестве подобных упрощений используются следующие асимптотические условия

^ то, Пс ^ то (5.2.14)

Л ^ 0, Ф ^ 0 (5.2.15)

В соответствии с ( ) и ( ), условия ^ то и Л ^ 0 выполняются одновременно при К ^ то (или при Q ^ 0). Условия ( ) могут быть приняты

2

однако условия (5.2.15) могут не выполняться. В частности, забойное давление при нагнетании С02 может значительно повышаться: Л ^ 0. В следующих разделах проведено сравнение асимптотических решений задачи Римана, построенных при условиях (5.2.14) и (5.2.15), с численными решениями в полной

постановке и обсуждается применимость асимптотического приближения для

2

(5.2.15) выполняются.

Предполагая, что эффективный коэффициент пьезопроводности V/ есть величина одного порядка с минимумом , и учитывая ( ) _ ( )? (5.2.14), получим

г

d = min (nW, П2) ^ то, г = min(vw, vc)

Таким образом, возмущения давления распространяются мгновенно на масшта-

бах r ~ rd (u/k2 ~ d), а дисперсионное уравнение ( ) приводится к виду

(и — c«k)(w — сеk)k2 = 0 (5.2.16)

В соответствии с ( ) и ( ), корень iu/k2 = й, соответствующий возмущениям параболического типа, в асимптотическом приближении (5.2.14) транс-

k2 = 0

возмущениям эллиптического типа (аналогичный корень имеет дисперсионное уравнение для эллиптического уравнения Лапласа).

Не смотря на то, что возмущения давления распространяются мгновенно на масштабах r ~ rd, разность давлений Pd — P0, определяемая оценкой (5.2.6), остаётся конечной величиной при Л ^ 0. Условие Л ^ 0 означает, что давление стремится к начальному пластовому давлению P0 (P ^ P0) на расстоянии r ~ rd от скважины. Таким образом, при асимптотических условиях ( ) и (5.2.15), законы сохранения (5.2.11) приводятся к системе уравнений

д 1 д

—f(i)(ui,U2,Po) + rdr (—'r9(i)(ui,U2,Po)uo) = 0, i = 0,1, 2 (5.2.17)

относительно переменных ui, u2 и u0 = dP/dr. Смешанная система ( ) формулируется относительно независимой переменной u0 (при P0 = const), а P

Преимущество системы (5.2.17) заключается в том, что в отличие от уравнений (5.2.11) она имеет решения в виде простых волн Римана (см. Главу 4). Асимптотическое решение уравнений ( ) в задаче о закачке СО2 на масштабе r ~ rd есть последовательность сильных разрывов, волн Римана и областей однород-