Теория возмущений в динамике солитонов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, доктор физико-математических наук Горшков, Константин Александрович

• Горшков, Константин Александрович
• доктор физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Горшков, Константин Александрович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I Теория возмущений для солитонов.

1.1. Введение.

1.2. Схема метода малого параметра.

1.3. Квазистационарное приближение.

1.4. Теория возмущений для солитонов в типичных моделях волновых систем.

1.4.1. Обобщенное уравнение Кортевега-де Вриза.

1.4.2. Система уравнений Захарова и нелинейное уравнение Шредингера.

1.4.3. Нелинейное уравнение Клейна-Гордона.

1.4.4. Выводы. Неравномерная пригодность приближенных решений.

1.5. Динамика солитонов как классических частиц.

1.6. Асимптотическое описание эволюции квазиплоского солитона уравнения Кадомцева-Петвиашвили.

1.6.1. Схема асимптотического разложения приближенного решения

1.7. Приближенное уравнение для амплитуды поперечной модуляции квазиплоского солитона.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теория возмущений в динамике солитонов»

2.2. Алгоритм построения приближенного решения задачи о взаимодействии солитонов.91

2.2.1. Общие положения.91

2.2.2. Первое приближение.96

2.2.3. Второе приближение.97

2.2.4. Уравнение движения для координат центров солитонов.100

2.2.5. Структура приближенного N-солитонного решения.103

2.3. Лагранжево описание взаимодействия солитонов как классических частиц.105

2.4. Типы взаимодействий и связанные состояния одномерных уединенных волн.114

2.5. Рассеяние и связанные состояния двумерных солитонов уравнения Кадомцева-Петвиашвили.122

2.6. Хаотическое рассеяние двумерных солитонов.133

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Горшков, Константин Александрович

Основные результаты диссертационной работы сводятся к следующему:

1. Построена схема малого параметра для уединенных волн, дающая описание эволюции солитонов под действием различного рода возмущений в рамках уравнений поля достаточно общего вида, не обязательно близких к точно интегрируемым. Алгоритм построения приближенных решений включает условия ограниченности поправок к квазистационарному солитону, которые представляют собой уравнения для параметров уединенных волн и крупномасштабных возмущений, возникающих при эволюции солитона.

2. Разработан алгоритм построения приближенного решения задачи о взаимодействии солитонов с близкими параметрами, основанный на методе сращиваемых асимптотических разложений и условиях ограниченности поправок к квазистационарным солитонам. Применение этого алгоритма к уравнениям поля в лагранжевой форме показывает, что взаимодействие солитонов в первом нетривиальном порядке теории возмущений описывается лагранжианом для классических частиц с парным потенциалом взаимодействия. При этом масса классической частицы выражается через полный волновой импульс солитона, а парный потенциал взаимодействия определяется структурой поля отдельного солитона вдали от его центра.

3. Сформулированы необходимые критерии существования связанных состояний солитонов. Обнаружены связанные состояния, обусловленные осцилляторной структурой поля отдельного солитона, найдено множество стационарных уединенных волн-мультисолитонов (плоских, двумерных, трехмерных). Установлено существование неизвестных ранее стационарных связанных состояний двумерных солитонов уравнения Кадомцева-Петвиашвили.

4. Приведена классификация типов взаимодействия одномерных уединенных волн, зависящих от одной быстрой фазовой переменной. Найдены и описаны неизвестные ранее режимы «аномального» рассеяния двумерных солитонов уравнения Кадомцева-Петвиашвили, отвечающие бесконечным фазовым сдвигам. Обнаружено явление хаотического рассеяния двумерных солитонов; выяснена его природа, обусловленная расходимостью зависимости угла отклонения от прицельного расстояния сталкивающихся уединенных волн.

5. Показано, что дополнение общего алгоритма построения приближенных решений задачи о взаимодействии уединенных волн условиями равномерной пригодности поправок к квазистационарным солитонам и заменой координат центров уединенных волн на распределенные фазовые переменные позволяет учесть волновую природу солитонов и существенно улучшить аналитические свойства получаемых решений; при этом улучшенные решения остаются близкими к суперпозиции уединенных волн с пространственно-временной зависимостью их параметров в виде стационарных волн, распространяющихся с «групповой» скоростью, отличной от скорости солитонов.

6. Для ряда одномерных интегрируемых моделей найдено новое представление точных N - солитонных решений в виде суперпозиции солитонов с относительно медленно меняющимися параметрами; в этом представлении точные решения имеют ту же структуру, что и улучшенные приближенные, и отличаются лишь точностью описания фазовых переменных, разложение точных решений по малому параметру, используемому в приближенном описании, оказывается сходящимся при любых параметрах сталкивающихся уединенных волн, что позволяет рассматривать задачу о взаимодействии как квазистационарную задачу теории возмущений.

7. Исследована динамика квазипериодических волн, близких к последовательности одномерных солитонов (решетки солитонов). Показано, что движение солитонов с экспоненциальной асимптотикой поля описывается уравнениями решетки Тода, а для систем, допускающих существование уединенных волн с предельными амплитудами и скоростями, -уравнениями Каца-Мербеке (или «ленгмюровской» цепочки). Построены периодические и условно-периодические решения, соответствующие волнам огибающей для исходной последовательности солитонов.

Для неравновесной градиентной модели, описываемой уравнением Свифта-Хоэнберга, предложен и подтвержден механизм эволюции регулярного пространственного распределения поля к устойчивому беспорядку путем следующей эволюционной последовательности: гладкое регулярное поле с малой начальной нерегулярностью -> решетка локализованных структур -» пространственный хаос.

8. С помощью метода малого параметра для уединенных волн получена приближенная система уравнений, описывающая долговременную эволюцию солитонов под действием поперечных возмущений в рамках модели Кадомцева-Петвиашвили для сред с положительной дисперсией. Найдено общее решение задачи. Показано, что в неустойчивой области развитие модуляции на фоне плоского солитона приводит к насыщению ее амплитуды и образованию поперечно модулированной стационарной волны; этот процесс сопровождается излучением плоского солитона малой амплитуды.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Горшков, Константин Александрович, 2007 год

1. Раджараман Р. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля. М.: Мир, 1985.416 с.

2. Daschen R.F., Hasslacher D., Neveu A. Particle spectrum in midel field theories from semiclassical functional intergral techniques // Phys. Rev. 1975. V. 11. P. 3424-3450.

3. Фаддеев Л.Д. Адроны из лептонов? // Письма в ЖЭТФ. 1975. Т. 22, вып.2. С. 141-143.

4. Bishop A.R. Soliton in condensed matter physics // Physica Scripta. 1979. V. 20, № 3,4. P. 409-423.

5. Bishop A.R., Schneider T. Solitons and condensed matter physics / Springer Series in Solid State Sciences. V.8, Springer-Verlag. 1978

6. Власов C.H., Таланов В.И. Самофокусировка волн / ИПФ РАН. Нижний Новгород. 1997. 220 с.

7. Кившарь Ю.С., Агравал Г.П. Оптические солитоны. От волоконных световодов к фотонным кристаллам / Пер. с англ. М.: Физматлит, 2005. 648 с.

8. Ильичев А.Т. Уединенные волны в моделях гидромеханики. М.: Физматлит, 2003. 246 с.

9. Stanton Т., Ostrovsky L.A. Observations of highly nonlinear internal soli-tons over the continental shelf// Geophys. Res. 1998. V.25. P.2695.

10. Захаров B.E. Кинетическое уравнение для солитонов // ЖЭТФ. 1971. Т.60, вып. 3. С.993-1000.

11. Горев В.Г., Кингсепп А.С., Рудаков Л.И. Сильная ленгмюровская турбулентность плазмы // Изв. Высш. уч. зав. «Радиофизика». 1976. Т. 19, вып. 5,6. С. 691-703.

12. Курин В.В., Фрайман Г.М. Взаимодействие ленгмюровских солитонов со звуком. Об одной модели динамического режима сильнойленгмюровской турбулентности // Физика плазмы. 1981. Т.7. С.1121-1129.

13. Gardner C.S., Green J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteweg-de Vries equation // Phys. Rev. Lett. 1967. V. 19. P. 10951098.

14. Zabusky N.J., Kruskal M.D. Interaction of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states // Phys. Rev. Lett. 1965. V. 15, P. 240-243.

15. Захаров B.E. Манаков C.B., Новиков С.П., Питаевский JI.П. Теория солитонов: метод обратной задачи. Под ред. С.П. Новикова. М.: Наука, 1980.319 с.

16. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987. 479 с.

17. Карпман В.И., Маслов Е.М. Теория возмущений для солитонов // ЖЭТФ. 1977. Т. 73. С. 532.

18. Каир D.J., Newell А.С. Soliton as particles, oscillator and in slowly changing media: a singular perturbation theory // Proc. Roy.Soc. London A. 1978. V.301, № 1701. P. 413-446.

19. Keener J.R., McLaughlin D.W. Soliton under perturbation // Phys. Rev. A. 1977.V.16. P.777-790.

20. Jonson R.S. On an asymptotic solution of the Korteweg-de Vries equation with slowly varying coefficients // J. of Fluid Mech. 1973. V. 60. P. 813824.

21. Grimshaw R. Slowly varying solitary waves in Korteweg-de Vries equation // Proc. Roy. Soc. 1979. A368. P. 359-375.

22. Kodama Y., Ablowitz M. Perturbations of solitons and solitary waves // SIAM. 1981. V. 64: P. 225-245.

23. Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. М.: Наука, 1977.384 с.

24. Молотков И.А., Вакуленко С.А. Сосредоточенные нелинейные волны. Л.: ЛГУ, 1988. 240 с.

25. Bondeson A., Lisak М., Anderson D. Soliton perturbations. A variational principle for the soliton parameters // Physica Scripta. 1979. V. 20, № 3,4. P. 479-485.

26. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М., ФМ, 1958.

27. Кадомцев Б.В., Петвиашвили В.И. Об устойчивости уединенных волн в среде со слабой дисперсией. ДАН СССР. 1970. Т. 192, С. 753756.

28. Ablowitz M.J., Segur Н. On the evolution of packets of water waves. J. Fluid Mech. 1979. V. 92. P. 691-715.

29. Ablowitz M.J., Segur H. Long internal waves in fluids of great depth. Stud. Appl. Math. 1980. V. 62. P. 249-262.

30. Pesenson M.Z. Nonlinear waves traveling upon a front of solitons. Phys. Fluids A3. 1991. P. 3001-3006.

31. Пелиновский Д.Е., Степанянц Ю.А. Самофокусировочная неустойчивость плоских нелинейных волн в сдвиговых потоках. ЖЭТФ. 1994. Т. 105, вып. 6.

32. Infeld Е., Rowlands G. Nonlinear waves, solitons and chaos (Cambridge University Press, 1990), ch.6.

33. Laedke E.W., Spatscher K.H., Zocha K.B. Bifurcation analysis of the transversal drift-wave-envelope instability. Phys. Fluids. 1986. V. 29. P. 1127-1131.

34. Allen M.A., Rowlands G. Determination of the growth rate for the linearized Zakharov Kuznetsov equation. J. Plasma Phys. 1993. V. 50. P. 413-424.

35. Захаров B.E., Рубенчик A.M. Неустойчивость волноводов и солитонов в нелинейных средах. ЖЭТФ. 1973. Т. 65. С. 997-1011.

36. Кузнецов Е.А., Турицын С.К. Неустойчивость и коллапс солитонов в средах с дефокусирующей нелинейностью. ЖЭТФ. 1989. Т. 94. С. 119-129.

37. Trubnikov В.А., Zhdanov S.K. Unstable quasi-gaseous media. Phys. Rep. 1987. V. 155. P. 137-230.

38. Infeld E., Rowlands G. Theory of soliton transition from lower to higher dimension. Phys. Rev. A. 1991. V. 43. P. 4537-4539.

39. Murakami Y., Tajiri M. Resonant interaction between line soliton and y-periodic soliton: Solutions to the Kadomtsev-Petviashvili equation with positive dispersion. J.Phys.Soc.Japan. 1992. V. 61. P. 791-805.

40. Пелиновский Д.Е., Степанянц Ю.А. Самофокусировочная неустойчивость плоских солитонов и цепочек двумерных солитонов в средах с положительной дисперсией. ЖЭТФ. 1993. Т. 104. С. 3387-3400.

41. Пелиновский Д.Е., Степанянц Ю.А. Неустойчивость уединенных волн в средах с положительной дисперсией, описываемых двумерными уравнениями Буссинеска. ЖЭТФ. 1994. Т. 106, № 1.

42. Infeld Е., Senatorsky A., Skorupski А.А. Decay of Kadomtsev-Petviahvili solitons. Phys. Rev. Lett. 1994. V. 72. P. 1345-1347.

43. Frycz P., Infeld E. Spontaneous transition from flat to cylindrical solitons. Phys. Rev. Lett. 1989. V. 63. P. 384-385.

44. Захаров B.E. Неустойчивость и нелинейные колебания солитонов. Письма в ЖЭТФ. 1975. Т. 22. С. 364-367.

45. Власов С.Н., Петрищев В.А., Таланов В.И. Усредненное описание волновых пучков в линейных и нелинейных средах. Изв. ВУЗов. Радиофизика, 1971. Т. 14, № 9. С.1453.

46. Manakov S.V., Zakharov V.E., Bordg L.A., It's a.R., Matveev V.B. Two-dimensional solitons of the Kadomtsev-Petviashvili equation and their interaction. Phys. Lett. A. 1977. V. 63, N 3. P. 205-206.

47. Calogero F. Lett. Nuovo Cimento. 1976. V. 16, N 2. P. 35-38.

48. Adler M., Moser J. Comm. Math. Phys. 1978. V. 61, N 1. P. 1-30.

49. Пелиновский Д.Е., Степанянц Ю.А. Письма в ЖЭТФ. 1993. Т. 57, вып. 1.

50. Eckhardt Н. Ieergular scattering. Physica D. V.33. P. 89-95.

51. Choi W., Camassa R. Fully nonlinear internal waves in a two-fluid system. J. Fluid Mech. 1999. V. 396. P. 1-36.

52. Ostrovsky L.A., Grue J. Evolution equations for strongly nonlinear internal waves. Phys. Fluids. 2003. V.15. P. 2934-2948.

53. Zakharov V.E. and Kuznetsov E.A. 1986. Multiscale expansions in the theory of systems integrable by the inverse scattering transform. Physica D. V. 18. P. 455-463.

54. Calogero F. and Eckhaus W. Nonlinear evolution equations, rescalings, model PDEs and their integrability. 1987. I Inverse Problems 3. P. 22962: II Inverse Problems. P. 11-33.

55. Whitham G.B. Nonlinear disperaive waves. Proc. Roy. Soc. A. 1965. V. 283. P. 238.

56. Островский JI.A., Пелиновский E.H. Методы усреднения для несинусоидальных волн. ДАН СССР, 1979. Т. 195. С. 804.

57. Toda М. Waves in nonlinear lattice. Prog, theor. Phys. Suppl. 1979. V.45. P. 174.

58. Манаков C.B. О полной интегрируемости и стохастизации в дискретных динамических системах. ЖЭТФ. 1974. Т. 67. С. 543.

59. Кузнецов Е.А., Михайлов А.В. Устойчивость стационарных волн в нелинейных средах со слабой дисперсией. ЖЭТФ. 1974. Т.67. С.1717.

60. Дубровин Б.А., Матвеев В.Б., Новиков С.Н. Нелинейные уравнения типа КдВ. Конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия. УМН. 1971. Т. 31. С. 55.

61. Boccchieri P., Scotti A., Beaszi В., Loinger A. An harmonic chain with Lennard-Jones interaction. Phys. Rev. A. 1970. V. 2. P. 2013.

62. Захаров B.E. Кинетическое уравнение для солитонов. ЖЭТФ. 1971. Т. 60. С. 993.

63. Заславский Г.М. О рассеянии и трансформации нелинейных периодических волн в неоднородной среде. ЖЭТФ. 1972. Т. 62. С. 2129.

64. Боголюбский И.Л. Модифицированное уравнение нелинейной струны и неупругое взаимодействие солитонов. Письма в ЖЭТФ. 1976. Т. 24. С. 184.

65. Grimshaw R., Pelinovsky E.N., Talipova T.G. // The modified Korteweg-de Vries equation in the theory of large-amplitude internal waves. Nonlinear processes in Geophysics. 1997. V. 4. P. 237-250.

66. Coullet R., Lega J. Phys. Rev. Lett. 1990. V. 65. P. 1353.

67. Grassberger P., Procassia I. Physica 9D. 1983. P. 189-208.

68. Займан Д. Модели беспорядка». М.: Мир, 1985.

69. Ablowits M.J., Segur Н. Asymptotic solutions of the Korteweg-de Vries equation. Stud. Appl. Math. 1977. V. 57. P. 13-44.

70. Herman R.L. Evolution of a modulated RP soliton. J. Phys. A: Math. Gon. 1991. V. 24. P. 1161-1184.

71. Calogero F., de Lillo S. The Eckhaus PDE. Inverse Problems. 1987. V. 3. P. 633-681.

72. Matveev V.B., Salle M.A. Darboux Transformations and Solitons. Berlin: Springer. 1992.

73. Карпман В.И. Система солитонов под действием возмущений. Ос-цилляторные ударные волны. ЖЭТФ. 1979. Т. 77. С. 114.

74. Gerdjikov V.S., Каир D.J., Uzinov I.M. Evstatiev E.G. Phys. Rev. Lett. 1996. V. 77. P. 3943.

75. Kivshar Yu.S., Malomed B.A. Dynamics of solitons in nearly integrable systems. Rev. Modern ofPhysics. 1989. V.61, № 4. P. 763-915.

76. СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ