Теория возмущений для отклика неоднородной недиспергирующей среды со свойствами нормального металла на нестационарное электромагнитное поле тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Марвин, Сергей Владимирович

• Марвин, Сергей Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Марвин, Сергей Владимирович

Введение.

1. Интегро-дифференциальные уравнения электродинамики и начально-краевая задача (обзор). Физическая постановка задачи диссертационной работы.

1.1 Интегро-дифференциальные уравнения задач дифракции, электростатики и магнитостатики.

1.1.1 Вывод интегро-дифференциальных уравнений. Предельные условия. Проблема существования и единственности решения прямой и обратной задачи электродинамики.

1.1.2 Точные решения интегро-дифференциальных уравнений электродинамики.

1.1.3 Применение теории возмущений для приближенного решения интегро-дифференциальных уравнений электродинамики.

1.1.3.1 Длинноволновое приближение.

1.1.3.2 Искусственные диэлектрики.

1.1.3.3 Металлические антенны.

1.2 Начально-краевые задачи электроди намики.

1.2.1 Начально-краевые задачи электродинамики для однородных сред.

1.2.2 Начально-краевая задача электродинамики для неоднородного тела, расположенного во внешней однородной, изотропной и непроводящей среде.

1.3 Физическая постановка задачи диссертационной работы.

2. Существование решения начально-краевой задачи электродинамики для неоднородной недиспергирующей среды со свойствами нормального металла.

2.1 Существование решения начально-краевой задачи.

2.1.1 Исходные предположения. Формальная постановка зада

2.1.2 Интегральные операторы задачи. Интегро-дифференциальное уравнение задачи. Существование решения интегро-дифференциального уравнения задачи.

2.1.3 Интегро-дифференциальные уравнения для производных изображения электрического поля по пространственным координатам.

2.1.4 Неравенства для изображений электрического и магнитного полей. Существование решения начально-краевой задачи.

2.2 Задачи с цилиндрической симметрией: общие закономерности и конкретный пример.

2.2.1 Отличительные особенности задач с цилиндрической симметрией.

2.2.2 Реакция однородного, изотропного, немагнитного и проводящего шара, располагающегося в однородной, изотропной и непроводящей среде, на сторонний ток в бесконечно тонком проводнике.

2.3 Результаты и выводы главы.

3. Теория возмущений для нестационарного электромагнитного поля, взаимодействующего с неоднородной недиспергирующей средой, обладающей свойствами нормального металла.

3.1 Сходимость рядов теории возмущений.

3.1.1 Исходные предположения. Формальная постановка задачи.

3.1.2 Интегро-дифференциальные уравнения для слагаемых рядов теории возмущений.

3.1.3 Неравенства для слагаемых рядов теории возмущений и равномерная сходимость рядов.

3.2 Пример применения теории возмущений: реакция однородного, изотропный, немагнитного и проводящего шара, располагающегося в однородной, изотропной и непроводящей среде, на сторонний ток в бесконечно тонком проводнике.

3.3 Результаты и выводы главы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теория возмущений для отклика неоднородной недиспергирующей среды со свойствами нормального металла на нестационарное электромагнитное поле»

Актуальность работы. В широком классе теоретических исследований волновых процессов рассматривались либо статические поля и стационарные гармонические колебания в неоднородных средах [1-26], либо нестационарные поля в однородных средах [27-37], в том числе в сложных волноведущих системах. Однако, в условиях физического эксперимента и в прикладных задачах (особенно в задачах неразрушающего контроля) немалое значение имеют нестационарные волновые процессы в неоднородных средах. В частности, для дефектоскопии представляет немалый интерес распространение нестационарного слабопеременного электромагнитного поля в неоднородной проводящей среде со свойствами нормального металла (медленное изменение поля во времени и в пространстве типично для неразрушающего контроля и позволяет пренебречь квантовыми эффектами, а также временной и пространственной дисперсиями).

Описание нестационарных волновых процессов классической электродинамики осуществляется через начально-краевые задачи для системы уравнений Максвелла. Даже при упрощающем предположении об отсутствии дисперсии, не представляется возможным получить аналитически точное решение начально-краевой задачи электродинамики для неоднородной среды. Поэтому необходимо разрабатывать и обосновывать методы приближенного вычисления нестационарного электромагнитного поля, в частности, метод возмущений применительно к решению начально-краевой задачи для уравнений Максвелла.

В работах [38] и [39] в рамках классической электродинамики были получены и в некоторых аспектах рассмотрены интегро-дифференциальные уравнения для нестационарного электромагнитного поля в неоднородной среде без временной и пространственной дисперсий. Однако, указанные уравнения были сформулированы не для напряженностей электрического и магнитного поля, а для их изображений по Лапласу. Вопрос о возможности применить к решению интегро-дифференциальных уравнений обратное преобразование Лапласа не рассматривался. Также не рассматривался вопрос о возможности приближенного вычисления электромагнитного поля по теории возмущений. Ясно, что развитие исследований [37,38] весьма актуально как в научном плане, так и для прикладных задач.

Цель работы - разработать и обосновать теорию возмущений для нестационарного слабопеременного электромагнитного поля, взаимодействующего с нормальным металлом, имеющим макроскопические неоднородности. Для достижения этой цели потребовалось решить следующие задачи:

1) доказать при физически реальных и как можно более общих предположениях существование решения задачи о взаимодействии нестационарного электромагнитного поля с неоднородной недиспергирующей средой, обладающей свойствами нормального металла.

2) вывести интегро-дифференциальные уравнения, определяющие при малом возмущении электропроводности слагаемые рядов теории возмущений для напряженностей электрического и магнитного поля;

3) доказать сходимость рядов теории возмущений;

4) проиллюстрировать разработанную теорию возмущений на конкретном примере.

Научная новизна.

1) Доказано, что при условии непрерывного включения стороннего тока существует решение начально-краевой задачи электродинамики для недиспергирующей и, в общем случае, неоднородной среды со свойствами нормального металла.

2) Получены для исследованной начально-краевой задачи интегро-дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют слагаемые рядов теории возмущений при малом изменении электропроводности среды.

3) Доказана абсолютная и равномерная сходимость рядов теории возмущений для нестационарного электромагнитного поля снаружи области, занятой средой.

4) Получено точное выражение для поля реакции однородного проводящего шара на сторонний нестационарный ток в бесконечно тонком, соосном с шаром круговом проводнике.

5) Получено в первом порядке теории возмущений приближенное выражение для вторичного поля, возникающего в результате отклика однородного проводящего шара на первичное нестационарное стороннее поле, создаваемое круговым проводником.

6) Проведено сравнение точного выражения для поля реакции шара и приближенного выражения, полученного в первом порядке теории возмущений.

Защищаемые положения.

1) Доказательство существования решения задачи электродинамики для отклика недиспергируюгцей и, в общем случае, неоднородной среды со свойствами нормального металла на стороннее нестационарного поле при условии непрерывного включения стороннего тока.

2) Обоснование теории возмущений для приближенного решения исследованной задачи электродинамики при малом изменении электропроводности среды.

3) Результаты применения теории возмущений к вычислению поля реакции однородного проводящего шара на сторонний нестационарный ток в бесконечно тонком, соосном с шаром круговом проводнике.

Личный вклад автора. Автором получены неравенства, доказывающие существование решения исследованной нестационарной краевой задачи и обосновывающие сходимость рядов теории возмущений. Кроме того, автором получены точные значения коэффициентов в конкретном примере применения теории возмущений.

Научная и практическая ценность результатов. Полученные результаты обладают большой общностью и могут быть использованы для решения множества прикладных задач, описывающих воздействие нестационарного электромагнитного поля на неоднородные проводящие тела с конкретными геометрическими и физическими характеристиками.

Научная достоверность результатов. Достоверность результатов, полученных в работе, гарантируется использованием фундаментальных, надежно отработанных и неоднократно проверенных математических методов, а также соответствием с имеющимися в литературе результатами.

Публикации по теме работы. Основное содержание работы изложено в работах [40-52]. Работы [40, 50-52] опубликованы в ведущих рецензируемых журналах, определенных перечнем ВАК.

Апробация работы. Результаты, изложенные в работе, докладывались на следующих конференциях.

Третья Российская научно-техническая конференция «Физические свойства металлов и сплавов». Екатеринбург, 2005.

Научно-техническая конференция «Сварка в машиностроении и металлургии». Екатеринбург, 2005.

Девятая отчетная конференция молодых ученых ГОУ ВПО УГТУ-УПИ. Екатеринбург, 2005.

Международная научная конференция «Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании». Екатеринбург, 2006.

Четвертая Российская научно-техническая конференция «Физические свойства металлов и сплавов». Екатеринбург, 2007.

Девятнадцатая Уральская школа металловедов-термистов «Актуальные проблемы физического металловедения сталей и сплавов», посвященная 100-летию со дня рождения академика В.Д. Садовского. Екатеринбург, 2008.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитированной литературы из 123 наименований. Общий объем диссертации составляет 139 страниц, включая 2 рисунка и 1 таблицу.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Марвин, Сергей Владимирович

Основные результаты и выводы диссертационной работы.

1) Показано, что существует решение у начально-краевой задачи электродинамики для нестационарного электромагнитного поля, взаимодействующего с недиспергирующей и, в общем случае, неоднородной средой, обладающей свойствами нормального металла. Достаточные условия существования решения: среда сосредоточена в ограниченной области, граница которой является поверхностью Ляпунова; электропроводность является бесконечно гладкой функцией пространственных координат и не зависит от времени; в начальный момент времени сторонний ток включается непрерывно.

2) Показано, что при выполнении перечисленных предположений относительно проводящей среды, электромагнитное поле снаружи области, занятой проводящей средой, при малом изменении электропроводности можно получить приближенно по теории возмущений. Соответствующие ряды теории возмущений сходятся абсолютно и равномерно.

3) Проиллюстрирована разработанная в диссертации теория возмущений на примере однородного, изотропного и проводящего шара, находящегося в поле стороннего тока бесконечно тонкого, соосного с шаром кругового проводника. Показано, что при конкретной зависимости стороннего тока от времени для приближенного вычисления поля реакции проводящего тела достаточно первой поправки теории возмущений.

Результаты диссертационной работы имеют очевидную практическую ценность. Подавляющее большинство нестационарных краевых задач электродинамики можно решить только численно. И существование решения задачи имеет первоочередную важность для применения численных методов; является необходимым условием их корректности.

Метод возмущений является одним из наиболее распространенных в теоретической физике методом приближенного вычисления физических величин. Однако, нередко остается открытым вопрос о сходимости рядов теории возмущений, о характере их сходимости (так, например, возникают понятия асимптотического представления и асимптотической сходимости). В условиях начально-краевой задачи, исследованной в работе, характер сходимости рядов теории возмущений— наилучший для вычислительной практики.

Содержательность данной диссертационной работы заключается не только в ее результатах: открывается широкое направление дальнейших исследований, заключающихся в обобщении полученных результатов.

Заметим, что для физики представляют интерес не только нормальные металлы. Диэлектрики и магнетики, с нетривиальными диэлектрическими и магнитными проницаемостями, постоянно исследуются как теоретически,, так. и, экспериментально. Поэтому, имеет смысл изучить возможность обобщения полученных результатов на тела с любыми электрическими и магнитными характеристиками.

Заметим также, что наиболее точные модели дефектов в металлах предполагают разрывную зависимость электропроводности от пространственных координат: на границе дефекта электропроводность изменяется скачком. Поэтому, имеет смысл изучить возможность обобщения полученных результатов на тела, электропроводность которых не является непрерывной функцией пространственных координат.

Мы предполагаем, что методы, которыми мы пользовались в своих исследованиях, могут быть использованы как для возможных обобщений данной диссертационной работы, так и для исследования других пространственно временных задач.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной диссертационной работе исследована начально-краевая задача, описывающая взаимодействие нестационарного электромагнитного поля с неоднородной недиспергирующей средой, обладающей свойствами нормального металла.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Марвин, Сергей Владимирович, 2010 год

1. Хижняк Н.А. Функция Грина уравнений Максвелла для неоднородных сред// ЖТФ. 1958. Т. 28. № 7. С. 1592-1609.

2. Хижняк Н.А. Искусственные анизотропные диэлектрики, образованные двухмерными решетками полос и стержней// ЖТФ. 1959. Т. 29. № 5. С. 604614.

3. Гал JI.K., Хижняк Н.А. Рассеяние электромагнитных волн тонким бесконечно длинным металлическим стержнем эллиптического сечения// Известия вузов. Радиофизика. 1971. Т. 14. № 11. С. 1596-1610.

4. Козарь А.И., Хижняк Н.А. Резонансное рассеяние электромагнитных волн на диэлектрической сфере в волноводе// Известия вузов. Радиоэлектроника. 1975. Т. 18. № 1.С. 29-35.

5. Петленко В.А., Хижняк Н.А. Рассеяние электромагнитных волн идеально проводящими телами в прямоугольном волноводе// Известия вузов. Радиофизика. 1978. Т. 21. №9. С. 1325-1331.

6. Дякин В.В., Лебедев Ю.Г., Раевский В.Я. Исследование магнитостатической модели в теории цилиндрических магнитных доменов// ФММ. 1983. Т. 56. № 2. С. 245-248.

7. Дякин В.В. Прямая и обратная задача магнитостатики// Дефектоскопия. 1996. №3. С. 3-6.

8. Дякин В.В., Раевский В.Я. К исследованию системы интегро-дифференциальных уравнений электродинамики с постоянными параметрами сред// Журнал вычислительной математики и математической физики. 2001. Т. 41. №9. С. 1416-1421.

9. Дякин В.В., Умергалина О.В. К расчету поля дефекта в трехмерном полупространстве// Дефектоскопия. 2003. № 4. С. 52—66.

10. Дякин В.В., Умергалина О.В. Асимптотика электромагнитного поля в задачах дефектоскопии// Дефектоскопия. 2005. № 9. С. 91-94.

11. П.Дякин В.В., Раевский В .Я. Об обратной задаче электродинамики// Журнал вычислительной математики и математической физики. 2005. Т. 45. № 11. С. 2052-2060.

12. Александрова А.А., Хижняк Н.А. Дифракция электромагнитных волн на диэлектрическом клине// ЖТФ. 1974. Т. 44. № 11. С. 2241-2249.

13. Александрова А.А., Хижняк Н.А. Исследование ближнего поля, дифрагированного на диэлектрическом клине// ЖМПТФ. 1976. № 4. С. 174-181.

14. Ломоносов М.И., Черкасова К.П., Хижняк Н.А. Дифракция плоской электромагнитной волны на сфере с магнитной анизотропией// Известия вузов. Радиофизика. 1977. Т. 20. № 6. С. 913-923.

15. Коробкин В.А., Хижняк Н.А. Волноводно-диэлектрический резонанс диэлектрического образца в прямоугольно волноводе// Известия вузов. Радиофизика. 1978. Т. 21. № 4. С. 558-565.

16. Черкасова К.П., Хижняк Н.А. Рассеяние на ферритовом шаре плоской электромагнитной волны, направленной под произвольным углом к подмагничи-вающему полю// УФЖ. 1978. Т. 23. № ю. С. 1673-1682.

17. Гал Л.К., Украинец Н.И., Хижняк Н.А. Рассеяние электромагнитной волны на диэлектрической вставке конечных размеров в прямоугольном волноводе// ЖТФ. 1980. Т. 50. № 8. С. 1585-1594.

18. Дякин В.В., Умергалина О.В., Сандовский В.А. Расчет поля постоянного магнита, расположенного над магнитной пластиной, и соотношения при тол-щинометрии// Дефектоскопия. 1995. № 10. С. 38-49.

19. Дякин В.В., Корзунин Г.С., Литвиненко Л.А., Кайбичева С.Л. О магнитопо-рошковом методе контроля кристаллографической текстуры электротехнической стали// Дефектоскопия. 2004. № 5. С. 63-78.

20. Дякин В.В., Умергалина О.В., Раевский В.Я. Поле конечного дефекта в трехмерном полупространстве// Дефектоскопия. 2005. № 8. С. 28-42.

21. Лысенко О.Е., Хижняк Н.А. Рассеяние электромагнитных волн на малом диэлектрическом эллипсоиде произвольной анизотропии с точностью до величин {а/К)2 включительно// Известия вузов. Радиофизика. 1968. Т. 11. № 4. С. 559-565.

22. Левин М.Л., Муратов Р.З. Проводящий эллипсоид в низкочастотном электромагнитном поле// Известия вузов. Радиофизика. 1979. Т. 22. № 6. С. 740749.

23. Борисов А.Ю., Бубнов Г.Г., Шапиро Р.В. Исследование дисперсии анизотропных искусственных диэлектриков// Известия вузов. Радиофизика. 1979. Т. 22. №8. С. 1002-1010.

24. Петленко В.А., Хижняк Н.А. Резонансное рассеяние электромагнитных волн тонкими проводниками в прямоугольном волноводе// Известия вузов. Радиофизика. 1981. Т. 24. № 4. С. 472-480.

25. Горобец Н.Н., Нестеренко М.В., Петленко В.А., Хижняк Н.А. Тонкий импе-дансный вибратор в прямоугольном волноводе// Радиотехника. 1984. № 1. С. 65-68.

26. Хижняк Н.А. Интегральные уравнения макроскопической электродинамики. Киев: Наукова думка, 1986. 280 с.

27. Смирнов В.И. Решение предельной задачи для волнового уравнения в случае круга и сферы// Доклады АН СССР. 1937. Т. 14. № 1. С. 13-16.

28. Хохлов Р.В. О нестационарных процессах в волноводе// Доклады АН СССР. 1948. Т. 61. № 4. С. 637-640.

29. Денисов Н.Г. Распространение электромагнитных сигналов в ионизированном газе// ЖЭТФ. Т. 21. № 12. С. 1354-1363.

30. Ковтун А.А. Нестационарные процессы в волноводе// Радиотехника и электроника. 1958. № 5. С. 660-674.

31. Борисов В.В. Электромагнитное поле тока произвольной временной зависимости, распределенного на поверхности сферы// Известия вузов. Радиофизика. 1976. Т. 19. № 12. С. 1862-1870.

32. Борисов В.В. Электромагнитные поля в цилиндрическом волноводе, заполненном ионизованным газом, движущимся с постоянной скоростью// Известия вузов. Радиофизика. 1980. Т. 23. № 12. С. 1484-1494.

33. Борисов В.В. Непериодические электромагнитные поля в секториальном рупоре// Радиотехника и электроника. 1983. № 3. С. 450-460.

34. Борисов В.В. Возбуждение непериодических полей в коническом рупоре// Радиотехника и электроника. 1985. № 3. С. 443^47.

35. Величко Л.Г., Сиренко Ю.Н. Импульсные электромагнитные поля в открытых компактных резонансных структурах// Успехи современной радиоэлектроники. 2006. №3. С 3-32.

36. Дорошенко В.А., Артюх А.В. Математическое моделирование процесса импульсного возбуждения сверширокополосной антенны// Украинский математический конгресс- 2009: тезисы докладов. Киев, 2009. С. 33.

37. Боголюбов А.Н., Малых М.Д., Панин А.А. Временная асимптотика поля, возбуждаемого в волноводе гармоническим током// Журнал вычислительной математики и математической физики. 2005. Т. 45. № 12. С. 2219-2231.

38. Дякин В.В., Раевский В.Я. Прямая и обратная задача классической электродинамики// Дефектоскопия. 1996. № 10. С. 31-39.

39. Дякин В.В., Сандовский В.А. Задачи электродинамики в неразрушающем контроле. Екатеринбург: ИФМ УрО РАН, 2008. 392 с.

40. Марвин С.В., Дякин В.В. О существовании и единственности решения начально-краевой задачи электродинамики// Вестник УГТУ-УПИ. 2005. Т. 69. № 17. С. 295-302.

41. Марвин С.В., Дякин В.В. Свойства электрического и магнитного полей как функций пространственных координат// Сварка в машиностроении и металлургии: сборник тезисов докладов научно-технической конференции. Екатеринбург, 2005. С. 41-43.

42. Марвин С.В., Дякин В.В. Аналитические свойства решений интегральных уравнений электродинамики// Научные труды IX отчетной конференции молодых ученых ГОУ ВПО УГТУ-УПИ: сборник статей. В 4 ч. Ч. 4. Екатеринбург, 2005. С. 156-158.

43. Марвин С.В., Дякин В.В. Начально-краевая задача для системы уравнений Максвелла/ Федеральное агентство по образованию РФ, ГОУ ВПО УГТУ-УПИ. Екатеринбург, 2006. 17 с. Деп. В ВИНИТИ 24.05.2006, 697.

44. Дякин В.В., Марвин С.В. Начально-краевая задача и интегро-дифференциальные уравнения электродинамики для немагнитного проводящего тела// Журнал вычислительной математики и математической физики. 2008. Т. 48. №2. С. 288-296.

45. Марвин С.В., Дякин В.В. Система интегро-дифференциальных уравнений электродинамики и обратное преобразование Лапласа// Дефектоскопия. 2008. № 3. С. 30-36.

46. Марвин С.В., Дякин В.В. Начально-краевая задача электродинамики для немагнитного проводящего образца// Электричество.— 2008. № 12. С. 30-36.

47. Никольский В.В., Никольская Т.Н. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука, 1989. 543 с.

48. Ильинский А.С. и др. Математические модели электродинамики/ А.С. Ильинский, В.В. Кравцов, А.Г. Свечников. М.: Высшая школа, 1991. 224 с.

49. Кошляков Н.С. и др. Основные дифференциальные уравнения математической физики/ Н.С. Кошляков, Э.Б. Глинер, М.М. Смирнов. М.: Физматгиз, 1962. 768 с.

50. Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм. М.: Высшая школа, 1983. 463 с.

51. Сивухин Д.В. Общий курс физики. В 6 т. Т. 3. Электричество. М.: Наука, 1987. 687 с.

52. Савельев И.В. Курс общей физики. В 3 т. Т. 2. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика. М.: Наука, 1982. 496 с.

53. Зисман Г.А., Тодес О.М. Курс общей физики. В 3 т. Т. 2. Электричество и магнетизм. М.: Наука, 1965. 368 с.

54. Фриш С.Э., Тиморева А.В. Курс общей физики. В 3 т. Т. 2. Электрические и электромагнитные явления. М.: Физматгиз, 1961. 512 с.

55. Путилов К.А. Курс физики. В 3 т. Т. 2. Учение об электричестве. М.: Физ-матгиз, 1962. 584 с.

56. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1989. 504 с.

57. Гольдфайн И.А. Векторный анализ и теория поля. М.: Физматгиз, 1962. 132 с.

58. Компанеец А.С. Теоретическая физика. М.: ГИТТЛ, 1957. 564 с.

59. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. 623 с.

60. Туров Е.А. Материальные уравнения электродинамики. М.: Наука, 1983. 158 с.

61. Сандовский В.А., Дякин В.В., Дударев М.С. Исследование частотной зависимости магнитной проницаемости при вихретоковом контроле тонких ферромагнитных материалов// Дефектоскопия. 1998. № 11. С. 27—33.

62. Сандовский В.А., Дякин В.В., Дударев М.С. Исследование частотной зависимости магнитной проницаемости ферромагнитных стержней в неоднородном поле//Дефектоскопия. 1999. № 4. С. 47-55.

63. Сандовский В.А., Дякин В.В., Дударев М.С. Частотная зависимость магнитной проницаемости полых цилиндрических ферромагнитных изделий// Дефектоскопия. 2000. № 3. С. 67-74.

64. Сандовский В.А., Дякин В.В., Дударев М.С. Частотная зависимость эффективной магнитной проницаемости пластин в однородном магнитном поле// Дефектоскопия. 2001. № 11. С. 3-14.

65. Сандовский В.А., Дякин В.В., Дударев М.С. Годографы магнитной проницаемости цилиндрических стержней в однородном переменном поле// Дефектоскопия. 2002. № 1. С. 49-59.

66. Сандовский В.А., Дякин В.В., Дударев М.С. Частотная зависимость магнитной проницаемости полых цилиндрических стержней в однородном переменном поле// Дефектоскопия. 2002. № 5. С. 74-85.

67. Дякин В.В., Сандовский В.А., Дударев М.С. Магнитная проницаемость сферических изделий в переменном однородном поле// Дефектоскопия. 2002. №11. С. 3-16.

68. Дякин В.В., Сандовский В.А., Дударев М.С. Зависимость магнитной проницаемости от полярной координаты в цилиндрических образцах, помещенных в переменное однородное поле// Дефектоскопия. 2004. № 7. С. 77-89.

69. Купрадзе В.Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения. M.-JL: ГИТТЛ, 1950. 422 с.

70. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Физмат-гиз, 1959. 232 с.

71. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977. 431 с.

72. Михлин С.Г. Курс математической физики. М.: Наука, 1968. 576 с.

73. Рисс Ф., Секельфави-Надь Б. Лекции по функциональному анализу: Пер. с фр. М.: Мир, 1979. 587 с.

74. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики: Пер. с англ. В 2 т. Т. 1. М.: Мир, 1982. 488 с.

75. Смирнов В.И. Курс высшей математики. В 5 т. Т. 5. М.: Физматгиз, 1959. 655 с.

76. Быховский Э.Б., Смирнов Н.В. Об ортогональном разложении пространства вектор-функций, квадратично суммируемых по заданной области, и операторах векторного анализа// Труды МИАН СССР. 1960. Т. 59. С. 5-36.

77. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях в частных производных. М.: Физматгиз, 1961. 400 с.1

78. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1967. 436 с.

79. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 444 с.

80. Смирнов В.И. Курс высшей математики. В 5 т. Т. 4. М.: ГИТТЛ, 1957. 812 с.

81. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968. 496 с.

82. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 520 с.

83. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 741 с.

84. Тихонов А.Н. и др. Дифференциальные уравнения/ А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников. М.: Наука, 1985. 232 с.

85. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969. 424 с.

86. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. 504 с.

87. Филатов А.Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и ин-тегро-дифференциальных уравнений. Ташкент: ФАН, 1974. 216 с.

88. Файнберг Я. Б., Хижняк Н.А. Искусственно анизотропные среды// ЖТФ. 1955. Т. 25. №4. С. 711-719.

89. Хижняк Н.А. Искусственные анизотропные диэлектрики. I// ЖТФ. 1957. Т. 27. № 9. С. 2006-2013.

90. Хижняк Н.А. Искусственные анизотропные диэлектрики. II// ЖТФ. 1957. Т. 27. №9. с. 2014-2026.

91. Хижняк Н.А. Искусственные анизотропные диэлектрики. III// ЖТФ. 1957. Т. 27. № 9. С. 2027-2037.

92. Pocklington Н.С. Electrical oscillations in wires// Process Cambridge Physics Society. 1897. V. 9. № 7. P. 324-332.

93. Hallen E. Theoretical investigation into the transmitting and receiving qualities of antenna//Nova Acta Uppsala. 1938. V. 11. № 1. P. 1-44.

94. Леонтович M.A., Левин М.Л. К теории возбуждений колебаний в вибраторах антенн// ЖТФ. 1944. Т. 14. № 9. С. 481-506.

95. Гапонов А.В., Миллер М.А. Об интегральном уравнении для токов в теории металлических антенн// ЖТФ. 1956. Т. 26. № 12. С. 2766-2770.

96. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров: Пер. с фр. М.: Наука, 1967. 779 с.

97. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 1989. 464 с.

98. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.448 с.

99. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа: Пер. с англ. М.: Физматгиз, 1961. 524 с.

100. Смирнов В.И. Курс высшей математики. В 5 т. Т. 3. В 2 ч. Ч. 2. М.: ГИТТЛ, 1953. 676 с.

101. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексной переменной. М.: Наука, 1973. 736 с.

102. Римский-Корсаков Б.С. Операционное исчисление. М.: Высшая школа, 1960. 147 с.

103. Евграфов М.А. Аналитические функции. М.: Наука, 1968. 472 с.

104. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 т. Т 2. М.: Физматгиз, 1959. 808 с.

105. Ильин В.А. Основы математического анализа. В 2 ч. Ч. 2. М.: Физматгиз, 2001.464 с.

106. Архипов Г.И. и др. Лекции по математическому анализу/ Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков. М.: Дрофа, 2003. 640 с.

107. Махнев А.А. и др. Определенные и несобственные интегралы. Интегралы, зависящие от параметра. Ряды/ А.А. Махнев, Н.В. Мельникова, Ю.Б. Мельников. Екатеринбург: ГОУ ВПО УрГУ, 2001. 226 с.

108. Абрикосов А.А. Введение в теорию нормальных металлов. М.: Наука, 1972. 288 с.

109. Кошкин Н.И., Ширкевич М.Г. Справочник по элементарной физике. М.: Наука, 1966. 248 с.f,f

110. Свирский M.C. Электронная теория вещества. М.: Просвещение, 1980. 288 с.

111. Трикоми Ф. Интегральные уравнения. М.: Издательство иностранной литературы, 1960. 299 с.

112. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматгиз, 1959. 472 с.

113. Шварц JI. Математические методы для физических наук: Пер. с фр. М.: Мир, 1965. 412 с.

114. Мельников Ю.Б. и др. Справочник: интегралы, дифференциальные уравнения, специальные функции. Методические указания по курсу «Высшая математика»/ Ю.Б. Мельников, Н.В. Мельникова, Е.А. Голикова. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2004. 44 с.

115. Минькова P.M. и др. Математическая физика: сборник типовых заданий и справочные сведения/ P.M. Минькова, В.В. Трещева, А.Б. Абрамова, Г.Я. Кара-сик, З.П. Дема. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2007. 56 с.

116. Прудников А.П. и др. Интегралы и ряды. Специальные функции/ А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. М.: Наука, 1983. 690 с.