Теория объёмных и поверхностных свойств магнитоактивных эластомеров во внешних магнитных полях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 02.00.06, кандидат наук Наджарьян Тимур Артемович

• Наджарьян Тимур Артемович
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Наджарьян Тимур Артемович

Введение

Глава 1. Литературный обзор

1.1. Особенности поведения магнитоактивных эластомеров

1.2. Экспериментальные исследования магнитоактивных эластомеров

1.3. Моделирование на масштабах частиц наполнителя

1.4. Макроскопические модели МАЭ

1.5. Заключение к Главе

Глава 2. Дробный реологический анализ магнитоактивных эластомеров

2.1. Дробное дифференцирование

2.2. Дробные реологические элементы

2.3. Дробная обобщённая модель Максвелла

2.4. Сравнение дробных реологических моделей

2.5. Решение конститутивного уравнения

2.6. Заключение к Главе

Глава 3. Взаимодействие магнитоактивного эластомера с внешним магнитным полем

3.1. Основные положения модели

3.2. Основные соотношения

3.3. Магнитные свойства образца и источника

3.4. Сила взаимодействия МАЭ с внешним полем

3.5 Влияние геометрических параметров системы на взаимодействие МАЭ с внешним магнитным полем

3.6 Система МАЭ-источник с криволинейной геометрией

3.7 Заключение к Главе

Глава 4. Поверхность магнитоактивного эластомера во внешнем магнитном

поле

4.1. Одночастичное приближение для приповерхностного слоя МАЭ

4.2. Модель механических явлений в среде

4.3. Энергия одночастичной ячейки

4.4 Одночастичный поверхностный рельеф

4.5 Система одночастичных ячеек

4.6 Репрезентативный элемент слоя и рельеф на его поверхности

4.7 Закономерности функции рельефа: скейлинг и мастер-кривые

4.8 Заключение к Главе

Заключение

Благодарности

Список опубликованных по теме диссертации работ

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теория объёмных и поверхностных свойств магнитоактивных эластомеров во внешних магнитных полях»

Введение

Магнитоактивные эластомеры (МАЭ) - это полимерные композитные материалы, состоящие из полимерной сетки и внедрённых в неё частиц ферромагнитного наполнителя различной природы и геометрии. Благодаря наличию ферромагнитного наполнения МАЭ чувствительны к внешним магнитным полям. Физические свойства МАЭ, зависящие от образуемой частицами наполнителя структуры, изменяются во внешнем магнитном поле. Контролируя состав композита и конфигурацию внешнего поля, становится возможным управлять свойствами материала. По этой причине МАЭ относят к так называемым «умным» полимерным материалам. В основе эффектов, проявляющихся в МАЭ в присутствии магнитных полей, лежит явление магнитомеханического сцепления. Конкуренция процессов движения наполнителя, вызванного индуцированным полем межчастичным магнитным взаимодействием, и сопротивления окружающей полимерной матрицы этому движению определяет поведение материала как на микроскопическом, так и на макроскопическом масштабах. В данной работе с различных углов исследуется поведение магнитоактивных эластомеров и их отдельных элементов в магнитных полях: их свойства и отклик на внешнее возбуждение.

Актуальность темы исследования. Наполненные каучуки и магнитореологические жидкости привлекают внимание учёных ещё с середины ХХ века. Магнитоактивные полимерные композиты являются более новыми материалами и активно исследуются с 90ых годов ХХ века. В настоящее время интерес к магнитополимерным материалам крайне высок: каждый год публикуется более сотни работ, посвящённых исследованиям в этой области. Вызван этот интерес многообразием свойств магнитоактивных полимерных композитов и возможностью управлять ими с помощью приложения внешних магнитных полей.

Механические, магнитные и диэлектрические свойства МАЭ в значительной степени могут определяться внешними стимулами: механической нагрузкой, магнитным полем и т.д. МАЭ также проявляют эффекты памяти формы и нагрузки, обладают как механическим, так и магнитным гистерезисом, демонстрируют зависимость всех характерных для наполненных каучуков свойств от приложенного магнитного поля. Благодаря этому МАЭ являются перспективными материалами с точки зрения применения в медицине и инженерии. На основе МАЭ создаются адаптивные вибрационные поглотители, актуаторы, демпферы, пломбы и покрытия.

Однако, несмотря на активные исследования свойств МАЭ, достаточно полной и строгой физической картины процессов, происходящих в таких материалах при перестройке наполнителя в магнитном поле, до сих пор не существует. Связано это со сложностью аналитического описания движения большой системы частиц в нелинейной среде при наличии магнитомеханического спаривания определяющих физических величин. Как следствие, для численных расчётов также доступны лишь простые модели, не учитывающие многих аспектов характерных для таких систем процессов и явлений. Важным фактором также является то, что в большинстве интересных для практических применений случаев концентрация ферромагнитного наполнителя в композите является достаточно высокой (порядка 27% по объёму), что приводит к необходимости учитывать форму частиц наполнителя и несостоятельности часто используемого при описании магнитной части задачи дипольного приближения.

Для углубления понимания процессов, лежащих в основе всех присущих МАЭ эффектов, и успешной разработки теоретического их описания проблему предлагается рассматривать последовательно, с точки зрения различных базисных явлений и на различных пространственных масштабах. В данной работе закладывается основа комплексного описания структуры и свойств магнитоактивных эластомеров в присутствии магнитных полей при помощи решения круга основополагающих задач, демонстрирующих различные

особенности этих материалов. При этом используются как современные математические методы, так и компьютерное моделирование с опорой на экспериментальные исследования. Это позволяет рассмотреть объект исследования со всех сторон и предложить гармоничное его описание, непосредственно связанное с физической реальностью.

Таким образом, актуальность работы состоит в объекте исследования -магнитоактивных эластомерах, для которых отсутствует последовательное и строгое теоретическое описание, и методах исследования - использовании дробно-дифференциального анализа и сочетании аналитических рассуждений с численным моделированием и опорой на экспериментальные данные.

Цель работы. Целью работы является создание теоретических моделей объёмных и поверхностных эффектов, возникающих при помещении магнитоактивных эластомеров в магнитное поле.

Задачи:

1. Построить и проанализировать модель отклика магнитоактивного эластомера на механическую нагрузку в магнитном поле, позволяющую удовлетворительно описывать экспериментальные данные для достаточно широкого интервала магнитных полей.

2. Провести моделирование взаимодействия образца магнитоактивного эластомера с внешним магнитным полем. Вычислить силу взаимодействия и магнитное давление на поверхность образца, рассмотреть зависимости этих величин от геометрии системы, конфигурации поля и концентрации наполнителя.

3. Построить модель процесса возникновения рельефа на поверхности слоя магнитоактивного эластомера в присутствии внешнего магнитного поля для композита, содержащего анизотропный наполнитель. Рассчитать

характеристики рельефа и их зависимость от магнитного поля и геометрических параметров частиц наполнителя.

Методы исследования. Для построения реологических моделей в работе использовался метод дробно-дифференциального анализа. Для решения определяющего дробного дифференциального уравнения модели использовался метод конечных разностей. При моделировании взаимодействия образца магнитоактивного эластомера с магнитным полем применялся метод конечных элементов. При моделировании слоя магнитоактивного эластомера и возникающего на поверхности рельефа использовался метод конечных элементов, а также метод градиентного спуска для минимизации энергетического функционала.

Научная новизна. Впервые построена и исследована дробная реологическая обобщённая модель Максвелла для описания поведения магнитоактивных эластомеров в магнитном поле. Прослежена связь между параметрами дробности модели и индуцированными полем изменениями во внутренней структуре и геометрии композита. Проведены расчёты взаимодействия фиксатора сетчатки глаза, представляющего собой пломбу из магнитоактивного эластомера, с магнитным полем, создаваемым системой постоянных магнитов малых размеров. Продемонстрирована важность учёта неоднородности намагниченности источника поля, взаимного расположения магнитов в системе, размеров пломбы и источников. Впервые построена модель слоя магнитоактивного эластомера и возникающего в магнитном поле на поверхности рельефа для случая анизотропных частиц ферромагнитного наполнителя. Создан оригинальный программный комплекс для расчёта поверхностного рельефа в магнитном поле на языке программирования Python.

Личный вклад автора. Личный вклад автора заключается в проведении аналитических расчётов методом дробного дифференцирования, написании программного обеспечения для проведения компьютерного моделирования, планировании и постановке численных расчётов, обработке и описании полученных результатов.

Достоверность. Основные результаты диссертации опубликованы в высокорейтинговых международных научных журналах, докладывались на многочисленных научных конференциях, а также соответствуют экспериментальным данным, полученным коллегами автора при изучении магнитоактивных эластомеров.

Практическая и теоретическая значимость работы. Результаты, полученные в данной работе, позволяют углубить понимание магнитомеханических явлений, характерных для магнитоактивных эластомеров, и проследить их связь с откликом таких материалов на магнитное поле. Предложенные модели и подходы позволяют предсказать отклик магнитоактивного эластомера на внешнее магнитное поле и демонстрируют состоятельность идеи о применении изучаемых материалов в медицине, в частности, в глазной хирургии.

Положения, выносимые на защиту:

1. Дробная обобщённая модель Максвелла с двумя ветвями, описывающая частотные зависимости динамического модуля сдвига материала как стандартная модель для описания вязкоупругих свойств МАЭ в магнитных полях. Зависимости параметров дробности обобщённой модели Максвелла от приложенного магнитного поля отражают изменения структуры композита с магнитным полем.

2. Макроскопическая модель взаимодействия МАЭ с магнитным полем, учитывающая неоднородность намагниченности источника поля и нелинейную зависимость восприимчивости МАЭ от магнитного поля с поправкой на размагничивание. Зависимости силы взаимодействия МАЭ с системой дискретных источников магнитного поля от толщины образца МАЭ, характерного размера источников в перпендикулярном полю направлении и взаимной ориентации магнитных моментов источников магнитного поля.

3. Теория, описывающая изменения рельефа поверхности слоя МАЭ с анизотропным наполнителем в магнитном поле на основе статистического ансамбля одночастичных ячеек. Шероховатость поверхности МАЭ нелинейным образом растёт с увеличением средней анизотропии частиц наполнителя, уменьшается с увеличением средней глубины залегания частиц, уменьшается с увеличением ориентированности частиц в пространстве. Характеристики рельефа масштабируемы относительно геометрических параметров частиц наполнителя.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка цитируемой литературы (111 наименований). Она изложена на 135 страницах и содержит 42 рисунка и 4 таблицы.

Апробация работы. Представленные в диссертации результаты опубликованы в 13 работах, из которых 6 статей в журналах, индексируемых в базах данных Web of Science и Scopus, и 7 тезисов докладов на российских и международных конференциях. Список работ приведен в конце диссертации.

Глава 1. Литературный обзор 1.1. Особенности поведения магнитоактивных эластомеров

Магнитоактивные эластомеры изучаются с конца 20 века. Связанные с их исследованием подходы и работы корнями уходят в рассмотрение магнитореологических жидкостей, представляющих собой ферромагнитные частицы, диспергированные в вязкой среде. Принципиальное отличие МАЭ от магнитореологических жидкостей состоит в наличии конкуренции между механическими силами упругой матрицы и магнитными силами в структурах активного наполнителя. Благодаря «сцеплению» механических и магнитных явлений на микроскопическом масштабе, МАЭ проявляют множество интересных эффектов. Величины, характеризующие вязкоупругие свойства МАЭ, способны меняться на несколько порядков при наличии внешнего магнитного поля, поэтому отклик таких материалов на внешнюю механическую нагрузку может даже принципиально менять свой характер. Так, например, зависимость динамического модуля сдвига МАЭ от частоты прикладываемой к материалу нагрузки меняет свою форму с изменением магнитного поля. Такой эффект называется магнитореологическим и представляет, пожалуй, наибольший интерес для практического применения МАЭ [1-3]. Магнитоактивные эластомеры также подвержены магнитодеформации [4-6] и обретают псевдопластичность во внешнем магнитном поле, сохраняя форму при сохранении поля [7]. Отклик МАЭ также зависит от предыстории нагрузки (механический гистерезис) и намагничивания (магнитный гистерезис) [2, 8, 9], а также от величины прикладываемой деформации (эффект Пэйна) [10]. Таким образом, при описании магнитоактивных эластомеров приходится иметь дело с большим количеством нетривиальных и нелинейных физических эффектов, зависящих в том числе и от состава и условий синтеза образца. Возникновение этих эффектов связано с наличием сцепления и согласованности механических и магнитных явлений в композите на микроскопическом масштабе.

Помещение образца во внешнее магнитное поле меняет его магнитные свойства за счёт наличия в материале активного магнетика. Если наполнитель является магнитомягким, то ферромагнитные частицы намагничиваются, а их магнитные моменты стремятся ориентироваться в соответствии с конфигурацией магнитного поля в системе. В случае магнитожёсткого наполнителя происходит преимущественно переориентирование магнитных моментов частиц после начального намагничивания материала. В качестве магнитожёсткого наполнителя чаще всего используют частицы сплава неодим-железо-бор, а в качестве магнитомягкого наполнителя - частицы карбонильного железа. Так или иначе, во внешнем поле частицы ферромагнитного наполнителя начинают взаимодействовать как с этим полем, так и между собой. Такое взаимодействие и результирующее движение и перестройка наполнителя влекут за собой реакцию полимерной матрицы, что и приводит к возникновению магнитомеханического сцепления со сложным механизмом, включающим в себя огромное количество ферромагнитных частиц и полимерную сетку (рисунок 1). При этом геометрия образующихся структур наполнителя нетривиальна: возникают протяжённые вдоль направления вектора внешнего поля кластеры, не являющиеся регулярными структурами (рисунок 2). Степень перестройки наполнителя во многом зависит от вязкоупругих свойств матрицы, то есть от химического состава полимерной сетки и условий синтеза, а также от обработки поверхности частиц наполнителя. Композиты с жёсткими матрицами описывать заметно проще в силу линейности деформационного поведения материала в более широком диапазоне магнитных полей, однако наиболее сильный магнитореологический эффект достигается именно при использовании мягких полимерных матриц. На практике часто используются различные силиконовые матрицы. С практической точки зрения интересны МАЭ с высокой объёмной долей наполнения, близкой к порогу перколяции для частиц наполнителя или превышающей его, так как именно в этих случаях можно добиться сильного отклика материала на внешнее магнитное поле [1, 2, 4, 11, 12]. В связи с этим при рассмотрении МАЭ речь обычно идёт о

системе с большим числом частиц, что соответствующим образом придаёт сложности решению задачи об описании магнитополимерных композитов.

Рисунок 1. Схематическое изображение структуры магнитоактивных эластомеров при отсутствии (слева) и при наличии (справа) внешнего магнитного поля. Частицы наполнителя намагничиваются и деформируют полимерную сетку за счёт своего движения.

о • сю о о о о ®|о • о • о о о о ооюоо#о®ю*оо#ооо •оолом®юо#ооо#ао ••стлгд#р#оо#со#о

оооааид«ооо##о#оо о#о«оо|в<ро«#о#ооо •о#оош«о«#ооо»:.оо 0в00)»10«0#00»#00 о#»ою#о«6оо®ооооо оооа#оо#ор##о#«о о##с»о#о«жсооо##о отоошлмошэтотоот 00##сЮиЛ#е)0 0#0#00

Рисунок 2. Схематическое изображение возможной структуры, образуемой ферромагнитным наполнителем в поле, в виде двумерной сетки. Чёрными точками обозначены частицы ферромагнетика, а прозрачными - полимерная немагнитная среда. Образовавшийся в результате реструктурирования кластер (обведён на рисунке) не является идеальной цепочкой.

1.2. Экспериментальные исследования магнитоактивных эластомеров

Существуют достаточно подробные обзоры продвижений в данной области полимерной науки [13-21]. Учёными рассматривались различные комбинации полимерных матриц и ферромагнитных наполнителей [4, 6, 22-30], наиболее распространёнными являются силиконовые матрицы и частицы железа микронных размеров [3, 4, 11, 15, 22, 29, 31-33]. Такие материалы относительно просты в изготовлении и для достаточно мягких матриц и достаточно высокого содержания железных частиц в композите проявляют крайне высокий отклик на внешнее поле: модуль упругости образцов может изменяться на несколько порядков. Такой значительный магнитореологический эффект является одним из основных предметов для изучения в данной области. Изменения компонент динамического модуля сдвига на шесть порядков были достигнуты в работе [3]. Следует также отметить, что использование наполнителя, обладающего геометрической и магнитной анизотропией, значительно влияет на процесс реструктурирования наполнителя [34-36]. Анизотропные частицы участвуют не только в поступательном движении под действием магнитного поля, но также и во вращательном, деформируя матрицу вокруг себя.

Каждый год публикуется около сотни работ, посвящённых МАЭ. Большая часть этих работ является экспериментальной и направлена на синтез [1, 4, 23-26, 27-30] или изучение магнитореологического эффекта [3, 7, 11, 12, 37-43], т.е. изменений в вязкоупругих свойствах материала под действием внешнего магнитного поля. Электромагнитные [44-47] характеристики МАЭ также часто обсуждаются в публикуемых работах.

Область применения магнитоактивных полимерных композитов достаточно широка в силу возможности предсказуемым образом влиять на свойства этих материалов извне. Наличие магнитореологического эффекта позволяет использовать эти материалы в качестве рабочих элементов адаптивных демпфирующих устройств и вибрационных поглотителей [17, 48-50]. Изучение отклика материала на периодическую механическую нагрузку особенно важно

для использования МАЭ в качестве демпфирующих устройств. Управляемые упругие свойства МАЭ также натолкнули учёных на мысли об использовании их в качестве подложек для клеточных культур в биологии [51]. При использовании биосовместимых силиконовых матриц условия для клеток оказываются близки к естественным, а контролируемая упругость подложки позволяет влиять на адсорбцию клеток. Ещё одним важным применением магнитоэластиков на практике является их использование в качестве рабочих тел в уплотнителях или пломбах [4, 6, 22, 31, 32, 52, 53]. Работы показали, что МАЭ пригодны для уплотнения шероховатых поверхностей и что приложение даже слабого магнитного поля позволяет уменьшить утечку воздуха в таких системах на три порядка. Достаточно новой является идея использования магнитоактивных эластомеров для получения поверхностей с контролируемой шероховатостью. При включении магнитного поля выстраивающиеся в протяжённые агрегаты ферромагнитные частицы деформируют поверхность материала, создавая заметный рельеф. В работах [54-57] рассматривались возможные применения МАЭ в качестве покрытий с регулируемой смачиваемостью и оптическими свойствами.

1.3. Моделирование на масштабах частиц наполнителя

Несмотря на многочисленные исследования свойств магнитоактивных эластомеров, на текущий момент не существует единообразного и последовательного теоретического описания таких полимерных композитов. В области моделирования МАЭ существует три основных подхода: микроскопический, континуальный и подход динамического механического анализа.

Микроскопический подход заключается в моделировании системы частиц, из которых состоит материал. Затем из рассматриваемого движения частиц выводятся общие закономерности и свойства материала при помощи расчёта

интегральных характеристик, таких как модуль упругости материала. Обычно рассмотрение ведётся в приближении равномерной сетки частиц наполнителя, с точки зрения магнетизма представляющих собой диполи [58-63]. Использование дипольного приближения для магнитного взаимодействия, однако, приводит к значительным ошибкам при малых межчастичных расстояниях, и именно такой случай реализуется в МАЭ с высокой объёмной долей наполнителя (более 20% по объёму), где среднее расстояние между ферромагнитными частицами является величиной порядка размеров самих частиц или же меньше этих размеров. В связи с этим для описания парного межчастичного взаимодействия была также предложена модель с более сложным интерполяционным потенциалом, полученным в мультипольном приближении [64]. При изучении свойств МАЭ полимер крайне редко рассматривается на микроскопическом уровне, то есть непосредственно как цепь или сетка из мономерных звеньев. Это связано как со сложностью теоретического изучения системы при такой детализации изучаемых объектов, так и с относительными характерными размерами структурных единиц полимера и частиц наполнителя - в большинстве моделируемых случаях рассматриваются ферромагнитные частицы, характерный размер (диаметр) которых значительно превышает среднее расстояние между сшивками полимерной сетки. Достаточно распространённым является использование ферромагнитных частиц микронного размера. Полимерная сетка при этом представляется в виде сплошной механической среды (такое приближение называется мезоскопическим), упругие свойства которой определяются линейными или нелинейными энергетическими потенциалами. В микроскопическом подходе обычно используют метод молекулярной динамики [57] или же рассматривают репрезентативный элемент магнитоактивного эластомера [65]. В работе [58] динамический отклик магнитоактивного эластомера при различных магнитных полях описывается с помощью крупнозернистой модели кубической решётки, в узлы которой помещаются частицы (магнитные диполи), связанные между собой упругими пружинами

(рисунок 3). Модель строится в приближении равномерного изотропного распределения частиц в полимерной матрице, а также в приближении достаточно слабых магнитных полей, не приводящих к перестройке наполнителя в цепочечные структуры. Уравнения движения частиц наполнителя записаны в форме уравнений Ланжевена и линеаризованы относительно малых смещений частиц из положения равновесия. Получен спектр релаксации кубической решётки и выражения для динамических модулей материала в такой модели при различной взаимной ориентации магнитного поля и сдвиговой деформации. Продемонстрирована квадратичная форма зависимости динамических модулей от величины магнитного поля при малых полях. В работе [59] изучены цепочки магнитоактивных частиц и эффекты, оказываемые ими на окружающую упругую среду при наличии магнитного поля. В модели предполагается, что модуль сдвига материала представляет собой суперпозицию модуля в нулевом магнитном поле и индуцированного магнитным полем дополнительного модуля. При помощи рассмотрения парного взаимодействия сферических частиц магнитного наполнителя с сосредоточенными в их центрах магнитными диполями при их смещении относительно друг друга, вызываемом сдвиговой деформацией образца, выводится выражение для дополнительного модуля в приближении малых деформаций. В модели также рассмотрена проблема неравномерного намагничивания частиц: влияние создаваемого частицами поля на намагниченность соседей характеризуется средней намагниченностью частиц. При этом учитывается отношение размера зоны намагниченности насыщения в частицах к общим размерам частиц, что приводит к нетривиальной зависимости дополнительного модуля сдвига от магнитного поля. Сделан вывод о том, что индуцированный магнитным полем модуль сдвига квадратично зависит от средней намагниченности частиц наполнителя. В работе [60] рассмотрено обобщение подобного подхода на случай взаимодействующих между собой цепочечных структур магнитного наполнителя с диполь-дипольным взаимодействием и проведены расчёты энергии взаимодействия и

индуцированного магнитным полем модуля сдвига для примитивной и объёмно-центрированной решёток частиц наполнителя. В работе [64] рассмотрена проблема использования дипольного приближения для магнитного взаимодействия частиц наполнителя в магнитоактивных эластомерах. Для создания более точной теоретической модели процессов, происходящих в МАЭ, было изучено взаимодействие двух сферических частиц с линейным законом намагничивания. При помощи аппроксимации мультипольного разложения был получен эффективный потенциал взаимодействия для малых межчастичных расстояний, а также результирующая сила магнитного взаимодействия. Для нахождения положения равновесия двухчастичной системы был использован энергетический метод с энергией упругости, вычисленной из модели Муни-Ривлина. Было продемонстрировано наличие гистерезиса равновесного межчастичного расстояния при циклическом изменении внешнего магнитного поля. Подобный подход был использован и в работе [66], где полимерная среда моделировалась как классическая среда Кельвина-Фойта. В работе [67] были получены выражения для модуля Юнга и модуля сдвига образца МАЭ с изотропной кубической решёткой из частиц наполнителя при использовании модели линейной упругости, диполь-дипольного приближения и модели намагничивания Фрёлиха-Кеннели. В работах [68, 69] разработан теоретический подход, согласно которому возникающее в МАЭ магнитное поле может быть представлено как комбинация локального поля, определяемого геометрическим распределением частиц вблизи выбранной частицы, и макроскопического поля, определяемого интегральными характеристиками образца и его формой (рисунок 4). С использованием модели линейно намагничиваемых диполей для образца МАЭ в форме эллипсоида с содержанием магнитного наполнителя не более 20% по объёму была рассчитана функция намагниченности. В приближении линейной упругости также получена энергия эллипсоидального образца МАЭ. Модификация модели с использованием теории среднего поля была предложена в работе [70]. В работе [71] в рамках этого подхода было учтено влияние исходного

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Наджарьян Тимур Артемович, 2020 год

Список литературы

1. Chertovich A.V., Stepanov G.V., Kramarenko E.Yu., Khokhlov A.R. New composite elastomers with giant magnetic response // Macromol. Mater. Eng. — 2010. — Vol. 295, no. 4. — P. 336-341.

2. Sorokin V.V., Stepanov G.V., Shamonin M., Monkman G.J., Khokhlov A.R., Kramarenko E.Yu. Hysteresis of the viscoelastic properties and the normal force in magnetically and mechanically soft magnetoactive elastomers: effects of filler composition, strain amplitude and magnetic field // Polymer. — 2015. — Vol. 76. — P. 191-202.

3. Stoll A., Mayer M., Monkman G.J., Shamonin M. Evaluation of highly compliant magneto-active elastomers with colossal magnetorheological response // J. Appl.

Polym. Sci. — 2014. — Vol. 131, no. 2. — P. 39793.

4. Abramchuk S.S., Kramarenko E.Yu., Stepanov G.V., Nikitin L.V., Filipcsei G. Novel highly elastic magnetic materials for dampers and seals: part I. preparation and characterization of the elastic materials // Polym. Adv. Technol. — 2007. — Vol. 18, no. 11. — P. 883-890.

5. Coquelle E., Bossis G.J. Magnetostriction and piezoresistivity in elastomers filled with magnetic particles // Adv. Sci. — 2005. — Vol. 17. — P. 132.

6. Stepanov G.V., Chertovich A.V., Kramarenko E.Yu. Magnetorheological and deformation properties of magnetically controlled elastomer with hard magnetic filler // J. Magn. Magn. Mater. — 2012. — Vol. 324. — P. 3448-3451.

7. Abramchuk S.S., Grishin D.A., Kramarenko E.Yu., Stepanov G.V., Khokhlov A.R. Effect of a homogeneous magnetic field on the mechanical behavior of soft magnetic elastomers under compression // Polym. Sci. Ser. A. — 2006. — Vol. 48, no. 2. — P. 138-145.

8. Krautz M., Werner D., Schrödner M., Funk A., Jantz A., Popp J., Eckert J., Waske A. Hysteretic behavior of soft magnetic elastomer composites // J. Magn. Magn. Mater. — 2017. — Vol. 426. — P. 60-63.

9. Zhang Y., Fang F., Huang W., Chen Y., Qi S., Yu M. Dynamic mechanical hysteresis of magnetorheological elastomers subjected to the cyclic loading and periodic magnetic field // Front. Mater. — 2019. — Vol. 6. — P. 292.

10. Sorokin V.V., Ecker E., Stepanov G.V., Shamonin M., Monkman G.J., Kramarenko E.Y., Khokhlov A.R. Experimental study of the magnetic field enhanced Payne effect in magnetorheological elastomers // Soft Matter. — 2014. — Vol. 10. — P. 8765-8776.

11. Stepanov G.V., Abramchuk S.S., Grishin D.A., Nikitin L.V., Kramarenko E.Yu., Khokhlov A.R. Effect of a homogeneous magnetic field on the viscoelastic behavior of magnetic elastomers // Polymer. — 2007. Vol. 48, no. 2. — P. 488495.

12. Bose H., Roder R. Magnetorheological elastomers with high variability of their

mechanical properties // J. Phys. Conf. Ser. — 2009. — Vol. 149, no 1. — P. 012090.

13. Shamonin M., Kramarenko E. Yu. Highly responsive magnetoactive elastomers // Novel Magnetic Nanostructures. Unique Properties and Applications. — Micro and Nano Technologies Series. — Elsevier Inc, 2018. — P. 221-245.

14. Kramarenko E. Yu., Stepanov G. V., Khokhlov A. R. Magnetically active silicone elastomers: twenty years of development // ИНЭОС OPEN. — 2019. — Vol. 2, no. 6. — P. 178-184.

15. Filipcsei G., Csetneki I., Szilgyi A., Zrinyi M. Magnetic field-responsive smart polymer composites // Adv. Polym. Sci. — 2007. — Vol. 206. — P. 137-189.

16. Thevenot J., Oliveira H., Sandre O., Lecommandoux S. Magnetic responsive polymer composite materials // Chem. Soc. Rev. — 2013. — Vol. 42. — P. 70997116.

17. Li Y., Li J., Li W., Du H. A state-of-the-art review on magnetorheological elastomer devices // Smart Mater. Struct. — 2014. — Vol. 23. — P. 123001.

18. Ubaidillah, Sutrisno J., Purwanto A., Mazlan S.A. Recent progress on magnetorheological solids: materials, fabrication, testing, and applications // Adv. Eng. Mater. — 2015. — Vol. 17. — P. 563-597.

19. Menzel A.M. Tuned, driven, and active soft matter // Phys. Rep. — 2015. — Vol. 554. — P. 1-45.

20. Odenbach S. Microstructure and rheology of magnetic hybrid materials // Arch. Appl. Mech. — 2016. — Vol. 86. — P. 269-279.

21. Lopez-Lopez M.T., Duran J.D.G., Iskakova L.Y., Zubarev A.Y. Mechanics of magnetopolymer composites: a review // J. Nanofluids. — 2016. — Vol. 5. — P. 479-495.

22. Abramchuk S.S., Kramarenko E.Yu., Grishin D.A., Stepanov G.V., Nikitin L.V., Filipcsei G., Zrinyi M. Novel highly elastic magnetic materials for dampers and seals: II. Material behaviour in a magnetic field // Polym. Adv. Technol. — 2007. — Vol. 18. — P. 513-518.

23. Mitsumata T., Honda A., Kanazawa H., Kawai M. Magnetically tunable elasticity for magnetic hydrogels consisting of carrageenan and carbonyl iron particles // J. Phys. Chem. B. — 2012. — Vol. 116. — P. 12341-12348.

24. Mitsumata T., Ohori S. Magnetic polyurethane elastomers with wide range modulation of elasticity // Polym. Chem. — 2011. — Vol. 2. — P. 1063-1067.

25. An H., Picken S.J., Mendes E. Enhanced hardening of soft self-assembled copolymer gels under homogeneous magnetic fields // Soft Matter. — 2010. — Vol. 6. — P. 4497-4503.

26. Kramarenko E.Yu., Chertovich A.V., Stepanov G.V., Semisalova A.S., Makarova L.A., Perov N.S., Khokhlov A.R. Magnetic and viscoelastic response of elastomers with hard magnetic filler // Smart Mater. Struct. — 2015. — Vol. 24. — P.035002.

27. Nguyen V.Q., Ahmed A.S., Ramanujan R.V. Morphing soft magnetic composites // Adv. Mater. — 2012. — Vol. 24. — P. 4041-4054.

28. Aloui S., Klüppel M. Magneto-rheological response of elastomer composites with hybrid-magnetic fillers // Smart Mater. Struct. — 2014. — Vol. 24. — P. 025016.

29. von Lockette P.R., Lofland S.E., Koo J-H., Kadlowec J., Dermond M. Dynamic characterization of bimodal particle mixtures in silicone rubber magnetorheological materials // Polym. Test. — 2008. — Vol. 27. — P. 931-935.

30. Jin Q., Xu Y., Di Y., Fan H. Influence of the particle size on the rheology of magnetorheological elastomer // Mater. Sci. Forum. — 2015. — Vol. 809-810. — P. 757-763.

31. Nikitin L.V., Mironova L.S., Kornev K.G., Stepanov G.V. The magnetic, elastic, structural and magnetodeformational properties of magnetoelastics // Polym. Sci. A. — 2004. — Vol. 46. — P. 301-309.

32. Nikitin L.V., Stepanov G.V., Mironova L.S., Gorbunov A.I. Magnetodeformational effect and effect of shape memory in magnetoelastics // J. Magn. Magn. Mater. — 2004. — Vol. 272-276. — P. 2072-2073.

33. Molchanov V.S., Stepanov G.V., Vasiliev V.G., Kramarenko E.Yu., Khokhlov

A.R., Xu Z-D., Guo Y-Q. Viscoelastic properties of magnetorheological elastomers for damping applications // Macromol. Mater. Eng. — 2014. — Vol. 299. — P. 1116-1125.

34. Roeder L., Bender P., Tschope A., Birringer R., Schmidt A.M. Shear modulus determination in model hydrogels by means of elongated magnetic nanoprobes // J. Polym. Sci. B: Polym. Phys. — 2012. — Vol. 50. — P. 1772.

35. Bender P., Gunther A., Tschope A., Birringer R. Synthesis and characterization of uniaxial ferrogels with Ni nanorods as magnetic phase // J. Magn. Magn. Mater. — 2011. — Vol. 323. — P. 2055.

36. Kalita V., Dzhezherya Yu.I., Levchenko G. The loss of mechanical stability and the critical magnetization of a ferromagnetic particle in an elastomer // Soft Matter. — 2019. — Vol. 15. — P. 5987.

37. Bellan C., Bossis G. Field dependence of viscoelastic properties of MR elastomers // Int. J. Mod. Phys. B. — 2002. — Vol. 16. — P. 2447.

38. Lokander M., Stenberg B. Performance of isotropic magnetorheological rubber materials // Polym. Test. — 2003. — Vol. 22. — P. 245.

39. Bellan C., Bossis G. Field dependence of viscoelastic properties of MR elastomers // Int. J. Mod. Phys. B. — 2002. — Vol. 16, no. 17-18. — P. 2447-2453.

40. Varga Z., Filipcsei G., Zrinyi M. Magnetic field sensitive functional elastomers with tuneable elastic modulus // Polymer. — 2006. — Vol. 47, no. 1. — P. 227233.

41. Li W.H., Zhou Y., Tian T.F. Viscoelastic properties of MR elastomers under harmonic loading // Rheol. Acta. — 2010. — Vol. 49, no. 7. — P. 733-740.

42. Xu Y., Gong X., Xuan S., Zhang W., Fan Y. A high-performance magnetorheological material: preparation, characterization and magneticmechanic coupling properties // Soft Matter. — 2011. — Vol. 7, no. 11. — P. 5246-5254.

43. Chiba N., Yamamoto K., Hojo T., Kawai M., Mitsumata T. Wide-range modulation of dynamic modulus and loss tangent for magnetic elastomers containing submilimeter magnetic particles // Chem. Lett. — 2013. — Vol. 42, no.

3. — P. 253-254.

44. Semisalova A.S., Perov N.S., Stepanov G.V., Kramarenko E.Yu., Khokhlov A.R. Strong magnetodielectric effects in magnetorheological elastomers // Soft Matter.

— 2013. — Vol. 9, no. 47. — P. 11318-11324.

45. Stepanov G.V., Semerenko D.A., Bakhtiiarov A.V., Storozhenko P.A. Magnetoresistive effect in magnetoactive elastomers // J. Supercond. Nov. Magnet. — 2013. — Vol. 26, no. 4. — P. 1055-1059.

46. Bica I. The influence of the magnetic field on the elastic properties of anisotropic magnetorheological elastomers // J. Ind. Eng. Chem. — 2012 Vol. 18, no. 5. — P. 1666-1669.

47. Bica I., Liu Y.D., Choi H.J. Magnetic field intensity effect on plane electric capacitor characteristics and viscoelasticity of magnetorheological elastomer // Colloid Polym. Sci. — 2012. — Vol. 290, no. 12. — P. 1115-1122.

48. Elie L.D., Ginder J.M., Stewart W.M., Nichols M.E. // Patent EP. — 1997. — 0784163.

49. Kramarenko E.Yu., Khokhlov A.R., Stepanov G.V., Vikulenkov A.V., Selkov D.A., Uspenski E.S., Podvolotski A.G., Chertovich A.V. // Patent RF. — 2011. — 2411404.

50. Mikhailov V.P., Borin D.Y., Stepanov G.V., Kramarenko E.Yu., Zobov I.K. // Patent RF. — 2010. — 2404380.

51. Mayer M., Rabindranath R., Börner J., Hörner E., Bentz A., Salgado J., Han H., Böse H., Probst J., Shamonin M., Monkman G.J., Schlunck G. Ultra-Soft PDMS-Based Magnetoactive Elastomers as Dynamic Cell Culture Substrata // PLoS ONE. — 2013. — Vol. 8, no. 10. — P. 76196.

52. Zrinyi M., Barsi L., Buki A. Deformation of ferrogels induced by nonuniform magnetic fields // J. Chem. Phys. — 1996. — Vol. 104. — P. 8750-8756.

53. Stepanov G.V., Kramarenko E.Yu., Semerenko D.A. Magnetodeformational effect of the magnetoactive elastomers and its possible applications // J. Phys.: Conf. Ser.

— 2013. — Vol. 412. — P. 012031.

54. Chen S., Dong S., Wang X., Li W. Magneto-induced surface morphologies in magnetorheological elastomer films: an analytical study // Smart Mater. Struct. — 2019. — Vol. 28, no. 4. — P. 045016.

55. Li R., Li X., Yang P., Liu J., Chen S. The field-dependent surface roughness of magnetorheological elastomer: numerical simulation and experimental verification // Smart Mater. Struct. — 2019. — Vol. 28, no. 8. — P. 085018.

56. Glavan G., Kettl W., Brunhuber A., Shamonin M., Drevensek-Olenik I. Effect of Material Composition on Tunable Surface Roughness of Magnetoactive Elastomers // Polymers. — 2019. — Vol. 11, no. 4. — P. 594.

57. Sanchez P.A., Minina E.S., Kantorovich S.S., Kramarenko E.Yu. Surface relief of magnetoactive elastomeric films in a homogeneous magnetic field: molecular dynamics simulations // Soft Matter. — 2019. — Vol. 15. — P. 175-189.

58. Ivaneyko D., Toshchevikov V.P., Saphiannikova M. Dynamic moduli of magnetosensitive elastomers: a coarse-grained network model // Soft Matter. — 2015. — Vol. 11, no. 38. — P. 7627-7638.

59. Jolly M.R., Carlson J.D., Munoz B.C. A model of the behaviour of magnetorheological materials // Smart Mater. Struct. — 1996. — Vol. 5. — P. 607-614.

60. Zhu Y., Gong X., Dang H., Zhang X., Zhang P. Numerical Analysis on Magneticinduced Shear Modulus of Magnetorheological Elastomers Based on Multichain Model // Chin. J. Chem. Phys. — 2006. — Vol. 19, no. 2. — P. 126130.

61. Yin H., Sun L., Chen J. Micromechanics-based hyperelastic constitutive modeling of magnetostrictive particle-filled elastomers // Mech. Mater. — 2002. — Vol. 34, no. 8. — P. 505-516.

62. Zhang W., Gong X., Chen L. Gaussian distribution model of anisotropic magnetorheological elastomers // J. Magn. Magn. Mater. — 2010 Vol. 322, no. 23. — P. 3797-3801.

63. Yang J., Gong X., Deng H., Qin L., Xuan S. Investigation on the mechanism of

damping behavior of magnetorheological elastomers // Smart Mater. Struct. — 2012. — Vol. 21, no. 12. — P. 125015.

64. Biller A.M., Stolbov O.V., Raikher Yu.L. Modeling of particle interactions in magnetorheological elastomers // J. Appl. Phys. — 2014. — Vol. 116. — P. 114904.

65. Bayat A. and Gordaninejad F. Characteristic Volume Element for Randomly Particulate Magnetoactive Composites // ASME. J. Eng. Mater. Technol. — 2018 Vol. 140, no. 1. — P. 011003.

66. Biller A.M., Stolbov O.V., Raikher Yu.L. Two-particle element of a magnetorheological elastomer under a cyclic magnetic field // J. Phys.: Conf. Ser. — 2018. — Vol. 994. — P. 012001-012009.

67. Ivaneyko D., Toshchevikov V.P., Saphiannikova M., Heinrich G. Magnetosensitive elastomers in a homogeneous magnetic field: a regular rectangular lattice model // Macromol. Theory Simul. — 2011. — Vol. 20. — P. 411-424.

68. Ivaneyko D., Toshchevikov V.P., Saphiannikova M., Heinrich G. Mechanical properties of magneto-sensitive elastomers: unification of the continuum mechanics and microscopic theoretical approaches // Soft Matter. — 2014. — Vol. 10. — P. 2213-2225.

69. Romeis D., Metsch P., Kastner M., Saphiannikova M. Theoretical models for magneto-sensitive elastomers: A comparison between continuum and dipole approaches // Physical Review E. — 2017. — Vol. 95. — P. 042501-042512.

70. Romeis D., Toshchevikov V.P., Saphiannikova M. Elongated Micro-Structures in Magneto-Sensitive Elastomers: A Dipolar Mean Field Model // Soft Matter. — 2016. — Vol. 12. — P. 9364-9376.

71. Romeis D., Toshchevikov V.P., Saphiannikova M. Effects of local rearrangement of magnetic particles on deformation in magneto-sensitive elastomers // Soft Matter. — 2019. — Vol. 15. — P. 3552-3564.

72. Stolbov O.V., Raikher Yu.L. Mesostructural origin of the field-induced pseudo-plasticity effect in a soft magnetic elastomer // Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng. —

2019. — Vol. 581. — P. 012003-012007.

73. Kankanala S.V., Triantafyllidis N. On finitely strained magnetorheological elastomers // J. Mech. Phys. Solids. — 2004. — Vol. 52, no. 12. — P. 2869-2908.

74. Castaneda P.P., Galipeau E. Homogenization-based constitutive models for magnetorheological elastomers at finite strain // J. Mech. Phys. Solids. — 2011.

— Vol. 59, no. 2. — P. 194-215.

75. Brigadnov I.A., Dorfmann A. Mathematical modeling of magneto-sensitive elastomers // Int. J. Solids Struct. — 2003. — Vol. 40, no. 18. — P. 4659-4674.

76. Dorfmann A., Ogden R.W. Nonlinear magnetoelastic deformations of elastomers // Acta Mech. — 2004. — Vol. 167. — P. 13-28.

77. Danas K., Kankanala S.V., Triantafyllidis N. Experiments and modeling of iron-particle-filled magnetorheological elastomers // J. Mech. Phys. Solids. — 2012. — Vol. 60, no. 1. — P. 120-138.

78. Dorfmann A., Ogden R.W. Magnetoelastic modelling of elastomers // Eur. J. Mech. - A/Solids. — 2003. — Vol. 22, no. 4. — P. 497-507.

79. Galipeau E., Castaneda P.P. A finite-strain constitutive model for magnetorheological elastomers: Magnetic torques and fiber rotations // J. Mech. Phys. Solids. — 2013. — Vol. 61, no. 4. — P. 1065-1090.

80. Agirre-Olabide I., Lion A., Elejabarrieta M.J. A new three-dimensional magneto-viscoelastic model for isotropic magnetorheological elastomers // Smart Mater. Struct. — 2017. — Vol. 26. — P. 035021.

81. Stolbov O.V., Raikher Yu.L., Stepanov G.V., Chertovich A.V., Kramarenko E.Yu., Khokhlov A.R. Low frequency rheology of magnetically controlled elastomers with isotropic structure // Polym. Sci. Ser. A. — 2010. — Vol. 52, no. 12. — P. 1344-1354.

82. Spencer Jr. B.F., Dyke S.J., Sain M.K., Carlson J.D. Phenomenological model of a magnetorheological damper // ASCE J. Eng. Mech. — 1996. — Vol. 123, no. 3.

— P. 1-9.

83. Chen L., Jerrams S. A rheological model of the dynamic behavior of

magnetorheological elastomers // J. Appl. Phys. — 2011. — Vol. 110, no. 1. — P. 013513.

84. Liouville J. Memoire sur l'integration des equations differentielles a indices fractionnaires // Ibid. — 1837. — T. 15, na. 55. — P. 58-84.

85. Holmgren Hj. Om differntialkalkylen med indices af hvad natur som helst // Kongl. Svenska Vetenskaps-Akad. Handl. Stockholm. — 1865-1866. — Bd. 5, n. 11. — S. 1-83.

86. Riemann B. Versuch einer allgemeinen Auffassung der Integration und Differentiation // Gesammelte Mathematische Werke. Leipzig: Teubner. — 1876.

— S. 341-344.

87. Grunwald A.K. Uber "begrenzte" Derivationen und deren Anwendung // Z. angew. Math. und Phys. — 1867. — Bd. 12. — S. 441-480.

88. Летников А.В. Теория дифференцирования с произвольным указателем // Мат. сб. — 1868. — Т. 3. — С. 1-68.

89. Ross B. A brief history and exposition of the fundamental theory of fractional calculus // From «Fractional Calculus and its Applications». Springer Lecture Notes in Mathematics. — 1975. — Vol. 57. — P. 1-36.

90. Gnedenko B.V., Kolmogorov A.N. Limit distributions for sums of independent random variables // Cambridge, Addison-Wesley. — 1954.

91. Caputo M. Linear model of dissipation whose Q is almost frequency independent

- II // Geophys. J. Int. — 1967. — Vol. 13, no. 5. — P. 529-539.

92. Nutting P.G. A new general law of deformation // J. Franklin Inst. — 1921. — Vol. 191, no. 5. — P. 679-685.

93. Gemant A. A Method of Analyzing Experimental Results Obtained from Elasto-Viscous Bodies // Physics 7. — 1936. — P. 311-317.

94. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твёрдых тел // Москва, Наука. — 1977.

95. Schiessel H., Friedrich C., Blumen A. Applications to problems in polymer physics and rheology // From «Applications of fractional calculus in physics»

Chapter VII. — World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. —2000. — P. 331-376.

96. Chen W., Holm S. Fractional Laplacian time-space models for linear and nonlinear lossy media exhibiting arbitrary frequency power-law dependency // J. Acoust. Soc. Am. — 2004. — Vol. 115. — P. 1424.

97. Nigmatullin R.R. The realization of the generalized transfer equation in a medium with fractal geometry // Phys. Stat. Sol. — 1986. — Vol. 133. — P. 425.

98. Slonimsky G.L. Laws of mechanical relaxation processes in polymers // J. Polym. Sci. C. — 1967. — Vol. 16. — P. 1667-1672.

99. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения // Минск, издательство «Наука и техника». — 1987.

100. Alekseeva E.I., Nanush'yan S.R., Ruskol I.Y., Sokolyuk E.V. Silicone compounds and sealants and their application in various branches of industry // Polym. Sci. Ser. D. — 2010. — Vol. 3, no. 4. — P. 244-248.

101. Podlubny I. Fractional Differential Equations // Academic Press. — Mathematics in Science and Engineering. — 1999. — Vol. 198.

102. Chen D.X., Pardo E., Sanchez A. Demagnetizing factors of rectangular prisms and ellipsoids // IEEE Trans. Magn. — 2002. — Vol. 38, no. 4. — P. 1742-1752.

103. Lee S., Yim C., Kim W., Jeon S. Magnetorheological elastomer films with tunable wetting and adhesion properties // ACS Appl. Mater. Interfaces. — 2015. — Vol. 7. — P. 19853-19856.

104. Chen S., Dong S., Wang X., Li W. Magneto-induced surface morphologies in magnetorheological elastomer films: an analytical study // Smart Mater. Struct. — 2019. — Vol. 28. — P. 045016-045037.

105. Li R., Li X., Yang P., Liu J., Chen S. The field-dependent surface roughness of magnetorheological elastomer: numerical simulation and experimental verification // Smart Mater. Struct. — 2019. — Vol. 28. — P. 085018-085030.

106. Sanchez P.A., Minina E.S., Kantorovich S.S., Kramarenko E.Yu. Surface relief of magnetoactive elastomeric films in a homogeneous magnetic field: molecular

dynamics simulations // Soft Matter. — 2019. — Vol. 15. — P. 175-189.

107. Ogden R.W. Non-Linear Elastic Deformations // Courier Corporation, Dover Civil and Mechanical Engineering. — 2013.

108. Rivlin R.S., Saunders D.W. Large elastic deformations of isotropic materials VII. Experiments on the deformation of rubber // Philos. Trans. R. Soc. A. — 1951. — Vol. 243, no. 865. — P. 251-288.

109. Mooney M. A theory of large elastic deformation // J. Appl. Phys. — 1940. — Vol. 11, no. 9. — P. 582-592.

110. Rivlin R.S. Large elastic deformations of isotropic materials. IV. Further developments of the general theory // Philos. Trans. R. Soc. A. — 1948. — Vol. 241, no. 835. — P. 379-397.

111. Stoner E.C., Wohlfarth E.P. A mechanism of magnetic hysteresis in heterogeneous alloys // Phil. Trans. A. — 1948. — Vol. 240. — P. 599.