Теория нестационарного диффузиофореза крупных твердых сферических частиц тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Ефремов Владимир Евгеньевич

• Ефремов Владимир Евгеньевич
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Ефремов Владимир Евгеньевич

Введение

Глава 1. Обзор литературы

Глава 2. Гидродинамическая и диффузионная задачи в теории нестационарного диффузиофореза крупной сферической частицы

2.1 Постановка задачи

2.2 Гидродинамическая задача

2.3 Диффузионная задача

2.4 Анализ полученной в пространстве изображений формулы для определения нестационарной составляющей диффузиофоретической

скорости

Глава 3. Нестационарная составляющая диффузиофоретической скорости крупной сферической частицы

3.1 Нахождение модуля нестационарной составляющей диффузиофоретической скорости частицы при общем виде градиента концентрации

3.2 Определение модуля нестационарной составляющей диффузиофоретической скорости сферической частицы в конкретном случае диффузиофореза

3.3 Вычисление модуля нестационарной составляющей диффузиофоретической скорости сферической частицы при больших и

малых значениях времени

Глава 4. Анализ изменения модуля нестационарной составляющей диффузиофоретической скорости частицы при больших и малых значениях

времени

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теория нестационарного диффузиофореза крупных твердых сферических частиц»

Введение

Актуальность темы Большое внимание исследователей в различных областях физики атмосферы, техники и фундаментальной науки привлекают дисперсные системы, т.е. системы, представляющие собой механическую смесь частиц дисперсной фазы со средой-носителем. Это обстоятельство не случайно, так как круг явлений, в которых решающую роль играют процессы, происходящие с дисперсными системами, довольно широк (формирование аэрозольной компоненты земной атмосферы, образование облаков и выпадение осадков, перенос в атмосфере различного рода промышленных и радиоактивных загрязнений, миграция дефектов в твердых телах, двухфазные течения в лабораторных и промышленных установках и другие).

Обычно дисперсные системы подразделяют, исходя из агрегатного состояния частиц дисперсной фазы и среды-носителя [1]. Ряд дисперсных систем имеют отдельные названия: эмульсии, аэрозоли, астрозоли, коллоиды. Особую роль среди дисперсных систем играют аэрозоли. Аэрозоли представляют из себя взвесь твердых или жидких частиц в газовой среде.

Для того чтобы успешно решать практические задачи, связанные с аэрозолями, необходимо построить надежные теоретические модели, адекватно описывающие физические явления в них. Данная диссертация посвящена построению теории нестационарного диффузиофоретического движения твердых крупных нелетучих аэрозольных частиц сферической формы в несжимаемой вязкой газовой среде.

Аэрозольные загрязнения представляют собой серьезную угрозу окружающей среде и здоровью людей. Поэтому задачи по защите от техногенных катастроф и оценке их последствий стоят очень остро. Для промышленных предприятий актуальны проблемы контроля за потенциально опасными объектами, а также вопросы анализа последствий возможных аварий. Поскольку

проблемы экологии и безопасности являются интернациональными, в решении перечисленных задач заинтересовано все международное сообщество. Осознание важности проблем, связанных с влиянием жизнедеятельности человека на атмосферу и гидросферу Земли является серьезным стимулом к изучению процессов, управляющих поведением дисперсных систем.

Следует заметить, что аэрозоли оказывают положительное влияние на многие природные объекты и технологические процессы (двухфазные течения, используемые в технологических процессах и установках, атмосферные осадки, дисперсные среды для нужд пищевой промышленности, медицины и сельского хозяйства).

При течении газовой смеси около твердой поверхности возможен эффект так называемого диффузионного скольжения [2]. Он проявляется, когда имеется тангенциальный к поверхности градиент концентраций компонентов смеси. Механизм диффузионного скольжения во многом подобен механизму теплового скольжения. Здесь при наличии тангенциального к поверхности градиента концентрации формируются неравновесные по скоростям функции распределения компонентов смеси

(-, V, ) = (-, V, )-Гг + Ф,, (У,). |

V а-)

(1)

г аС

/2 % )= /2° У2 ). ; + ф а 2 (у2 ). V2 -

V а- )

а-

где / (-, у ), ^ (-, у ) - функции распределения по скоростям молекул первого и второго вида; 0 (-, у ), /2 (-, у) - соответствующие локальные максвелловские функции распределения; С = п/(п + П); П, П - числа молекул первого и второго видов в единице объема газа; ФЛ(у), ф2(у) - решения Чепмена-Энскога [3] задачи о диффузии. Здесь мы считаем, что градиент концентрации направлен вдоль оси

Из-за наличия неравновесных добавок к максвелловским функциям распределения возникает нескомпенсированный поток импульса со стороны диффундирующего газа на стенку. В результате при неподвижной стенке газовая смесь как целое приходит в движение со среднемассовой скоростью

и = К^УС,

где О12 - коэффициент взаимной диффузии компонентов смеси; Кш -коэффициент диффузионного скольжения, УС - градиент концентрации. Один из результатов расчета коэффициента диффузионного скольжения для максвелловских молекул и диффузно-зеркальной модели их рассеяния поверхностью при близких значениях масс щ, диаметров и коэффициентов аккомодации е таков [4]:

Кт = 0,949 • (е - е2)_ 0,725 • _ 0,596. .

ОЬ 5 \12/5 , 5 7.7

щ + щ + а2

Из последней формулы видно, что направление скорости диффузионного скольжения сложным образом зависит от соотношения параметров компонентов смеси. Возможно движение как по градиенту, так и против градиента концентрации. Так как можно создать высокие градиенты концентрации компонентов смеси, величина скорости диффузионного скольжения может существенно превосходить скорость теплового скольжения. Диффузионное скольжение может вызывать диффузионный бароэффект, - разность давлений в сообщающихся сосудах, заполненных разными газами.

Диффузионное скольжение было открыто значительно позже вязкого и теплового скольжения и скачка температуры. В 1943 году в работе Крамерса и Кистемакера [5] было теоретически предсказано в рамках элементарного кинетического рассмотрения и затем экспериментально подтверждено наличие этого эффекта.

В настоящей работе рассматривается движение аэрозольной частицы, вызванное действием нестационарного градиента концентрации. Наличие

градиента концентрации говорит о том, что речь идет о нестационарном неравновесном процессе.

Диффузиофорез - это движение частиц в неоднородной по концентрации газовой смеси в отсутствие внешней силы. Он был теоретически предсказан и открыт значительно позже явления термофореза. Первоначально диффузиофорез был предсказан [6] для мелких частиц, размер которых меньше длины свободного пробега, а спустя несколько лет - для крупных частиц [7]. Эффект диффузиофореза во многом подобен эффекту термофореза. В случае мелких частиц движение в поле градиента концентрации связано с неравновесной природой функции распределения (1). Прямой подсчет потока импульса на частицу показывает, что при неравновесной функции распределения (1) он отличен от нуля. В результате частица приходит в движение, скорость которого определяется в первом приближении следующим выражением:

д/щ" (1 + ж1 /Я^-^Щ (1 + ле2 /8)

= —--—-. , v 2 ,_, 2/7—7 О У С,

Ь (1 + Ж 2/

О р С^/щ (1 + лб1 /8) + (1 - СХ/Щ(1 + те2 /8) 12 00

где У С - заданный градиент концентрации газовой смеси вдали от частицы; щ и

щ - массы молекул первого и второго компонентов; ех, е2 - коэффициенты

аккомодации импульса, р - плотность смеси. Более точное выражение для скорости диффузиофореза в пределе больших чисел Кнудсена приведено в [6].

В случае крупных частиц диффузиофорез связан с эффектом диффузионного скольжения. Решив задачу о диффузии в смеси при наличии непроницаемой сферической частицы, можно получить распределение концентрации в газе:

1 У С • г С = С + — С • г + - Я3 .-Ос—.

0 00 2 г3

В последней формуле Я - радиус частицы. Заметим, что расчеты проводятся в сферической системе координат (г,в,р) с началом в центре частицы.

Далее в решении задачи о диффузиофорезе используется условие, учитывающее эффект диффузионного скольжения:

дС

ив\ г =Я ' ^,2 л ~ г.-

кдв

Несложный расчет приводит к следующему выражению для скорости диффузиофореза крупных аэрозольных частиц:

ив =~Кш ' -V»С. Направление скорости диффузиофореза без знания конкретных значений параметров газовой смеси заранее предсказать нельзя.

Диффузиофорез можно использовать для очистки газа от взвешенных частиц. Для этого надо создать градиент концентрации, направленный поперек газового потока, что приведет к выносу частиц из потока за счет диффузиофоретической силы.

Теория нестационарного диффузиофореза все еще остается неразработанной, хотя в реальных условиях градиент концентрации зависит от времени.

Таким образом, построение теории нестационарного диффузиофореза аэрозольной частицы является весьма актуальной задачей.

Цель работы Теоретическое изучение нестационарного диффузиофореза твердых крупных нелетучих сферических аэрозольных частиц в несжимаемой вязкой газовой среде.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Решить задачу о движении твердой крупной сферической нелетучей частицы в несжимаемой вязкой газовой среде под действием нестационарного градиента концентрации, включающую в себя решение гидродинамической и диффузионной задач.

2. Определить модуль нестационарной составляющей диффузиофоретической скорости частицы при общем виде градиента концентрации.

3. Рассмотреть конкретный случай диффузиофореза, когда строго нестационарный градиент концентрации задан с помощью функции А •(, - е), где А и с - постоянные положительные величины, ? - время.

4. Провести расчет и анализ изменения модуля нестационарной составляющей диффузиофоретической скорости для конкретных частиц, взвешенных в различных газовых смесях при больших и малых значениях времени.

Научная новизна данной работы Построена теория нестационарного диффузиофореза твердой крупной нелетучей сферической аэрозольной частицы в несжимаемой вязкой газовой среде. Рассмотрен вопрос определения модуля нестационарной составляющей диффузиофоретической скорости частицы при общем виде градиента концентрации. Рассмотрен конкретный случай диффузиофореза, когда строго нестационарный градиент концентрации задан аналитическим выражением, таким, что с возрастанием времени этот градиент стремится к постоянному вектору. Получены формулы для вычисления модуля нестационарной составляющей диффузиофоретической скорости частицы и соответствующие приближенные формулы для больших и малых значений времени.

Теоретическая и практическая значимость данной работы Построенная теория нестационарного диффузиофореза может быть основой для исследования движения частиц аэрозоля в газовой вязкой среде под действием любого заданного нестационарного градиента концентрации.

Полученные приближенные формулы для расчета модуля нестационарной составляющей диффузиофоретической скорости позволяют получать численные значения для аэрозольных частиц, которые состоят из конкретных материалов, взвешенных в газовой смеси, состоящей из различных компонентов.

Положения, выносимые на защиту: 1. Решение задачи о движении твердой крупной сферической нелетучей частицы в несжимаемой вязкой газовой среде под действием нестационарного градиента

концентрации, которое включает в себя решение гидродинамической и диффузионной задач.

2. Нахождение модуля нестационарной составляющей диффузиофоретической скорости частицы при градиенте концентрации общего вида.

3. Определение модуля нестационарной составляющей диффузиофоретической скорости сферической частицы в конкретном случае диффузиофореза, когда строго нестационарный градиент концентрации задан с помощью функции А •(, - е с), где А и с - постоянные положительные величины и вычисление модуля нестационарной составляющей скорости диффузиофореза при малых и больших значениях времени.

4. Анализ изменения модуля нестационарной составляющей диффузиофоретической скорости частиц, взвешенных в различных газовых смесях при малых и больших значениях времени.

Достоверность полученных результатов обеспечена тем, что использованы математические методы и физические подходы, соответствующие природе явлений. Кроме того, достоверность результатов обеспечивается согласием построенной теории с экспериментальными данными.

Апробация результатов Результаты диссертации докладывались на заседаниях и научных конференциях кафедры математического анализа и геометрии, а также на ежегодных научных конференциях Московского государственного областного университета (2013 - 2014 гг.);

9-й Международной конференции «Современные научные достижения -2013» (Прага, 2013 г.);

IX Международной научно-практической конференции «Теория и практика современной науки» (Москва, 2013 г.);

XVII Международной конференции по методам аэрофизических исследований (Новосибирск, 2014 г.).

Результаты диссертационного исследования опубликованы в 14 работах. 5 статей опубликованы в изданиях из перечня ведущих рецензируемых изданий,

утвержденного ВАК, 1 статья опубликована в журнале, входящем в международную базу цитирования SCOPUS.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Глава 1. Обзор литературы

Вопросу исследования движения аэрозольных частиц посвящено большое количество работ отечественных и зарубежных авторов. Прежде всего, отметим книгу Н.А. Фукса [8]. В ней собран почти весь имеющийся на то время материал, относящийся к механике аэрозольных частиц. Отметим, также, работы [1, 9, 10], в которых рассматриваются прикладные аспекты механики аэрозолей.

За последние 20 лет было защищено довольно много диссертационных работ, связанных с изучением движения аэрозольных частиц, также были написаны и монографии [11 - 23].

Математический подход к решению задач, которые связаны с движением аэрозольных частиц, зависит от отношения средней длины свободного пробега молекул окружающей частицу газовой смеси X к радиусу этой частицы R, т.е. от числа Кнудсена (Kn). Таким образом, Kn = А/R. Если R >> X, то частицы называют крупными. Если 0,01 < Kn < 0,3, то частицы называют умеренно крупными. Если Kn ~ 1, то такие частицы называются частицами с промежуточными размерами. Наконец, если X >> R, то частицы называются мелкими [24].

Теория движения мелких аэрозольных частиц была предметом исследования многих авторов [6, 25 - 34], которые использовали методы кинетической теории разреженных, неоднородных по температуре и концентрации газов и бинарных смесей.

При рассмотрении крупных аэрозольных частиц можно применить гидродинамический подход с использованием уравнений гидродинамики для описания поведения газовой среды вокруг аэрозольной частицы. Также можно вводить эффекты теплового и диффузионного скольжения и скачков температуры и концентраций на поверхности раздела газ - частица [24, 35] и исследовать эффекты неоднородности [36] и сублимации [37, 38] крупных твердых частиц.

М.К. Кузьминым и Ю.И. Яламовым была впервые построена теория нестационарного термофореза крупной твердой нелетучей частицы сферической формы в вязкой газовой среде [39, 40]. При построении соответствующей теории диффузиофоретического движения частицы мы руководствовались подходом, изложенным в работе [21].

Продолжим обзор работ по движению аэрозольных частиц в неоднородных газовых средах, обращая внимание на работы, связанные с исследованием диффузиофоретического движения частиц.

Явлению диффузиофореза нелетучих частиц были посвящены экспериментальные работы [41 - 43]. В работе [44] скорость диффузиофореза крупных частиц находится из кинетических уравнений переноса газа через «аэрозольную перегородку», разделяющую два сосуда. В работе [45] из кинетических уравнений переноса газов через перегородку, состоящую из шаров, жестко зафиксированных в пространстве, выведена формула для скорости диффузиофореза крупных нелетучих аэрозольных частиц. Авторы использовали результаты кинетической теории Чепмена-Энскога с учетом бародиффузии. В работе [46] на основе решения газокинетических уравнений авторы вычисляют диффузионную силу и скорость диффузиофореза сферической частицы в бинарной смеси газов. Рассматриваются две схемы диффузиофореза: диффузия при постоянном давлении и диффузия одного компонента смеси через неподвижный другой. Задача решена интегрально-моментным методом при произвольных числах Кнудсена. Большой интерес вызывают работы Б.В. Дерягина и Ю.И. Яламова [31], Ю.И. Яламова и Б.А. Обухова [47 ,48], в которых применялся гидродинамический подход при построении теории диффузиофореза нелетучих частиц, находящихся в бинарных газовых смесях.

В работе [47] получена следующая формула для скорости диффузиофореза крупной нелетучей аэрозольной частицы:

пг

= ^2 + Я Па^)" V Ш1Ш2 А 2

(^1а24т1~ Я2^л/^ИП2^ 1+ ^ '

(1.1)

Л

где ^ - радиус частицы, А12 - коэффициент взаимной диффузии, ш1 и ш2 - массы молекул первого и второго вида, я и д2 - коэффициенты аккомодации, щ и щ -численные концентрации молекул первого и второго вида, р - плотность газовой среды, X - средняя длина свободного пробега молекул, величина ст при диффузном отражении молекул равна 1,13; (УС)ш - градиент концентрации первого компонента бинарной газовой смеси,

1 = Я +(2 - Я )

а

а =

а

ж112в

а

а =

а

= д2р++(2 - д2 )р

1 Ж(вхв12 + 0^ )

2

12

Р+=-± Р

п в

а п

в = £

в2 = £

22 п1&1 + Ща^

П2

С у/2' ш0

V 2ш2 у

22 П2а2 + П1а12

/ Л12'

тп

V 2ш1 у

в12 = §П2а12

Л12

2ш2 т

V ш0 У

в21 = £Щ1а12

А о Л12

2т

т

V ш0 у

8 ^2 _ а1 + а2

£ = 8(2*Г. а

т = т + т, п = щ + щ.

причем а и а - диаметры газовых молекул. Выражение (1.1) содержит зависимость от молекулярных параметров, которая не могла быть выявлена термодинамическим методом, не учитывающим малый массоперенос в слое Кнудсена.

В работе [48] при нахождении диффузиофоретической силы учтено влияние инерционных сил. Полученное авторами выражение для диффузиофоретической скорости частицы в точности совпадает с выражением для скорости

2

2

диффузиофореза частицы (1.1), которое было получено без учета влияния инерционных сил. Следовательно, инерционные силы оказывают влияние на диффузиофоретическую силу, но не оказывают влияния на скорость диффузиофореза.

Во второй главе диссертации [13] А.А. Юшканов рассматривает диффузиофорез умеренно крупных аэрозольных частиц в бинарной газовой смеси. Рассматривается сферическая умеренно крупная нелетучая частица радиуса R, находящаяся в бинарной газовой смеси, в которой имеется постоянный градиент концентрации компонентов. Вводится сферическая система координат с началом в центре частицы. Ось z направлена вдоль градиента концентрации. Предполагается, что относительный перепад концентрации компонентов газовой смеси на размерах частицы мал. Также мал и относительный перепад концентрации на длине свободного пробега молекул газовой смеси. Это означает, что число Рейнольдса мало.

На большом расстоянии от частицы имеют место асимптотические условия

u = \й Icos0,

Р = Ро,

т = т

«10 = «*о +1(^01\г С°50.

Здесь иш - скорость газа относительно частицы на бесконечности, иг и ив -компоненты скорости газа в сферических координатах, Р , т - невозмущенные значения давления и температуры газа, «10 - относительная концентрация первой

ГТ! *

компоненты газовой смеси, Т - температура газа, - невозмущенное значение относительной концентрации первого компонента смеси в начале координат. На поверхности частицы справедливы граничные условия

:Д2!|(Кв, + Кп • кв,+1 Кп • к

в

В$1

д_ дг

1 дп

10

V г2 дву

+ ■

д2п

10

дгдв

+

„ 1 дТ + Кт, —---+ Кп • к,

рТЯ дв

д Г М ^ дм

дг

в V г У /

+

дв

и = Кп • С

в

1 Я

дп10 дг

= Кп • СВ

V

К

дв

дп,

Л

с^в +

V

дТ дТ п 1

Ж--Ж — = КпрВ12 —

дг 1 дг Я

св - СВК

V_✓ V_✓ 7-, X V гт-1

д ВТ

дв

п

дв

дп

дв

п1п2 У V

д

с^ев + — дв

дп

дв

Т = Т.

1

В приведенных граничных условиях В12 - коэффициент диффузии, Кп - число Кнудсена, Кк,, - коэффициенты теплового и диффузионного скольжений, ц -вязкость газа, р - плотность газа, р - давление, ж и Ж - теплопроводности газа и частицы, Т - температура частицы, п - суммарная концентрация молекул, п и п2 - численные концентрации первой и второй компоненты газовой смеси. Коэффициенты С в и Св учитывают растекание в слое Кнудсена потоков массы и диффузии. Величина К^ учитывает зависимость коэффициента диффузионного скольжения от кривизны поверхности. Коэффициент Свч учитывает растекание

потока тепла в слое Кнудсена.

Скорость диффузиофореза частицы равна

Мп =-М = и* • В (Уп1П) .

В ад В 12 V 10 / ад -

и

(1 - КпСВ )(1 + 2КпКй)

+

+ Кп [к*ш - КВ, (1 + 2КпСВ) - СВ (1 + 6КпК,) + Кш

1Р 2

РТ Ж + 2Ж

Св -СВК

д

п

2 Л

п1п2 У

2

г

2

г

1

В третьей главе диссертационной работы [14] Еремчук Т.М. решает задачи о диффузиофоретическом движении умеренно крупных твердых сферических и цилиндрических частиц с учетом зависимости коэффициентов теплопроводности частиц от радиальных координат.

Рассматривается умеренно крупная твердая сферическая частица радиуса Я, находящаяся в двухкомпонентной газовой смеси с заданным на бесконечности градиентом концентрации первого компонента (УС )ш. Решение задачи проводится в сферической системе координат с началом в центре частицы. Направление оси 2 совпадает с направлением градиента концентрации первого компонента смеси. Распределение концентрации на больших расстояниях от поверхности частицы описывается выражением

С = С1(в+|(УС X\г ОС8в, где С = п\1п, п = п + П, П и П - числа молекул первого и второго компонентов газовой смеси в единице объема, г и в - сферические координаты. Автор использует следующие граничные условия:

V

Пг=Я

= С(с) KnDdivaC + С(Т) Кп У^divJ

Я

в^ 1

ят

в^ е

(1.2)

г=Я

V} = СКп • Я

в\ г =Я в

г-

д( V ^

+ 1

(С^) + С'в Кп дС1 + ) КпБ ^ + С?) КпБ

+ (С{т 0) + С'т Кп )

дг

Б дС Я дв

у дТ

е__е_

ЯТ дв

в V г J

+

1 дv

__г_

г дв

+

+

С(Я) Кп

д 2С дгдв

1 д 2Те

у---

е Т дгдв

д2С 1 дС

дгдв г дв

+

- С?)КпУ

т т

д 2Т 1 дТ

дгдв г дв

(1.3)

дС

дг

1 + К

1Т

Т дг

С(с)Кп - divC + СТ)Кп—divTT

, я в 1 v ЯТ '

в" е

(1.4)

- к-

дТ дТ

е + б—— кТС( )дС1

дг дг

' е д

дг

г =Я

= Т Сс)Кп к divвC - СТ)Кп к divв ТI .

е 9 ^ в 1 4 ^ в е' г=я ■

(1.5)

г=Я

г =Я

г=Я

Т - Т| = С(Т}КпЯ ^ + С^}КпЯТ дС1

е 1г=Я дг Т е дг

(1.6)

г =Я

= ¡V |соБв, vJ =-|V |втв, р| = р , (1.7)

г|г^ад I ад ' вг^-ад I ад ' 1г^ад ш ' у 7

С = С + |(УС,) |гС08в, Т| = Т . (1.8)

1| г^ад 1ад 1' ад е|г^ад еад V /

В формулах (1.2) - (1.8) В и к - коэффициенты взаимной диффузии и

теплопроводности, Кп = Л/Я, / = 2рпкТеУ2, р= пт1 + п2т2, т1 и т2 -

массы молекул компонентов внешней смеси, к - постоянная Больцмана, Кг -

термодиффузионное отношение, V = це/ре, це - динамическая вязкость газа, Т -

температура газа, Т - температура частицы, ^ - скорость центра инерции

внешней среды относительно центра частицы, р - давление,

д2 _ д шув = —- + аев—, в дв2 дв

О,], Ст', С - коэффициенты диффузионного, теплового и изотермического скольжений, СТ и С'т - поправки на кривизну поверхности, С^) и С{тв) -коэффициенты барнеттовского скольжения, С^) и С{ТЯ) - коэффициенты, связанные с неоднородностью градиентов относительных концентраций газообразных компонентов и температуры, С() и С{тп) - коэффициенты скачка температуры, С(с) и С), С() и С(), С(с) и С(Т) - соответственно

газокинетические коэффициенты потоков диффузии, тепла, а также среднемассового потока, растекающихся в слое Кнудсена, С(к) = В • к • п • Кг/к • С • С2 , е - коэффициент теплопроводности частицы.

Т.М. Еремчук приходит к следующей формуле для скорости диффузиофореза умеренно крупной сферической частицы:

иВ

-/в • В •(УС1 )ад, (1.9)

где

/п = 7-1-л—,[С) + Кп((сп - СВ))- (1 + 6 • СКп)■ Сс) -

(1 + 2СвКп X1 - Сс)Кп: ^ : : ' У о ) г

- 2 • )+ С:))Кп)] + 2С)Кп - Кт С) + Кп((св - 3 • С^) - 2 • С*))- (1+6 • Со Кп )• с{: ))]+

+ ^ (1 - С с) Кп )[С0) + Кп((Ст + 3 • С{ТБ) - 2 • С?))-(1 + 6 • СвКп) • С((Т ^ й- Кп

причем

й = (Сс) - с(к)С с^ (*) - С;Сс]Кп£(*)

йу

VI (Л

V / J /

*)

(сГ(п)(г _ г(т).

й2 = 2[(1 - С[т)КпХ1 - Сс)Кп)- С) - Сс)КпХКГ - С?)Кп)](*)

7 ( * )

+ [(1 + 2СТ)КпX1 - Сс)Кп)- 2 • С{;)К - С( т)Кп)]£*)(

V V йу

Заметим, что в последних формулах

£

(* ) _ Л Л) йр *) йр

= £ у=1 , р *)=Р у^

У=1

йу йу

причем у = г/Я, а функция и является нерасходящимся при у = 0 частным безразмерным решением дифференциального уравнения

£у2 + й £у') ( 2£( = 0.

йу йу йу

В случае умеренно крупной цилиндрической частицы ее длина считается много большей ее радиуса, а решение задачи проводится в цилиндрической системе координат, ось 2 которой совпадает с осью вращения частицы.

Выражение для скорости диффузиофореза умеренно крупной цилиндрической частицы имеет вид (1.9), но в этом случае

/ =7-1-л—, [гс ) + Кп((СТ - С(пв)) -- (1 + 4 • СКп) • С{с) -

^ (1 + 2СвКп)(1 - С<с)КпВ в ) г

- С1с О ) + Ср ))Кп)]+ {(СГ) Кп - Кт )[С^°) + Кп ((СТ - 2 • С?) - ОЯ )}--(1 + 4 • Св Кп )• С{гс))] +

+ -^ (1 - С<с) Кп О) + Кп ((СТ + 2 • С?) - С(Я))- (1 + 4 • СвКп )• С^0]! ^ Кп

2

где

>)

й = (Сс) - С{:О с^ (*) - С;О с)Кпе^*) ^^

йу

Х\ (Л

V / J /

й = [(1 - СТ) Кп Х1 - Сс) Кп)- (Ок) - Сс) Кп \кг - С^Т) Кп к *)

7 ( * )

+ [(1 + СТ)КпX1 - С(с)Кп)- С;)(к - О Т)Кп)]е(*) (

у У йу

Здесь, так же как и в первом случае у = г/Я,

е

(*) _ ) „I й(*) йр

= е у=1 > ^ * "И у=1 >

йу йу

у=1

а функция и является нерасходящимся при у = 0 частным безразмерным решением дифференциального уравнения

, й ( й / \й( 2 тт + у~Т(еу- ер = °

, й2

еу

йу йу йу

Во второй главе диссертации [16] А.Л. Лебедева исследует влияние эффекта Дюфура на диффузиофорез крупной летучей аэрозольной частицы сферической формы.

В 1873 г. Дюфур экспериментально показал, что при диффузии одного газа в другой, который первоначально находился при той же самой температуре, устанавливается температурный градиент. Этот эффект называется диффузионным термоэффектом или эффектом Дюфура.

Постановка задачи осуществляется автором по аналогии с другими подобными работами. Справедливы следующие граничные условия при г ^ ад:

V

(е)

=исоБд, V

(е) =-| и Бтд, р( е) С, = с01е +|(УС1е Х|. г соБд.

(е) »

= Р0) , Т = ^

В последних формулах V *), v(e) - радиальная и касательная составляющие

скорости центра инерции внешней смеси относительно центра капли и, р

(е)

давление газовой смеси, р() - значение давления вне капли. Граничные условия на поверхности капли имеют вид:

(е)

П ^е)+ Ц + В В(е) ^^

02е г ^12 АЛ ~ 1 гг!

дг Т дг

' 0е

= 0.

v(e)

01е г

Ц е В

^12 У 2

дс ^ ,, к{:1 дт

г=Я

дг

В2 ^12

Т0е дг У

(«.„V!' >) г „.

V 1 е'- V1' 1

г=Я

к Ъе дТ е

Т я 0е р0е дд

+

К Ц(е) Ц51 12 дС 1е

Я дд г =Я

т

1г=Я ' I г =Я

Т\г

( дТ дТ Л - 7 —- + У-—1

/ь е ^ /ь' ^

^ дг дг У

)(е) у2 Ц12

г =Я

(

- Ре) + 2^0

дv,

.( е )Л

Г

дг

= Ц

2а 2 да,

дС Ке) дТ ^

1е ТЦ е

V дг Т0е дг У

+

рКе) Ц

е) е)

г =Я

г

С (1 - С)

дг

(1.10)

(111)

(1.12) (1.13) , (1.14)

8 7 V дг У

г =Я

Я Я дТ

Ял/ ' Л

,(Те - Т0е )г^я = - Р')+ 2^0'

Л0

(1 ду(е) ) ^

(е) „(е )\

Vг дд дг г у

1 да

г=Я

г дТ

дТ

V

(л А,(')

дС

С ~ С +

1е|г=Я 0 8 ^^

Те =Т0 е С8 =С0 8

дд 770

(Те - Т0е )

,( ') „(' )Л

1 ду(') д^') Vg

---I----

Vг дд дг г у

(1.15)

(116)

г=Я

г=Я

(1.17)

В формулах (1.10) - (1.17) и02(^(е), п01Уге), «01 №) - радиальные конвективные потоки компонент капли и внешней смеси, Ц В

( е )/? дС1е Ц(е )£ дС1е

диффузионные потоки, РЦ]

(е) КГО дТе

12 Т дг

0е

дг

О Це) КТЦ дТе

В 2 Ц12 гг1 Л

Т дг

0е

дг

радиальные радиальные

г=Я

г=Я

Т =Т

г=Я

г=Я

е 0е

термодиффузионные потоки первой и второй компоненты, Д = n

2 m

0e

Р0

а 2 m2

Д2 = n0e > n01e и И

Рое

02е

средние концентрации компонент, n0e = n01e + n02e,

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ефремов Владимир Евгеньевич, 2018 год

Список литературы

1. Пискунов, В.Н. Динамика аэрозолей / В.Н. Пискунов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. - 296 с.

2. Ролдугин, В.И. Физикохимия поверхности / В.И. Ролдугин. -Долгопрудный: Интеллект, 2011. - 568 с.

3. Чепмен, С. Математическая теория неоднородных газов / С. Чепмен, Т. Каулинг. - М.: ИИЛ, 1960. - 510 с.

4. Roldughin, V.I. Non-equilibrium thermodynamics and kinetic theory of gas mixtures in the presence of interfaces / V.I. Roldughin, V.M. Zhdanov // Advances Colloid Interface Science. - 2002. - V.98. - P.121 - 215.

5. Kramers, H.A. On the slip of a diffusing gas mixture along a wall / H.A. Kramers, J. Kistemaker // Physika. - 1943. - V.10. - P.699 - 713.

6. Дерягин, Б.В.Теория движения малых аэрозольных частиц в поле диффузии / Б.В. Дерягин, С.П. Баканов // Докл. АН СССР. - 1957. - Т. 117, №6. - С. 959 - 962.

7. Waldmann, L. On the Motion of Spherical Particles in Nonhomogeneous Gases / L. Waldmann // Rarefied Gas Dynamics. - 1961. - Vol. 1. - P. 323 - 344.

8. Фукс, Н.А. Механика аэрозолей / Н.А. Фукс. - М.: Издательство АН СССР,

1955. - 352 с.

9. Вальдберг, А.Ю. Теоретические основы охраны атмосферного воздуха от загрязнения промышленными аэрозолями / А.Ю. Вальдберг, Л.М. Исянов, Ю.И. Яламов. - СПб.: НИИОГАЗ - ФИЛЬТР, 1993. - 235 с.

10. Швыдкий, В.С. Теоретические основы очистки газов / В.С. Швыдкий, М.Г. Ладыгичев, Д.В. Швыдкий. - М.: Теплотехник, 2004. - 502 с.

11.Чермошенцева, О.Ф. Теория термофореза жидких сферических и слабо деформированных аэрозольных частиц в режиме со скольжением: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.04.14 / Чермошенцева Оксана Федоровна. - М., 1997. - 107 с.

12. Шулиманова, З.Л. Влияние термодиффузиофоретического и теплофоретического механизмов на перенос и осаждение частиц из неоднородных ламинарных газовых потоков: дис. ... д-ра физ.-мат. наук: 01.04.14 / Шулиманова Зинаида Леонидовна. - М., 1998. - 363 с.

13. Юшканов, А.А. Влияние кинетических процессов в газе и плазме на динамику и свойства аэрозолей: дис. ... д-ра физ.-мат. наук: 01.04.14 / Юшканов Александр Алексеевич. - М., 1999. - 259 с.

14. Еремчук, Т.М. Термо- фото- и диффузиофоретическое движение крупных и умеренно крупных неоднородных по теплофизическим свойствам сферических и цилиндрических частиц: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.04.14 / Еремчук Татьяна Михайловна. - М., 2001. -127 с.

15. Малай, Н.В. Влияние нелинейных характеристик среды и форм-фактора на движение твердых частиц и капель в жидких средах при малых числах Рейнольдса: дис. ... д-ра физ.-мат. наук: 01.04.14 / Малай Николай Владимирович. - Белгород, 2001. - 394 с.

16. Лебедева, А.Л. Движение аэрозольных частиц в стационарных и периодических полях: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.04.14 / Лебедева Алла Львовна. - М., 2002. - 106 с.

17. Зенкина, О.Н. Теория движения летучей аэрозольной капли раствора в неоднородных газах в режиме со скольжением: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.04.02 / Зенкина Ольга Николаевна. - М., 2002. - 202 с.

18. Баринова, М.Ф. Теория улавливания аэрозольных частиц в каналах различной геометрии: дис. ... д-ра физ.-мат. наук: 03.00.16 / Баринова Маргарита Федоровна. - М., 2003. - 205 с.

19. Яламов, Г.Ю. Теория термодиффузиофореза аэрозольных частиц при прямом влиянии коэффициента испарения: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.04.14 / Яламов Георгий Юрьевич. - М., 2005. - 100 с.

20. Голикова, Н.Н. Теория захвата летучих бинарных аэрозольных частиц атмосферными каплями: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 03.00.16 / Голикова Нина Николаевна. - М., 2007. - 116 с.

21. Кузьмин, М.К. Теория нестационарных фазовых переходов и движения аэрозольных частиц в тепловых полях: Монография / М.К. Кузьмин, Ю.И. Яламов. - М.: МГОУ, 2007. - 232 с.

22. Яламов, Ю.И. Теория движения сублимирующих и взаимодействующих твердых сферических неоднородных аэрозольных частиц во внешних полях: Монография / Ю.И. Яламов, А.С. Хасанов. - М.: МГОУ, 2006. - 221 с.

23. Чаусова, О.В. Теория захвата умеренно крупных летучих аэрозольных частиц на облачных каплях: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 03.00.16 / Чаусова Ольга Владимировна. - М., 2008. - 95 с.

24. Яламов, Ю.И. Динамика капель в неоднородных вязких средах / Ю.И. Яламов, В.С. Галоян. - Ереван: Луйс, 1985. - 208 с.

25. Баканов, С.П. О теории термопреципитации высокодисперсных аэрозольных систем / С.П. Баканов, Б.В. Дерягин // Коллоидн. журнал. -1959. - Т. 21, №4. - С. 377 - 384.

26. Waldmann, L. Uber die Krafteines inhomogenen Gases auf kleine suspendierte Kugeln / L. Waldmann // Z. Naturforsch. - 1959. - Bd. 14 a, Heft 7. - S. 589 -599.

27. Brock, J.R. The Thermal Force in the Transition Region / J.R. Brock // J. Colloid and Interface Sci. - 1967. - V. 23. - P. 448 - 452.

28. Brock, J.R. Experiment and Theory for the Thermal Force in the Transition Region / J.R. Brock // J. Colloid and Interface Sci. -1967. - V. 25. - P. 392 -395.

29. Ивченко, И.Н. О термофорезе аэрозольных частиц в почти свободно молекулярном режиме / И. Н. Ивченко, Ю. И. Яламов // Изв. АН СССР. Сер. МЖГ. - 1970. - №6. - С. 3 - 7.

30. Ивченко, И.Н. Теоретическое и экспериментальное исследование явления термофореза аэрозольных частиц при больших числах Кнудсена / И.Н. Ивченко, Ю. И. Яламов, Я.И. Рабинович // Журнал физич. химии. - 1971. -Т. 45, №3. - С. 583 - 587.

31. Deriagin, B.V. The Theory of Thermophoresis and Diffusiophoresis of Aerosol Particles and Their Experimental Testing / B.V. Deriagin, Yu.I. Yalamov // In «International Reviews in Aerosol Physics and Chemistry». - 1972. - V. 3, Part 2. - P. 1 - 200.

32. Яламов, Ю.И. Теория термодиффузиофореза мелких аэрозольных частиц при произвольном характере взаимодействия / Ю.И. Яламов, Е.Р. Щукин // Изв. АН СССР. Сер. МЖГ. - 1972. - №3. - С. 186 - 188.

33. Яламов, Ю.И. Теория термофореза высокодисперсных летучих аэрозолей / Ю.И. Яламов, Е.Р. Щукин // Журнал физич. химии. - 1973. - №5. - С. 1288

- 1290.

34. Островский, Г.М. Прикладная механика неоднородных сред / Г.М. Островский. - СПб.: Наука, 2000. - 359 с.

35. Яламов, Ю.И. Теория диффузиофореза капель концентрированных растворов / Ю.И. Яламов, Е.Ю. Терехина // Журнал технич. физики. - 2000.

- Т. 70, вып. 5. - С. 28 - 31.

36. Яламов, Ю.И. Теория термофореза неоднородных аэрозольных частиц / Ю.И. Яламов, А.С. Хасанов //Теплофизика высоких температур. - 1996. -Т. 34, № 6. - С. 929 - 935.

37. Яламов, Ю.И. Термофорез неоднородных по теплопроводности сублимирующих аэрозольных частиц / Ю.И. Яламов, А.С. Хасанов //Журнал технической физики. - 2004. -Т. 74, № 7. - С. 13 - 18.

38. Яламов, Ю.И. Фотофорез крупных сублимирующих аэрозольных частиц / Ю.И. Яламов, А.С. Хасанов //Теплофизика высоких температур. - 2006. -Т. 44, № 2. - С. 293 - 297.

39. Кузьмин, М.К. Теория нестационарного термофореза твердой сферической частицы / М.К. Кузьмин, Ю.И. Яламов // Журнал технич. физики. - 2007. -Т. 77, вып. 6. - С. 1 - 7.

40. Яламов, Ю.И. О нестационарной составляющей термофоретической скорости твердой сферической частицы / Ю.И. Яламов, М.К. Кузьмин // Вестник МГОУ. Труды центра фундаментальных научных иссл. Физика. -2007. - №2. - С. 27 - 36.

41. Schmitt, K.H. Untersuchungen an Schwebstoffteilchen in diffundierenden Gasen / K.H. Schmitt, L. Waldmann // Z. Naturforsch. - 1960. - Bd. 15 a, Heft 10. - S. 843 - 851.

42. Schmitt, K.H. Untersuchungen an Schwebstoffteilchen in diffundierenden Wasserdampf / K.H. Schmitt // Z. Naturforsch. -1961. -Bd. 16 a, Heft 10. - S. 144 - 149.

43. Deryagin, B.V. Diffusiophoresis of Large Aerosol Particles / B.V. Deryagin, Yu.I. Yalamov, A.I. Storozhilova // J. Colloid and Interface Sci. -1966. -Vol. 22, №. 2. - P. 117 - 125.

44. Яламов, Ю.И. Теория диффузиофореза больших нелетучих аэрозольных частиц / Ю.И. Яламов, Б.В. Дерягин // Докл. АН СССР. - 1965. - Т. 165, №2. - С. 364 - 367.

45. Дерягин, Б.В. Теория диффузиофореза больших нелетучих аэрозольных частиц / Б.В. Дерягин, Ю.И. Яламов // В сборнике «Исследования в области поверхностных сил». - 1967. - С. 506 - 518.

46. Черняк, В.Г. Диффузиофорез аэрозольной частицы в бинарной газовой смеси / В.Г. Черняк, С.А. Стариков, С.А. Береснев // Прикладная механика и технич. физика. - 2001. - Т. 42, №3. - С. 72 - 83.

47. Яламов, Ю.И. К теории диффузиофореза крупных нелетучих аэрозольных частиц / Ю.И. Яламов, В.А. Обухов // Журнал технич. физики. - 1972. - Т. 42, №5. - С. 1064 - 1068.

48. Яламов, Ю.И. О диффузиофорезе крупных нелетучих аэрозольных частиц / Ю.И. Яламов, Б.А. Обухов // Докл. АН СССР. - 1972. - Т. 207, №4. - С. 824 - 826.

49. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 736 с.

50. Лойцянский, Л.Г. Механика жидкости и газа / Л.Г. Лойцянский. - М.: Дрофа, 2003. - 840 с.

51. Слезкин, Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости / Н.А. Слезкин. -М.: Гостехиздат, 1955. - 520 с.

52. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. - М.: Издательство МГУ, Наука, 2004. - 798 с.

53. Штокало, И.З. Операционное исчисление / И.З. Штокало. - Киев: Наукова думка, 1972. - 304 с.

54. Деч, Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и /-преобразования / Г. Деч. - М.: Наука, 1971. - 288 с.

55. Диткин, В.А. Операционное исчисление / В.А. Диткин, А.П. Прудников. -М.: Высшая школа, 1975. - 407 с.

56. Коренев, Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций / Б.Г. Коренев. - М.: Наука, 1971. - 288 с.

57. Янке, Е. Специальные функции / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш. - М.: Наука, 1968. - 344 с.

58. Бейтмен, Г. Таблицы интегральных преобразований. Т. 1 / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. - М.: Наука, 1969. - 344 с.

59. Беляев, Н.М. Методы нестационарной теплопроводности / Н.М. Беляев, А.А. Рядно. - М.: Высшая школа, 1978. - 328 с.

60. Прудников, А.П. Интегралы и ряды. Т. 2 / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 664 с.

61. Квашнин, И.М. Промышленные выбросы в атмосферу. Инженерные расчеты и инвентаризация / И.М. Квашнин. - М.: АВОК-ПРЕСС, 2005. -394 с.

62. Кржижановский, Р.Е. Теплофизические свойства неметаллических материалов (Окислы) / Р.Е. Кржижановский, З.Ю. Штерн. - Ленинград: Энергия, 1973. - 336 с.

63. Бретшнайдер, С. Свойства газов и жидкостей. Инженерные методы расчета / С. Бретшнайдер. - М.: Химия, 1966. - 536 с.

64. Варгафтик, Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей / Н.Б. Варгафтик. - М.: Наука, 1972. - 720 с.

65. Сторожилова, А.И. Измерение скорости движения аэрозольных частиц в поле диффузии водяного пара / А.И. Сторожилова // Докл. АН СССР. -1964. - Т. 155, №2. - С. 426 - 429.

66. Ефремов, В.Е. К теории нестационарного диффузиофореза крупной сферической частицы / В.Е. Ефремов, М.К. Кузьмин. - М., 2012. - 26 с. -Деп. в ВИНИТИ 26.04.12, №184-В 2012.

67. Ефремов, В.Е. Решение гидродинамической задачи в теории нестационарного диффузиофореза крупной твердой нелетучей сферической частицы / В.Е. Ефремов, М.К. Кузьмин // Вестник МГОУ. Сер.: Физика-математика. - 2012. - №2. - С.15 - 29.

68. Ефремов, В.Е. Решение диффузионной задачи в теории нестационарного диффузиофореза крупной твердой нелетучей сферической частицы / В.Е. Ефремов, М.К. Кузьмин // Вестник МГОУ. Сер.: Физика-математика. -2012. - №3. - С.30 - 39.

69. Ефремов, В.Е. Решение гидродинамической задачи в теории нестационарного диффузиофореза крупной твердой нелетучей сферической частицы / В.Е. Ефремов, М.К. Кузьмин // Материалы 9-й международной конференции «Современные научные достижения -2013». - 2013. - С. 9 -14.

70. Ефремов, В.Е. Решение диффузионной задачи в теории нестационарного диффузиофореза крупной твердой нелетучей сферической частицы / В.Е. Ефремов, М.К. Кузьмин // Материалы IX международной научно-практической конференции «Теория и практика современной науки». -2013. - С. 41 - 46.

71. Ефремов, В.Е. О нестационарной составляющей диффузиофоретической скорости твердой сферической частицы / В.Е. Ефремов. - М., 2013. - 19 с. -Деп. в ВИНИТИ 21.03.13, № 82-В 2013.

72. Ефремов, В.Е. О решении задач нестационарного диффузиофореза / В.Е. Ефремов. - М., 2013. - 10 с. - Деп. в ВИНИТИ 24.09.13, № 265-В 2013.

73. Ефремов, В.Е. Решение задач нестационарного диффузиофореза / В.Е. Ефремов // Вестник МГОУ. Сер.: Физика-математика. - 2013. - №3. - С. 20 - 28.

74. Ефремов, В.Е. Применение приближенных формул для расчета модуля нестационарной составляющей диффузиофоретической скорости / В.Е. Ефремов // Вестник МГОУ. Сер.: Физика-математика. - 2014. - №2. - С.66

- 69.

75. Ефремов, В.Е. Нестационарная составляющая скорости диффузиофореза крупной сферической частицы / В.Е. Ефремов, М.К. Кузьмин // Уральский научный вестник. Сер.: Строительство и архитектура-Физика-Математика.

- 2014. - №24. - С.22 - 33.

76. Efremov, V. To the theory of nonstationary diffusiophoresis of spherical particles / V. Efremov, M. Kuzmin // Materials of International Conference on the Methods of Aerophysical Research. Part I. - 2014. - P. 61 - 62.

77. Efremov, V. Hydrodynamic and diffusion problems in the theory of nonstationary diffusiophoresis of spherical particles / V. Efremov, M. Kuzmin // Journal of engineering physics and thermophysics. - 2014. - V. 87, №4. - P.951

- 961.

78. Ефремов, В.Е. О получении формул для вычисления модуля нестационарной составляющей диффузиофоретической скорости твердой сферической частицы / В.Е. Ефремов. - М., 2017. - 17 с. - Деп. в ВИНИТИ 25.08.17, № 92-В 2017.

79. Ефремов, В.Е. Приближённые формулы для вычисления модуля нестационарной составляющей диффузиофоретической скорости твёрдой сферической частицы / В.Е. Ефремов, М.К. Кузьмин // Вестник МГОУ. Сер.: Физика-математика. - 2017. - №3. - С.84 - 96.