Теория конфликтных систем обслуживания при их функционально-статистическом задании тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, доктор наук Зорин Андрей Владимирович

• Зорин Андрей Владимирович
• доктор наук
• 2016

Оглавление диссертации доктор наук Зорин Андрей Владимирович

Введение

Глава 1. Построение процессов обслуживания конфликтных потоков 32 § 1.1. Классические подходы к построению моделей систем массового обслуживания

§ 1.2. Функционально-статистическое задание системы обслуживания как управляющей системы

Глава 2. Предельные теоремы для циклических процессов обслуживания формируемых в случайной среде конфликтных потоков

§ 2.1. Тандем конфликтных систем обслуживания как управляющая система

§ 2.2. Итеративно-мажорантный метод получения условий существования стационарного режима в конфликтных системах

массового обслуживания в случайной среде

§ 2.3. Стационарные характеристики потока повторных требований

Глава 3. Изучение процессов загрузки и разгрузки конфликтных систем обслуживания

§ 3.1. Система обслуживания в классе алгоритмов разделения времени с переналадками как управляющая система

§ 3.2. Условия существования и некоторые свойства стационарного режима процессов обслуживания в классе алгоритмов

разделения времени в случайной среде

§ 3.3. Минимизация средней стоимости пребывания требований в

системе за такт

§ 3.4. Оценки загрузки системы, среднего времени и средней стоимости пребывания произвольного требования с помощью

имитационной модели

§ 3.5. Подход к формализации понятия загрузки на основе функционалов Чжуна

Глава 4. Процессы обслуживания неординарных рекуррентных потоков. Конфликтные режимы

§ 4.1. Управляющая система обслуживания конфликтных потоков с зависимыми интервалами между требованиями . . . 271 § 4.2. Итеративно-мажорантный метод получения условий существования стационарного распределения общих цепей Маркова

§ 4.3. Обслуживание потоков несколькими конфликтными циклическими алгоритмами

Заключение

Библиографический список использованной литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теория конфликтных систем обслуживания при их функционально-статистическом задании»

Введение

Обзор по теме исследования и актуальность. Система массового обслуживания есть идеализация встречающихся на практике ситуаций, когда имеется набор объектов, условно называемых требованиями, заявками, потребителями, и имеется некоторая операция, условно называемая обслуживанием. При этом, реальное физическое наполнение операции обслуживания считается несущественным и предполагается лишь, что каждый акт обслуживания занимает некоторое время. Впервые за-

и _ _

дачи такого рода были рассмотрены в 1907 г. Ф.В. Иоханнсеном [166] и А.К. Эрлангом в серии работ 1909-1923 гг. [136, 145]. Авторами этих работ впервые было осознано (см. [171]), что допущение случайности в поведение технической системы, например, телефонной станции, хотя бы в виде случайных моментов поступления вызовов приводит к качественно новому поведению системы: в ней могут возникать «заторы». В связи с этим, к анализу был привлечён классический аппарат теории вероятностей. В дальнейшем новая область исследования была существенно развита в фундаментальных работах Ф. Поллячека, К. Пальма, Д. Кендалла, Д. Линдли, П. Морана, Л. Такача, Дж.Ф.С. Кингмана, Д. Кокса, Т.Л. Са-ати, Л. Клейнрока, М.С. Бартлетта, С. Асмуссена, М. Ньютса и др. за рубежом и А.Н. Колмогорова, А.Я. Хинчина, Б.В. Гнеденко, С.Н Берн-штейна, Ю.В. Прохорова, И.Н. Коваленко, А.А. Боровкова, Г.П. Климова, А.Д. Соловьёва, Б.А. Севастьянова, Г.П. Башарина и многих других в нашей стране. Историю теории массового обслуживания можно проследить по журнальным обзорам, общим и специальным монографиям, например: [7,12,22,64,73,78,80,81,97,123,131,167]. Потребности развития техники во второй половине XX века привели к задаче исследования одновременного функционирования множеств сообщающихся систем массового обслуживания — тандемов систем массового обслуживания и сетей массового обслуживания [5,66,141,164,169,191]. В настоящее время развитие теории массо-

вого обслуживания и теории сетей массового обслуживания стимулируется их применениями к задачам управления транспортными и информационными потоками, логистике, к задачам организации производства на сборочных линиях, к задачам организации медицинского и банковского обслуживания и ко многим другим [2,13,16,29,85,104,159,162,163,173,178,190,192].

Фундаментальной проблемой, с которой сталкивается исследователь при изучении системы массового обслуживания, является проблема построения математической модели. Заметим вслед за статьёй [171], что первые работы по теории массового обслуживания появились раньше, чем была создана математическая теория случайных процессов. В связи с этим, первые авторы, А.К. Эрланг и Ф. Поллячек, были вынуждены формулировать модель в виде интегральных или дифференциальных уравнений для веро-

и л" и и

ятностей некоторых событий или плотностей вероятности исследуемых случайных величин. Развитие теории вероятностей и теории случайных процессов медленно меняет данную парадигму.

К началу 1930-х годов формируется математическое понятие случайного процесса. В связи с этим, в исследованиях по теории массового обслуживания стали широко и плодотворно применять методы, основанные на теории марковских случайных процессов. В трудах Хинчина, Пальма, Такача, Колмогорова, Гнеденко и других сформировался подход, который можно назвать классическим [111]. Оистема массового обслуживания описывается на содержательном уровне. Задаются следующие четыре обязательные составляющие её элемента: входящий поток, дисциплина формирования очереди, закон обслуживания произвольного требования и структура системы. Описание структуры системы состоит в указании ёмкости очереди и количества приборов. При таком подходе под состоянием системы массового обслуживания понимают, как правило, число требований в системе. Однако для большинства представляющих интерес систем процесс флук-

и л" и

туации длин очередей не обладает марковским свойством, что существенно усложняет его исследование. Чтобы придти к марковскому процессу, используется один из двух основных приёмов [22]. Во-первых, выделяют семейства событий (поступление требований, окончание акта и т.д.), та-

кие что интервалы между событиями внутри одного семейства имеют не экспоненциальный закон распределения, и затем вводят так называемые «дополнительные переменные» типа оставшегося времени до наступления следующего события [140]. В качестве математической модели при таком подходе выступают марковские процессы специального вида. В литературе они известны как кусочно-линейные процессы [22,68] и расширенные обобщённые полумарковские процессы (supplemented generalized semi-Markov processes) [182, 194]. Второй приём основан на «методе вложенных цепей Маркова» Д. Кендалла [170] и состоит в выборе исследователем моментов наблюдения за системой таким образом, что последовательность состояний системы массового обслуживания в эти моменты времени образует марковскую цепь. Используя постановку задачи на содержательном уровне, исследователи стремятся выписать уравнения для распределений вероятностей изучаемого случайного процесса. В работе [179] (1976 г.) отмечалось: «Стандартные подходы к задачам теории очередей и пробок прежде носили и продолжают носить аналитический характер, а не стохастический... анализ на самой ранней стадии фокусируется на распределениях и средних величинах, а не на самих процессах». Во многом эта оценка остаётся справедливой и в настоящее время.

Наряду с классическим подходом используются стохастические модели, основанные на функциональных преобразованиях случайных процессов. Выделение в системе обслуживания четырёх составляющих элементов при этом сохраняется. При таком подходе вводится понятие управляющих последовательностей [7] или входа системы [121] в виде априорно заданных

и л" и • •

случайных объектов, а интересующий исследователя процесс задаётся как решение некоторого функционального уравнения. Конкретный вид функционального уравнения находится из рассмотрения правила выбора моментов начала обслуживания требований и зависит от исследуемой характеристики системы. В частности, для исследования эргодичности и устойчивости процессов обслуживания в работах [9,11] введены понятия стохастической рекурсивной последовательности и рекурсивной цепи в произвольном фазовом пространстве. Использование явного вида функционального пре-

образования позволяет привлекать к анализу построенной модели глубокие методы теории случайных процессов, в частности, теорию процессов с независимыми приращениями (процессов Леви) и теорию мартингалов [91,179]. В монографии [8] проведён асимптотический анализ основных классических систем с интенсивным входящим потоком на основе представления числа требований в системе через число поступивших требований, число обслуженных требований и число требований, получивших отказ.

По существу, эти два подхода применяются большинством исследователей. На их основе были построены и проанализированы модели разнообразных систем массового обслуживания.

Отметим, в первую очередь, классические системы с ожиданием и с потерями и весь спектр их обобщений. Сюда входят системы с одним прибором, с несколькими приборами или с неограниченным числом приборов при различных предположениях относительно законов распределения входящих потоков и длительностей обслуживания [3,65,70,82,99,101,134,135,137]. Вместо предположения о пуассоновских входящих потоках часто рассматривают потоки в случайной среде [28,144,160,177,186], известные также как дважды стохастические потоки. На содержательном уровне, к таким потокам приходят, считая, что мгновенная интенсивность поступления требований есть случайный процесс с конечным или бесконечным числом значений. В работах [33,112] рассматривались различные неклассические системы массового обслуживания, в которых случайная среда меняет не только средние интенсивности, но и вероятностную структуру входящих потоков требований. В классических системах массового обслуживания ожидание требований в очереди было пассивным. В то же время имеются примеры реальных систем, например, в телефонии и в управлении воздушным транспортом, для которых характерно активное ожидание требований: поступившее требование, которое не может получить обслуживание в момент обращения, уходит на так называемую «орбиту» или в источник повторных вызовов и затем посылает повторный запрос на обслуживание через случайное время. Обширная библиография по системам с повторными вызовами имеется, например, в обзорах [146,147].

Тандемы систем массового обслуживания состоят из цепочек систем массового обслуживания, причём выходящий поток каждой системы (кроме последней) образует входящий поток следующей системы [191], и являются адекватными моделями производственных линий и телекоммуникационных линий. Большинство авторов предполагают, что требования перемещаются между очередями в тандеме мгновенно. Рассматриваются системы с входными потоками в случайной среде, а также системы с рекуррентным входящим потоком (см., например, [158,172,188]).

К конфликтным системам обслуживания будем относить те, в которых присутствует конфликтная ситуация между входящими потоками. Понятие конфликтных входящих потоков было введено в [105]. Конфликтность входящих потоков на содержательном уровне означает, что обслуживание заявок таких потоков осуществляется в непересекающиеся промежутки времени и что невозможно рассматривать суперпозицию некоторых потоков требований и тем самым сводить задачу к более простому случаю с меньшим числом потоков. Часто при этом существуют промежутки времени, на которых ни один из потоков не обслуживается. Заметим, что многие классы систем массового обслуживания, исторически рассматриваемые как самостоятельные, обладают признаками конфликтности. Например, процессы обслуживания неоднородных требований в классе приоритетных алгоритмов [21,26,76,86,102,103], системы обслуживания с динамическими приоритетами [74,95], системы обслуживания с разделением времени [33,72,74], системы поллинга [15, 133, 183, 197], системы поллинга с маршрутизацией, зависящей от состояния прибора [155,198], системы с неоднородными требованиями и несколькими приборами [142,157,219]. Перечисленные выше классы систем обслуживания предполагают, что могут появляться требования нескольких типов, причём однотипные требования образуют собственный входящий поток. Требования разных типов помещаются в различные накопители, так что в системе присутствует конечное число очередей, большее одной. Различные алгоритмы обслуживания определяются правилом, в соответствии с которым прибор оканчивает обслуживание одной очереди и выбирает на обслуживание новую очередь. К распространён-

ным алгоритмам относятся такие алгоритмы как обслуживание по одному требованию, обслуживание всех требований до опустошения накопителя, «шлюзовое» обслуживание всех требований, присутствующих в накопителе в момент начала обслуживания. При этом длительность обслуживания требования определяется только типом этого требования или номером очереди, что есть то же самое. Кроме конфликтных потоков, может иметь место конфликтная ситуация в обслуживающем устройстве. Так, в цикле работ [149-152] рассматривалась система массового обслуживания двух конфликтных потоков в классе однородных алгоритмов с ориентацией и переналадками. Для разрешения конфликтности входящих потоков был применён циклический порядок обслуживания очередей, и после каждого промежутка обслуживания каждой очереди добавлялся промежуток переориентации прибора. Таким образом, цикл работы прибора оказался разбитым на смежные интервалы неслучайной длины, характеризующиеся разными свойствами потоков насыщения и разными внутренними состояниями прибора. В ходе своего функционирования прибор может менять длительности интервалов, сменяя свой режим функционирования в зависимости от наличных длин очередей в момент окончания цикла обслуживания. Режимы различаются количеством времени, которое прибор уделяет каждой очереди. Следовательно, конфликтность в приборе проявляется в том, что он вынужден выбирать один из режимов, отдавая больше времени на обслу-

и и л" и 71 и 1 и

живание одной из очередей в ущерб другой. Другой пример конфликтной ситуации в приборе можно увидеть в исторически самостоятельном классе задач об обслуживании несколькими отключаемыми неоднородными приборами [96,174,175].

По мере накопления различных постановок задач об организации массового обслуживания в реальных технических устройствах и житейских ситуациях сформировалось убеждение, что системы массового обслуживания допускают внутри себя управление или должны стать объектами управления. В работе [94] на основе обобщения большого журнального и монографического материала было сформулировано понятие управляемой системы массового обслуживания и приведена классификация управляю-

щих систем. В основе данной классификации лежало классическое членение произвольной системы массового обслуживания на составляющие её элементы, поэтому выделялись системы: 1) с управляемым входящим потоком требований; 2) с управляемым механизмом и длительностями об-служиваний; 3) с управляемой структурой; 4) с управляемой дисциплиной обслуживания. Была показана связь некоторых задач теории массового обслуживания с некоторыми разделами теории математического программирования и оптимального управления. К настоящему времени проведено исследование задач оптимального назначения приоритетов конфликтным потокам, оптимального порядка обслуживания требований в марковских системах с конечным числом состояний, оптимального занятия приборов. Исследовались системы с управляемым фильтруемым входящим потоком, задачи управления резервным прибором. Используемые при этом методы, как правило, разрабатываются в теории управляемых марковских и полумарковских случайных процессов [20,31]. Наибольшее употребление имеют аддитивные функционалы от траектории системы массового обслуживания, выражающие доход, а часто дисконтированный доход от эксплуатации системы. Решается задача о существовании управления, доставляющего экстремальное значение ожидаемому доходу на конченом промежутке времени или асимптотическому ожидаемому доходу в единицу времени, о существовании £-оптимального управления, и затем выявляется структура этого управления. Большую роль при этом играет теория марковских процессов принятия решений и итеративные алгоритмы улучшения политик [89,124,195,196]. В работах [23-25,106] для постановки задачи оптимального управления конфликтной системой массового обслуживания применяется критерий типа среднего времени достижения заданного множества с запрещённым множеством, называемого также функционалом Чжуна.

Обсуждаемый до настоящего момента взгляд на управляемую систему массового обслуживания при всём разнообразии уже решённых задач обладает и определёнными ограничениями. Как отмечается в статье [111], в большинстве работ по теории массового обслуживания применяется так называемый локальный принцип, согласно которому рассматриваются ис-

и и 71 и

ходные и исследуемые характеристики каждой отдельной заявки. Действительно, для потока требований это означает описание потока либо последовательностью интервалов между поступлением требований, либо с помощью целочисленного «считающего» процесса, либо с помощью точечного процесса или случайной меры [67,79,121,123,165]. Однако такое описание не удаётся построить для некоторых представляющих интерес потоков. Примером могут служить системы массового обслуживания, в которых имеется обратная связь между входящим потоком и остальными частями системы. Другой пример относится к сфере моделирования движения автотранспорта в городах [108,132]. Транспортные потоки средней интенсивности обладают пространственной неоднородностью, транспортные средства образуют «пачки», поэтому интервалы между моментами поступления машин к так называемой виртуальной стоп-линии оказываются разнораспределёнными и статистически зависимыми. Очевидно, невозможно построить априорное описание такого потока без учёта реальных механизмов образования транспортных пачек. По причине сложности формирующего поток механизма недостаточно развита в настоящее время теория выходящего потока. Можно констатировать, что известны свойства выходящих потоков в основном для простейших систем обслуживания [138]. В монографии [12] имеется обзор методов исследования выходящего потока и сводка результатов для некоторых таких систем. В работе [191] рассматривался выходящий поток из однолинейной системы, в которую поступает поток с независимыми интервалами между требованиями и специальным не экспоненциальным распределением этих интервалов. При этом оказалось, что интервалы между покидающими систему требованиями имеют уже другое распределение. Для однолинейной системы с детерминированным временем обслуживания в работе [189] удалось изучить только одномерные распределения интервалов между моментами выхода требований из системы.

Незнание выходящего потока при исследовании тандемов и сетей массового обслуживания часто компенсируется предположением о мгновенном перемещении требований между узлами сети, то есть знанием некоторых свойств условных распределений. В связи с этим при составлении диф-

1 и и и

ференциальных уравнений для вероятностей состояний системы удаётся «поймать» моменты выхода требований на промежутках достаточно малой длины. Здесь мы видим один пример наличия обратной связи между потоками сети массового обслуживания и остальными частями сети. Отказ от предположения о мгновенном перемещении требований делало построение и анализ математической модели недоступным. Приведём в качестве иллюстрации работу [200], посвящённую изучению задержек автотранспорта на смежных перекрёстках с учётом движения машин. На первый перекрёсток поступали конфликтные транспортные потоки, регулирование осуществлялось светофором с фиксированным ритмом переключения. Одно направление выделялось как главное и допускался поворот при переезде перекрёстка с перпендикулярного направления на главное. Поток в главном направлении перемещался от первого перекрёстка ко второму. Из-за математической сложности задачи был выбран метод имитационного моделирования и статистического анализа результатов. В недавних работах [2,130] проводится математический анализ двух интересных моделей тандемов систем обслуживания из области управления транспортными потоками. В них предполагается, что сообщающиеся перекрёстки располагаются недалеко друг от друга, так что временем перемещения автомашин между ними можно пренебречь. Отметим также, что в одной из этих моделей допускается поворот в «главное» направление для автомобилей из «перпендикулярного» направления. Ряд исследователей, в виду сложности изучения выходящих потоков, предлагают отказаться от рассмотрения реальных выходящих потоков, заменяя их аппроксимациями в некотором смысле в классе просто устроенных процессов. Например, работа [199] предлагает аппроксимацию процессами восстановления.

Другим ограничением является необходимость на этапе создания математической модели решать сложные и интересные проблемы теории управляемых случайных процессов по заданию статистических взаимозависимостей между элементами системы в виде условных распределений процессов. Более того, при решении задач оптимизации приходится рассматривать семейства систем массового обслуживания, для чего их следует задавать на

едином унифицированном вероятностном пространстве [20].

В работах [111, 112] был впервые предложен новый подход к построению моделей систем массового обслуживания. Согласно этому подходу систему массового обслуживания следует рассматривать как абстрактную управляющую систему [84] при наличии случайных факторов. Напомним, что понятие управляемой системы массового обслуживания, данное в [94], никак не связывалось с понятием управляющей системы из [84]. Впервые связи абстрактных управляющих систем и управляемых систем массового обслуживания были выявлены в [111]. В управляющей системе массового обслуживания выделяются семь стандартных блоков: внешняя среда, входные блоки, очереди, блоки стратегии механизма обслуживания, обслуживающее устройство, блок реализации алгоритма управления, выходные блоки. При рассмотрении системы массового обслуживания следует исходить

из следующих принципов: 1) функционирование управляющей системы оби и

служивания происходит в дискретной временной шкале; 2) управляющая система обслуживания имеет схему со стандартными блоками, а при задании блоков системы следует использовать нелокальное описание [108], содержащее минимальную достаточную информацию; 3) следует выявлять как статистические, так и функциональные связи между блоками системы при её функционировании во времени. Для анализа и оптимизации построенной модели исследователь выбирает характеристики некоторых блоков системы. В настоящее время имеется положительный опыт применения такого подхода при построении математических и имитационных моделей управляющих систем массового обслуживания [59]. Преимущество данного подхода заключается в едином взгляде на управляющие системы. Более того, составные части реальных систем обслуживания могут рассматриваться как управляющие системы сами по себе. На этом пути в работах [117, 154] была построена адекватная модель процесса формирования транспортных «пачек» на автомагистралях. А в работах [92,116] были построены и изучены математические модели нелокального описания выходящих потоков циклических систем массового обслуживания конфликтных пуассоновских потоков, либо потоков Гнеденко-Коваленко. Счи-

талось, что входящие потоки не меняют своей вероятностной структуры во времени. Отметим, что в этих работах для исследования распределе-

и и Л" 1 и

ний вероятностей был использован метод производящих функций и отсутствовали численные примеры на нахождение соответствующих распределений. Функционально-статистическое задание применялось в работах автора [32,34,39,41,42,44-48,57,59,60,62,213,217] для построения моделей следующих конфликтных управляющих систем массового обслуживания: 1) системы обслуживания формируемых в синхронной среде неординарных конфликтных потоков в классе алгоритмов с разделением времени и переналадками; 2) системы обслуживания формируемых в синхронной среде неординарных конфликтных потоков в классе циклических алгоритмов с продлением; 3) системы обслуживания неординарных рекуррентных потоков в классе циклических алгоритмов с переналадками; 4) тандема двух систем массового обслуживания с немгновенным перемещением требований между системами. Таким образом, можно заключить о том, что начинает развиваться новое направление в теории массового обслуживания, связанное с моделированием, анализом и оптимизацией неклассических управляющих систем обслуживания конфликтных потоков. Поскольку конфликтные управляющие системы обслуживания являются идеализацией многих реальных процессов обслуживания в условиях изменяющихся стохастических факторов, данное направление представляется актуальным.

При анализе построенной математической модели прежде всего возникают задачи явного вычисления основных характеристик системы на переходном процессе или в установившемся, стационарном режиме. В связи с этим ценность представляют методы отыскания необходимых и достаточных условий существования стационарного режима. Кроме того, такие условия представляют практический интерес сами по себе, если решить соответствующие уравнения и не удаётся. Ограничиваясь классом марковских моделей, можно сказать, что имеющиеся методы установления условий существования стационарного распределения у счётных цепей Маркова сводятся к следующим: 1) прямое решение уравнений стационарности и исследование условий, когда формальное решение имеет вероятност-

и и

ный смысл; 2) использование критериев, связанных со свойствами реше-

и и и

ний специально построенных систем линейных алгебраических уравнений или неравенств [19,119,156,185]; 3) изучение процесса «сноса», связанного с движением марковской цепи [68, 184]; 4) итеративно-мажорантный метод, связанный с изучением динамики одномерных распределений счётной цепи Маркова [109, 110]. Чаще всего в публикациях используется второй метод из перечисленных в форме «критерия Мустафы» [156, 185]. Однако для его применения необходимо «угадывать» решение соответствующих уравнений и неравенств, и этот процесс не алгоритмизирован. Некоторые рекомендации по построению функций Ляпунова для цепей Маркова типа случайных блужданий на целочисленных решётках малых размерностей приводятся в монографии [148]. В противоположность этому методу, итеративно-мажорантный метод носит алгоритмический характер и позволяет находить достаточное условие полуавтоматически. Поэтому видна насущность обобщения и распространения итеративно-мажорантного метода на широкие классы марковских цепей, на общие цепи Маркова с произвольным пространством состояний и процессы Маркова с непрерывным временем (скачкообразные процессы).

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Зорин Андрей Владимирович, 2016 год

Библиографический список использованной литературы

1. Алексеев, В. М. Оптимальное управление. / В. М. Алексеев, В. М. Тихомиров, С. В. Фомин. — М.: Наука, 1979. — 432 с.

2. Афанасьева, Л.Г. Математические модели транспортных систем, основанные на теории очередей / Л.Г. Афанасьева, Е.В. Булинская // Труды Московского физико-технического института. — 2010. — Т. 2, № 4(8). — С. 6-21.

3. Афанасьева, Л.Г. Многоканальные системы обслуживания с регенерирующим входящим потоком / Л.Г. Афанасьева, А. Ткаченко // Теория вероятностей и её применения. — 2013. — Т. 58, вып. 2. — С. 210-234.

4. Ашманов, С.А. Линейное программирование / С.А. Ашманов. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. — 340 с.

5. Башарин, Г.П. Теория сетей массового обслуживания и её приложения к анализу информационно-вычислительных систем / Г.П. Баша-рин, А.Л. Толмачев // Итоги науки. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика. Т. 21. — М.:ВИНИТИ, 1983. — С. 3-119.

6. Беляев, В.А. О множествах сходимости и абсолютной сходимости степенных рядов с двумя переменными / В.А. Беляев // Математический сборник. — 1963. — Т. 62(104), № 1. — С. 39-52.

7. Боровков, А.А. Вероятностные процессы теории массового обслуживания / А.А. Боровков. — М.: Наука, 1972. — 368 с.

8. Боровков, А.А. Асимптотические методы в теории массового обслуживания /А.А. Боровков. — М.: Наука, 1980. — 384 с.

9. Боровков, А.А. Эргодичность и устойчивость случайных процессов / А.А. Боровков. — М.: Эдиториал УРСС, 1999. — 440 с.

10. Боровков, А.А. Теория вероятностей / А.А. Боровков. — 5-е изд. — М.: Либроком, 2009. — 656 с.

11. Боровков, А.А. Стохастические рекурсивные последовательности и их обобщения / А.А. Боровков, С.Г. Фосс // Труды Института математики СО РАН. — 1993. — Т. 20. — С. 32-103.

12. Бочаров, П.П. Теория массового обслуживания / П.П. Бочаров, А.В. Печинкин. — М.: Издательство РУДН, 1995. — 529 с.

13. Бронштейн, О.И. Модели приоритетного обслуживания в информационно-вычислительных системах / О.И. Бронштейн, Л.М. Духовный. — М.: Наука, 1976. — 220 с.

14. Булинский, А.В. Теория случайных процессов / А.В. Булинский, А.Н. Ширяев. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 400 с.

15. Вишневский, В.М. Математические методы исследования систем поллинга / В.М. Вишневский, О.В. Семенова // Автоматика и телемеханика. — 2006. — № 2. — С. 3-56.

16. Вишневский, В.М. Оценка производительности высокоскоростной беспроводной тандемной сети с использованием каналов сантиметрового и миллиметрового диапазона радиоволн в системах управления безопасностью дорожного движения / В.М. Вишневский, А.А. Ларионов, О.В. Семенова // Проблемы управления. — 2013. — Вып. 4. — С. 50-56.

17. Высоцкий, А.А. Система с разделением времени при нелокальном описании потоков /А. А. Высоцкий. — Диссертация на соискание степени кандидата физико-математических наук по специальности 05.13.17 — теоретические основы информатики. Нижний Новгород, 1996. 121 с.

18. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. — 1966.

19. Гихман, И.И. Теория случайных процессов. Т. 1. / И.И. Гихман, А.В. Скороход. — М.: Изд-во «Наука», 1971. — 664 с. 1977. — 250 с.

20. Гихман, И.И. Управляемые случайные процессы / И.И. Гихман, А.В. Скороход. — Киев: Наукова думка, 1977. — 250 с.

21. Гнеденко, Б.В. Приоритетные системы обслуживания / Б.В. Гне-денко, Э.А. Даниелян, Б.Н. Димитров, Г.П. Климов, В.Ф. Матвеев. —

М.: Издательство Московского университета, 1973. — 447 с.

22. Гнеденко, Б.В. Введение в теорию массового обслуживания / Б.В. Гнеденко, И.Н. Коваленко. — 6-е изд. — М.: Изд-во ЛКИ, 2013. — 400 с.

23. Голышева, Н.М. Циклическое управление конфликтными потоками в условиях гибели и рождения очередей критических размеров /Н.М. Голышева, М.А. Федоткин // Автоматика и телемеханика. — 1990. — Вып. 4. — С. 68-75.

24. Голышева, Н.М. Построение и исследование математической модели управления потоками в классе алгоритмов с дообслуживанием / Н.М. Голышева // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. — 2010. — № 6. — С. 164-171.

25. Голышева, Н.М. Оптимальное управление периодическими потоками Пуассона в случае произвольного количества потоков / Н.М. Голышева // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. —2011. — № 1. — С. 188-192.

26. Джейсуол, Н. Очереди с приоритетами / Н. Джейсуол. — М.: Мир, 1973. — 280 с.

27. Дуб, Дж.Л. Вероятностные процессы / Дж. Л. Дуб. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1956. — 606 с.

28. Дудин, А.Н. Расчёт характеристик однолинейной системы обслу-

1 к» к» к» к»

живания, функционирующей в марковской синхронной случайной среде / А.Н. Дудин, В.И. Клименок // Автоматика и телемеханика. — 1997. — № 1. — С. 74-84.

29. Дудин, С.А. Модель функционирования колл-центра как система МАР/РН/Ы/К-Ы с нетерпеливыми запросами / С.А. Дудин, О.С. Ду-дина // Проблемы передачи информации. — 2011. — Т. 47, вып. 4. — С. 68-83.

30. Дынкин, Е.Б. Марковские процессы / Е.Б. Дынкин. — М.: Наука, 1963. — 860 с.

31. Дынкин, Е.Б. Управляемые марковские процессы и их приложения / Е.Б. Дынкин, А.А, Юшкевич. — М.: Наука, 1975. — 338 с.

32. Зорин, А.В. О существовании стационарного распределения для

процессов с разделением времени в случайной среде / А.В. Зорин // Массовое обслуживание. Потоки, системы, сети: Материалы международной научной конференции «Современные математические модели анализа и оптимизации телекоммуникационных сетей». Вып. 17 — Мн.: БГУ, 2003. — С. 274-278.

33. Зорин, А.В. Оптимизация управления дважды стохастическими неординарными потоками в системах с разделением времени / А. В. Зорин, М. А. Федоткин // Автоматика и телемеханика. — 2005. — № 7. — С. 102-111.

34. Зорин, А.В. О стационарном режиме системы разделения времени с ветвящимися потоками вторичных требований, формируемыми в случайной среде / А.В. Зорин // Вестник Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского. Серия Математика. — 2006. — Вып. 1(4). — С. 38-48.

35. Зорин, А.В. О достаточных условиях существования стационарного режима в одной системе обслуживания с разделением времени и ветвящимися вторичными потоками /А.В. Зорин // Вестник Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского. — 2007. — Вып. 2. — С. 145-150.

36. Зорин, А.В. Маркированные точечные процессы с квазитёплице-вой выделенной дискретной компонентой / А.В. Зорин // Труды итоговой научной конференции учебно-научного инновационного комплекса «Модели, методы и программные средства» (Нижний Новгород, 27-30 ноября 2007 г.) — Н.Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2007. — С. 172-174.

37. Зорин, А.В. Оптимальный алгоритм обслуживания с разделением времени и переналадками для дважды стохастических входных и ветвящихся вторичных потоков / А.В. Зорин // Вестник Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского. — 2008. — Вып 1. — С. 100-107.

38. Зорин, А.В. Итеративно-мажорантный метод доказательства предельных теорем для процесса обслуживания конфликтных потоков в слу-

чайной среде / А.В. Зорин // Вестник Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского. — 2008. — № 3. — С. 154-159.

39. Зорин, А.В. Обслуживание конфликтных потоков по алгоритму с продлением в случайной среде / А.В. Зорин // Теория вероятностей, случайные процессы, математическая статистика и приложения: сб. науч. ст. Междунар. науч. конф., Минск, 15-19 сент. 2008 г. — Минск: Изд. центр БГУ, 2008. — С. 115-122.

40. Зорин, А.В. Случайные колебания длин очередей в управляющих системах обслуживания / А.В. Зорин // Труды VIII Всероссийской научной конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 22-26 сентября 2008 г.) В 2х томах. Том 1. — Нижний Новгород: Издательский дом «Диалог Культур», 2008. — С. 162-167.

41. Зорин, А.В. Имитационное моделирование процессов обслуживания с разделением времени и переналадками /А.В. Зорин // Труды VIII Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO '09. Москва, 26-29 января 2009 г. Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН. М.: Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, 2009. — С. 1105-1137.

42. Зорин, А.В. Дискретные модели алгоритмического управления конфликтными потоками / А.В. Зорин // Восьмая международная конференция «Дискретные модели в теории управляющих систем»: Москва, 6-9 апреля 2009 г. Электронный сборник материалов конференции. Отв. ред. В.Б. Алексеев, В.А. Захаров. — Москва. — 2009 г. — С. 84-88.

43. Зорин, А.В. Случайные колебания длины приоритетной очереди при обслуживании конфликтных потоков по алгоритму с продлением в случайной среде / А.В. Зорин // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. — 2009. — Вып. 1. — С. 112-118.

44. Зорин, А.В. Модель сообщающихся перекрёстков при циклическом алгоритме управления / А.В. Зорин // Теория вероятностей, математическая статистика и их приложения: сб. науч. ст. (материалы Междунар. конф. Минск, 22-25 февр. 2010 г.). Вып. 3 / редкол.: Н.Н. Труш (отв ред.) и др. — Минск: РИВШ, 2010. — С. 114-119.

45. Зорин, А.В. Два сообщающихся перекрёстка как дискретная управляющая система / А.В. Зорин // Материалы X Международного семинара «Дискретная математика и ее приложения» (Москва, МГУ, 1-6 февраля 2010 г.) / Под ред. О.М. Касим-Заде. — М.: Изд-во Механико-математического факультета МГУ, 2010. — С. 108-111.

46. Зорин, А.В. Анализ дискретных управляющих систем обслуживания и систем вычисления булевых функций. Заключительный отчёт по НИР НИИ прикладной математики и кибернетики при ННГУ / А.В. Зорин, В.И. Шевченко, М.А. Федоткин. — Инв. №. 02.2010.53.618. — Н.Новгород, 2010. — 83 с.

47. Зорин, А.В. Кибернетический подход к построению и анализу математической модели тандема двух перекрёстков / А.В. Зорин // Проблемы теоретической кибернетики. Материалы XVI Международной конференции (Нижний Новгород, 20-25 июня 2011 г.) / Под ред. Ю.И. Журавлева. Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского университета, 2011. — С. 179-183.

48. Зорин, А.В. Устойчивость тандема систем обслуживания с бернул-лиевским немгновенным перемещением требований / А.В. Зорин // Теория вероятностей и математическая статистика. — 2011. — Вып. 84. — С. 163-176.

49. Зорин, А.В. Минимизация стоимости разгрузки для экспоненциального процесса обслуживания с разделением времени / А.В. Зорин // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. — 2011. — № 4(17). — С. 55-63.

50. Зорин, А.В. Вычисление стационарного распределения числа обслуженных требований / А.В. Зорин // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. — 2011. — № 3(2). — С. 47-54.

51. Зорин, А.В. Предельные свойства счётной цепи Маркова с квази-тёплицевой переходной матрицей / А.В. Зорин // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2011. — № 6. — С. 839-851.

52. Зорин, А.В. Достаточное условие эргодичности экспоненциального процесса обслуживания с переналадками в случайной среде / А.В. Зо-

рин // Международная конференция «Теория вероятностей и её приложения», посвященная 100-летию со дня рождения Б.В. Гнеденко (Москва, 26-30 июня 2012 года): Тезисы докладов / Под ред. А.Н. Ширяева, А.В. Лебедева. — М.: ЛЕНАНД, 2012. — С. 194-195.

53. Зорин, А.В. О среднем времени пребывания требований при циклическом управлении с фиксированным ритмом / А.В. Зорин // Материалы XI Международного семинара «Дискретная математика и её приложения», посвященного 80-летию со дня рождения академика О.Б. Лу-панова (Москва, МГУ, 18-23 июня 2012 г.) / Под редакцией О.М. Касим-Заде. — М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ. 2012. — С. 122-125.

54. Зорин, А.В. Об условиях существования стационарного режима в тандеме систем массового обслуживания с циклическим управлением в случайной среде / А.В. Зорин // Автоматика и вычислительная техника. — 2013. — № 4. — С. 28-39.

55. Зорин, А.В. Оптимизация параметров управления конфликтными потоками в классе циклических алгоритмов / А.В. Зорин // Вестник Томского госуниверситета. Управление, вычислительная техника и информатика. — 2013. — № 3(24). — С. 70-77.

56. Зорин, А.В. О циклическом обслуживании неординарных рекуррентных потоков / А.В. Зорин // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2013): Материалы XII Всероссийской научно-практической конференции с международным участием имени А.Ф. Терпугова (29-30 ноября 2013 г.). — Томск: Изд-во Том. ун-та, 2013. — Ч. 2. — С. 15-20.

57. Зорин, А.В. Стохастическая модель сообщающихся систем массового обслуживания с повторными вызовами и циклическим управлением в случайной среде / А.В. Зорин // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 100-109.

58. Зорин, А.В. Анализ стохастической модели сообщающихся систем массового обслуживания с повторными вызовами и циклическим алгоритмом управления в случайной среде / А.В. Зорин, Н.Ю. Кузнецов,

И.Н. Кузнецов // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. — 2013. — № 5. — С. 217-223.

59. Зорин, А.В. Методы Монте-Карло для параллельных вычислений: Учебное пособие / А.В. Зорин, М.А. Федоткин. — М.: Издательство Московского университета, 2013. — 192 с., ил. — (Серия "Суперкомпьютерное образование").

60. Зорин, А.В. Кибернетическая модель циклического управления конфликтными потоками с последействием / А.В. Зорин // Проблемы теоретической кибернетики. Материалы XVII международной конференции (Казань, 16-20 июня 2014 г.). Под редакцией Ю.И. Журавлева. — Казань: Отечество, 2014. — С. 112-114.

61. Зорин, А.В. О стоимости разгрузки двухпроцессорных систем обслуживания в классе алгоритмов разделения времени в случайной среде / А.В. Зорин // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТТМ-2014): материалы XIII Международной научно-практической конференции имени А.Ф. Терпугова (20-22 ноября 2014 г.). — Томск: Издательство Томского университета, 2014. — Ч. 2. — С. 158-163.

62. Зорин, А.В. Кибернетическая модель циклического управления конфликтными потоками с последействием / А.В. Зорин // Учёные записки Казанского университета. Серия: Физико-математические науки. — 2014. — Т. 156. — № 3. — С. 66-75.

63. Зорин, А.В. О потоке повторных требований в тандеме циклических систем обслуживания в стационарном режиме / А.В. Зорин, В.А. Зорин // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2015): Материалы XIV Международной конференции имени А.Ф. Терпугова (18-22 ноября 2015 г.). — Томск: Изд-во Том. ун-та, 2015. — Ч. 1. — С. 119-122.

64. Ивницкий, В.А. Сети массового обслуживания в ЭВМ (обзор) /

B.А. Ивницкий // Зарубежная радиоэлектроника. — 1977. — Т. 7. —

C. 33-70.

65. Ивницкий, В.А. Многоканальная система массового обслуживания

с выделенным каналом / В.А. Ивницкий // Автоматика и телемеханика. — 2000. — Вып. 6. — С. 91-103.

66. Ивницкий, В.А. Теория сетей массового обслуживания / В.А. Ивницкий. — М.: Изд-во Физико-математической литературы, 2004. — 772 с.

67. Кабанов, Ю.М. Мартингальные методы в теории точечных процессов / Ю.М. Кабанов, Р.Ш. Липцер, А.Н. Ширяев // Труды школы-семинара по теории случайных процессов (Друскининкай, 1974), ч. II / Под ред. А. Н. Ширяева. — Ин-т физ. и матем. АН Лит. ССР Вильнюс, 1975. — С. 269-354.

68. Калашников, В.В. Качественный анализ поведения сложных систем методом пробных функций / В.В. Калашников. — М.: Наука, 1978. — 247 с.

69. Канторович, Л.В. Приближенные методы высшего анализа / Л.В. Канторович, В.И. Акилов. — Л.: Физматлит. — 1962. — 708 с.

70. Касконе, А. Система МАР^/1/оо в дискретном времени с инверсионной вероятностной дисциплиной обслуживания / А. Касконе, Р. Ман-зо, А.В. Печинкин, С. Салерно // Автоматика и телемеханика. — 2010. — Вып. 12. — С. 57-69.

71. Кемени, Дж. Конечные цепи Маркова / Дж. Кемени, Дж. Снелл. — М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1970. — 272 с.

72. Китаев, М.Ю. Системы обслуживания с ветвящимися потоками вторичных требований / М.Ю. Китаев, В.В. Рыков // Автоматика и телемеханика. — 1980. — № 9. — С. 52-61.

73. Климов, Г.П. Стохастические системы обслуживания / Г.П. Климов. — М.: Наука, 1966. — 243 с.

74. Климов, Г.П. Системы обслуживания с разделением времени. I / Г.П. Климов // Теория вероятностей и её применения. — 1974. — Т. 19, Вып. 3. — С. 558-576.

75. Климов, Г.П. Теория вероятностей и математическая статистика / Г.П. Климов. — М.: Наука 1983. — 328 с.

76. Климов, Г.П. Приоритетные системы обслуживания с ориентаци-

ей / Г.П. Климов, Г.К. Мишкой. — М.: Изд-во Московского университета, 1979. — 223 с.

77. Кнут, Д. Искусство программирования. Т. 2. Получисленные алгоритмы / Д. Кнут. — М.: Вильямс, 2005. — 832 с.

78. Кокс, Д.Р. Теория очередей / Д.Р. Кокс, У. Л. Смит. — М.: Мир. — 1966. — 218 с.

79. Кокс, Д.Р. Статистический анализ последовательности событий / Д.Р. Кокс, П. Льюис. — М.: Мир, 1969. — 312 с.

80. Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания / И.Н. Коваленко // Итоги науки. Серия Теория вероятностей. 1963. — М.: ВИНИТИ, 1963. — С. 73-125.

81. Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания /И.Н. Коваленко // Итоги науки. Серия Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика. 1970. — М.: ВИНИТИ, 1970. — С. 5109.

82. Леонтьев, Н.Д. Анализ системы обслуживания с входящим потоком авторегрессионного типа / Н.Д. Леонтьев, В.Г. Ушаков // Информатика и её применения. — 2014. — Т. 8, вып. 3. — С. 39-44.

83. Литвак, Н.В. Вероятностная модель адаптивного управления конфликтными потоками / Н.В. Литвак, М.А. Федоткин // Автоматика и телемеханика. — 2000. — № 5. — C. 67-76.

84. Ляпунов, А.А. Теоретические проблемы кибернетики / А. А. Ляпунов, С. В. Яблонский // Проблемы кибернетики: сборник статей. — М.: Физматгиз, 1963. — С. 5-22.

85. Маталыцкий, М.А. Математический анализ стохастических моделей обработки исков в страховых компаниях / М.А. Маталыцкий, Т.В. Русилко. — Гродно: ГрГУ, 2007. — 335 с.

86. Мишкой, Г.К. Обобщённые приоритетные системы / Г.К. Мишкой. — Chi§inäu: Stiin^a, 2007. — 200 p.

87. Назаров, А.А. Теория массового обслуживания / А.А. Назаров, А.Ф. Терпугов. —2-е изд., испр. — Томск: Изд-во НТЛ, 2010. — 228 с.

88. Невё, Ж. Математические основы теории вероятностей / Ж.

Невё. — М.: Мир, 1969. — 309 с.

89. Неймарк, Ю.И. Работа автомата с обратной связью, управляющего уличным движением на перекрёстке / Ю.И. Неймарк, М.А. Федоткин, А.М. Преображенская // Изв. АН СССР. Сер. Техническая кибернетика. — 1968. — № 5. С. 129-141.

90. Нуммелин, Э. Общие неприводимые цепи Маркова и неотрицательные операторы / Э. Нуммелин. — М.: Мир, 1989. — 207 с.

91. Прабху, Н. Стохастические процессы теории запасов / Н. Праб-ху. — М.: Мир, 1984. — 184 с.

92. Пройдакова, Е.В. Управление выходными потоками в системе с циклическим обслуживанием и переналадками / Е.В. Пройдакова, М.А. Федоткин // Автоматика и телемеханика. — 2008, N0. 4. — С. 96-106.

93. Рачинская М.А. Изучение характеристик потока машин в условиях малой плотности/ М.А. Рачинская, М.А. Федоткин; Нижегород. гос. унт. — Нижний Новгород, 2012. — 36 с.:ил. — Библиогр.: 17 назв. — Рус. — Деп. в ВИНИТИ 26.01.12, N. 27 - В2012.

94. Рыков, В.В. Управляемые системы массового обслуживания / В.В. Рыков // Итоги науки и техники. Серия Теория вероятнностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика. Т. 12, — М.: ВИНИТИ, 1975. — С. 43-153.

95. Рыков, В.В. Об оптимальных динамических приоритетах в однолинейных системах массового обслуживания / В.В. Рыков, Э.Е. Лем-берг // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. — 1967. — № 1. — С. 25-34.

96. Рыков, В.В. К проблеме медленного прибора / В.В. Рыков, Д.В. Ефросинин // Автоматика и телемеханика. — 2007. — Вып. 12. — С. 8191.

97. Саати, Т.Л. Элементы теории массового обслуживания и её применение / Т.Л. Саати. — М.: Советское радио, 1971. — 520 с.

98. Самандаров, Э.Г.Об обслуживании неординарного потока / Э.Г. Самандаров, А.А. Шахбазов // «Кибернетику на службу коммунизму». — М.: «Энергия», 1964. — С. 338-353.

99. Севастьянов, Б.А. Предельная теорема для марковских процессов / Б.А. Севастьянов // Теория вероятностей и её применения. — 1957. — Т.2. — С. 106-116.

100. Страуструп, Б. Язык программирования С++. Специальное издание / Б. Страуструп. — СПб.: БИНОМ, 2012. — 1136 с.

101. Таташев, А.Г. Система массового обслуживания с переменной интенсивностью входного потока / А.Г. Таташев // Автоматика и телемеханика. — 1995. — Вып. 12. — С. 78-84.

102. Ушаков, В.Г. Система обслуживания с эрланговским входящим потоком и относительным приоритетом / В.Г. Ушаков // Теория вероятностей и её применения. — 1977. —Т. 22, № 4. — С. 860-866.

103. Ушаков, В.Г. Приоритетные системы с рекуррентными входящими потоками / В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков. — М.: Изд-во Фак. ВМиК МГУ, 2000. — 44 с.

104. Фархадов, М.П. Двухфазная модель с неограниченными очередями для расчёта характеристик и оптимизации речевых порталов самообслуживания / М.П. Фархадов, Н.В. Петухова, Д.В. Ефросинин, О.В. Семенова // Проблемы управления. — 2010. — № 6. — С. 53-57.

105. Федоткин, М.А. Построение и изучение математических моделей нелинейных систем массового обслуживания (НСМО) с целью оптимизации управления конфликтными потоками / М.А. Федоткин //В кн.: Пятое Всесоюзное совещание по проблемам управления. Часть I. — М.: Наука, 1971. — С. 290-292.

106. Федоткин, М.А. Алгебраические свойства распределений для функционалов Чжуна однородных марковских цепей со счётным множеством состояний / М.А. Федоткин // ДАН СССР. — 1976. — Т. 7. — С. 43-46.

107. Федоткин, М.А. Неполное описание квазирегенерирующих входных потоков неоднородных требований и транспортные потоки / М.А. Федоткин //В кн.: Четвёртое всесоюзное совещание по статистическим методам теории управления. — М.: Наука, 1978. — С. 234-236.

108. Федоткин, М.А. Неполное описание потоков неоднородных тре-

бований / М.А. Федоткин //В кн.: Теория массового обслуживания. — М.: МГУ-ВНИИСИ, 1981. — С. 113-118.

109. Федоткин, М.А. Оптимальное управление конфликтными потоками и маркированные точечные процессы с выделенной дискретной компонентой, I / М.А. Федоткин // Литовский математический сборник. —

1988. — Т. 28, №. 4. — С. 784-794.

110. Федоткин, М.А. Оптимальное управление конфликтными потоками и маркированные точечные процессы с выделенной дискретной компонентой. II / М.А. Федоткин // Литовский математический сборник. —

1989. — Т. 29, № 1. — С. 148-159.

111. Федоткин, М.А. Процессы обслуживания и управляющие системы / М.А. Федоткин // Математичекие вопросы кибернетики. Вып. 6: Сборник статей / Под ред. С. В. Яблонского. — М.: Наука. Физматлит, 1996. — С. 51-70.

112. Федоткин, М.А. Нелокальный способ задания управляемых случайных процессов / М.А. Федоткин // Математические вопросы кибернетики. Вып. 7: Сборник статей / Под ред. С.В. Яблонского. — М.: Наука. Физматлит, 1998. — С. 333-344.

113. Федоткин, М.А. О корректности вероятностных моделей динамики транспортных потоков на автомагистрали / М.А. Федоткин, Е.В. Кудрявцев, М.А. Рачинская // Труды международного семинара «Распределенные компьютерные и коммуникационные сети» (Москва, 26-28 октября 2010). — М.: Научно-исследовательская компания «Информационные и сетевые технологии». — С. 86-94.

114. Федоткин, М.А. Теория дискретных систем с переменной структурой обслуживания квазирегенерирующих потоков / М.А. Федоткин. Диссертация на соискание степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика. — Горький, 1980. — 330 с.

115. Федоткин, М.А. Надёжность управляющей системы и статистический анализ сбоев её элементов / М.А. Федоткин, Л.Н. Анисимова // Вестник Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского «Мате-

матическое моделирование и оптимальное управление». — 2000. — Вып. 1(22). — С. 14-22.

116. Федоткин, М.А. Анализ и оптимизация выходных процессов при цик лическом управлении конфликтными транспортными потоками Гне-денко - Коваленко / М.А. Федоткин, А.М. Федоткин // Автоматика и телемеханика. — 2009. — № 12. — C. 92-108.

117. Федоткин, М.А. Модели в теории вероятностей / М.А. Федоткин. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2012. — 608 с.

118. Федоткин М.А. Изучение процессов разгрузки в системах обслуживания по алгоритму с разделением времени. Промежуточный отчёт о НИР ФГАОУВО ННГУ им. Н.И. Лобачевского / Федоткин М.А., Зорин А.В., Рачинская М.А., Гришагин А.В. — Инв. № 215030240073. — Н.Новгород, 2015. — 46 с.

119. Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и её приложения: в 2 т. Т. 2 / В. Феллер. — М.: Мир, 1984. — 751 с.

120. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том II / Г.М. Фихтенгольц. — М.: Физматлит, 2005. — 810 с.

121. Франкен, П. Очереди и точечные процессы / П. Франкен, Д. Кё-ниг, У. Арндт, Ф. Шмидт. — Киев: Наукова думка, 1984. — 284 с.

122. Харин, Ю.С. Математические и компьютерные основы статистического анализа данных и моделирования / Ю.С. Харин, В.И. Малюгин, М.С. Абрамович. — Минск: БГУ, 2008. — 455 с.

123. Хинчин, А.Я. Работы по теории массового обслуживания. Под ред. Б.В. Гнеденко / А.Я. Хинчин. — М.: Физматлит, 1963. — 236 с.

124. Ховард, Р. Динамическое программирование и марковские процессы / Р. Ховард. — М.: Советское радио, 1964. — 190 с.

125. Чжун, К.Л. Однородные цепи Маркова / К.Л. Чжун. — М.: Мир, 1964. — 425 с.

126. Ширяев, А.Н. Вероятность. В 2-х кн. Кн. 1 / А.Н. Ширяев. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: МЦНМО, 2004. — 520 с.

127. Ширяев, А.Н. Вероятность. В 2-х кн. Кн. 2 / А.Н. Ширяев. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: МЦНМО, 2004. — 408 с.

128. Якушев, Ю.Ф. Об обслуживании неординарного потока несколькими приборами /Ю.Ф. Якушев // Проблемы передачи информации. — 1972. — Т. VIII, вып. 2. — С. 54-59.

129. Янушаускас, А.И. Аналитические и гармонические функции многих переменных / А.И. Янушаускас. — Новосибирск: Наука, 1981. — 180 с.

130. Afanasyeva, L.G. Stochastic models of transport flows / L. Afanasyeva, E. Bulinskaya // Communications in statistics — Theory and methods. — 2011. — V. 40. — P. 2830-2846.

131. Asmussen, S. Applied probability and queues / S. Asmussen. — 2nd ed. — N.Y.: Springer, 2003. — 438 p.

132. Bartlett, M.S. The spectral analysis of point processes / M.S. Bartlett // Journal of Royal statistical society, Ser. B. — 1963. — V. 25, № 2. — P. 264-296.

133. Borst, S.C. Polling systems /S.C. Borst. — Amsterdam: Centrum voor Wiskunde en Informatica, 1996. — 232 p.

134. Boxma, O.J. The single-server queue with random service output / O.J. Boxma // Journal of applied probability. — 1975. — V.12, № 4. — P. 763-778.

135. Boucherie, R.J. The workload in the M/G/1 queue with work removal /R.J. Boucherie, O.J. Boxma // Probability engineering and informational sciences. — 1996. — V. 10, № 2. — P. 261-277.

136. Brockmeyer, E. The life and works of A.K. Erlang / E. Brockmeyer, H.L. Halstr0m, A. Jensen. — K0benhavn: Akademiet for de tekniske videns-aber, 1948. — 278 s.

137. Brumelle, S.L. A generalization of Erlang's loss system to state dependent arrival and service rates / S.L. Brumelle // Mathematics of operations research. — 1978. — V. 3, № 1. — P. 10-16.

138. Burke, P.J. The output of a queueing system / P.J. Burke // Operations research. — 1956. — V. 4, № 6. P. 699-704.

139. Butenhof, D.R. Programing with POSIX threads / D.R. Butenhof. — Addison-Wesley Professional, 1997. — 381 p.

140. Cox, D. The analysis of non-Markovian stochastic processes by the includion of supplimentary variables / D. Cox // Mathematical proceedings of the Cambridge philosophical society. — 1955. — V. 51, № 3. — P. 433-441.

141. Disney, R.L. Queueing networks: a survey of their random processes / R.L. Disney, D. Konig // SIAM Review. — 1985. —V. 27, № 3. — P. 335-403.

142. Down, D. On the stability of polling models with multiple servers / D. Down // Journal of applied probability. — 1998. — V. 53. — P. 925-935.

143. Eaton, J.W., GNU Octave Manual Version 3 / J.W. Eaton, D. Bate-man, S. Hauberg. — Network theory, Ltd, 2008. — 568 p.

144. Eisen, M. Stochastic variations in queueing processes / M. Eisen, M. Tainiter // Operations research. — 1963. — V. 11, № 6. — P. 922-927.

145. Erlang, A.K. Sandsynlighedsregning og Telefonsamtaler / A.K. Erlang // Nyt tidskrift for matematik B. — 1909. — V. 20. — P. 33-39.

146. Falin, G. A survey of retrial queues / G. Falin // Queueing systems. — 1990. — V. 7, № 2. — P. 127-167.

147. Falin, G. Retrial queues / G. Falin, G.C. Templeton. — London: CRC Press, 1997. — 320 p.

148. Fayolle, G. Topics in the constructive theory of countable Markov chains / G. Fayolle, V.A. Malyshev, M.V. Menshikov. — Cambridge: Cambridge University Press, 1995. — 169 p.

149. Fedotkin, M.A. On a class of stable algorithms for control of conflicting flows or arriving airplanes / M.A. Fedotkin // Problems of control and information theory. — 1977. — V. 6, № 1. — P. 13-22.

150. Fedotkin, M.A. Construction of a model and investigation of nonlinear algorithms for control of intense conflict flows in a system with variable structure of servicing demands. I / M.A. Fedotkin // Lithuanian mathematical journal. — 1977. — V. 17, № 1. — P. 129-137.

151. Fedotkin, M.A. State space structure of a random process describing the dynamic behavior of systems with a variable service structure under a control of conflict flows in a class of nonlinear homogeneous algorithms. II / M.A. Fedotkin // Lithuanian mathematical journal. — 1977. — V. 17, № 2. — P. 279-288.

152. Fedotkin, M.A. Boundary properties of distributions for states of systems with variable structure of demand service under control of conflict flows in a class of nonlinear homogeneous algorithms. III / M.A. Fedotkin // Lithuanian mathematical journal. — 1977. — V. 17, № 3. — P. 335-343.

153. Fedotkin, M.A. Optimization of control of conflict flows with repeated service / M.A. Fedotkin, A.V. Zorine // Journal of mathematical sciences. — 2013. — V. 191, № 4. — P. 492-505.

154. Fedotkin, M.A. Parameters estimator of the probabilistic model of moving batches traffic flow / M.A. Fedotkin, M.A. Rachinskaya // Distributed computer and communication networks. 17th international conference, DCCN 2013, Moscow, Russia, October 7-10, 2013. Revised Selected Papers. — 2014. — P. 154-168.

155. Foss, S. Stability of polling systems with state-dependent routing and with exhaustive service policies / S. Foss, G. Last // Annals of applied probability. — 1996. — V. 6, № 1. — P. 116-137.

156. Foster, F.C. On the stochastic matrices associated with certain queue-ing processes / F.C. Foster // Annals of mathematical statistics. — 1953. — V. 24. — P. 355-360.

157. Glazebrook, K.D. An analysis of Klimov's problem with parallel servers / K.D. Glazebrook // Mathematical methods of operational research. — 2003. — V. 58. — P. 1-28.

158. Gómez-Corral, A. A Tandem Queue with Blocking and Markovian Arrival Process / A. Gómez-Corral // Queueing systems. — 2002. — V. 41, № 4. — P. 343-370.

159. Gorunescu, F. A queueing model for bed-occupancy management and planning of hospitals / F. Gorunescu, S.I. McClean, P.H. Millard // Journal of the operational research society. — 2002. — V. 53, № 1. — P. 19-24.

160. Grandell, J. Doubly stochastic Poisson processes / J. Grandell. — Berlin, Heidelberg, New York: Springer Verlag, 1976. — 234 p.

161. Grassmann, W. K. Equilibrium distribution of block-structured Markov chains with repeating rows / W. K. Grassmann, D. P. Heyman // Journal of applied probability. — 1990. — V. 27. —P. 557-576.

162. Haight, F.A. Mathematical theories of traffic flow / F.A. Haight. — New York: Academic press, 1963. — 241 p.

163. Heidemann, D. Queueing at unsignalized intersections / D. Heidemann, H. Wegmann // Transportation research part B: methodological. — 1997. — V. 31, №3. — P. 239-263.

164. Jackson, J.R. Networks of waiting lines / J.R. Jackson // Operations research. — 1957. — V. 5, № 4. — P. 518-521.

165. Jagerman, D.L. Stochastic modeling of traffic process / D.L. Jager-man, B. Melamed, W. Willinger // In: Frontiers in queueing: models and applications in science and engineering / edited by J.H. Dshalalov. — Boca Raton: CRC Press, 1997. — P. 271-320.

166. Johannsen, F.W. Waiting times and number of calls / F.W. Jo-hannsen // The post office electrical engineerrs' journal — Reprinted in October, 1910, p.244; January, 1911, p.303.

167. Kalashnikov, V.V. Mathematical methods in queueing theory / V.V. Kalashnikov. — Dordrecht: Kluwer, 1994. — 377 p.

168. Kannan, D. An introduction to stochastic processes / D. Kannan. — New York, North Holland: Elsvier Science Ltd, 1979. — 296 p.

169. Kelly, F.P. Loss networks / F.P. Kelly // The annals of applied probability. — 1991. — V. 1, № 3. — P. 319-378.

170. Kendall, D.G. Stochastic processes occurring in the theory of queues and their analysis by the method of the imbedded markov chain / D.G. Kendall // The annals of mathematical statistics. — 1953. — V. 24, № 3. — P. 338-354.

171. Kingman, J.F.C. The first Erlang century — and the next / J.F.C. Kingman // Queueing systems. — 2009. — V. 63. — P. 3-12.

172. Klimenok, V.I. The BMAP/G/1 /N -/PH/1 /M tandem queue with losses / V.I. Klimenok, L. Breuer, G. Tsarenkov, A.N. Dudin // Performance evaluation. — 2005. — V. 61, № 1. — P. 17-40.

173. Koole, G. Queueing Models of Call Centers: An Introduction / G. Koole, A. Mandelbaum // Annals of operations research. — 2002. — V. 113, № 1-4. — P. 41-59.

174. Krishnamoorthy, B. On Poisson queue with two heterogeneous servers / B. Krishnamoorthy // Operational research. — 1963. — V. 11. — P. 321-330.

175. Lin, W. Optimal control of a queueing system with two heterogeneous servers / W. Lin, P.R. Kumar // IEEE Transactions on automation and control. — 1984. — V. 29. — P. 696-703.

176. Lindley, D.V. The theory of queues with a single server / D.V. Lind-ley // Mathematical proceedings of the Cambridge philosophical society. — 1952. — V. 48, No. 2. — P. 277-289.

177. Lucantoni, D.M. The transient BMAP/G/1 queue / D.M. Lucantoni, G.L. Choudhury, W. Whitt // Communications in statistics. Stochastic models. — 1997. — V. 10, № 1. — P. 145-182.

178. Manitz, M. Queueing-model based analysis of assembly lines with finite buffers and general service times / M. Manitz // Computers & operations research. — 2008. — V. 35, № 8. — P. 2520-2536.

179. Martins-Neto, A.F. A martingale approach to queues / A.F. Martins-Neto, E. Wong // Stochastic systems: modeling, mdentification and optmiza-tion, II (Roger J.-B. Wets, Eds.). — Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1976. 265 p.

180. Matsumoto, M. Mersenne twister: A 623-dimensionally equidis-tributed uniform pseudorandom number generator / M. Matsumoto, T. Nishimura // ACM Transactions on modeling and computer simulations, 1998. — V. 8, No. 1. — P. 3-30.

181. Matsumoto, M. SIMD-oriented Fast Mersenne Twister (SFMT): twice faster than Mersenne Twister / M. Matsumoto. — Режим доступа: http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/ m-mat/MT/SFMT/ (дата обращения: 01.02.2014).

182. Matthes, K. Zur Theorie der Bedienungprozesse / K. Matthes // Transactions of 3rd Prague conference on information theory, statistical decision functions and random processes. Prague, 1962. — Prague: Ceskoslovenska akademie ved S. 513-528.

183. Mei, R.D., van der. Polling models with renewal arrivals: a new

method to derive heavy-traffic asymptotics / R.D. van der Mei, E.M.M. Winands // Performance evaluation. — 2007. — V. 64. — P. 1029-1040.

184. Meyn, S.P. Markov chains and stochastic stability / S.P. Meyn, R.L. Tweedie. —2nd ed. — London: Springer-Verlag, 1993. — 566 p.

185. Moustafa, M.D. Input-output Markov processes / M.D. Moustafa // Proceedings of the Koninkijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen. — 1957. — V. 60. — P. 112-118.

186. Neuts, M.F. A queue subject to extraneous phase change / M.F. Neuts // Advances in applied probability. — 1971. — V. 3, № 1. — P. 78-119.

187. Neuts, M.F. Matrix-geometric solutions in stochastic models : an algorithmic approach / M.F. Neuts. — Baltimore: John Hopkins University Press, 1981.

188. Nummelin, E. Regeneration in tandem queues / E. Nummelin // Advances in applied probability. — 1981. — V. 13, № 1. — P. 221-230.

189. Pack, C.D. The output of and M/D/1 queue / C.D. Pack // Operations research. — 1975. — V. 23, № 4. — P. 750-760.

190. Raghavan, N.R.S. Generalized queueing network analysis of integrated supply chains / N.R. Srinivasa Raghavan, N. Viswanadham // International journal of production research. — 2001. — V. 39, № 2. — P. 205-224.

191. Reich, E. Waiting times when queues are in tandem /E. Reich // The annals of mathematical statistics. — 1957. — V. 28, № 3. — P. 768-773.

192. Rogiest, W. Stability of single-wavelength optical buffers / W. Rogi-est, E. Morozov, D. Fiems, K. Laevens and H. Bruneel // European transactions on telecommunications. — 2010. — V. 21, № 3. — P. 202-212.

193. Saito, M. SIMD-oriented Fast Mersenne Twister: a 128-bit Pseudorandom Number Generator / M. Saito, M. Matsumoto // Monte-Carlo and quasi-Monte-Carlo methods 2006. Eds A. Keller, S. Heinrich, H. Niederreiter. — Springer, 2008. — P. 607-622.

194. Schassberger, R. Insensitivity of steady-state distributions of generalized semi-Makrov processes. Part I / R. Schassberger // The annals of probability. — 1977. — V. 5, №1. — P. 87-99.

195. Sennott, L.I. Stochastic dynamic programming and the control of

queueing systems / L.I. Sennott. — New York: John Wiley and sons, Inc., 1999. — 361 p.

196. Stidham, S. A survey of Markov decision models for control of networks of queues / S. Stidham, R. Weber // Queueing systems. — 1993. — V. 13. — P. 291-314.

197. Takagi, H. Analysis of polling systems /H. Takagi. — Cambrigde: MIT Press, 1986. — 197 p.

198. Winands, E.M.M. A state-dependent polling model with k-limited service / E.M.M. Winands, I.J.B.F. Adan, G.J. van Houtum, D.G. Down // Probability in the engineering and informational sciences. — 2009. — V. 23, № 2. — P. 385-408.

199. Whitt, W. Approximations for deprature processes and queues in series / W. Whitt // Naval research logistics quarterly. — 1984. — V. 31. — P. 499-521.

200. Yamada, K. Simulation analysis of two adjacent traffic signals /K. Ya-mada, T.N. Lam // Proceedings of the 17th winter simulation conference. — New York: ACM, 1985. — P. 454-464.

201. Zorine, A. Limit properties of Markov chains describing time-sharing systems with branching secondary flows / A. Zorine // Массовое обслуживание: потоки, системы, сети: материалы междунар. науч. конф. «Математические методы повышения эффективности информационно-телекоммуникационных сетей», г. Гродно, 29 янв. — 1 февр. 2007 г., Минск: РИВШ, 2007. — Вып. 19. — С. 287-283.

202. Zorine, A. Time-sharing system with branching input flows in randon environment / A. Zorine // Proceedings of the International conference «Modelling of business, industrial and transport systems», Riga, Latvia, May 7-10, 2008. — Riga: Transport and telecommunication institute, 2008. — P. 225-232.

203. Zorine, A. Stability conditions for marked point processes with qu-asitoeplitz selected discrete component / A. Zorine // Proceedings of the 8th International conference «Reliability and statistics in transportation and communication», October 15-18, 2008, Riga, Latvia. — Riga: Transport and

telecommunication institute, 2009. — P. 366-373.

204. Zorin, A. Stability conditions for marked point processes with qua-sitoeplitz selected discrete component / A. Zorine // Computer modelling and new technologies. — 2008. — V. 12, № 4. — P. 54-61.

205. Zorine, A. New stability conditions for time-sharing servicing process in random environment / A. Zorine // Массовое обслуживание: потоки, системы, сети: материалы междунар. науч. конф. «Современные математические методы анализа и оптимизации информационно-телекоммуникационных сетей», Минск, 26-29 янв. 2009 г. Вып. 20 / ред-кол.: А.Н. Дудин и др. — Минск: РИВШ, 2009. — С. 255-260.

206. Zorine, A.V. Computation of unloading time for time-sharing service process with readjustments / A.V. Zorine // Proceedings of the 9th International Conference «Reliability and Statistics in Trandportation and Communication» (RelStat'09), 21-24 October, Riga, Latvia, 2009. — Riga: Transport and telecommunication institute, 2009. — P. 78-85.

207. Zorine, A.V. Stability of a tandem queueing system with delayed Bernoulli transition of customers / A.V. Zorine // Abstracts of international conference «Modern stochastics: theory and applications II» Dedicated to the anneversaries of prominent Ukranian scientists: Anatolij Sko-rokhod, Volodymyr Korolyuk and Igor Kovalenko, September 7-11, 2010, Kyiv, Ukrain. — Kyiv: Kyiv National University, 2010. — P. 76.

208. Zorine, A.V. Computer analysis of a cyclic service algorithm with varying durations / A.V. Zorine // Computer data analysis and modeling: Complex stochastic data and systems: Proceedings of the Ninth International Conference, Minsk, Sept. 7-11, 2010. In 2 vol. Vol. 2. — Minsk: Publ. center of BSU, 2010. — P. 210-213.

209. Zorine, A. Optimization of conflict queuing process with cyclic control and varying service and readjustment durations / A. Zorine // (Proceedings of an International Workshop) Distributed computer and communication networks. Theory and Applications (DCCN-2010). — Moscow: R&D Company «Information and Networking Technologies», 2010. — P. 251-256.

210. Zorine, A. Cost of reaching with prohibition for an exponential time-

sharing queueing process / A. Zorine // Proceedings of the International conference «Modern probabilistic methods for analysis and optimization of information and telecommunication networks», Minsk, January 31 - February 3, 2011 — Минск: РИВШ, 2011. — С. 266-282.

211. Zorine, A.V. Optimization of a time-sharing queueing process in random environment with means of computer simulation / A.V. Zorine // Applied methods of statistical analysis. Simulations and statistical inference. Book of abstracts of the international workshop. Novosibirsk, 20-22 September, 2011. Novosibirsk: NSTU Publishing, 2011. — P. 23.

212. Zorine, A.V. Optimization of a time-sharing queueing process in random environment with means of computer simulation / A.V. Zorine // Proceedings of the International Workshop «Applied Methods of Statistical Analysis. Simulations and Statistical Inference» — AMSA'2011, Novosibirsk, Russia, 20-22 September, 2011. — Novosibirsk: NSTU Publishing, 2011. — P. 386-393.

213. Zorine, A.V. Stochastic model for communicating retrial queueing systems with cyclic control in random environment / A.V. Zorine // International conference «Modern stochastics: theory and applications III». Kyiv, September 10-14, 2012. Conference materials. — Kyiv: Kyiv National University, 2012. — P. 70.

214. Zorin, A.V. Stability of a tandem of queueing systems with Bernoulli noninstantaneous transfer of customers / A.V. Zorine // Theory of probability and mathematical statistics. — 2012. — V. 84. — P. 173-188.

215. Zorine, A. Study of queues' sizes in tandem intersections under cyclic control in random environment / A.V. Zorine // Modern probabilistic methods for analysis of telecommunication networks. Communications in computer and information science. — 2013. — V. 356. — P. 206-215.

216. Zorine, A.V. On the conditions of existence of a stationary mode in a tandem of queueing systems with cyclic control in a random environment / A.V. Zorine // Automatic control and computer sciences. — 2013. — V. 47. — № 4. — P. 183-191.

217. Zorine, A. Stochastic model for communicating retrial queuing sys-

tems with cyclic control in random environment / A.V. Zorine // Cybernetics and systems analysis. — 2013. — V. 49, № 6. — P. 890-897.

218. Zorine, A.V. On ergodicity conditions in a polling model with Markov modulated input and state-dependent routing / A.V. Zorine // Queueing systems. — 2014. — V. 76. — № 2. — P. 223-241.

219. Zorine, A. Stability and unloading cost of time-sharing dual-server systems in random environment / A. Zorine // Information technologies and mathematical modelling. 13th International scientific conference, ITMM 2014, named after A.F. Terpugov, Anzhero-Sudzhensk, Russia, November 20-22, 2014. Proceedings. — 2014. — P. 440-449.

220. Zorine, A.V. On a flow of repeated customers in stable cyclic queueing system / A.V. Zorine, V.A. Zorin // Information technologies and mathematical modelling. Proceedings of the 14th International scientific conference named after A.F. Terpugov (Anzhero-Sudzhensk, Russia, November 18-22). Eds.: A. Dudin et al. — Communications in Computer and Information Science, vol. 564. — 2015. — P. 114-127.