Теория и приложения методов последовательной безусловной минимизации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, доктор физико-математических наук Каплан, Александр Аврамович
- Специальность ВАК РФ01.01.07
- Количество страниц 254
Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Каплан, Александр Аврамович
ВВЕДЕНИЕ.
ГЛАВА I. Теоретические положения метода штрафов
§ 1.1. О некоторых общих конструкциях метода штрафов
§ 1.2. Характеристические свойства функций штрафа
§ 1.3. Двухсторонние оценки в методе штрафов. Конкретные системы функций штрафа
ГЛАВА 2. 0 скорости сходимости метода штрафов
§ 2.1. Характеристика вспомогательных задач в методе штрафов.
§ 2.2. Обзор исследований.
§ 2.3. Прямой метод оценки быстроты сходимости
§ 2.4. Оценки скорости сходимости по аргументу
ГЛАВА 3. Гладкая аппроксимация точных функций штрафа
§ 3.1. Специальный класс функций штрафа. Теоремы о сходимости метода.
§ 3.2. Некоторые свойства минимизирующей последовательности. Оценки скорости сходимости
ГЛАВА 4. Итерационные процессы выпуклого программирования с внутренней регуляризацией.
§ 4.1. Устойчивые алгоритмы на основе метода штрафов
§ 4.2. Метод штрафов с внутренней регуляризацией
§ 4.3. Сходимость по аргументу в методе с внутренней регуляризшдией.
ГЛАВА 5. Применение методов выпуклого программирования для решения нелинейных краевых задач
§ 5.1. Обобщение схемы Ритца на случай вариационных неравенств.
§ 5.2. Метод штрафов в применении к вариационным неравенствам
Рекомендованный список диссертаций по специальности «Вычислительная математика», 01.01.07 шифр ВАК
Аппроксимационные и регуляризирующие свойства штрафных функций и функций Лагранжа в математическом программировании2010 год, доктор физико-математических наук Скарин, Владимир Дмитриевич
Исследование и приближенные методы решения негладких полукоэрцитивных вариационных неравенств2001 год, кандидат физико-математических наук Пачина, Анна Викторовна
Адаптивные методы для вариационных неравенств и задач минимизации функционалов с обобщёнными условиями гладкости2020 год, доктор наук Стонякин Федор Сергеевич
Алгоритмическая выпуклая оптимизация2013 год, кандидат наук Нестеров, Юрий Евгеньевич
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ НЕЛОКАЛЬНЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ2016 год, кандидат наук Залялов Динар Гумарович
Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теория и приложения методов последовательной безусловной минимизации»
Среди множества практически важных оптимизационных задач выпуклые задачи представляют достаточно широкий класс, допускающий создание комплекса эффективных универсальных методов.
Теоретические исследования в области выпуклой оптими -задии, начатые работами Л.В.Канторовича ("зо] 1940 года и Ф. Джона [122] 1948 года и интенсивно проложенные после опуб -ликования в 1951 г. статьи Г.Куна и А.Таккера [129] , стимулировали формирование нового направления в математике - выпуклого анализа, в котором собственно теория выпуклых экстремальных задач является одной из основных частей.
К настоящему моменту имеется довольно значительный арсенал методов численного решения задач выпуклого црограмми -рования. Однако, при практическом их применении приходится сталкиваться и с серьезными трудностями, иногда в весьма благополучных по внешним признакам (относительно малая раз -мерность задачи, хорошая гладкость функций и пр.) ситуациях. Основные усилия специалистов в последнее время направлены не на создание новых подходов, а на совершенствование уже существующих.
При использовании методов выпуклого программирования решение исходной задачи, состоящей в минимизации выпуклой функции на выпуклом замкнутом множестве, обычно определяет -ся как предел последовательности решений более простых (вспомогательных) экстремальных задач. Выбирая за основу тип вспомогательных задач, можно разделить большинство методов выпуклого программирования на две группы.
К первой группе отнесем те методы, при реализации ко -торых цриходится на каждом шаге решать задачу минимизации линейной или выпуклой функции при линейных ограничениях.Это, прежде всего, различные варианты методов возможных направлений (см.,например, [18,26,27,64,113] ) отсечения [33,50,128, 144] , проекций градиента [5,69,142] . Вторую группу соста -вят методы, с помощью которых искомое решение определяется как предел последовательности безусловных минимумов специальным образом сконструированных вспомогательных функций: методы штрафов, барьеров, центров, модифицированных функций Лагранжа.
Естественно, такое разделение весьма условно. Если, например, использовать функции штрафа только для учета нелинейных ограничений, сохраняя линейные, мы получим метод, который с формальной точки зрения следовало бы отнести к первой группе, хотя, как будет ясно из дальнейшего, значительно удобнее исследовать его в рамках второй группы. С другой стороны, для решения вспомогательных задач безусловной минимизации в схеме метода центров может оказаться целесообразным [ 64] аппроксимировать их задачами на условный экстремум.
В данной работе в основном рассматриваются методы второй группы, которые, придерживаясь терминологии А.Фиакко и Г. Мак-Кормика [88] , будем именовать методами последова -тельной безусловной минимизации. Исключение в этом плане составляет § 5.1.
Начало исследований в этом направлении принято датировать 1943 годом, когда Р.Курант [107] , исходя из физических соображений, указал на возможность приближенного решения конкретной вариационной задачи вида: ~ ггИ^! при ограничении , - функционалы в некотором гильбертовом пространстве) на основе определения стационарных точек функционала ttJZ(3C) при больших значениях ~t . Однако, по-видимому, следует обратить внимание на существенно более раннюю работу Р.Куранта [106] , относящуюся к 1922 году. Предложенная в ней модификация вариационного процесса Ритца есть не что иное, как использование метода штрафов для обеспечения более квалифицированной сходимости минимизирующей последовательности.
В качестве исходной в главах I - 4 (и приложении) рассматривается конечномерная задача выпуклого программирования 4cxsi-ryu.hr!
О-1)
OLG Gr, где ^ : ß Й - выпуклая функция, &■ выпуклое замкнутое множество.
В методе штрафов вспомогательные задачи состоят в безусловной минимизации выпуклых функций F^ = 4 + , К- -. , где как правило, почти везде на ¡Z^ удовлетворяют предельному соотношению п. V^ Сое) - S^ (ос.) (0.2)
К -X» £(х}=
О при X £ & ^ . ^СО при х ф
Ввиду очевидной эквивалентности задачи (0.1) задаче безус -ловной минимизации функции + С * ) естественно рас -считывать, что при больших значениях К точки эсеё"окажутся достаточно близкими к множеству решении задачи (0.1) (если оно непусто). В предположении, что о.з) П ^ р> 4. где ^ : К -> Ьс выпуклые функции, соотношение (0.2) выполнено, например, для часто используемой на практике системы функций тгде ^-/с > 0 > ^^ ~~ . Функции такого рода более всего соответствуют привычным представлениям о штрафе.
Соображения эффективности не позволяют ограничиться решением одной или нескольких вспомогательных задач с большим номером К и метод штрафов следует рассматривать как реальный итерационный процесс, в котором при минимизации очередной функции - £ + \/к приближенное решение предыдущей задачи используется в качестве начальной точки.
Основными достоинствами метода штрафов являются его универсальность (на практике метод не без успеха применяется
30 см. § 2.1 к задачам, далеко выходящим за рашш выпуклой оптимизации), простота вычислительной схемы, возможность использования широкого аре енажа методов безусловной шншзащ. Наиболее существенше недостатки - возрастающие е увеличением номера !<■ "овражность" поверхностей уровня функций ("V , труд ность вычисления градиента в процессе поиска точки
СС^ . Отпеченные отрицательные факторы значительно снвжа -ют эффективность быстросходящихся методов безусловной мини -мжзацЕИ, жх устойчивость к ошибкам округления.
М.Хеетенеом [119] и М.Пауэллом [138] в 1969 г. была предложена модификация метода штрафов, в определенной степени свободная от указанных недостатков. Дальнейшие исследования в этом направлении привели к созданию новых интересных алгоритмов £ 2,15,17,55,70,99,145] .
В несколько вольной нетерпретащж методы этого класса удобно охарактеризовать следующим образом [П5] .
При использовании некоторых систем функций штрафа можно сконструировать итеращон
I*4 ный процесс ала 4 2* @Сос)+)л//~1)}(о.5)
ЭС&Р.*1
ДЛЯ К К > хЧ
0.6) с) " для К ^ ^ уД ^ м/4} , шбов , (0.7) с весьма простой процедурой (0.7) перевычисления параметров У- , который при подходящем выборе К приводит к решению задачи (ОД), (0.3).
Если, например, используются функции штрафа (0.4), то
Ц/) =г УУ1ЛЛС { о, ^сос) + ] ив принципе можно выбрать произвольно. Ясно, что при К- , ■ V/О ж {• ^ • ^ о)«О метод (0.5)-(0.7) превращается в обычный метод штрафов.
Алгоритмы такого рода возникли из различных соображений и имеют различные наименования (методы штрафов со сдвигами, штрафных оценок, модифицированных функций Лагранжа). В настоящее время вееьма перспективным для их развития представляется использование теории модифицированных функций Лагранжа [14,16,99,140] .
С точки зрения качества вспомогательных задач миними -зации номер предпочтительно брать, насколько это возможно, небольшим (в случае функций (0.4) положить , 1С- г — , при небольшом > О ). При этом легче осуществляется отыскание приближенных значений ОС1^ . Одна -ко, недостатком такого подхода является, как правило, весьма медленная сходимость внешнего (по 1с ) итерационного процесса. С увеличением К внешний цикл сокращается, но начинают проявляться недостатки обычного метода штрафов.
Весьма естественные соображения положены в основу ме -тода центров [120, 1213 , из которого развился еще один класс методов последовательной безусловной минимизации.
О ги
В предположении, что С? = : о, 3 -"Ф- Ф , начиная итерационный процесс из аР") . . ж 7 Более точно: жри выполнении естественных требований относительно задачи (0.1), (0.3) последовательность {зс] сходится к множеству ее решений. произвольной точки О- , на Ю-том шаге определяем центральную в некотором смысле точку ОС,*' множества
Исходные варианты этого метода различаются, главным образом, выбором функции Ч^ • & К , определяющей центр:
В качестве таковой может быть взята, например, выпуклая функция л зГ при пиш, £¿¿.0
9¿а * (0в9) ч в противном случае. Сопоставляя метод (0.8), (0.9) и метод штрафов с функцией
Ж- А О Р< % С ) (0.10)
I 400 в противном случае (^>0 ; - ) , легко убедиться в схожести вспомогательных задач, а, если в (0.10) положить = - где {СС^З определена согласно (0.8) ,
0,9), то, вообще говоря, совпадут и сами минимизирующие последовательности. При соблюдении определенной осторожное -ти для решения вспомогательных задач в обоих случаях приме -нимы обычные методы безусловной минимизации.
Более глубокий анализ показывает, что при определенном различии в возможностях управления процессом методы штрафов, центров и внешних центров ^ [ 17,49,113] обладают аналошч -ными достоинствами и недостатками. в другой терминологии - метод нагруженного функционала
В данной работе рассматриваются алгоритмы последова -тельной безусловной минимизации, базирующиеся, главным образом, на "чистом" методе штрафов. Остановимся на некоторых присущих этому методу проблемах, в той или иной степени ис -следованных в основных разделах диссертации.
1. Исследование характеристических свойств функций штрафа. В монографии [881 содержащей основательный обзор и анализ результатов, связанных с развитием метода штрафов примерно до 1967 года, дано аксиоматическое описание класса функций штрафа. Однако, в связи с попыткой охватить невыпуклые задачи, эта аксиоматика оказалась неудобной для задач выпуклого программирования. Кроме того, как теперь выясни -лось, она является неоправданно жесткой и, вместе с тем,-недостаточно полной для того, чтобы на ее основе можно было получить общие теоремы о качестве приближенного решения (двухсторонние апостериорные оценки).
В диссертационной работе исследование метода проведе -но на более совершенной аксиоматической основе и в расчете на реальную ситуацию, когда решение вспомогательных задач определяется приближенно.
2. Оценка скорости сходимости метода штрафов. В пред -положении, что процедура определения длины шага рассматривается как элементарная операция, метод штрафов является двухуровневым итерационным процессом. Оценка его трудоемкости невозможна без установления скорости сходимости последова -тельности приближенных решений вспомогательных задач к точ -ному решению исходной задачи. Можно указать на ряд работ [22,77-79,100,135] , где оценки скорости сходимости получены для отдельных систем функций штрафа. В главе 2 данной работы исследование в указанном направлении осуществляется единообразно для широкого класса функций штрафа и на двух уровнях: в достаточно общих предположениях относительно ис -ходной задачи и при некоторых дополнительных условиях, когда можно рассчитывать на получение наиболее сильных по порядку оценок.
3. Построение функций штрафа с хорошими дифференциальными и аппроксимативными свойствами. Как показывает вычислительная практика, эффективность применения метода штрафов в значительной степени зависит от того, насколько удачно выбрана система функций штрафа. Основными требованиями при этом являются: обеспечение гладкости, достаточной для применения эе) подходящих ' методов безусловной минимизации; улучшение устойчивости вычислительного процесса; возможность более сво -бодной вариации параметров функции штрафа. Эти требования в какой-то степени противоречивы и нуждаются в разумном согласовании. В различных аспектах эта проблема затронута в гла -вах I, 5 и (более основательно) в главе 3.
4. Улучшение качества вспомогательных задач. Как уже отмечалось, "овражность" поверхностей уровня функций является причиной серьезных трудностей на пути минимизации Добавлением к Р/с сильно выпуклой функции можно улучшить обусловленность вспомогательной задачи. При этом повышается возможность использования эффективных алгоритмов бе -зусловной минимизации, более надежных критериев процесса во внутреннем цикле. Метод последовательной безусловной минимизации, в котором на 1С -том шаге определяется точка
ОЯ-Д ууи./1- ]А [ос) ч-Цос-ос^'1/!1} (о.п) о 0Сбг£п чп Выбор метода, естественно, зависит от гладкости функций
4- и Г ■ предложен и исследован (для аксиоматически описанного класса функций штрафа \/к ) в §§ I и 2 главы 4.
5. Построение алгоритмов, обладающих регуляризирующи-ми свойствами. Задачи выпуклого программирования, вообще, говоря, не являются корректными [47,84] . Поэтому значительный интерес цредставляет вопрос о построении алгоритмов, устойчивых к малым искажениям информации и вырабатывающих сходящуюся по аргументу минимизирующую последовательность. При этом важно, чтобы осуществление регуляризации не увеличива -ло глубины итерационного процесса. Такие алгоритмы в последние годы построены на основе комбинирования некоторых мето -дов выпуклого программирования (проекций градиента [3-5] , штрафов [7-9,85] , модифицированных функций Лагранжа [1,2, 141] с методами регуляризации А.Н.Тихонова или Б.Мартине
132,133] . В данной работе установлены условия, при кото -рых указанными качествами обладает итерационный процесс (О.П).
6. Применение метода штрафов для решения бесконечно -мерных задач. Эта проблема, актуальность которой в последнее время существенно возросла в связи с интенсивным исследова -нием вариационных неравенств, является многоплановой. В мо -нографии [ 12 ] , фиксирующей опыт численного решения вариационных неравенств, и ряде последующих работ метод штрафов рассмотрен в традиционном аспекте: решение фиксированной дискре-тизованной задачи получается в результате последовательной минимизации вспомогательных функций. Такой подход, по-види -мому, не вполне удачен. Ввиду весьма специальной структуры получаемой конечномерной задачи целесообразно попытаться та -ким образом согласовать параметры штрафа и дискретизации, чтобы, с одной стороны, при добавлении штрафа не ухудшалась обусловленность ^ минимизируемой функции; с другой стороны, в результате решения (одной) вспомогательной задачи обеспечивалась бы точность решения дискретизованной задачи того же порядка, что и погрешность конечномерной аппроксимации (идея В.Я.Ривкинда [71] ). Еще более перспективным представляется осуществление итеративного процесса с согласованным изменением параметров штрафа и дискретизации.
Исследованию указанных вопросов на примере конкретной вариационной задачи посвящен § 2 главы 5.
Перейдем к изложению содержания диссертации.
Похожие диссертационные работы по специальности «Вычислительная математика», 01.01.07 шифр ВАК
Адаптивные субградиентные методы для минимизации функций с условием Липшица и его аналогами2024 год, кандидат наук Аблаев Сейдамет Серверович
Оптимизационные алгоритмы с модифицированными функционалами Лагранжа для решения контактных задач механики2024 год, кандидат наук Жильцов Александр Владимирович
Оптимизационные методы решения вариационных неравенств2010 год, кандидат физико-математических наук Кушнирук, Надежда Николаевна
Оптимизационный подход к решению вариационных неравенств1984 год, кандидат физико-математических наук Намм, Роберт Викторович
Алгоритмы построения сплайнов в выпуклых множествах и их приложения1985 год, кандидат физико-математических наук Ковалков, Александр Викторович
Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Каплан, Александр Аврамович, 1982 год
1. Антипин A.C. О методе выпуклого программирования, использующем симметрическую модификацию функции Лагранжа. -Экон.и матем.методы, 1976, т. 12, $ 6, с. 1.64-II73.
2. Антипин A.C. Методы нелинейного программирования, основанные на прямой и двойственной модификации функции Лагранжа. ivi: 1979. - 74 с. (препринт ВНИИ системных исследований)
3. Бакушинский А.Б. Методы решения монотонных вариационных неравенств, основанные на принципе итеративной регуляризации. Журн. вычисл.матем. иматем.физ., 1977, т. 17, № 6, с. I35Ü-I362.
4. Бакушинский А.Б. К принципу итеративной регуляризации. -Журн. вычисл. матем. иматем.физ., 1979, т. 19, №4,с. IÜ40-IU43.
5. Бакушинский А.Б., Поляк Б.Т. О решении вариационных неравенств. -Докл. АН СССР, 1974, т. 219, Ji> 5, C.I038-IU4I.
6. Валле-Пуссен Ш.Ж. Курс анализа бесконечно малых, т. II, Ы.-Л.: ГТТИ, 1933. - 463 с.
7. Васильев Ф.П. О регуляризации некорректных экстремальных задач. Докл. АН СССР, 1978, т. 241, № 5, с.IUÜI-IÜÜ4.
8. Васильев Ф.П. О регуляризации некорректных задач минимизации на множествах, заданных приближенно. Жури, вычисл. матем. и матем.физ., 1980, т. 20, I, с. 38-50.
9. Венец В.И., Рыбашов М.В. Непрерывные алгоритмы выпуклого программирования с использованием штрафных функций.-Автоматика и телемеханика, 1975, № II, с. ICJ-I5.
10. Гловински Р., Лионе Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств/перев. с франц. М: Мир, 1979. - 574 с.
11. Гольштейн Е.Г. Теория двойственности в математическом программировании и ее приложения. М.: Наука, 197I. -351 с.
12. Гольштейн Е.Г., Третьяков Н.В. Модифицированные функции Лагранжа. Экон. и матем.методы, 1974, т. 10, 3,с. 568-591.
13. Гольштейн Е.Г., Третьяков Н.В. Градиентный метод минимизации и алгоритмы выпуклого программирования, связанные с модифицированными функциями Лагранжа. Экон. и матем. методы, 1975, т. II, Jí> 4, с. 730-742.
14. Гольштейн Е.Г., Третьяков Н.В. 0 модифицированных функциях Лагранжа задачи выпуклого программирования. Экон. и матем. методы, 1980, т. 16, №4, с. 772-777.
15. Гроссман К., Каплан А.А. Нелинейное программирование на основе безусловной минимизации. Новосибирск: Наука, 1981. - 181 с. (Немецкое издание:olzJL hJ-eM:¿lhJtCLfLLH- Of^blh^fLfUJ-^.-Leipzig : Teulpuisb 3 í£7-9. -2oo&,).
16. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в шшимакс. М.: Наука, 1972. - 368 с.
17. Деннис Дж. Математическое программирование и электрические цепи / перев. с англ. М.: Ш1, 1961,- 215 с.
18. Дюво Г., лионс К.-Л. Неравенства в механике и физике / перев. с франц. М.: Наука, 1980. - 383 с.
19. Евтушенко 10.Г. Численные методы решения задач нелинейного программирования. Журн. вычисл.матем. и матем. физ., 1976, т. 16, В 2, с. 308-324.
20. Еремин И.И. Метод штрафов в выпуклом программировании. -Док/1. АН СССР, 1967, т. 173, №4, с. 748-751.
21. Еремин И.И. 0 методе штрафов в выпуклом программировании.- В сб.: Математические методы в некоторых задачах оптимального планирования (ред. И.И.Еремин). Свердловск,1967, с. 43-51.
22. Еремин И.И., Астафьев H.H. Введение в теорию линейного и выпуклого программирования. М.: Наука, 1976. - 191 с.
23. Ермольев ü.M. Методы стохастического программирования.-М.: Наука, 1976. 239 с.
24. Зангвилл У.И. Нелинейное программирование. -М.: Сов. радио, 1973. 312 с.
25. Зойтендейк Г. Методы возможных направлений / перев. с англ. М.: ИЛ, 1963. - 176 с.
26. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. -М.: Наука, 1974. 479 с.
27. Исследования по линейному и нелинейному программированию (ред. ЗрроуК., Гурвиц Л., Удзава X.) / перев. с англ.- М.: ИЛ, 1962. 334 с.
28. Канторович Л.В. Об одном эффективном методе решения некоторых классов экстремальных проблем. Докл. АН СССР,1940, т.28, В 3, с. 212-215.
29. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. -2-е изд. М.: Наука, 1977, 741 с.
30. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. M.-Ji.: Физматгиз, 1962. - 708 с.
31. Каплан A.A. К вопросу о реализации метода отсечения для решения задач выпуклого программирования. Оптимальное планирование, 1969, вып. 14, с. 43-48.
32. Каплан A.A. Характеристические свойства функций штрафа.-Докл. АН СССР, 1973, т. 210, Ш 5, с. I0I8-IG2I.34а.Каплан A.A. К характеристике штрафных функций. Оптимизация, 1972, й 8, с. 13-21.
33. Каплан A.A. Метод штрафов и некоторые приложения математического программирования. Материалы международной конференции ИФШ1 по оптимизации (ТК-7). Новосибирск, 1974, с. 7-14 (Препринт 2).
34. Каплан A.A. Замечание к теореме Стоуна-Вейерштрасса. -Сиб.матем.журн., 1975, т.16, $5, с. III3-III5.
35. Каплан A.A. О скорости сходимости метода штрафов. докл. АН СССР, 1976, т. 229, J& 2, с. 288-291.
36. Каплан A.A. К анализу некоторых оценок скорости сходимости метода штрафов. Оптимизация, 1978, вып. 21(38),с. I2I-I26.
37. Каплан A.A. Об одном подходе к решению задач выпуклого программирования. Докл. АН СССР, 1981, т.258, J& 4, с. 785-788.
38. Каплан A.A. Оценки по аргументу скорости сходимости метода штрафов. -Оптимизация, 1982, вып. 29(46), с.22-31.
39. Каплан A.A., Рубинштейн Г.Ш. К теореме Куна-Таккера.Докл. АН СССР, 1969, т. 188, №5, с. 993-996.45а.Каштан A.A., Рубинштейн Г.Ш. Об одном обобщении теоремы Куна-Таккера. Оптимальное планирование, 1969, 14, с. 49-60.
40. Каплан A.A. Алгоритмы выпуклого программирования, использующие сглаживание точных функций штрафа. Сиб. матем. журн., 1982, т.23, М, с.53-64.
41. Карманов В.Г. Математическое программирование. 2-е изд. - М.: Физматгиз, 1980. - 256 с.
42. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. 2-е изд. - Ы.: Наука, 1973. - 576 с.
43. Лебедев Ю.В. О сходимости метода нагруженного функционала в задачах выпуклого программирования Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1977, т. 17, В 3, с. 765-768.
44. Левитин E.G., Поляк Б.Т. Методы минимизации при наличии ограничений. Журн. вычисл. матем. и матем.физики, 1966, т. 6, №5, с. 787-823.
45. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / перев. с франц. М.: Мир, 1972. - 414 с.
46. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / перев. с франц. М.: Мир, 1972. - 587 с.
47. Лионе Ж.-Л., Мадженес 3. Неоднородные граничные задачи
Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.