Теория и методы проектирования ортогональной турбины тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.02.02, кандидат технических наук Спирин, Евгений Анатольевич

• Спирин, Евгений Анатольевич
• кандидат технических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат технических наук Спирин, Евгений Анатольевич

Оглавление

Введение

1. Состояние проблем в области проектирования и исследования ортогональных турбин и их элементов

1.1 Анализ работ в области разработки и исследования ортогональных турбин

1.2 Исследования в области работоспособности турбины

1.3 Исследования в области динамики турбины

1.4 Расчетные методы исследования НДС турбины

2. Моделирование ортогональной турбины

2.1. Описание ортогональной турбины средствами объектно-классификационного моделирования

2.2. Математические модели объектов исследования

2.2.1 Силовая модель лопасти, учитывающая изменение характеристик лопасти при изменении угла атаки

2.2.2 Модель водного потока

2.2.3 Модель лопастной системы

2.2.4 Оптимизационные модели

2.3 Решения уравнений моделей

2.3.1 Решений уравнений водного потока

2.3.2 Решений уравнений лопастной системы

3. Программная реализация алгоритмов

3.1 Подсистема оптимизации параметров ортогональной турбины

3.1.1 Модуль градиентной оптимизации

3.1.2 Модуль генетической оптимизации профиля лопасти

3.2 Подсистема проектирования ортогональной турбины

3.3 Модуль конечно-элементного анализа рабочих процессов

3.3.1 Модуль определения аэродинамических характеристик крыла78

3.3.2 Модуль численного решения уравнений Навье-Стокса

3.4 Подсистема проверки работоспособности ортогональной турбины

3.4.1 Модуль решения задач статики и динамики МГЭ

3.4.2 Модуль расчета конструктивных элементов

4. Экспериментальные исследования

4.1 Численный эксперимент

4.1.1 Обдувка профилей крыла в аэродинамической трубе

4.1.2 Моделирование рабочего процесса турбины

4.1.3 Определение НДС

4.1.4 Моделирование динамики гидрогенератора

4.2 Натурный эксперимент

4.2.1 Испытания свободнопоточной турбины

4.2.2 Испытания турбины под напором

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теория и методы проектирования ортогональной турбины»

Введение

Актуальность работы. В России области централизованного энергоснабжения составляют не более 31% территории, при этом продолжается рост электропотребления. Промышленное развитие Сибирского региона и Дальнего Востока, а также Кавказа, Урала и Кольского полуострова, увязано с концентрацией основного гидроэнергетического потенциала в данных регионах. Реализация энергетического потенциала многоводных и горных рек, а также набольших водотоков возможна при применение малых гидроэлектростанций.

В 2005 - 2010 гг. специалисты НИЛ «Возобновляемые источники энергии» доказали целесообразность применения ортогональной турбины в составе свободнопоточной микроГЭС.

На сегодняшний день отсутствует обобщенная методика проектирования ортогональной турбины. Необходимость в создании такой методики обусловлена потребностью в применении ортогональных турбин в составе микроГЭС в широком диапазоне мощностей и условий ее эксплуатации.

Цель диссертационной работы - разработка теории и методов проектирования ортогональных турбин, обеспечивающих повышенные технические параметры и качество изделия на этапе проектирования.

Основные задачи исследования:

1. Создание модели рабочего процесса ортогональной турбины в свободном потоке, учитывающей геометрию лопасти и лопастной системы в целом, торможение потока, позволяющей обеспечить работоспособность турбины и ее элементов.

2. Исследование влияния параметров турбины на ее энергетические характеристики.

3. Разработка модели оптимизации параметров турбины по критерию максимальности коэффициента полезного действия с ограничениями по действующим нагрузкам и массогабаритным показателям, обеспечивающей повышение ее технических параметров.

4. Создание алгоритма проектирования ортогональной турбины, основанной на совокупности разработанных моделей.

5. Проверка корректности разработанных моделей и методики проектирования турбины методами численного моделирования в САЕ-средах и натурными испытаниями опытных образцов микроГЭС различной мощности.

6. Разработать компонент «Проектирование ортогональных турбин» для системы автоматизированного проектирования (САПР) свободнопоточных микроГЭС.

7. Проверка адекватности и эффективности созданного компонента САПР проектированием и испытаниями промышленного образца микроГЭС мощностью 5 кВт.

Методы исследований:

1. Теоретические основы вычислительной гидродинамики;

2. Численные методы моделирования в САЕ-средах;

3. Метод граничных элементов;

4. Методы теории алгоритмов;

5. Методы численного решения задач многокритериальной оптимизации;

6. Методы компьютерного мониторинга.

Научная новизна:

1. Разработана уточненная модель рабочего процесса ортогональной турбины, учитывающая: торможение потока в рабочей области

турбины; влияние топологии турбины и лопасти, а также их геометрических характеристик.

2. Динамическая модель ортогональной турбины, позволяющая моделировать ее переходные процессы.

3. Исследовано влияние параметров турбины на ее энергетические характеристики.

4. Разработан алгоритм оптимизации параметров ортогональной турбины, основанный на комбинации метода активных множеств и генетического алгоритма.

5. Разработан программный модуль «Проектирование ортогональных турбин»

6. Созданы новые конструкции ортогональной турбины, предназначенные для работы в свободном и напорном потоках.

На защиту выносятся

1. Уточненная модель рабочего процесса ортогональной турбины, учитывающая: торможение потока в рабочей области турбины; влияние топологии турбины и лопасти, а также их геометрических характеристик.

2. Динамическая модель ортогональной турбины, позволяющая моделировать ее переходные процессы.

3. Алгоритм оптимизационного проектирования ортогональной турбины, учитывающий основные параметры рабочего процесса, обеспечивающий эффективность параметров турбины и ее работоспособность на этапе проектирования.

4. Методика проектирования ортогональной турбины, реализованная в виде компонента САПР микроГЭС.

Практическая значимость работы

1. Практическая значимость работы заключается в применении разработанных моделей и методики при проектировании

ортогональных турбин. Созданная методика позволяет на этапе проектирования определять и оптимизировать параметры турбины, влияющие на ее качество.

2. Спроектированы, изготовлены и успешно прошли испытания опытные и опытно-промышленные образцы микроГЭС мощностью 1,3,10 кВт.

3. Стоят на опытной эксплуатации два образца установочной партии микроГЭС мощностью 1 кВт.

4. Получен сертификат соответствия микроГЭС требованиям технических условий к изделиям этой категории.

5. Спроектирован, изготовлен, находится в опытной эксплуатации промышленный образец микроГЭС мощностью 5 кВт.

Апробация работы

Основные положения диссертационной работы и ее отдельные разделы докладывались на XV Международной научной конференции «Решетневские чтения» 2011г., в 2011 году на Красноярской научно-практической конференции «Инновационный Красноярск 2020».

Материалы, полученные коллективом разработчиков микроГЭС были доложены в 2005, 2006 гг. на международных выставках в г.Харбин (КНР), и выставлялись в международном выставочном центре «Сибирь» 2006, 2009гг. в г.Красноярск..

Результаты работы и перспективы внедрения обсуждались на второй Киргизско-Российской межрегиональной конференции «Расширение межрегионального сотрудничества Киргизской республики и Российской федерации как фактор обеспечения устойчивого развития экономики». Секция «»Совместные российско-киргизские инфраструктурные и инвестиционные проекты в гидроэнергетической, нефтегазовой, транспортной и телекоммуникационной сферах: состояние и перспективы.

Личный вклад автора

Разработана математическая модель рабочего процесса ортогональной турбины, основанная на существующем представлении и формальном описании базовых процессов аэродинамики. Существенной доработкой существующей модели является включение в модель функций, описывающих зависимость аэродинамических характеристик профиля лопасти турбины, а также учет таких явлений как смещение центра давления вдоль хорды лопасти, и торможение потока в рабочей области турбины. Автором был выполнен ряд численных экспериментов, позволивших апробировать созданные аналитические модели и накопить множество экспериментальных данных, а также автор принимал участия в подготовке и проведении всех натурных испытаний свободнопоточных микроГЭС мощность от 1 до 10 кВт, и напорных микроГЭС мощностью до 10 кВт. Разработан алгоритм оптимизации параметров турбины. Оптимизация параметров лопастной системы и турбины решена при помощи адаптации существующих алгоритмов оптимизации, таких как метод активных множеств и генетическая оптимизация. Целевые функции оптимизации сформулированы с применением разработанной модели рабочего процесса турбины. Автором реализованы алгоритмы проектирования и оптимизации параметров турбины в виде программных модулей.

1. Состояние проблем в области проектирования и исследования ортогональных турбин и их элементов

В 1931 году инженер Дарье (ОЛ.М. ОагпеиБ) получил патент на изобретение «Турбина имеющая ось вращения перпендикулярную набегающему потоку» №1835018. Основными преимуществами своего изобретения он считал: сравнительно высокую быстроходность турбины, обеспечивающей возможность исключения дорогостоящих тяжелых механических передач; низкие потери, обусловленные минимальным сопротивлением потоку профилированных лопастей, являющимися рабочими органами; независимость работоспособности турбины от направления потока. Примечательным является тог факт, что Дарье в своем патенте описал 20 различных вариаций конструкций турбины, не приводя при этом ни одной формулы, описывающей энергетику турбины. В 1975 г. Масгроув в Канаде предложил заменить в роторе Дарье изогнутые лопасти прямыми. В 1984-1986 в Японии и Канаде были испытаны в напорном потоке поперечно-струйные турбины с прямыми лопастями крыловидного сечения. Однако их коэффициент полезного действия оказался не более 40% и дальнейшие исследования были прекращены.

1.1Анализ работ в области разработки и исследования ортогональных турбин

В период с 1989 г. по 2000 г. специалисты ОАО «НИИЭС», в результате экспериментальных исследований определив оптимальные геометрические параметры проточной части и лопастной системы поперечно-струйной турбины, повысили её КПД до 65 % и доказали целесообразность её применения в напорных гидроэлектростанциях.

Теоретические и экспериментальные исследования ротора Дарье интенсивно ведутся с 80-х годов. В ряде стран начали разрабатывать новые конструкции вертикально-осевых ветроэнергетических установок (ВЭУ) с ротором Дарье [1,2]. В настоящее время накоплен большой опыт в разработке и эксплуатации таких ВЭУ.

Дальнейшее совершенствование конструкции энергетических установок с ротором Дарье требует решения ряда проблем. Основное место среди них занимают проблемы аэродинамического расчета, самозапуска ротора и ограничение его оборотов, а также выбор параметров конструкции при которых энергия потока используется наиболее эффективно. Решению этих проблем посвящены работы [3-7].

В работах [3,4] приведены результаты экспериментальных исследований роторов Дарье с прямыми лопастями в широком диапазоне изменений конструктивных параметров, в [5] предложена методика расчета ротора на основе теории подъемной силы, в [6,7] установленная аналогия между вращающимися лопастями ротора Дарье с машущим крылом и, как следствие этого, показана возможность получения ротором Дарье энергии потока больше, чем идеальным ветроколесом пропеллерного типа. Кроме того , в [7] предложен новый способ аэродинамического регулирования числа оборотов ротора. Существенный вклад в развитие ортогональных турбин внес доктор технических наук В.М. Ляхтер, разработавший конструкцию геликоидной (с лопастями изогнутыми по винтовой линий) турбины, отличающейся высокой сбалансированностью аэродинамической нагрузки.

Анализ опубликованных по этой проблеме материалов [8,12], не позволяет аргументировать выбор параметров ротора и, тем более, провести их оптимизацию при проектировании для конкретных условий эксплуатации. В работах [8,11] приводятся данные экспериментальных исследований некоторых частных случаев исполнения ортогональных турбин с декларируемыми большими энергетическими характеристиками по сравнению с аналогами. В частности, для погружного энергоблока представляет интерес

конструктивный вариант устройства направляющего пандуса или вута от дна русла реки к нижней отметке (уровню) трассы лопастей ортогональной турбины [12]. Устройство такого вута, как утверждается в данной работе, увеличивает коэффициент использования энергии потока Сп от 0,54 - в свободном потоке до 0,69 в схеме с вутом, быстроходность увеличивается до 3,5.

В работе [11] схема определения геометрических параметров проектируемой турбины основывается на зависимости коэффициента использования мощности потока Сп от относительной скорости движения лопасти, полученной в ходе экспериментов в гидравлическом лотке или в аэродинамической трубе при различных условиях. Однако основания для выбора конкретной энергетической характеристики не приводятся, так же как и точные значения параметров, при которых они были получены.

Следует отметить, что в рассмотренных работах недостаточно полно раскрывается влияние формы профиля лопасти на энергетические характеристики проектируемой турбины и критерии ее выбора.

Результаты приведенных выше исследований позволяют обобщить информацию о наиболее эффективном положении лопасти следующим образом: хорда лопасти должна быть ориентирована по касательной к круговой траектории движения или под углом (3..5°) к касательной. В ортогональной турбине используется действие тянущей силы, возникающей при обтекании лопастей с углами атаки, меньшими критического.

В работах [10,12] использованы упрощенные схемы расчета так называемого «идеального» агрегата или - «ноль-размерные» модели. Не останавливаясь подробно на деталях рассмотренных расчетных схем, отметим, что результаты оценок Сп по различным моделям сильно отличаются, а убедительные основания для выбора модели отсутствуют. Данные расчетные модели позволяют формально учесть многое - профиль лопасти (коэффициенты Су, Сх), количество лопастей, угол установки лопасти и

другое, однако торможение потока перед ОРК , а значит и быстроходность z и коэффициент С„ по этим моделям определяются на основании ряда допущений [12], экспериментально не подтвержденных. Кроме того, использование таких моделей не позволяет учесть влияние граничных условий.

Параллельно с развитием конструкции ортогональной турбины развивались и методы ее теоретических и экспериментальных исследований. Проблема проектирования ортогональной турбины заключается в тесной связи задачи конструкционной оптимизации и гидродинамических эффектов, т.е задача является мультидисциплинарной. Чтобы оптимизировать и изучить энергетическое и механическое поведения турбины, у инженера должны быть методы моделирования рабочего процесса с низкими временными затратами.

Среди множества методов теоретического исследования ортогональных турбины основными являются: теория элемента крыла {Blade element theory)', импульсная теория элемента крыла {Blade element momentum (BEM) theory)', одномерные теории отбора импульса у потока (Жуковский, Beltz)\ численные методы решения двух- и трёх- мерных задач гидродинамики; методы решения сопряженных задач {Fluid-Structure Interaction)', методы условной оптимизации; экспериментальные методы.

Теория элемента крыла - математическая теория, заключающаяся в описании действующих сил на элемент крыла, с последующим интегрированием уравнений по длине лопасти. В работах Иванова И.И. и Баклушина П.Г приведены результаты экспериментальных исследований роторов Дарье с прямыми лопастями в широком диапазоне изменений конструктивных параметров, и предложена методика расчета ротора на основе теории подъемной силы.

Данная теория позволяет оценить влияние параметров лопасти на энергетику турбины и определить действующие нагрузки, однако в силу

принятых допущений не позволяет точно спрогнозировать энергетические параметры турбины.

В импульсной теории элемента крыла (ВЕМ) используются два подхода изучения процесса работы турбины. Первый заключается в использовании уравнения сохранения импульса потока, проходящего через турбину, второй -в определении сил, действующих на лопасть при различных условиях. Эти два подхода дают уравнения, которые можно объединить в систему и решить совместно.

В статье [13] приведена модель расчета нагрузок, действующих на лопасти мегаваттной аэродинамической турбины, с учетом таких факторов как: затенение, и вибрация башни и лопастей. Однако не показано влияние геометрических характеристик турбины на динамические параметры и, как следствие, на работоспособность турбины.

Моделям импульса [14], которые основаны на уравнении сил, действующих на лопасти, с изменением импульса потока, протекающего через ротор, требуется меньшее время на вычисления. Сравнительно низкие вычислительные затраты таких моделей, делают их полезным инструментом при проектировании турбин. Однако, основной недостаток таких моделей это некорректное описание изменения импульса для задач с высокими скоростями и высоким значением коэффициента затенения турбины. Одномерные теории отбора энергии у потока (теории идеальных турбин) построены на законе сохранения энергии и массы и позволяют определить максимальную мощность гидроустановки, однако не позволяют приблизиться к определению технических характеристик турбины.

Применение вычислительных методов гидродинамики (С/7/}) в решении задач определения энергетических характеристик турбин позволяет оценить влияние многих параметров, таких как: геометрия лопасти, шероховатость поверхности, краевые эффекты, наличие свободной поверхности, кавитация и др. Однако постановка и решение задач при помощи методов С/7/) требует

значительных временных ресурсов, что существенно затрудняет реализацию методов оптимизации.

Методы решения сопряженных задач (Екай-Зи-исШте 1п1егсаИоп) применяются для анализа напряженно-деформированного состояния (НДС) элементов турбины, определяемого действующими нагрузками. Точная передача данных о действующих нагрузках позволяет получить более полную картину распределения напряжений, как в пространстве, так и во времени. В работе [15] посвященной разработке методики проектирования ортогональных турбин, учитывающей возникающие в лопастях турбины напряжения, на основе разработанной методики создана конструкция лопастей, позволяющая значительно уменьшить интенсивность циклических нагрузок и увеличить срок службы турбины. Данный метод хорошо применим на окончательной стадии проектирования турбины, для более точного определения ресурса турбины, но, вследствие тесной связи задачи гидродинамики с задачей расчета НДС и требуемого вычислительного ресурса, решение задачи оптимизации энергетических характеристик турбины и НДС ее элементов становится невыполнимо.

Оптимизация ортогональной турбины является многокритериальной, многоэкстремальной задачей, для решения которой необходимо применение детерминированных и стохастических методов нелинейного программирования. В статье [16] представлена модель многокритериальной оптимизации ветровой турбины, целью решения которой является повышение энергетических характеристик турбины и минимизации действующих нагрузок. Результатом ее работы стала конструкция горизонтально-осевой трехлопастной турбины минимальной стоимости. Ключевым моментом методики является применение различных алгоритмов для оптимизации параметров турбины и оптимизации геометрии лопасти.

Основными задачами экспериментальных исследований ортогональных турбин являлись верификация теоретических моделей и создание эмпирических моделей энергетики турбины.

В 2005 - 2010 гг. специалисты НИЛ «Возобновляемые источники энергии» доказали целесообразность применение ортогональной турбины в составе свободнопоточной микроГЭС [17].

На сегодняшний день не существует общепринятой методики проектирования ортогональной турбины.

1.2 Исследования в области работоспособности турбины

При всем многообразии типов и конструктивных решений микроГЭС их неотъемлемой частью является гидротурбина. Поэтому разработка, создание и совершенствование основных элементов турбин является важной стороной развития энергетики.

Увеличение мощности и усложнение конструкции турбин сопровождается повышением требований к их надежности. Повышение ресурса турбомашин также является одной из основных задач улучшения их качества.

Детали турбины при работе подвержены силовым воздействиям. Силовые воздействия, оказываемые на ортогональную турбину можно подразделить на два вида: медленно меняющиеся и быстроменяющиеся воздействия.

Медленно меняющиеся воздействия характерны для переходных режимов - пуска, нагружения, разгрузки и остановки турбины. Быстроменяющиеся воздействия в ортогональной турбине обусловлены двумя причинами: переменными нагрузками, зависящими от угла поворота турбины (гидродинамическая причина), неуравновешенностью ротора и другими технологическими погрешностями изготовления и сборки ротора. Быстроменяющиеся воздействия являются источниками колебаний элементов турбины. При определенной интенсивности воздействия возможны повреждения (разрушение) деталей турбины вследствие усталости.

Для расчетов напряжений и деформаций в деталях турбины при заданных внешних условиях необходимо иметь определенные соотношения (конечные, дифференциальные, интегральные) между напряжениями и деформациями, т.е. знать физические законы деформирования материала. Для материала, находящегося в упругом состоянии, таким законом деформирования является закон Гука; при напряжениях, превышающих предел упругости, необходимо описание упругопластического деформирования.

Так как расчет деформаций и напряжений в деталях турбины с учетом их изменений во времени еще не дает возможности судить о прочности турбины, то необходимо иметь критерии прочности, устанавливающие соотношение между параметрами прочности в виде неравенств, определяющих допустимую область в пространстве параметров прочности. Для ортогональной турбины характерными параметрами прочности являются напряжения в опасных точках лопастей турбины, амплитудные деформации лопастей.

Выход из строя - отказ, детали ортогональной турбины (или всей турбины) может произойти не только вследствие нарушения ее прочности, но и по причине недопустимого изменения размеров и формы детали и задевание вращающихся деталей о неподвижные, из-за повышения вибрации и т.п.

Если напряженное состояние в некотором конченом объеме однородно, то условиями прочности служат неравенства:

сг„ < а5/п3=Н5, (1)

аг < ав/пв=Яв, (2)

где сг* - интенсивность напряжения; ох- максимальное главное напряжение; щ- коэффициент запаса прочности по пределу текучести; пв-коэффициент запаса прочности по временному сопротивлению.

В турбостроении для оценки статической прочности, при напряженном состоянии близком к однородному, преимущественно используется критерий максимального касательного напряжения, записываемый в виде:

2*13 = о1-а3< (75/715=Я5, (3)

где т13- максимальное касательное напряжение; аг, сг3- максимальное и минимальное главные нормальные напряжения.

Условие 3) предполагает, что разрушение материала происходит вследствие действия нормального напряжения (разрушение отрывом).

Наряду с разрушением отрывом существует разрушение под действием касательных напряжений (разрушение срезом). Это, к примеру, крепления траверс и лопастей. В этом случае условие прочности можно записать так:

сг* < сгт/ггт=Ят; сгт = л/3тср (4)

где пт- коэффициент запаса по предельному напряжению среза; /?т-допустимое напряжение при срезе; тср- предельное напряжение среза. Предельное напряжения среза тср- касательное напряжение, при котором наблюдается разрушение срезом. Коэффициенты запаса статической прочности п5,пв,пг выбирают по результатам экспериментальных данных статистически обработанных отказов и последствий, вызываемых отказом детали.

Циклическое нагружение материала приводит к накоплению повреждений и, как следствие, к разрушению через определенное число циклов изменения нагрузок.

В турбинах многоцикловая усталость обусловлена вибрацией элементов: рабочих лопаток, вала под влиянием быстроменяющихся воздействий. При непрерывном циклическом нагружении, в условиях высоких частот воздействий базовое число циклов 107 накапливается за несколько десятков часов, следовательно, при проектировании турбины, необходимо чтобы

значения действующих циклических напряжений, был заведомо ниже предела усталости.

В книге [18] рассмотрены условия работы деталей, подход к выбору материалов, современные методы расчета на статическую и динамическую прочность.

В литературе приведено множество моделей разрушения, позволяющих определить запас прочности и долговечности. Естественный разброс значений критериев прочности материала и отклонение нагрузки от расчетных значений учитывается коэффициентами запаса, гарантирующими работоспособность конструкции при сочетании силовых и других факторов таким образом, что при проектировании ортогональной турбины в первую очередь необходимо иметь возможность рассчитывать действующие напряжения, и оптимизировать их значение с учетом предельно допустимых.

1.3 Исследования в области динамики турбины

Ортогональная турбина является роторной турбомашиной, имеющей две и более опор. Многоопорный ротор обычно собирают из нескольких роторов, соединенных муфтами. Такой ротор называют валопроводом. Наиболее важными причинами колебаний валопровода турбомашин являются [19]:

• Технологические погрешности изготовления и сборки ротора и его компонентов приводят, суммируясь, к несовпадению центра масс в поперечных сечениях валопровода с геометрическим центром сечений. Эта неуравновешенность ротора вызывает возмущения с частотой, равной частоте вращение ротора, являясь главной причиной его поперечных колебаний и непостоянных во времени прогибов и реакции опор.

• Неравножесткость сечений вала относительно взаимно перпендикулярных осей. Это является причиной колебаний ротора с двойной частотой по сравнению с частотой его вращения. Источником возмущения при этом является собственный вес ротора. Если вал имеет такое сечение, что жесткость вала относительно взаимно перпендикулярных осей различна, то прогиб ротора от собственного веса зависит от углового положения ротора, что и приводит к появлению возмущающего воздействия с частотой равной двойной частоте вращения ротора.

• Неконсервативные силы, действующие на ротор. Они являются причиной самовозбуждающихся колебаний (автоколебаний) ротора.

• Внезапные динамические воздействия на ротор, вызывающие переходные колебания ротора.

Важнейшими характеристиками ротора являются его критические частоты вращения. На практике критические частоты обнаруживаются при снятии амплитудно-частотной характеристики ротора. Для консервативных систем, т.е. для систем без демпфирования, амплитуды колебаний неограниченно велики.

Рисунок 1- Амплитудно-частотная зависимость колебаний ротора

Демпфирование существенно влияет на амплитуды колебаний, но сравнительно мало влияет на критические частоты ротора [20]

Наряду с критическими частотами вращения существуют собственные частоты колебаний вращающегося ротора, которые могут быть обнаружены при неизменной частоте вращения (например, номинальной) и при возбуждении вращающегося ротора возбуждающей силой.

Можно сказать, что критические частоты вращения суть собственные частоты колебаний системы ротор-опоры на критических частотах вращения валопровода. При критической частоте вращения ротора наблюдается резонанс.

В работе [21] подробно рассмотрены методы определения прочностной и вибрационной надежности элементов турбомашин. Одной из главных конструктивных задач авторы считают отстройку турбины от резонансов на этапе проектирования, для этого собственные частоты колебаний турбины на номинальной частоте вращения должны находится в допустимых диапазонах. При вибрационном анализе авторы применяю общие методы механики, такие как: метод Рэйли, метод Ритца, а также метод конечных элементов. В результате исследования влияния балансировки ротора на вибрацию турбины, авторы делают вывод о критерии удовлетворительной балансировки, заключающегося в том, что амплитуда динамической реакции в опоре не должна превышать 5-10% от статической реакции опоры.

1.4 Расчетные методы исследования НДС турбины

Рост вычислительной мощности компьютеров и создание развитого программного обеспечения позволяют решать весьма сложные задачи науки и техники. Значительное распространение получил численный метод конечных элементов (МКЭ), широкими возможностями обладает численный метод конечных разностей (МКР). Опыт применения данных методов выявил как их преимущества, так и недостатки. МКР обладает слабой устойчивостью численных операций, что сказывается на точности результатов при некоторых краевых условиях. МКЭ хуже, чем хотелось бы, решает задачи определения

спектров частот собственных колебаний и критических сил потери устойчивости. Эти и другие недостатки различных методов способствовали созданию и бурному развитию принципиально нового метода решения дифференциальных уравнений задач механики. Метод получил название метод граничных элементов (МГЭ). В отличие от МКР, где используется конечно-разностная аппроксимация дифференциальных операторов, в МГЭ основой являются интегральное уравнение задачи и его фундаментальные решения. В отличие от МКЭ, где вся область объекта разбивается на конечные элементы, в МГЭ дискретизации подлежит лишь граница объекта. На границе объекта из системы линейных алгебраических уравнений определяются необходимые параметры, а состояние во внутренних точках вычисляется по интегральным уравнениям.

Все МГЭ можно разделить на три категории [22].

Прямой вариант МГЭ. В этой категории неизвестные функции, входящие в интегральные уравнения, являются реальными, имеющими физический смысл переменными задачи. В задачах теории упругости такое решение интегрального уравнения должно давать действующие силы и перемещения на границе, а внутри тела они получаются численным интегрированием из граничных условий. Некоторые алгоритмы, основанные на этом подходе, описаны Уотсоном, Лаша, Крузом, Шоу, Риццо и другими и носят название «методы граничных интегральных уравнений».

Полупрямой вариант МГЭ. Если составлять интегральные уравнения для неизвестных функций, аналогичных функциям напряжений в теории упругости или функциям тока при потенциальном течении, то при получении решения для этих функций, простое дифференцирование даст, распределение внутренних напряжений. Этот метод называется полупрямым, и был развит Генри, Понтером, Джесуоном, Симмом и Римом.

Непрямой вариант МГЭ. Возможен вариант, когда интегральное уравнение выражается через фундаментальное сингулярное решение исходных дифференциальных уравнений, распределенное с неизвестной

плотностью по границам рассматриваемой области. Сами по себе функции плотности не имеют определенного физического смысла, но, когда они найдены , значения параметров решения везде внутри тела могут быть получены из них простым интегрированием. Алгоритмы, основанные на таком подходе, описаны Бенерджи, Баттерфилдом, Хессом, Джесуоном, Массоне, Оливейрой, Симмом, Томлином, Уотсоном и другими.

Если дифференциальное уравнение линейно, либо линейно относительно приращений, то для его решения может быть применен МГЭ. В задачах, описанных эллиптическим дифференциальным уравнением, решения находится сразу, для гиперболических и параболических систем уравнений должны быть введены процессы продвижения во времени. При помощи прямых или непрямых формулировок МГЭ могут быть решены задачи о стационарном и нестационарном потенциальных течениях, задачи статической и динамической теории упругости. МГЭ может быть применен и в сочетании с другими численными методами, такими, как методы конечных элементов или конечных разностей.

МГЭ включает моделирование только граничной геометрии системы. Как только получена необходимая информация о границе, могут быть вычислены значения переменных, описывающих решение, в любых последовательно выбираемых внутренних точках. Более того, решение полностью непрерывно всюду внутри тела. Оказывается, что обе эти особенности присущи только МГЭ и выделяют его среди возможных альтернатив. В силу непрерывности решения исследователь может найти значения переменных в любой заданной внутренней точке, о выборе которой он может позаботиться после основного анализа, причем с очень высокой точностью, например в областях концентрации напряжений в упругих или упругопластических телах.

2. Моделирование ортогональной турбины

2.1. Описание ортогональной турбины средствами объектно-классификационного моделирования

Опишем предметную область и объект исследования средствами объектно-классификационного моделирования (ОКМ). Основными

категориями ОКМ являются понятия [23]: объект, класс, отношение (связь), система. Объект - это реальная или абстрактная сущность, определяемая как предмет, на который направлено мышление или действие.

В теории ОКМ любые объекты определяются путем детализации и конкретизации перечисленных атрибутов данного понятия. Допускается также дополнять, конкретизировать или изменять данный перечень атрибутов в зависимости от природы определяемых объектов.

При проектировании сложных систем исследователь (разработчик) должен выбирать необходимые ему экземпляры объектов из заданного класса объектов путем конкретизации значений их атрибутов (идентификации).

Средства ОКМ позволяют не только наиболее полно описать рабочий процесс самой ортогональной турбины, но и формализовать исследовательский процесс. Опишем категориями ОКМ исследуемую предметную область, объект исследования, процесс исследования и их свойства (таблица 1).

Таблица 1 - Описание объекта исследования и исследовательский процесс средствами ОКМ

Понятие ОКМ Значение в приложении к исследованию.

Предметная область Совокупность объектов: ортогональная турбина, состоящая из узлов, работающая в водном потоке; водный поток, взаимодействующий с турбиной; внешний потребитель, взаимодействующий с турбиной.

Объект исследования Ортогональная турбина

Продолжение таблицы 1

Свойства Свойства ортогональной турбины: Свойства водного потока: Свойства потребителя:

Показатели свойства Энергетические показатели: Силовые показатели: Геометрические показатели: Показатели работоспособности:

Параметры Параметры ортогональной турбины: Параметры водного потока: Параметры потребителя:

Отношения Функциональные зависимости значений энергетических, силовых, геометрических показателей, и показателей работоспособности.

Факторы Скорость и статическое давление водного потока, значения параметров сечения водного потока, требуемый ресурс турбины.

Процедуры Последовательность действий осуществляемых над значениями показателей свойств объектов предметной области, с целью моделирования рабочего процесса и осуществления исследования.

Система Ортогональная турбина, состоящая из множества лопастных систем, и соединенная с нагрузкой

Способность Способность турбины прообразовывать энергию водного потока в механическую энергию ротора в течение заданного срока эксплуатации.

Состояние Режимы работы турбины под нагрузкой и на холостом ходу, характеризуемые набором значений показателей свойств турбины.

События Акт смены режима работы турбины. Акт нахождения требуемых значений показателей турбины.

Процессы Процесс взаимодействия турбины с потоком. Процесс поиска оптимальных значений показателей турбины.

Критерии Критерий работоспособности турбины. Критерий оптимального решения (целевая функция).

Эксперимент Изменение значений параметров исследуемого объекта с целью поиска оптимального решения, удовлетворяющего требуемым критериям.

Модель Математическая модель рабочего процесса ортогональной турбины, описывающая ее основные свойства в отношении с основными факторами и параметрами.

Моделирование Процесс изучения свойств ортогональной турбины посредством исследования свойств ее математической модели.

Таким образом, для создания модели рабочего процесса ортогональной турбины, необходимо описать следующие объекты:

• Водный поток, обладающий способностью взаимодействия с элементами турбины

• Лопасть турбины, обладающая способностью, влиять параметрами своей геометрии на силовые нагрузки, действующие со стороны водного потока

• Лопастная система, воспринимающая силовые нагрузки, действующие со стороны водного пока, и передающая крутящий момент на вал ротора турбины.

2.2. Математические модели объектов исследования

Низконапорные ортогональные турбины относятся к реактивным поперечно-струйным турбинам, работающим в свободном или поджатом потоке жидкости или газа. Характерная особенность ортогональной турбины состоит в том, что лопасти, закрепленные на роторе турбины, имеют крыловидный профиль, обтекание которого потоком среды создает подъемную силу, тангенциальная составляющая которой обеспечивает тянущую силу лопасти, причем в рабочем режиме скорость движения лопасти превышает скорость набегающего на турбину потока.

2.2.1 Силовая модель лопасти, учитывающая изменение характеристик лопасти при изменении угла атаки

При формировании математической модели необходимо получить: уравнение функции угла атаки водного потока; уравнение тянущей силы; уравнение смещения центра давления вдоль хорды лопасти.

Разработанная математическая модель, основана на определении тянущей силы лопасти, возникающей вследствие наклона вектора подъемной силы крыла по отношению к ее хорде при ненулевых углах атаки.

Введем декартову систему координат ХОУ, начало которой совпадает с осью вращения турбины, а также полярную систему координат <рОг (рисунок 1).

О)

iU У

У

180

270°

Рисунок 1 - Расчетная схема ортогональной турбины

Турбина вращается с угловой скоростью со в направлении, совпадающем с положительным направлением угловой координаты ср. Направление набегающего потока д, совпадает с осью ОХ. Также, условно изобразим хорду лопасти h, и введем систему координат nOt, связанную с лопастью, т. О совпадает со средней точкой хорды лопасти. Ось tt' является касательной к траектории движения лопасти, а ось пп, перпендикулярна к касательной.

Во время движения вектор окружной скорости -докр = cor складывается с вектором набегающего потока результатом чего становится вектор результирующего потока W, модуль которого можно вычислить по формуле:

(5)

\¥(<р) = ^+докр2 + 2-Я-докр-со5 (/?(<?))

где, Р((р) — (р — 90° - угол между векторами окружной скорости и набегающего потока (рисунок 2).Угол межу IV и $окр является углом атаки а.

D

I)

а

/ \

Р/

Р,

\

\

\

\

\

W

\

\

\

\

\

\

\

Рисукок 2 - Параллелограмм скоростей

Воспользовавшись теоремой синусов для одного из треугольников параллелограмма скоростей (рисунок 2), получим функцию угла атаки:

. ~д • sin Щ<р)\ (6)

=asin (—ш—}

где, =

Угол атаки считаем положительным, если вектор W направлен в «живот» профиля, и отрицательным - если в «спину».

Во время движения на лопасть действуют: сила лобового сопротивления Fdrag и подъемная сила Fuft. Направление силы Far ад совпадает с

FitfM = Fiift' sin (а(<р)) (9)

Fdrag(<P) = Fdrag ' COS (a(<p)) (Ю)

FuftW) = Puft ■ eos (afa)) (11)

Fdrag O?) = Fdrag ' SÍn «<?)) (12)

Определив значения проекций сил, запишем функции полной касательной и нормальной сил:

FtW = PiiftW - P'dragW (13)

U<P) = FSragM + FwM (14)

Наличие касательной силы Ft{(p) приводит к появлению на турбине крутящего момента:

T{<p) = Ft{fp)-r (15)

Для определения нагрузок, действующих на турбину, спроецируем силы, действующие на лопасть, на оси декартовой системы координат:

PxisР) = Рп(ф) ' eos(<р) - Ft((p) ■ sin(<р) (16)

Fy(<p) = Fn(jp) ■ sin(<p) + Ft{(p) ■ cos(<p) (17)

Разделив уравнение (13) на значение гидродинамического напора, мы получим уравнение коэффициента тянуще силы [26,27]:

Ft(<p) (18)

с М =

Р'У-h-L

= Clift(a(<p)) ■ sin(а(<р)) - Cdraí7(a:(<p)) ■ eos(а(<р))

В процессе изменения угла атаки лопасти турбины, фактическое положение точки приложения результирующей силы (центра давления) изменяется, перемещаясь вдоль хорды лопасти. Число, показывающее на положение центра давления относительно носика лопасти называется коэффициентом центра давления Сй.

При этом фактическое положение центра давления Ьа относительно носка лопасти определяется уравнением:

Коэффициент тянущей силы с учетом фактического положения центра давления, определяется по формуле:

С*« = т ■ -у-Ю- Сагад^т ' (20>

где - радиус вектор, определяющий положение центра хорды в полярной системе координат, связанной с осью вращения турбины;

радиус вектор, определяющий положение центра давления в полярной системе координат, связанной осью вращения турбины; у- угол между и Я. Длину определим по формуле:

Ц = 0.5 ■ Ъ - Ь ■ С,

й

(19)

соБ(а((р) - у - /3)),

Ц2 + Я2 - 21а Я ■ + 0.5л")

(21)

Угол у:

ий

у = агсБт (— ■ ят (13 + 0.57т))

Ко.

(22)

Я

Наиболее критичным видом нагрузки на лопасть, вследствие наименьшего момента сопротивления, будет изгиб вокруг оси От под действием нормальной силы Рп, направленной вдоль оси Оп (рисунок 4).

Л

Оп

От

Рисунок 4 - Локальная система координа лопасти

График изменения силы от угла поворота турбины показан на

рисунке 5:

Рисунок 5 - График изменения нормальной силы, дейстующей на лопасть

На траверсы, предназначенные для передачи крутящего момента от лопасти к валу турбины, и следовательно движущихся в водном потоке, действует сила, вызванная гидродинамическим давлением, и направленная в сторону противоположную направлению вращения вала, и как следствие снижающая удельную мощность турбины, при этом крутящий момент от траверс выражается:

к

Заключение диссертации по теме «Машиноведение, системы приводов и детали машин», Спирин, Евгений Анатольевич

Заключение

Ортогональная турбина является устройством, преобразующим энергию водного потока в механическую энергию ротора турбины. Другими словами ортогональную турбину можно классифицировать как первичный гидравлический двигатель с вращательным типом движения

Диссертация является научно-квалификационной работой, в которой на основании выполненных исследований содержится решение задачи создания теории и методов расчета ортогональной турбины, обеспечивающих ее повышенные технические параметры, и качество на этапе проектирования, позволяющие обеспечить конкурентоспособность на мировом рынке.

При выполнении настоящей работы получены следующие научные и практические результаты:

1. Обзор работ, посвященных вопросам исследования, проектирования, испытаний и внедрения ортогональных турбин, показал недостаточную изученность ряда важных аспектов рабочего процесса турбин, таких как: влияние геометрии лопасти и стесненности потока на коэффициент использования энергии потока, влияние торможения потока в рабочей области турбины, вызванного потерей импульса потока. Недостаточно внимание уделено решению задачи оптимизации энергетических параметров турбины, исследованию напряженно-деформированного состояния рабочих элементов, и анализу динамических характеристик турбины.

2. Обоснован выбор метода объектно-классификационного моделирования задачи, позволившего в результате учесть взаимодействие основных объектов исследования и их свойства.

3. Проведен комплекс исследований на основе численного и физического экспериментов позволивших оценить влияния геометрических параметров турбины, параметров водного потока на эффективность преобразования энергии водного потока в механическую энергию турбины, создана база данных аэродинамических характеристик профилей, используемая при проектировании турбины.

4. Полученные результаты, использованы в расчетной методологии при проектировании в ходе определения действующих нагрузок, и расчета КПД. Результаты теоретических и экспериментальных исследований внедрены при создании установочной серии свободнопоточных микроГЭС (патенты РФ № 2247859, № 105949), и при разработке напорной конструкции ортогональной турбины кольцевой формы (патент РФ № 104975).

5. Теория и методы исследования процессов, влияющих на техническое состояние ортогональной турбины, как объекта машиностроения, и разработанные способы управления этими процессами, созданы на основе модели рабочего процесса ортогональной турбины, учитывающей геометрию лопасти и лопастной системы в целом, потерю импульса водного потока, действующее НДС системы, параметры водного потока, и режим работы турбины.

6. Методы исследования и оптимизации технического состояния ортогональной турбины, реализованные в виде программных модулей.

7. Теория и методы проектирования ортогональной турбины, основанные на алгоритме, объединяющем совокупность разработанных математических моделей.

8. Повышение точности и достоверности расчетов ортогональной турбины, достигнутое проверкой корректности разработанных моделей методами численного моделирования и натурными испытаниями.

9. Создание компонента САПР, предназначенного для проектирования ортогональной турбины, базирующегося на сравнительно более совершенной модели функционирования ортогональной турбины.

10.Теория проектирования нового типа ортогональной турбины, принцип работы которой основан на использовании эффекта гидроудара.

11 .Результаты диссертационной работы (рекомендации по проектированию ортогональной турбины) использованы в учебном процессе по дисциплине «Проектирование изделий в интегрированных средах» в Сибирском федеральном университете, а используемая методика объектно-классификационного моделирования совместно с разработанными численными алгоритмами использована в учебном процессе по дисциплине «Программирование инженерных задач».

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Спирин, Евгений Анатольевич, 2013 год

Список литературы

1. Галась М.И., Дымковец Ю.П., Акаев H.A., Костюков И.Ю. О целесообразности создания вертикально-осевых ветроэлектрических установок мегаваттного класса // Энергетическое строительство-1991-№3-С.33-37.

2. Турян К.Дж., Стрикленд Дж.Х., Берг Д.Э. Мощность ветроэлектрических агрегатов с вертикальной осью вращения//Аэрокосмическая техника-1988.№8.-С.105-121.

3. Баклушин П.Г., Вашкевич К.П., Самсонов В.В. Экспериментальной исследование аэродинамических характеристик ортогональных крыльчатых ветроколес// Сб.науч.тр. Гидропроекта.-1988.-Вып. 129.-С.98-105.

4. Иванов И.И., ИвановаГ.А., Перфилов O.JI. Модельные исследования роторных рабочих колес ветроэнергетических станций// Сб.науч.тр. Гидропроекта-1988-Вып. 129.-С.106-113.

5. Ершина А.К., Ершин Ш.А., Жапбасбаев У.К. Основы теории ветротурбины Дарье. - Алматы: КазгосИНТИ, 2001.-104 с.

6. Горелов Д.Н., Кузьменко Ю.Н. Экспериментальная оценка предельной мощности ветроколеса с вертикальной осью вращения//Теплофизика и аэромеханика. -2001.-Т.8, №2.-С.329-334.

7. Горелов Д.Н. Проблемы аэродинамики ветроколеса Дарье// Теплофизика и аэромеханика. -2003.-Т. 10, №1-С.47-51.

8. Балагуров В. А. Проектирование специальных электрических машин переменного тока / В. А. Балагуров. - М.: Высш. школа, 1982. - 272 с.

9. Баклушин П. Г. Экспериментальное исследование аэродинами-ческих характеристик ортогональных крыльчатых ветроколес / П. Г. Баклушин, К. П. Вашкевич В. В. Самсонов // Труды Гидропроекта. - 1989. - Вып. 129. - С. 98 -105.

Ю.Иванов И. И. Модельные исследования роторных рабочих колес ветроэнергетических станций / И. И. Иванов, Г. А. Иванова, О. Л. Перфилов // Труды Гидропроекта. - 1989. - Вып. 129. - С. 106 - 113.

1 ГЛятхер В. М. Аэродинамика ветроагрегатов / В. М. Лятхер, Ю. Б. Шполянский //Труды Гидропроекта. - 1989. -Вып. 129.-С. 113-127.

12.Милитеев, Д. Н. Численный метод расчета нормальных нагрузок на лопасти ортогональных ветроагрегатов / Д. Н. Милитеев // Труды Гидропроекта. -

1989.-Вып. 129.-С. 128- 138.

13.J.C.Dai «Aerodynamic loads calculation and analysis for large scale wind turbine based on combining BEM modified theory with dynamic stall model», Renewable Energy.

14.I-I. Aa. Madsen "A Detailed investigation of the BEM model based on analytical and numeical results and proposal for modification of the BEM model", Journal of Phisics: Conference Series 75 (2007)012016

15.J.Zannete «А design methodology for cross flow water turbines», Renewable Energy

16.Kelvin Maki «System design of a wind turbine using a multi-level optimization approach», Renewable Energy

17.Спирин E.A., Головин М.П. Перспективы использования малой гидроэнергетики в сибирском регионе // Вестник СибГАУ.: Красноярск -2010, с.179-184.

18.Манушин Э.А.«Конструирование и расчет на прочность турбомашин газотурбинных и комбинированных установок. Учеб. Пособие для студентов машиностроит. спец.вузов/ Под ред. Н.Н.Малинина.-М.:Машионстроение,

1990.-400с.:ил.»

19.Биргер И.А. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в трех томах/ И.А. Биргер, Я.Г.Пановко.-М.: Машиностроение, 1988.

20.Кельзон А.С. Расчет и конструирование роторных машин. Л., «Машиностроение», 1977. -288с. С илл.

21.Костюк А.Г. Динамика и прочность турбомашин / А.Г.Костюк. -3-е изд., перераб. и доп. -М.: Издательский дом МЭИ, 2007. - 476 е.: ил.

22.Баженов В.А., Оробей В.Ф., Дащенко А.Ф., Коломиец Л.В., Строительная механика. Специальный курс. Применение метода граничных элементов - М.: ISBN, 2001 г.- 564 е., ил.

23.Советов Б.Я. Моделирование систем.-М.: Высшая школа, 1985.

24.Абрамовский Е. Р., Городько С. В., Свиридов Н. В. Аэродинамика ветродвигателей. — Днепропетровск: Днепр, гос. ун-т, 1987. — 219 с.

25.Яковлев А. И., Затучная М. А., Головчинер И. Г., Зайкин А. А. Прогнозирование мощностных и моментных характеристик ветроколеса с вертикальной осью вращения и различными аэродинамическими профилями рабочих лопастей// Нетрадиционные источники, передающие системы и преобразование энергии. — X., 1997. — С. 111 — 115.

26.Яковлев А. И., Затучная М. А. Энергетические характеристики ветротурбин с вертикальной осью вращения// Авиационно-космическая техника и технология. — X., 1998. — Вып. 7. — С. 98 — 102.

27.Еремеев К. Д., Усик Ю. Ф., Холявко В. И., Чмовж В. В. Экспериментальные исследования масштабной модели ортогонального крыльчатого ветродвигателя трехлопастной компоновочной схемы// Авиационно-космическая техника и технология. — X., 1999. — Вып. 8. — С. 34 — 38.

28.Фатеев Е. М. Ветродвигатели и ветротурбины. М.: Сельхозгиз, 1957. — 544 с.

29.Муто X., Терашима Ю., Оута Е., Машияма Т. Совместные экспериментальные исследования роторов Дарье и Савониуса в аэродинамической трубе. — Токио, 1983.

30.Launder, В. Е. The numerical computation of turbulent

flow / В. E. Lannder, D. B. Spalding // J. Comp. Meth. in Appl. Mech. & Eng. - 1974. - № 3. - P. 269.

ЗЬЛобарева И.Ф., Скороспелов В.А., Турук П.А. и др. Об одном подходе к оптимизации формы лопасти гидротурбины // Вычисл. технологии. 2005. Т. 10, №6. С. 52-74.

32.Lipej A., Poloni С. Design of Kaplan runner using multi-objective genetic algorithm optimization // J. of Hydraulic Research. 2000. Vol. 38. P. 73-77.

33.Enomoto Y., Kurosawa S., Suzuki T. Design optimization of Francis turbine runner using multi-objective genetic algorithm // Proc. of 22nd IAHR Symp. on Hydraulic Machinery and Systems. 2004.

34.Mazzouji F., Francois M., Tomas L. et al. Refinements in Francis turbine design Hydropower & Dams. 2004. Issue one. P. 53-58.

35.Favaretto C., Funazaki K., Tanuma T. The development of a genetic algorithm code for secondary flow injection optimization in axial turbines // Proc. of the Intern. Gas Turbine Congress. Tokyo, Nov. 2003.

36.Пантелеев А.В., Т.А.Летова. Методы оптимизации в примерах и задачах: Учебное пособие-М.: Высш. Шк., 2002.

37. Аэрогидромеханика: Учебник для студентов высших технических учебных заведений/ Е. Н. Бондарев, В. Т. Дубасов, Ю. А. Рыжов и др. - М.: Машиностроение, 1993. - 608 с.

38. Аэродинамика летательных аппаратов: учебник для вузов/ Г. А. Колесников, В. К. Марков, А. А. Михайлюк и др. - М.: Машиностроение, 1993. - 544 с.

39. Основы прикладной аэрогазодинамики. В 2 кн. Кн. 1. Аэродинамика крыла (профиля), корпуса и их комбинаций: Учеб. Пособие для техн. вузов/ Н. Ф. Краснов, Е. Э. Боровский, А. И. Хлупнов. М.: Высш. шк., 1990. - 336 с.

40. Основы прикладной аэрогазодинамики. В 2 кн. Кн. 2. Обтекание тел вязкой жидкостью. Рулевые устройства: Учеб. Пособие для втузов./ Н. Ф. Краснов, В. Н. Кошевой, В. Ф. Захарченко и др. -М.: Высш. шк., 1991. - 358 с.

41.Петров К. П. Аэродинамика тел простейших форм. М.: Факториал, 1998. - 432 с.

42.Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах.-М.: Высш. шк., 1986.

43. Ашманов С.А. Линейное программирование.- М.: Наука, 1981.

44. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс -М.: Радио и связь, 1988.

45. Банди Б. Основы линейного программирования.- М.: Радио и связь, 1989.

46.Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов.-М.: Наука, 1986.

47.Гарнаев A.IO. Использование MS Excel и VBA в экономике и финансах.-СПб.: BHV - Санкт- Петербург, 2000.

48.Карманов В. Г. Математическое программирование. -М.: Наука, 1975.

49. Курицкий Б. Поиск оптимальных решений средствами Excel 7.0.- СПб.:ВНУ-Санкт-Петербург, 1997 г.

50.Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. - М.:Высш.шк., 1976.

51. Моисеев H. II., Иванилов Ю. П., Столярова Е. М. Методы оптимизации. -М.: Наука, 1978.

52.Муртаф Ф. Современное линейное программирование. -М.: Мир, 1985.

53.Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. -М.: Мир, 1974.

54. Бенерджи П., Баттерфилд Р.Б 46 Метод граничных элементов в прикладных науках: Пер. с англ. - М.: Мир, 1984. - 494 е., ил.

55.Барановская Л. В., Теоретические основы применения метода граничных элементов к расчету пространственных крановых металлоконструкций - М.: ISSN, 2009 г.-48-54 е., ил.

56.Федотов В.П., Спевак Л.Ф., Трухин В.П., Вычисление напряжений в методе граничных элементов с использованием аналитического вычисления интегралов - М.: ISSN, 2007 г. - 79-84 е., ил.

57.Федотов В.П., Спевак Л.Ф. Применение модифицированного метода граничных элементов для решения задач нелинейно-упругого деформировании - М.: ISSN, 2008 г. - 118-125 е., ил.

58.Бреббиа К., Теллес Д., Вроубел Л. Методы граничных элементов / Под ред. Э.И. Григолюка. - М.: Мир. 1987. - 524с.

59.3убчанинов В.Г. Основы теории упругости и пластичности. - М.: Высшая школа, 1990.-368с.

60.Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем. - М.: Мир, 1984.-334с.

61.Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела. - М.: Мир, 1987. - 328с.

62. Мае ленников A.M. Расчет строительных конструкций численными методами. - Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1987. - 225с.

63.Оробей В.Ф., Работягов Д.Д. Решение задач статики стержневых систем методом граничных интегральных уравнений // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев.: Буд1вельник. - 1983. - №54. - с. 90 - 95.

64.Оробей В.Ф., Работягов Д.Д. Решение задач статики тонкостенных стержневых систем методом граничных интегральных уравнений // Сопротивление материалов и теория сооружений. - Киев.: Буд1вельник. -1989. -№55.-с. 81-86.

65. Ковалев, Н. Н. Проектирование гидротурбин. - М. : Машиностроение, 1974. - 280 с.

бб.Зедгиизде И.Г. Планирование эксперимента для исследования многокомпонентных систем. М., «Наука», 1976 - стр. 390.