Теория и методика обучения элементам топологии в основной школе тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 13.00.02, кандидат педагогических наук Сангалова, Марина Евгеньевна

• Сангалова, Марина Евгеньевна
• кандидат педагогических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат педагогических наук Сангалова, Марина Евгеньевна

Ъ ВВЕДЕНИЕ.

Г Л А В А 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ У УЧАЩИХСЯ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ.

§ 1. Предпосылки совершенствования обучения математике в основной школе (топологический аспект).

§ 2. Анализ проблемы исследования в учебно-методической литературе.

§ 3. Принципы отбора содержания учебного материала по топологии

§ 4. Содержание учебного материала и распределение его по годам обучения.

ВЫВОДЫ ПО ПЕРВОЙ ГЛАВЕ.

Г Л А В А 2. ОСНОВНЫЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ ИЗУЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ТОПОЛОГИИ.

§ 1. Методы топологии, их структура.

§ 2. Формирование методов топологии.

2.1. Формирование метода графового моделирования.

2.2. Формирование метода математической индукции по топологическим инвариантам.

2.3. Формирование метода объемного моделирования.

2.4. Формирование методов решения лабиринтов.

2.5. Формирование метода раскраски карт.

§ 3. Методика изучения темы "Топологически эквивалентные фигуры.

Топологические инварианты".

§ 4. Постановка педагогического эксперимента и его результаты.

I ВЫВОДЫ ПО ВТОРОЙ ГЛАВЕ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теория и методика обучения элементам топологии в основной школе»

В настоящее время на фоне динамики процессов изменения структуры, содержания и даже самой концепции школьного математического образования особенно остро стоит вопрос повышения качества, а значит и глубины математических знаний учащихся.

В связи с этим актуально рассмотрение вопроса природы математических, в том числе и геометрических знаний.

Элементарная геометрия имеет дело с величинами (расстояния, углы, площади), которые не меняют своих значений при движении фигур, тогда как проективная геометрия занимается такими понятиями (точка, прямая, отношение инцидентности, двойное отношение), которые сохраняются при более широкой группе проективных преобразований. Однако и движения, и подобия, и проективные преобразования - только частные случаи гораздо более общих топологических преобразований. Топология изучает наиболее общие свойства геометрических фигур, связанные с "прикосновением" друг к другу частей фигуры и с "непрерывностью" в самом общем виде [15].

Топологические свойства фигур представляют большой интерес: в известном смысле это самые глубокие, самые основные геометрические свойства, так как они сохраняются при самых "резких" преобразованиях [48].

В настоящее время геометрию понимают как теорию структур более богатых, чем структура топологического пространства. То есть все пространства, изучаемые в геометрии, прежде всего топологические пространства. Более того, это топологические пространства с обогащенной структурой. Такой взгляд на геометрию является обобщением точки зрения Ф.Клейна, сформулированной более ста лет назад [7].

С топологическими понятиями школьнику постоянно приходится иметь дело в курсе геометрии: граничные и внутренние точки, геометрическое тело, его поверхность и тому подобные. Такие фундаментальные топологические понятия как "внутренняя область", "внешняя область", "граница" лежат в основе восприятия любой двумерной или трехмерной фигуры, изучаемой в школьном курсе планиметрии и стереометрии, и определяемой как часть плоскости или пространства, ограниченной некоторой линией или поверхностью, соответственно.

На современном этапе развития математического образования к исходным положениям, определяющим специфику методической системы обучения математике, также следует относить психологическую структуру личности, закономерности её развития. То есть, необходимо иметь некоторую модель, описывающую возрастные и индивидуальные особенности математического мышления школьников, чтобы в соответствии с ней строить процесс обучения. Такая модель построена Ж. Пиаже [68] и далее развита в трудах П.-Х. Ван Хилле, Л.М. Веккера [12, 13], Н. Винера [14], А.Н. Колмогорова [44], В.А. Крутецкого [46] и других. Она базируется на положении об изоморфизме основных математических структур (выделенных Н. Бурбаки: алгебраические, метрические, порядковые, проективные и топологические) структурам мышления ребёнка. Причем, топологическая структура является первичной по отношению к проективной и метрической подструктурам мышления. Топологические пространственные представления лежат в основе восприятия объектов, в том числе и геометрических фигур, и создают базу для развития у учащихся проективных и метрических пространственных представлений. Следовательно, и обучение должно строиться согласно развитию математического мышления обучаемых.

Однако ни в одном из действующих учебников "Математика 5,6" не прослеживается топологическая линия. Элементарные топологические представления присутствуют, однако они бессистемны, "случайны", играют вспомогательную роль, не имеют развития.

Проблемой введения элементов топологии в школьный курс математики в разные годы занимались: А.Н. Колмогоров [44], И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Ер-ганжиева [91], А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик [2], Б.Е. Кантор,

С.А. Франгулов [15], A.A. Саркисян, Ю.М. Колягин [79], А. Ибраев [34], Ф.Р.

Усманов [86], И.Я. Каплунович [37], Н.С. Подходова [69] и др.

В диссертационном исследовании проанализированы следующие подходы.

1. Включение в систематический курс математики теории графов и её приложений. Для начальной школы (1-3 классы) этот вопрос обсуждается в [82] (C.B. Сурикова, М.В. Анисимова "Использование графовых моделей при решении задач"). Сторонники этой точки зрения (М.М. Тоненкова, Е.Е. Белокурова, Л.Г. Петерсон и др.) обращают внимание на доступность, наглядность и, что немаловажно, широкое применение теории графов к решению задач (арифметических, логических, задач на сравнение числа элементов множеств, комбинаторных задач).

2. Некоторые задачи топологического характера включаются в основное содержание курса математики с пометкой "для учеников, увлекающихся математикой" (Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов,

A.C. Чесноков, С.И. Шварцбург [56, 57], Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин [54,55]).

3. Топологический материал предлагается для внеклассной работы в 5-6-ых классах, причём он выделен в отдельный блок (И.Ф. Шарыгин, J1.H. Ерганжиева [91], И.И.Баженов, А.Г. По-рошкин, А.Ю. Тимофеев, В.Д. Яковлев [6], М.Н. Ерохина [32]).

4. Отдельные темы предлагаются для 10-11-ых классов с углублённым изучением математики (А.Д. Александров, A.JI. Вернер,

B.И. Рыжик [2], АЛ. Вернер, Б.Е. Кантор, С.А. Франгулов [15], "Математика", сост. Г.В. Пичурина [53]).

5. Некоторые вопросы топологии предлагаются для внеклассной работы в старших классах (10-11 классы) (A.A. Саркисян, Ю.М. Колягин [79]).

Подходы к этой проблеме отличаются различными аспектами: глубиной, характером и организацией изложения топологического материала, возрастной группой учащихся, для которой предназначается то или иное пособие.

Большинство авторов рассматривают обучение элементам топологии лишь для кружков, факультативов или для классов и школ с углубленным изучением математики. При этом они ограничиваются рассмотрением узкого класса топологических задач (например, задач решаемых с помощью графов) или отдельных топологических задач как занимательных.

Основным недостатком кружковых и факультативных занятий, описанных в существующих пособиях, является их слабая связь с материалом, который изучается на уроках. Это ведёт к тому, что топологические свойства различных объектов воспринимаются в отрыве от остальных их свойств. При этом у учащихся складывается впечатление, что топология - это нечто совершенно иное, нежели геометрия. Учитывая эти факторы, оптимальным способом организации учебного процесса представляется пара "урок - внеклассное мероприятие" (впервые выделена Г.И. Саранцевым). Внеклассное мероприятие пролонгирует, развивает урок. Такой подход позволяет выявить наиболее глубокие (топологические) свойства геометрических объектов, изучаемых на уроке, то есть делает знания учащихся более основательными, развивает их творческие способности и интерес к математике как к предмету.

Ряд авторов (А.Л. Вернер, Б.Е. Кантор, С.А. Франгулов [15]) высказывают мнение, что изучение топологических свойств геометрических объектов наиболее целесообразно начинать в старшей школе.

Однако, наиболее приемлемым для введения топологической линии является среднее звено (5-6 классы). Действительно, с одной стороны, сообразуясь с вышеизложенными идеями, необходимо как можно более ранее знакомство с топологией. А с другой стороны, учащиеся уже имеют первичные навыки вычислений, оперирования числовыми и буквенными выражениями, начальные понятия о геометрических фигурах, что представляет возможности для рассмотрения более широких классов топологических задач.

Все вышесказанное обуславливает актуальность проблемы поиска условий и средств реализации обучения элементам топологии в курсе математики основной школы.

Цель исследования заключается в разработке теоретических основ и методического обеспечения обучения элементам топологии в курсе математики основной школы.

Объектом исследования является процесс обучения геометрии в основной школе, а его предметом - методическая система, включающая цели, содержание, методы, средства и формы обучения элементам топологии.

В основу исследования положена гипотеза', если в процесс обучения математике в основной школе органично включить обучение элементам топологии в форме пар "урок - внеклассное мероприятие", то это приведет к повышению качества знаний и умений школьников.

Для достижения поставленной цели и проверки сформулированной гипотезы потребовалось решить следующие задачи:

1) анализ существующих подходов к введению элементов топологии в школьный курс математики;

2) выявление роли и места элементарных топологических представлений в математическом образовании учащихся и уточнение их сущности;

3) исследование возможностей школьного курса математики для развития топологических представлений учащихся;

4) разработка системы принципов отбора и конструирования содержания топологического материала;

5) отбор содержания топологического материала для изучения с учетом принципов отбора;

6) выделение методов топологии и действий их составляющих;

7) разработка методики проведения пар "урок - внеклассное меро-> приятие" (методическое обеспечение введения элементов топологии в курс основной школы);

8) экспериментальная проверка разработанного методического обеспечения.

Решение поставленных задач потребовало привлечения следующих методов педагогического исследования: изучение и анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы по проблеме исследования; сравнительный анализ программ, учебников и учебных пособий для общеобразовательных школ и школ (классов) с углубленным изучением математики; изучение и анализ опыта учителей математики, работающих в среднем школьном звене; беседа с учителями и анализ продуктов учебной деятельности школьников; констатирующий, поисковый и обучающий эксперименты; статистическая обработка и анализ результатов экспериментов.

Методологической основой исследования явились: 0 • структура личности и закономерности ее развития;

• концепция математического образования;

• диалектика и системный анализ;

• • деятельностный подход (в контексте выделения действий, составляющих методы топологии);

• основные положения теории использования задач в обучении математике (формирование понятий, методов, работа с теоремами).

Исследование проводилось поэтапно. На первом этапе осуществлялось изучение и анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы по проблеме исследования, фиксировалось состояние методической работы по данному вопросу; анализировался опыт учителей; проводился констатирующий эксперимент. На втором этапе разрабатывались теоретические основы введения элементов топологии в среднюю школу; создавалось соответствующее методическое обеспечение и проходила его первичная проверка. На третьем этапе проводился обучающий эксперимент. Полученные результаты были проанализированы и обработаны средствами математической статистики, что позволило подтвердить справедливость теоретических выводов и эффективность разработанного методического обеспечения.

Научная новизна исследования: проблема обучения элементам топологии решается на принципиально новой основе, которую составляет совместное формирование взаимосвязанных понятий и методов курса геометрии основной школы и топологии в контексте формы учебного процесса "урок — внеклассное мероприятие".

Теоретическая значимость исследования заключается в выявлении роли топологических представлений в математическом образовании школьников; выделении принципов отбора и конструирования содержания топологического материала; выделении методов топологии и составляющих их действий, а также выявлении этапов процесса формирования этих действий; обосновании целесообразности построения методического обеспечения обучения топологии в форме "урок - внеклассное мероприятие".

Практическая ценность результатов исследования состоит в том, что I разработанное методическое обеспечение обучения элементам топологии в курсе основной школы может применяться в практике обучения математике в основной школе. Результаты исследования могут быть использованы также при составлении учебно-методических пособий для учителей, учащихся и студентов.

Обоснованность и достоверность полученных результатов обеспечена опорой на методологические основы теории и методики обучения математике с учетом современных положений психологии обучения; применением методов исследования, адекватных его целям, задачам и логике; а также проведенным экспериментом.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Обучение элементам топологии строится на основе системного рассмотрения: действий, адекватных методам топологии; методики их формирования и программного содержания математики в контексте формы обучения "урок — внеклассное мероприятие".

2. Отбор топологического материала осуществляется с помощью следующей совокупности принципов: единство содержания и методов топологии, гармоническое развитие личности средствами содержания, соответствие содержания форме обучения "урок - внеклассное мероприятие" и так далее - всего 11 принципов.

3. К действиями, адекватными методу топологических преобразований, относятся следующие: перевод вербального языка на топологический и обратно; видение (построение) топологической структуры соответствующей условиям задачи; использование топологических свойств объектов, топологических закономерностей и теорем, справедливых для объектов определенной природы; видение (построение) фигуры топологически эквивалентной данной; исследование задачи.

При решении задачи данный метод конкретизируется, и в зависимости от условий и требований задачи, преобразуется в один из методов совокупности: метод графового моделирования, метод объемного моделирования, метод математической индукции по топологическим инвариантам, метод решения лабиринтов, метод раскраски карт.

4. Важным средством обучения учащихся методам топологии являются циклы задач, отражающие особенности каждого из методов топологии, а также особенности процесса усвоения учащимися отдельных действий, составляющих данный метод.

На защиту также выносится методическое обеспечение, включающее задачи для формирования у учащихся методов топологии.

Апробация основных положений и результатов настоящего исследования проводилась в форме докладов на заседании семинара аспирантов кафедры теории и методики обучения математике АГПИ (2003 г.), на заседании семинара аспирантов кафедры методики обучения математике Мордовского педагогического института (2003 г.), на Всероссийских, региональных и межвузовских научно-практических конференциях в Саранске (2002 г.), Нижнем Новгороде (2002 г.), Арзамасе (2002 г.).

Внедрение результатов диссертационного исследования осуществлялось в ходе экспериментальной проверки разработанного методического обеспечения введения элементов топологии в курс математики основной школы.

По теме исследования имеется 10 публикаций.

Структура диссертации определена логикой и последовательностью решения задач исследования. Работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка используемой литературы. Основное содержание работы изложено на 174 страницах машинописного текста. Работа иллюстрирована 70 рисунками и содержит 84 задачи.

Заключение диссертации по теме «Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)», Сангалова, Марина Евгеньевна

ВЫВОДЫ ПО ВТОРОЙ ГЛАВЕ.

1. На основе заданного материала отобранных разделов и тем топологии в диссертационном исследовании выделены следующие методы топологии:

• метод объемного моделирования;

• метод графового моделирования;

• методы решения лабиринтов;

• метод раскраски карт;

• метод математической индукции по топологическим инвариантам.

2. Методическое обеспечение процесса формирования методов топологии целесообразно строить на основе циклов задач, состоящих из блоков задач, обеспечивающих усвоение действий, составляющих конкретный метод. Такие блоки задач должны учитывать специфику формируемого действия.

3. Методика изучения конкретных вопросов топологии должна строиться в соответствии с основными этапами работы с понятиями и задачами, а также в тесной взаимосвязи с изучением программного материала.

4. В ходе эксперимента было установлено, что эффективность обучения математике в средней школе может быть существенно повышена, если в его основу будет положено обучение топологии (базирующееся на формировании методов топологии) в соотнесении с основными разделами математики средней школы. Гипотеза исследования получила экспериментальное подтверждение.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В процессе теоретического и экспериментального исследования в соответствии с его целями и задачами сделаны основные выводы и получены следующие результаты:

1. Роль топологических знаний в математическом образовании учащихся определяется

• их основополагающим значением для геометрических знаний учащихся (все пространства, изучаемые в геометрии - это топологические многообразия с обогащенной структурой)

• первичностью топологической структуры в формировании математического мышления школьников (подробнее в § 1 первой главы)

• развивающими функциями топологических задач, которые предполагают развитие исследовательских навыков, навыков самоконтроля и креативности учащихся

• их большим воспитательным потенциалом, проявляющимся, прежде всего, в эстетическом воспитании учащихся, формировании их научного мировоззрения, а также многих ценных личностных качеств (самостоятельность, активность, трудолюбие и так далее).

2. Составы действий топологических методов целесообразно определять посредством выделений действий по решению конкретных топологических задач, их анализа, нахождения общих характеристик, охватывающих все особенности действий по решению топологических задач каждого отдельного вида. На основе этого подхода выделены составы каждого из топологических методов (метод объемного моделирования, метод графового моделирования, методы решения лабиринтов, метод раскраски карт, метод математической индукции по топологическим инвариантам).

3. В результате исследования по соответствующему вопросу были сформированы следующие принципы отбора содержания:

• принцип единства содержания и методов топологии;

• принцип внутренней взаимосвязи, системности и последовательности построения содержания;

• принцип соответствия возрастным особенностям учащихся;

• принцип соответствия имеющемуся времени;

• принцип гармонического развития личности;

• принцип преемственности и непрерывности содержания на каждой ступени обучения;

• принцип единства пары "урок - внеклассное мероприятие";

• принцип воспитывающего характера содержания;

• принцип соответствия современному уровню развития теории и методики обучения математики;

• принцип соответствия диагностико-прогностической функции содержания;

• принцип соответствия содержания учебно-методической и материально-технической базе образовательного учреждения

4. Методическое обеспечение процесса формирования методов топологии целесообразно строить

• на основе циклов, состоящих из блоков (направленных на усвоение учащимися конкретного действия) взаимосвязанных задач

• в форме пары "урок - внеклассное мероприятие". Экспериментальное обучение доказало что эффективность обучения математике в основной школе может быть существенно повышена, если в его основу будет положено обучение топологии (базирующееся на формировании методов топологии) в соотнесении с основными разделами математики средней школы, что подтвердило гипотезу исследования.

Список литературы диссертационного исследования кандидат педагогических наук Сангалова, Марина Евгеньевна, 2003 год

1. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики: Пер. с франц. -М.: Советское радио, 1970. - 152 с.

2. Александров А.Д. и др. Начала стереометрии: 9. Пробный учебник. Материалы для ознакомления/ А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Ры-жик. М.: Просвещение, 1981. - 224 с.

3. Александров П.С. Комбинаторная топология. М.: ГИТТЛ, 1947.

4. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. Ч.2.- М.: Просвещение, 1987. 352 с.

5. Баженов И.И., Порошкин А.Г., Тимофеев А.Ю., Яковлев В.Д. Задачи для школьных математических кружков. Сыктывкар: Сыктывкарский ун-т, 1994. - 167 с.

6. Базылев В.Т., Дуничев К.И. Геометрия. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак-тов пед. ин-тов. М.: Просвещение, 1975. - 367 с.

7. Барр С. Россыпи головоломок. М.: Мир, 1978. - 415 с.

8. Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. М.: Наука, 1983.-157 с.

9. Ю.Бурбаки Н. Архитектура математики// Очерки по истории математики. -М.:ИЛ, 1965.-С. 245-259.

10. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. М.: Физматгиз, 1958.

11. Веккер JI.M. Восприятие и основы его моделирования. Л.: Изд-во ЛГУ, 1964.-194 с.

12. П.Веккер Л.М. Психические процессы. Т.1. Л.: Изд-во ЛГУ, 1974. - 334 с.

13. Винер Н. Я математик. Пер. с англ. - М.: Наука, 1964. - 355 с.

14. Вернер А.Л., Кантор Б.Е., Франгулов С.А. Геометрия. 4.2. Учебное пособие для физ.-мат. фак. пед. ин-тов. 4.2 С.-П: Специальная литература, 1997.-320 с.

15. Востокова Е.В. Внеурочная работа по математике с младшими школьниками: проблемы подготовки учителя; аспекты реализации. -Арзамас: Изд-во АГПИ, 2001.-160 с.

16. Выготский Л.С. Педагогическая психология. М.: Педагогика, 1991. -480 с.

17. Гарднер М. Крестики-нолики. -М.: Мир, 1988. 151 с.

18. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. — М.: Мир, 1971.-507 с.

19. Гарднер М. Математические досуги. М.: Мир, 1972. - 495 с.

20. Гарднер М. Математические новеллы. -М.: Мир, 1974. 453 с.

21. Геометрия для 8-9 классов: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики/ А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. М.: Просвещение, 1991. - 415 с.

22. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. М.: Просвещение, 1999. -335 с.

23. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. сред, шк./ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. М.: Просвещение, 1993. - 207 с.

24. Глейзер Г.Д. Методы формирования и развития пространственных представлений взрослых в процессе обучения геометрии в средней школе: Дис. канд. пед. наук. М., 1984.

25. Грабарь М.И., Краснянская К.А. Применение математической статистики в педагогических исследованиях. Непараметрические методы. М.: Педагогика., 1987. - 136 с.

26. Гусев А. Геометрия-6. Эксперимент, учебник. — М.: Авангард, 1995. 124 с.

27. Дьюдени Г. Кентерберийские головоломки. М.: Мир, 1979. - 351 с.

28. Дьюдени Г. 520 головоломок. М.: Мир, 1975. - 341 с.

29. Дорофеев Г.В. Гуманитарно-ориентированный курс основа учебного предмета "Математика" в общеобразовательной школе// Математика в школе.- 1997.- № 4.- С. 50-66.

30. Дорофеев Г.В. О принципах отбора содержания школьного математичес-кого образования// Математика в школе. 1990. - № 6-С. 2-5.

31. Ерохина М.Н. Простейшие топологические задачи// Математика в школе 1999.- № 1- С. 66-68.

32. ЗЗ.Зайкин М.И., Подходова Н.С., Матушкина Рабочие тетради по математики для 5-6 классов. М.: Владос, 1996.

33. Ибраев А. К вопросу о преподавании элементов топологии в старших классах средней школы. Дис. . канд. пед. наук. -М., 1971.

34. Иванова Т.А. Гуманизация общего математического образования. -Нижний Новгород: Изд-во НГПУ, 1998 206 с.

35. Кабанова-Меллер E.H. Формирование приемов умственной деятельности и умственное развитие учащихся.- М.: Просвещение, 1968.- 288 с.

36. Каплунович И.Я. Гуманизация обучения математике: некоторые подходы // Педагогика.- 1999 № 1- С. 44-50.

37. Каплунович И.Я. Формирование структуры пространственного мышления учащихся при решении математических задач: Дис.канд. психолог, наук. Москва, 1978.

38. Касьян A.A. Гуманитаризация образования: некоторые теоретические предпосылки// Педагогика.- 1998 № 2. - С. 17-22.

39. Келли Дж. Л. Общая топология. М.: Наука, 1968.

40. Кириллова C.B. Из опыта проведения зачета по геометрическому материалу в 5-6 классах// Еженед. учеб.-метод. приложение к газете "Первое сентября".- 2000.- № 18 С. 4-6.

41. Краснянская К.А., Кузнецова Л.В. Оценка математической подготовки школьников (по результатам международного тестирования). М.: Просвещение, 1995.-95 с.

42. Краснянская К.А. Содержание и результаты проверки математической подготовки выпускников средней школы, изучавших общеобразователь-ный курс математики// Математика в школе — 1999,-№9.-С. 8-13.

43. Колмогоров А.Н. Математика наука и профессия. - М.: Наука, 1988-280 с.

44. Коменский Я.А. Избранные педагогические сочинения. М.: Педагогика, 1955-651с.

45. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. М.: Просвещение, 1968 - 432с.

46. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и ее преподавание. М.: Наука, 1980.- 143 с.

47. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? М.: Просвещение, 1967.-558 с.

48. Лекции по теории графов / Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. М.: Наука, 1990. - 384 с.

49. Математика// Большой энциклопедический словарь/ Гл. ред. Ю.В. Про-хоров. 3-е изд. - М.: БРЭ, 1998.

50. Математика/ Сост. Г.Б. Пичурина. Н. Новгород: Нижегородский гума-нитарный центр, 1995.- 46 с.

51. Математика: Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учр./ под ред. Г.В. Дорофе-ева, И.Ф. Шарыгина. М.: Просвещение, 1994 - 272 с.

52. Математика: Учеб. для 6 кл. общеобразоват. учр./ под ред. Г.В. Дорофе-ева, И.Ф. Шарыгина. М.: Дрофа, 1995.- 416 с.

53. Математика: Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений/ Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, A.C. Чесноков, С.И. Шварцбург. М.: Мнемозина, 1997 - 384 с.

54. Математика: Учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений/ Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, A.C. Чесноков, С.И.Шварцбург. М.: Мнемозина, 1997 - 304 с.

55. Мельников О.И. Занимательные задачи по теории графов. Мн.: Тетрасистемс, 2001. - 144 с.

56. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. Учебное пособие для ст. физ.-мат. факультетов пед. институтов/ Под ред. Ю.М. Колягина, В.А. Оганесяна и др. М.: Просвещение, 1975.

57. Панчищина В.А., Гельфман Э.Г., Ксенева В.Н., Лобаненко Н.Б. Геомет-рия для младших школьников: Учебное пособие по геометрии. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1994.- 136 с.

58. Педагогическая энциклопедия. Т. 4. — М.: Советская энциклопедия,1968.

59. Пиаже Ж. Избранные психологические труды. Психология интеллекта. Генезис числа у ребенка. Логика и психология. М.: Просвещение,1969.-659 с.

60. Пиаже Ж. Как дети образуют математические понятия// Мироненко В.В. Хрестоматия по психологии. М.: Просвещение, 1977.

61. Пиаже Ж. Структуры математические и операторные структуры мышле-ния // Преподавание математики. Сборник статей. М.: Учпедгиз, 1960. С. 10-30.

62. Подходова Н.С. Теоретические основы построения курса геометрии 16 классов: Дис. докт. пед. наук. С.-П. 1999.

63. Повышение эффективности обучения математике в школе: Кн. для учите-ля: Из опыта работы/ Сост. Г.Д. Глейзер. М.: Просвещение, 1989.- 240 с.

64. Проблемы развивающего обучения: Опыт теоретического и экспериментального психологического исследования. М., 1986.- С. 42.

65. Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Матема-тика, 5-11/ Сост. Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк. М.: Дрофа, 2000.- 320 с.

66. Психологический словарь/ Под ред. Н.В. Давыдова, A.B. Запорожца, Б.Ф. Ломова. НИИ ОПП АПН СССР. М.: Педагогика, 1983.

67. Саранцев Г.И. Методика преподавания геометрии в девятилетней школе. Саранск: Морд. гос. пед. ин-т, 1992 - 130 с.

68. Саранцев Г.И. Методология методики обучения математике. -Саранск: Тип. "Крас. Окт.", 2001.- 144 с.

69. Саранцев Г.И. Общая методика преподавания математики: Учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и университетов. -Саранск: Тип. "Крас. Окт.", 1999,- 208 с.

70. Саранцев Г.И. Эстетическая мотивация в обучении математике. ПО РАО, Мордов. пед. ин-т. - Саранск, 2003- 136 с.

71. Саркисян A.A. Изучение простейших понятий топологии на внеклассных занятиях по математике. Дис. . канд. пед. наук. М., 1968.

72. Саркисян A.A., Колягин Ю.М. Познакомьтесь с топологией (на подступах к топологии). Книга для внеклассного чтения 8-10 классы. -М.: Просве-щение, 1976.

73. Скаткин М.Н. Проблемы современной дидактики. М.: Педагогика, 1984,- 96 с.

74. Стинрод Н., Чинн У. Первые понятия топологии. М.: Мир. 1967-221с.

75. Сурикова C.B., Анисимова М.В. Использование графовых моделей при решении задач// Нач. школа.- 2000 № 4 - С. 56-62.

76. Тестов В.А. Математические структуры как научно-методическая основа построения математических курсов в системе непрерывного образования (школа вуз). Дис. . д-ра пед. наук. - Вологда, 1998.404 с.

77. Тестов В.А., Уханова Л.Д. Развитие познавательных способностей у школьников в условиях уровневой дифференциации// Нач. школа-1999.-№ 2.-С.32-41.

78. Уилсон Р. Введение в теорию графов. М.: Мир, 1977 - 202 с.

79. Усманов Ф.Р. Методические принципы изучения топологии в 8-9 классах средней школы. Дис. канд. пед. наук. Ташкент, 1980.

80. Ушинский К.Д. Собрание сочинений. Т.1. М.-Л.: Педагогика, 1950584 с.

81. Фоменко А.Т. Наглядная геометрия и топология. Математические образы в реальном мире. М.: Изд-во МГУ, 1992 - 228 с.

82. Ходот Т. Курс геометрии 5-6 в структуре непрерывного геометрического образования// Еженед. учеб.-метод. приложение к газете "Первое сентя-бря".- 2000 № 18 - С. 11-14.

83. Четвертая соросовская олимпиада школьников 1997-1998. М.: МЦНМО, 1998.

84. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. Учебное пособие для 5-6 классов. М.: МИРОС, КПЦ "Марта", 1992 - 208 с.

85. Энциклопедический словарь юного математика/ Сост. А.П. Савин. -М.: Педагогика, 1989.- 352 с.

86. Якиманская И.С. Принципы построения образовательных программ и личностное развитие учащихся// Вопросы психологии 1999- № 3.

87. Список публикаций автора по теме исследования:

88. Сангалова М.Е. Психолого-педагогические аспекты введения топологии в школьный курс математики // Материалы конференции молодых ученых АГПИ.- Арзамас: АГПИ, 2000. С. 95 - 99.

89. Сангалова М.Е. Принципы отбора содержания внеклассной работы по топологии // Математика и информатика: наука и образование. Межвузовский сборник научных трудов. Ежегодник. Выпуск 1. Омск:

90. Изд-во ОмГПУ, 2001. С. 150 - 154.

91. Сангалова М.Е. Моделирование и исследование свойств простейших топологических поверхностей // Перспектива 2. Сборник научных трудов аспирантов, соискателей и молодых ученых АГПИ и АФ НГТУ. Арзамас: АГПИ, 2002. - С. 46 - 50.

92. Сангалова М.Е. Деятельностный подход к формированию топологических методов как основа обучения топологии в средней школе в условиях гу-манитаризации // Седьмая нижегородская сессия молодых ученых: Тезисы докладов. Н.Новгород, 2002. - С. 43 - 44.

93. Сангалова М.Е. Формирование метода графового моделирования// Перспектива 3. Межвузовский сборник научных трудов молодых ученых. -Арзамас: АГПИ, 2003. С. 151 - 154.

94. Сангалова М.Е. Эстетический потенциал топологических задач// Духовный мир молодого человека и будущее России: Региональная межвузовская научно-практическая конференция 17-18 апреля 2003 г. Сборник статей. Арзамас: АГПИ, 2003. - С. 453 - 456.