Теория Гурвица в вещественном случае и для систем корней типа B и D тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Феслер Рафаэль Жан Сиома

• Феслер Рафаэль Жан Сиома
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Феслер Рафаэль Жан Сиома

Contents

Introduction

1. The classical theory

2. The real (twisted) theory

3. The theory for reflection groups B and D

4. Relation to ramified coverings 12 Addendum

Chapter 1. RIBBON DECOMPOSITION AND TWISTED HURWITZ

NUMBERS

Introduction

1.1. Surgery: a topological model for twisted Hurwitz numbers

1.2. Algebraic model and twisted cut-and-join equation

1.3. Algebro-geometric model: twisted branched coverings

Chapter 2. HURWITZ NUMBERS FOR REFLECTION GROUPS B AND

D

Introduction

2.1. Reflection groups Bn and Dn

2.2. Hurwitz numbers

2.3. Explicit formulas

2.4. Cut-and-join operator for the group Dn

2.5. Other properties of B-Hurwitz numbers and B-cut-and-join operator

Chapter 3. TWISTED HURWITZ NUMBERS AND RAMIFIED

COVERINGS

Introduction

3.1. Preliminaries

3.2. A combinatorial correspondence

3.3. An analytico-geometric correspondence

3.4. From geometry to combinatorics and vice versa

Conclusion

Bibliography

Appendix A. Russian translation of the thesis

74

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теория Гурвица в вещественном случае и для систем корней типа B и D»

Introduction

1. The classical theory

Hurwitz numbers were first introduced in the end of the 19th century in the work of A. Hurwitz [16]. In the century to follow, Hurwitz numbers fell into considerable neglect but regained attractivity in the 1990s due to the interest from the mathematical physics community as well as from the group theorists and from the algebraic geometers.

Originally, Hurwitz numbers count isomorphism classes of ramified coverings of the sphere, where all the critical values are simple except possibly one; this one has a fixed ramification profile. Hurwitz realized that this algebro-geometric counting problem can be translated into combinatorial language by using monodromy: it is equivalent to counting the number of strings of transpositions such that their product belongs to a prescribed conjugacy class of the permutation group. Thus, Hurwitz numbers formed a bridge between two presumably distant areas of mathematics.

A formula proved in a seminal 2001 paper [9] by T.Ekedahl, S.Lando, M.Shapiro and A.Vainshtein (and called the ELSV formula since then) built another, somewhat unexpected, bridge by revealing deep connections of Hurwitz numbers with the geometry of moduli space of complex curves. (Namely, the Hurwitz numbers are the intersection constants of certain characteristic classes.) Hurwitz numbers that are by nature purely discrete, combinatorial object, yet have a structure rooted in the topology of moduli space of curves. One more topological incarnation of Hurwitz numbers has been found by Yu. Burman and the author and in [2]; see Chapter 1 for details.

Another group of results involving Hurwitz numbers, obtained during the last 30 years, was motivated directly or indirectly by the so called Witten conjecture [30]. The conjecture (now given several proofs, see [20], [19]) asserts that the generating function of the Hurwitz numbers satisfies a second order parabolic PDE called the cut-and-join equation and hence, is a one-parametric family of t function of the KP integrable hierarchy. Combinatorially, the cut-and-join operator describes the behavior of a permutation multiplied by a transposition: either two cycles of the cycle decomposition are glued, or one cycle is split into two [12]. The operator has Schur polynomials as eigenvectors, so the Hurwitz numbers can be expressed via them [19].

Below we sum up the properties of the classical Hurwitz numbers hm,\ mentioned above:

• Algebraic definition:

#(<ri,..., am) | Vi <7j € C2 and ... ^m € Cx

• Algebro-geometric definition:

The number of isomorphism classes of ramified coverings of the sphere where m finite critical values are simple, and the critical value to has ramification profile A

• Geometric definition:

The intersection constants in cohomology of the moduli space of stable curves: the ELSV formula

• Topological definition:

The set of decomposition of surfaces into m non-twisted ribbons and n disks, surface boundary having s components containing Ai,...,As vertices (endpoints of ribbon diagonals)

• Expression of the generating function H(P,p2,p2,...) of disconnected Hurwitz numbers in terms of Schur polynomials sA :

H (¡3,pup2,... ) = Ea sa(1, 0,0,... )sx(pi,p2,...) exp^-1 M^+W

• Solution of a differential equation Cut-and-join

~ep = 2 Ei,j=i (ii + j)pipj dPi+j + ijpi+j dpidpj)

• Integrable system :

H(P,p2,p2,...) is a t-function of the KP hierarchy

In the present thesis we study new types of Hurwitz numbers: the twisted/real Hurwitz numbers and the Hurwitz numbers for the reflection groups B and D. Below the main results of the thesis are presented.

Заключение диссертации по теме «Другие cпециальности», Феслер Рафаэль Жан Сиома

Заключение

В этой диссертации мы представили несколько новых типов чисел Гурвица, а также их Теория Гурвица и новый топологический подход к числам Гурвица. А именно, мы ввели скрученные числа Гурвица, перечисляющие реальные разветвленные покрытия сферы, эквивалентно разветвленные покрытия, уважающие антиголоморфная инволюция без фиксированной точки, где все критические значения просты (как определено в диссертации), кроме, возможно, одного, и они реальны. Мы представили чисто комбинаторное определение скрученных чисел Гурвица через пары транспозиций, и топологическое определение посредством разложения поверхности на диски и, возможно, скрученные ленты. Мы показали, что производящая функция этих чисел удовлетворяет дифференциальному уравнению Бельтрами-Лапласа, и таким образом мы выразили эти числа через зональные полиномы. Это только начало долгого и захватывающая программа, которая будет реализована в будущих исследованиях. Отношение к интегрируемым иерархиям — это интересный открытый вопрос, а также возможный тип ЕЬБУ-формул.

Мы также ввели числа Гурвица для групп отражений В и D. Мы показали, что комбинаторно эти числа равны произведение отражений или пар транспозиций после удачно выбранного вложения в Б^п, принадлежность к некоторому заданному классу сопряженности. Мы показали, что производящая функция этих чисел удовлетворяет тензорному произведению операторов разрезания и соединения, поэтому их можно выразить через полиномы Шура. Отсюда также следует, что производящая функция этих чисел является т-функцией КП иерархия. Мы также показали, что эти числа выражают количество разложений поверхностей на диски и ленты снабжены инволюцией. Наконец, эти числа перечисляют разветвленные покрытия сферы: относительно голоморфной инволюции с (соответственно без) неподвижной точкой в случае отражения группа В (соответственно Р). В дальнейшей работе аналогичные инструменты будут использоваться для изучения сложных групп отражений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Феслер Рафаэль Жан Сиома, 2024 год

Список ЛИТЕРАТУРЫ

H. Ben Dali, Generating Series of non-oriented constellations and marginal sums in the Matching-Jack conjecture, Algebraic Combinatorics, 5 (6), pp. 1299-1336, 2022 Y. Burman, R. Fesler, Ribbon decomposition and twisted Hurwitz numbers to appear in Mathematics Research Reports

Y. Burman, R. Fesler, Real algebraic curves and twisted Hurwitz numbers ArXiv: 2403.06171 [math.AG]

Y. Burman, B. Shapiro, On Hurwitz—Severi numbers Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze Vol XIX (2019) No. 1. P. 155-167.

Yu. Burman, D. Zvonkine, Cycle factorization and 1-faced graph embeddings, Eurepean Journal of Combinatorics, Vol. 31, no. 1 (2010), pp. 129—144.

R.W.Carter, Conjugacy classes in the weyl group, Compositio Mathematica, tome 25 (1972), no. 1 , pp. 1—59.

G. Chapuy, M. Dotega, Non-orientable branched coverings, b-Hurwitz numbers, and positivity for multiparametric Jack expansions, Advances in Mathematics, 409 (2022), 108645. J. E. Humphreys, Reflection Groups and Coxeter Groups. Cambridge Studies in Advanced, Mathematics, 29, Cambridge University Press, 1992

Ekedahl, T. and Lando, S. and Shapiro, M. and Vainshtein, A., Hurwitz numbers and intersections on moduli spaces of curves. Inventiones mathematicae 146 (2001), 297—327 R.Fesler Hurwitz numbers for reflection groups B and D, Mathematical Notes vol.114:5-6. R.Fesler, D. Gorodkov, M.Karev Hurwitz numbers for complex reflection groups G(m, 1 ,n), ArXiv: 2403.01963 [math.CO].

I. P. Goulden, D. M. Jackson, Transitive factorisation into transpositions and holomorphic mappings on the sphere, Proc. Amer. Math. Soc.,125, no. 1, 51—60 (1997) IP. Goulden, M. Guay-Paquet, J. Novak . Monotone Hurwitz Numbers in Genus Zero. Canadian Journal of Mathematics. 2013;65(5):1020-1042.

I. Goulden, A. Yong, Tree-like properties of cycle factorizations, Journal of Combinatorial Theory Series A, Vol. 98, no. 1 (2002), pp. 106-117.

J. E. Humphreys. Reflection groups and Coxeter groups. Cambridge University Press, First edition, 1990.

A. Hurwitz, Ueber Riemann'sche Flachen mit gegebenen Verzweigungspunkten, In: Math. Ann. 39.1 (1891), pp. 1-60

P.Johnson. Double Hurwitz numbers via the infinite wedge, TAMS, 367 (2015), no. 9 , pp. 6415-6440.

M. Kazarian. KP hierarchy for Hodge integrals, Adv. Math., 221.1 (2009), pp. 1-21. M. E. Kazarian and S. K. Lando, An algebro-geometric proof of Witten's conjecture. J. Amer. Math. Soc. 20 (2007), 1079-1089, March 2007 M. Kontsevich, Intersection theory on the moduli space of curves and the Airy function, Comm. Math. Phys., 147, 1-23 (1992)

R. Kramer. KP hierarchy for Hurwitz-type cohomological field theories, Max-Planck-Institut für Mathematik Preprint Series 2021 (42a), 9.10.2021.

S. K. Lando, A. K. Zvonkin, Graphs on Surfaces and Their Applications, w/appendix by Don B. Zagier, EMS, volume 141, Springer, 2004.

I G. Macdonald, Symmetric functions and Hall polynomials. Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press, Oxford University Press, Second edition, 1995. With contributions by A. Zelevinsky, Oxford Science Publications.

T. Miwa, M. Jimbo, and E. Date. Solitons: Differential equations, symmetries and infinite dimensional algebras, Cambridge University Press, 2000, in: Cambridge Tracts in Mathematics, V. 135.

S.M. Natanzon, Moduli of real algebraic surfaces, and their superanalogues. Differentials, spinors, and Jacobians of real curves. Russ. Math. Surv., vol. 54 (1999), no. 6, p. 1091-1147. S. M. Natanzon and A. Yu. Orlov, BKP and projective Hurwitz numbers, Lett. Math. Phys. 107 (2017), no. 6, 1065-1109. MR 3647081

A. Okounkov. Toda equations for Hurwitz numbers, Math. Res. Letters 7 (2000), pp. 447-453. M.Romagny, S.Wewers, Hurwitz spaces, Séminaires et Congres, vol. 13 (2006), pp. 313-341. M. Sato and Y. Sato. Soliton equations as dynamical systems on infinite-dimensional Grassmann manifold, in: North-Holland Math. Stud. U.S.-Japan seminar on nonlinear partial

1

2

3

4

5

6

7

8

9

differential equations in applied science (Tokyo, July 1982). Vol. 81. Lecture Notes Numer. Appl. Anal. 5. 1983, pp. 259-271. [30] E. Witten, Two-dimensional gravity and intersection theory on moduli space, Surveys in differential geometry (Cambridge, MA, 1990), vol. 1, Bethlehem, PA: Lehigh Univ., pp. 243310,