Теория Флоке для дифференциальных уравнений в частных производных тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Кучмент, Петр Абрамович

• Кучмент, Петр Абрамович
• доктор физико-математических наук
• 1982

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Кучмент, Петр Абрамович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД.

§ I, Предварительные сведения, определения и обозначения.

§ 2. Описание образа и коядра фредгольмовского морфизма в пространствах сечений

§ 3. Обобщенные неравенства Карлемана . . . . ;

§ 4. Интерполяция периодических целых функций конечного порядка.

§ 5. Описание образа и коядра оператор-функции в пространстве сечений с оценками

ГЛАВА П. ТЕОРИЯ ФЛОКЕ ДЛЯ ГИПОЭЛЛИПТЙЧЕСЖИХ УРАВНЕНИЙ

ВО ВСЕМ ПРОСТРАНСТВЕ.

§ I. Описание пространств и основных преобразования

§ 2. Преобразования и операторов

§ 3. Решения Флоке, мультипликаторы, квазиимпульсы

§ 4. Полнота решений Флоке. Разложение по решениям Флоке. Эллиптический случай . 1Г

§ 5. Полнота решений Флоке. Разложение по решениям Флоке. Гипоэллиптический случай

ГЛАВА Ш. ТЕОРИЯ ФЛОКЕ ДЛЯ ДРУГИХ КЛАССОВ УРАВНЕНИЙ

И ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ

§ I. Эллиптические граничные задачи.

§ 2. Параболические граничные задачи

§ 3. Эволюционное уравнение в гильбертовом пространстве

§ Псевдодифференциальные уравнения

§ 5. Понижение условий на гладкость коэффициентов

§ б. Уравнения с отклоняющимся аргументом

§ 7. Инвариантные дифференциальные уравнения на симметрическом пространстве неположительной кривизны

§ 8. Уравнение с коэффициентами, постоянными по части переменных

ГЛАВА 1У. СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ПЕРИОДИЧЕСКИХ УРАВНЕШЙ

§ I. Расположение мультипликаторов и убывающие решения.

§2.0 разрешимости неоднородного уравнения

§ 3. Елоховские решения периодических уравнений

§ Ш Регулярность и дихотомия.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теория Флоке для дифференциальных уравнений в частных производных»

Общеизвестна роль линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами в современной математической физике. Приведем некоторые примеры возникновения такого рода уравнений. Стационарное уравнение Шредингера для электрона в бесконечной кристалле имеет вид

Ли + = Ей, где функция С^ периодична.

Распространение волн (электромагнитных или акустических)в периодическом цилиндрическом волноводе может быть описано приведенным волновым уравнением

ДЦ + и0Сг{А = 0> где (Ю -частотный параметр, а функция С периодична^ по осевой переменной волновода. На границе ставятся условия Дирихле или Неймана.

Для квантово-механической системы (атом»молекула) в поле монохроматической электромагнитной волны нестадаонарное уравнение Шредингера выглядит следующим образом: где функция периодична по "¿^ .

Периодические уравнения встречаются также при исследовании устойчивости управления системой с распределенными параметрами при периодических возмущениях,в гидродинамической теории устойчивости и т.д.(см.по этому поводу,в частности,работы {14,19, 25,28,29,64,90,94,95,98,104,123] и многие другие). Такого род® уравнениям посвящены работы многих физиков (Ф. Блоха,

Ю.Вигнера,Я.Б.Зельдовича,Б.Саймона и других,) и математиков С Н.С .Бахвалова, К.Г .Валеева, В. Й.Дергузова, Б .А.Дубровина, М. йстэ-ма,М»Г.Крейна,Ж .-Л.Лионса, С .П.Новикова, М.М.Скриганова,Е .Титч-марша,В.Н.Фомина,В.А.Якубовича и других ) . В последнее время обыкновенные периодические уравнения, особенно уравнение Хилла подвергаются интенсивному изучению в связи с теорией уравнения Кортевега - де %иза.

Однако между методами, применяемыми в случаях обыкновенных уравнений и уравнений в частных производных имеется следующее резкое отличие. Для обыкновенных периодических уравнений имеется замечательный прием, позволяющий сводить их к уравнениям с постоянными коэффициентами периодической заменой ( теорема Флоке - Ляпунова ). Для уравнений с постоянными коэффициентами, в свою очередь, справедлива теорема Эйлера об экспоненциальном представлении решений. Возвращаясь к исходному уравнению, мы получим разложение его решений по так называемым решениям Флоке, имеющим вид

1де сумма конечна, Аб(С. При этом ^Д называется из физических соображений квазиимпульсом, а ^ = / - мультипликатором. Такое разложение представление Флоке решения позволяет легко решать вопросы, связанные с устойчивостью, дихотомией, разрешимостью неоднородного уравнения, структурой спектра. Представление Флоке играет существенную роль при рассмотрении прямой и обратной задач теории рассеяния для одномерного уравнения Щредингера, в котором периодический потенциал возмущается быстро убывающим примесным Скак это сделано в работах Н.Е.Фир-совой ) .

В случае же уравнений в частных производных это® аппарат1 исследования отсутствовал (за исключением элементарной теоремы Блоха в квантовой теории твердого тела).Настоящая работа направлена на то,чтобы в какой-то степени заполнит! этот пробел.

Следует отметить работы £б2,6з![,в котсгрых вопрос о полноте и базисности решений Флоке рассмотрен для параболических задач специального вида.В предлагаевгой работе этот вопрос изучен для широкого класса уравнений,систем" и граничных задач, включающих эллиптические и параболические.К сожалению,уравнения гиперболического типа и типа нестационарного ПЗредингера-нашим анализом не охватываются.

Естественным являлся бы следующий подход: попытаться обобщить теорему Флоке-Ляпунова,чтобы свести задачу к случаю постоянных коэффициентов. В случае же постоянных коэффициентов обобщение теоремы Эйлера было получено в первой половине 1960-х годов в работах Б.Мальгранжа, В.П.Паламодова и Л.Эрен-прайса [68,69,105,118*] .Однако совершенно непонятно,каким: образом можно было бы перенести- теорему Флоке-Ляпунова,например,на периодическое эллиптическое уравнение во всем- пространств.Более того,структура множества мультипликаторов, вероятно, различна- в постоянном и периодическотг случаях (соответственно алгебраическое и аналитическое множества),что означает невозможность такого преобразования.Конечно,для эволюционных уравнений можно пытаться получить такой результат, но это тоже не всегда приводит к успеху,как показано в работах [23, 621 .

Поэтому приходится доказывать представление Флоке непосредственно, минуя приведение к постоянным коэффициентам.

В диссертации такое представление получено для широкого класса (гйт>эллиптических,в том числе эллиптических и параболических) дифференциальных и псевдодифференциальных уравнений, систем, граничных задач,для уравнений с отклоняющимся аргументов.Исследованы также следующие вопросы: о свойствах множества мультипликаторов^о наличии убывающих решений",о дискретном спектре в » разрешимости неоднородного уравнения в различных классах функций, экспоненциальной дихотомии и некоторые другие.

Перейдем- к более подробному изложению содержания по главам.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Кучмент, Петр Абрамович, 1982 год

1. Братищев A.B., Коробейник Ю.Ф. Кратная интерполяционная задача в пространстве целых функций заданного уточненного порядка Изв. АН СССР, сер. матем., 1976, т. 40, »5, с. П02-1127.

2. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции. Вып.2. Пространства основных и обобщенных функций М:ФМ, 1958, 1958-308 с.

3. ГлазманИ.М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов М:ФМ, 1963-339 с.

4. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов М: Наука, 1965, 1965-448 с.

5. Гуревич Д.И!. Контрпримеры к проблеме Л.Шварца -Функц.анализ, 1975, т.9, в.2, с. 29-35.

6. Ганнинг Р., Росси У. Аналитические функции многих комплексных переменных М:Мир, 1969 - 396 с.

7. Далецкий ЮЛ., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве ~ М:Наука, 1970- -S3H с.

8. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Спектральная Теория М:Мир, 1965 - 1064 с.

9. Диканский A.C. Сопряженные задачи к эллиптическим псевдодифференциальным краевым- задачам Доклады АН СССР, 1971, Т'. 200, Ь 5, с . 1020-1023 .

10. Козубенко Т.Н., КотлярБД. О сингулярных числах операторов, повышающих гладкость в анизотропном случае УМН, 1980, т. 35, в. 4, с. I9I-I92.

11. Костант Б., Существование и неприводимость некоторых серий представлений Сб. переводов "Математика^, 1970, 14:2, с. 102-116.

12. Крейн С.Г., Петунин Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов М:Наука, 1978 - 400 с.- 295 4iO Красичков И.Ф. О замкнутых идеалах в локально выпуклых алгебрах целых функций. Алгебры минимального типа.-Сиб.матем.журнал, 1968, ib 9,с. 77-96.

13. Курато А., Кац М.П. Теоремы о поднятии векторно-знач-ных функций,- Известия АН СССР, сер .матем., 1975, т.39, Ш 9, с.861-875.

14. Кучмент П.А. О блоховских решениях периодических дифференциальных уравнений в частных производных.- Функц. анализ, 1980, т. 14, в.1, с.65-66.

15. Кучмент П.А. К. теории Флоке для периодических линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.-УМН, 1979, т.34, в.3, с.201-202.

16. Нокс Р., Голд А. Симметрия в твердом теле М:Наука, 1970 - ЧЪЧс.

17. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений М:Наука, 1978 - 399 с.66'. Паламодов В.П. Преобразования Фурье быстро растущих, бесконечно дифференцируемых функций Труды ММО, 1962, т. ГГ, с. 309-350.

18. Паламодов В.П. О когерентных аналитических пучках -В книге "Современные проблемы теории аналитических функций", М, 1966, с. 246-247.

19. Ройтберг Я.А., Шефтель З.Г. Теорема о гомеоморфизм мах для эллиптических систем и ее приложения Матем.сборник, 1969, т. 78, I? 3, с. 446-472.

20. Ронкин Л.И. О продолжении функции конечного порядка, голоморфной на нулевом множестве полинома от двух переменных теория функций, функц.анализ и их прилож., Харьков, 1979, в.32, с. 70-77.

21. Сакс P.C. Краевые задачи для эллиптических систем дифференциальных уравнений Новосибирск: Изд-во НГУ, 1975 - 164 с.

22. Солонников В.А. 0 краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений общего вида -Труды МИАН, 1965, т. XXX 462>&.

23. Спрингер Дж. Введение в теорию римановых поверхностей М:Ю1, i960.77". Титчмарш ЭЛ. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, т.2 М:Ш1, 1961 - 556 с.

24. Титчмарш Е. Теория функций М:Науказ, 1980^ - 464 с.

25. ТрибельГ. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы М:Мир, I98C664 с.

26. Функциональный анализ. СМБ М:Наука, 1972 - 544 с.

27. Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим пробелам М:Мир, 1966 - 587 с.

28. Хёрмандер Л. Об индексе псевдодифференциальных операторов Сб. переводов "Математика?", 1970, 14:4, с.78-97.

29. Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства М:Мир, 1971 - 444 с.88 3 Шамаев A.C. О поведении решений дифференциальных уравнений в полуполосе УМН, 1980, т. 35, в.Г, с. 219-224). 89. Шефер X. Топологические векторные пространства -М:Мир, 1971 - 366 с.

30. Штрайтвольф Г. Теория групп в физике твердого тела -М:Мир, 1971 2.62 с.91 . Шубин М.А. О голоморфных семействах подпространств банахова пространства Матем.исслед., 1970, т. 5, в.4, с. 153-165.

31. Шубин М.А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория МгНаука, 1978 - 279 с.

32. Эрве М. Функции многих комплексных переменных -М:Мир, 1965 166 с.

33. H^mMi S. hwmh to лад кв^шитj^wcsâk s^mud&c в^т T~Aт.Наш.)№pi6.ÇjЖ^ш^ Утто^сШт^омliowjm117. ftalçmm Ехс-Дгщ d¿a$№uwdú<9M 4ц -Sßid&fS cke> скЬщ от dmm¿ -еЛоЬл отшщ

34. Кучмент П.А.' О теории Флоке для параболических и эллиптических граничных задач в цилиндре.- Доклады АН СССРД981, т.258, А 2, с.296-299. . . . л1.6iiu£tt{ Gl Sun 4 фтиш1 иШяТеш dWt йж--Яем L'Äft щипля 10ОЛ иш mtk^GiC^ip^O-ВиЛ. S>oc,1Hcotk. Fvwu 319&6>

35. Hmw> % Hw 3№cfcwm g^{Wperiodic