Теория динамических явлений в распределенной системе электронный поток с тепловым разбросом по скоростям-электромагнитная волна и ее применение к анализу СВЧ приборов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Бессуднова, Надежда Олеговна

• Бессуднова, Надежда Олеговна
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бессуднова, Надежда Олеговна

Введение.

Глава 1. Линейная теория взаимодействия прямолинейного электронного потока с обратной электромагнитной волной с учётом теплового разброса электронов по скоростям

1.1. Вводные замечания.

1.2. Основные уравнения линейной теории.

1.3. Приближение малого теплового разброса.

1.3.1 Метод дисперсионного уравнения.

1.3.2 Некоторые частные случаи дисперсионного уравнения

1.3.3 Условия самовозбуждения ЛОВ.

1.3.4 Двухволновое приближение

1.4. Случай произвольного теплового разброса.

1.4.1 Формулировка краевой задачи.

1.4.2 Двухволновое приближение.

1.5. Проекционная постановка краевой задачи. Метод колло-каций.

1.6. Метод коллокаций для интегральных уравнений.

1.7. Обсуждение результатов.

1.8. Выводы.

Глава 2. Влияние теплового разброса по скоростям на нелинейные нестационарные явления при взаимодействии прямолинейного электронного потока с обратной электромагнитной волной.

2.1. Основные уравнения нелинейной нестационарной теории

2.1.1 Постановка задачи.

2.1.2 Уравнения движения макрочастиц.

2.1.3 Распределение плотности пространственного заряда и тока пучка

2.1.4 Поле пространственного заряда.

2.1.5 "Уравнение возбуждения волноведущей структуры электронным потоком.

2.1.6 Аппроксимация функции распределения по скоростям в электронном потоке

2.2. Тестовые задачи.

2.3. Автомодуляция в системе "электронный поток — обратная (встречная) электромагнитная волна".

2.4. Выводы.

Глава 3. Влияние теплового разброса электронов по скоростям на режимы генерации и усиления волн в системе электронный поток - электромагнитное поле вблизи границы полосы пропускания замедляющей системы.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Анализ неустойчивости.

3.3. Приближение большого пространственного заряда

3.4. Результаты расчётов.

3.5. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теория динамических явлений в распределенной системе электронный поток с тепловым разбросом по скоростям-электромагнитная волна и ее применение к анализу СВЧ приборов»

Изучение процессов взаимодействия электромагнитных волн с электронными потоками до настоящего времени остаётся одним из важных направлений исследований в радиофизике. Следует заметить, что именно в нелинейных системах электронный поток — электромагнитная волна (ЭП — ЭМВ) была обнаружена сложная динамика (включающая режимы динамического хаоса), характерная для широкого класса распределённых автоколебательных систем. При изучении систем ЭП — ЭМВ всегда использовались идеи и аппарат теории колебаний и волн, а в последние годы — представления того научного направления, которое называется нелинейной динамикой. Теоретические исследования таких систем сегодня определяются не только техническими проблемами, возникающими при создании устройств радиофизики: они сами приводят к появлению новых задач в радиофизике, теории колебательных и волновых процессов, в электронике и в нелинейной физике вообще.

В последние десятилетия появилась и быстро развивается новая область радиофизики — вакуумная микроэлектроника [1-6]. Одним из прикладных направлений в ней является создание и исследование миниатюрных низковольтных вакуумных СВЧ приборов, в частности, ламп бегущей и обратной волны (ЛБВ и ЛОВ)1. Снижение рабочих напряжений, особенно в маломощных СВЧ электронных приборах, позволяет конструировать лампы малых габаритов и весов при сохранении их высоких электрических и эксплуатационных характеристик. Преимущества подобных устройств перед твердотельными аналогами, особенно в миллиметровом и субмиллиметровом диапазонах длин волн, состоят в более высоких мощностях, устойчивости к тепловым и радиационным воздействиям, малом дрейфе параметров. Очевидно, что создание таких прибо

1Отметим, что применительно к распределённым автогенераторам это направление возникло в СССР и связано с именами М. Б. Голанта, В. Н. Шевчика, Н. И. Синицына и др. [5-11]. ров может серьёзно облегчить разработку малогабаритной и компактной радиоаппаратуры. Этими причинами, в первую очередь, объясняется значительный интерес к особенностям физических процессов взаимодействия электронных потоков с электромагнитными волнами при снижении рабочих напряжений и выяснению возможностей создания низковольтных СВЧ приборов, в том числе и генераторов обратной волны. Однако переход к более низким рабочим напряжениям приводит при разработке приборов к необходимости учёта целого ряда факторов, которые прежде играли второстепенную роль. В первую очередь это относится к разбросу электронов по скоростям.

Известно, что уменьшение размера электродинамической системы в к раз, где к - масштабный фактор, приводит к уменьшению напряжения в к2 раз. Тогда ток пучка должен быть увеличен в к2 раз для поддержания мощности. Это приводит к существенному увеличению влияния разброса электронов по скоростям и пространственного заряда в электронном потоке на процессы взаимодействия с электромагнитным полем. С фундаментальной точки зрения появление теплового разброса по скоростям превращает поток в новую активную среду, среду с иными свойствами, чем в случае пренебрежимо малого разброса.

В связи с этим представляет определенный интерес построение с позиций теории колебаний и волн теории динамических явлений в распределённой системе электронный поток с тепловым разбросом по скоростям — электромагнитная волна и приложение её к миниатюрным лампам бегущей волны (ЛБВ) и обратной волны (ЛОВ).

Ранее анализу конкретных приборов был посвящён ряд работ [1, 3, 10-16]. Впервые влияние теплового разброса электронов по скоростям на пусковые условия ЛОВ генератора было оценено в работе X. Р. Джонсона [12]. Однако, экспериментально результаты оценок подтвердились лишь качественно. Из данных эксперимента следовало, что колебания прекращаются при низких напряжениях, но приблизительно в четыре раза превышающих теоретическое значение. В работе [13] предпринимались попытки исследования модели электронного потока с непрерывным изменением постоянной скорости по поперечному сечению, но рассмотрение ограничивалось случаем больших пространственных зарядов. Стимулом к уточнению теории явились эксперименты Р. Гроу и Д. Уоткин-са, в которых изучалось влияние разброса скоростей на к.п.д. спиральной ЛОВ. Из работ, посвящённых низковольтным ЛОВ, следует отметить работу Л. Манингера [15]. Дальнейшие исследования в этой области применительно к ЛОВ связаны, прежде всего, с работами учёных Саратовского университета В. Н. Шевчика, Н. И. Синицына, Н. Ф. Каряки-на, Ю. Н. Попченко, Е. 3. Песочинского, А. В. Зборовского, В. А. Исаева и др. С развитием вычислительной техники появилась возможность для численного моделирования физических процессов в низковольтных миниатюрных ЛОВ. Однако, несмотря на то, что разработан ряд программ численного моделирования нелинейных нестационарных процессов в системах ЭП — ЭМВ, строгой и достаточно общей теории для случая произвольной функции распределения по скоростям в электронном потоке до сих пор не существует. Применительно к ЛБВО нет подобной теории вблизи границы полосы пропускания.

Целью настоящей диссертащш является теоретическое исследование методами теории волновых процессов и компьютерного эксперимента особенностей динамики системы прямолинейный электронный поток с распределением электронов по скоростям — электромагнитное поле в линии передачи. Для достижения поставленной цели в диссертационной работе поставлены и решены следующие задачи.

1. В линейном приближении проведено теоретическое исследование взаимодействия прямолинейного электронного потока с обратной электромагнитной волной замедляющей системы с учётом распределения электронов по скоростям с целью выяснения особенностей физических процессов и условий возникновения генерации в низковольтной лампе обратной волны.

2. Дано теоретическое обоснование и практическое подтверждение границ применимости различных подходов к аппроксимации теплового разброса по скоростям в электронном потоке для его различных величин и различных видов функций распределения.

3. Разработаны алгоритмы и комплекс программ для численного моделирования нелинейных нестационарных процессов в системе "прямолинейный электронный поток с учётом теплового распределения электронов по скоростям — обратная электромагнитная волна".

4. С помощью разработанных программ проведено исследование подавления автомодуляции в анализируемой системе с увеличением тепловых скоростей электронов, что позволило изучить их влияние на выходную мощность и к.п.д. генератора.

5. С позиций общей теории неустойчивости распределённых систем проанализировано влияние теплового разброса электронов по скоростям и пространственного заряда на характер взаимодействия электронного потока и электромагнитного поля вблизи границы полосы пропускания замедляющей структуры для случая бесконечно длинной системы (модель ЛЕВО).

Научная новизна результатов работы состоит в следующем.

1. На основе решения самосогласованой системы уравнений Власова-Пуассона и уравнения возбуждения волноведущей структуры заданным током впервые детально исследованы особенности физических процессов взаимодействия обратной электромагнитной волны и прямолинейного электронного потока, а также условия возникновения генерации в низковольтной лампе обратной волны при различных видах функции распределения электронов по скоростям в широком диапазоне значений параметра теплового разброса.

2. Для больших значений параметра теплового разброса ^/«о ~ С < 1 предложен общий подход, основанный на решении системы связанных интегральных уравнений, описывающих взаимодействие линейных волн поля и тока, и позволяющий корректно учесть конечную длину области взаимодействия.

3. Впервые разработана нелинейная нестационарная теория взаимодействия прямолинейного электронного потока и обратной электромагнитной волны в волноведущей структуре с учётом теплового распределения электронов по скоростям, основанная на представлении электронного потока в виде совокупности элементарных пучков с набором постоянных составляющих скоростей продольного движения согласно требуемой функции распределения.

4. Впервые в рамках выбранной модели проведено численное моделирование нестационарного взаимодействия волн в системе вблизи границы автомодуляционной неустойчивости. В ходе компьютерного эксперимента исследовано подавление автомодуляции в низковольтной лампе обратной волны с целью изучения влияния теплового разброса электронов по скоростям на интегральные характеристики (к.п.д и выходную мощность).

5. Методами теории волн изучено влияние теплового разброса электронов по скоростям на характер неустойчивости в системе " прямолинейный электронный поток — электромагнитное поле" вблизи границы полосы пропускания замедляющей системы. Показано, что возникновение генерации, полезной или паразитной, напрямую связано с механизмами взаимодействующих волн. При этом тепловой разброс, как это впервые обнаружено в настоящей работе, может изменить характер неустойчивости с абсолютной на конвективную и наоборот, или же в некоторых случаях подавить неустойчивость.

Практическая значимость работы состоит в том, что полученные в ней результаты могут быть применены при решении практических задач, связанных с созданием низковольтных миниатюрных приборов СВЧ диапазона, в том числе и генераторов обратной волны.

Изучение процессов взаимодействия электронного потока с электромагнитным полем вблизи порога автомодуляции при снижении рабочих напряжений имеет практическую значимость при оценке выходных характеристик ЛОВ, оротронов, лазеров на свободных электронах, гиро-тронов и других приборов высокочастотной электроники, где автомодуляция имеет место.

При достаточно больших значениях тока пучка влияние теплового разброса электронов по скоростям на режимы генерации и усиления волн при взаимодействии прямолинейного электронного потока с электромагнитным полем вблизи границы полосы пропускания замедляющей системы следует учитывать при разработке электронных генераторов, таких как релятивистский оротрон, черенковский генератор, а также мощных ламп бегущей волны на цепочках связанных резонаторов. Кроме того, представленные подходы к исследованию характера неустойчивости в динамических системах с несколькими управляющими параметрами могут быть полезны при анализе систем различной природы, например, гидродинамических, электронных, в задачах химической кинетики, в физике плазмы.

Автором диссертации разработаны следующие комплексы программ:

- комплекс программ расчёта пусковых условий низковольтных ЛОВ с учётом разброса по скоростям на основе метода коллокаций и метода дисперсионного уравнения в трёхволновом и двухволновом приближениях;

- комплекс программ для численного моделирования нелинейных нестационарных процессов при взаимодействии прямолинейного электронного потока с обратной электромагнитной волной в волноведущей структуре с учётом поля пространственного заряда и распределения электронов по скоростям;

- комплекс программ для исследования характера неустойчивости и построения карты режимов при взаимодействии прямолинейного электронного потока с распределением электронов по скоростям с электромагнитным полем вблизи границы полосы пропускания замедляющей системы. Разработанные комплексы программ использовались при выполнении исследований по грантам РФФИ № 95-02~06261а, № 97-02-16546; ФНЦП "Интеграция" (грант №696.3).

Обоснование и достоверность полученных в работе результатов подтверждается соответствием известным из литературы и считающимся тестовыми результатам теоретических и экспериментальных работ, совпадением данных аналитических расчётов и численных экспериментов, проведённых в рамках моделей различной степени сложности, обоснованным выбором параметров численных схем в компьютерном эксперименте.

Научные положения и результаты, выносимые на защиту»

1. В распределённой динамической системе прямолинейный электронный поток — обратная электромагнитная волна в линии передачи условия возникновения генерации существенно зависят от величины параметра теплового разброса и от вида функции распределения электронов по скоростям в электронном потоке. При выполнении условий щ/щ С <С 1 тепловой разброс по скоростям в электронном потоке может быть учтён введением эффективного параметра пространственного заряда. При больших значениях параметра теплового разброса следует применять более общий подход, основанный на решении системы связанных интегральных уравнений, описывающих взаимодействие линейных волн поля и тока, и позволяющий корректно учесть конечную длину области взаимодействия.

2. Характер процессов установления колебаний, перехода между одноча-стотным режимом и автомодуляцией существенно зависит от величины параметра теплового разброса электронов по скоростям. Вблизи границы автомодуляционной неустойчивости небольшое увеличение тепловой скорости электронов сопровождается подавлением автомодуляции, что позволяет увеличить ток пучка и выходную мощность в одночастотном режиме при незначительном падении эффективности взаимодействия.

3. Тепловой разброс по скоростям различным образом влияет на режимы генерации в системе " прямолинейный электронный поток — электромагнитное поле" вблизи высокочастотной и низкочастотной границ полосы пропускания замедляющей системы. Вблизи высокочастотной границы полосы пропускания замедляющей системы тепловой разброс по скоростям облегчает генерацию, вблизи низкочастотной границы, наоборот, — затрудняет её. Тепловой разброс может изменить характер неустойчивости с абсолютной на конвективную и наоборот, или же в некоторых случаях полностью подавить неустойчивость.

4. Алгоритмы, комплексы программ и результаты численных расчётов и моделирования линейных и нелинейных процессов при взаимодействии прямолинейного электронного потока с электромагнитным полем замедляющей системы с учётом теплового распределения электронов по скоростям.

Проведённое в рамках представленной диссертационной работы исследование имеет важное значение для понимания поведения широкого класса радиофизических систем, моделирующих взаимодействие волн в прямолинейном электронном потоке и электромагнитной волны в линии передачи, а также представляет интерес для общей теории волновых процессов.

Личный вклад соискателя.

Представленные в диссертации результаты расчётов и выводы соотношений получены автором самостоятельно или в соавторстве. В работах [61, 79] автору принадлежат разработка физических моделей, результаты аналитических и численных расчётов и интерпретация результатов. В совместно опубликованных работах [38 - 41, 50, 80] автору принадлежит создание программных комплексов, результаты численного моделирования и их физическая интерпретация.

Апробация работы и публикации.

Материалы диссертационной работы докладывались на 9 Международной конференции по вакуумной микроэлектронике( Санкт-Петербург, 1996 г.) [9th International Vacuum Microelectronics Conference, St. Petersburg, Russia, 1996]; на 10 Международной зимней школе-семинаре по СВЧ-электронике и радиофизике (Саратов, 1996 г.); на Международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы электронного приборостроения" (Саратов, 1996 г.); на 4 Международном рабочем семинаре " Машинное проектирование в прикладной электродинамике и электронике" (Саратов, 1999 г.) [Fourth IEEE MTT/ED/CPMT Saratov-Penza Chapter Workshop CAD and Numerical Methods in Applied Electrodynamics and Electronics, Saratov, Russia, 1999]. Материалы диссертации обсуждались на научных семинарах кафедры электроники, колебаний и волн

13

СГУ. По теме диссертации опубликовано 4 статьи в центральной печати, 4 статьи в трудах научных конференций.

Структура и объём работьь Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Диссертация содержит 111 страниц основного текста (из них 28 страниц иллюстраций и 9 страниц списка литературы из 80 наименований).

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Бессуднова, Надежда Олеговна

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем.

1. На основе использования кинетического уравнения Власова построена линейная одномерная теория взаимодействия прямолинейного электронного потока с обратной электромагнитной волной в замедляющей системе с учётом теплового распределения электронов по скоростям.

В рамках выбранной модели определены границы применимости различных подходов к аппроксимации теплового разброса в электронном потоке. Показано, что в приближении малого теплового разброса электронов по скоростям, определяемом соотношением 1)|/«о<С «С 1, последний может быть учтён введением эффективного параметра пространственного заряда д = д + 3(^)2. Для больших значений параметра теплового разброса VI~ С <С 1 предложен общий подход, основанный на решении системы связанных интегральных уравнений, описывающих взаимодействие линейных волн поля и тока, и позволяющий корректно учесть конечную длину области взаимодействия.

Проведён расчёт условий возникновения генерации в низковольтной лампе обратной волны при различных видах функции распределения электронов по скоростям в широкой области значений параметра теплового разброса.

Получены как общие закономерности, так и характерные для каждой функции распределения особенности влияния теплового разброса электронов по скоростям на пусковые условия лампы.

Для больших значений параметра пространственного заряда построена приближённая двухволновая теория теория взаимодействия электронного потока с обратной электромагнитной волной с учётом тепловой скорости электронов. Указаны границы применимости такого подхода.

2. Проведён сравнительный анализ использования формулы Джонсона, метода дисперсионного уравнения и решения системы интегральных уравнений на основе метода коллокаций для расчёта пусковых условий низковольтных ламп обратной волны.

Формула Джонсона даёт хорошее совпадение для расчёта пусковой длины ЛОВ для прямоугольной функции распределения, а в расчёте частоты возникновения генерации имеются заметные различия с результатами более строгого анализа.

Для максвелловской функции распределения по скоростям применение формулы Джонсона ограничивается очень малыми значениями параметров пространственного заряда и теплового разброса, так что при значениях параметров, соответствующих реальным режимам работы ЛОВ, следует использовать метод интегрального уравнения. Функция распределения Лоренца может быть использована как модельная для проведения тестовых расчётов. Однако, её использование для изучения процессов взаимодействия электронного потока с электромагнитным полем являетя неправомерным.

3. Разработаны алгоритмы и комплекс программ для численного моделирования нелинейных нестационарных процессов при взаимодействии прямолинейного электронного потока с обратной электромагнитной волной в замедляющей структуре с учётом теплового распределения электронов по скоростям. Предложен метод моделирования функции распределения в электронном потоке, основанный на представлении электронного потока в виде совокупности элементарных пучков с набором постоянных составляющих скоростей продольного движения согласно требуемой функции распределения.

Методами компьютерного эксперимента исследовано влияние теплового разброса электронов по скоростям на подавление автомодуляционной неустойчивости в низковольтной лампе обратной волны. Показано, что при незначительном увеличении теплового разброса мощность генерации в одночастотном режиме может быть значительно повышена. Хотя эффективность взаимодействия при этом падает, сдвиг границы автомодуляции позволяет значительно увеличить ток электронного пучка. Увеличение параметра пространственного заряда приводит к такому же эффекту, что и увеличение теплового разброса, хотя существуют и различия, связанные с тем, что при увеличении пространственного заряда к.п.д. генерации незначительно возрастает. Этот результат согласуется с линейной теорией, согласно которой при малых значениях параметра усиления Пирса введение разброса по скоростям эквивалентно увеличению эффективного параметра пространственного заряда.

4. С позиций общей теории неустойчивости распределённых систем исследовано влияние теплового распределения электронов по скоростям на режимы генерации и усиления волн в системе "электронный поток -электромагнитное поле" вблизи границы полосы пропускания замедляющей системы. На плоскости параметров получены области с различным характером поведения системы.

Показано, что для высокочастотной границы при В > 1.755 увеличение теплового разброса в системе приводит к появлению в системе абсолютной неустойчивости. Для низкочастотной границы, наоборот, при

102

В > 0 увеличение тепловой скорости электронов приводит к подавлению абсолютной неустойчивости. Таким образом, вблизи высокочастотной границы тепловой разброс электронов по скоростям облегчает генерацию, а вблизи низкочастотной границы — затрудняет её. Отметим, что при значении параметра д = 1 обнаружена пороговая точка, такая что с дальнейшим увеличением тепловой скорости электронов генерация происходит в более жестких условиях.

Для больших значений пространственного заряда механизмы неустойчивости взаимодействующих волн тока и поля изучены в трёхволновом приближении.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В представленной диссертационной работе на примере одной выбранной модели электронного потока исследуется его взаимодействие с электромагнитным полем в волноведущей структуре, в том числе вблизи критической частоты полосы пропускания волноведущей структуры, с учётом теплового распределения электронов по скоростям в линейном приближении и в рамках нелинейной нестационарной теории.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бессуднова, Надежда Олеговна, 2000 год

1. Brodie I., Spindt С.A. Vacuum microelectronics // Advances in electronics and electron physics. Academic Press. — 1992. — Vol.83.1. P. 2-105.

2. Gray H. F. Vacuum Microelectronics 1996: Where We Are and Where We Are Going. //In; Technical Digest of 9th International Vacuum Microelectronics Conference (9th IVMC'96). July 7-12, 1996. St. Petersburg. Russia. St. Petersburg: 1996. — P. 1-3.

3. Трубецков Д. И., Рожнёв А. Г., Соколов Д. В. Лекции по сверхвысокочастотной вакуумной микроэлектронике.// Саратов, Изд. Гос-УНЦ "Колледж", 1996. — 238 с.

4. Трубецков Д. И., Рожнёв А. Г., Соколов Д. В. Вакуумная микроэлектроника — бремя ожиданий. // Изв.вузов. Сер. Прикладная нелинейная динамика. — 1996. — т. 4. — № 4-5. — С. 130-147.

5. Алексеенко A.M., Голант М.Б., Григоришин И.Л., Негирев А.А., Си-ницын Н.И. Миниатюризация электровакуумных СВЧ, КВЧ и ВЧприборов малой мощности.//Электронная техника. Сер. Электроника СВЧ. — 1990. — Вып. 10 (434). — С. 18-23.

6. Алексеенко А. М., Голант М. В., Негирев А. А., Хомич В. Б. Проблемы миниатюризации вакуумных генераторных СВЧ приборов О-типа малой мощности.// Электронная техника. Сер. СВЧ-техника.1993. — Вып. 1 (455). — С. 28-33.

7. Голант М.Б. О перспективах развития электронных приборов СВЧ малой мощности.// Электронная техника. Сер. Электроника СВЧ.1966. — Вып.5. С. 95-107.

8. Голант М.Б., Бобровский Ю.Л. Минитроны. М.: Радио и связь, 1983.95 с.

9. Голант М.Б., Бобровский Ю.Л.Генераторы СВЧ малой мощности. Вопросы оптимизации параметров. М.: Сов.радио, 1977. — 336 с.

10. Шевчик В.Н., Синицын Н.И. Влияние разброса скоростей электронов на работу лампы обратной волны.// Радиотехника и электроника. — 1965. — т. 10. — Ш. — С. 1104-1109.

11. Синицын Н. И., Попченко Ю. Н. Исследование влияния разброса скоростей электронов в потоке на работу ЛОВ.// Известия ВУЗов: Радиоэлектроника. — 1976. — т. 9. — № 10. — С. 49-57.

12. Н. Johnson. Backward-Wave Oscillators. //Proc.IRE. — 1955. — v. 43. — № 6. — P. 684;

13. Вопросы радиолокационной техники. — 1956. — №2(32). — С. 43-44.

14. Chang N.C., Shaw A.W., Watkins D.A. The effect of beam cross-sectional velocity variation on backward-wave oscillator current//IRE Trans, on ED. 1959. — vol. ED-6. — №4. — P. 437-442.

15. Grow R.W., Watkins D.A. Backward-wave oscillator efficiency. //Proc. IRE. — 1955. — vol.43 (July). — P. 437-442.

16. Maninger L. Low voltage helixtype backward-wave oscillator with extended tuning range. — IRE Wescon Conv.Rec. — 1960. — P3. — VIII. — P. 103-108.

17. Шевчик В. Н. , Трубецков Д. И. Аналитические методы расчёта в электронике СВЧ. — М.: Сов.радио, 1970. — 584 с.

18. Лившиц Е. М., Питаевский Л. П. Физическая кинетика. Сер. Теоретическая физика, т. 10. М.: Наука, 1979. — 528 с.

19. JI. Д. Ландау. О колебаниях электронной плазмы. //ЖЭТФ. — 1946. — т. 46. — № 7. — С. 574-586;

20. Journal of Phys. USSR. — 1946. — vol.10. — № 25. Собрание трудов, т. 2. М.: Наука, 1969. — С. 7-25.

21. Вайнштейн Л. А., Солнцев В. А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике. — М.: Сов. радио, 1973. — 400 с.

22. Чен Ф. Введение в физику плазмы: Пер. с англ. — М.: Мир, 1987. — 398 с.

23. Берц Ф. К теории волн в плазме. — В сб.: Колебания сверхвысоких частот в плазме. Под ред. Бернашевского Г. А. и Чернова 3. С. М.: Изд. иностранной литературы, 1961. — с.134-154.

24. Фадцеева В. Н., Терентьев Н. Н. Таблицы значений функции W(z) = е (1 + 2i/л/тг J e dt) от комплексного аргумента. М.: Гостехиздат, 1954. — 268 с.

25. Марчук Г. И., Агошков В.И. Введение в проекционносеточные методы. — М: Наука, 1981. — 416 с.

26. Амосов А. А., Дубинский Ю. А. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие — М.: Высшая школа, 1994. — 544 с.

27. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики: Учеб. пособие. — М: Наука, 1989. — 608 с.

28. Самарский А. А. Теория разностных схем. — М.:Наука, 1977. — 656 с.

29. Р. П. Федоренко. Введение в вычислительную физику. — Москва, Изд.МФТИ, 1994. — 528 с.

30. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. — М.:Мир, 1979. — 392 с.

31. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. — М.: Мир, 1986.— 318 с.

32. JI. Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и интегральное исчисление. — М.:Наука, 1969. — 424 с.

33. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1988. — 548 с.

34. Уилкинсон Дж. X. Алгебраическая проблема собственных значений. — М.: Наука, 1970. — 564 с.

35. Икрамов X. Д. Несимметричная проблема собственных значений. — М.: Наука, 1991. — 240 с.

36. Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам. — М.: Радио и связь, 1985. — 303 с.

37. Альберг Дж., Нилсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и её приложения. — М.:Мир, 1972.

38. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений: Пер. с англ. — М.: Мир, 1980. — 279 с.

39. Ian J. Morey and С. K. Birdsall. Travelling-Wave Tube Simulation: The IBC Code. // IEEE Trans, on plasma science. — 1990. — vol.18. — №. 3. — P. 482-489.

40. И. А. Манькин, Ю. X. Финкелынтейн. Приближенный нелинейный анализ взаимодействия электронного потока с бегущей волной на основе кинетического уравнения. //Радиотехника и электроника. 1987. — т. 32. — № 11. — С. 2411-2419.

41. Н. С. Гинзбург, С. П. Кузнецов и Т. Н. Федосеева. Теория переходных процессов в релятивистской ЛОВ. //Радиофизика 1978. — т. 21. — № 7. — С. 1037-1052.

42. Гинзбург Н.С., Кузнецов С.П. Периодические и стохастические автомодуляционные режимы в электронных генераторах с распределённым взаимодействием. В книге: Релятивистская высокочастотная электроника, ИПФ АН СССР, Горький. — 1981. — С. 101-144.

43. Исаев В.А., Фишер В.Л., Четвериков А.П. Исследование возникновения автомодуляции в ЛОВ со связанными системами. В книге: Лекции по электронике СВЧ и радиофизике (7-я зимняя школа-семинар инженеров). Саратов. Изд. СГУ. — Книга 2. — 1986. — С. 3-11.

44. Zaki S. I., Gardner L. R. Т., Boyd Т. J. M. A Finite Element Code for the Simulation of One-Dimensional Vlasov Plasma. I. Theory. // Journal of Computational Physics. — 1988. — 79. — P. 184-199.

45. Zaki S. I., Gardner L. R. Т., Boyd T. J. M. A finite element code for the simulation of one-dimensional vlasov plasma. II. Applications. // Journal of Computational Physics. — 1988. — 79. — P. 200-208.

46. Denavit J., Kruer W.L. Comparison of numerical solutions of the Vlasov equation with particle simulations of collisionless plasmas.// The Physics of Fluids. — v. 14. — Ш. — P. 1782-1790.

47. Белоцерковский О. M., Давыдов Ю. М. Метод крупных частиц в газовой динамике: вычислительный эксперимент. — М.: Наука,1982. — 391 с.

48. Бэдсел Ч., Ленгдон А. Физика плазмы и численное моделирование: Пер. с англ. — М.: Энергоатомиздат, 1989. — 452 с.

49. Хокни Р., Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц: Пер.с англ. — М.: Мир, 1987. — 640 с.

50. Кузнецов С.П., Трубецков Д.И. Две лекции по нестационарной теории взаимодействия электронных пучков с электромагнитными волнами. В книге: Лекции по электронике СВЧ (3-я зимняя школа-семинар инженеров). Саратов. Изд. СГУ, 1974. — Книга 5. — С. 88-142.

51. Дж. Роу. Теория нелинейных явлений в приборах СВЧ: Пер. с англ. — М.: Сов. радио, 1969. — 616 с.

52. Рыскин Н. М. Уединённые волны пространственного заряда. //Изв.ВУЗов. Сер. Прикладная нелинейная динамика. — 1994. — т. 2. — № 5. — С. 84-92.

53. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. — М.: Мир, 1980. — 616 с.

54. Бессуднова Н. О. К нелинейной теории электростатических волн в кольцах Сатурна. //Изв.ВУЗов. Сер. Прикладная нелинейная динамика. — 1994. — т. 2. — № 5. — С. 109-112.

55. Кузнецов А. П., Кузнецов С. П. О характере неустойчивости ЛБВ вблизи границы полосы пропускания //Изв.ВУЗов. Сер. Радиофизика. — 1980. — т. 23. — № 9. — С. 1104-1112.

56. Кузнецов А. П., Кузнецов С. П. Нелинейные нестационарные уравнения взаимодействия электронного потока с электромагнитным полем вблизи границы зоны Бриллюэна. //Изв.ВУЗов, Сер.Радиофизика. — 1984. — т. 27. — № 12. — С. 1575-1583.

57. Булгакова Л. В., Гаврилов М. В., Кузнецов А. П. Сопоставление результатов волнового и дискретного подходов к расчёту усиления

58. ЛБВ вблизи границы полосы прозрачности. //Электронная техника. Сер. Электроника СВЧ. — 1985. — вып.6. — С. 33-36.

59. Кузнецов А. П., Рожнёв А. Г. О самовозбуждении ЛВВ вблизи границы полосы пропускания. //Электронная техника. Сер. Электроника СВЧ. — 1985. — вып.9. — С. 3-6.

60. Булгакова Л. В., Кузнецов А. П., Кузнецов С. П., Рожнёв А. Г. Усиление и паразитное самовозбуждение ЛБВ у границы полосы прозрачности замедляющей системы. //Электронная техника. Сер. Электроника СВЧ. 1988. — вып.З. — С. 7-12.

61. Рапопорт Г.Н., Чайка В. Е. О поведении ЛБВ вблизи границы полосы пропускания. //Изв. ВУЗов, Радиотехника. — 1964. — т. 7. — т. — С. 58-62.

62. Чайка В.Е. Исследования устойчивости ЛБВ вблизи границ полосы пропускания замедляющей системы. //Изв. ВУЗов, Радиоэлектроника. — 1968. — №9. — С. 904-912.

63. Аркадакский С. С., Цикин Б. Г. Статья депонирована в ЦНИИ Электроника, per. №4222/76.

64. Солнцев В. А., Кравченко Н. П. Волновая линейная теория ЛБВвблизи границы полосы пропускания. //Радиотехника и электроника. — 1978. — 23. — С. 1103-1105.

65. Булгакова Л. В., Трубецков Д. И., Фишер В. Л., Шевчик В. Н. — В книге: Лекции по электронике СВЧ приборов типа О. Саратов, СГУ, 1974. — 221 с.

66. Рабинович М. И. , Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн. — М.: Наука, 1992. — 432 с.

67. Федорченко М. А., Коцаренко Н. Я. Абсолютная и конвективная неустойчивость в плазме и твердых телах. М.: Наука, 1981. 176 с.

68. Коцаренко Н. Я.,Федорченко М. А. Критерий абсолютной и конвективной неустойчивости и переход абсолютной неустойчивости в конвективную. //ЖТФ. — 1970. — т. 40. — №1. — С. 41-46.

69. Kuznetsov S. P., Mosekilde Е., Dewel G., et all. Absolute and convective instability in a one-dimensional Brusselator flow model. J. Chem. Phys. — 1997. — 108(18). — P. 7609-7616.

70. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Механика сплошных сред. — М.: Гос-техиздат, 1954. 5М.: Наука, 1973. 736 с.

71. Автор выражает благодарность и глубокую признательность Дмитрию Ивановичу Трубецкову и Андрею Георгиевичу Рожнёву за научное руководство при выполнении диссертационной работы.