Теоретико-конструктивные вопросы построения геометрической модели лопасти смесителя порошковых материалов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.01.01, кандидат технических наук Иванов, Андрей Валерьянович

• Иванов, Андрей Валерьянович
• кандидат технических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат технических наук Иванов, Андрей Валерьянович

Глава 1. Преобразование прикосновения в конструировании аэродинамических профилей

1.1. Построение модели перемешивания сыпучих материалов

1.2. Теоретически и прикладной анализ применимости для решения инжинерной задачи

1.3. Анализ способов конструирования аэродинамических контуров, задаваемых аналитически

1.4. Сравнительный анализ геометрических характеристик нормального и цилиндрического сечений поверхности лопасти смесителя

1.5. Конструирование нормального сечения поверхности лопасти смесителя

Выводы

Глава 2. Построение математической модели поверхности лопасти смесителя

2.1. Схема конструирования поверхности лопасти с учетом геометро-аэродинамических факторов

2.2. Вывод уравнений кривых, составляющих профиля поверхности лопасти

2.2.1. Математическая модель верхней и нижней дуг составляющих профиль

2.2.2.Математическая модель сопрягающей кривой четвертого порядка

2.2.2.1. Исследование вида коники - прообраза

2.2.2.2.Исследование формы кривой 4- го порядка - образа

2.3. Анализ взаимосвязи параметров профиля

2.4. Математическая модель сетчатого каркаса поверхности лопасти

Выводы

ГлаваЗ. Геометро - аэродинамический расчет основных параметров поверхности лопасти смесителя для промышленного образца ♦

3.1. Расчет исходных данных для проектирования поверхности лопасти 84 3.1.1. Определение величины гарантированного зазора

3.2. Расчет геометрических параметров поверхности лопасти

3.2.1. Вывод уравнения геометрического места хорд профилей лопасти

3.2.2. Расчет корневого и концевого сечений

3.2.3. Вывод уравнений составляющих поверхности заготовки лопасти

3.3. Геометрические задачи стыковки лопасти со ступицей

3.3.1. Разметка линии стыковки на заготовки лопасти

3.3.2. Разметка линии стыковки на поверхности ступицы 113 Выводы по третьей главе 114 Заключение 116 Список использованной литературы 118 Приложения

ПЛ. Сборочный чертеж смесителя - гранулятора СГ-250М П.2. Схематически чертёж мешалки П.З. Акт внедрения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоретико-конструктивные вопросы построения геометрической модели лопасти смесителя порошковых материалов»

Актуальность темы исследования. Геометрическое моделирование, как разновидность математического моделирования, занимает важное место при решении современных проблем развития науки и техники. Построение геометрических моделей, адекватно отражающих свойства проектируемых объектов и изделий, технологических процессов, экономических зависимостей, явлений природы и т.д., существенно снижает расходы на проведение экспериментальных исследований, ускоряет этапы проектирования и внедрения в производство, улучшает качество проектируемых изделий за счет оптимизации их параметров и т.д. Математическое моделирование представляет собой мощный аппарат познания внешнего мира, а также прогнозирования и управления [50].

С точки зрения приложений построение эффективной геометрической модели изделия или технологического процесса влияет на уровень технических решений при проектировании новых конкурентоспособных изделий, а так же реконструкции и совершенствовании существующих. Сказанное весьма актуально в период нестабильных обстановок перехода к рыночным отношениям, когда коренным образом пересматриваются критерии оценки качества изделия, выбора того или иного технологического процесса. При этом часто на первый план выходят требования экономического характера.

Применительно к теме настоящего исследования вышесказанное конкретизируется в актуальную задачу построения модели перемешивания сыпучих материалов и реализующей ее конструкции смесителя с упором на разработку качественных параметров его рабочего органа.

Как известно, перемешивание многокомпонентных материалов с различными физическими, химическими свойствами лежит в основе многочисленных технологических процессов. Качество перемешивания определяет соответствующее качество получаемого продукта, эффективность установки и т.д. Например, качество топливной смеси в двигателях внутреннего сгорания непосредственно влияет на полноту сгорания топлива и, как следствие, на к.п.д. двигателя и уровень токсичности выхлопных газов. В химической и нефтехимической промышленности существует ряд технологических процессов, основанных на перемешивании газов и жидкостей путем диспергирования (прохождения через решетку с различной конфигурацией отверстий) жидкой или газообразной фазы в сплошную среду. Качество хлебопекарной продукции не в последнюю очередь зависит от качества перемешивания исходных продуктов в процессе приготовления теста. Сказанное в полной мере относится к приготовлению бетона и других аналогичных смесей.

В фармацевтической и пищевой промышленности при приготовлении сухих сыпучих смесей по определенным рецептам существенным является требование получения однородной массы с одинаковым содержанием компонентов в любой части массы смеси. Аналогичные требования-хотя и в меньшей степени, предъявляются к порошковой металлургии, при приготовлении шихты для доменных печей, исходных материалов при изготовлении древесностружечных, древесноволокнистых плит, протравливании семян перед севом и т.д. и т.п.

Для приготовления таких смесей существуют различные конструкции смесителей. В фармацевтической промышленности для приготовления смесей готовых лекарственных средств (ГЛС) применяется смеситель -гранулятор с вертикальным приводным валом. На этот вал насажена мешалка с тремя или четырьмя лопастями в виде отсека плоскости трапециевидной формы, приваренными к ступице под углом 30° к основанию чаши.

Эксплуатация такого смесителя на ОАО «1СЫ Марбиофарм» выявила ряд его недостатков:

-малая производительность смесителя;

-налипание компонентов смеси на дно чаши и лопасти смесителя; -проворачивание массы смеси без перемешивания вместе с лопастями. Поэтому для получения качественной смеси, вопреки паспортным данным смесителя, пришлось увеличить время перемешивания при одновременном уменьшении массы смеси ГЛС до 80-г 100кг вместо расчетных 150кг. Это обстоятельство существенно увеличило расход потребляемой электроэнергии на один цикл перемешивания смеси ГЛС.

Аналогичные недостатки имеет смеситель фирмы МапеБ1у (Ливерпуль, Англия), хотя поверхность лопасти выполнена в виде лотка, образованного отсеками двух пересекающихся под углом «30° плоскостей. Наличие резкого излома в пересечении отсеков плоскостей приводит к налипанию рыхлой смеси ГЛС к вогнутому участку лопасти.

Таким образом, существующие конструкции смесителей энергоемки из-за продолжительности процесса перемешивания, что в первую очередь зависит от несовершенства геометрии их лопастей.

Поэтому при построении геометрической модели лопасти смесителя необходимо учесть богатый опыт проектирования поверхностей движителей самолетов, вертолетов, судов, лопаток турбин. Естественно, что геометрия лопасти смесителя должна быть значительно проще геометрии лопастей гребных и воздушных винтов, хотя принцип их действия имеет много схожего. Необходимо при их проектировании учитывать как аэродинамические факторы, так и особенности среды

0 \ перемешиваемых порошковых материалов.

Кроме этого следует учитывать, что изготовление лопастей мешалки будет выполняться на серийном оборудовании механических цехов фармацевтических заводов. Поэтому геометрическая модель лопасти должна быть достаточно простой и в то же время отвечать аэродинамическим факторам и физическим свойствам перемешиваемой среды.

Вышеизложенное определило цель и основные задачи настоящего исследования, выполненного в соответствии с планами научно-исследовательских работ центральной заводской лаборатории открытого акционерного общества «ICN Марбиофарм» и кафедры прикладной геометрии Московского авиационного института (государственного технического университета) в рамках темы № 247/181-2000.

Цель работы - разработка,методов и алгоритмов построения геометрической модели лопасти смесителя сыпучих материалов как гладкого двумерного обвода минимальной кусочности.

Для достижения этой цели в диссертации поставлены и решены следующие основные задачи:

1) разработка способа конструирования поперечного сечения лопасти смесителя как гладкого аэродинамического контура минимальной кусочности, составленного из дуг рациональных циркулярных кривых;

2) построение математической модели поверхности лопасти как гладкого двумерного обвода из отсеков четырех линейчатых поверхностей, заданных простым инженерным способом;

3) геометро - аэродинамический и функциональный расчет параметров модернизированной лопасти смесителя- гранулятора СГ-250М.

Методика выполнения работы. Способы и алгоритмы решения сформулированных задач основаны на методах алгебраической, аналитической и начертательной геометрий, теории алгебраических кривых и нелинейных преобразований.

Общей теоретической базой настоящего исследования послужили работы ученых и специалистов по прикладной геометрии, теории преобразований прикосновения, теории алгебраических кривых и поверхностей: ГеронимусаЯ.Л., ДенискинаЮ.И., Иванова Г.С., Калинина В.А., Клейна Ф., Котова И.И., Наджарова K.M., Найдыша В.М., Рыжова

H.H., Савелова A.A., Смогоржевского A.C., Столовой E.C., Тузова А.Д., Четверухина Н.Ф., Якунина В.И., Hudson Н. и др.

Нами использованы результаты исследований в области проектирования аэродинамических контуров и поверхностей, воспроизведения их на станках с ЧПУ: Андреева В.А., Бадаева Ю.И., Борисенко В.Д., Бусыгина В.А., ДейчаМ.Е., Дружинского И.А., Некрасова Ф.П., Осипова В.А., Тузова А.Д., Якунина В.И. и др.

Научную новизну выполненного исследования составляют следующие результаты:

1)способ гладкого сопряжения дуг двух окружностей дугой рациональной циркулярной кривой четвертого порядка;

2)доказательство существования качественно новых дифференциально- геометрических свойств цилиндрических сечений поверхности лопасти по сравнению с ее нормальными сечениями;

3)способ конструирования поверхности лопасти как гладкого обвода из четырех отсеков линейчатых поверхностей, основанный на учете взаимного влияния геометро - аэродинамических факторов и физических свойств перемешиваемой массы.

Практическая ценность выполненного исследования заключается в разработке методики конструирования поверхностей рабочих органов (лопастей) смесителей порошковых материалов, базирующейся на комплексном учете физических свойств перемешиваемой среды, конструктивных особенностей аппарата и геометро - аэродинамических характеристик поверхности лопасти. Методика реализована при конструировании модернизированной лопасти мешалки смесителя -гранулятора СГ-250М. В частности, выполнен расчет геометрии лопасти как линейчатой поверхности с круткой и решены геометрические задачи стыковки лопасти со ступицей.

На защиту выносятся результаты, определяющие научную новизну и имеющие практическую ценность:

-способ конструирования базовых (корневого и концевого) сечений поверхности лопасти, как гладких обводов из дуг рациональных циркулярных кривых второго и четвертого порядков с доказательством условия существования решения на евклидовой плоскости;

-доказательство условия ' достаточности конструирования поверхности лопасти по ее базовым нормальным сечениям для получения ее цилиндрических сечений, расположенных по потоку и имеющих наперед заданные дифференциально -геометрические характеристики;

-способ конструирования составляющих поверхности заготовки лопасти как двух разных поверхностей (линейчатой и циклической) с увязкой характеристик их определителей с целью независимого построения их сетчатых каркасов;

-методика конструирования поверхностей рабочих органов смесителей порошковых материалов как гладких двумерных обводов, составленных из отсеков четырех линейчатых поверхностей;

-усовершенствованная поверхность лопасти мешалки смесителя -гранулятора СГ-250М.

Реализация результатов исследования выполнена в виде производственной инструкции по проектированию поверхности заготовки лопасти смесителя, доводке и стыковке ее со ступицей.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы доложены и обсуждены на следующих семинарах, конференциях и научно-технических советах:

1)на аспирантских семинарах кафедры прикладной геометрии МАИ (ГТУ) (2000-2003г.г);

2)на 12-й международной конференции по компьютерной графике и машинному зрению «Графикон -2002» (Нижний Новгород, сентябрь 2002г.);

3)на НТС ЦЗЛ ОАО «1СЫ Марбиофарм» (гЙошкар-Ола, март 2003г.);

4)на пятой Всероссийской научно - методической конференции «Актуальные вопросы графического образования молодежи» (г. Рыбинск, июнь 2003г.)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы, в которых достаточно полно отражены теоретические и прикладные результаты проведенных исследований.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных литературных источников, включающего 69 наименований и трех приложений. Она содержит 124 страницы машинописного текста, 38 рисунков.

Заключение диссертации по теме «Инженерная геометрия и компьютерная графика», Иванов, Андрей Валерьянович

Выводы.

В этой главе, посвященной расчету поверхности модернизированной лопасти мешалки смесителя - гранулятора СГ - 250М с целью устранения выявленных при его эксплуатации недостатков, получены следующие основные результаты.

1. Исходя из конструкции и основных размеров существующего смесителя, мощности его двигателя, расчетной массы перемешиваемой смеси ГЛС выполнен механико - геометрический расчет для определения исходных данных на проектирование поверхности лопасти, а именно, величин хорд корневого и концевого сечений, углов их атаки, а также величины гарантированного зазора между нижней кромкой лопасти и днищем чаши.

2. Выполнен расчет геометрии поверхности лопасти, включая вывод уравнения косой плоскости - геометрического места хорд профилей, составляющих гладкого обвода корневого и концевого сечений и, наконец, вывод уравнений составляющих поверхности заготовки лопасти.

3. Решены геометрические задачи доводки заготовки лопасти и ее стыковки со ступицей. Результаты этой части исследования оформлены в виде производственной инструкции и представлены заказчику.

Заключение.

В выполненном исследовании, посвященном построению геометрической модели лопасти смесителя сыпучих материалов как гладкого двумерного обвода минимальной кусочности, получены следующие научные и практические результаты.

1. На основе анализа литературных источников и опыта эксплуатации существующих функциональных смесителей, изучения взаимосвязи физических, аэродинамических и конструктивных факторов построена геометро - механическая модель процесса перемешивания сыпучих материалов.

2. С целью оценки качества проектируемой поверхности лопасти смесителя, проведено сравнение геометрических характеристик ее нормальных и цилиндрических сечений. Показано, что характеристики цилиндрических сечений лучше аналогичных характеристик нормальных сечений.

3. Предложен способ конструирования нормального сечения поверхности лопасти смесителя в виде двух дуг окружностей, сопряженных в носике и хвостике профиля дугами рациональных бициркулярных кривых четвертого порядка.

4. Разработана методика расчета базовых сечений поверхности лопасти как гладких одномерных обводов, составленных из четырех дуг рациональных циркулярных кривых второго и четвертого порядков.

5. Дан способ конструирования поверхности лопасти как гладкого обвода из четырех отсеков линейчатых поверхностей, основанный на учете взаимного влияния геометро - аэродинамических факторов и физических свойств перемешиваемой массы.

6. Разработана методика конструирования поверхностей рабочих органов смесителей порошковых материалов, как гладких двумерных обводов, составленных из отсеков четырех линейчатых поверхностей.

7. Разработана усовершенствованная конструкция мешалки смесителя - гранулятора СГ - 25 ОМ. Методика проектирования заготовки рабочего органа ( лопасти ), ее доводки и стыковки со ступицей оформлены в виде производственной инструкции и представлены заказчику - ОАО Марбиофарм» для реального внедрения на предприятии.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Иванов, Андрей Валерьянович, 2004 год

1. Андреев В .А. Метод расчета обводов самолета, заданных кривыми 2 порядка. Автореферат диссертации к.т.н. М.: МАИ, 1953, -7с.

2. Аникин Н.А., Дробышевская Н.И., Дудинов В.А. и др. Справочник для изобретателя и рационализатора. Москва- Свердловск: Машгиз, 1962, -792с.

3. Аронов В.М., Жуковский М.И., Журавлев В.А. Профилирование лопаток авиационных газовых турбин. М.: Машиностроение, 1975, -192с.

4. Бабаков В.В. Проектирование поверхностей кривыми второго порядка в самолетостроении. М., Машиностроение, 1969, -124с.

5. Бадаев Ю.И. Метод обводов из кривых 3- го порядка в компьютерной геометрии. Авторефферат диссертации д.т.н., М., МАДИ, 1990, -36с.

6. Байкалова С.М. Исследование машинного метода (двух отношений) задания и расчета поверхностей технических форм. Автореферат диссертации к.т.н.- М.: МТИПП, 1974,- 18с.

7. Бельченко Ю.М. Инженерный способ задания линейчатых поверхностей и его приложения. Автореферат диссертации к.т.н. М., МАИ, 1983,-17с.

8. Борисенко В.Д. Геометрическое моделирование лопаточных аппаратов нагнетательных и расширительных турбомашин различного конструктивного оформления. Автореферат диссертации д.т.н. Киев, : КНУСА, 2002, - 37с.

9. Боровиков И.Ф. Конструирование сопрягающих гиперповерхностей на основе расслояемых преобразований. Автореферат диссертации к.т.н. -М.: МАИ , 1985,-18с.

10. Бусыгин В.А. Геометрическая устойчивость процессов образования поверхностей на оборудовании с числовым програмным управлением. Авторефферат диссертации д.т.н.-М., МАИ, 1984, -34с.

11. Выгодский М.Я. Дифференциальная геометрия. -М. :ГИТТЛ, 1949, -512с.

12. Геронимус Я.Л. Геометрический аппарат теории синтеза плоских механизмов. М.: физматгиз, 1962, - 399с.

13. Гжиров Р.И., Обольский Я.З., Серебреницкий П.П. Автоматизированное програмирование обработки на станках с ЧПУ. Л., Лениздат, 1986,-176с.

14. Глауерт Г. Основы теории крыльев и винта. М. - Л. : ГНТИ, 1931,- 346 с.

15. Давыдов Ю.В., Злыгарев В.А. Геометрия крыла: Методы и алгоритмы проектирования несущих поверхностей-М., Машиностроение, 1987,-136с.

16. Данилова H.H. Конструирование алгебраических кривых и поверхностей мгновенными преобразованиями Гирста. Автореферат диссертации к.т.н.- М.: МАДИ, 1977, -17с.

17. Дейч М.Е., Филиппов Г.А., Науман В.И. Лемнискатный метод построения профилей дозвуковых решеток.- //Теплоэнергетика, №7,1964, с. 74 -78.

18. Денискин Ю.И. Обобщенные методы геометрического моделирования объектов и управления их формой при параметрическом представлении. Авторефферат диссертации д.т.н., -М., МГУ1111,2000, -38с.

19. Джандарбекова Д.Д. Конструирование алгебраических поверхностей с кратной прямой применительно к апроксимации капли. Автореферат диссертации к.т.н. М., МАДИ, 1980, -16с.

20. Дружинский И.А. Сложные поверхности: Математическое описание и технологическое обеспечение: Справочник. Л., Машиностроение, Ленингр. отд- ние, 1985, - 263с.

21. Зоншайн С.И. Аэродинамика и конструкция самолета. -М: ГИОП, 1955, -243с.

22. Иванов A.B. Построение модели перемешивания сыпучих материалов. // Труды 12-й международной конференции по компьютерной графике и машинному зрению, Нижний Новгород, 2002, -с.396 -398.

23. Иванов A.B. Конструирование нормального сечения поверхности лопасти смесителя.-// электронный журнал МАИ «Прикладная геометрия», выпуск 4, №7, 2002г.

24. Иванов A.B. Геометрическая модель лопасти смесителя гранулятора .-// электронный журнал МАИ «Прикладная геометрия», выпуск 4, №7, 2002г.

25. Иванов B.C. Конструктивно- прикладные вопросы преобразований прикосновения в моделировании технических поверхностей, несущих каркас аэродинамических профилей. Автореферат диссертации к.т.н.-Киев.:КИСИ, 1988,-18с.

26. Иванов Г.С., Миролюбова Т.И. Теоретические предпосылки конструирования осей трубопроводов как одномерных обводов второго порядка гладкости.-//Прикладна геометрш ша шженерна графжа. К. :КНУБА, 2001. - Вип.68. - с.38-44.

27. Иванов Г.С. Начертательная геометрия. М.: Машиностроение, 1995, -224с.

28. Иванов Г.С. Конструирование технических поверхностей. -М.: Машиностроение, 1987.-192 с.

29. Калинин В.А. Теоретические основы геометрического моделирования процессов намотки и выкладки конструкций из волокнистых композиционных материалов. Авторефферат диссертации д.т.н. -М., МГУПП, 1997, -49с.

30. Кильчевский H.A. Курс теоретической механики М.: Наука, т. 1, -1972, -324с.

31. Клейн Ф. Высшая геометрия. -M.-JL: ГОНТИ, 1939, -400с.

32. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров.- М.: Наука, 1970, 720с.

33. Котов И.И. Начертательная геометрия. М.: МАИ, 1973, - 190с.3 5. Котов И.И. Аналитическая геометрия в пространстве и прикладная геометрия поверхностей. М., МАИ, 1986, -272с.

34. Кувырдин А.Ф. Еще раз об инверсии. -// Кремоновы преобразования и их приложения. М.: МЛТИ, 1971, - вып.39. -с.41-45.

35. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.-М.: Физматгиз; 1958, -680 с.

36. Мартынов А.К. Прикладная аэродинамика. М.: Машиностроение, 1972, - 440 с.

37. Мартынов Г.Н. Повышение эффективности обработки на станках с ЧПУ. М., Машиностроение, 1979, -204с.

38. Маталин A.A., Френкель Б.И., Панов Ф.С. Проектирование техналогических процессов обработки деталей на станках с числовым програмным управлением. Л., изд-во Ленингр. Ун-та., 1977, -240с.

39. Микеладзе В.Г., Титов В.М. Основные геометрические и аэродинамические характеристики самолетов и ракет. М., Машиностроение, 1978,-124с.

40. Мирошниченко A.B. Метод аналитического описания лопаток и метод их автоматизированного проектирования. //Математические методы анализа динамических систем.-Харьков: ХАИ, 1982, с. 148- 150.

41. Найдыш В.М. Методы и алгоритмы формирования поверхностей и обводов по заданным дифференциально- геометрическим условиям. Автореферат диссертации. д.т.н.-М.:МАИ, 1983,- 33с.

42. Некрасов Ф.П. Исследование способов задания и расчета аэродинамических поверхностей. Автореферат диссертации к.т.н. М.: МТИПП,1969, - 32с.

43. Некрасов Ф.П. Аналитический способ проектирования и построения аэро гидродинамических поверхностей. - //Технология судостроения, 1969, №1, с.9 - 14.

44. Осипов В.А. Машинные методы проектирования непрерывно -каркасных поверхностей.- М.: Машиностроение, 1979, -248 с.

45. Пономаренко A.A., Солодовникова Г.В. Автоматизация расчетно-плазовых работ и обработка сложноконтурных шаблонов на станках с ЧПУ. //Методы сплайн - функций. Новосибирск, 1976, вып.68, с.74 -81.

46. Рыжов H.H. Начала геометрического моделирования. М., МАДИ-ТУ, 1999,-62с.

47. Софиулина K.P. Конструирование лопаточных профилей цепью геометрических преобразований. //Теория автоматизированного проектирования, вып.4. -Харьков: ХАИ, 1983, с. 110 - 114

48. Тихонов А.Н. Математическая модель. // Математическая энциклопедия, -М.,изд. Советская энциклопедия, 1982, т.З, с.574 575.

49. Тузов А.Д. Сглаживание функций, заданых таблицами.- // Методы сплайн функций. Новосибирск 1976, вып.68, с. 61-66.

50. Тузов А.Д. Аппроксимация, интерполяция и вычерчивание плоских кривых.- // Методы сплайн функций. Новосибирск 1976, вып.68, с. 45-49.

51. Тузов А.Д. Методы геометрического моделирования гладких поверхностей и методологические аспекты формирования теоретических обводов летательных аппаратов. Авторефферат диссертации д.т.н., М., МАДИ, 1990,- 39с.

52. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве. М: Мир, 1982, - 304с.

53. Хрущев Г.И. Апраксимация каркаса лопатки газавой турбины и компрессора кинематической поверхностью. Автореферат диссертации к.т.н. М.: МТИПП, 1966, - 18 с.

54. Челидзе М.Д. Преобразования прикосновения и их практические приложения. Автореферат диссертаии к.т.н. -М.: МАИ, 1983, -24с.

55. Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия. -М.: Просвещение, 1969. -368с.

56. Шуранова E.H. Аппроксимация поверхности лопатки гладким обводом из отсеков алгебраических поверхностей. Автореферат диссертации к.т.н. М.: МАДИ, 1976, -18с.

57. Энциклопедия элементарной математики. М., физматгиз, 1963, т.4, - 568с.

58. Яглом И.М. Геометрические преобразования. М.: ГИТТЛ, т.2.-1956.-612с.

59. Якунин В.И. Геометрические основы систем автоматизированного проектирования технических поверхностей. М.: МАИ, 1980,- 85с.

60. Якунин В.И. Теоретические основы построения интегрированных систем геометрического проектирования сложных поверхностей летательных аппаратов. Автореферат диссертации д.т.н. М.:МАИ, 1982, -42с.

61. Якунин В.И. Исследование универсальной степенной функции для геометрического моделирования объектов в САПР. //Вопросы машинного моделирования и инжинерной графики. Вып.512. -М.: МАИ, 1980, с.35 -37.

62. Якунин В.И., Размадзе О.Г., Овласюк Д.И. Моделирование эскизного проекта летательного аппарата в САПРе. //Автоматизация проектирования и математическое моделирование криволинейных поверхностей на базе ЭВМ. - Новосибирск, 1978, с. 89- 90.

63. Якунин В.И. Задание поверхностей полиномиальными функциями. М, МАИ, 1972, вып. 243, с.79 - 83/

64. Lie S., Engel F. Theorie der Transformationsgruppen, b.d.2, Leipzig, 1890,-122s.

65. Lie S., Scheffers G. Geometrie der Berurungstransformationen, //Math b.d.l, Leipzig, 1896; b.d.59, Leipzig, 1904.

66. Sturm R. Die Gebilde ersten und zweiten Grades der Yiniengeometrie in synthetischer Behandlung. Yeipzig, 1893, t.l, -386 s.

67. Hudson H. Cremona transformations in plane and Space. Cambridge, 1921.,-433s.