Теоретико-игровые модели и задачи оптимизации энергетических рынков тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат наук Долматова, Марина Станиславовна

• Долматова, Марина Станиславовна
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Долматова, Марина Станиславовна

Оглавление

Стр.

Введение

Обзор известных теоретико-игровых и оптимизационных моделей

энергетических рынков

Глава 1. Оптимизация передающей сети для энергетического рынка

1.1 Задача оптимизации сети многоузлового энергетического рынка

1.2 Субмодулярные и супермодулярные функции

1.3 Оптимизация транспортной сети для рынков некоторых типов

1.4 Оптимизация сети двухузлового рынка с несколькими линиями

связи

1.5 Выводы к первой главе

Глава 2. Задачи оптимизации многоузлового рынка электрической

мощности

2.1 Модель отбора оптимальных генерирующих мощностей

2.2 Решение задачи: расположение дефицитных узлов, отбор генераторов, определение узловых цен

2.3 Аппроксимация перетоков и пример решения задачи отбора оптимальных генерирующих мощностей

2.3.1 Аппроксимация перетоков с учетом правил Кирхгофа

2.3.2 Расчет для модельной 15-узловой энергосистемы

2.3.3 Расчет для 23-узловой энергосистемы

2.4 Выводы ко второй главе

Глава 3. Теоретико-игровой анализ аукциона функций предложения

3.1 Модель аукциона функций предложения

3.2 Равновесие в функциях предложения для симметричной олигополии с постоянными предельными затратами

м и п /Л

производителей и ограничениями производственных мощностей

Стр.

3.3 Динамика наилучших ответов для несимметричной олигополии с линейными предельными затратами производителей

3.4 Выводы к третьей главе

Заключение

Список литературы

Список рисунков

Список таблиц

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоретико-игровые модели и задачи оптимизации энергетических рынков»

Введение

Работа посвящена разработке и исследованию оптимизационных и теоретико-игровых моделей энергетических рынков. Эффективность функционирования энергетического рынка зависит от всех составляющих его архитектуры и структуры: параметров сети многоузлового рынка, структуры производственных мощностей, представленных на нем, востребованности производственных мощностей и оптимальности их загрузки по результатам аукционов. Возникают актуальные задачи построения оптимизационных моделей для определения оптимальных параметров рынка, а также теоретико-игровых моделей аукционов, обеспечивающих их реализацию на практике.

Одна из первых задач на пути улучшения эффективности многоузловых рынков - оптимизация параметров сети с точки зрения увеличения общественного благосостояния. Вопросы развития структуры сетей и задания пропускных способностей на оптимальном уровне решаются государственными органами и инфраструктурными организациями. В связи с этим актуальной является задача разработки методов расчета оптимальных параметров сети, решаемая в диссертационном исследовании. В работе Е. А. Дайловой и А. А. Васина [1] определена оптимальная пропускная способность линии передачи для двухузлового рынка с потребителями и производителями в каждом узле с учетом потерь при передаче и затрат на строительство линии. В целом для сети общего вида задача оптимизации структуры является NP-трудной [2]. Для решения такого типа задач предложены методы, связанные с понятиями суб- и супермодулярности. Однако, для функции общественного благосостояния вопрос, когда она является суб-или супермодулярной, не исследован, и отсутствуют какие-либо заключения, в каких случаях эффективность алгоритмов поиска оптимального решения можно оценить. В настоящей диссертационной работе решение этих проблем получено для некоторых типов характерных структур, что делает ее актуальной.

Для рынков электроэнергии особо актуальны задачи проведения аукционов по отбору генерирующих мощностей. В аукционах мощности при статичной структуре сети требуется в каждом узле рынка из подавших ценовые заявки генераторов определить те, которые способны удовлетворить спрос на электрическую мощность с наименьшей стоимостью. Эти генераторы впоследствии будут получать оплату за обеспечение готовности к выработке электроэнергии в

объеме, указанном в заявке. В диссертации исследована задача отбора генерирующих мощностей с критерием минимизации стоимости отбираемых мощностей как задача смешанно-целочисленного программирования и разработан алгоритм ее решения и определения узловых цен.

Теоретические исследования показывают, что правила организации аукционов существенно влияют на эффективность рынка в целом. Важными особенностями современных рынков, в частности, электроэнергии, являются возможность производителей подавать заявки в виде неубывающей функции предложения и неопределенность спроса в течение того периода, на который подается заявка. Эти факторы учитывает модель аукциона функций предложения [3—6]. Доказано, что при подобной организации аукциона равновесная цена всегда ниже цены Курно [6]. Расчеты для реальных данных по энергорайонам Единой энергетической системы России [7] показали значимое снижение равновесной цены по сравнению с аукционом Курно. Однако вопрос о репрезентативности равновесия функций предложения в смысле соответствия его исходов реальному поведению игроков на рынке требует дополнительного исследования, которое проведено в диссертационной работе. Адаптивные динамики поведения ранее изучались только для дуополии [8] и симметричной олигополии [9], в настоящей работе подробно исследован случай несимметричной олигополии.

Цель данной диссертационной работы заключается в построении и исследовании оптимизационных и теоретико-игровых моделей механизмов, обеспечивающих экономическую эффективность функционирования энергетических рынков.

Объектом исследования являются транспортная инфраструктура и экономические механизмы работы энергетических рынков.

Предметом исследования являются теоретико-игровые и оптимизационные модели сетевых рынков, определяющие краткосрочную и долгосрочную эффективность рынка.

При выполнении диссертационного исследования для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Исследовать свойства транспортных сетей энергетических рынков с точки зрения оптимизации их развития.

2. Разработать алгоритм решения задачи оптимального отбора генерирующих мощностей на сетевом рынке.

3. Исследовать устойчивость равновесия функций предложения в модели адаптивной динамики поведения для несимметричного олигополисти-ческого рынка со случайным фактором на стороне спроса.

При выполнении исследования использовались

- математические методы теории игр;

- методы оптимизации и экономико-математического моделирования;

- математический аппарат исследования операций.

Научная новизна диссертационного исследования заключается в следующем. Для сетевых структур типов "цепочка" и "звезда" получены достаточные условия, при которых функция общественного благосостояния является субмодулярной или супермодулярной по множеству расширяемых линий транспортной сети.

Предложен алгоритм решения задачи оптимального отбора генерирующих мощностей в условиях многоузлового рынка электроэнергии с сетевыми ограничениями и возможностью дефицита как задачи смешанно-целочисленного программирования и определены узловые цены.

Получены условия, при которых равновесие в аукционе функций предложения для несимметричной олигополии устойчиво в смысле сходимости к нему динамики наилучших ответов. Показано, что в общем случае для несимметричной олигополии динамика наилучших ответов не существует.

Практическая значимость. Результаты исследования могут быть использованы для формирования нормативных рекомендаций для повышения эффективности энергетических рынков, объяснения результатов их функционирования и получения оценок, необходимых для принятия оптимальных инвестиционных и регуляторных решений, в частности, предложений по развитию транспортной сети рынка и оптимизации состава генерирующих мощностей.

Практическая значимость предложенного в работе алгоритма решения задачи оптимального отбора генераторов для удовлетворения спроса на многоузловом рынке подтверждена внедрением в АО «СО ЕЭС» в качестве основы для математической модели проведения аукционов мощности на ОРЭМ (объединенный рынок электроэнергии и мощности) в период с 2011 по 2014 годы.

Практическую значимость имеет также заключение о неэффективности аукционов функций предложения в реалистичных предположениях о неопределенности спроса и несимметричности издержек производителей на рынке.

Достоверность. Обоснованность полученных результатов обусловлена строгостью доказательств всех сформулированных математических утверждений. Эффективность разработанных алгоритмов подтверждается результатами проведенных вычислительных экспериментов и опытом внедрения полученных результатов для решения реальных задач электроэнергетики.

Апробация работы. Результаты исследования докладывались и обсуждались на международных конференциях: Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2010», «Ломоно-сов-2012», «Ломоносов-2013» (Москва, 2010, 2012, 2013), 10-ая Международная конференция обществ изучения социального выбора и благосостояния (Москва, 2010), Международная ежегодная конференция немецкого сообщества исследования операций (Ганновер, 2012), VI, VII и VIII Московские международные конференции по Исследованию Операций (Москва, 2010, 2013, 2016), Второй Российский экономический конгресс (Суздаль, 2013), XXVI Международная конференция EURO-INFORMS (Рим, 2013), Шестая и Седьмая международные конференции «Теория игр и менеджмент» (Санкт-Петербург, 2012, 2013), 20-ая Конференция международной федерации обществ исследования операций (Барселона, 2014), Третья международная конференция по моделированию, вычислениям и оптимизации в информационных системах и менеджменте (Метц, 2015), 27-ая Европейская конференция по исследованию операций (Глазго, 2015), Третья и Четвертая международные конференции по информационным технологиям и количественному менеджменту (Рио-де-Жанейро, 2015, Асан, 2016).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 18 печатных работах, 6 из которых опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК [12—17], 10 — в тезисах докладов [18—27].

Содержание диссертации и все положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. В работе [12] М.С. Долматовой принадлежит обзор моделей оптимизации транспортной сети и результаты по оптимизации структуры двухузлового рынка, соединенного несколькими линиями передачи или несколькими цепочками. В работе [14] М.С. Долматовой принадлежат формулировки и доказательства результатов, а также модификация задачи оптимизации суммарного общественного благосостояния для случая наличия экспортирующих или импортирующих узлов, А.А. Васину принадлежит постановка задачи и проверка результатов. В работах [13; 15] М.С. Долматовой принадлежит обзор теоретико-игровых моделей аукционов на рын-

ке электроэнергии и исследование равновесия в функциях предложения для олигополии с постоянными предельными издержками и ограничениями производственных мощностей. В работе [16] М.С. Долматовой принадлежат формулировки и доказательства всех результатов, а соавторам — постановка задачи и выбор методов решения.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 95 страниц, включая 18 рисунков и 7 таблиц. Список литературы содержит 81 наименование.

Обзор известных теоретико-игровых и оптимизационных моделей

энергетических рынков

Рынки энергоносителей (природного газа, нефти и электроэнергии) играют важную роль в экономике многих стран. Отличительная черта энергетических рынков — наличие у каждого из них собственной системы передачи, транспортной сети, во многом определяющей технологическую и экономическую эффективность. Потребление и производство могут быть локализованы в разных узлах сетевого рынка, а пропускные способности линий передачи между узлами ограничены. Затраты на передачу товара могут составлять существенную долю в итоговой цене для потребителя. В частности, в России сетевые затраты могут превышать 50% в конечном тарифе на электроэнергию для промышленных потребителей. Таким образом, задача оптимизации транспортной сети представляет практический интерес для реальных энергетических рынков.

Предыдущие исследования подобных рынков [28—32] рассматривают преимущественно модели с постоянной структурой сети. Джоскоу и Тироль [33] рассматривают различные механизмы увеличения пропускной способности. Фо-гелсанг [30] и Роселлон [34] исследуют случай затрат на передачу и функции спроса в стандартных предположениях, адаптируя полученные результаты для рынков электроэнергии. В работе Хогана и др. [35] приводится обзор литературы по развитию сети передачи для рынков электроэнергии. Авторы [35] развивают результаты Фогелсанг [30] и рассматривают подходы, основанные на механизме долгосрочных финансовых прав на передачу электроэнергии, а также нормативно-правовых механизмах. Объем передачи находится для частных случаев в предположении о том, что все ограничения на передачу по линиям насыщаются, и каждый узел принадлежит к одному из следующих типов: производство, потребление или транзит. Уилсон в работе [36] обсуждает вопросы архитектуры рынков электроэнергии. В работах Е. А. Дайловой и А. А. Васина [1; 37] определена оптимальная пропускная способность линии передачи для двухузлового рынка, в каждом узле которого расположены потребители и производители, с учетом потерь при передаче и затрат на строительство линии. Также в указанных работах показано, что в равновесии для рынка-цепочки (рынка с последовательным соединением узлов) при достаточно малых пропускных способностях направления потоков соответствуют соотношению цен для изолиро-

ванных рынков, а при достаточно больших пропускных способностях структура потоков такая же, как в ситуации, когда ограничения пропускной способности неактивны.

В диссертационной работе продолжено и развито указанное выше исследование — решается задача максимизации общественного благосостояния с учетом издержек на производство, функций полезности потребителей и затрат на увеличение пропускных способностей линий передачи. Полученные ранее результаты обобщены для некоторых структур сетевых рынков с несколькими линиями передачи (цепочка и звезда). Задача максимизации общественного благосостояния важна тем, что ее оптимальное решение определяет значение суммарного благо со стояния, перераспределением которого специальными экономическими механизмами можно получить все Парето-оптимальные исходы. В случае рынков энергоресурсов, оптимизация сети передачи может существенно снизить цены на энергоресурс во многих регионах.

Трудность задачи оптимизации транспортной сети заключается в том, что расширение любой линии требует существенных постоянных затрат. Если оптимальное множество расширяемых линий известно, задача становится выпуклой, и ее можно решить с помощью стандартных инструментов. Однако, в целом проблема оптимизации структуры сети является NP-трудной, что показано в работе Гизевайта и Пардалоса [2] для задачи оптимизации сети, являющейся частным случаем рассмотренной в настоящем исследовании. Таким образом, эффективный поиск оптимального множества расширяемых линий при большом количестве линий передачи требует использования специальных методов. Особо остро вопрос разработки алгоритма, правил, позволяющих сократить перебор при поиске оптимального множества, встает в случае многоузловых рынков. При решении практических задач реальных рынков это становится критичным, так как, например, для задач электроэнергетики стоит учитывать, что только линий напряжением 220кВ в первой ценовой зоне ЕЭС России, расположенной в европейской части России, более 1300, во второй ценовой зоне, зоне объединенной энергосистемы Сибири, более 350. В диссертации получены условия, при которых существуют эффективные алгоритмы (линейные или квадратичные по числу линий) поиска решения. Для решения подобных задач полезными оказываются свойства субмодулярности и супермодулярности функций общественного благосостояния. В диссертации исследована модель, где функции спроса отражают явные и долгосрочные возможности для увеличения общественного благососто-

яния за счет снижения цен на энергоносители на каждом локальном рынке. Для сетевых структур типов "цепочка" и "звезда" получены условия субмодулярности и супермодулярности функции общественного благосостояния, позволяющие применять эффективные алгоритмы определения оптимальных пропускных способностей линий передачи [38—40].

Улучшение краткосрочных и долгосрочных результатов функционирования уже существующей энергосистемы, с заданными и неизменяемыми параметрами передающей сети и производства, является крайне важной целью, для достижения которой используются различные оптимизационные механизмы. Одним из направлений для улучшения краткосрочной эффективности рынка стало исследование оптимизационной модели ценообразования на спотовом рынке электроэнергии. Бон, Караманис и Швеппе [41] были первыми, кто исследовал способ ценообразования, учитывающий как производство электроэнергии, так и передачу. Работа [41] учитывает сетевую структуру рынка и повторяемость аукционов. В ней предложено определение цены за передачу электроэнергии на основании найденных в ходе решения оптимизационной задачи величин нагрузки в сети и перечня линий, ограничения на перетоки по которым активны, то есть расчетные значения перетоков равны максимально допустимым значениям. Работа Бона, Караманиса и Швеппе, учитывающая затраты на передачу и распределение электроэнергии, стала развитием классической модели "пикового ценообразования" Крю и Кляйндорфера [42].

Принципы краткосрочного определения цены за передачу электроэнергии, разработанные Боном и др. [41], получили дальнейшее развитие в исследовании Швеппе и др. [43]. Авторами разработана модель оптимального ценообразования на спотовом рынке электроэнергии, отражающая особенности функционирования системы передачи электроэнергии без учёта некоторых физических параметров задачи расчета электрического режима. Авторы показали, что оптимальные цены могут быть получены как «побочный продукт» экономически эффективного расчета электрического режима.

Другое направление исследования — концепция контролируемой сети [44— 46]. В работе Руиза и др. [46] предложена модель контролируемой сети электропередачи в смешанно-целочисленной постановке при предположении об отсутствии потерь при передаче электроэнергии.

С точки зрения обеспечения среднесрочной эффективности энергетических рынков, важную роль играет структура производственных мощностей. В

электроэнергетике для ее формирования и оценки экономической эффективности уже существующей структуры используются процедуры конкурентного отбора мощностей. Один из способов организации рынка электрической энергии — разделение его на рынки электроэнергии и мощности. Рынок электроэнергии предназначен для компенсации преимущественно переменных затрат на производство, рынок мощности — для компенсации капитальных затрат на строительство новых и модернизацию существующих генерирующих мощностей. Термин мощность представляет собой обязательство производителя электроэнергии обслуживать проданный объем мощности и быть готовым поставить его в энергосистему, как только это потребуется в течение определённого периода поставки. Изначально рынки мощности разрабатывались как инструмент усиления инвестиционных стимулов для производителей. Основная идея этих рынков — простимулировать и сделать прибыльным для компаний - поставщиков электроэнергии строительство на заданных территориях такого объема генерирующих мощностей и такого типа и качества (с учетом технических характеристик), которые необходимы энергосистеме в целом. Рынки мощности характеризуются локальным, узловым ценообразованием, которое делает возможными локальные ценовые сигналы для потребителей и производителей мощности [41; 43]. Специфика аукционов электрической мощности и механизмов конкурентного отбора мощностей схожа с аукционами электрической энергии. В диссертационной работе разработан алгоритм отбора генерирующих мощностей на многоузловом рынке с неизменными структурой и параметрами передающей сети, учитывающий основные технические требования к модели торговли мощностью: учет ограничений на допустимые значения перетоков по линиям и группам линий, возможность наличия дефицита в системе, необходимость узлового ценообразования, целочисленность отбираемых мощностей (генератор может быть отобран или не отобран только на весь заявленный участником рынка объем мощности).

Рудкевич и др. [9] сформулировали задачу развития генерирующих мощностей на сетевом рынке в форме стохастической модели аукциона мощности. Предложенный авторами метод сконцентрирован на вопросах надежности энергосистемы. Авторы рассматривают задачу выбора генерирующих мощностей с учетом оценки надежности выбираемых ресурсов. Однако вычислительная сложность данной модели очень высока, и её использование возможно только для сетей простой структуры. В диссертационной работе для модели многоузлового рынка мощности (см. правила в [47; 48]) разработан алгоритм решения

оптимизационной задачи отбора генерирующих мощностей, в результате которого определяются узловые цены и набор генераторов, отобранных для поставки мощности. В работе Ахуя, Магнанти и Орлин [49] представлено подробное описание теории потокораспределения в сетях с неизменной структурой. Предложенный в настоящей работе алгоритм решения учитывает особенности пото-кораспределения, свойственные, в частности, электрическим сетям, и определяет расположение дефицитного узла при наличии в системе дефицита. Последнее особенно важно для практического использования модели применительно к большим сетям.

"1—1 и V/ и 1 1

Еще одной важной составляющей, определяющей экономическую эффективность рынков энергоресурсов, в частности, электроэнергии, являются правила организации торгов - аукционы. Теоретические исследования показывают, что правила организации аукциона существенно влияют на свойства аукциона, его исход. Основными компонентами рынков электроэнергии во многих странах являются рынок на сутки вперед и рынок реального времени, организованные в виде аукциона единой цены, где заявки участников — монотонные функции, определяющие, какой объем производители готовы продать в зависимости от цены на рынке. Рыночная цена на таких аукционах уравнивает функцию суммарного предложения всех производителей и функцию спроса.

Для рынков электроэнергии типичной является достаточно высокая концентрация генерации. В большинстве случаев потребители не играют активной роли на аукционе. Их поведение соответствует общеизвестной функции спроса

и 1 Ч и 1 ч_/ и

с низкой эластичностью. Важной проблемой, с которой сталкиваются при разработке правил организации рынков и их моделировании, является ограничение рыночной силы крупных производителей. Стандартные меры антимонопольного регулирования, такие как разделение рынка, не всегда подходят, поскольку негативно влияют на надежность энергосистемы и экономию от масштаба — одни из ключевых характеристик в электроэнергетике. Другой подход — создание такого рыночного механизма, равновесное состояние в котором достаточно близко к равновесию по Вальрасу — оптимальному состоянию рынка согласно Теореме благосостояния [50].

Реальные рынки электроэнергии отличаются правилами подачи заявок участниками аукциона. В России на рынке на сутки вперед подаются кусочно-постоянные заявки, содержащие до трех ступеней с парами цена-количество в отношении каждого часа последующих суток. Между тем, на одном из этапов

развития рынка электроэнергии Англии и Уэльса производителям разрешалось подавать заявки, содержащии до 48 ступеней, но только одну заявку в отношении целых суток. В некоторых аукционах допускается подача не только кусочно-постоянных, но и кусочно-линейных заявок. Определение оптимальных правил проведения аукциона представляет собой интересную и практически значимую задачу исследования операций. Правила, в соответствии с которыми проводятся торги, существенным образом влияют на свойства аукциона единой цены. В работе А. А. Васина, П. А. Васиной и Т. Ю. Рулевой [51] рассматривается модель, соответствующая рынку на сутки вперед в России. В каждом раунде аукциона функция спроса фиксирована и каждый производитель в качестве стратегии заявляет неубывающую ступенчатую функцию с ограниченным числом ступеней. В работе показано, что в любом равновесии Нэша рыночная цена находится между ценой конкурентного равновесия и ценой равновесия Курно, и наоборот, каждая цена в этом диапазоне соответствует равновесию Нэша. Однако, только равновесие Нэша, соответствующее исходу Курно, является устойчивым с точки зрения адаптивной динамики для повторяющегося аукциона. Таким образом, оценки рыночной силы для данного варианта такие же, как и в случае конкуренции по Курно.

При анализе второго варианта организации аукциона (единая заявка для всех часов суток), определяющими оказываются изменения спроса, соответствующие внутрисуточному изменению потребления. Модель, учитывающая эту особенность рынков электроэнергии, была предложена Клемперером и Мейер [6] и развита в последующих работах (например, [3; 4; 52—59]). В модели, предложенной Клемперером и Мейер, производители подают заявки в виде гладкой функции цены, а спрос на рынке зависит от случайного параметра. Для каждого значения случайного параметра равновесная рыночная цена определяется из условия баланса функции суммарного предложения и текущего значения функции спроса. Набор заявок называется равновесием в функциях предложения (РФП), если при любых значениях спроса заявка каждого производителя максимизирует его прибыль при фиксированных стратегиях конкурентов. Для симметричной олигополии Клемперер и Мейер вывели необходимое условие для равновесной заявки в форме дифференциального уравнения и описали множество РФП. Грином и Ньюбери [4] получена формула для расчета РФП в явном виде для случая симметричной олигополии с линейными функциями предельных издержек и спроса. Холмберг и Ньюбери [5] показали, что при неэла-

стичном спросе и существенности ограничений производственных мощностей существует единственное РФП в данной модели. Болдик и др. [53] обобщили результат для случая несимметричной олигополии. В работах Андерсона и Ху [3] и Холмберга [60] приводятся методы расчета РФП для определенного класса несимметричных нелинейных моделей. А. Аболмасов и Д. Колодин [7] и Ю. И. Дьякова [61] применили данный подход для изучения рынка электроэнергии в двух регионах России. В исследовании авторы аппроксимируют реальные функции предложения участников рынка аффинными функциями и получают существенное снижение рыночной силы производителей в случае организации торгов в виде аукциона функций предложения по сравнению с аукционом Кур-но. В работе Холмберга и Ньюбери [5] приводятся примеры рынков, для которых наблюдается схожий эффект.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Долматова, Марина Станиславовна, 2017 год

Список литературы

1. Daylova E. A., Vasin A. A. Determination of Transmission Capacity for a Two-node Market // Procedia Computer Science. — 2014. — Vol. 31. — P. 151-157.

2. Guisewite G. M., Pardalos P. M. Minimum concave-cost network flow problems: Applications, complexity, and algorithms // Annals of Operations Research. — 1990. — Vol. 25, no. 1. — P. 75-99.

3. Anderson E. J., Hu X. Finding Supply Function Equilibria with Asymmetric Firms // Operations Research. — 2008. — Vol. 56. — P. 697-711.

4. Green R., Newbery D. Competition in the British Electricity Spot Market // Journal of political Economy. — 1992. — Vol. 100. — P. 929-953.

5. Holmberg P, Newbery D. The supply function equilibrium and its policy implications for wholesale electricity auctions // Utilities Policy. — 2010. — Vol. 18. — P. 209-226.

6. Klemperer P, Meyer M. Supply function equilibria in oligopoly under uncertainty // Econometrica. — 1989. — Vol. 57. — P. 1243-1277.

7. Abolmasov A., Kolodin D. Market Power and Power Markets. Structural Problems of Russian Wholesale Electricity Market: ERRC final report. — 2002.

8. Васин А. А., Гусев А. Г. О соотношении равновесия в функциях предложения и ожидаемого поведения на аукционе единой цены // Ученые записки Забайкальского государственного гуманитарно-педагогического университета им. Н.Г. Чернышевского. — 2011. — Т. 3. — С. 46—52.

9. Rudkevich A. M., Lazebnik A. I., Sorokin I. S. A Nodal Capacity Market to Assure Resource Adequacy // IEEE Proceedings of 45th Hawaii International Conference on System Sciences. — 2012. — P. 1876-1887.

10. Долматова М. Механизмы обеспечения надёжности в модели рынка электроэнергии // Энергетик. — 2015. — Т. 8. — С. 23—26.

11. Долматова М. Рынки мощности: эволюция модели и реализация механизма обеспечения надежности энергосистемы // Энергетическая политика. — 2015. — Т. 2. — С. 64—73.

12. Optimization of transmission network for homogeneous good market / A. Vasin [et al.] // Optimization. - 2016. - Vol. 0. - P. 1-10. - DOI: 10.1080/ 02331934.2016.1247269. - eprint: http://dx.doi.org/10.1080/02331934.2016. 1247269.

13. Vasin A., Dolmatova M., Weber G.-W. Supply function equilibria for uniform price auction in oligopolistic markets // Central European Journal of Operations Research. - 2016. - Vol. 24, no. 4. - P. 819-831. - DOI: 10.1007/s10100-015-0390-y.

14. Vasin A., Dolmatova M. Optimization of Transmission Capacities for Multinodal Markets // Procedia Computer Science. - 2016. - Vol. 91. - P. 238-244. -DOI: http://dx.doi.org/10.1016/j~.procs.2016.07.064.

15. Vasin A., Dolmatova M. Does SFE Correspond to Expected Behavior in the Uni" form Price Auction? // Operations Research Proceedings 2012: Selected Papers of the International Annual Conference of the German Operations Research So" ciety (GOR), Leibniz University of Hannover, Germany, September 5-7, 2012 / ed. by S. Helber [et al.]. - Cham : Springer International Publishing, 2014. -P. 231-236. - DOI: 10.1007/978-3-319-00795-3_34.

16. Vasin A., Dolmatova M., Gao H. Supply Function Auction for Linear Asymmetric Oligopoly: Equilibrium and Convergence // Procedia Computer Science. -2015. - Vol. 55. - P. 112-118. - DOI: http://dx.doi.org/10.1016/ j.procs.2015.07.015.

17. Dolmatova M. Optimal Nodal Capacity Procurement // Modelling, Computation and Optimization in Information Systems and Management Sciences: Proceed" ings of the 3rd International Conference on Modelling, Computation and Opti" mization in Information Systems and Management Sciences - MCO 2015 - Part II / ed. by H. A. Le Thi, T. Pham Dinh, N. T. Nguyen. - Cham : Springer International Publishing, 2015. - P. 415-423. - DOI: 10.1007/978-3-319-18167-7_36.

18. Vasin A., Dolmatova M. Adaptive Dynamics in the Supply Function Auction for Oligopoly with Fixed Marginal Cost and Capacity Constraint // GAME THEORY AND MANAGEMENT. Collected abstracts of papers presented on the Seventh International Conference Game Theory and Management / ed. by

L. Petrosyan, N. Zenkevich. —. Graduate School of Management SPbU, SPb, 2013. - P. 257-260.

19. Dolmatova M. Capacity market impact on investment incentives // GAME THEORY AND MANAGEMENT. Collected abstracts of papers presented on the Sixth International Conference Game Theory and Management / ed. by L. Petrosyan, N. Zenkevich. —. Graduate School of Management SPbU, SPb, 2012. — P. 69-72.

20. Comparative Analysis of One Stage and Two Stage Markets / A. A. Vasin [et al.] // Proc. Conf. on Economic Design, Maastricht, 2009. — Maastricht Univ., Maastricht. 2009. — P. 1-27. — URL: https://editorialexpress.com/cgi-bin/conference/download.cgi?db_name=CED2009&paper_id=85 ; (Online, last accessed 26.03.2017).

21. Долматова М. С. Оптимальная локализация мощностей и ценообразование на многоузловом рынке // Электроэнергетика глазами молодежи: труды VI международной научно-технической конференции, 9-13 ноября 2015, Иваново. Т. 2 / под ред. В. Тютиков. — Иваново: ФГБОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет им. В.И. Ленина». 2015. — С. 242—245.

22. Долматова М. С. Анализ механизмов обеспечения балансовой надежности энергосистемы на рынках электроэнергии и мощности // Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2013» / под ред. А. Андреев [и др.]. —. М.: МАКС Пресс, 2013., 2013. — URL: http: //lomonosov- msu. ru/archive/Lomonosov_2013/2360/22062_802e. doc ; (дата обращения: 26.03.2017).

23. Долматова М. Влияние рынка мощности на принятие инвестиционных решений в электроэнергетике // Ломоносов-2012: XIX Международная научная конференция студентов,аспирантов и молодых ученых секция «Вычислительная математика и кибернетика», Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, факультет ВМК, 9-13 апреля 2012 г.: Сборник тезисов / под ред. А. Месяц, И. Шевцова. — Издательский отдел факультета ВМиК МГУ, 2012. — С. 53—54.

24. Долматова М. С. Репрезентативность исходов аукциона функций предложения с учетом неопределенности спроса // XVII Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоно-сов-2010». — Издательский отдел факультета ВМиК МГУ. Издательский отдел факультета ВМиК МГУ, 2010. — С. 32—33.

25. Vasin A., Dolmatova M. SFE at the uniform price auction // VI Московская международная конференция по исследованию операций (0RM2010): Москва, 19-23 сентября 2010 г.: Труды / под ред. П. Краснощеков, А. Васин. — МАКС Пресс, Москва, 2010. — С. 15—17.

26. Vasin A., Dolmatova M, Weber G.-W Best response dynamics for the repeated supply function equilibrium auctions // VII Moscow International Conference on Operations Research (ORM 2013). Moscow, October 15-19, 2013: Proceed" ings. Vol. 1. - MAKS Press, Moscow, 2013. - P. 241-244.

27. Vasin A., Dolmatova M., Kartunova P. Optimization of energetic markets' transport infrastructure // VIII Московская международная конференция по исследованию операций (0RM2016): Москва, 17-22 октября 2016 г.: Труды. Т. 1 / под ред. А. Ф. Измаилов. — МАКС Пресс, Москва, 2016. — С. 17— 22.

28. Crew M. A., Fernando C., Kleindorfer P. R. The Theory of Peak-Load Pricing: A Survey // Journal of Regulatory Economics. — 1995. — Vol. 8. — P. 215-248.

29. Hogan W. Competitive electricity market design: a wholesale primer: tech. rep. / Harvard Electricity Policy Group. — 1998.

30. Vogelsang I. Price Regulation for Independent Transmission Companies // Jour" nal of Regulatory Economics. — 2001. — Vol. 20, no. 2. — P. 141-165.

31. Vasin A. A., Vasina P. A. Electricity Markets Analysis and Design. Working Paper 2006/053: tech. rep. / Moscow New Economic School. — 2006.

32. Математическая модель управления энергосистемой в условиях конкурентного оптового рынка электроэнергии и мощности в России / М. Р. Давидсон [и др.] // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2009. — Т. 2. — С. 84—94.

33. Joskow P, J. T. Transmission Rights and Market Power on Electric Power Networks // RAND Journal of Economics. — 2000. — Vol. 31. — P. 450-487.

34. Rosellon J. Different Approaches Towards Electricity Transmission Expansion // Review of Network Economics. — 2003. — Vol. 2, no. 3. — P. 238-269.

35. Hogan W., Rosellon J., Vogelsang I. Toward a combined merchant-regulatory mechanism for electricity transmission expansion. Working papers DTE 389: tech. rep. / CIDE, Division de Economia. — 2007.

36. Wilson R. Architecture of Power Markets // Econometrica. — 2002. — Vol. 70. — P. 1299-1340.

37. Дайлова Е. А. Теоретико-игровые модели форвардных и сетевых рынков однородного товара: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.09. — М., 2014. — 116 с.

38. Черенин В. П. Решение некоторых комбинаторных задач оптимального планирования методом последовательных расчетов // Научно-методические материалы экономико-математического семинара ЛЭММ АН СССР. Т. 2. — Москва, 1962.

39. Хачатуров Р. В. Алгоритмы максимизации супермодулярных функций и их применение для оптимизации группирования областей в регионе // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1999. — Т. 39, № 1. — С. 33—44.

40. Хачатуров В. Р. Математические методы регионального программирования. — Москва : Мир, 1989. — 297 с.

41. Bohn R. E., Caramanis M. C., Schweppe F. C. Optimal Pricing in Electrical Networks Over Space and Time // Rand Journal of Economics. — 1984. — Vol. 15. — P. 360-376.

42. Crew M. A., Kleindorfer P. R. Public Utility Economics. — the University of Michigan : Macmillan, 1979.

43. Spot Pricing of Electricity / F. C. Schweppe [et al.]. — Norwell, MA : Kluwer Academic Publishers, 1988.

44. O'Neill R. P, Baldick R., Helman U. Dispatchable transmission in RTO markets // IEEE Transactions on Power Systems. — 2005. — Vol. 20, no. 1. — P. 171-179.

45. Fisher E., O'Neill R., Ferris M. Optimal transmission switching // IEEE Trans" actions on Power Systems. — 2008. — Vol. 23, no. 3. — P. 1346-1355.

46. Reduced MIP formulation for transmission topology control / P. A. Ruiz [et al.] // Proc. 50th Allerton Conf. on Communications, Control and Comput" ing. — Monticello, IL, 2012. — P. 1073-1079.

47. О некоторых вопросах организации долгосрочного отбора мощности на конкурентной основе на оптовом рынке электрической энергии (мощности): постановление Правительства РФ от 24 февраля 2010 г. N 89. — URL: http://www.consultant.ru ; Доступ из справ.-правовой системы «Консуль-тантПлюс» (дата обращения: 26.03.2017).

48. Правила оптового рынка электрической энергии и мощности: постановление Правительства РФ от 27 декабря 2010 г. N 1172. — URL: http://www. consultant.ru ; Доступ из справ.-правовой системы «КонсультантПлюс» (дата обращения: 26.03.2017).

49. Ahuja R., Magnanti T., Orlin J. Network Flows: Theory, Algorithms, and Applications. — Upper Saddle River, NJ, USA : Prentice-Hall, Inc., 1993.

50. Debreu G. Valuation Equilibrium and Pareto Optimum // Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA. — 1954. — Vol. 40, no. 7. — P. 588-592.

51. Васин А. А., Васина П. А., Рулева Т. Ю. Об организации рынков однородных товаров // Известия Российской академии наук. Теория и системы управления. — 2007. — Т. 46, № 1. — С. 93—106.

52. Anderson E., Philpott A. Optimal offer construction in electricity markets // Mathematics of Operations Research. — 2002. — Vol. 27. — P. 82-100.

53. Baldick R., Grant R., Kahn E. Linear Supply Function Equilibrium: Generalizations, Application, and Limitations: Working paper / University of California Energy Institute. — Berkeley, CA, 2000. — PWP-078. — URL: http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.16.1722 ; (Online, last accessed 26.03.2017).

54. Green R. The Electricity Contract Market in England and Wales // The Journal of Industrial Economics. — 1999. — Vol. 47. — P. 107-124.

55. Holmberg P., Newbery D., Ralph D. Supply Function Equilibria: Step Functions and Continuous Representations: Working paper / Faculty of Economics, Uni" versity of Cambridge. — 2008. — No. 0863. — URL: http://www.econ.cam.ac. uk/dae/repec/cam/pdf/cwpe0863.pdf ; (Online, last accessed 26.03.2017).

56. Newbery D. Competitions, Contracts and Entry in the Electricity Spot Market // RAND Journal of Economics. — 1998. — Vol. 29. — P. 726-749.

57. Newbery D. Analytic Solutions for Supply Functions Equilibria: Unique" ness and Stability: Working paper / Faculty of Economics, University of Cambridge. — 2008. — No. 0848. — URL: http://www.eprg.group.cam. ac.uk/wp-content/uploads/2008/11/eprg08241.pdf ; (Online, last accessed 26.03.2017).

58. Newbery D. Privatization, Restructuring, and Regulation of Network Utilities. Vol. 1. — The MIT Press, 2002.

59. Oligopoly models for market price of electricity under demand uncertainty and unit reliability / L. Wang [et al.] // European Journal of Operational Research. — 2007. — Vol. 181, no. 3. — P. 1309-1321. — DOI: 10.1016/j.ejor.2005.07.027.

60. Holmberg P. Numerical calculation of an asymmetric supply function equilibrium with capacity constraints // European Journal of Operational Re" search. — 2009. — Vol. 199, no. 1. — P. 285-295.

61. Дьякова Ю. И. Моделирование оптового рынка эклетроэнергии в России: дис. ... маг. / Дьякова Ю. И. — Российская экономическая школа, 2003.

62. Hortascu A., Puller S. Understanding strategic bidding in multi-unit auc" tions: a case study of the Texas electricity spot market // RAND Journal of Economics. — 2008. — Vol. 39, no. 1. — P. 86-114.

63. Sioshansi R., Oren S. How good are supply function equilibrium models: an empirical analysis of the ERCOT balancing market // Journal of Regulatory Economics. — 2007. — Vol. 31, no. 1. — P. 1-35.

64. Milgrom P, Roberts J. Adaptive and sophisticated learning in normal form games // Games and Economic Behavior. — 1991. — Vol. 3. — P. 82-100.

65. Гусев А. Г. Оптимизационные и теоретико-игровые модели рынка электроэнергии: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.09. — М., 2012. — 96 с.

66. Rudkevich A. Supply Function Equilibrium in Power Markets: Learning All the Way: TCA Technical Paper. — 1999. — No. 1299-1702.

67. Stoft S. Power System Economics: Designing Markets for Electricity. — New York : Wiley, 2002.

68. Гасников А. В. Заметка об эффективной вычислимости конкурентных равновесий в транспортно-экономических моделях // Математическое моделирование. — 2015. — Т. 27, № 12. — С. 121—136.

69. Введение в математическое моделирование транспортных потоков. Изд.2-е / А. В. Гасников [и др.] ; под ред. А. В. Гасников. — Москва : МЦНМО, 2013. —427 с.

70. Nesterov Y. Universal gradient methods for convex optimization problems // Mathematical Programming. — 2015. — Vol. 152, no. 1. — P. 381-404. — DOI: 10.1007/s10107-014-0790-0.

71. Петров А. П., Черенин В. Усовершенствование метода составления плана формирования поездов // Железнодорожный транспорт. — 1948. — Т. 3. — С. 60—71.

72. Хачатуров В. Р. Модели и методы решения многоэкстремальных задач размещения с использованием свойств супермодулярных функций, заданных на булевых решетках // Алгоритмы и алгоритмические языки. Пакеты прикладных программ. Функциональное наполнение. — 1996. — С. 63—98.

73. Goldengorin B., Pardalos P. M. Data Correcting Approaches in Combinatorial Optimization. — Springer Publishing Company, Incorporated, 2012.

74. Lovasz L. Submodular functions and convexity // Mathematical Programming The State of the Art: Bonn 1982 / ed. by A. Bachem, B. Korte, M. Grotschel. — Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 1983. — P. 235-257. — DOI: 10.1007/978-3-642-68874-4_10.

75. Регламент проведения конкурентных отборов мощности (Приложение № 19.3 к Договору о присоединении к торговой системе оптового рынка). — URL: http://www.np-sr.ru/regulation/joining/reglaments/?ssFolderId=89.

76. Zimmerman R. Matpower 4.0b4 User's Manual / Power Systems Engineering Research Center (Pserc). — 2010.

77. Zimmerman R. D., Murillo-Sânchez C. E., Thomas R. J. MATPOWER's Exten" sible Optimal Power Flow Architecture // Power and Energy Society General Meeting. - 2009 IEEE. 2009. - P. 1-7.

78. Основы теории цепей. Учебник для вузов. Изд.4-е, переработанное / Г. В. Зевеке [и др.]. — Москва : Энергия, 1975. — 752 с.

79. Информация, необходимая для проведения конкурентных отборов мощности на 2013 год (дата публикации 01.08.2012). — URL: http://monitor.so-ups.ru/?P=42&DocumentID=190 ; (дата обращения: 26.03.2017).

80. Итоги конкурентного отбора мощности на 2013 год (дата публикации 24.09.2012). — URL: http://monitor.so-ups.ru/?P=42&DocumentID = 194 ; (дата обращения: 26.03.2017).

81. Васин А. Некооперативные игры в природе и обществе. — Москва : МАКС пресс, 2005. — 412 с.

Список рисунков

1.1 Структуры перетоков, определяющие (а) супермодулярность и (Ь) субмодулярность функции благосостояния.................29

1.2 Рынок типа "цепочка"............................29

1.3 Рынок типа "звезда".............................31

1.4 Приращения функции общественного благосостояния W(Ь) при добавлении линии I к множеству Ь и к множеству Ь и Ь' для рынка типа звезда ....................................................................34

1.5 Оптимальное благосостояние W(Ь) и равновесная цена для множества линий Ь..............................36

1.6 Приращения функции благосостояния W(Ь) при добавлении линии

2 к множеству {1} (область I) и к множеству {1,3} (область/ I). ... 37

1.7 Сетевая структура со множеством цепочек.................40

2.1 Струтура сети тестового 15-узлового рынка...............59

2.2 Ограничения на перетоки по линиям для 15-узлового рынка......59

2.3 Структура сети тестового 15-узлового рынка по результатам расчета . 60

2.4 Матрицы инцидентности и узловых проводимостей для 15-узлового рынка ..........................................................................61

2.5 Векторы балансов, напряжений и перетоков...............61

2.6 Карта зон свободного перетока в оптовом рынке мощности на 2013 год 63

2.7 Кривые модельного предложения для 23-узлового рынка........67

2.8 Направления перетоков и дефицитные узлы по результатам расчета

для 23-узлового рынка ...........................69

3.1 Два типа возможных равновесных заявок.................74

3.2 Равновесие при втором типе заявок ........................................75

3.3 Функции предложения, являющиеся наилучшим ответом, и функция остаточного спроса для первого игрока при т =2.............79

Список таблиц

1 Сводные параметры рынка и результаты решения для 15-узлового рынка.....................................60

2 Расчетные величины перетоков для 15-узлового рынка.........62

3 Ограничения на перетоки по линиям для 23-узлового рынка......64

4 Состав групп линий, суммарные перетоки по которым ограничены . . 65

5 Ограничения на перетоки по группам линий для 23-узлового рынка

и расчетные значения перетоков ............................................66

6 Сводные параметры рынка и результаты решения для 23-узлового рынка ..........................................................................66

7 Расчетные величины перетоков для 23-узлового рынка.........68