Теоретико-игровые модели формирования коалиционных структур тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Степанов, Денис Сергеевич

• Степанов, Денис Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Степанов, Денис Сергеевич

Введение

Обзор литературы

1 Одномерное множество значений параметра

1.1 Формальная модель.

1.2 (Регулярные) равновесия Нэша.

1.3 Исследование устойчивости.

1.3.1 Локальная устойчивость.

1.3.2 Коалиционное равновесие.

1.3.3 Неравномерное распределение игроков.

2 Многомерный случай: п >

2.1 Формальная модель случая многомерного политического пространства и однородной популяции.

2.2 Политика коалиции.

2.3 Равновесия Нэша

2.3.1 Равновесные структуры с «вогнутой» границей

2.3.2 Равновесия с равными размерами коалиций.

2.4 «Прямоугольная структура».

2.5 Устойчивость.

2.5.1 Устойчивость к локальному объединению.

2.5.2 Устойчивость к локальному расколу.

2.6 Устойчивость к произвольным объединениям.

3 Неоднородная популяция агентов

3.1 Модель с вертикальной дифференциацией игроков

3.2 Равномерное распределение агентов в случае квадратичных функций выигрыша.

3.3 Равномерное распределение агентов в случае функций выигрыша общего вида.

3.4 Отрезок агентов с новой функцией выигрыша.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоретико-игровые модели формирования коалиционных структур»

В настоящей работе изучается проблема формирования коалиций в большой неоднородной популяции индивидов, каждый из которых описывается своей идеальной точкой в некотором множестве. Вся популяция характеризуется распределением на множестве идеальных точек. В общем случае это множество является подмножеством тг-мерного Евклидового пространства. Каждое измерение соответствует некоторой альтернативе или положению в пространстве. Например, в применении к политической конкуренции, одно из измерений может соответствовать социальной политике, другое - международной политике, третье - вопросам защиты окружающей среды и т.д. Предполагается, что та или иная альтернатива представляет собой вещественное число (например, бюджетные расходы на те или иные направления, ставка налога, допустимый уровень загрязнения или же вероятности, с которыми агенты склоняются к одной из двух альтернатив, соответствующих концам отрезка [0,1]). Таким образом, идеальная точка агента - вектор из политик по каждому вопросу. Непрерывное распределение по идеальным точкам описывает все население.

В данной работе мы предлагаем следующую теоретико-игровую модель формирования коалиций. Игроками являются индивиды из данной популяции, характеризуемые своими идеальными точками из некоторого множества X. Есть достаточно большой набор меток: «Коалиция 1», «Коалиция 2»,., «Коалиция М» (например, в случае формирования политических партий это социалисты, демократы, либералы и т.д.). Каждый из агентов выбирает метку и становится членом соответствующей коалиции, или же решает воздержаться и не вступает ни в одну из коалиций. Политика (стратегия) коалиции - точка из того же множества, положение которой определяется по некоторому фиксированному правилу в зависимости от состава коалиции (в частности, как медианная идеальная точка агентов, входящих в коалицию). Размер коалиции равен доле агентов, выбравших соответствующую метку. Таким образом, профиль стратегий агентов определяет множество непустых коалиций I, их размеры и политики. Выигрыш агента зависит от факторов: размер коалиции и расстояние от идеальной точки агента до политики коалиции. По первому параметру выигрыш возрастает, по второму - убывает.

Для данной игры мы исследуем известные теоретико-игровые понятия решения игры: равновесие Нэша (РН) и различные коалиционные равновесия и находим коалиционные структуры, соответствующие равновесному профилю стратегий.

В литературе, посвященной проблеме эндогенного формирования политических структур, существует два основных направления исследования. Одно из направлений изучает проблему формирования индивидами, расположенными на некоторой географической плоскости или линии, юрисдикций (муниципалитетов или регионов, см. [1, 2], [3], [4, 5]). Они формируют коалиции для того чтобы обеспечить себя необходимыми общественными благами: школами, больницами, библиотеками. Каждая коалиция создает центр, который включает в себя все указанные общественные институты. В литературе рассматривается несколько правил определения положения центра коалиции в зависимости от расположения ее членов: правило медианы (the median rule) рассматривается в [6, 7, 8], правила Ролса (the Rawlsian rule) используется в [9], правило среднего (the mean voter rule) подробно изучено в статье [10].

Функция выигрыша агента в этом случае представляет собой сумму двух отрицательных членов: общие издержки на постройку центра, деленные на размер коалиции, и индивидуальные транспортные издержки агента, пропорциональные расстоянию от места расположения агента до центра коалиции. Таким образом, агенты сталкиваются с выбором: либо присоединиться к большой коалиции, где удельная стоимость строительства центра на одного члена коалиции ниже, чем в относительно небольшой коалиции, но можно оказаться достаточно далеко от центра, или принять на себя более высокие издержки на строительство центра в коалиции небольшого размера, но оказаться ближе к нему. Авторы рассматривают эту модель как коалиционную игру с побочными платежами и исследуют ядро игры. В статьях [6, 7], [8] авторы изучают равновесие Нэша и различные коалиционные равновесия для схожих игр без побочных платежей и с малым количеством игроков. В данных статьях получены некоторые результаты относительно существования, единственности и поиска этих равновесий. Однако, данные модели не подходят для описания свойств равновесий в больших популяциях.

Другое направление в литературе посвящено вопросам эндогенного формирования политических партий. В статьях [11], [12], [13, 14] рассматриваются модели в предположении о непрерывном распределении идеальных точек агентов на политическом пространстве. Важное отличие данных работ от настоящей состоит в том, что в указанных работах число партий фиксировано и выигрыш агента не зависит от размера партии. Последнее является достаточно сильным ограничением, поскольку размер партии представляется достаточно существенным фактором. Также данные условия не позволяют определить количество партий в равновесии. Данные модели лучше описывают распределение избирателей по уже существующим партиям, чем процесс формирования партий.

Таким образом, следующие положения отличают базовую модель, рассматриваемую в настоящей работе от других моделей из данной области:

• отсутствие побочных платежей;

• общий вид зависимости выигрыша агентов от размера коалиции и расстояния до политики коалиции;

• некооперативные принципы решения игры.

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Степанов, Денис Сергеевич

Основные результаты диссертации состоят в следующем. Исследована модель эндогенного формирования коалиционных структур с игроками, распределенными на множестве значений характеристического параметра (идеальной точки) в трех основных модификациях: базовый случай одномерного множества значений идеальных точек, случай произвольной (конечной) размерности множества значений идеальных точек, игра с вертикальной дифференциацией игроков. Для указанных игр описаны множества равновесий Нэша, исследована устойчивость равновесий к отклонению коалиций игроков, а в игре с двумя типами игроков также проанализирована зависимость коалиционной устойчивости равновесий от соотношения численности игроков различных типов. Научная новизна полученных результатов состоит в следующем. Построена теоретико-игровая модель формирования коалиций игроками, распределенными на множестве значений идеальных точек для функции выигрыша обобщенного вида. В случае единичной размерности множества идеальных точек описаны свойства (регулярных) равновесий Нэша, а также необходимые и достаточные условия локальной устойчивости, то есть устойчивости к объединению соседних коалиций и расколу одной из существующих коалиций. В случае равномерного распределения игроков полностью описано множество регулярных равновесий Нэша: указы три возможных типа равновесий и показано, что других равновесий не существует. Показано, что два из найденных классов равновесий является заведомо неустойчивыми. Для третьего типа равновесий получены необходимые и достаточные условия, обеспечивающие локальную устойчивость этих равновесий. Установлены достаточные условия на параметры модели, при которых понятие локальной устойчивости эквивалентно понятию коалиционного равновесия, то есть коалиционной структуры, в которой невозможно образование новой коалиции, обеспечивающей большие выигрыши всем своим членам. Показано, что в отличие от рассматривавшихся ранее случаев линейной или квадратичной зависимости выигрыша от расстояния до политики коалиции, в общем случае локальная устойчивость структуры не гарантирует, что данная структура является коалиционным равновесием. Сформулировано обобщение базовой модели на случай, когда множество значений параметра имеет размерность п > 2. Установлены основные свойства регулярных равновесий Нэша, а само множество равновесий описано в форме системы уравнений и неравенств. Найдены уравнения гиперповерхностей, разделяющих множества идеальных точек игроков, относящихся к различным коалициям и описаны их свойства. При определенных ограничениях показано, что регулярному равновесию соответствуют структуры, задаваемые равномерной прямоугольной решеткой на множестве значений параметра. Найдены условия, гарантирующие существование равновесия. Найдено условие устойчивости к образованию произвольной коалиции внутри существующей, а также необходимое и достаточное условие устойчивости к локальному объединению равновесий. Показано, что в отличие от одномерного случая, в игре на многомерном множестве идеальных точек из локальной устойчивости не следует устойчивость к объединению произвольного числа коалиций. Получено достаточное условие устойчивости к произвольному объединению коалиций. Описана связь между размерностью множества значений параметра, свойствами функции потерь и существованием устойчивых коалиционных структур. Описана теоретико-игровая модель с вертикальной дифференциацией игроков: все множество игроков делится на два типа игроков ("конформисты"и "индивидуалисты"), различающихся характером зависимости функции выигрыша от своих параметров. Для этой игры описаны свойства регулярных равновесий Нэша, существовавших в игре с одним типом игроков. Установлены критерии локальной устойчивости этих равновесий, а также критерии эквивалентности понятий локальной устойчивости и коалиционного равновесия. Проведен анализ отличий полученных условий от их аналогов в случае однородной популяции. Также описан и исследован вид равновесных структур, не существовавший в игре с одним типом игроков. В таких структурах границы разбиения на коалиции не совпадают для разных типов игроков. Исследована зависимость множества равновесий от соотношения численностей двух типов игроков.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Степанов, Денис Сергеевич, 2011 год

1. Alesina A., Spolaore Е. On the number and size of nations // Quarterly Journal of Economics. — 1997.

2. Alesina A., Spolaore E. The size of nations // MIT Press, Cambridge, MA.— 2003.

3. Le Breton M., Weber S. The art of making everybody happy: How to prevent a secession // IMF Staff Papers. — 2003.

4. Haimanko 0., Le Breton M., Weber S. On efficiency and sustainability in a collective decision problem with heterogeneous agents // Mimeo. — 2002.

5. Haimanko 0., Le Breton M., Weber S. Transfers in a polarized country: Bridging the gap between efficiency and stability // CORE Discussion Paper. — 2002.

6. Savvateev A. (Non)existence of secession-proof partitions // Moscow, New Economic School. Mimeo. — 2003.

7. Savvateev A. Achieving stability in heterogeneous societies: multi-jurisdictional structures, and redistribution policies // Moscow: EERC. 2005.

8. Stability of jurisdiction structures under the equal share and median rules / A. Bogomolnaia, M. Le Breton, A. Savvateev, S. Weber // CORE Discussion Paper. — 2005.

9. Rawls J. A theory of justice // Cambridge: Harvard University Press. — 1971.

10. Caplin A., Nalebuff B. Aggregation and social choice: A mean voter theorem // Econometrica.— 1991.

11. Caplin A., Nalebuff B. Competition among institutions // Journal of Economic Theory. — 1997.

12. Ortuno-Ortin I., Roemer J. Endogenous party formation and the effect of income distribution on policy // University of Alicante. IVIE working paper. — 2000.

13. Gomberg A. M., Marhuenda F., Ortuno-Orti I. Equilibrium in a model of endogenous political party formation // Proceedings for 5th International Meeting of the Society for Social choice and Welfare, Alicante.— 2000.

14. Gomberg A. M., Marhuenda F., Ortuno-Ortin I. Endogenous platforms: The case of many parties // Alicante University Press. — 2005.

15. Haimanko 0., Le Breton M., Weber S. Voluntary formation of communities for the provision of public projects // Journal of Economic Theory. — 2004.

16. Downs A. An economic theory of democracy // Harper and Row.— 1957.

17. Cox G. Electoral equilibrium under approval voting // American Journal of Political Science. — 1985.

18. Cox G. Electoral equilibrium under alternative voting institutions // American Journal of Political Science. — 1987.

19. Baron D. Electoral competition with informed and uninformed voters // American Political Science Review. — 1994.

20. Wittman D. Parties as utility maximizers // American Political Science Review. — 1973.

21. Ortuno-Ortin I., Schultz C. Proceedings for 5th international meeting of the society for social choice and welfare // Alicante. — 2000.

22. Fauli-Oller R., Ok E., Ortuno-Ortin I. Delegation and polarization of platforms in political competition // Political Economy. — 2000.

23. Black D. Theory of committees and elections // Cambridge University Press. — 1958.

24. Ortuno-Ortin I., Schultz C. Public funding of political parties. — 2001.

25. Haan M. Endogenous party formation in a model of representative democracy // University of Groningen: CCSO working paper. — 2000.

26. Бавин . Российские выборы: как есть и как должно быть // Фонд «Общественное Мнение».— 2004.

27. Задорин . Средства массовой информации и электоральное поведение россиян // Московский центр Карнеги. — 2000.

28. Задорин . Партийные электораты: динамика и перспективы. Аналитический бюллетень // Московский центр Карнеги. — 2003.

29. Ослон Петренко . Факторы электорального поведения: от опросов к моделям // Вопросы социологии. — 1994.

30. Aldrich J. A downcian spatial model of party activism // American Political Science Review. — 1983.

31. A problem of football bars: Vertically and horizontally differentiated public goods / J. Dreze, M. Le Breton, A. Savvateev, S. Weber // X Международная конференция no проблемам развития экономики и общества. Сборник докладов, II. — 2009.

32. Smith М. Evolution and the theory of games // Cmbrige Univercity Press. — 1982.

33. С осина . . Теоретико-игровые модели политической конкуренции: Ph.D. thesis / Московский государственный университет им. Ломоносова. — 2006.

34. Aumann R. J. Acceptable points in general cooperative n-person games // Contributions to the Theory of Games IV, Annals of Mathematics Study 40. — 1959.

35. Aumann R. J. The core of a cooperative game without side payments // Transactions of American Mathematical Society.— 1961.

36. Vasin A., Sosina Y., Stepanov D. Endogenous formation of the coali-tional structure in a heterogeneous population // NES Working Paper. — 2007. Vol. #WP2007/072.

37. Vasin A., Stepanov D. Endogenous formation of coalitional structures in homogeneously distributed population // ORM2007. — 2007.

38. Васин ., Степанов . О формировании коалиционной структуры в неоднородной популяции // Сборник докладов международнойнаучной конференции «Государственное управление в XXI веке: традиции и инновации». — 2007.

39. Vasin A., Stepanov D. Endogenous formation of political parties // Mathematical and Computer Modeling. — 2008. — Vol. 48.

40. Vasin A., Stepanov D. Endogenous formation of political parties // Сборник докладов IX Международной научной конференции «Модернизация экономики и глобализация». — 2008.

41. Sosina Y. Endogenous forming of political structures and investigation of their stability // Moscow, Higher School of Economics. — 2004.