Теоретико-групповые аспекты колебательных задач кристаллофизики в приближении механики сплошных сред с внутренними степенями свободы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.18, кандидат физико-математических наук Рябчиков, С.А.

• Рябчиков, С.А.
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Рябчиков, С.А.

Введение

ГЛАВА I. Дисконтинуалыше модели в механике сплошной среды (учет внутренних степеней свободы;

§ I. История вопроса.

§ 2. Классификация дисконтинуальных моделей.

ГЛАВА П. Учет внутренних степеней свободы в моделях анизотропной сплошной среды

§ I. Модель сплошной среды с внутренними смещениями подконтинуумов.

§ 2. Модель'сплошной среды с внутренними поворотами подконтинуумов.

§ 3. Материальные тензоры взаимодействия подконтинуумов и их симметрия.

ГЛАВА Ш. Решение некоторых задач феноменологической кристаллофизики в дисконтинуальном приближении.

§ I. Колебания материальной среды, составленной из

П -дисконтинуумов. Уравнения движения

§ 2. Акустические и оптические колебания. Модель алмаза

§ 3. Оптические колебания среды с учетом ионного взаимодействия подконтинуумов. Модель 2п Б'

§ 4. Колебания в кристалле тригидрат-перхлората лития с и сео. -зн2о )

В ы в о д ы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоретико-групповые аспекты колебательных задач кристаллофизики в приближении механики сплошных сред с внутренними степенями свободы»

Представление о том, что кристаллы мошю описывать в виде моделей однородных анизотропных сплошных сред стало уже традицией в феноменологической кристаллофизике [1-4] . Такая идеализация дозволяет рассматривать понятие, плотности энергии - величину конечную в бесконечно большом кристалле - и описывать движение деформируемых тел с помощью непрерывных функций, что упрощает математический аппарат .

Однако это представление применимо только при воздействии на кристалл физических полей с длиной волны, значительно превышающей размер элементарной ячейки.

Если же длина волны сравнима с ее размерами, то проявляется дискретное строение кристалла. В этом случае физически более обоснована теория решетки [5-7] , хорошо описывающая, в частности, взаимодействие оптических и упругих волн в кристаллах. В теории решетки, однако, силовая матрица даже при учете инвариантности ее относительно Ф- групп симметрии кристалла достаточно сложна. Се-кулярное уравнение, как правило, решается лишь приближенными методами. Кроме того, в теории спектров ионных кристаллов решеточные суммы, входящие в выражение энергии связи подрешеток, сходятся очень медленно из-за дальнодействия кулоновских сил. Физически это означает существование многочастичных нецентральных сил, которые необходимо учитывать в силовой матрице. Это привело к созданию обо-лочечной модели [8-П] в теории решетки. В ковалентных кристаллах и металлах решеточныё суммы сходятся быстро, за счет экранирования кулоновского взаимодействия, однако, расчет спектра колебаний усложняется из-за присутствия многочастичных сил иной природы С сопротивление изгибу ковалентных связей, сжатие газа электронов проводимости и т.д.;.

Для адекватного описания кристалла методами теории сплошных сред необходима модель, сочетающая в себе непрерывность сплошной среды и дискретность кристаллической структуры. Для этой цели служат модели континуумов с внутренними степенями свободы - направление механики сплошных сред, быстро развивающееся в последнее время.

Основополагающий метод построения таких моделей, основанный на вариационном принципе, развит в работах Л.И.Седова [12,13]. Отличительная черта моделей сплошных сред с внутренними степенями свободы состоит в том, что наряду с законами движения классической упругой среды используются также законы изменения дополнительных переменных параметров физико-химической природы. Модели сплошных сред с внутренними электромагнитными и механическими моментами рассмотрены в самом общем виде в работах [14,15]. В настоящее время эти модели используются при построении теории поляризующихся сред [15], описывающей некоторые классы моделей поляризованных сред с учетом теплопроводности, токов проводимости, вязкости. Сравнение с экспериментом разрабатываемой в [14,15] теории наталкивается,однако, на технические трудности, связанные с большим шелом параметров теории и трудностями их физической оценки.

В рамках механики континуума в качестве параметров достаточно рассмотреть компоненты векторов микросмещений и микроповоротов, а также их градиенты. В этом случае можно говорить о моделях упругих сред с микроструктурой [1б], подробная нелокальная теория которых изложена в монографии И.А.Кунина [17]. Под термином "нелокальность" в теории подразумевается невозможность локализовать в точку те объемы, которые она рассматривает. В классической же сплошной среде любая окрестность точки может стягиваться в нее.

Одним из важнейших результатов нелокальной теории упругости является создание математической модели квазиконтинуума, позволяющей описывать дискретные и сплошные среды с помощью единого формального аппарата [18].

Существенно также, что нелокальная теория упругости математически обобщила многочисленные модели континуума Коссера: модели ориентационных сред [19], несимметричную [20,21], моментную [22,23], мультиполярную [24,25] теории. Последние содержатся в ней в качестве приближения слабо нелокальных сред.

Приближение моделей слабо нелокальных сред предпочтительнее нелокальной теории, т.к. интегральные операторы заменяются дифференциальными, и уравнения движения - разрешимы. При этом, однако, от результатов нельзя ожидать высокой точности, и они применимы скорее для описания качественно новых эффектов.

Принято считать [17], что развитие механики сплошных сред с микроструктурой началось с мемуаров Е. и Ф.Коссера [26], появившихся в 1909 году. Однако, в 1фисталлофизике одна из таких моделей была применена еще Фохтом [27] в 1887 году, а в динамической задаче о распространении звуковых волн в неоднородной среде модель с внутренними вращательными степенями свободы использовал в 1898 г. Н.П.Костерин [28,29] .

Возможность рассмотрения сложного кристалла как совокупности нескольких взаимопроникающих сплошных сред, каждая из которых соответствует подрешетке, была фактически использована М.Борном в 1915 г. [30]. Им было показано, что однородные деформированные состояния, допустимые в этой модели, сводятся к макроскопической деформации, общей для всех подрешеток, и микроскопическим деформациям - поступательным перемещениям отдельных подрешеток. Последние, по сути дела, и составляют внутренние степени свободы сплошной среды, рассмотренной М.Борном. Однако, как модель сплошной среды с внутренней структурой, она была исследована значительно позднее [16,31].

В случае молекулярных кристаллов возможна дальнейшая конкретизация модели. Выделенные совокупности атомов (молекулы, радикалы) можно локализовать в узлах системы решеток. Несколько идеализируя эту ситуацию, рассматривают подрешетки, состоящие из абсолютно жестких совокупностей атомов. Это позволяет вводить в континуальном представлении независимо от поступательных также и макроскопические вращательные степени свободы [7, стр. 2СК)]. Такая модель сплошной среды, соответствующая простой молекулярной структуре, исследовалась рядом авторов [22,32,33]. Отметим, что в теории колебаний нежестких кристаллов [34-37] не использовалось приближение составного континуума.

Нелокальная теория упругих сплошных сред в принципе позволяет учесть условия трансляционной и ротационной инвариантности энергии, в том числе и симметрию модели. Действительно, пространственная группа симметрии кристалла содержится в качестве подгруппы в евклидовой группе (произведении группы непрерывных трансляций на ортогональную группу). В этом и заключена возможность построения моделей сред с микроструктурой, симметрия которых соответствовала бы симметрии кристаллов, описываемых федоровскими группами Ф или

С^) г т их обобщениями Ф [38,39].

Хотя пространственная симметрия моделей сплошных сред с микроструктурой описывается сверхфедоровскими группами Л => Ф = те > для теоретико-группового анализа колебательной задачи можно ограничиться конечными точечными группами Э*-*Л/Т => <Р/т+* & , если нет перекалибровки ЭЯ РЭЯ или О^^-л/т* ^ если есть перекалибровка

При практическом применении моделей для описания достаточно сложных структур необходимо точно знать симметрию применяющихся в теории объектов (подконтинуумов) и величин (тензоров взаимодействия), входящих в'лагранжиан. Это приведет к' дополнительному упрощения лагранжиана и облегчит решение уравнений движения.

Отсутствие такого подхода в теории упругих сред с микроструктурой и послужило поводом для построения предлагаемой модели.

В модели, состоящей из нескольких взаимопроникающих твердых сред, рассматривается, как правило, длинноволновое приближение.Однако некоторое ее усложнение (увеличение числа внутренних степеней свободы; позволяет учитывать собственные колебания с отличным от нуля волновым вектором, т.е. описывать спектры высших порядков.При этом формальный математический аппарат длинноволнового приближения сохраняется.

И.М.Лифшиц [40] впервые указал на целесообразность увеличения ячейки прямой решетки в задаче о колебательном спектре кристалла с изотопической примесью. Там же было отмечено, что расширение ячейки прямой решетки не изменяет спектр идеального кристалла в целом, а лишь приводит к переопределению различных его ветвей.

В применении к электронной задаче модель расширенной элементарной ячейки - суженной зоны Бриллюэна (РЭЯ-СЗБ; была введена в [41], а к колебательной задаче - в [42]. Модель интенсивно разрабатывалась Р.А.Эварестовым с сотрудниками и обобщена в [43]. Теоретико-групповому анализу модели РЭЯ-СЗБ посвящены работы [44—4б]. Симметрия модели связана с пространственной группой кристалла Ф, но учитывает колебания с волновым вектором к Ф о .

Слабая нелокальность модели позволяет объединять в подрешет-ку совокупности атомов, колеблющихся в фазе, а не только кристалло-химически эквивалентные. Таким образом, в модели описываются собственные колебания с волновым вектором к * О . Поскольку закон сохранения равновесной симметрии кристалла требует равноправного учета всех колебаний, соответствующих симметрически эквивалентным векторам к , то необходимо рассматривать звезду [к] волнового вектора.

Решение поставленной задачи удобнее проводить как развитие теории решетки Борна, сравнивая ее с внутренне непротиворечивой нелокальной теорией. Такое сравнение необходимо, так как предлагаемая в работе модель в сущности - приближение теории упругих сред с микроструктурой.

В соответствии с изложенным, в § 1.2 построена модель континуума, составленного из подконтинуумов, каждый из которых может смещаться как целое и испытывать малые деформации.

В приближении недеформируемых локальных сред эта модель переходит в модель составного континуума с микросмещениями и микроповоротами (§ 2.2).

Симметрия названных моделей сплошных сред с микроструктурой исследована в § 3.2 для двух случаев: предельные колебания и колебания со звездой {к} .

В § 1.3 исследуются решения уравнений движения модели в {к, со} - пространстве для выделенной звезды.

Получено секулярное уравнение, для которого в § 2,3 исследуются условия разделения на три системы уравнений. Аналогичное исследование для модели с ионным взаимодействием проведено в § 3.3. Там же показано, что микроскопические тензоры взаимодействия связаны с макроскопическими упругими пьезоэлектрическими и диэлектрическими тензорами.

Для иллюстрации практической применимости модели в § 3.2 методом РЭЯ-СЗБ исследован спектр 2-го порядка кристалла нафталина. В § 2.3 и § 3.3 рассчитаны колебательные спектры алмаза и сфалерита ( Z Y) $ ) для трех основных направлений [00l] , [iio] , [ill] вектора IT . В § 4.3 рассмотрена модель колебаний структуры три-гидрат-перхлората лития ( Li Сё• 3Нг о ). Получены численные значения тензоров взаимодействия.

Предлагаемая модель может использоваться в спектроскопии кристаллов, где начало исследований, по-видимому, относится к работам династии французских физиков Антуану Сезару Беккерелю принадлежит открытие прозрачности некоторых веществ для ультрафиолетовых лучей; изучением инфракрасных (ИК) спектров ряда веществ занимался его сын Александр Эдмон Беккерель [47]; Антуан Анри Беккерель известен исследованием спектров радиоактивных элементов, в частности, солей урана; Жан Беккерель изучал спектры поглощения кристаллов редкоземельных элементов при низких температурах и под воздействием магнитных полей [48]. Три года спустя Г.С.Ландсбергом и Л.И. Мандельштамом [49] в кварце и одновременно Ч.В.Раманом и К.С.Криш-наном в жидкости [50] было открыто комбинационное рассеяние (КР) света, которое с позиций квантовой механики детально объяснено И.Ё. Таммом [51]. Следует отметить также работы по спектроскопии молекулярных кристаллов, проведенные группой И.В.Обреимова в Харьковском физикотехническом институте в 1929-1937 гг. [52,53] . Дальнейшее развитие Ж и КР спектроскопии весьма подробно изложено в современных обзорах и монографиях [54-60].

Заключение диссертации по теме «Кристаллография, физика кристаллов», Рябчиков, С.А.

ВЫВОДЫ

Упругие и оптические спектры кристаллов можно описывать моделями сплошных сред с внутренними степенями свободы, допускающими конкретное применение.

1. Показано, что модель составного континуума с микросмещениями и микроповоротами может быть использована для описания упругих колебаний и оптических спектров 2-го порядка атомарных или молекулярных структур. Исследованы параметры напряженного и деформированного состояний такой модели, определены тензоры, характеризующие взаимодействия частей модели, получены уравнения движения.

2. С помощью таких моделей оказалось возможным борновское длинноволновое приближение применить к исследованию оптических спектров высших порядков. Предложен метод, позволяющий в рамках отдельной модели описывать собственные колебания, характеризующиеся одной звездой {к} волновых векторов.

3. В модели составного континуума явно учтена ее обобщенная симметрия (внутренняя и внешняя). Показано, как можно найти группы симметрии Я составного континуума, представляющие собой гомоморфные образы пространственных групп симметрии кристалла. Доказано, что группа Р представляет расширение точечной группы симметрии кристалла с помощью конечной группы по модулю, однозначно соответствующей звезде { к} .

4. Получены подгруппы группы Г , характеризующие симметрию взаимодействия составных частей континуума. Найдено, что пересечения этих подгрупп определяют симметрию тензоров взаимодействия,показана их связь с материальными тензорами кристаллофизики* В модели кристалла нафталина численные значения компонент тензоров взаимодействия определены через силовые постоянные, вычисленные методом атом-атом потенциалов. Рассчитан спектр второго порядка (при

-j» + é¡¿ \ к = —2— ' *

5. Учет внутренней симметрии модели составного континуума позволил значительно упростить матрицу секулярного уравнения. Б моделях с изотропной и гиротропной симметрией исследовано распространение акустических и оптических волн, их взаимодействие и рассчитаны спектры собственных колебаний при {k} ¿ 0.

Модель составного континуума применена для описания пьезоэлектрического эффекта и идентификации спектра в ионных кристаллах, содержащих радикалы. Вычислены частоты Ж спектров кристалла Zп $ и спектров КР алмаза для основных направлений распространения волн [oof| , [lio] , [ill] . Их сравнение с экспериментальными данными и другими теоретическими расчетами показало удовлетворительное совпадение результатов.

6. Проведен анализ спектра неупругого некогерентного рассеяния нейтронов на кристалле тригидрат перхлората лития L¡ се 0ч • з Hz О ). Указан способ расчета частот колебаний воды в континуальной модели этого кристалла. Тензоры взаимодействия связаны с силовыми константами модели обобщенного валентно-силового поля. Проведена численная оценка величины тензоров. Идентифицирован спектр колебаний молекул воды.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Рябчиков, С.А., 1984 год

1. Федоров Ф.И. Оптика анизотропных сред. -Шнек; АН БССР, 1958. -428с.

2. Федоров Ф.И. Теория упругих волн в кристаллах. -М.: Наука, 1965. -386с.

3. Най Дж. Физические свойства кристаллов. -М.: Мир, 1967. -419с.

4. Сиротин Ю.И., Шаскольская ГЛ.П. Основы кристаллофизики. М.: Наука, 1975. -680с.

5. Born Ы., von Кагшап.-Phys. Zs.,1913»15.

6. Debye P. -Ann.d. Phys., 1912, 39,789.

7. Борн M., Хуан-Кунь. Динамическая теория кристаллических решеток. -М.: ИЛ, 1958. -488с.

8. Cocran W., Cowley R.L. Dielectric constants and lattice vibrations. J.Piiys.Ch.em.Solids, 19b2, 23, 5 p»447-450.

9. Машкевич Б.С., Толпыго К.Б. Взаимодействие колебаний неполярных кристаллов с электрическими полями. -Журн.эксп.теор.физ., 1957, т. 32, с.520-532.

10. Толпыго К.Б. Физические свойства решетки типа каменной соли, построенной из деформируемых ионов. -Журн.эксп.теор.физ.,1950, т.20, с.497-506.

11. Толпыго К.Б. Применение теории колебаний решеток с деформируемыми ионами к рассмотрению физических свойств бинарных кубических кристаллов. -Физ.тв.тела, 1959, т.1, Jfc I, с.211-221.

12. Седов Л.И. Математические методы построения новых сплошных сред. -Усп.мат.наук, 1965, т.20, $ 5,

13. Седов Л.И-. Модели сплошных сред с внутренними степенями свободы. -Приют.мат.мех., 1968, т.32, В 5, с.771-785.

14. Желнорович В.А.Модели математических сплошных сред, обладающих электромагнитными и механическими моментами. М.: Моск.ун-т,1980, -175с.

15. Желнорович В.А. Об электродинамике пьезоэлектрических сред. Докл. АН СССР, 1983, т.272, вып. I, с.73-77.

16. Krumhaosl- J.A. Some consideration of the relation between solid state physics and generalized continuum. riieca.rin.cs.— Iüech.general, cont. (Ed. E.Kroner).- Springer-Verlag, Berlin-Heidelb., 1968,4, p. 298-3,11.

17. Кунин И.А. Теория упругих сред с микроструктурой. -М.: Наука, 1975. -416с.

18. Кунин И.А. Модель упругой среды простой структуры с пространственной дисперсией. -Прикл.мат.мех., 1966, т.30, JS 3,с.542-550.jg# Ericksen J.L.,Truesdell С. Exact theory of stress and strain in rods and shells.- Arch.Rat.iilectuAnal., 1958, 1, p-41-68.

19. Iuindlin R.D., Tiersten E.E. Effects of coupl-stresses in Linear elastisity.-Arch.Rat .Iiech. Anal., 1962, V\, 5, p.415-448.

20. Ломакин B.A. Вестник Моск.ун-та, 1967, т.I, гё I, с.82-88.

21. Green A.E., Rivlin R.S. Simple force and stress multipoles»—Arch. Rat .Kech.Anal., 1964, 1b, p. 32-5-353.

22. Truesdell C., Toupin R.A. The classical field theories.-Handbuchder Physik, III/1. — Springer, Berlin, 1960. -236 p.

23. Cosserat E., Cosserat F.Theorie des Corps Deformables-rParis, 1909.

24. Voigt V/. Theoretische Studien über die Elastlcitatsveriialtnisse der Kristalle. -Abh. Ges. Wiss. Gottingen, 1887, 34.

25. Костерин Н.П. 0 дисперсии звуковых воля в неоднородной среде. Зап.С.-Пб.мин.о-ва, 1898.

26. Костерин Н.П. Распространение волн в неоднородной среде. I. Звуковые волны. Москва: Университ.типограф., 1903.

27. Борн М., Гепперт-Мейер М. Динамическая теория кристаллической' решетки. -Л.-М.: ОНТИ, 1938, -364с.3Je Baumgarte J., Krener E. -mechanics of Generaliezed Continuum, 1969, p.114-120.

28. Кувшинский E.B., Аэро Э.Л. Континуальная теория асимметрической упругости. Учет "внутреннего" вращения. -Физ.тв.тела,1963, т.5, & 9, с.2591-2598.

29. Пальмов В.А. Основные уравнения теории несимметричной упругости. -Прикл.мат.мех., 1964, т.28, & 3, с.401-408.

30. Languet—Iiiggins Н.С. The symmetry groups of non-rigid molecules.-blol.Phys., 1963, v,6fNo 3, p.445-460.

31. Janssen T. On the lattice dynamics of incommensurate crystal phases. J.Ehys.,1979, v„C12f p.5381-5392.

32. Шабанов В.Ф., Втюрин A.H., Ветров С.Я. Применение теории симметрии к изучению оптических свойств несоразмерных структур сегнетоэлектрических кристаллов. -Красноярск, 1979. -32с. Пре-' принт ИФСО ЮЗФ.

33. Киселев А.А., Лидере К. О группе симметрии нежесткого примесного центра. Вестн.Ленингр.ун-та, 1979, т.16, с.31-38.

34. Kaptsik V.A. New group theoretical methods in physics of imperfect crystals and the theory of structure phase transitions. J.Phys., 1983, v.C16, p.1-22.

35. Копцик B.A., Коцев И.Н. К теории и классификации групп цветной симметрии. W- симметрия. -Дубна. ОИЯФ, Р4-8068, 1974, с.1-18.

36. Лившиц И.М. -Журн.эксперим.и теор.физ., 1942, т.12, с.117-137.

37. Добротворский A.M., Эварестов Р.А. Вестн.Ленингр.ун-та,1972, }Ь 22, с.45.

38. Захаров В.К. Кристаллография, 1978, т.23, с.918.

39. Эварестов Р.А. Квантовомеханические методы в теории твердого тела. -Л.: Ленингр.ун-т, 1982. -280с.

40. Копцик Б.А., Эварестов Р.А. Теоретико-групповой анализ модели расширенной элементарной ячейки. Кристаллография, 1980, т.25, вып.1, с.5-13.

41. Смирнов Б.П., Эварестов Р.А. Применение факторизационных разложений пространственных групп в теории твердого тела. В кн.: Теоретико-групповые методы в физике, с.312-319. М.: Наука,1983, т.1, -423с.

42. Копцик В.А. Цветная симметрия и скейлинг в теории фазовых переходов и критических явлений. В кн.: Теоретико-групповые методы в физике, с.320-331.

43. Becquerel А.Е. La lumière, ses causes et ses effets. Paris, 1968.

44. Becquerel J. Sur les spectres d'absorbtion des quelques cristauxde terres rares et leur modifications dans un champs magnétiquei » »a la temperature de 1'hélium liquide.- Comptes rendus de l'Academiei.des science. -Paris, 1925,1.181., 21 .

45. Ландсберг Г.С., Мандельштам Л.И. -Журн.рад.физ.хим.общ., 1928, т.60,с.335;

46. Raman C.V., Iinshnan К. S. -Nature, 1928,121, 501.

47. Tamm I.E. Zs. f. Phys.,1930,60, p.345.

48. Обреимов И.В., Прихотыю А.Ф., Родникова И.В. Курн.эксп.теор. физ., 1948, т.18, Jê 5, с.409.

49. Обреимов И.В., Прихотько А.Ф. В кн.: Сборник, посвященный 70-летию акад.А.Ф.Иоффе. - М.: АН СССР, 1950.

50. Грибов Л.А. Теория интенсивностей в инфракрасных спектрах многоатомных молекул. -М.: Наука, 1963. -358с.

51. Mitra S., G-ielisse P. Infrared Spectra of Crystals.- Progress in ïnfrared Spectroscopy II, New York, 19b4.

52. Борн M., Вольф Э. Основы оптики. -M.: Наука, 1970. -855c.

53. Фабелинский И.Л. Молекулярное рассеяние света. -М.: Наука,1965.-346с.

54. Сущинский М.М., Спектры комбинационного рассеяния молекул и кристаллов. -М.: Наука, 1969. -384с.

55. Горелик B.C., Сущинский М.М. Комбинационное рассеяние света в кристаллах. Усп.ожз.наук, 1969, т.98, вып.2, с.237-294.59а. Жижин Г.Н., Маврин Б.Н., Шабанов В.Ф. Оптические колебательные спектры кристаллов. -М.: Наука, 1984. -232с.

56. Light Scattering near phase Transitions. Eel. by H.Z.Cummins and A.P.Levanyuk. North-Holland.1983.

57. Muller C.H., Timpe A. Die Grimdgleichungen der mathematichen Elastisitatstheorie.—Enzykl. der math. Y/issensch., 4 bd., Mecanick, 4 leilband, c, 3, art.23, p. 38.

58. Thomson W. -Edinberg Proc. Roy. Soc., 1890, 16.» p.693.

59. Laval J. -J. Phys. Had., 1958, 19., p. 247-288.

60. Lekorre 1, -Bull. Soc. franc. Miner. Crist., 1955,78, р.ЗЗ-48.

61. Raman с.V., Viswanatan K.S. -Proc. Ind. Acad. Sci. 1955, 42, 2, 3-17.

62. Bhagavantam S. -Proc. Ind. Acad. Sci., 1941, 13A, p.543. Krishnan R.S., Chandrasekharan etc. -Proc. Wat. Inst.Sci.Ind.,1960,26, p.3-21.

63. Toupin R.A. The elastic dielectric. -J, Rat. Kech. Anal., 1955, 5., p. 849-914.

64. Grioli G. -Ann. di Mat. pura ed appi., 1960, Ser.IV, pO, p.389-417.

65. Аэро ЭЛ., Кувшинский E.B. Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц. -Физ.тв.тела,I960, т.2, вып.7, с.1399-1409.

66. Марадудин А., Монтролл Э., Вейсс Да. Динамическая теория кристаллических решеток в гармоническом приближении. -М.: Мир, 1965. -384с.

67. Косевич A.M. Основы механики кристаллической решетки. -М.: Hayка, 1972. -367с.

68. Leibfried G. -Handbuch, der Physik, (ed.Flügge S.), 1955,v.7., 1-104.

69. Leibfried G-,, Hahn H. -Zs.f.Phys., 1958,150, P»497.

70. Лейбфрид Г., Людвиг В. Теория ангармонических эффектов в кристаллах. -М.: ИЛ, 1963. -232с.

71. Лейбфрид Г. Мшфоскопичеекая теория механических и тепловых свойств кристаллов. М.: йтаматгиз, 1963. -324с.

72. Lax Ш. The relation between microscopic and macroscopic theories of elasticity. -Lattice Dynamics. ( Proc. Copengagen Conf.), 1965, p.583-596.

73. Rajagopai E.S. The role of initial stresses, the rotation invariance conditions, the existence of interfacial couples in lattice dynamics. -Annalen der Physik, 1960, 6, No. 3-4,p.177-201.

74. Оскотский B.C., Эфрос А.Л. К теории кристаллических решеток с нецентральным межатомным взаимодействием. -Шиз.тв.тела, 1961, т.З, lb 2, с.611-624.

75. QO.Sergeev Ы. V., Pokrovsky L.A. Transport phenomena in dielectric crystals. -Physica, 1973, 70, p.83-99.l.Krener E. Eiastisity theory of matheriais with long range cohesive forces- -Int. J. Solids Struct., 1967, 3, p.731-742.

76. Лифшиц И.М., Гредскул С.А., Пастур Л.А. Введение в теорию неупорядоченных систем. -1.1.: Наука, 1982. -358с.

77. Asano S., Tomishima Y. -J. Phys. Soc. Japan, 1957,12, p.890-900.

78. Broth C. Ondes de librations un modole de cristal moleculaire. -Lattice Dynamics, Proc. Copengagen. Conf., 1965, p. 217-272.

79. Hanh H. , Biern V/. -Phys. Stat. Sol. ,1963,3,No.10,p. 1911-1926.

80. Парлинский К. Динамика торсионных колебаний молекулярных групп в 1фисталлической решетке. Объед.ин-т ядерн.исслед., Дубна, Лаб.нейтронн.физ., P3-3060, 1967. -с.1-38.

81. Pawl ay G.3., Cochran V/., Cowley R.A., Dolling G., Phys. Rev. letters, 1966, 17., p 753.

82. Cochran W., Pawley G.S. The theory of diffuse scattering of X-raysby a molecular crystal. -Proc. Roy. Soc.,1964,280A,1, p.8b.

83. Вир Г.Л., Пикус Г.Е. Симметрия и деформационные эффекты в полупроводниках. -М.: Наука, 1972. -584с.

84. Green А.Е.,Rivlin R.S. Multipolar mechanics. -Proc. Roy. Soc.,1965, 284A, p.1398-1413.

85. Toupin R.A, Theories of elasticity with coupl-stress. -Arch. Rat.fiiech. Anal., 1964, 17., No.2, p.85-112.

86. Krener E. -Mechanics of Generalized Continuum, 1968, p.346-362.

87. Седов Л.И. Механика сплошной среды, т.1. -М.: Наука,1970.-492с.

88. Кунин И.А. Внутренние напряжения в анизотропной упругой среде. -Прикл.мат.мех., 1964, т.28, J5 4, с.612-621.

89. Krumhansl J.А. Lattice Dynamics. Copengagen Conf., 1965, p. 627-t>34.

90. Mindlin R.D. Theories of elastic continua and crystal lattice theories. -Mechanics of Generalised Continuum,196o, p.312-320.

91. Короткина M.P. 0 моментных напряжениях. I. Модель простой структуры. -Beстн.Моск.ун-та, мат.-мех.,1968, В 6, с.88-95.

92. Короткина 1»1,Р. 0 моментных напряжениях. П. Модель сложной структуры. -Beстн.Моск.ун-та, мат.-мех., 1968, Jia 6, с.53-61.

93. Короткина М.Р. Замечание о моментных напряжениях в дискретных средах. -Beстн.Моск.ун-та, мат.-мех., 1969, J£ 5, с.103-109.

94. Кунин И.А. Модель упругой среды простой структуры с пространственной дисперсией. -Прикл.мат.мех., 1966, т.30, В 3, с.542-550.

95. Кунин И.А. Теория упругости с пространственной дисперсией. Одномерная сложная структура. -Прикл.мат.мех. ,1966, т.30, & 5, с.866-874.

96. Вдовин В.Е., Кунин И.А. Теория упругости с пространственнойдисперсией. Трехмерная сложная структура. -Прикл.мат.мех., 1966, т.30, 1 £ 6, с.1071-1080.

97. Rivlin R.S. -mechanics of generalized continuum, 1968, p. 1 — 17»

98. Эшелби Дж. Континуальная теория дислокаций. -М.: ИЛ. 1963. -247с.

99. Krener Е. Kontinuumstlieorie cler Versetzungen unci Eigenspannungen. Ergebn. angew. Iilath. — Berl. — Gotting. - Iieidelb.,1958, 5, p.756.

100. Huang C.L., Smith. G.F. -Recent Adv. Engen. Scien.,19o7,4,p.459-485.

101. Huang C.L., Smith G.P. Z. Angew. math. Phys., 1967, 18, 6, p.905-908.1.g#Huang G.L. -Int. J. Engag. Sci., 1969,7, p.1221-1229.

102. Shaefer H. -Mechanics of Generalized Continuum, 1968, p.57-62.

103. Toupin R.A. Arch. Rat. Mech. Anal., 1962, 11, 5, p.385.

104. Koiter W.T. Couple-stresses in the theoi^y of elasticity. -Konnkl. nederl. Akad. wetensch. Proc., 1964, B67, 1, p. 16.

105. Green A.E. Micr.o-materiais and Multipolar continuum mechanics. -Int. J. Engng. Sci., 19b5, 3, 5, p.533-537.

106. Eringen A.G., Suhubi E.S. Nonlinear theory of simple microeiasticsolids.I. -Int. J. Engng. Sci., 1964, 2, p.189-203. JJ4, Eringen A.G.,Suhubi E.S. Nonlinear theory of simple microeiastic solids.II. -Int. J. Engag. Sci., 1964, 2, p.389-404.

107. Eringen A. G. mechanics of micromorphic continua. -blechanics of Generalized Continuum, 1968, p.18-36.

108. Аэро Э.Л., Кувшинский B.E. Континуальная теория асимметрической упругости. Равновесие изотропного тела. -Физ.тв.тела,1964, т.6, JS 9, с.2689-2699.

109. Weselowski Z. -Arch. Mech. Stosow., 19o5, 17, N0.2, p.219-232.

110. Gutkowski W. Mechanics of an elastic continuum with a discrete lattice structure.-Arch.Mech. St о sow., 1970,22,No.4,p.357-363»119.biindlin R.D. -J. Sol. Struct., 1965, 1, p.73-78.I

111. Misicu Iii. -Rev» Rom. Sci. Techn., Ser. Mec.Appl., 1964, % N.o.o, p. 1351-1 359.

112. Misicu In. Arch. Iuech. Stosow. , 1965, 2, No.17, p. 183-195

113. Baumgarte J., Krener E. — Mechanics of Generalized Continuum, 19o9, p.114-120.123 •Baumgarte J., — Z. Angew. math, phys., 1971, 51, N0.3, p.193-200.

114. Baumgarte J. Acta Mech., 1971, 11, p. 261-269.

115. Baumgarte J. Generalisierte Köntinua mit Mikrostructur in 3n Dimensionen. Abh. Braunsheweig. Wiss. Ges. (1970), 1972, 22,p.03-104.

116. Порфирьева H.H. -Журн.эксп.теор.физ., 1949, т.19,с.692-698; 1952, т.22, с.590-597.

117. Порфирьева H.H. -Журн.эксп.теор.физ., 1957, т.ЗЗ, с.47-56.

118. Копцик Б.А. -В кн.: Теоретико-групповые методы в физике. -М.: Наука, 1980, т.1, с.368-380, -384с.

119. Шубников A.B., Копцик В.А.Симметрия в науке и искусстве. -М.: Наука, 1972. -340с.

120. Лохин В.В., Седов Л.И. Нелинейные тензорные функции от нескольких тензорных аргументов. -Прикл.мат.мех., 1963, т.27, й 3, с.393-417.

121. Седов Л.И., Лохин В.В. Описание с помощью тензоров точечных групп симметрии. -Докл.АН СССР, 1963, т.149, 4, с.796-797.

122. Копцик В.А. Принципы симметризации диссимметризации Шубнико-ва-Кюри для составных физических систем. В кн.: Проблемы современной кристаллографии. -М.: Наука, 1975, с.42-60.

123. Копцик В.А. -В кн.: Теоретико-групповые методы в физике, с. 368-380. -М.: Наука, 1980, т.1, -423с.

124. Бирман Дж. Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел, т.1. -М.: Мир, 1978. -354с.

125. Изюмов Ю.А., Наш В.Е., Озеров Р.П. Нейтронография магнетиков. -М.: Атомиздат, 1981. -312с.

126. Мень Б.А. Теоретико-групповой метод определения числа сверхструктур в сплавах данного состава. -Изв.высш.учеб.заведений. Сер.физика, tè I, 1983, изд.Томского ун-та, I £ $Jf 002I-34II, с.50-55.

127. Бокий Г.Б. Кристаллохимия. -М.: Моск.ун-т, i960. -400с.

128. International Tables for X-ray Crystallography, 2-cL ecU-j-Syminetry groups,1965,vol.1. -Physlcal and Chemical tables,1968,vol.3.

129. V/yckoff R. V/. Crystal Structures. -Interscience, N.-Y., 1948, vol.1.

130. Курош А.Г. Теория групп. -M.: Наука, 1967. -648c.

131. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. -М.¡Наука, 1972. -283с.

132. Копцик В.А., Коцев И.Н. К теории и классификации групп цветной симметрии. Р-симметрия. -Дубна, ОИЯФ, Р4-8067, 1974,с. 1-22.

133. Копцик В.А., Талис А.Л. Пространственные группы. Фазовые переходы. -В кн.: Теоретико-групповые методы в физике, М.: Наука, т.1, с.288-311, 1983. -424с.

134. Jalon. H.А. Acta Crystallogr., 1949, 2, 33,p.126.

135. Спенсер Э. Теория инвариантов. -М.: Мир, 1974, -368с.

136. Схоутен Я.А. Тензорный анализ для физиков. -М.:Наука, 1965. -456с.

137. Копцик Б.А. Шубниковские группы. -М.: Моск.ун-т, 1966,-726с.

138. Сиротин Ю.И. Анизотропные тензоры. -Докл.АН СССР, i960,т.133, В 2, с.321-324.

139. Сиротин Ю.И. Групповые тензорные пространства. -Кристаллография, I960, т.5, J5 2, с.171-179.

140. Сиротин Ю.И. Построение тензоров заданной симметрии. Кристаллография, 1961, т. , № 3, с.331-340,

141. Сиротин Ю.И, Целые рациональные базисы тензорных инвариантов кристаллографических групп, -Докл. АН СССР, 1963, т.51.

142. Landolt BÖmstein. -Berl. -Gott. -Heidelb., Springerverlag, 1966, 1 band: Atom- Lind iuolecularphysik, 4 teil: Kristalle. -1007 p.

143. Китайгородский А.И. Молекулярные кристаллы. -М,: Наука,1971. -326с.154. sizuky Iii., It о lu. Spectrochim. acta, 1968, A14, p.1091-1098.

144. Пуле А., Матье Ж.-П. Колебательные спектры и симметрия кристаллов. -М.: Мир, 1973. -434с.

145. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. -М.: Наука, 1967.-376с.

146. Любарский Г.Я. Теория групп и ее применение в физике. -М.: Физматгиз, 1958. -354с.

147. Штрайтвольф Г. Теория групп в физике твердого тела. М.: Мир, 1971. -264с.

148. Горелик B.C., Умаров B.C. Введение в спектроскопию комбинационного рассеяния света в кристаллах. -Душанбе: Дониш, 1982. -287с.

149. Горелик B.C. Кристаллография, 1968, т.13, с.696; 1969, т.14, с.132.

150. Изюмов Ю.А., Черноплеков H.A. Нейтронная спектроскопия. -М,: Наука, 1983. -246с.

151. Илюшина Е.А. Одна из моделей сплошной среды с учетом микроструктуры. -Прикл.мат.мех., 1969, т.33, 2, с.917-923.

152. Schouten J.А. Ricci Calculus. -Springer-Verlag, Berl. -Gott.-Heideib., 1954.

153. Bilz H., Geick R., Renk K.P. — in: Lattice Dynamics, p.355, ed. R.F.Wallis. N.Y.: Pergamon Press, 1965, -730 p.

154. Lax Ы. -In: Lattice Dynamics, p.179, ed. R.F.Wallis. N.Y.: Pergamon Press, 1965. -730 p.

155. Cochran W. Vibrations in crystal lattice. -In: Report on Progress in Physics, 1963, v.2b, p.1.

156. Mus grave M.J.iü., Pople J.A. Stability of crystals with diamond structure. —Poe. Roy. Soc., London, 1962, V.A266, p.474.

157. Полинг Л. Общая химия. -М.: Мир, 1975. -845.

158. Кольрауш К. Спектры комбинационного рассеяния. -М.: ИД, 1952. -467с.

159. Huntington Ii.В. -In: Solid State physics. N.Y., 1958,v.7, p.525.

160. Bhagavantam S. -Ind. Journ. Phys., 1930, v.5, p.573.173. warren J.L., Yarn ell J.L., Doling G., Woods A.D.B. -Physical Review, 1967, v.158, p.o05.

161. Solin S.A., Ramdas A.K. —Physical Review, 1970, v.B1, p.1687.

162. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. -М.:Наука,1978. -792с.

163. Векилов Ю.Х. Динамика полупроводниковых кристаллов. Докт.дисс.-М., 1977, Ин-т кристаллографии АН СССР,-с.259.

164. Herman F. Journ. phys. Chem. Solids, 1959, v.8, p.405.

165. Толпыго К.Б. Оптические, упругие и пьезоэлектрические свойства ионных и валентных кристаллов типа Zu S . Шиз,тв.тела, I960, т.2, вып. 10, с.2655-2665,

166. Воронкова Е.М., Гречушников Б.Н., Дистлер Г.И., Петров И.П. Оптические материалы для инфракрасной технологии. -М.:Наука,1965. -4I2c.

167. Pauling L. The nature of ch.em.ical band. —Cornell University Press, 1960.

168. Ощерин Б.Н. К воцросу природы электроотрицательности в твердых веществах. В кн.: Химическая связь в полупроводниках и термодинамика. Ред. Сирота H.H. -Минск: Наука и техн., 1966, с.50-58.

169. Parodi Iii. -Ebenda, 1937, 205, p.1224-1238.

170. Датт Й.Е., Раннев Н.В., Озеров Р.П. -Кристаллография, 1968, т.13, с.261-270.

171. Комаров В.Э., Озеров Р.П., Соловьев С.П. Исследование динамики молекул воды в гидратах при помощи неупрутого рассеяния нейтронов. -Польша, Варшава, Информ.центр по ядерн.энергии, 1968,Report JS 60I/PS, с. 1-24.

172. Накамото К. Инфракрасные спектры неорганических и координационных соединений. -М.: Мир, 1966. -412с.186. ïuelvin Iii.il. -Rev/, iilod. Phys. , 195ь, 28, 1.

173. Petersen В., Holkomb B. -J. Chem. Phys.,19b2, 3d, p.3270-3281.

174. Баличева Г.Г., Лавров Б.Б. О состоянии воды в некоторых кристаллогидратах солей лития. В кн. : Колебательные спектры неорганической химии. -М.: Наука,1971, с.199-201.

175. Озеров Р.П. Докт.дисс., -M., 1969.

176. Беллман Р. Введение в теорию матриц. -М.:Наука,1969. -369с.

177. Багавантам С., Венкартарайуду Т. Теория групп и ее применение к физическим проблемам. -М.:ИЛ, 1959. -301с.

178. Parlinsky К. -Acta phys. Polon., 1969, v. 35, p.219.

179. Prask H.J., Boutin. H. -J. Chem Phys., 1966, 45, 699, p.3284.

180. Александров H.M., Петржак E. -Журн.структ.химии, 1965, т.6, с.527-536.

181. Mathieu L.C., Mathieu J.P. -Acta (jrystallogr., 1952,5,p.571-579