Теоретико-групповой подход к конформной механике с расширенной суперсимметрией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Половников, Кирилл Викторович

• Половников, Кирилл Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Половников, Кирилл Викторович

Введение

1 Преобразование подобия в конформной квантовой механике

1 Конформная квантовая механика.

2 Унитарные автоморфизмы конформной алгебры.

3 Конформная механика в гармонической ловушке.

2 .ЛЛ=4 суперконформная механика

1 Отображение tV=4 суперконформной механики в систему свободных частиц.

2 Структурные уравнения

3 Решение структурных уравнений.

4 Л/*=4 суперконформные модели.

4.1 Трехчастичная J\f=4 суперконформная модель Калоджеро

4.2 Решения с U = 0: неприводимые корневые системы.

4.3 Решения с U — 0: приводимые корневые системы.

4.4 Решение с U ф 0: трехчастичные системы с £/ьОт=0.

4.5 Трехчастичные решения с U^om

4.6 Лагранжева формулировка вне массовой оболочки.

3 Суполевая формулировка Af—4 суперконформной механики

1 Л/"=4 механика в суперполях.

2 М=4 суперконформная симметрия.

3 Инерциальные координаты.

4 Примеры точных решений.

4.1 Двумерные неприводимые системы.

4.2 Вложение двумерных неприводимых решений в трехмерное пространство

4.3 Трехмерные неприводимые системы

4.4 Вложение трехмерных неприводимых решений в четырехмерное пространство.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоретико-групповой подход к конформной механике с расширенной суперсимметрией»

Поиск единой, всеобъемлющей и непротиворечивой теории всех фундаментальных взаимодействий, объединение их на основе единого общего принципа занимает одно из центральных мест в современной теоретической физике. Многочисленные результаты, полученные в физике высоких энергий, свидетельствуют о том, что все известные явления природы обусловены взаимодействием элементарных частиц. Всего известно четыре различных типа таких взаимодействий: электромагнитное, гравитационное, сильное и слабое. Поэтому данные взаимодействия называются фундаментальными. С момента открытия всех четырех фундаментальных взаимодействий физиками было предпринято множество попыток объединить их в рамках одной теории единого фундаментального взаимодействия, которое расщепляется при наблюдаемых нами низких энергиях на четыре известные типа. На этом пути был е* о* достигнут значительный прогресс. Были построены теория электро-слабого взаимодействия, квантовая хромодинамика, а также их обобщения - модели великого объединения [1],[2], в основе которых лежит перенормируемая теория поля [3]-[6].

Однако объединить гравитацию с остальными фундаментальными взаимодействиями на основе аналогичных принципов до сих пор так и не удалось. Это связано с неперенормируемостыо квантовой теории гравитации.

Новые возможности на пути объединения всех фундаментальных взаимодействий появились после открытия суперсимметрии [7]-[9] (см. также монографии [10]-[16]).

На основе общих соображений было показано, что симметрии специальной теории относительности, формулирующиеся в терминах группы Пуанкаре, естественным образом расширяются до суперсимметрии [17]. Это достигается расширением алгебры Ли группы Пуанкаре новыми генераторами - так называемыми суперзарядами (Qai и Qai), подчиняющимися антикоммутационным соотношениям и имеющих ненулевые коммутаторы с генераторами группы Пуанкаре. Здесь i = 1, 2,. ,J\f и а = 1, 2, а = 1,2. Эти генераторы переводят бозонные поля в фермионные и наоборот. Поэтому суперсимметрия представляет собой симметрию, объединяющую бозоны и ферми-оны и, таким образом, может лежать в основе единой теории фундаментальных взаимодействий. В случае М— 1 суперсимметрия называется простой, а при Л/*> 1 - расширенной. Согласно теореме Хаага-Лопутпанского-Сониуса [18], Л/"-расширенная суперсимметрия является единственно возможным обощением группы Пуанкаре, совместным с принципами квантовой теории. Поэтому такая симметрия получила в своем названии приставку "супер". "с

Было установлено, что суперсимметричные теории поля обладают более мягким ультрафиолетовым поведением [19],[20]. В частности, наиболее изученная суперполевая теория - М—4 суперсимметричная теория Янга-Миллса, помимо того, что явля

I ) ' 1, ется максимально суперсимметричной, еще обладает конформной инвариантностью и ультрафиолетово конечна [21]-[23]. Расходимости от бозонных полей в эффективном действии полностью сокращаются с расходящимися вкладами от фермионных полей. Следующим шагом в развитии суперсимметрии стала теория супергравитации, построенная в работах [24],[25] (см. также обзоры [26]-[28]). ,

I I

Для решения задачи реализации алгебры суперсимметрии в виде координатных преобразований Салам и Стретди [29], [30] ввели понятие суперпространства, которое параметризуется, помимо обычных пространственно-временных координат пространства Минковского, дополнительными антикоммутирующими координатами в и в, принадлежащими алгебре Грассмана [10],[12],[13]. Кроме того, было введено понятие суперполя как функции на таком суперпространстве [12], [13], [29], |30], [31]. Такая функция содержит в себе бозонные и фермионные компонентные поля, которые переходят друг в друга при преобразовании суперснмметрии. Таким образом, при помощи суперполя оказывается возможным описать сразу несколько элементарных частиц различных спинов. Существует два эквивалениных способа описания суперсимметричных теорий. Первая из них — компонентная, в терминах достаточно большого количества бозонных и фермионных компонентных полей. В данном случае суперсимметрия реализуется неявным образом и требует, чтобы лагранжиан взаимодействия имел специальную структуру. Вторая возможная формулировка суперсимметричных теорий - суперполевая, на основе одной функции (суперполя), объединяющей в себе все компонентные поля. Данная формулировка существенно i | » ' <

I I упрощает задачу вычислений в квантовых суперсимметричных теориях ввиду ее j р? компактности, поскольку оперирует непосредственно с мультиплетами полей в явно ковариантной форме. Чтобы получить из суперполевой формулировки компонентную, достаточно проинтегрировать суперфункционал действия по антикоммутирующим переменным. Алгебра и анализ с антикоммутирующими переменными подробно

• Прописаны в монографиях [12], [32], [33], [34].

Современные представления о возможных физических проявлениях суперсимметрии во взаимодействии элементарных частиц связаны с проблемой нарушения суперсимметрии [35], [36]. Однако все еще открыт вопрос о перенормировке моделей со спонтанно нарушенной суперсимметрией. Некоторый прогресс в этом направлении был достигнут в работах [37]-[40].

В настоящее время предполагается, что суперсимметричные теории являются низкоэнергетическими приближениями более фундаментальной теории - теории суперструн и М-теории [41]-[46], которая рассматривается как наиболее'вероятный кандидат на роль единой теории всех фундаментальных взаимодействий [41],[47] (см. также обзоры [48]-[53]). Современная теория суперструн содержит в себе большинство важнейших фундаментальных принципов и идей квантовой- теории поля: калибровочную инвариантность, квантовую гравитацию, многомерность пространства-времени, сокращение аномалий. Основное предположение теории суперструн заключается в том, что базовыми составляющими материи, фундаментальными объектами Природы являются не точечные частицы, а протяженные объекты - струны, имеющие размеры порядка длины Планка Ipi ~ 1,6 • Ю-33 см. Элементарные частицы же предствляются как особые вибрации такой струны. Было показано [41], что самосогласованная непротиворечивая теория суперструн (или М-теория) может существовать только в десяти- (или одиннадцати-)мерном пространстве-времени. Тогда естественно ожидать, что суперполевые теории являются некоторыми компактифи-кациями теории суперструп.

В современной теоретической и математической физике пристальное внимание уделяется исследованию суперсимметричных расширений точно решаемых и интегрируемых систем, имеющих широкое применение, в том числе и в теории суперструн. Наиболее важным примером такой системы является модель Калоджеро. Она представляет собой квантово-механическую систему тождественных частиц на вещественной прямой с парным взаимодействием и описывается гамильтонианом

2> ^ ^ + -Е - Ч « г=1 К] К] 4 J'

Первоначально модель была предложена как точно решаемая квантово-механическая задача. В частности, в работах [54], [55], [56] были точно найдены полный энергетический спектр и соответствующие собственные волновые функции (см. также [57]). , , , ^ I . 1 ' " ' 1 ' " , [ | ! -.1 1/ ■ I . , .

6 ^

На классическом уровне модель Калоджеро является интегрируемой системой [58]. Это означает, что существуют координаты типа "действие-угол" 1к{х^р), (рк(х,р) (где к=1.п), определенные глобально на всем фазовом пространстве системы, временная зависимость которых определяется простой системой уравнений

Ik(t) = const, ipk(t) = ip°k + Lukt. (2)

Причем, согласно теореме Лиувиля [59], величины 1к(х,р) функционально независимы и находятся в инволюции г -г Г 9h дЬ дК дЬ ") , , к,1 = 1.п. (з)

Для нахождения явного вида сохраняющихся величин 1к(х,р) используется метод изоспектральной деформации, предложенный Лаксом в работе [60] (см. также [61]). Оказывается, что 1\ - полный импульс системы. /2 - полная энергия, а остальные величины являются полиномами более высокой степени по импульсам, содержащие также двухчастичный потенциал взаимодействия (более подробно см. [58]).

Интегрируемость квантовой модели Калоджеро показана в работе [62], в которой были исследованы спектр задачи, собственные волновые функции, квантовые интегралы движения, а также показана связь рассматриваемой модели с полупростыми алгебрами Ли. В частности, для любой полупростой алгебры Ли существует ассоциированная с ней система типа Калоджеро.

В современной математической физике также хорошо известно множество обобщений модели Калоджеро. Например, можно рассмотреть периодическое обобщение данного потенциала. Для этого необходимо поместить систему в конечную периодическую коробку (с размерами, нормированными на 2-п). Тогда частицы будут взаимодействовать с бесконечным числом своих копий и потенциал двухчастичного взаимодеиствия примет вид оо

V{x) = У 7-— =-^-5- . (4) w (ж + 2тгг)2 (2 sin |)

Системы такого типа были впервые изучены Сазерлендом в работах [63, 64, 65], а в последствии Олыпанецким и Переломовым в работах [58, 62].

Интерес к модели Калоджеро вызван изучением широкого класса--физических задач, в которых рассматриваемый потенциал возникает порой неожиданным образом. Например, задание определенных граничных условий при изучении процессов рассеяния тождественных частиц в одном измерении приводит к необходимости введения в рассмотрение дробной статистики с двухчастичным потенциалом .взаимодействия вида вблизи точки столкновения (см. работу [66]). Значения I — 0 и / = 1 определяют Ферми и Бозе статистики, соответственно. Остальные значения параметра I соответствуют так называемой дробной статистике [67].

При рассмотрении движения электронов в двумерной кристаллической решетке в ах сильном магнитном поле (квантовый эффект Холла [68],[69]) оказывается, что в одномерном представлении волновые функции такой системы могут быть переписаны как однопараметрические деформации основного состояния модели Калоджеро [69], где параметром деформации является значение магнитного поля. Квантовые состояния такой системы с различными геометриями конфигурационного пространства воспроизводят квантовые состояния различных вариаций модели Калоджеро. Взаимосвязь модели Калоджеро с квантовым эффектом Холла детально обсуждалась в работе [70].

Различные вариации модели Калоджеро оказываются также удобными для описания спиновых цепочек [71]. В частности, в работе Полихронакоса [72] была построена интегрирумая модель спиновых цепочек с потенциалом обменного взаимодействия типа Калоджеро, а также найден полный набор инвариантов такой.модели.

Как было впервые отмечено в работе [56], собственные функции и степень вырождения каждого энергетического уровня n-частичной модели Калоджеро (1) полностью идентичны, с точностью до постоянного сдвига, спектру п свободных осцилляторов. Дальнейшие исследования [73, 74] показали, что существует явное, но неунитарное преобразование, связывающее гамильтониан Калоджеро с гамильтонианом системы свободных осцилляторов. Эго делает возможным изучение различных аспектов модели Калоджеро, таких как интегрируемость, построение стационарных состояний, изучение алгебры симметрий, с принципиально новой точки зрения.

Когда же гармонический потенциал "выключен", то есть система описывается гамильтонианом то естественно ожидать, что такая система будет идентична системе невзаимодействующих частиц. На это указывают непрерывный спектр гамильтониана (5) и исследования процессов рассепия в такой системе [66], показавшие, что не только асимптотические импульсы частиц до и после рассеяния, но и параметры рассеяния совпадают с точностью до перестановки частиц. То есть не происходит временнбй задержки частиц в области рассеяния. На квантовом уровне это означает, что асимптотическая волновая функция системы до рассеяния отличается от асимптотической волновой функции после рассеяния только на фазовый множитель, причем сдвиг фазы рассеяния не зависит от импульса (поскольку время задержки есть производная от сдвига фазы по импулсу) [75]. Иными словами рассеяние в системе (5) выглядит также, как и рассеяние в системе п свободных частиц. Унитарное преобразование, переводящее конформный гамильтониан Калоджеро в гамильтониан системы невзаимодействующих частиц, было построено в работе [76]. Однако, авторами не была рассмотрена полная конформная группа симметрий. Заметим также, что преобразовние, постро енное в работе [76], не может быть получено в пределе и —> 0 из преобразования, найденного в работах [73, 74], что указывает на различие приведенных подходов.

В настоящее время пристальное внимание уделяется исследованию конформно инвариантных систем, и в частности модели Калоджеро, описываемой гамильтонианом (5). Это обусловлено изучением различных аспектов AdS/CFT дуальности [78]. Представляет значительный интерес установление взаимосвязи одномерной конформной модели Калоджеро с топологическими теориями поля в двумерном пространстве аити де Ситтера, поскольку содержательные примеры AdS2/С FT\ соответствия практически не известны.

Кроме того, было высказано предположение [83] (см. также [80, 81|), что поскольку геометрия анти де Ситтера описывает область пространства-времени вблизи гори

I I зонта событий ряда экстремальных черных дыр, то изучение конформной механики может дать некоторую информацию о квантовых свойствах черных дыр. В связи с этим отметим гипотезу Гиббонса и Таунсенда [82, 83], согласно которой Af = 4 суперконформное расширение одномерной модели Калоджеро в пределе большого

I 1 • числа частиц может дать микроскопическое описание экстремальной черной дыт frv ры Райсснера-Нордстрема вблизи горизонта событий, что соответствует геометрии пространства-времени AdS2 х S2. Построение N = 4 суперконформного расширения модели Калоджеро и других одномерных конформных квантовых механик представляет собой открытую проблему, которая детально обсуждалась в работах [84]-[91].

В работах [58, 62] была показана интегрируемость классических и квантовых моделей типа Калоджеро. Авторами была установлена связь рассматриваемых моделей с полупростыми алгебрами Ли. В частности, для любой полупростой алгебры

Ли существует ассоциированная с ней система типа Калоджеро. Поэтому естествен О но ожидать, что суперсимметричные расширения интегрируемых многочастичных квантово-механических моделей также будут связаны с алгебрами Ли. Таким образом, появляется возможность построения нового класса интегрируемых суперсимметричных систем. Данная диссертационная работа посвящена разработке систематического метода построения J\f = 4 суперконформных одномерных квантово-механических систем на основе теоретико-группового подхода. Диссертация состоит из Введения, трех Глав, Заключения и Списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Половников, Кирилл Викторович

Заключение

В заключение перечислим основные результаты, полученные в данной диссертационной работе.

1. Предложен новый метод построения N — 4 суперконформных квантово-меха-нических систем, основанный на нелокальной реализации супералгебры sit(l, 1|2).

2. Построен новый класс одномерных N = 4 суперконформных квантово-механи-ческих систем многих частиц. Установлена геометрическая структура, лежащая в основе N = 4 суперконформной механики, и ее связь с простыми алгебрами Ли. Предложен метод классификации суперконформных систем на основе их геометрической и алгебраической структуры.

3. Найден новый класс решений уравнения Виттена-Дайкграафа-Верлинде-Вер-линде, ассоциированных с приводимыми системами корневых векторов и включающих радиальные слагаемые.

4. Построено N = 4 суперконформное расширение трехчастичной модели Калод-жеро. U

5. Построена универсальная суперполевая формулировка для М=4 суперконформной механики многих частиц в одномерном пространстве.

Результаты диссертации опубликованы в работах [121]-[125].

В заключение хочется выразить благодарность моему научному руководителю — доктору физико-математических наук, заведующему Лабораторией математической физики Томского политехнического университета А.В. Галажинскому за руководство работой, многочисленные обсуждения и всестороннюю помощь.

Я также признателен профессору О. Лехтенфельду и профессору С.О. Кривоносу за интересное сотрудничество и стимулирующие обсуждения различных аспектов данной работы. т

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Половников, Кирилл Викторович, 2009 год

1. Окунь А.Б. Физика элементарных частиц. - Москва: Наука, 1984. - 224 с.

2. Клейн Г. Современная физика элементарных частиц. Москва: Мир, 1990. -358 с.

3. Ициксон Н., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля. Москва: Мир, 1984. Т. 1, - 448 е., т. 2, - 400 с.

4. Райдер JI. Квантовая теория поля. Москва: Мир, 1987. - 512 с.

5. Коллинз Дж. Перенормировка. Москва: Мир, 1988. - 446 с.

6. Пескин М., Шредер Д. Введение в квантовую теорию поля. Москва: РХД, 2001. - 783 с.

7. Гольфанд Ю.А., Лихтман Е.П. Расширение алгебры генераторов группы Пуанкаре и нарушение Р-инвариантности // Письма в ЖЭТФ 1971. - Т. 13, вып. 8. - с. 452-455

8. Волков Д.В., Акулов В.П. О возможном фундаментальном взаимодействии нейтрино // Письма в ЖЭТФ 1972. - Т. 16, вып. 11. - с. 621-624

9. Wess J., Zumino В. Supergauge transformations in four dimensions // Nucl. Phys. В 1974. - Vol. 49, N 1. - p. 52-65

10. Весе Ю., Беггер Дж. Суперсимметрия и супергравитация. Москва: Мир, 1986. - 180 с.

11. Вест В. Введение в суперсимметрию и супергравитацию. Москва: Мир, 1983. - 328 с.

12. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M. Ideas and Methods of Supersymmetry and Supergravity or a Walk Through Superspace. IOP Publishing, Bristol and Philadelphia, 1999. - 656 p.чГ

13. Gates S.J., Grisaru M.T., Rocek M., Siegel W. Superspace or One Thousand and One Lessons in Supersymmetry. Benjamin Cummings, Reading, M. A., 1983. -548 p.

14. Mohapatra R.N. Unification and Supersymmetry. Springer, 1996. - 405 p.

15. Galperin A.S., Ivanov E.A., Ogievetsky V., Sokatchev E. Harmonic Superspace.- Cambridge University Press, 2001. 303 p.

16. Dress M., Godbole R., Roy P. Theory and Phenomenology of Superparticles. -World Scientific, 2004. 555 p.

17. Coleman S., Mandula J. All possible symmetries of the S-matrix // Phys. Rev. D.- 1967. Vol. 59, N 5. - p. 1251-1256-.iv 1 ' j," I' • 1 >■;■", < \ , {• i > \ i

18. Haag R., Lopuszanski J.Т., Sohnius M. All possible generators of supersymmetries of the S-matrix // Nucl. Phys. B. 1975. - Vol. 88, N 2. - p. 257-274

19. Grisaru M.T., Siegel W. Supergravity II. Manifestly covariant rules and higher order finiteness // Nucl. Phys. B. 1982. - Vol. 201, N 2. - p. 293-314

20. Howe P.S., Stelle K.S., West P.S. A class of finite four-dimensional supersymmetric field theories // Phys. Lett. B. 1983. - Vol. 144, N 1. - p. 55-58

21. Brink L., Lindgren O., Nilsson B. The ultraviolet finiteness of the N = A Yang-Mills theory // Phys. Lett. B. 1983. - Vol. 123, N 4. - p. 323-328

22. Mandelstam S. Light-cone superspace and ultraviolet finiteness of the N — 4 Yang-Mills theory // Phys. Lett. B. 1983. - Vol. 213, N 1. - p. 149-168

23. Sohnius M., West P. Conformal invariance in N = 4 supersymmetric Yang-Mills theory 11 Phys. Lett. B. 1981. - Vol. 100, N 2. - p. 245-256

24. Freedman D.Z., Nieuwenhuizen P. van, Ferrara S. Progress towards the theory of supergravity // Phys. Rev. D. Vol. 13, N 3. - p. 3214-3218

25. Deser S., Zumino B. Consistent supergravity // Phys. Lett. B. 1976. - Vol. 62, N 3. - p. 335-337

26. Nieuwenhuizen P. van. Supergravity // Phys. Rep. B. 1981. - Vol. 68, N 4. -p. 189-398 ! * ' ' " 1 '

27. Геометрические идеи физики: Сб. статей / Под редакцией Ю.И. Маиина -Москва: Мир, 1983. 240 с.

28. Введение в супергравитацию: Сб. статей / Под редакцией С. Феррары, Дж. Тэйлора. Москва: Мир, 1985. - 304 с.

29. Salam A., Strathdee J. Supergauge transformations // Nucl. Phys. B. 1974. -Vol. 76, N 2. - p. 477-482

30. Salam A., Strathdee J. Supersymmetry and superfields // Fortshr. Phys. B. -1978. Vol. 26, N 3. - p. 057-124i i

31. Fayet P., Ferrara S. Supersymmetry // Phys. Rev. 1977. - 1977. - Vol. 32, N 5. - p. 249-334

32. Witt B. de. Supermanifolds. Cambridge University Press, 1984. 407 p.

33. Березин Ф.А. Введение в алгебру и анализ с антикоммутируюгцими переменными. Москва: МГУ, 1989. 208 с.

34. Березин Ф.А. Метод вторичного квантования. Москва: Наука, 1986. 318 с.

35. Mohapatra R.N. Unification and supersymmetry. Springer Verlag, 1986. - 405 p.

36. Martin S.P. A supersymmetry primer. Preprint: hep-th/9709356 101 p.

37. Kazakov D.I., Kalmykov M.Yu., Kondrashuk I.N., Gladyshev A.V. Softly broken finite supersymmetric grand unified theory // Nucl. Phys. B. 1996. - Vol. 471, N 3. - p. 389-408

38. Andreev L.V., Kazakov D.I., Kondrashuk I.N. Renormalization of softly broken SUSY gauge theories // Nucl. Phys. B. 1998. - Vol. 510, N 2, 3. - p. 289-312

39. Kazakov D.I. Finite N — 1 SUSY gauge theories // Phys. Lett. B. 1998. -Vol. 421, N 2. - p. 211-216

40. Kazakov D.I. Exploring softly broken SUSY theories via Grassmania Taylor expansion // Phys. Lett. B. 1999. - Vol. 149, N 2. - p. 201-206

41. Грин M., Шварц Дж., Виттен E. Теория суперструн (в двух томах). Москва: Мир, 1990. Т. 1, - 518 е.; - Т. 2 - 656 с.

42. Бринк Л., Энно М. Принципы теории суперструн. Москва: Мир, 1991. 296 с.

43. Каку М. Введение в теорию суперструн. Москва: Мир, 1999?- 624 с.w

44. Polchinski J. String Theory. Cambridge University Press, 1998. Vol. 1, - 402 p.;- Vol. 2, 531 p.

45. Johnson C.V. D-branes. Cambridge University Press, 2003. 548 p.- 4

46. Zwiebach B. A First Course in String Theory. Cambridge University Press, 2004.- 558 p.

47. Kaku M. Introduction to supersprings. Springer Verlag, 1990. - 568 p.

48. Bilal A. M(atrix) theory: a pedagogical introduction. Preprint:-hep-th/9710136 -31 p.

49. Polchinski J. TASI lectures on D-branes. Preprint: hep-th/9611050 63 p.

50. Kiritsis K. Introduction to superstring theory. Preprint: hep-th/9709062 245 p.

51. Taylor W. Lectures on D-branes, gauge theories and M(atrices). Preprint: hep-th/9801182 74 p.

52. Giveon A., Kutasov D. Brane dynamics and gauge theory. Preprint: hep-th/9802067 286 p.

53. Petersen J.L. Introduction to the Maldacena conjecture on AdS/CFT. Preprint: hep-th/9902131 69 p.

54. Calogero F. Solution of three-body problem in one dimension / / J. Math. Phys.№1969. № 10. - p. 2191-2196

55. Calogero F. Ground state of a one-dimensional N-body system //J. Math. Phys.- 1969. № 10. - p. 2197-2200

56. Calogero F. Solution of the one-dimensional N-body problems with quadratic and/or inversely quadratic pair potentials //J. Math. Phys. 1971. - № 12. -p. 419-436

57. Brink L., Hansson Т.Н., Vassiliev M. Explicit solution to the'N-body Calogero problem // Phys. Lett. В 1992. - № 286. - p. 109.

58. Olshanetsky M., Perelomov A. Classical integrable finite-dimensional systems related to Lie algebras // Phys. Rept. 1981. - № 71. - p. 313-400

59. Арнольд В. И. Математические методы классической механики Москва: Наука, 1974.

60. Lax P. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves // Comm. Pure Appl. Math. 1968. - № 21. - p. 467-490

61. Moser J. Three integrable Hamiltonian systems connnected with isospectral deformations // Adv. Math. 1975. - № 16. - p. 197-220

62. Olshanetsky M., Perelomov A. Quantum integrable systems related to Lie algebras // Phys. Rept. 1983. - № 94. - p. 313-404

63. Sutherland B. Quantum Many Body Problem In One-Dimension // J. Math. Phys. 1971. - № 12. - p. 251-256

64. Sutherland B. Exact results for a quantum many body -problem in one-dimension // Phys. Rev. A 1971. - № 4. - p. 2019-2021

65. Sutherland B. Exact results for a quantum many body problem in one-dimension 2 // Phys. Rev. A 1972. - № 5. - p. 1372-1376

66. Polychronakos A. Non-Relativistic Bosonization and Fractional Statistics // Nucl. Phys. В 1989. - № 324. - p. 597

67. Polychronakos A. Generalized statistics in one dimension. Preprint: hep-th/9902157.

68. Laughlin R.B. Anomalous quantum Hall effect: An incompressible quantum fluid with fractionally charged excitations // Phys. Rev. Lett. 1983. - № 50. - p. 13951398

69. Azuma H., Iso S. Explicit relation of quantum hall effect and Calogero-Sutherland model // Phys. Lett. B. 1994. - Vol. 331. - p. 107

70. Cappelli A., Trugenberger C.A., Zemba G. Classification of quantum Hall universality classes by W(l+infiinty) symmetry // Phys. Rev. Lett. 1994. -№ 72. - p. 1902-1905

71. Frahm H. Spectrum of a spin chain with inverse square exchange //J. Phys. A -1993. № 26. - p. L473-L4791. J > \ I' I I <' ! I < л

72. Polychronakos A. Exchange operator formalism for integrable systems of particles // Phys. Rev. Lett. 1992. - № 69. - p. 703-705

73. Gurappa N., Panigrahi P.K. Equivalence of the Calogero-Surtherland model to free harmonic oscilators // Phys. Rev. В 1999. - № 59. - p. R2490-R2493

74. Gurappa N., Khare A., Panigrahi P.K. Connection between Calogero-Marchioro-Wolfes type few-body models and free oscillators // Phys. Lett. A 1998. -№ 224. - p. 467

75. Polychronakos A.P. Physics and mathematics of Caloggro particles //-t

76. J. Phys. A. 2006. - № 39. - p. 12793-12846

77. Brzezinski Т., Gonera С., Mailanka P. On the equivalence of the rational Calogero-Moser system to free particles // Phys. Lett. A 1999. - № 254. -p. 185

78. Freedman D., Mede P. An exactly solvable N-particle system in'supersymmetric quantum mechanics // Nucl. Phys. В 1990. - № 344. - p. 317-343

79. Aharony 0., Gubser S.S., Maldacena J.M., OOguri H., Oz Y. Large-N field theories, string theory and gravity // Phys. Rept. 2000. - № 323. - p. 183386

80. Bellucci S., Galajinsky A., Ivanov E., Krivonos S. AdS2/CFTi, canonical transformations and superconformal mechanics // Phys. Lett. В 2003. -Vol. 555 - p.99

81. Mohaupt T. Black holes in supergravity and string theory // Class. Quant. Grav. -2000. № 17. - p. 3429-3482

82. Cacciatori S., Klemm D., Zanon D. W^ algebras, conformal mechanics and black holes // Class. Quant. Grav. 2000. - Vol. 17 - p. 1731 ^

83. Gibbons G.W., Townsend P.K. Black holes and Calogero models // Phys. Lett. В 1999. - № 454. - p. 187-192

84. Claus P., Derix M., Kallosh R., Kumar J., Townsend P.K., Proeyen A. Van. Black holes and superconformal mechanics // Phys. Rev. Lett. 1998. - Vol. 81 - p. 4553

85. Wyllard N. (Super)conformal many-body quantum mechanics with extended supersymmetry //J. Math. Phys. 2000. - № 41. - p. 2826-2838

86. Bellucci S., Galajinsky A., Krivonos S. New many-body superconformal models as reductions of simple composite systems // Phys. Rev. D 2003. - № 68. -p. 064010

87. Galajinsky A. Remarks on N = 4 superconformal extension,'of the Calogero model // Mod. Phys. Lett. A 2003. - № 18. - p. 1493-1498

88. Bellucci S., Galajinsky A., Latini E. New insight into the Witten-Dijkgraff-Verlinde-Verlnde equation // Phys. Rev. D 2005. - № 71. - p. 044023

89. Azcarraga J.A. de, Izquierdo J.M., Perez Bueno J.C., Townsend P.K. Superconformal mechanics and nonlinear realizations // Phys. Rev. D 1999.- Vol. 59 p.084015

90. Papadopoulos G. Conformal and superconformal mechanics // Class. Quant. Grav. 2000. - Vol. 17 - p.3715

91. Ivanov E., Krivonos S., Lechtenfeld O. New variant of TV = 4 superconformal mechanics // JHEP. 2003. - Vol. 0303 - p. 014г-»

92. Anabalon A., Gomis J., Kamimura K., Zanelli J. N = 4 superconformal mechanics as a non-linear realization // JHEP. 2006. - Vol. 0610 - p.068

93. Witten E. On the structure of the topological phase of two-dimensional gravity // Nucl. Phys. В 1990. - № 340. - p. 281-332 '" \ '

94. Dijkgraaf R., Verlinde H.L., Verlinde E.P. Topological strings in d < 1 // Nucl. Phys. В 1991. - № 352. - p. 59-86

95. Witten E. Topological Quantum Field Theory // Commun. Math. Phys. 1988.- Vol. 117-Р.353 '4

96. Marshakov A. Seiberg-Witten theory and integrable systems. Singapore: World Scientific, 1999. - 253 p.

97. Gorsky A., Mironov A. Integrable many-body systems and gauge theories // Preprint: hep-th/0011197 134 p.

98. Itoyama H., Morozov A. The Dijkgraaf-Vafa prepotential in the context of general Seiberg-Witten theory // Nucl. Phys. В 2003. - Vol. 657 - p. 53-78.

99. Feigin M.V., Veselov A.P. Coxeter discriminants and logarithmic Frobenius structures // Advances in Math. 2007. - Vol. 212 - № 1 - p. 143-162.

100. Martini R., Gragert P.K.H. Solutions of WDVV equations in Seiberg-Witten theory from root systems // J. Nonlin. Math. Phys. 1999. - Vol. 6 - p. 1

101. Veselov A.P. Deformations of the root systems and new solutions to generalised WDVV equations // Phys. Lett. A 1999. - Vol. 261 - p. 297

102. Veselov A.P. On geometry of a special class of solutions to generalised WDVV equations // Preprint: hep-th/0105020 11 p. ' ' ' 1

103. Ivanov E.A., Krivonos S.O., Leviant V.M. Geometric superfield approach to superconformal mechanics //J. Phys. A 1989. - № 22. - p. 4201

104. Alfaro V. De., Fubini S., Furlan G. Conformal invariance in quantum mechanics // Nuovo Cimento A 1974. - № 34. - p. 569 ui

105. Ghosh P.K. Super-Calogero model with OSp(2|2) supersymmetry: Is theconstruction unique? // Nucl. Phys. В 2004. - Vol. 681. - p. 359-373i

106. Dubrovin B. Integrable systems in topological field theory // Nucl. Phys. В -1992. Vol. 379. - p. 627-689

107. Marshakov A., Mironov A., Morozov A. WDVV-like equations in N = 2 SUSY Yang-Mills theory // Phys. Lett. В 1996. - Vol. 389 - p. 43

108. Chalykh O.A., Veselov A.P. Locus configurations and V-systems // Phys. Lett. A- 2001. Vol. 285 - p. 339 .

109. Feigin M., Veselov A.P. On the geometry of V-systems // Preprint: math-ph/0710.5729vl 18 p.

110. Freedman D., Mende P. An exactly solvable n particle systems in supersymmetric quantum mechanics // Nucl. Phys. В 1990. - Vol. 344 - p.317

111. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Pergamon Press, 1964. Т. 2

112. Ivanov Е., Krivonos S., Leviant V. Geometric Superfield Approach To1" v i 11 ' i .

113. Superconformal Mechanics //J. Phys. A. 1989. - Vol. A22 - p. 4201

114. Ivanov E., Krivonos S., Lechtenfeld O. N = 4, d — 1 supermultiplets from nonlinear realizations of D(2,l;a) // Class. Quantum Grav. 2004. - Vol. 21- p. 1031-1050

115. Delduc F., Ivanov E. Gauging N=4 supersymmetric mechanics II: (1,4,3) models from the (4,4,0) ones // Nucl. Phys. В 2007. - Vol. 770 - p. 179-205

116. Ivanov E., Lechtenfeld O. N=4 Supersymmetric Mechanics in Harmonic Superspace // JHEP 2003. - Vol. 0803 - p. 073

117. Bellucci S., Krivonos S. Supersymmetric Mechanics in Superspace // Lect. Notes in Phys. 2006. - Vol. 698 - p. 49-96

118. Donets E.E., Pashnev A., Juan Rosales J., Tsulaia'M.M. Supersymmetric Multidimensional Quantum Mechanics, Partial SUSY ^ Breaking and

119. Superconformal Quantum Mechanics // Phys. Rev. D 2000. - Vol. 61 -p. 043512

120. Frappat L., Sorba P., Sciarrino A. Dictionary on Lie superalgebras. Preprint: hep-th/9607161

121. Proeyen A. Van. Tools for supersyinmetry. Preprint: hep-th/9910030

122. Bellucci S., Krivonos S., Sutulin A. N=4 supersymmetric 3-particles Calogero model // Nucl. Phys. В 2008. -Vol. 805 - p. 24-39

123. Fedoruk S., Ivanov E., Lechtenfeld O. Supersymmetric Calogero models by gauging // Phys. Rev. D 2009. - Vol. 79 - p. 105015

124. Galajinsky A., Lechtenfeld O., Polovnikov K. Calogero models and nonlocal conformal transformations // Phys. Lett. В 2006. - № 643. ^ p. 221-227

125. Галажинский А.В., Лехтенфельд О., Половников К.В. О структуре конформно инвариантных моделей в одномерном пространстве // Известия ТПУ. -2006. Т. 309. - № 6. - С. 14-16. ' J 1 1 '

126. Galajinsky A., Lechtenfeld О., Polovnikov К. N=4 supeiconformal Calogero model // JHEP 2007. - Vol. 11 - p. 008

127. Galajinsky A., Lechtenfeld O., Polovnikov K. N=4 mechanics, WDVV equations and roots // JHEP 2009. - Vol. 0903 - p. 113 ^

128. Krivonos S., Lechtenfeld O., Polovnikov K. N=4 superconformal n-particle mechanics via superspace // Nucl. Phys. В 2009. - Vol. 817 - p. 265-283V