Теоретические основы исследования методом молекулярной динамики фазовых превращений в метастабильных кристаллах и жидкостях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Стегайлов, Владимир Владимирович

• Стегайлов, Владимир Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Стегайлов, Владимир Владимирович

Введение

1 Обзор литературы

1.1 Метод молекулярной динамики.

1.2 Равновесие фаз.

1.3 Граница устойчивости фазы

1.4 Кинетика фазовых переходов первого рода.

1.5 Крупномасштабное атомистическое моделирование фазовых превращений при внешних воздействиях

2 Гомогенный распад кристалла

2.1 Термодинамика метастабильных состояний.

2.2 Статистическое описание.

2.3 Метод расчета частоты гомогенной нуклеации.

2.4 Результаты.

2.5 Результаты главы

3 Стохастические свойства метода МД

3.1 Классификация приближений при решении МД задачи

3.2 Неустойчивость траекторий: времена вычислительной и динамической памяти.

3.3 К-энтропия и время динамической памяти.

3.4 Зависимость Ktdm от At и (АЕ2).

3.5 Выбор точности численного интегрирования.

3.6 Физический смысл и роль времени динамической памяти

3.7 Время динамической памяти и характер предсказуемости времени жизни метастабильного состояния. 3.8 Результаты главы

4 Распад и плавление перегретой кристаллической меди

4.1 Гомогенная нуклеация расплава в объеме.

4.2 Температурная зависимость модулей упругости и условия устойчивости.

4.3 Плавление с открытой поверхности

4.4 Результаты главы

5 Кавитации в жидком РЬ при отрицательных давлениях

5.1 Модель и метод расчета.

5.2 Граница устойчивости метастабильной жидкой фазы

5.3 Частота кавитации.

5.4 Обсуждение результатов.

5.5 Результаты главы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоретические основы исследования методом молекулярной динамики фазовых превращений в метастабильных кристаллах и жидкостях»

Диссертация посвящена разработке метода теоретического исследования динамики и кинетики фазовых превращений в метастабильных кристаллах и жидкостях на молекулярном уровне. Развитый подход применен к неравновесным релаксационным процессам плавления перегретого кристалла и кавитации в растянутой жидкости. Исследованы стохастические свойства метода молекулярной динамики (МД), существенные для рассмотренных задач.

Актуальность работы. Развитие экспериментальной техники, освоение нано-, пико- и фемтосекундных диапазонов открывает возможности получения метастабильных состояний конденсированных веществ со значительными степенями перегрева и/или растяжения по сравнению с равновесным состоянием. Упомянем сильные ударные волны, нагрев фемтосе-кундным лазером, наносекундный электровзрыв проводников и др. Такое развитие науки ставит перед теорией новые задачи, например, о перегреве твердого тела с открытой поверхностью, который ранее в статистической физике считался, вообще говоря, невозможным. Требует более внимательного рассмотрения и классическая теория нуклеации (КТН), надежность которой может оказаться недостаточной, например, при импульсном растяжении жидкостей. Возникающие новые прикладные задачи также стимулируют развитие теории устойчивости метастабильных состояний.

Мощным инструментом развития теории конденсированного состояния является классический метод МД. Метод основан на решении классических уравнений движения многочастичной системы. Используя адекватные потенциалы межчастичного взаимодействия, можно исследовать на атомистическом уровне широкий класс физических явлений в жидкостях, твердых телах, неидеальной плазме, биомолекулярных системах.

Важным потенциальным преимуществом метода МД является возможность исследования релаксационных процессов в плотных средах исходя непосредственно из расчета динамики многочастичных систем без дополнительных предположений, присущих кинетической теории. Однако применение методов МД к изучению релаксационных процессов сравнительно менее развито по сравнению с изучением равновесных состояний. Не были даже сформулированы требования к МД расчетам релаксационных процессов.

Другим недостаточно изученным вопросом теории метода МД является соотношение динамических и стохастических свойств. Известно, что широкому классу динамических систем присущи хаотические свойства, в частности экспоненциальная неустойчивость фазовых траекторий. По этой причине горизонт предсказуемости во времени динамической эволюции многочастичной системы существенно ограничен. В связи с этим становится актуальным исследование характера предсказательных возможностей метода МД при исследовании релаксационных процессов и влияния на результаты конечной точности численных методов, использующихся при проведении расчетов.

Цель работы состоит в 1) разработке метода МД исследования процессов распада метастабильных состояний с учетом результатов анализа стохастических свойств метода МД, 2) апробации разработанных подходов для расчета кинетики нуклеации в метастабильных кристаллах и жидкостях как для модельных систем, так и для металлов, 3) сравнении полученных результатов с имеющимися теоретическими подходами для описания кинетики фазовых превращений и 4) изучении фазовой диаграммы в области метастабильных конденсированных состояний.

Научная новизна Разработан молекулярно-динамический метод расчета частоты гомогенной нуклеации в метастабильной конденсированной фазе, основанный на формировании ансамбля независимых начальных конфигураций и последующем усреднении времени жизни метастабильной фазы по ансамблю МД траекторий.

Проанализированы стохастические свойства метода молекулярной динамики. Показано, что метод МД является методом, который: i) сохраняет ньютоновскую динамику на времена меньше, чем время динамической памяти, и п) производит статистическое усреднение по начальным условиям вдоль МД траектории. Установлено, что время динамической памяти растет лишь логарифмически при уменьшении уровня шумов. Получены универсальные зависимости, связывающие энтропию Крылова-Колмогорова (максимальный показатель Ляпунова), время динамической памяти и уровень шумов в системе. Введено понятие времени вычислительной памяти — предельного горизонта предсказуемости решения конечно-разностной схемы.

С использованием разработанного подхода и реалистических многочастичных потенциалов межатомного взаимодействия проведен расчет частоты гомогенной нуклеации расплава и кавитации соответственно в перегретой кристаллической меди и растянутом расплаве свинца. Показано, что оценки по КТН могут быть приведены в соответствие с результатами МД расчетов.

Результаты расчетов температурной зависимости модулей упругости кристалла свидетельствуют, что граница устойчивости кристаллической меди определяется нарастанием сдвиговой неустойчивости кристалла при повышении температуры. Показано соответствие механического и кинетического критериев устойчивости.

Оценены границы устойчивости перегретой кристаллической меди при положительных и расплава свинца при отрицательных давлениях.

Практическая ценность работы. Развитый подход может быть использован для определения частоты гомогенной и гетерогенной нуклеации и кавитации в жидкостях при отрицательных давлениях, для использования в практически важных задачах гидродинамики. Уравнение состояния и границы устойчивости метастабильных состояний могут быть включены в широкодиапазонные уравнения состояния вещества.

Положения, выносимые на защиту.

1. Метод расчета частоты гомогенной нуклеации. Разработанные процедуры усреднения.

2. Характер проявления стохастических свойств метода МД при расчете релаксации метастабильных состояний. Формула, связывающая время динамической памяти, максимальный показатель Ляпунова и уровень флуктуаций полной энергии.

3. Частота гомогенной нуклеации в кристаллической меди, ее зависимость от степени перегрева. Частота гомогенной кавитации в расплаве свинца, её зависимость от степени растяжения.

4. Границы устойчивости перегретых кристаллической меди и растянутом расплава свинца.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были доложены на научно-технических конференциях МФТИ (Долгопрудный, 1999 - 2004), конференциях "Уравнения состояния вещества" (п. Эльбрус, 2002 и 2004), "Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество" (п. Эльбрус, 2003 и, 2005), "Nucleation theory and applications" (Дубна, 2003, 2004, 2005), "Foundations of molecular modeling and simulation" (США, Keystone, 2003), "Фазовые превращения при высоких давлениях" (Черноголовка, 2004), Computational Physics (Германия, Aachen, 2001; США, San Diego, 2002; Италия, Genova, 2004), Computer Science (Нидерланды, Amsterdam, 2002), 15-th Symposium on thermophysical properties (США, Bolder, 2003), научно-координационных сессиях "Исследования неидеальной плазмы" (Президиум РАН, Москва, 2001 и 2004), симпозиумах "Проблемы физики ультракоротких процессов в сильнонеравновесных средах" (Новый Афон, 2003, 2004, 2005).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 12 работ в реферируемых научных изданиях [1-12], 4 работы в сборниках [13-16] и тезисы российских и международных конференций.

1. Обзор литературы

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Стегайлов, Владимир Владимирович

6.1. Основные результаты и выводы работы

Развиты теоретические основы исследования динамики и кинетики фазовых превращений в метастабильных кристаллах и жидкостях методом

МД.

• Разработан метод расчета частоты гомогенной нуклеации/кавитации, основанный на формировании ансамбля независимых начальных конфигураций и последующем усреднении времени жизни метастабиль-ной фазы по ансамблю МД траекторий (§ 2.3). В качестве апробации метода получена зависимость частоты спонтанной гомогенной нуклеации от степени перегрева кристалла для случаев потенциалов межчастичного взаимодействия мягких сфер и Леннарда-Джонса (рис. 2.5 и 2.6). Проведено МД моделирование распада кристаллической решетки в условиях нагрева с постоянной скоростью. Проверена адекватность описания распада в рамках представления нуклеации как Пуассоновского случайного процесса (рис. 2.4 и 2.9).

• Проанализированы стохастические свойства метода МД и определены его возможности для исследования релаксационных процессов в плотных средах. Получены универсальные логарифмические зависимости, связывающие энтропию Крылова-Колмогорова, время динамической памяти и уровень шумов в системе (формулы (3.14) и (3.15)). Метод МД: i) сохраняет ньютоновскую динамику на времена меньше, чем и ii) производит статистическое усреднение по начальным условиям вдоль МД траектории (§ 3.6). Показано, что в силу принципиальной ограниченности величины ^ возможно лишь статистическое описание распада метастабильного состояния (§ 3.7).

• Рассмотрены гомогенная нуклеация и поверхностное плавление в перегретых кристаллах и кавитация в расплаве при отрицательных давлениях. Показано, что результаты расчетов кинетики гомогенной нуклеации в перегретой кристаллической меди и кавитации в растянутом расплаве свинца находятся в соответствии с оценками по КТН (§ 4.1 и § 5.4). Получена зависимость скорости фронта плавления от температуры (рис. 4.9).

• Найдена граница устойчивости перегретой кристаллической меди при О < Р < 15 ГПа (рис. 4.5): она определяется возникновением сдвиговой неустойчивости кристалла при повышении температуры. Показано соответствие механического и кинетического критериев устойчивости (§ 4.2). Рассмотрен расплав свинца при температурах меньше критической (Т < 0.5Тер) и больших отрицательных давлениях и оценена граница его устойчивости (рис. 5.1).

6.2. Достоверность результатов

Проверялась достоверность полученных результатов. Одни и те же или сходные по смыслу величины рассчитывались разными способами: а) предельно достижимый перегрев Th кристалла в зависимости от скорости нагрева рассчитывался непосредственно и по формуле, связывающей величину Th с частотой спонтанной гомогенной нуклеации J(T), определенной в другом расчете (§ 2.4, п.2); б) установлено совпадение границ устойчивости, найденных из механического и кинетического критериев (§ 4.2).

Результаты, полученные МД расчетом, сопоставлялись с формулами КТН: а) результаты для разного числа частиц согласовывались в рамках предположений КТН (рис. 2.5 и 2.6); б) о связи Th и J(T) сказано выше; в) сопоставление полученных времен жизни перегретой кристаллической меди с оценкой по КТН, дополненной данными о температурной зависимости А(Т) из экспериментов по кристаллизации переохлажденного расплава меди (§4.1).

Для того чтобы сопоставления были статистически значимыми, оценивались ошибки усреднения.

Достоверность моделей проверялась сопоставлением с экспериментальными данными для меди и свинца, путем сравнения результатов расчетов и оценок в рамках КТН (§ 4.1 и § 5.4). Кроме того, температура плавления для меди рассчитывалась двумя независимыми способами (§ 4.3, п.2).

6. Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Стегайлов, Владимир Владимирович, 2005 год

1. Норман Г. Э., Стегайлов В. В. Стохастические свойства молекулярно-динамической ленард-джонсовской системы в равновесном и неравновесном состояниях // ЖЭТФ.— 2001. — Т. 119.— С. 1011-1020.

2. Norman G. Е., Stegailov V. V. Stochastic and dynamic properties of molecular dynamics systems: Simple liquids, plasma and electrolytes, polymers // Computer Physics Communications. — 2002.— Vol. 147.— Pp. 678-683.

3. Stegailov V. V. Determinism and Chaos in Decay of Metastable States. Randomness and Predictability of Lifetime // Lecture Notes in Computer Science series (LNCS 2331) / Ed. by P. M. A. Sloot, et al. Springer-Verlag, 2002.- Pp. 1147-1153.

4. Норман Г. Э., Стегайлов В. В. Гомогенная нуклеация в перегретом кристалле. Молекулярно-динамический расчет // ДАН. — 2002. — Т. 386. С. 328-332.

5. Krivoguz М. N., Norman G. Е., Stegailov V. V., Valuev A. A. Superheating of solid metal prior to electric explosion of wires at fast energy deposition // J. Phys. A. 2003. - Vol. 36. - Pp. 6041-6048.

6. Norman G. E., Stegailov V. V., Valuev A. A. Nanosecond electric explosion of wires: from solid superheating to nonideal plasma formation // Contrib. Plasma Phys. 2003. - Vol. 43. - Pp. 384-389.

7. Norman G. E., Stegailov V. V. Simulation of ideal crystal superheating and decay // Molecular simulation. — 2004. — Vol. 30. — Pp. 397-406.

8. Stegailov V. V. Homogeneous and heterogeneous mechanisms of superheated solid melting and decay // Computer Physics Communications. — 2005. Vol. 169. - Pp. 247-250.

9. Бажиров Т. Т., Норман Г. Э., Стегайлов В. В. Кавитация и область устойчивости жидкого свинца при отрицательных давлениях, исследование методом молекулярной динамики // ДАН. — 2005. — Т. 405, № 3.

10. Стегайлов В. В. Моделирование процесса нуклеации в перегретом металле при высоких давлениях // Физика экстремальных состояний вещества — 2002. Черноголовка: ИПХФ РАН, 2002. - С. 46-48.

11. Стегайлов В. В. Молекулярно-динамическое моделирование плавления в условиях импульсного нагрева // Физика экстремальных состояний вещества 2003. - Черноголовка: ИПХФ РАН, 2003. - С. 132133.

12. Стегайлов В. В. Скорость нуклеации в перегретой кристаллической меди // Физика экстремальных состояний вещества — 2005. — Черноголовка: ИПХФ РАН, 2005,- С. 164-166.

13. Бажиров Т. Т., Стегайлов В. В. Кавитация в жидком свинце при отрицательных давлениях. Исследование методом молекулярной динамики // Физика экстремальных состояний вещества — 2005. — Черноголовка: ИПХФ РАН, 2005. С. 166-168.

14. Alder В. J., Wainwright Т. Е. Studies in molecular dynamics, i. general method // J. Chem. Phys. ~ 1959. Vol. 31,- Pp. 459-466.

15. Rahman A. Correlations in the motion of atoms in liquid argon // Physical Review. 1964. - Vol. 136. - Pp. A405-A411.

16. Allen M., Tildesley D. Computer Simulation of Liquids. — Oxford: Clarendon press, 1989. — 385 pp.

17. Валуев А., Норман Г., Подлипну к В. Метод молекулярной динамики: теория и приложения // Математическое моделирование. Физико-химические свойства вещества / Под ред. А. А. Самарского, Н. Н. Калиткина. — М.: Наука, 1989. — С. 5-40.

18. Frenkel D., Smith В. Understanding molecular simulation: from algorithms to applications. — San Diego: Academic press, 1996. — 443 pp.

19. Daw M. S., Baskes M. I. Embedded-atom metod: Derivation and application to impurities, surfaces and other defects in metals // Phys. Rev. B. 1984. - Vol. 29. - Pp. 6443-6453.

20. Finnis M. W., Sinclair J. E. A simple empirical N-body potential for transition metals // Phil. Mag. A. — 1984. Vol. 50. - Pp. 45-55.

21. Stillinger F. H., Weber T. A. Computer simulation of local order in condensed phases of silicon // Phys. Rev. B. 1985. - Vol. 31. - Pp. 52625271.

22. Ercolessi F., Parrinello M., Tosatti E. Simulation of gold in the glue model // Phil Mag. A. 1988. - Vol. 58. - Pp. 213-226.

23. Tersoff J. New empirical approach to the structure and energy of covalent systems 11 Phis. Rev. B. 1988. - Vol. 37. - Pp. 6991-7000.

24. Lim H. S., Ong С. K., Ercolessi F. Stability of face-centered cubic and icosahedral lead clusters // Surface Science. — 1992,— Vol. 269/270. — Pp. 1109-1115.

25. Mishin Y., Mehl M. JPapaconstantopoulos D. A., Voter A. F., Kress J. D. Structural stability and lattice defects in copper: Ab initio, tight-binding, and embedded-atom calculations // Phys. Rev. B. — 2001,-Vol. 63.- P. 224106.

26. Mendelev M. I., Han S., Srolovitz D. J., Ackland G. J., Sun D. Y., As-ta M. Development of new interatomic potentials appropriate for crystalline and liquid iron // Phil. Mag. 2003. - Vol. 83. - Pp. 3977—3994.

27. Белащенко Д. К. Семейства межмолекулярных потенциалов, приводящих к тождественным структурам некристаллических тел в методе молекулярной динамики // Журнал физической химии. — 2004. — Т. 78.-С. 1621-1628.

28. Ландау JI. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. — М.: Физмат-лит, 2001. — Т. V. Статистическая физика. — 616 с.

29. Левашов П. Р. Уравнения состояния жидкой фазы при высоких давлениях и температурах // Препринт ОИВТ РАН № 1-446. — 2000. — 29 с.

30. Hoover W. G. Canonical dynamics: Equilibrium phase-space distributions 11 Phys. Rev. A. 1985. - Vol. 31. - Pp. 1695-1697.

31. Berendsen H. J. C., Postma J. P. M., van Gunsteren W. F., DiNola A., Haak J. R. Molecular dynamics with coupling to an external bath // «7. Chem. Phys. 1984. - Vol. 81. - Pp. 3684-3690.

32. Robbins M. О., Grest G. S., Kremer K. Effect of finite system size on thermal fluctuations: Implications for melting // Phys. Rev. B. — 1990. — Vol. 42. Pp. 5579-5585.

33. Румер Ю. Б., Рывкин M. Ш. Термодинамика, статистическая физика и кинетика. — Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 2000. — 608 с.

34. Broughton J. Q., Gilmer G. H. Molecular dynamics investigation of the crystal-fluid interface. I. Bulk properties // J. Chem. Phys. — 1983. — Vol. 79. Pp. 5095-5104.

35. Lutsko J. F., Wolf D., Phillpot S. R., Yip S. Molecular dynamics study of lattice-defect-nucleated melting in metals using an embedded-atom-method potential // Phys. Rev. B. 1989. - Vol. 40. - Pp. 2841-2855.

36. Morris J. R., Wang C. Z., Но К. M., Chan С. T. Melting line of aluminum from simulations of coexisting phases // Phys. Rev. B. — 1994. — Vol. 49.- Pp. 3109-3115.

37. Belonoshko А. В., Ahuja R., Johansson B. Quasi-ab initio molecular dynamic study of Fe melting // Phys. Rev. Lett. — 2000.— Vol. 84.— Pp. 3638-3641.

38. Baidakov V. G., Protsenko S. P., Chernykh G. G., Boltachev G. Sh. Statistical substantiation of the van der Waals theory of inhomogeneous fluids 11 Phys. Rev. E. 2002. - Vol. 65. - P. 41601.

39. Скрипов В. П., Коверда В. П. Спонтанная кристаллизация переохлажденных жидкостей. — М.: Наука, 1984. — 232 с.

40. Борн М., Хуан К. Динамическая теория кристаллических решеток. — М.: Изд. ин. лит., 1958.-488 с.

41. Байдаков В. Г., Галашев А. Е., Скрипов В. П. Устойчивость перегретого кристалла в молекулярно-динамической модели аргона // Физ. те. тела. ~ 1980. Т. 22. - С. 2682-2686.

42. Wang J., Li J., Yip S., Phillpot S., Wolf D. Mechanical instabilities of homogeneous crystals // Phys. Rev. В. 1995.- Vol. 52.- Pp. 1262712635.

43. Wang J., Li J., Yip S., Wolf D., Phillpot S. R. Unifying two criteria of born: Elastic instability and melting of homogeneous crystals // Physica A. 1997. - Vol. 240. - Pp. 396-403.

44. Jin Z. H., Gumbsch P., Lu К., Ma E. Melting mechanisms at the limit of superheating 11 Phys. Rev. Lett. 2001. - Vol. 87. - P. 55703.

45. Зельдович Я. Б. К теории образования новой фазы. Кавитация // ЖЭТФ. 1942. - Т. 12, № 11/12. - С. 525-538.

46. Скрипов В. П. Метастабильная жидкость. — М.: Наука, 1972. — 312 с.

47. Motorin V. I., Musher S. L. Kinetics of the volume melting. Nucleation and superheating of metals // J. Chem. Phys.— 1984.— Vol. 81.— Pp. 465-469.

48. Lu K., Li Y. Homogeneous nucleation catastrophe as a kinetic stability limit for superheated crystal // Phys. Rev. Lett. — 1998. — Vol. 80. — Pp. 4474-4477.

49. Iwamatsu M., Horii K. A one order parameter theory of crystal-melt nucleation of spherical clusters // J. Phys. Soc. Japan. — 1996. — Vol. 65. — Pp. 2311-2316.

50. Iwamatsu M. Homogeneous nucleation for superheated crystal // J. Phys.: Condens. Matter. 1999. - Vol. 11. - Pp. L1-L5.

51. Ma D., Li Y. Heterogeneous nucleation catastrophe on dislocations in superheated crystals // J. Phys.: Condens. Matter. — 2000. — Vol. 12.— Pp. 9123-9128.

52. Kinjo Т., Matsumoto M. Cavitation processes and negative pressure // Fluid Phase Equilibria. 1998. - Vol. 144. - Pp. 343-350.

53. Жуховицкий Д. И. Поверхностное натяжение границы раздела пар-жидкость с конечной кривизной // Коллоидный журнал. — 2003. — Т. 65. С. 480-494.

54. Luo S.-N., Ahrens Т. J., Qagin Т., Strachan A., Ill W. A. G., Swift D. C. Maximum superheating and undercooling: systematics, molecular dynamics simulations, and dynamic experiments // Phys. Rev. В.— 2003.— Vol. 68.-P. 134206.

55. Zhakhovskii V. V., Zybin S. V., Nishihara K., Anisimov S. I. Orientation dependence of shock structure with melting in L-J crystal from molecular dynamics // Prog. Theor. Phys. Suppl 2000,- Vol. 138.- Pp. 223228.

56. Анисимов С. И., Жаховский В. В., Иногамов Н. А., Нишихара К., Опарин А. М., Петров Ю. В. Разрушение твердой пленки в результате действия ультракороткого лазерного импульса // Письма в ЖЭТФ. 2003. - Т. 77. - С. 731-736.

57. Tanguy D., Mareschal М., Lomdahl P. S., Germann Т. С., Holian В. L., Ravelo R. Dislocation nucleation induced by a shock wave in a perfect crystal: Molecular dynamics simulations and elastic calculations // Phys. Rev. B. 2003. - Vol. 68. - P. 144111.

58. Abraham F. F. How fast can cracks move? A research adventure in materials failure using millions of atoms and big computers // Advances in Physics. 2003. - Vol. 52. - Pp. 727—790.

59. Ivanov D. S., Zhigilei L. V. Combined atomistic-continuum modeling of short-pulse laser melting and disintegration of metal films // Phys. Rev. B. 2003. - Vol. 68. - P. 64114.

60. Wood G. R., , Walton A. G. Homogeneous nucleation kinetics of ice from water // J. Appl. Phys. 1970. - Vol. 41. - Pp. 3027-3036.

61. Hoover W. G., Gray S. G., Johnson K. W. Thermodynamic properties of the fluid and solid phases for inverse power potentials // J. Chem. Phys. — 1971. Vol. 55. - Pp. 1128-1136.

62. Кривогуз M. H., Норман Г. Э. Спинодаль перегретого твердого металла // ДАН. 2001. - Vol. 379. - Pp. 177-180.

63. Hoover W., Ross M., Johnson K. W., Henderson D., Barker J. A., Brown В. C. Soft-sphere equation of state // J. Chem. Phys. — 1970. — Vol. 52,- Pp. 4931-4941.

64. Hardy W. H., Crawford R. K., Daniels W. B. Experimental determination of the P-T melting curve for argon //J. Chem. Phys. — 1971. — Vol. 54. — Pp. 1005-1010.

65. Barroso M. A., Ferreira A. L. Solid-fluid coexistence of the Lennard-Jones system from absolute free energy calculations //J. Chem. Phys. —2002. Vol. 116. - Pp. 7145-7150.

66. Скрипов В. П., Файзуллин М. 3. Фазовые переходы кристалл-жидкость-пар и термодинамическое подобие.— М.: Физматлит,2003.- 160 с.

67. Rethfeld В., Sokolowski-Tinten К., von der Linde D., Anisimov S. I. Ultrafast thermal melting of laser-excited solids by homogeneous nucleation 11 Phys. Rev. B. 2002. - Vol. 65. - P. 92103.

68. Заславский Г. M. Стохастичность динамических систем. — М.: Наука, ГРФМЛ, 1984.- 272 с.

69. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. — М.: Физмат-лит, 2001. — Т. III. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — 808 с.

70. Кравцов Ю. А. Фактические границы гипотезы замкнутости и классические парадоксы кинетической теории // ЖЭТФ. — 1989. — Т. 96. — С. 1661-1665.

71. Кравцов Ю. А. Случайность, детермированность, предсказуемость // УФН. 1989. - Т. 158. - С. 93-122.

72. Кравцов Ю. А. Фундаментальные и практические пределы предсказуемости // Пределы предсказуемости / Под ред. Ю. А. Кравцова.— Москва: ЦентрКом, 1997. С. 170-200.

73. Герценштейн М. Е., Кравцов Ю. А. Ограничения применимости ньютоновского описания движения частиц в газе вследствие спонтанного излучения низкочастотных фотонов // ЖЭТФ, — 2000,— Т. 118.— С. 761-763.

74. Малинецкий Г. Г. Синергетика, предсказуемость и динамический хаос // Пределы предсказуемости / Под ред. Ю. А. Кравцова.— М.: ЦентрКом, 1997. С. 78-139.

75. Климонтович Ю. Л. Статистическая теория открытых систем. — М.: Янус, 1995. 624 с.

76. Hoover W. G. Time Reversibility, Computer Simulation and Chaos. — Singapore: World Scientific, 1999. 280 pp.

77. Hoover W. G. Computational Statistical Mechanics. — Amsterdam: Elsevier, 1991.-314 pp.

78. Posch H. A., Hoover W. G. Lyapunov instability of dense Lennard-Jones fluids 11 Phys. Rev. A. 1998. - Vol. 38. - Pp. 473-482.

79. Hoover W. G., Posch H. A. Second-law irreversibility and phase-space dimensionality loss from time-reversible nonequilibrium steady-state Lya-punov spectra // Phys. Rev. E. 1994. - Vol. 49. - Pp. 1913-1920.

80. Kwon K.-H., Park B.-Y. Lyapunov exponent and the solid-fluid phase transition // J. Chem. Phys. 1997. - Vol. 107.-Pp. 5171-5178.

81. Каклюгин А. С., Норман Г. Э. Hierarchical approach generalization of vitalism and reductionism // Российский химический журнал. — 2000.-Т. 44(3).-С. 7-20.

82. Валуев А. А., Норман Г. Э., Подлипчук В. Ю. Уравнения метода молекулярной динамики // Термодинамика необратимых процессов / Под ред. А. И. Лопушанская. — М.: Наука, 1987. — С. 11-17.

83. Norman G. Е., Podlipchuk V. Yu., Valuev A. A. On the theory of the molecular-dynamics method 11 J. Moscow Phys. Soc. — 1992. — Vol. 2. — Pp. 7-21.

84. Валуев А. А., Норман Г. Э., Подлипчук В. Ю. Энтропия Крылова-Колмогорова неупорядоченных Леннард-Джонсовских систем // Математическое моделирование. — 1990. — Т. 2(5). — С. 3-7.

85. Loskutov A. Chaotic dynamics of chemical systems // Mathematical Methods in Contemporary Chemistry / Ed. by S. I. Kuchanov. — Amsterdam: Gordon and Breach, 1996.— Pp. 181-265.

86. Метод молекулярной динамики в физической химии / Под ред. Ю. К. Товбина. М.: Наука, 1996. - 334 с.

87. Белащенко Д. К. Механизмы диффузии в неупорядоченных системах (компьютерное моделирование) // УФЕ. — 1999.— Т. 169.— С. 361— 384.

88. Morozov I. V., Norman G. E., Valuev A. A. K-entropies of electrons and ions in nonideal plasmas // Contrib. Plasma Phys. — 1999. — Vol. 39. — Pp. 307-311.

89. Morozov I. V., Norman G. E., Valuev A. A. K-entropy (average lyapunov exponent), dynamics and chaos for particle // J. de Physique (France). — 2000. Vol. 10(Pr5). - Pp. 251-254.

90. Morozov I. V., Norman G. E., Valuev A. A. Stochastic properties of strongly coupled plasmas // Phys. Rev. E. 2001. - Vol. 63. - P. 36405.

91. Ueshima Y., Nishihara K., Barnett D. M., Tajima Т., Furukawa H. Particle simulation of Lyapunov exponents in one-component strongly coupled plasmas // Phys. Rev. E. 1997. - Vol. 55,- Pp. 3439-3449.

92. Ueshima Y., Nishihara K., Barnett D. M., Tajima Т., Furukawa H. Relation between Lyapunov exponent and dielectric response function in dilute one component plasmas // Phys. Rev. Lett. — 1997.— Vol. 79.— Pp. 2249-2252.

93. Barnett D. M., Tajima Т., Nishihara K., Ueshima Y., Furukawa H. Lyapunov exponent of a many body system and its transport coefficients // Phys. Rev. Lett. 1996. - Vol. 76. - Pp. 1812-1815.

94. Norman G. Е., Podlipchuk V. Yu., Valuev A. A. Equations of motion and energy conservation in molecular dynamics // Molecular Simulation. — 1993. Vol. 9. - Pp. 417-424.

95. Rowlands G. A numerical algorithm for Hamiltonian systems // J. Computational Physics. 1991. - Vol. 97. - Pp. 235-239.

96. Lopez-Marcos M. A., Sanz-Serna J. M., Diaz J. C. Are Gauss-Legendre methods useful in molecular dynamics? // J. Comput. Appl. Math. —1996. Vol. 67. - Pp. 173-179.

97. Lopez-Marcos M. A., Sanz-Serna J. M., Skeel R. D. Explicit symplectic integrators using Hessian-vector products / / SI AM J. Sci. Comput. —1997. Vol. 18. - Pp. 223-238.

98. Kaklyugin A. S., Norman G. E. Quantum corrections to the classical equations of motion //J. Moscow Phys. Soc. — 1995. — Vol. 5. — Pp. 167— 180.

99. Рудяк В. Я., Харламов Г. ВБелкин А. А. Диффузия наночастиц и макромолекул в плотных газах и жидкостях // ТВ Т.— 2001.— Т. 39.- С. 283-291.

100. Коверда В. П., Скрипов В. П. Спонтанная кристаллизация переохлажденных жидких металлов // ФММ. — 1973. — по. 35. — Pp. 988-992.

101. Ray J. R. Elastic constants and statistical ensembles in molecular dynamics 11 Computer Physics Reports. — 1988. Vol. 8. - Pp. 109—152.

102. Wolf R. J., Mans our K. A., Lee M. W., Ray J. R. Temperature dependence of elastic constants of embedded-atom models of palladium // Phys. Rev. B. 1992. - Vol. 46. - Pp. 8027—8035.

103. Nguyen Т., Ho P. S., Kwok Т., Nitta C., Yip S. Thermal structural disorder and melting at a crystalline interface // Phys. Rev. В. — 1992. — Vol. 46. Pp. 6050-6060.

104. Bilalbegovic G., Lutz H. 0. The onset of a liquid-vapour transition in metallic nanoparticles // Chemical Physics Letters. — 1997. — Vol. 280. — Pp. 59-65.

105. Ternovoi V. Y., Fortov V. E., Kvitov S. V., Nikolaev D. N. Experimental study of lead critical point parameters // Shock Compression of Condensed Matter (Part 1) / Ed. by S. C. Schmidt, W. C. Tao. New York: AIP Press, 1996. - Pp. 5-40.

106. Медин С. А., Орлов Ю. H., Паршиков A. H., Суслин В. M. Моделирование отклика первой стенки камеры и бланкета реактора ИТС на микровзрыв (препринт №41).— М.: ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, 2004. 32 с.

107. Иосилевский И. JI., Чигвинцев А. Ю. Спинодальный распад зоны метастабильного плавления в пределе нулевой температуры // Электронный журнал иИсследовано в России" (URL: <http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/003.pdf>). 2003. - С. 2134.

108. Бабичев А., Бабушкина Н. А., Братковский А. М., и др. Физические величины: Справочник / Под ред. И. С. Григорьева, Е. 3. Мейлихо-ва. — М.: Энергатомиздат, 1991.— 1232 с.