Теоремы типа Шевалле для дискретных групп комплексных отражений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор физико-математических наук Шварцман, Осип Владимирович

• Шварцман, Осип Владимирович
• доктор физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Шварцман, Осип Владимирович

Введение

§1. О трансцендентной теории инвариантов

§2. Хорошие кристаллографические группы.

Появление групп отражений

§3. Основные результаты и комментарии

§4. Пример: эллиптическая кривая с инволюцией

Глава I. Фундаментальная группа пространства орбит группы отражений

§1. Существенная фундаментальная группа

§2. Сильно односвязное пространство

Глава II. Комплексные кристаллографические группы

Кокстера (cccr-группы) и аффинные системы корней

Результаты и комментарии

§1. Комплексные кристаллографические группы Кокстера (сссг-группы)

1.1. Комплексные кристаллографические группы

1.2. Сссг-группы

1.3. Конструкция неприводимой сссг-группы

1.4. Классификация (I)

1.5. Доказательство теоремы 1.

1.6. Доказательство теоремы 1.

§2. Аффинные системы корней

2.1. Системы корней

2.2. Аффинные системы корней

2.3. Специальные точки. Конструкция аффинной системы корней S(R, р)

2.4. Базисы и камеры

2.5. Двойственная аффинная система корней 5V

§3. Аффинные системы корней и сссг-группы 3g

3.1. Сссг-группы W(S, т) 3g

3.2. Изоморфизмы групп г) Зд

3.3. Доказательство теоремы 3.

3.4. Доказательство теоремы 3.

§4. Фундаментальные веса аффинных систем корней и набор весов сссг-группы

4.1. Фундаментальные веса

4.2. Решетки и орбиты

Глава III. Теорема Шевалле для комплексных кристаллографических групп

Результаты и комментарии

§1. Алгебраическая формулировка теоремы Шевалле

§2. Коциклы комплексных кристаллографических групп Кокстера

2.1. Общие факты о коциклах

2.2. Линейные коциклы 4д

2.3. О строении сссг-группы

2.4. Нормальные коциклы сссг-групп

2.5. Вычисление группы четных коциклов О*)

§3. Формулировка теоремы Шевалле и её геометрическая интерпретация

§4. Доказательство теоремы 3.1.

Первый подготовительный этап

4.1. Тэта-функции и тэта-формы

4.2. Базисы пространств тэта-функций и тэта-форм.

Доказательство п. а) теоремы 3.

4.3. Скалярное произведение Зигеля

§5. План доказательства теоремы 3.

§6. Доказательство теоремы 3.1.

Второй подготовительный этап

6.1. Поведение функции Fs(t) при изоморфизме сссг-групп

6.2. Функция Hs(r)

§7. Асимптотика функции Hs(r).

Окончание доказательства теоремы

§8. О факторпространстве аффинного комплексного пространства V по действию сссг группы W

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоремы типа Шевалле для дискретных групп комплексных отражений»

§1. О трансцендентной теории инвариантов

1.1. Диссертационная работа относится к тому направлению математики, которое можно назвать трансцендентной теорией инвариантов (ТТИ) или теорией инвариантов дискретных групп преобразований.

В алгебраической теории инвариантов типичной является ситуация, когда алгебраическая группа G действует на аффинном алгебраическом многообразии V над полем К, и ставится задача описания алгебры K[V]G регулярных функций на многобразии V, инвариантных относительно действия группы G.

В трансцендентной теории инвариантов мы имеем дело с дискретными группами преобразований. Здесь типична ситуация, когда имеется дискретная группа Г автоморфизмов эрмитова симметрического пространства X некомпактного типа, и действие Г на X таково, что факторпространство Х/Т имеет конечный объем. Такие дискретные группы называются решетками. Группы с компактным факторпространством называются кокомпактными (равномерными) решетками или кристаллографическими группами. В качестве простейшего примера такой дискретной группы рассмотрим в аффинном комплексном пространстве С' группу Г, порожденную 21 независимыми (над R!) параллельными переносами.

Следующий важный вопрос: что служит аналогом алгебры регулярных функций K\V\? Запас голоморфных функций на эрмитовом симметрическом пространстве X велик, но Г-инвариантными среди них оказываются только константы. Для кристаллографических групп причина этого проста: на компактном аналитическом пространстве Х/Т не существует голоморфных функций, отличных от констант. Выход из положения подсказывает классическая теория автоморфных форм: нужно линеаризовать действие группы Г, то есть продолжить это действие (согласованным образом) с X на линейное голоморфное расслоение L над X, или, другими словами, рассмотреть Г-расслоение L над X. И тогда главным для ТТИГ объектом оказывается градуированная алгебра £ = C(L) = ф H°(L®n,X) голоморфных сечеюггй тензорных степеней расслоения L. Группа Г естественно действует автоморфизмами алг^^^ры А и ставится задача описания структуры алгебры инвариантов А — Сг.

1.2. Алгебра инвариантов А была известна ещё в 19 веке под именем алгебры Г-^.^ТОМОрфных форм. На языке автоморфных форм мы и опишем наиболее важные, с нашей топесц зрения результаты ТТИ, которые имеют прямое отношение к теме наших исследований.

Математики 19 и начала 20 века (например, школа Ф. Клейна) занимались, в "^агастности следующей задачей: пусть в единичном комплексном диске В = {z 6 С | \z\ < 1} действует дискретная группа его автоморфизмов Г (фуксова группа). Предположим, что Ф»а,:кторпро-странство В/Г компактно или имеет конечный объем (фуксова решетка). Через j('у, ^г), ■у g р 2 G В, обозначим определитель Якоби преобразования 7 в точке z. Голоморфная s диске В функция / называется классической Г-автоморфной формой веса г (а функция j—1 называется классическим фактором автоморфности), если f{lz) — j"r(7, z)f(z) Для любых 7 6 Г и z £ В если факторпространство некомпактно, но конечного объема, то в одномерном слу-чае НуЖН0 дополнительно потребовать ограниченности функции / вблизи параболических то-чек (кас-пов)).

Обозначим через А градуированную (весами) алгебру Г-автоморфных форм. Что можно сказать о её структуре? Насколько автору известно, никаких общих теорем этот период развития ТТИ после себя не оставил. Но осталось множество ценных примеров.

Так, было показано, что для треугольной группы Т(2,3, 00) (~ PSL{2, Z) (по поводу треугольных групп смотри главу IV) алгебра А свободно порождается формой веса 2 и формой веса 3 (см., например, [65]), а для треугольной группы Т(2,3,7) алгебра инвариантов есть 8 гиперповерхность СрГ, У, Z\/(X2 -Ь У3 + Z7) (см. библиографию к статье [45]).

После долгого перерыва интерес к этой тематике возродился в 80-е годы прошлого века в связи с теорией В.И. Арнольда квазиоднородных двумерных особенностей. В пионерской работе [57] И.В. Долгачев показал, что такие особенности допускают униформизацию авто-морфными формами для подходящих дискретных групп Г в комплексном диске В. Главным итогом последовавшего периода бурного развития этого направления ТТИ явилась классификация таких решеток Г в диске В, для которых алгебра Г-автоморфных форм относительно классического фактора автоморфности (коцикла) j~l является полным пересечением [32], [45], [57].

Но авторы этих работ не рассматривали вопрос о том, для каких групп Г и факторов автоморфности а соответствующая алгебра Г—а-автоморфных форм будет свободна. Причина вполне понятна: свобода алгебры А означает отсутствие особенности. Вопрос о свободных алгебрах для фуксовых групп, важный сам по себе, интересен еще и потому, что свободные алгебры автоморфных форм встречаются не только в размерности 1.

1.3. Так Гундлах рассматривал кольцо целых О вещественного квадратичного расширения К = Q(\/5) и группу Г — PSL{2,0), которая естественно действует на произведении двух одномерных комплексных дисков X — В х В. Расширив группу Г с помощью автоморфизма X, меняющего местами диски, Гундлах доказал [18], что классическая алгебра автоморфных форм для расширенной группы является свободной алгеброй с тремя образующими. Вслед за Гундлахом, в рамках программы Хирцебруха по исследованию модулярных поверхностей Гильберта, была изучена структура алгебры А для расширенных модулярных групп Гильберта Г над кольцами целых Ок вещественных квадратичных расширений К — Q(\/D) дискриминанта D < 13. Подробный отчет о проделанной здесь работе содержится в книге [13].

1.4. Хольцапфель рассмотрел группу PSU(2,1, Щи]), ш = е2^, дискретно действующую в комплексном шаре В2 = {(21, г2) | |zi|2 + \z2\2 < 1}. Обозначим через Г её конгруэнц-подгруппу по модулю л/=3. Тогда, как доказано в [22], классическая алгебра А есть свободная алгебра с тремя образующими.

1.5. Наконец, важное достижение в размерности 3 принадлежит Игузе.

В его работе в качестве X рассматривалась эрмитова симметрическая область, которая выделяется в пространстве комплексных симметрических 2x2 матриц S условием ImS" > 0. Это эрмитово симметрическое пространство комплексной размерности 3 обладает неположительной кривизной и довольно сложной геометрией. В этом пространстве естественно действует модулярная группа Зигеля Г = PSp^Z) рода 2. При этом факторпространство Х/Г имеет конечный объем, но некомпактно. Игуза доказал, что алгебра А с классическим фактором автоморфности j"1 является свободной алгеброй с четырьмя образующими, веса которых равны 4, 6, 10 и 12. Опираясь на теорему Игузы, удалось полностью описать структуру алгебры автоморфных форм и для некоторых конгруэнц-подгрупп небольшого индекса в модулярной группе Зигеля Г (см. [36] и имеющуюся там библиографию).

Отметим, что все перечисленные результаты о свободе касаются исключительно арифметических некристаллографических решеток.

Если размерность X больше трех, то ничего подобного автору неизвестно. На сегодняшний день даже вычисление размерности градуированной компоненты алгебры А (в размерности > 4) вызывает большие трудности.

На этом мы закончим перечисление некоторых результатов ТТИ, повлиявших на постановку задачи, и переходим к формулировке главных результатов работы.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Шварцман, Осип Владимирович, 2009 год

1. Armstrong М. A. On the fundamental group of an orbit space // Proc. Camb. Philos. Soc. -1968. - V. 64. - P. 299-301.

2. Bernstein J., Schwarzman O. Complex crystallographic Coxeter groups and affine root systems // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. 2006. - V. 13, N 2. - P. 163-182.

3. Bernstein J., Schwarzman 0. Chevalley's theorem for the complex crystallographic groups // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. 2006. - V. 13, N 3. - P. 323-351.

4. Baily W. L. On embedding of V-manifolds in projective space // Amer. J. Math. 1957. -V. 79. - P. 403-430.

5. Baily W. Introductory lectures on automorphic forms. Ivanami Shoten and Prinston Univ. Press, 1973. - ch. 5.

6. Chevalley C. Invariants of finite groups generated by reflections // Amer. J. Math. 1955. -V. 77. - P. 778-782.

7. Cohen A.M. Finite complex reflection groups // Ann. Sci. Ecole. Norm. Sup. 1976. - V. 4, N 9. - P. 379-436.

8. Coxeter H.M.S. Discrete groups generated by reflections // Ann.of Math. 1934. - V. 35. -P. 588-621.

9. Dolgachev I.V. Invariant stable bundles over modular curves X(p) // Contemporary Math. -1999. V. 224. - P. 65-69.

10. Dolgachev I.V. Reflection groups in algebraic geometry // Bull.AMS. 2008. - V. 45, N 1. -P. 1-60.

11. Dubrovin B. Geometry of 2D topological field theories // Lecture Notes in Mathematics. -Berlin: Springer-Verlag, 1996. V. 1620. - P. 120-348.

12. Dubrovin В., Zhang Y. Extended affine Weyl groups and Frobenius manifolds // Compositio Math. 1998. - V. Ill, N 2. - P. 167-219.13. van der Geer G. Hilbert modular surfaces. Berlin: Springer, 1988.

13. Friedman R., Morgan J., Witten E. Vector bundles and F theory // Comm. Math. Phys. 1997. - V. 187, N 3. - P. 679-743.

14. Futura M., Steer B. Seifert fibered homology 3-spheres and the Yang-Mills equations on Reimann surfaces with marked points // Adv. Math. 1992. - V. 96. - P. 38-102.

15. Givental A.V. Reflection groups in singularity theory // Amer. Math. Soc. Translations. -1992. V. 153. - P. 39-71.

16. Godement R. Cohomologie des groupes discontinue // Sem.Bourbaki. 1953-1954. - Exp.90.

17. Gundlach K.B. Die Bestimmung der Funktionen zur Hilbertschen Modulgruppe des Zahl korpers Q(V5) // Math. Ann. 1963. - V. 152. - P. 226-256.

18. Gunning R. Riemann surfaces and generalized theta functions. Berlin: Springer, 1976. - Ch2, §5

19. Goryunov V. Symmetric X9 singularities and the complex affine reflection groups // Proceedings of Steklov Institute of Math. 2007. - V. 258.- P. 44-52.

20. Gottschling E. Invarianten endlichen Gruppen und biholomorphe Abbildungen // Invent. Math.- 1969. V. 6. - P. 315-326.

21. Holzapfel R-P. Geometry and arithmetic around Euler partial Differential Equations. -Dortrecht: D.Reidel, 1986.

22. Igusa J-I. On Siegel modular forms of genus two // Amer. J.Math. 1964. - V. 86. - P. 219-246.

23. Igusa J-I. Theta-functions. Berlin: Springer, 1972.

24. Кас V. G., Peterson D. H. Infinite dimensional Lie algebras, theta functions and modular forms // Adv. Math. 1984. - V. 53. - P. 125-264.

25. Kawasaki T. The Riemann-Roch theorem for complex V-manifolds // Osaka Y. Math. 1979.- V. 16. P. 151-159.

26. Kitagawa S. On classification of parabolic reflection groups in SU(n, 1) //J. Math. Soc. Japan.- 1989. V. 41, N 1. - P. 9-36.

27. Lehner J. Discontinuous groups and automorphic functions // Mathematical Surveys. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1964. - V. VIII.

28. Leites D. (ed.) Seminar on supermanifolds // Reports of Stockholm University. 1986-90. -P. 1-34.

29. Looijenga E. Root systems and elliptic curves // Invent. Math. 1976. - V. 38. - P. 17-32.

30. Macdonald I.G. Affine root systems and Dedekind's 77-function // Invent. Math. 1972. - V.15.- P. 91-143.

31. Milnor J. On the 3-dimensional Brieskorn manifolds M(p,q,r) // Ann. Math. Studies. 1975.- V. 84. P. 175-225

32. Mitchell H.H. Determination of the ordinary and modular ternary linear groups // Trans.Amer. Math.Soc. 1911. - V.12. - P. 207-242.

33. Pinkham H. Normal surface Singularities with C* // Action. Math. Ann. 1977. - V. 227. -P. 183-193.

34. Popov V. L. Discrete complex reflection groups // Communications of the Mathematical Institute, Rijksuniversiteit Utrecht. 1982. - P. 1-89.

35. Runge B. On Siegel modular forms of genus two // J.reine und angew. Math. 1993. - V. 436.- P. 57-85.

36. Saito K. Extended affine root systems. I. Coxeter transformations // Publ. Res. Inst. Math. Sci.- 1985. V. 21, N 1. - P. 75-179.

37. Satake I. Flat structure and the prepotential for the elliptic root system of type D^'1^ // In: Topological field theory, primitive forms and related topics. Birkhauser, Boston, MA: Progr. Math., 1998. - V. 160. - P. 427-452.

38. Shephard G. C., Todd J. A. Finite unitary reflection groups // Canad. J. Math. 1954. - V. 6.- P. 274-304.

39. Shvartsman О. V. Cartan matrices of hyperbolic type and nonsingular parabolic points of quotient spaces of tube domains // Selecta Math. Soviet. 1985. - V. 4, N 1. - P. 55-61.

40. Slodowy P. A character approach to Looijenga's invariant theory for generalized root systems // Compos.Math. 1985. - V. 55, N 1. - P. 3-32.

41. Springer T. A. Regular elements of finite reflection groups // Invent.Math. 1974. - V. 25. -P. 159-198.

42. Takebayashi Т. The theta function associated to the elliptic root system // J. Algebra. — 2001. V. 243, N 2. - P. 486-496.

43. Tokunaga S. and Yoshida M. Complex crystallographic groups in C2 // J. Math. Soc. Japan. -1982. V. 34. - P. 581-593.

44. Wagreich P. Algebras of automorphic forms with few generators // Trans. Amer. Math. Soc. -1980. V. 262. - P. 367-389.

45. Wirthmuller K. Root systems and Jacobi forms // Compositio Math. 1992. - V.82. -P. 293-354.

46. Yoshida M. Discrete reflection groups in the parabolic subgroup of SU(n, 1) and the generalized Cartan matrices ofEuclidean type // J.Fac.Sci.Unv.Tokyo. 1983. - V.30. - P. 25-32.

47. Верже M. Геометрия, т. 2. M.: Мир, 1984. - 4.4, §1.

48. Бернштейн И.Н.,Шварцман О.В. Теорема Шевалле для комплексных кристаллографических групп Кокстера // Функц.анализ и его прил. 1978. - Т. 12, вып. 4. - С. 79-80.

49. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. М.: Мир, 1972. - Гл. 4-6.

50. Винберг Э.Б. Эффективная теория инвариантов // Алгебра. Сборник работ, посвященный 90-летию со дня рождения О.Ю.Шмидта. М.: МГУ, 1982. - С. 27-34.

51. Винберг Э.Б. Гиперболические группы отражений // Успехи мат.наук. 1985. - Т. 40, N 1. - С. 29-64.

52. Винберг Э.Б., Попов В.Л. Теория инвариантов // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1989. - Т. 55. - С. 139-309.

53. Винберг Э.Б., Онищик A.JI. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. М.: Наука, 1988.

54. Гашков С.Б., Чубариков В.Н. Арифметика, алгоритмы, сложность вычислений. М.: Высшая школа, 2000.

55. Гротендик А. О некоторых вопросах гомологической алгебры. М.: ИЛ, 1961.

56. Долгачев И.В. Автоморфные группы и квазиоднородные особенности // Функц.анализ и его прил. 1975. - Т. 9, N 2. - С. 67-68.

57. Касселс Дж.и Фрелих А. Алгебраическая теория чисел. М.: Мир, 1969. - Гл. 4.

58. Кац В. Бесконечномерные алгебры Ли. М.: Мир, 1993.

59. Кра И. Автоморфные формы и клейновы группы. М.: Мир, 1975.

60. Кричевер И.М., Новиков С.П. Алгебры типа Вирасоро, римановы поверхности и структуры теории солитонов // Функц.анализ и его прил. 1987. - Т. 21, N 2. - С. 46-63.

61. Ленг С. Введение в алгебраические и абелевы функции. М.: Мир, 1976.

62. Мамфорд Д. Абелевы многообразия. М.: Мир, 1971.

63. Пятецкий-Шапиро И.И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций. М.: Физ-мат лит., 1961.

64. Серр Ж-П. Курс арифметики. М.: Мир, 1972.

65. Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле. М.: Мир, 1975.

66. Цишанг X., Фогт Э., Колдевай Х.-Д. Поверхности и разрывные группы. М.: Наука, 1988.

67. Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии, том 2. М.: Наука, 1988. - Гл. 9.

68. Шварцман О.В. Теорема Шевалле для комплексных кристаллографических групп, порожденных отражениями,в аффинном пространстве С2 // Успехи мат.наук. 1979. - Т. 34.- С. 249-250.

69. Шварцман О.В. О коциклах групп комплексных отражений и сильной односвязности фак-торпространств // Вопросы теории групп и гомологической алгебры. Ярославль, 1991.- С. 32-39.

70. Шварцман О.В. О фуксовых группах рода нуль // Функц. анализ и его прил. 1994. — Т. 28, вып. 4. - С. 66-73.

71. Шварцман О.В. Свободные G-пучки на замкнутых римановых поверхностях // Успехи мат.наук. 1999. - Т. 54, N 6. - С. 175-176.

72. Шварцман О.В. Об одном примере Д. Мамфорда и факториальности алгебр автоморфных форм для плоских групп рода 0 // Успехи мат. наук. 2003. - Т. 58, N 2. - С. 179-180.

73. Шварцман О.В. Свободные алгебры автоморфных форм на верхней полуплоскости // Функц. анализ и его прил. 2003. - Т. 37, вып. 2. - С. 147-154.

74. Шварцман О.В. Гиперболические группы Шевалле в С2 // Функц. анализ и его прил. -2009. Т. 43, вып. 2. - С. 64-72.

75. Шейнман O.K. Эллиптические аффинные алгебры Ли // Функц.анализ и его прил. 1990.- Т. 24. С. 51-61.

76. Шейнман O.K. Алгебры Кричевера Новикова и ССС-группы // Успехи мат.наук. - 1995.- Т. 50. С. 253-254.

77. Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций. М.: Мир, 1973.

78. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М.: Мир, 1964. - Гл. 8.

79. Хермандер JI. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. М.: Мир, 1968. - Гл. 5, 7.

80. Ху Сы-Цзян. Теория гомотопий. М.: Мир, 1964.