Теоремы регулярности убывания в линейно-инвариантных семействах функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Ганенкова, Екатерина Геннадьевна

• Ганенкова, Екатерина Геннадьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ганенкова, Екатерина Геннадьевна

Введение

1 Теоремы регулярности убывания для аналитических в единичном круге функций

1.1 Линейно-инвариантные семейства. Теоремы регулярности

1.2 Поведение производных в угловой области.

1.3 Направления интенсивного убывания.

1.4 Подклассы универсального линейно-инвариантного семейства

1.5 Аналог теоремы регулярности для производных высших порядков

2 Теорема регулярности убывания для аналитических в поликруге функций

2.1 Обобщение понятия линейно-инвариантного семейства. Теорема регулярности.

2.2 Частные производные в угловой области

2.3 Теорема Бейджмила для остова поликруга.

2.4 Мощность множества направлений интенсивного убывания

2.5 Об аппроксимации функций из линейно-инвариантных семейств

2.6 Поведение частных производных высших порядков вблизи точки остова поликруга, соответствующей направлению интенсивного убывания.

2.7 Теоремы регулярности для функций Блоха.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоремы регулярности убывания в линейно-инвариантных семействах функций»

Объектом изучения данной диссертации являются линейно-инвариантные семейства аналитических функций. Семейство ШТ функций f(z) = z + . , аналитических и локально однолистных в единичном круге А, называется линейно-инвариантным семейством, если вместе с функцией f(z) оно содержит также и функцию вида

ДФ)) - /МО)) /'МО)У(О) для любого конформного автоморфизма cp(z) единичного круга А. Определение таких семейств было дано в 1964 г. X. Поммеренке в работе [44], хотя свойство линейной инвариантности использовалось и ранее: так, например, Л. Бибербах, используя линейную инвариантность класса S аналитических и однолистных в А функций, получил в этом классе известные теоремы искажения и вращения (см. [29], [30]). Еще одним важным звеном в доказательстве результатов Бибербаха служила оценка модуля второго коэффициента в разложении функций класса S в ряд Тейлора [29]: для любой функции f{z) 6 S, f(z) = z + aoz2 + ., справедлива точная оценка |а.2 ] < 2, причем равенство достигается только для функции Кёбе (ГТ^Г ' е R

С этим фактом связано введение для линейно-инвариантных семейств величины, получившей название порядка, огсШ = i sup |/"(0)|, fem которая стала для таких семейств важнейшей характеристикой.

Изучение линейно-инвариантных семейств вызвало большой интерес. Оказалось, что многие известные классы конформных отображений являются линейно-инвариантными. Следовательно, появилась возможность изучать общие свойства таких классов функций. И если раньше изучение многих классов конформных отображений зачастую основывалось на свойствах, характерных для функций конкретного семейства, то с введением понятия линейной инвариантности стало возможным разработать универсальные методы изучения свойств классов локально однолистных функций.

В качестве примеров линейно-инвариантных семейств приведем следующие:

• Семейство LS всех аналитических и локально однолистных в Д функций f(z) = z + • • .

• Семейство S С LS однолистных в А функций; ord S = 2 [29].

• Семейство К С S выпуклых функций (функций из 5, для которых /(А) —- выпуклая область); ord К — 1 [15, с. 202].

• Класс Vk функций с ограниченным граничным вращением (/ 6 14 тогда и только тогда, когда для каждого г € (0; 1) полная вариация угла наклона касательной к образу окружности {z : \z\ — г} не превосходит

Ьг); ord Vk = ^ [40], [41].

В [44] также было введено понятие универсального линейно-инвариантного семейства Ua, являющегося объединением линейно-инвариантных семейств порядка, не превосходящего а, и, следовательно, позволяющего изучать все такие семейства в совокупности. В [44] показано, что при а < 1 классы Ua пусты, Ы\ совпадает с классом К выпуклых функций, класс S содержится в классе U2, но с ним не совпадает. Заметим, что для любого а > 1 семейство Ыа содержит многолистные функции (см. [44]): функция m

2г7

1 + z

7 > 0 является бесконечнолистной и принадлежит классу U^д 1+т2)- Особое внимание Поммеренке уделял семействам конечного порядка, так как такие семейства являются нормальными.

Для линейно-инвариантных семейств хорошо известен класс теорем, характеризующих рост модулей функций и их производных при приближении аргумента к границе единичного круга. Такие утверждения получили название теорем регулярности роста. Самым известным таким результатом является теорема регулярности роста в классе S :

Теорема А (регулярности роста в S) [31, с. 104-105], [38], [39] (см. также [17, с. 120-121], [19, с. 80-82], [23, с. 121-123]). Пусть f Е S. Тогда

1) существуют числа 5 € [0,1] и (р° б [0; 2тг) такие, что

6 = lim max|/(z)|

1 - rf r max I f(z) I z=r

1 - rf

1+Г lim

Г-41

1-r)

21 Г lim

IJ K l + r

2) величины, стояш}ие под знаком предела, не возрастают по г £ (0,1);

3) 5 = 1 f(z) = fe(z) — функция Кёбе.

Первая часть теоремы говорит о том, что функции, имеющие экстремальную для класса S скорость роста, растут гладко, регулярно (т.к. предел существует). Более того, эти функции имеют такой рост на некотором радиусе г G (0; 1), / 6 [0; 2тг).

Часть теоремы А, касающаяся модулей функций,, получена в 1951 г. В. К. Хейманом в [38]. В 1955 г. Я. Кшиж продолжил исследования Хеймана: описал характер роста модулей производных и получил второе и четвертое равенства первого пункта теоремы А (см. [39]). JL Бибербах в [31] привел новое, более простое доказательство теоремы А.

Результат, подобный теореме А, был получен в [23, с. 121-125] В. К. Хейманом для функций, р-листпых в среднем по окружности в круге Д (функция f(z), аналитическая в А, называется р-листной в среднем по окружности в круге А, если 1

-2тг

2тг Л n(Rel(p) dip <р \/R G (0; 1), здесь р > 0, n(w) — число корней уравнения f(z) = w в А):

Пусть f(z) = z + . р-листна в среднем по окружности в круге А. Тогда

1) существуют числа 5 G [0,1] и ср G [0; 2тг) такие, что lim г-Яmax|/(z)|

1 - rfP rp lim

1 rfp rp

2) величина, стоящая под знаком первого предела, не возрастает по ге( 0,1);

8) 5 = 1<= f(z) = в е R.

1 - zeid)2P:

Д. М. Кэмпбелл в [32] обобщил приведенные выше теоремы регулярности роста на функции из 5 П Ua, 1 < ос < 2. В этой же работе он высказал гипотезу о справедливости такой теоремы для класса V/~ функций с ограниченным граничным вращением. Гипотеза оказалась верной: в 1984-85 гг. в [21] и [22] В. В. Старков получил такой результат не только для класса 14, а и для любого семейства Ua, а < оо. Фрагментом этой теоремы является

Теорема В (регулярности роста в Ыа) [13], [21], [22], [32]. Пусть f еИа. Тогда

1) существуют постоянные £ [0,1] и ср° £ Ж такие, что

S°= lim lim r-> lmax \f(z)\2a

Z\—T

I f{re^)\2a

1 - /Л 1 + rJ an a lim lim max \f'(z)\

IZ =r

1 -r)a+1 (1 + r)a-l

2) величины, стоящие под знаком предела, не возрастают по г £ (0,1) для любого £ М; 1 + ze

S) S° = 1 f(z) = I<o(z) = ванное вещественное число.

2a ze

-ie

- 1 где в — фиксиро

Второй пункт этой теоремы получил Д. М. Кэмпбелл в [32], В. В. Старков привел новое, более простое его доказательство.

Приведенная в теореме В функция Kg(z) введена Поммеренке в [44] и является обобщением функции Кёбе для универсального линейно-инвариантного семейства Ыа• При а = 2 мы получим классическую функцию Кёбе,

2, при а = 1, в — 0 получим функцию --, которая, как и функция Кёбе

1 — z в классе S, является экстремальной во многих задачах в классе выпуклых функций.

Константа из теоремы В введена Спенсером в [46]. Для р-листных в среднем функций она подробно изучалась Хейманом (см. [23, с. 4б, 50, 124]), поэтому такую константу принято называть числом Хеймана функции f(z). Число <£>° из теоремы В называют направлением максимального роста функции f(z). Направлением интенсивного роста функции f(z) называется ([22]) каждое такое в £ [0; 2п), что lim i/V)l l-r) a+1

1 +Г) a—1 5e> 0 такой предел всегда существует), 5в называется ([22]) числом Хеймана функции f(z), соответствующим направлению интенсивного роста д.

В 1996 г. Я. Годуля и В.В. Старков в работе [37] обобщили понятие линейно-инвариантных семейств на функции, аналитические в поликруге Дп = А X • • • Ж А. Условия на функции, образующие линейно-инвариантные семейства по Поммеренке, были перенесены на многомерный случай следующим образом: для фиксированного натурального числа I, 1 < I < п, семейство DJti аналитических в Дп функций f(z) было названо Z-линейно-инвариантным семейством, если для каждой функции из этого семейства п

1) ^ОвД", /(О) = 0, |(0) = 1, где О = (0,., 0) - центр поликруга;

2) f(zel$)e~iei € для любой функции / 6 ШТ/ и любого 9 = (<9х, 0„) е R", где = (ziei01,., ^е*»);

3) для любой функции / € ЯЯг и для любого а = (ах, .,ап) 6 Дг

Wd-hl2) где . / 2гх + ах ап \

Ы*) = ч1 + ах^х'' 1 + anznJ — автоморфизм поликруга Дп.

По аналогии с одномерным случаем в [37] был введен порядок линейно-инвариантного семейства. Пусть = 1 + сх(/, фх + . + Cn(f, a)zn + о(М), здесь под ||.г|| понимаем поликруговую норму ЦгЦ = ||(^i> • • •, zn)|| = max \zk\. к

Порядком линейно-инвариантного семейства называется число 1 ordatt/ = -sup sup ||(cx(/,a),.,cn(/,a))||, feMi абД"

Также было введено универсальное I-линейно-инвариантное семейство U^, как объединение всех линейно-инвариантных семейств, порядок которых не превосходит а.

При п = 1 эти определения совпадают с определениями X. Поммеренке из [44].

Пусть Т = дА, Тп — остов поликруга. Важным для изучения функций, аналитических в Дп, является вопрос о поведении этих функций при приближении z к остову Тп. После того, как понятие линейно-инвариантного семейства было обобщено на случай поликруга, появилась возможность получить многомерный аналог результатов, касающихся регулярности роста, что и было сделано в [14].

Обозначим rk = г = (гх,., гп), где rk е (0; 1) V& = 1,., п, тогда z = гег9. Пусть I = (1—,1—). Для f £Ы1а пусть вд = dzt

П /Л \ О.

Теорема С (регулярности роста в Ula) [14]. Пусть f(z) <Е Ы1а. Тогда

1) величины (для любого фиксированного в) и тах^(г) не возрастают по каоюдой переменной rk G (0,1); величина max INI<r

1 dzi w

1-г) an+1

1 + r) an—1 не возрастает no r G (0,1);

2) существуют такие 5° 6 [0,1] и 6° <G 3Rn; что

5° = lim

3)80 max df

Г-Ъ1 [||2||<Г i <=s> № dzi

1-r) an+l

1 + Г) an—1 lim max F$ (r) = lim Fgo (r); r—>/ в r ->I ei<h

2a n fili

1 + zke~iek' a zke

-i9k Q(z 1, • - • , Zl-1, Zl+1, . . . , Zn), где Q — любая аналитическая в An функция, такая, что Q(О) = 0.

Естественно рассмотреть задачу, симметричную описанной выше: охарактеризовать УБЫВАНИЕ модулей производных функций из линейно-инвариантных семейств вблизи границы единичного круга или единичного поликруга. Этому вопросу и связанным с ним задачам посвящена данная диссертационная работа.

Перейдем к изложению основных результатов диссертации. Будем использовать номера теорем, введенные в основном тексте данной работы.

Первая глава посвящена теореме регулярности убывания в классе Ua и связанных с ней задачам. В разделе 1.1 получен результат, описывающий характер убывания модулей производных функций, принадлежащих Ыа.

Теорема 1.1 (регулярности убывания в Ыа) . Пусть f EUa. Тогда

1) существуют постоянные 5q G [1,оо] и <ро Е М такие, что

So lim г-» 1min \f'(z)\ z =r

1+г) (1-г) a+l"| a—1 lim f'{reitpo)\

1 + 0 (1-r) a+l' a—1

2) выражения, стоящие под знаком предела, не убывают, по г 6 (0,1) для любого сро € М/

3)6Q = 1<=* f(z) = ke{z) = ном

J в

2а

-гв\ а

1 — ze 1 4- ze~i9 при фиксирован

В разделе 1.2 мы рассматриваем функции семейства 1Аа, имеющие хотя бы одно направление интенсивного убывания (н.и.у.), то есть такое число в € [0, 27г), для которого lim \fVeie)\[] + Tl =5в<оо. г-> 1- lJ К (1 - г)

По аналогии с терминологией теорем регулярности роста, число <5# мы называем числом Хеймана функции f(z), соответствующим н.и.у. 9. )

Показано, что модуль п-ой производной таких функций \f^n\z)\ и функция • 5g являются эквивалентными бесконечно малыми величинами в угловой области с вершиной в точке егв при —егв. Таким образом, исследование производных абстрактной функции f(z) Е Ыа с указанным свойством можем свести к изучению производных функции kg(z) из теоремы 1.1, имеющей конкретное аналитическое выражение.

Теорема 1.3 . Пусть а > 1, / 6 Ua, 0 — направление интенсивного убывания функции f, которому соответствует число 6д.

7Г

Обозначим А(г}) — угол Штольца раствора 2г], г) Е (0, —) с вершиной в

• Л . точке ei9, Ф(С) = axg f (p(C)eie), С € АЩ, где

Л1-^)2 1 1 Л Л

Тогда для любых п, удовлетворяющих условиям п < а + 1, при а Е N п — любое натуральное, при a ^N справедливо:

С) & fcW(C) и-"в угле Штольца А (77).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ганенкова, Екатерина Геннадьевна, 2010 год

1. Ганенкова Е. Г. К теореме регулярности убывания для аналитических функций / Е. Г. Ганенкова // Материалы IV Петрозаводской международной конференции по комплексному анализу. Петрозаводск, 2008.C. 10-11.

2. Ганенкова Е. Г. Некоторые граничные свойства аналитических в поликруге функций, образующих линейно-инвариантные семейства / Е. Г. Ганенкова // Труды Петрозаводского государственного университета. Сер. математика. 2009. - Вып. 16. - С. 12-31.

3. Ганенкова Е. Г. Теорема регулярности убывания в линейно-инвариантных семействах функций / Е. Г. Ганенкова // Материалы Пятой молодежной научной школы-конференции "Лобачевские чтения-2006". Казань, 2006. - С. 47-49.

4. Ганенкова Е. Г. Теорема регулярности убывания в линейно-инвариантных семействах функций / Е. Г. Ганенкова // Материалы Восьмоймеждународной Казанской летней научной школы-конференции. -Казань, 2007. С. 71-72.

5. Ганенкова Е. Г. Теорема регулярности убывания в линейно-инвариантных семействах функций / Е. Г. Ганенкова // Труды Петрозаводского государственного университета. Сер. математика. 2006. - Вып. 13. -С. 46-59.

6. Ганенкова Е. Г. Теорема регулярности убывания в линейно-инвариантных семействах функций / Е. Г. Ганенкова // Известия ВУЗов. Сер. математика. 2007. - N 2 (537). - С. 75-78.

7. Ганенкова Е. Г. Теорема регулярности убывания для аналитических в поликруге функций / Е. Г. Ганенкова // Труды Петрозаводского государственного университета. Сер. математика. 2007. - Вып. 14. - С. 14-30.

8. Ганенкова Е. Г. Теорема регулярности убывания для аналитических в поликруге функций / Е. Г. Ганенкова // Тезисы докладов 14-й Саратовской зимней школы, посвященной памяти академика П. JT. Ульянова. Саратов, 2008. - С. 51-52.

9. Ганнинг Р. Аналитические функции многих комплексных переменных / Р. Ганнинг, X. Росси. М.: Мир, 1969. - 397 с.

10. Годуля Я. Линейно-инвариантные семейства / Я. Годуля, В. В. Старков / / Труды Петрозаводского государственного университета. Сер. математика. 1998. - Вып. 5. - С. 3-96.

11. Годуля Я. Теорема регулярности для линейно-инвариантных семейств функций в поликруге/ Я. Годуля, В. В. Старков // Известия ВУЗов. Сер. математика. 1995. - N 8. - С. 21-33.

12. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного / Г. М. Голузин. М.: Наука, 1966. - 628 с.

13. Коллингвуд Э. Теория предельных множеств / Э. Коллингвуд, А. Ловатер. М.: Мир, 1971. - 312 с.

14. Лебедев Н. А. Принцип площадей в теории однолистных функций / Н. А. Лебедев. М: Наука, 1975. - 336 с.

15. Математическая энциклопедия: в 5 т. / гл. ред. И. М. Виноградов. -М.: Советская энциклопедия, 1977. Т. 1. - 1152 с.

16. Милин. И. М. Однолистные функции и ортонормированные системы / И. М. Милин. М.: Наука, 1971. - 256 с.

17. Носиро К. Предельные множества. / К. Носиро. М: Иностранная литература, 1963. - 252 с.

18. Старков В. В. Теорема регулярности в универсальных линейно-инвариантных семействах функций / В. В. Старков // Труды международной конференции по конструктивной теории функций (Варна 1984). -София, 1984. С. 76-79.

19. Старков В. В. Теоремы регулярности для универсальных линейно-инвариантных семейств функций / В. В. Старков / / Сер дика. 1985. -Т.Н. - С. 299-318.

20. Хейман В. К. Многолистные функции / В. К. Хейман. М.: Иностранная литература, 1960. - 180 с.

21. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ: в 2 ч. / Б. В. Шабат. М.: Наука, 1976. Ч. 2. - 400 с.

22. Bagemihl F. Curvilinear cluster sets of arbitrary function/ F. Bagemihl // Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 1955. - Vol. 41. - P.379-382.

23. Bagemihl F. Functions of bounded characteristic with prescribed ambigous points/ F. Bagemihl, W. Seidel // Michigan Math. J. 1955-56. - Vol. 3. -P. 77-81.

24. Bagemihl F. Rectilinear limits of a function defined inside of spherej F. Bagemihl // Michigan Math. J. 1957. - Vol. 4. - P. 147-150.

25. Bagemihl F. Ambiguous points of a functions harmonic inside a sphere/ F. Bagemihl // Michigan Math. J. 1957. - Vol. 4. - P. 153-154.

26. Bieberbach L. Uber die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln/ L. Bieberbach. Sitzgs-ber. PreuB. Acad. Wiss. - 1916. - V. 138. - P. 940-955.

27. Bieberbach L. Aufstellung und Beweis des Drehungssatzen fur schlichte kon-forme Abbildung / L. Bieberbach // Math. Z. 1919. - N 4. - P. 295-305.

28. Bieberbach L. Einfiihrung in die konforme Abbildung f L. Bieberbach. -Berlin: Sammlung Goschen, Band 768/786a. 1967. - 184 p.

29. Campbell D. M. Applications and prvofs of a uniqueness theorems for linear invariant families of finite order / D. M. Campbell /J Rocky Mountain J. of Math. 1974. - V. 4. - N 4. - P. 621-634.

30. Church P. Т. Ambiguous points of a functions homeomorphic inside a sphere/ P. T. Church // Michigan Math. J. 1957. - Vol. 4. - P. 155-156.34