Теоремы Гуревича для толерантных пространств тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Коробченко, Елена Витальевна

• Коробченко, Елена Витальевна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Коробченко, Елена Витальевна

Оглавление

Введение

1 Основные понятия

1.1 Категории толерантных пространств

1.2 Группы гомологий толерантных пространств

1.3 Толерантные гомотопические группы

2 Пространства толерантных путей и толерантные расслоения

2.1 Пространства толерантных путей

2.2 Толерантные расслоения

2.3 Толерантные расслоения пространств толерантных путей

3 Спектральная последовательность Лере-Серра толерантного квазирасслоения толерантных путей

3.1 ТС кубы с вершинами в линейно связном подпространстве

3.2 ТС кубы в толерантном квазирасслоении толерантных путей

3.3 Построение спектральной последовательности толерантного квазирасслоения толерантных путей

3.4 Точная гомологическая последовательность Серра

4 Теоремы Гуревича для толерантных пространств

4.1 Доказательство теоремы Гуревича для толерантных пространств ;

4.2 п-связные толерантные расслоения и квазирасслоения

4.3 Обобщенная теорема Гуревича для толерантных пространств

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоремы Гуревича для толерантных пространств»

Введение

Основной целью диссертационной работы является доказательство теоремы Гуревича и обобщенной теоремы Гуревича для толерантных пространств, устанавливающих связи между толерантными гомотопическими и гомологическими группами. При этом доказательства этих теорем получены с помощью метода разработанного Ж.П. Серром, который удалось перенести в теорию толерантных пространств.

Коротко охарактеризуем предмет диссертационного исследования. В последние десятилетия были разработаны ряд направлений исследований, использующих категорную и алгебро-топологическую технику для изучения дискретных по своей природе объектов, таких как автоматы, дискретные системы управления, вычислительные сети, параллельные вычислительные процессы, формальные лингвистические системы и др. В настоящее время наиболее разработанными являются два направления, идейно и технически близкие друг другу. Первое из этих направлений связано с теорией толерантных пространств и представлено в работах Доукера, Зимана, Мюира, Уорнера, Арбиба, Шрейдера, Небалуева и др. Второе же направление систематически использует теоретико-категорные методы и представлено работами Губо, Гоше, Иенсена, Шил-дса, Хусаинова и др. Оба эти направления представляются весьма перспективными, активно развиваются в России и за рубежом и вызывают интерес специалистов разных направлений. Диссертационная работа развивает первое из указанных выше направлений.

Методы гомологической алгебры в теории отношений первым применил Доукер в работе [41] 1956 года. При этом Доукера интересовали введенные им группы гомологий отношений с точки зрения их приложений к алгебраической топологии. Затем в 1962 году Зиман в работе [48] определил отношения толерантности, которые оказались интересными как с математической, так и с прикладной точек зрения. Зиман в своей работе применил алгебро-топологические методы" для построения математической модели зрительного анализатора. Эта математическоя модель должна была отражать непрерывную и дискретную стороны в работе зрительного анализатора, и учитывать порог чувствительности модели-

руемого объекта. Решая эти задачи, Зимаи определил толерантное пространство, представляющее собой пару, состояющую из произвольного множества, которое может быть как континуальным, так и дискретным и конечным, и бинарного отношения толерантности, которое должно быть рефлексивным и симметричным, и которое определяется наличием порога чувствительности. Понятно, что толерантные пространства получаются везде, где присутствуют приближенные измерения и вычисления. Такие пространства состоят из множеств, на которых заданы метрики, а пары точек в этих множествах принадлежат отношениям толерантности, если они удалены друг от друга не более, чем на некоторую фиксированную величину, определяемую точностью измерений и вычислений. Введенные Зиманом отношения толерантности стали интерпретироваться как наиболее общая систематическая модель схожести, и интерес к ним проявили специалисты самых разнообразных направления, таких как теория автоматов, дискретные системы управления, математическая лингвистика и др. (см. работы [1], [40], [44]- [47], [37], [38]).

В 1970 году вышла в печати важная работа Зимана и Бьюнемана [3], в которой ряд интересных вопросов, имеющих прикладное значение, были сформулированы как математические задачи гомологической теории толерантных пространств. Однако, решение этих задач тормозилось неразвитостью теории гомологий толерантных пространств и отсутствием сколь-нибудь продвинутого варианта гомотопической теории. Тем не менее, ситуация постепенно менялась. В частности, в серии работ Небалуева С.И. и соавторов (см. библиографию) была построена достаточно развитая гомологическая и гомотопическая теория толерантных пространств, с помощью которой удалось решить некоторые из задач, сформулированных в работе [3]. Одним из результатов развития гомотопической теории толерантных пространств было построение теории толерантных накрытий, включающей теорию толерантных накрывающих преобразований. Теория толерантных накрытий является перспективной и с точки зрения приложений, т.к. по мнению Зимана и Бьюнемана (см. работу [3]) толерантные накрытия и, более обще, толерантные расслоения являются подходящим инструментом для описания неоднозначности в поведении сложных систем. Следующий этап развития толерантной гомотопической теории связан с построением теории толерантных гомотопических групп и толерантных расслоений (см. [16]', [19], [20], [23]). После этого следующей актуальной темой стало изучение связи между толерантными гомотопическими и гомологическими группами. В классической алгебраической топологии этому вопросу посвящены теоремы Пуан-

каре и Гуревича. Толерантный аналог теоремы Пуанкаре, об изоморфизме между первой гомологической группой и фактор-группой фундаментальной группы по коммутанту, был доказан Небалуевым С.И. (см. [21]). А толерантные теоремы Гуревича, как это было уже отмечено, являются темой данной диссертации. Не менее важным предметом исследований в диссертационной работе является разработка метода, позволяющего получить доказательства указанных выше теорем, а также и многих других результатов. Этим методом является, приспособленный к теории, толерантных пространств, метод предложенный Ж.П. Серром.

Метод Ж.П. Серра в алгебраической топологии основан на построении расслоения с данной базой расслоения и со стягиваемым пространством расслоения, что позволяет применять специальную спектральную последовательность, которую принято называть спектральной последовательностью Лере-Серра расслоения. Это позволяет решать многие задачи гомотопической теории алгебраическими средствами. Для толерантных пространств спектральная последовательность Лере-Серра толерантного расслоения была построена в работах Кляевой И. А. и Небалуева С.И. (см. [5], [б], [23], [24], [25], [26], [27]). Однако, для применения метода Серра необходимо построение толерантного расслоения со стягиваемым пространством расслоения. В алгебраической топологии таковыми пространствами являются пространства непрерывных путей. В толерантном случае построение таких пространств является технически более сложной задачей. Эти трудности обусловлены тем, что толерантные пути представляют собой конечную последовательность точек, т.е. объект дискретной природы, и это значительно осложняет решение многих задач, и, в частности, стягиваемости. Имеющиеся трудности требуют определенного компромисса между построением толерантного расслоения и удовлетворения свойства толерантной стягиваемости пространства расслоения. Компромисс заключается в том, что на множестве толерантных путей определяется специальным образом отношение толерантности, превращающее его в условно толерантно стягиваемое пространство, определяющее не толерантное расслоение, а лишь квазирасслоение. Тем не менее, в диссертации доказывается, что толерантное квазирасслоение определяет спектральную последовательность аналогичную спектральной последовательности Лере-Серра толерантного расслоения. Формальные свойства этой спектральной последовательности с помощью толерантной теоремы Пуанкаре позволяют доказать теорему Гуревича о том, что для односвязного толерантного пространства первые нетривиальные толерантные гомотопические и гомологические группы изоморфны. От-

метим, что теорему Гуревича можно доказывать разными способами, но способ, основанный на методе Серра, имеет преимущества в том, что он алгебраичен, и поэтому более универсален. Это подтверждается доказательством обобщенной теоремы Гуревича, где метод Серра абсолютно необходим. Обобщенная теорема Гуревича содержит в качестве частного случая теорему Гуревича, но ее формулировка носит более абстрактный и алгебраический характер, что требует соответствующих методов доказательства с одной стороны, а с другой значительно расширяет круг ее приложений.

Основной текст диссертации разделен на четыре главы. В первой главе содержатся необходимые предварительные сведения из гомологической и гомотопической теории толерантных пространств. В первой главе также доказывается ряд утверждений, используемых в других главах. К этим утверждениям относятся предложение 1.1 и предложение 1.2 о тривиальности гомологических и гомотопических групп условно толе-рантно стягиваемых пространств, теорема 1.1 об естественной изоморф-ности функторов толерантных гомотопических групп, используемых в диссертации.

Во второй главе определяются различные толерантные пространства толерантных путей, изучаются их свойства (в частности, свойство условной толерантной стягиваемости) и доказывается важная для основной цели теорема 2.3, утверждающая наличие классического изоморфизма между толерантными гомотопическими группами толерантного пространства и пространства его толерантных петель. Параграф 2.2 этой главы посвящен толератным расслоениям. Здесь формулируется и доказывается критерий толерантного расслоения и приводятся примеры толерантных расслоенных пространств. В заключительном параграфе 4.3 строятся толерантные пространства толерантных путей. Изучается их толерантная стягиваемость. Затем для этих пространств изучается свойство накрывающей гомотопии. При этом доказывается, что условно то-лерантно стягиваемое пространство толерантных путей образует над исходным толерантным пространством квазирасслоение, в том смысле, что накрывающая гомотопия имеет небольшое искажение в начальных условий. Однако, этого будет достаточно для получения результатов, лежащих в основе метода, аналогичного методу Серра в алгебраической топологии.

Третья глава посвящена построению спектральной последовательности толерантного квазирасслоения толерантных путей аналогичной спектральной последовательности Лере-Серра толерантного расслоения (см.

[28]). В первом параграфе доказывается теорема 3.3 об изоморфности групп А-пунктированных толерантных кубических сингулярных гомо-логий и гомологий Зимана на категории линейно связных пунктированных толерантных пространств. Стоит заметить, что теорема 3.3 является обобщением основных результатов работы [26]. При этом доказательство теоремы 3.3 оказалось значительно прозрачнее и проще. Причина такого упрощения заключается в использовании процедуры окаймления толерантных сингулярных кубов вместо процедуры их полного двойного замедления. В контексте теоремы 3.3 процедура окаймления позволила более выгодно использовать специфику толерантных пространств, особенно в формулировке и доказательстве теоремы 3.2. В параграфе 3.2 для п-мерного ^-пунктированного толерантного сингулярного куба ъи в пространстве квазирасслоения определяются два новых толерантных сингулярных куба: один в базе — Ъ3(т), а другой в слое — До-

казывается теоремы 3.4 и 3.5, которые утверждают, что по толерантным сингулярным кубам Ъ8(ги) и $8(ъи) можно построить толерантный сингулярный куб ]¥(иуу), который будет толерантно гомотопен исходному ю. Далее, используя весовую фильтрацию комплекса Г2-пунктированных нормализованных толерантных сингулярных кубов пространства квазирасслоения, строится гомологическая спектральная последовательность. Затем, с помощью доказанных ранее свойств толерантных сингулярных кубов квазирасслоения, вычисляются (с точностью до изоморфизма) первые два члена этой последовательности. В соответствии с уже принятой терминологией (см. [12]) полученную спектральную последовательность, будем называть спектральной последовательностью Лере-Серра толерантного квазирасслоения. Результаты параграфа 3.3 о свойствах спектральной последовательности Лере-Серра имеют ряд важных следствий. В частности, из него следует наличие точной гомологической последовательности, которую принято называть последовательностью Сер-ра (см. [12], гл. 5, § 5.2).

Четвертая глава содержит основные результаты диссертационной работы. В параграфе 4.1 доказывается толерантный аналог теоремы Гуре-вича, в котором утверждается, что первые нетривиальные толерантные гомотопические и гомологические группы линейно связного односвяз-ного толерантного пространства будут изоморфны. При этом строятся гомоморфизмы Гуревича, которые дают, в частности, изоморфизмы в теореме Гуревича. В заключении этого параграфа приводится полезный пример, иллюстрирующий применение теоремы Гуревича для толерантных пространств. В следующем параграфе 4.2 вводятся понятия

п-связного толерантного пространства и п-связного толерантного квазирасслоения. Затем доказывается ряд свойств (предложения 4.1 и 4.2), из которых получается теорема 4.3 о существовании п-связного толерантного квазирасслоения для любого линейно связного пространства. Заключительный параграф 4.3 посвящен доказательству обобщенной теоремы Гуревича 4.5, утверждающей, что для линейно связного односвяз-ного толерантного пространства, первые гомотопические группы которого до (п — 1)-й принадлежат Х-ацикличному кольцу абелевых групп, имеем, что его первые гомологические группы до (п — 1)-й также принадлежат ^-ацикличному кольцу абелевых групп, а гомоморфизмы Гуревича являются %-изоморфизмами до размерности п. В начале данного параграфа дается ряд необходимых определений: класса Серра абелевых групп, кольца абелевых групп, ацикличности классов Серра, X-изоморфности и ЗС-эквивалентности. Отмечается, необходимое для дальнейшего, свойство (см. предложение 4.4). Затем доказывается теорема 4.4 (о ЗС-свойствах толерантных расслоений и квазирасслоений). Из этой основной теоремы мы получаем ряд важных следствий, которые позволяют в результате доказать обобщенную теорему Гуревича 4.5.

В заключении подводятся итоги и отмечается важность, разработанного в диссертации, толерантного аналога метода Серра.

Заключение диссертации по теме «Математическая логика, алгебра и теория чисел», Коробченко, Елена Витальевна

Заключение

В диссертационной работе доказательства теорем Гуревича были получены с помощью метода, предложенного известным французским математиком Ж.П. Серром. Метод Серра основан на построении расслоения со стягиваемым пространством расслоения, и применении спектральной последовательности Лере-Серра. Вторая и третья главы диссертации фактически посвящены получению результатов, позволяющих перенести метод Серра в теорию толерантных пространств. Это позволило применить этот метод в заключительной главе 4 для доказательства теорем Гуревича для толерантных пространств. Заметим, что теорему Гуревича 4.2 можно было попытаться доказать, не применяя метод Серра, а используя конструкцию гомоморфизма Гуревича из п.4.1, гл.4. Но доказательство обобщенной теоремы Гуревича 4.5, чья формулировка носит значительно более абстрактный и алгебраический характер, необходимо требует применения метода Серра. Другие применения метода Серра в теории толерантных пространств и вычисления, испольующие толерантные теоремы Гуревича, остались за пределами данного диссертационного исследования, имеющего и без того значительный объем и ограниченного рамками темы, указанной в названии диссертации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Коробченко, Елена Витальевна, 2012 год

Литература

1. Арбиб М. Теория автоматов с точки зрения теории управления // Сб. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971. С.185-265.

2. Быкова A.C. Действие фундаментальной группы на гомотопические группы толерантных пространств // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения. Тезисы докладов VI Международной конференции, посвященной 100-летию Н.Г.Чудакова. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. С.31-32,

3. Зиман Э., Бьюнеман О. Толерантные пространства и мозг // Сб. На пути к теоретической биологии. М.: Мир, 1970.

4. Кляева И.А. Гомологии толерантных сфер // Математика. Механика. Сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып.7.С.50-53.

5. Кляева И.А. Спектральные последовательности толерантных расслоений // Известия Сарат. ун-та. Новая серия. Серия «Математика. Механика. Информатика.» Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2008. т.8. Вып.4. С.13-18.

6. Кляева И.А. Гомологии приведенных толерантных кубических сингулярных цепей различной вырожденности / / Математика. Механика. Сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2008. Вып. 10. С.27-29.

7. Коробченко Е.В. Гомологические свойства конструкции окаймления толерантных сингулярных кубов // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Межвуз. сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2010. Вып.6. С.27-37.

8. Коробченко Е.В. Неподвижные точки толерантных отображений // Математика. Механика. Сб. научн, тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2010. Вып. 12. С.41-44.

9. Коробченко Е.В. Гомотопические группы пространств толерантных петель // Известия Сарат. ун-та. Новая серия. Серия «Математика. Механика. Информатика.» Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2011. т. 11. Вып.З. С. 15-20.

10. Коробченко Е.В. Изоморфность гомотопических групп толерантных пространств, определенных через толерантные сфероиды разного размера // Математика. Механика. Сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2011. Вып. 13. С.40-43

11. Коробченко Е.В. n-связные толерантные квазирасслоения и теоремы Гуревича для толерантных пространств // Чебышевский сборник. Труды VIII международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения». Тула, 2011. Т. 12. Вып. 2(38). С.39-53.

12. Мак-Клири Дж. Путеводитель по спектральным последовательностям. // М.: МЦНМО, 2008.

13. Небалу ее С. И., Шимелъфениг О. В. Автоматоматно-игровая модель управления поведением // Сб. Анализ и синтез конечных автоматов. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1973. С.38-42.

14. Небалуее С.И. Фундаментальная группа толерантного пространства и толерантные накрытия // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения. Тезисы докладов V Международной конференции. Тула 2003. С. 166-167.

15. Небалуее С.И. Накрывающие преобразования толерантных пространств // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Межвуз. сб. научн. тр.Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып.2. С.30-35.

16. Небалуее С.И. Высшие гомотопические группы толерантных пространств // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Межвуз. сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003.Вып.2. С.15-30.

17. Небалуее С.И. Фундаментальная группа толерантного пространства и толерантные накрытия // Чебышевский сборник. Труды VI международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и прложения». Тула, 2004. T.V. Вып. 1(9). С.144-152.

18. Небалуев С.И. Классификационные теоремы для толерантных накрытий // Математика. Механика. Сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. Вып.6. С.97-99.

19. Небалуев С. И. Точные гомотопические последовательности в теории толерантных пространств // Чебышевский сборник. Труды VI международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения». Тула, 2004. Т.У. Вып. 3(11). С.64-97.

20. Небалуев С.И. Расслоенные толерантные пространства // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Межвуз. сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып.З. С. 79-93.

21. Небалуев С. И. Гомологическая теория толерантных пространств // Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006.

22. Небалуев С.И. Спектральная последовательность Картана-Лере для толерантных пространств // Математика. Механика. Сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2011. Вып.13. С.69-71.

23. Небалуев С.И., Кляева И.А. Толерантное расслоение пространства толерантных путей // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Межвуз. сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып.З. С.93-106.

24. Небалуев С.И.,Кляева И.А. Толерантные кубические сингулярные гомологии // Математика. Механика. Сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. Вып.8. С.92-95.

25. Небалуев С.И.,Кляева И.А. Теория толерантных кубических сингулярных гомологий // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Межвуз. сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. Вып.4. С.89-115.

26. Небалуев С.И.,Кляева И.А. Теория пунктированных толерантных кубических сингулярных гомологий // Вестник Самарского государственного университета. Самара: Изд-во «Самарский университет», 2007. Вып.7(57). С. 134-151.

27. Небалуев С.И.,Кляева И.А. Спектральная последовательность толерантного расслоения // Международная алгебраическая конференция, посвященная столетию со дня рождения А.Г.Куроша. Тези-

сы докладов. М.: Изд-во механико-математического ф-та МГУ, 2008. С.174-175.

28. Небалу ев С. И., Кляева И. А., Сусин М.Н. Построение спектральной последовательности толерантного расслоения / / Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Межвуз. сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2009. Вып.5. С.94-118.

29. Небалу ев С. И., Коробченко Е.В. Спектральная последовательность Лере-Серра толерантного квазирасслоения толерантных путей // Известия Сарат. ун-та. Новая серия. Серия «Математика. Механика. Информатика.» Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2011. т.11. Вып.2. С.24-31.

30. Небалу ее С. И., Коробченко Е.В., Сусин М.Н. Пунктированные толерантные кубические сингулярные гомологии // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Межвуз. сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2010. Вып.6. С.79-90.

31. Небалу ее С. И., Сусин М.Н. Точная гомотопическая последовательность толерантного квазирасслоения простраства толерантных путей // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Межвуз. сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2010. Вып.6. С.62-78.

32. Спеньер Э. Алгебраическая топология // М.: Мир, 1971.

33. Хилтон П., Уайли С. Теория гомологий // М.: Мир, 1966.

34. Хусаиное A.A., Лопаткин В.Е., Трещев H.A. Исследование математической модели параллельных вычислительных процессов методами алгебраической топологии // Сиб. журн. индустр. матем. 2008. Т.Н. №1. С.141-151.

35. Хусаиное A.A., Ткаченко В.В. О группах гомологий асинхронных систем переходов // Дальневосточный мат. журн. 2005. Т.6. №1-2. С. 23-38.

36. Ху Сы-цзян. Теория гомотопий // М.: Мир, 1964.

37. Шрейдер Ю.А. Пространства толерантности // Кибернетика №2. 1970.

38. Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок // М.: Наука, 1971.

39. Arbib M.A. Automata theory and control theory: a rapprochement // Automatica. 1966. №3.

40. Arbib M.A. Tolerance automata // Kybernetik. 1967. №3.

41. Dowker C.H. Homology groups of relations // Ann. of Math. 1956. Vol. 56.

42. Goubalt E. The Geometry of Concurrency: Ph. D. thesis. Ecole Normale Supérieure // http://www.dmi.ens.fr/goubalt. 1995.

43. Gausher P. About the globular homology of higher dimensional automata // Cahiers Topologie Geom. Différentielle Categ. 2002. Vol. 43. №2. P.107-156.

44. Muir A., Worner M.W. Homology theories and tolerance automata // Diacrete Math. 1981. №33.

45. Muir A., Worner M.W. The decomposition of tolerance automata // Kybernetes. 1980. №9.

46. Muir A., Worner M. W. Homogeneous tolerance space // Czech. Math. J. 1980. №30.

47. Muir A., Worner M. W. Lettice valued relations and automats // Diser. Appl. Math. Vol. 7. №1.

48. Zeeman E.C. The topology of brain and visual perception // The Topology of 3-Manifolds /Ed. M.K. Fort, 1962.