Тензорный метод двойственных сетей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, доктор технических наук Петров, Андрей Евгеньевич

• Петров, Андрей Евгеньевич
• доктор технических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор технических наук Петров, Андрей Евгеньевич

ВВЕДЕНИЕ

1. ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО МЕТОДА В ТЕОРИИ СИСТЕМ

1.1. Особенности тензорного метода

1.1.1. Актуальность тензорного метода расчета технических и 13 экономических систем

1.1.2. Развитие тензорного метода в математике и физике

1.1.3. Особенности применения тензорного метода для расчета 18 сложных систем

1.2. Применение тензорного метода в теории систем

1.2.1. Области применения тензоров в науке и технике

1.2.2. Применение тензоров для расчета технических систем

1.2.3. Применение тензоров в экономике и других областях

1.3. Проблемы применения тензоров для расчета систем

1.3.1. Представление структуры систем двойственными сетями

1.3.2. Построение сетевых моделей сложных систем

1.3.3. Технология расчета систем методом двойственных сетей 45 Выводы по главе

2. МЕТОД ДВОЙСТВЕННЫХ СЕТЕЙ

2.1. Основные понятия сетей

2.1.1. Элементы сети

2.1.2. Двойственность ветвей в сети

2.1.3. Изменения путей при пересоединениях ветвей

2.1.4. Топологические параметры двойственных сетей

2.2. Пути в сети

2.2.1. Свойства путей

2.2.2. Преобразования базисов путей в сети

2.2.3. Замкнутые и разомкнутые пути

2.3. Векторное пространство путей в сети

2.3.1. Соответствие путей векторному пространству

2.3.2. Ко- и контравариантность в пространстве путей 76 2.4 Двойственные сети

2.4.1. Преобразование путей при изменении структуры сети

2.4.2. Ортогональность замкнутых и разомкнутых путей

2.4.3. Прямой и взаимный базисы в пространстве сети

2.4.4. Инварианты двойственных сетей 91 2.5. Метрика и структура двойственных сетей

2.5.1. Метрика в геометрии

2.5.2. Метрика в сети

2.5.3. Преобразования базисов в двойственных сетях

2.5.4. Векторы, наложенные на пространство сети

2.5.5. Инвариант пространств путей с переменной размерностью 121 Выводы по главе

3. РАСЧЕТ СЕТЕЙ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ СТРУКТУРЫ 125 3.1. Расчеты сетей при связывании свободных ветвей

3.1.1. Воздействия и отклики в двойственных сетях

3.1.2. Двойственные сети и электрические цепи

3.1.3. Задача расчета сети

3.1.4. Расчеты сетей из свободных ветвей

3.2. Инвариантность потока в сети

3.2.1. Квадрат величины вектора и поток энергии в сети

3.2.2. Изменение мощности в цепи при изменении структуры

3.3. Расчет сети при изменении соединений ветвей

3.3.1. Матрица изменений при пересоединении ветвей

3.3.2. Матрицы решения при наложении связей

3.3.3. Матрицы решения при разрывании связей

3.3.4. Эффективность вычислений при изменении структуры

3.3.5. Расчет матриц решения при изменении структуры

3.4. Расчеты сложной сети при разделении на подсети

3.4.1. Матрица изменений при разделении сети на подсети

3.4.2. Матрицы решения при расчетах сетей по частям

3.4.3. Алгоритмы расчета сложных сетей по частям

3.4.4. Пример расчета сети по частям

3.4.5. Изменение величины вектора при изменении структуры сети 239 Выводы по главе

4. ПРИМЕНЕНИЕ ДВОЙСТВЕННЫХ СЕТЕЙ ДЛЯ РАСЧЕТА 207 ТЕХНИЧЕСКИХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

4.1. Применение сетей для расчета межотраслевого баланса

4.1.1. Полная система уравнений межотраслевого баланса

4.1.2. Тензорная форма уравнений межотраслевого баланса

4.1.3. Сетевая модель для задачи межотраслевого баланса

4.1.4. Расчет межотраслевого баланса по частям

4.1.5. Двойственность потоков продуктов и денежных средств

4.2. Анализ результатов деятельности банков и предприятий

4.2.1. Потоки продуктов и денежных средств в экономике

4.2.2. Анализ банковских балансов

4.2.3. Методика анализа деятельности банков и предприятий

4.2.4. Анализ динамики развития банков

4.3. Применение сетей для расчета и прогноза доходов бюджета

4.3.1. Схема потоков доходов бюджета

4.3.2. Система сбора, анализа и прогноза доходов бюджета

4.3.3. Расчеты доходов в оперативной базе данных

4.3.4. Расчет и коррекция вариантов прогнозов доходов

4.4. Сетевая модель массобмена при переработке нефти

4.4.1. Особенности физического процесса ректификации

4.4.2. Аналогии параметров массообмена и сети

4.4.3. Тепловой и материальный баланс колонны

4.4.4. Сетевая модель процесса ректификации

4.4.5. Применение модели для анализа пожароопасных ситуаций 277 Выводы по главе 4 282 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Тензорный метод двойственных сетей»

Актуальность проблемы. Технические и экономические системы усложняются по количеству элементов и связей между ними. Актуальна проблема расчета изменений процессов при изменении структуры связей элементов сложной системы; в широком смысле - взаимодействия процессов и структуры. Это проблема исследования новых закономерностей, связывающих процессы и структуру; расчета поведения технических, экономических систем при изменении структуры, включая разделение на подсистемы и расчет по частям. Такие проблемы возникают при расчете и анализе технических систем, электрических, транспортных сетей, предприятий нефте- и газопереработки; при анализе возможных последствий отключения элементов, подсистем. Разделение модели сложной системы на подсистемы и соединение подсистем необходимо для организации вычислений в компьютерах с параллельной архитектурой.

Для анализа деятельности экономических систем актуальны расчеты баланса производства продуктов при изменении спроса (плана), при изменении хозяйственных связей, источников ресурсов. Необходим анализ деятельности промышленных предприятий, банков, страховых компаний. Актуален анализ взаимодействия финансового и реального секторов в экономике. Необходим расчет прогноза исполнения бюджета по доходам при изменении ставок налогообложения, налогооблагаемых баз, схемы поступления доходов.

На сегодня нет математической теории расчета изменения процессов при изменении структуры. Существуют методы расчета процессов в сложных системах при заданных соединениях элементов. При изменении связей уравнения процессов получают и решают заново. Уравнения поведения не содержат информации о структуре связей элементов. Структуру связи элементов в системе рассматривают в теории графов, графов связей, комбинаторной топологии, которые не содержат понятий метрики, меры расстояния между циклами, разрезами, симплексами.

Материальные, метрические параметры связывают воздействия и отклики процессов. Уравнения поведения составляют относительно независимых переменных, определяемых структурой (степени свободы, замкнутые и разомкнутые пути). При изменении структуры меняется число переменных, получить новые уравнения по старым невозможно, как и преобразовать старое решение в новое, поскольку матрицы таких преобразований прямоугольные, не имеют обратных и не образуют группу. Это не позволяет определить изменения процессов при изменении структуры.

Для расчета сложных технических систем (электрические машины, электрические сети, строительные конструкции, ядерные реакторы, лопатки турбин, уравнения Максвелла, Шредингера и др.) применяется тензорный метод, который разрабатывал Г.Крон, другие ученые. Воздействия, отклики, характеризующие процессы в системе, рассматривают как геометрические объекты с компонентами в независимых замкнутых и разомкнутых путях, определяемых структурой. Изменение структуры рассматривают как преобразование координат. Такой подход обеспечивает исследование, расчет, анализ сложных систем из разных областей единым методом.

Это позволяет использовать уже разработанные методы решения в новых областях, для новых систем. При изменении структуры в одной системе нет необходимости получать и решать уравнения поведения заново; достаточно преобразовать известное решение в решение для новой структуры. Это уменьшает объемы аналитической, алгоритмической, вычислительной работы. При расчете систем по частям тензорным методом отсутствуют итерации; это снижает объемы вычислений и позволяет применять компьютеры с параллельной архитектурой.

Таким образом, тензорный метод обеспечивает расчет изменения процессов при изменении структуры сложных технических, экономических систем. Вместе с тем тензорный метод содержал противоречия, которые препятствовали его развитию и применению. В качестве моделей сложных систем использовались электрические цепи. Постулировалось, что при изменении структуры мощность в цепи постоянна. Проблема в том, что это предположение не соответствует реальности, но полученные на его основе методы расчета дают правильные результаты. Это указывало на существование других оснований данного метода. Использование в качестве моделей электрических цепей снижало общность метода, придавая ему инженерный характер в ущерб математической строгости.

Автор разработал тензорный метод двойственных сетей. Найденный инвариант матриц преобразования путей обеспечивает постоянство величины вектора потока (представляющего процесс) при изменении структуры двойственных сетей. Разработана технология применения тензорного метода, которая обеспечивает расчет изменения процессов при изменении структуры сетей, сетевых моделей сложных технических, экономических систем. На основе двойственных сетей разработаны алгоритмы расчета сетей по частям, которые позволяют исключить итерации по расчету взаимодействия подсистем. Метод применен в новой области - для расчета и анализа экономических систем. Соединение анализа процессов и структуры позволяет вскрыть, выявить новые закономерности, получить больше информации о системе, чем при раздельном анализе (например, установить связь потоков продуктов и денежных средств в сетевой модели межотраслевого баланса).

Цель диссертационной работы.

1. Разработать тензорную методологию представления и расчета процессов и структуры сложных систем сетевыми моделями.

2. Разработать метод двойственных сетей, который обеспечивает расчет изменения процессов при изменении структуры сети как преобразование координат, заданных замкнутыми и разомкнутыми путями.

3. Найти инвариант преобразований структуры сети при изменении количества узлов. Исследовать закономерности изменения мощности при изменении структуры электрической цепи.

4. Разработать методы и алгоритмы расчета изменений процессов при изменении структуры сетей и сетевых моделей сложных систем, включая расчет по частям.

5. Применить тензорный метод двойственных сетей в новой области - для решения задач экономики: расчета межотраслевого баланса, анализа деятельности предприятий и банков, анализа и прогноза доходов бюджета.

Методы исследования: тензорный метод, тензорный анализ сетей, теория матриц, теория графов, анализ размерностей, математическое моделирование по аналогиям, расчет систем по частям - диакоптика.

Научная новизна работы заключается в том, что:

1. Разработана тензорная методология представления сетевыми моделями процессов и структуры сложных технических, экономических систем.

2. Разработаны основы метода двойственных сетей для представления процессов и структуры. Схемы соединений элементов представлены как системы координат, заданные путями в сети. Процессы представлены как векторы в пространстве сети; воздействия и отклики заданы ковариантны-ми и контравариантными компонентами. При изменении структуры двойственных сетей матрицы преобразования путей (как и метрические матрицы) связаны инвариантным соотношением, которое обеспечивает постоянство величины вектора процесса в двух сетях. Данный инвариант обеспечивает расчет процессов при изменении структуры.

3. Найдена неизвестная ранее закономерность постоянства мощности при изменении структуры двойственных электрических цепей. Эта закономерность является физическим проявлением инварианта двойственных сетей.

4. Получены алгоритмы расчета процессов в сетях при изменении структуры, в том числе при разделении сети (сетевой модели) на подсети и параллельном расчете по частям без итераций.

5. Построена сетевая модель массобмена при нефтепереработке с целью расчета процессов при изменении структуры и выработки воздействий для вывода системы из предаварийного режима.

6. Построены сетевые модели для экономики:

• потоков продуктов в системе производств, в которой двойственные величины представляют пропорции потоков денежных средств. Это обеспечивает расчет материально-финансового баланса и анализ результатов деятельности промышленных предприятий;

• потоков денежных средств, что обеспечивает анализ результатов деятельности банков и банковской системы в целом;

• потоков налоговых и неналоговых поступлений бюджета, что обеспечивает расчет вариантов для анализа и прогноза исполнения бюджета.

Практическая ценность полученных результатов подтверждена при внедрении и использовании методик, алгоритмов и разработанных на их основе систем, которые реализованы в виде программных средств в рамках НИР "Эффективность" на предприятии п/я А-3706, внедрены в Департаменте финансов Правительства Москвы, бюллетене "Банки и финансы" агентства "Мобиле", в подсистеме АСУ ТП объектов нефтепереработки, применяются при анализе производственной и финансовой деятельности предприятий в журнале "Промышленность России" (совместное издание Министерства экономики и агентства "Мобиле"). Методика представления объектов в тензорном виде эквивалентными схемами, алгоритмы и программы внедрены при реализации задач балансового типа в в/ч 03353.

Алгоритмы расчета сетей (сетевых моделей) по частям обеспечивают параллельные вычисления без итераций, что повышает эффективность вычислительных систем с параллельной архитектурой. Алгоритмы и программные средства расчета сетевой модели потоков продуктов обеспечивают эффективный расчет по частям вариантов межотраслевого баланса, анализ изменений объемов производства в зависимости от финансовой политики.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались на более чем 30 семинарах и конференциях, в том числе на II Международном Конгрессе по региональному развитию в Монтре (Швейцария) в 1997 г., на Международном совещании по вопросам экономической безопасности (Москва, Торгово-промышленная палата) в 1998 г.

Публикации. Результаты выполненных исследований опубликованы в 106 работах, включая книгу [1985], препринт [1991], бюллетень «Банки и финансы» [1995 - 1998], журнал «Промышленность России» [1997 - 1998].

На защиту выносятся:

• тензорный метод исследования сложных систем;

• метод двойственных сетей, который обеспечивает расчет изменения процессов при изменении структуры технических, экономических систем;

• найденный автором инвариант матриц преобразования структуры и метрических матриц двойственных сетей;

• неизвестная ранее закономерность постоянства мощности при изменении структуры двойственных электрических цепей;

• алгоритмы расчета процессов в сетях при изменении структуры, включая разделение сети на подсети;

• сетевая модель баланса потоков продуктов и денежных средств в экономике, применяемая для анализа производственной и финансовой деятельности предприятий в журнале "Промышленность России";

• модель и методика анализа результатов деятельности банков, внедренная в агентстве "Мобиле" и применяемая в бюллетене "Банки и финансы";

• модель и методика расчета и прогноза исполнения бюджета; алгоритмическая, программная реализация аналитико-прогнозной системы для Департамента финансов Правительства Москвы;

• сетевая модель массобмена и алгоритмы расчета параметров процесса нефтепереработки, применяемая в подсистеме оперативного прогнозирования пожароопасных ситуаций в АСУ ТП объектов нефтепереработки.

Структура и объем. Работа состоит из введения, четырех глав, списка литературы, включающего 132 наименования. Содержит 292 с. основного текста, включая 57 рисунков, 14 таблиц.

В главе 1 представлены основы тензорной методологии в теории систем. Особенность применения тензорного метода для моделирования и анализа сложных технических, экономических систем состоит в едином представлении процессов и структуры связей элементов, расчете и анализе изменения параметров процессов при изменении структуры, включая разделение системы на подсистемы и соединение подсистем в целое. Для построения сетевых моделей используются аналогии процессов и структуры различных сложных систем. Представлена технология применения двойственных сетей для расчета и анализа технических и экономических систем. Дана общая схема алгоритма расчета сетей по частям.

В главе 2 представлен метод двойственных сетей - основа применения тензорного метода в теории систем. Показано, что пути в сети обладают свойствами векторного пространства. Ветви могут иметь "веса", представляющие метрику (сопротивление «среды»), а пути задают системы координат, представляют структуру. Набор независимых замкнутых и разомкнутых путей составляет базис. В пространстве путей определены скалярное произведение, ортогональность, ковариантность и контравариантность, инварианты двойственных сетей. Показано различие преобразования базисов и векторов при изменении структуры сетей. Представлен неизвестный ранее инвариант, который связывает матрицы преобразования структуры двойственных сетей. При введении метрики инвариант обобщается и связывает метрические и структурные матрицы. Этот инвариант обеспечивает групповые свойства преобразований структуры двойственных сетей. Для заданного в сети вектора процесса инвариант обеспечивает преобразование его компонент (воздействий и откликов) при изменении структуры.

В главе 3 представлены приложения метода двойственных сетей для расчета задач сети при изменении структуры: изменении соединений в связанной сети, разделении сети на части или соединении частей в целое. Получены единые формулы расчета сети при любых изменениях структуры. Эти формулы, двойственные для базисов замкнутых путей (представляющих внутренние источники) и разомкнутых путей (внешние источники), обеспечивают расчет сетей по частям без итераций. Взаимодействие частей отражается в двойственной сети к сети ветвей, составляющих размыкаемые контуры. Представлены алгоритмы расчета сетей по частям для организации параллельных вычислений, что повышает эффективность вычислительной техники. Рассмотрены аналогии между сетями и электрическими цепями. Представлена найденная автором неизвестная ранее закономерность постоянства мощности при изменении структуры двойственных цепей.

В главе 4 представлены приложения в новой области - моделирование, расчет и анализ экономических систем. Для задачи межотраслевого баланса продуктов в системе производств построена эквивалентная сетевая модель. Потоки продуктов представлены комбинациями контурных и узловых токов, а потоки денежных средств - как комбинации напряжений. Сетевая модель обеспечивает расчет валовых выпусков, поставок и потребления ресурсов при

11 изменении связей производств, разделении на подсистемы. Алгоритм расчета задачи межотраслевого баланса по частям сокращает объемы вычислений. Расчет в сети денежных средств (напряжений) показывает возможность расчета объединенного материально-финансового баланса.

Разработана методика анализа результатов деятельности банков на основе сетевой модели потоков денежных средств. Методика внедрена в информационном агентстве «Мобиле» и с 1995 г. применяется для анализа деятельности банков России в бюллетене "Банки и финансы". Методика анализа производственной и финансовой деятельности предприятий с 1997 г. применяется в журнале "Промышленность России" (совместное издание Министерства экономики РФ и агентства «Мобиле») для подготовки аналитических обзоров по отраслям промышленности.

Для расчета вариантов прогноза бюджета разработана, программно реализована сетевая модель потоков денежных средств в системе анализа поступления доходов бюджета. Модель применена для расчета вариантов прогноза бюджета г. Москвы при изменении налогооблагаемых баз, коэффициентов, ставок, неплатежей. Система внедрена в Департаменте финансов Правительства Москвы, демонстрировалась на выставке "Управление-97".

Построена сетевая модель массообмена при ректификации в процессе переработки нефти, которая применяется при разработке подсистемы оперативного прогнозирования пожароопасных ситуаций в АСУ ТП объектов нефтепереработки.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Петров, Андрей Евгеньевич

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработана тензорная методология исследования сложных систем.

2. Разработан метод двойственных сетей, который обеспечивает расчет изменения процессов при изменении структуры сложных технических, экономических систем.

3. Найден инвариант, связывающий матрицы преобразования структуры и метрические матрицы двойственных сетей.

4. Найдена неизвестная ранее закономерность постоянства мощности при изменении структуры двойственных электрических цепей.

5. Разработаны алгоритмы расчета процессов в сетях при изменении структуры, включая разделение сети на подсети. Расчет сетей и сетевых моделей сложных систем по частям проводится без итераций, что повышает эффективность расчетов.

6. Получена сетевая модель баланса потоков продуктов и денежных средств в экономике, используемая для анализа деятельности предприятий в журнале «Промышленность России».

7. Разработана модель и методика анализа результатов деятельности банков, используемая в бюллетене "Банки и финансы".

8. Разработана модель и методика расчета и прогноза исполнения бюджета; выполнена алгоритмическая, программная реализация аналитико-прогнозной системы для Департамента финансов Правительства Москвы.

9. Получена сетевая модель массообмена для подсистемы оперативного прогнозирования пожароопасных ситуаций в АСУ ТП объектов нефтепереработки.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработан тензорный метод двойственных сетей, который обеспечивает расчет и анализ взаимодействия структуры и процессов, расчет изменения процессов при изменении структуры сложных технических и экономических систем. Метод позволяет сократить время расчета, уменьшить аналитическую, алгоритмическую, вычислительную работу по расчету вариантов различных структур, конфигураций систем за счет единого подхода к исследованию, расчету и анализу различных технических и экономических систем (раздел 1).

Предложена технология применения тензорного метода (раздел 1.3.3) для моделирования, расчета и анализа не только технических, но и экономических систем, где данный метод не применялся.

Впервые применяется построение моделей и расчет исследуемых систем тензорным методом двойственных сетей (раздел 2). Необходимость использования двойственных сетей вызвана тем, что при изменении структуры меняется число узлов в сети и, соответственно, размерность подпространств замкнутых и разомкнутых путей. Матрицы преобразования их базисов прямоугольные и не образуют группу, что не позволяет рассчитать изменения параметров процессов при изменении структуры связей.

Автор нашел инвариант преобразования структуры для двух двойственных сетей при изменении числа узлов, который обеспечивает расчет изменения процессов при изменении структуры. Инвариант выражается соотношением между матрицами преобразования путей:

2.76) С (С* С)"1 С* + А (А± А)"1 А1 = I, а если заданы метрические веса ветвей, выраженные матрицей Z = У"1, то:

2.75) (г)-1 = у = (тс г тсу1 тс + у ^А!; оа у ^а^-1 ^а у.

Этот инвариант обеспечивает постоянство величины вектора процесса при изменении структуры двойственных сетей и объективно существует в сетях и системах, пред ставимых сетевыми моделями.

Тензорный метод двойственных сетей позволяет находить новые соотношения в исследуемых системах, которые отражают объективно существующие закономерности взаимодействия процессов и структуры систем. Например, в модели межотраслевого баланса (раздел 4.1) потоки продуктов представлены комбинацией контравариантных компонент (аналогом являются контурные и узловые токи в цепи), а ковариантные компоненты, не заданные в исходной постановке задачи, соответствуют потокам денежных средств (аналогом являются напряжения). Это позволяет проводить расчеты взаимодействия реального и финансового секторов экономической системы.

Получены единые уравнения расчета сетей при изменении структуры (3.122) для вектора внутреннего воздействия и (3.125) для вектора внешнего воздействия, которые основаны на инварианте двойственных сетей. Форма уравнений зависит от количества изменяемых путей и от вида преобразования структуры (связывание свободных ветвей в соединенную сеть, изменение соединений в связанной сети, разделение сети на подсети и соединение из отдельных подсетей). Эти виды расчета отличаются блоками подматрицы изменения путей в матрицах преобразования (раздел 3).

Уравнения (формулы расчета) для отдельных видов преобразования структуры являются частными случаями общих уравнений. Если поток процесса задан внешними источниками, то компоненты его вектора определяются в базисе разомкнутых путей (определяющих узлы входа и выхода потока из сети). Этому соответствует общее уравнение расчета для базиса разомкнутых путей (3.125): ъ? = - дгс = гс1 - ъ^ дсмс гс* дед1 дс ъс\ где матрица решения соединенной сети Ъ2 выражается через матрицы решения подсетей Ъсх и матрицу изменения путей ДС. Если поток процесса задан внутренними источниками, то компоненты его вектора определяются в базисе замкнутых путей (определяющих контуры циркуляции потока внутри сети, системы). Общее уравнение расчета для базиса контуров (3.122): у2с = у!с + ДУС = у!с + (I - Yic г)АСг [дс га - у^ гмед^с (I - г у^), где матрица решения соединенной сети У2С выражается через матрицы решения подсетей У^ и матрицу изменения путей АС. Разделение сети на независимые подсети позволяет проводить параллельный расчет по частям.

Тензорный метод двойственных сетей обеспечивает расчет компонент заданного вектора при изменении структуры, что позволяет использовать ранее полученные решения для расчета процессов в новой структуре, а также проводить расчет по частям, используя компьютеры с параллельной архитектурой. При этом двойственность обеспечивает расчет взаимодействия подсистем без итераций, что повышает вычислительную эффективность.

Представлена найденная автором закономерность постоянства суммарной рассеиваемой мощности в двойственных электрических цепях при изменении их структуры, которая является следствием инварианта постоянства величины вектора при изменении структуры двойственных сетей (раздел 3.2).

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Петров, Андрей Евгеньевич, 1998 год

1. Абрамов Д.Ю., Арменский А.Е., Ермаков А.Н., Кузин Л.Т., Петров А.Е. Тензорные банки данных.// Изв. Вузов. Приборостроение, 1985, № 6.

2. Авондо-Бодино Дж. Применение в экономике теории графов. М.: Прогресс, 1966. 160 с.

3. В.А. Александров. Повышение эффективности автоматических систем управления технологическими процессами промышленных производств с обеспечением пожарной безопасности. Кандидатская диссертация, Москва, 1985. 150 с.

4. Андросов А.М. Финансовая отчетность банка. М.: Менатеп-информ, 1995. -460 с.

5. Арменский А.Е., Кузин Л.Т., Петров А.Е. Тензорный метод проектирования интегрированных систем управления.// Интегрированные АСУ. М.: МДНТП, 1983.

6. Арменский А.Е., Милославская Н.Г. Решение задач большой размерности по частям с использованием тензорного анализа. // Автоматизация проектирования сложных систем. ЛИТМО, 1986.

7. Арменский А.Е. Тензорные методы построения информационных систем. -М.: Наука, 1989. 152 с.

8. Арменский Е.В., Кузина И.В. Единая теория электрических машин. М.: МИЭМ, 1975.

9. Атабеков Г.И. Основы теории цепей. М.: Энергия, 1969. - 424 с.

10. Ю.Афанасьев В.Г. Общество: системность, познание и управление. М.:1. Политиздат, 1981. 432 с.

11. Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. Пер. с англ., М.: Мир, 1979.

12. Бартини Р.О., Кузнецов П.Г. Множественность геометрий и множественность физик. В кн.: Моделирование динамических систем. -Брянск, 1974. - с. 18 - 29.

13. Берендеев A.B. О работах Крона по применению тензорного исчисления в электротехнике. Электричество, 1950, № 12, с.78 - 79.

14. Брамеллер А., Аллан Р., Хэмем Я. Слабозаполненные матрицы. М.: Энергия, 1979. - 192 с.

15. Бурбаки Н. Теория множеств. М.: Мир, 1965. - 455 с.

16. Веблен О. Инварианты дифференциальных квадратичных форм. М.: ГИИЛ, 1948. - 140 с.

17. Веблен О., Уайтхед Дж. Основания дифференциальной геометрии. М.: ГИИЛ, 1949. - 135.

18. Вейль Г. Теория групп и квантовая механика. М.: Наука, 1986. - 496 с.

19. Вейль Г. Математическое мышление. М.: Наука, 1989. - 400 с.

20. Веников В.А., Ионкин П.А., Петров Г.Н., Копылов И.П. Габриэль Крон. -Электричество, 1969, ЛИ, с. 92-93.

21. Веников В.А. Вступительная статья в кн.: А.Е.Петров. Тензорная методология в теории систем. М.: Радио и связь, 1985.

22. Веников В.А. Веников Г.В. Теория подобия и моделирования. 3-е изд. -М.: Высшая школа, 1984. - 439 с.

23. Галушкин А.И. Нейронные ЭВМ и нейроматематика. В кн.: Научно -технические средства информатизации, автоматизации и интеллектуализации в народном хозяйстве. - М.: Знание, 1991.

24. Деглин Э.Г., Петров А.Е. Тензорная вибродинамика ГТД. ВИМИ, сборник рефератов депонированных рукописей, №1, 1990, №Д08204.

25. Деглин Э.Г., Петров А.Е. Тензорная системная вибродинамика ГТД. В кн.:Тензорные методы анализа и синтеза сложных систем. - Ижевск, 1991.

26. Деннис Дж. Б. Математическое программирование и электрические цепи. -М.: ИЛ, 1961. 216 с.

27. Долан Э. Дж., Кэмпбелл К. Д., Кэмпбелл Р. Дж. Деньги, банковское дело и денежно-кредитная политика. СПб.: "Санкт-Петербург оркестр", 1993. -494 с.

28. Инструкция № 1 "О порядке регулирования деятельности кредитных организаций". Вестник Банка России, № 5 (97) от 8.02.96.

29. Инструкция № 1 "О порядке регулирования деятельности банков" (Новая редакция инструкции от 30.01.96 "О порядке регулирования деятельности кредитных организаций"). Утверждена Приказом Банка России № 02-430 от 01.10.97 г.

30. Кант И. Пролегомены ко всякой будущей метафизике, могущей появиться как наука. 1783. Сочинения, т.4, ч. 1, М.: Мысль, 1965.

31. Комацу М. Многообразие геометрии. М.: Знание, 1981. - 208 с.

32. Коссов В.В. Межотраслевой баланс. М.: Экономика, 1966. - 224 с.

33. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для инженеров и научных работников. М.: Наука, 1977. - 832 с.

34. Котарова И.Н., Шамаева О.Ю. Параллельный метод диакоптики для решения сложных задач на распределенных вычислительных системах. //Кибернетика, 1979, № 1.-е. 112-119.

35. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М.: Наука, изд. 9, 1965. - 426 с.

36. Крон Г. Применение тензорного анализа в электротехнике: Пер. С англ./Под ред. П.В. Мееровича. М.: Гостехиздат, 1955. - 250 с.

37. Крон Г. Исследование сложных систем по частям (диакоптика). Наука, 1972. - 544 с.

38. Крон Г. Тензорный анализ сетей: Пер. с англ. /Под ред. Л.Т.Кузина, П.Г. Кузнецова. М.: Сов. Радио, 1978. 720 с.

39. Кузин Л.Т. Предисловие в кн.: Кэрноп Д., Розенберг Р. (ред.). Применение теории графов связей в технике. М.: Мир, 1974.

40. Кузин Л.Т. Основы кибернетики. В 2 т. Т. 1. Математические основы кибернетики. 2-е изд. - М.: Энергоатомиздат, 1994. - 576 с.

41. Кузина И.В., Петров А.Е. О тензорных методах построения языка базы данных. В кн.: Банки данных для принятия решений. - М.: Знание, 1976, с. 59 - 67.

42. Кузина И.В., Таран А.Н. Автоматизация получения математических моделей механических подсистем электроприводов. В кн.: Математические основания теории сложных систем, Иваново, 1989.

43. Кузина И.В., Тимофеева В.В. Введение уравнений обобщения для построения математических объектов электромеханики//Изв. Вузов. Сер. Электромеханика. 1986, 10.

44. Кузина И.В., Тимофеева В.В., Бунто А.Н. Введение тензорных операций в алгоритмический язык ПЛ/1. Программирование, М.: 1987, № 4. - с. 4147.

45. Кузнецов П. Г. Искусственный интеллект и разум человеческой популяции.- В кн.: Александров Е.А. Основы теории эвристических решений. М.: Сов. радио, 1975.

46. Куратовский К. Топология. Пер. с англ. т. 1, М.: 1966.

47. Кэрноп Д., Розенберг Р. (ред.). Применение теории графов связей в технике. М.: Мир, 1974. 95 с.

48. В. Леонтьев, Х.В., Ченнери и др. Исследование структуры американской экономики. Пер. с англ. М.: Госстатиздат, 1958. 640 с.

49. Максвелл Дж. К. О фарадеевых силовых линиях. //Избранные сочинения по теории электромагнитного поля. Пер. с англ./Под ред. П.С. Кудрявцева.- М.: ГИТТЛ, 1954.

50. Мантуров О.В. Элементы тензорного исчисления. М.: Просвещение, 1991.- 255 с.

51. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И.М. Виноградов, т. 3 Коо- Од. -М.: Советская энциклопедия, 1982. 1184 стб.

52. Математические основания теории сложных систем. Межвузовский сборник научных трудов. - Иваново: ИвГУ, 1989.

53. Молоканов Ю.К. Процессы и аппараты нефтегазопереработки. М.: Химия, 1980. 408 с.

54. Образцова Р.И., Кузнецов П.Г., Пшеничников С.Б. Инженерно-экономический анализ транспортных систем. /Под. ред. К.В. Фролова. 2-е изд., стереотип. - М.: Радио и связь, 1996. - 192 с.

55. Петров А.Е. Тензорный метод расчета сложных систем (на примере балансового планирования). автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук. - М.: МИФИ, 1984.

56. Петров А.Е. Тензорная методология в теории систем. М.: Радио и связь, 1985. - 152 с.

57. Петров А.Е. Тензорный анализ сетей и параллельные вычисления. М.: МИФИ, 1991. - 24 с. - 1.

58. Петров А.Е. Тензорный метод и параллельные вычисления. В сб.: Научно-технические средства информатизации, автоматизации и интеллектуализации в народном хозяйстве. - М.: Знание, 1991. - с. 43-54. - 2.

59. Петров А.Е. (главный редактор). Банки и финансы. Информационно-аналитический бюллетень, №№ 1-16. - М.: "Мобиле", 1995 - 1998. - 400 с.

60. Петров А.Е. Состояние нефтедобычи и нефтепереработки в России. Журнал "Промышленность России", № 3, М.: ИА "Мобиле", 1997. с. 11 - 19.

61. Петров А.Е., Плошкин М.В., Ханин A.A. Энергосистемы России. Журнал "Промышленность России", № 5, М.: ИА "Мобиле", 1997. с. 57 - 66.

62. Петров А.Е. Инвестору необходима информация. Журнал "Банковское дело в Москве", № 9, М.: "Российский салон", 1997. с. 37 - 40.

63. Петров А.Е., Парадиз А.Л. Информационное обеспечение инвестиций в России. Журнал "Банковское дело в Москве", № 9, М.: "Российский салон", 1997. с. 37 - 40.

64. План счетов бухгалтерского учета в коммерческих банках (кредитных учреждения^РФ. Журнал "Бухгалтерский бюллетень", 1996.

65. План счетов бухгалтерского учета в кредитных учреждениях РФ. Утвержден Приказом Банка России № 02-263 от 18.06.97 г.

66. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: МГУ, 1974.

67. Подолинский С.А. Труд человека и его отношение к распределению энергии. М.: Слово, 1880; М.: Ноосфера, 1991. - 82 с.

68. Свами М., Тхуласираман К. Графы, сети и алгоритмы: Пер. с англ. /ред. В.А.Горбатов. М.: Мир, 1984. - 455 с.

69. Синдж Д.Л. Тензорные методы в динамике. М.: ИЛ, 1947.

70. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. Изд. 9-Е. - М.: Наука, 1981.- 448 с.

71. Сметанин Е.В., отв.редактор. Математические основания теории сложных систем. Иваново, ИвГУ, 1989.

72. Сохор Ю.Н., Козаченко Е.Г., Фиронов А.Н. Тензорное моделирование режимов линейных двигателей для транспорта на магнитном подвесе. В кн.: Тензорные методы анализа и синтеза сложных систем. - Ижевск, 1991.

73. Сохор Ю.Н. Моделирование электромагнитных процессов в синхронном линейном двигателе при питании от тиристорного преобразователя частоты. -Диссерт. канд.техн.наук., Москва, Московский Государственный университет путей сообщения (МИИТ), 1^7. 152 с.

74. Сухотин Б.В. Основные пролемы грамматики и семантики в тензорном исчислении. В кн.: Проблемы структурной лингвистики. - М.: Наука, 1978, с. 234 - 288.

75. Схоутен Я.А. Тензорный анализ для физиков.- М.: Наука, 1965. 454 с.

76. Указания № 62 У от 11.12.97 г. «О внесении изменений и дополнений в Правила ведения бухгалтерского учета в КО, расположенных на территории РФ» № 61 от 18.06.97 г.

77. Физический энциклопедический словарь: Гл. редактор А.М.Прохоров. М.: Советская энциклопедия, 1984. - 944 с.

78. Л. Форд, Д. Фалкерсон. Потоки в сетях. М.: Мир, 1966. - 276 с.

79. Хэпп Х.Х. Диакоптика и электрические цепи. М.: Мир, 1974.

80. Циолковский К.Э. Механика в биологии. Подобие организмов и уклонение от него. собр.соч., т. 4, М.: 1964. - с. 161 - 263.

81. Шамаева О.Ю. Модели параллельных вычислений на основе диакоптики для решения задач большой размерности.//Тензорные методы анализа и синтеза сложных систем. Ижевск, 1991.

82. Шаталов A.C. Работа асинхронной машины с конденсаторами (генераторные и двигательные установки). Диссерт. канд.техн.наук. Новочеркасский индустриальный институт им. С.Орджоникидзе. Новочеркасск, 1941.

83. Щукарев А.Н. Опыт обоснования системы структурного реализма. -Государственная библиотека СССР им. В.И.Ленина, Музейное собрание, ф. 178, 1934, пост. № 11.

84. Amari S. Topological foundations of Kron's Tearing of electrical networks. -RAAG Memoirs, v. 3, 1962. p. 322 - 350.

85. Balasubramanian N. V., Lynn J. W., Sen Gupta D.P. Differential forms on electromagnetic networks. London, Butterworths, 1970.

86. Bowden K. Kron's Method of Tearing on the Transputer.//The SERC/DTI Initiative in the Engineering Applications of Transputers. v. Ill, May 1988.

87. Bowden К. Kron's Method of Tearing on the Transputer. (Supplementary Report)//The SERC/DTI Initiative in the Engineering Applications of Transputers. v. VII, October 1989.

88. Brameller A., John M.N., Scott M.R. Practical diakoptics for electrical networks. London: Chapman and Hall, 1969. - 212 p.

89. Branin F. N. The relation between Kron's method and thee classical methods of network analysis. //The Matrix ahd Tensor Quart., v. 12, no 3, march 1962. -pp. 69 115.

90. Brown B. A new treatment of analysis of dimensions. Proc. Phys. Soc., 1941, v. 53, p. 418-432.

91. Carter G.K., Krön G. Network analyser solution of the equivalent circuits for elastic structures. J. of the Franklin Inst., v. 238, №6, 1944.

92. Carter G.K., Krön G. A.C. network analyser study of the Schrodinger equation. // Phys. Rev., 1945, v. 67, ser. 2, № 1, 2. pp. 44-49.

93. Chua L.O., Chen L.K. Diacoptic and Generalized Hybrid Analysis. // Trans. IEEE on Circuits and Systems, CAS., v. -23, No 12, 1976.

94. Duschek A., Hochrainer A. Grundzuge der Tensorrechnung in Analutscher Darstellung. Wien: Springer, 1949. - 232 p.

95. Einschtein A. Annalen der Physic. - 4-я серия, т. 49, 1916, с. 769.

96. Firestone F.A. A new analogy between mechanical and electrical systems. J. Acoustic Soc., 1933, v. 25, N 2, p. 39-47.

97. Fucko V.F., Merugu L.N. Network folding for large electrical Network problems.//Transputer Initiative, July, 1991, p. 42.

98. Gabriel Kron and System Theory. /Ed. by H.H. Happ, N. Y., Schenectady: Union College Press, 1973. - 186 p.

99. Happ H.H. Piecewise Methods and Applications to Power Systems. N. -Y., Wiley, 1980. - 405 p.

100. Hoffmann B. Kron's method of subspaces. Quart. Appl. Math., 1944, v. 11, oct., p. 218 - 231.

101. Hoffmann B. Kron's Non-Riemannian Electrodynamics. Rev. Mod. Phys. (Einstein's 70-th birthday commemorative issue), 1949, v. 21.

102. Hoffmann B. Power invariance. Matrix and Tensor Quart., 1957, v. 7, Sept., p. 2-4.

103. Kirchoff G. Ueber die Auflosung der Gleicungen, auf welche man bei der Untersungen der linearen Vertheilung galvanischer ströme fuhrt wird. -Poggendorf's Ann. Physik u. Chemie. 1847, v. 72, p. 497 508.

104. Kron G. Generalized theory of electrical machinery. AIEE Trans., 1930, v. 49, Apr., p. 666 - 683.

105. Kron G. Non-Riemannian dynamics of rotating electrical machinary. //J. Math. Phys., 1934, v. 13, № 2, p. 103 194.

106. Kron G. The application to the analysis of rotating electrical machinary. N. Y., Schenectady: Gen.Electric Rew., 1942.

107. Kron G. Tensors for circuits. 1942.

108. Kron G. Equivalent circuit of the field equations of Maxwell. // proc. IRE, 1944, v. 32, № 5, p. 289 299. - 1.

109. Kron G. Equivalent circuit of the elastic field. //ASME Trans., J. Appl. Mech., 1944, v. 11, № 3. 2

110. Kron G. Equivalent circuits of compressible and incompressible fluid flow fields. //J. of the Aeronautical Sciences, v. 12, № 2, 1945. 1

111. Krön G. Numerical solution of ordinary and partial differential equations by means of equivalent circuits. J. of Applied Physics, v. 16, № 3, 1945. pp. 172 - 186. - 2

112. Krön G. Electrical circuit models of the Schrodinger equation. // Phys. Rev., 1945, v. 67, ser. 2, № 1,2.- pp. 39 43.-3

113. Krön G. Electrical circuit models of the nuclear reactor. //. AIEE Trans. Communications and Electronics, 1954, v. 73, p. 259 265.

114. Krön G. Multi-dimensional space filters. //Matrix and Tensor Quart., 1958, v. 9, № 2, p. 40 43.

115. Krön G. Basic concepts of multi-dimensional space filters. AIEE Trans. 1, 78, 1959. 554 - 561.

116. Krön G. Self-organizing, dynamo-type automata. //Matrix and Tensor Quarterly, I960, v. 11, № 2, p. 42 52.

117. Krön G. Multi-dimensional curve-fitting with self-organizing automata. //J. Math. Analysis and Appl., 1962, v. 5, № 1, p. 46 69.

118. Krön G. Invisible dual (n-1) networks induced by electric 1-networks//IEEE Trans., v. CT-12, No 4, (December 1965).

119. Lie C.T., Chang W.L. A Generalized Technique for Modeling Switch-controlled Induction Machine Circuits. IEEE Transactions on Energy Conversion, Vol. 7, No 1, March 1992. - p. 168 - 176.

120. Lynn J. W. Tensors in electrical engineering. London: Pitman, 1963.

121. Lynn J. W., Russell R.A. Kron's wave automaton. //Physical Structure in Systems Theory. London, N. Y.: Academic Press, 1974 - p. 131 - 142.

122. Nickle C.A. Oscillographic Solution of Electro-mechanical Systems. //Trans. AIEE 44, 1925. 844-856.

123. Olson H.F. Dynamical Analogies. Van Nostrand, Princeton, 1943.

124. Onodera R. Diakoptics and codiakoptics of electrical networks.// RAAG Memoirs, v. 2, 1958. pp. 369 - 388.

125. Physical Structure in Systems Theory/Ed. by J. J. Van Dixhoorn and F. J. Evans. London, N. Y.: Academic Press, 1974. - 306 p.

126. Ricci J. Atti della R. Acc. die Lincei Rendiconti, v. 5, Pt. 1,1889.

127. Roth J.P. An application of algebraic topology to numerical analysis. On the existence of a solution to the network problem. Proc. National Acad, of Sciences, v. 41, № 76 1955, p. 518 - 521.

128. Roth J.P. An application of algebraic topology: Kron's method of tearing. -Quart. Appl. Math., 1959, v. 17 № 1 pp. 1 24.

129. Voigt W. Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Kristalle. -Leipzig, Teubner, 1898.

130. Weyl H. Repartition de correinte et uno red conductora. Revista matematica, Hispano - Americana, 1923, № 5, p. 153 - 164.

131. Wiener N. Notes on the Krön theory of tensors in electrical machinery. J. Electrical Engineering, China, 1936, № 3/4, p. 11-18.