Температурные поля при циклическом воздействии раствора соляной кислоты на карбонатосодержащие нефтегазовые пласты тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.14, кандидат наук Кабиров, Ильшат Файзелькавиевич

• Кабиров, Ильшат Файзелькавиевич
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Кабиров, Ильшат Файзелькавиевич

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ........................................................................................5

ВВЕДЕНИЕ.....................................................................................................................7

ГЛАВА 1. ХИМИКО-ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОЛЯ ПРИ ЦИКЛИЧЕСКОМ КИСЛОТНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ...........................................11

1.1. Исторический обзор........................................................................................11

1.1.1. Этап закачки раствора соляной кислоты в карбонатосодержащий пласт.........................................................................................................................13

1.1.2. Этап технологической выдержки................................................................15

1.1.3. Этап отбора....................................................................................................17

1.1.4. Физические процессы, при фильтрации кислотного раствора................18

1.2. Задача об изменении пористости при закачке соляной кислоты...............20

1.3. Случай прекращения закачки.........................................................................31

1.4. Процессы химического взаимодействия при отборе активного раствора из пласта.......................................................................................................................37

1.5. Анализ результатов расчетов полей пористости и плотности раствора кислоты....................................................................................................................40

1.6. Выводы по главе 1...........................................................................................53

ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ТЕМПЕРАУРНОМ ПОЛЕ, ВОЗНИКАЮЩЕМ ПРИ ЗАКАЧКЕ ХИМИЧЕСКИ АКТИВНОГО РАСТВОРИТЕЛЯ В ПЛАСТ....................................................................................55

2.1. Температурная задача о воздействии раствора соляной кислоты на карбонатосодержащию породу с учетом начальных возмущений....................55

2.2. Параметризация и разложение задачи по формальному асимптотическому параметру ................................................................................................................. 58

2.3. Расцепление основного уравнения................................................................61

2.4. Задача для нулевого остаточного члена........................................................62

2.5. Задача для нулевого коэффициента...............................................................65

2.6. Интегральное осреднение задачи...................................................................66

2.7 Решение задачи в нулевом приближении......................................................67

2.8. Задача для остаточного члена........................................................................73

2.9. Анализ результатов расчетов температурных полей в процессе соляно кислотного растворения корбонатной породы....................................................75

2.10. Выводы по главе 2.........................................................................................78

ГЛАВА 3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ТЕМПЕРАУРНОМ ПОЛЕ ПОСЛЕ ПРЕКРАЩЕНИЯ ПОДАЧИ АКТИВНОГО РАСТВОРА В ПЛАСТ................79

3.1. Математическая постановка температурной задачи....................................79

3.2. Решение температурной задачи асимптотическими методами..................82

3.3. Постановка задачи в нулевом приближении................................................84

3.4. Нулевой остаточный член и осреднение его задачи....................................85

3.5. Нулевое приближение.....................................................................................87

3.6. Осредненная задача и сопоставление с нулевым приближением..............91

3.7. Решение задачи в нулевом приближении без учета радиальной теплопроводности ................................................................................................... 92

3.8. Решение задачи с учетом радиальной составляющей теплопроводности . 97

3.9. Вычислительный эксперимент.......................................................................98

3.10. Выводы по главе 3.......................................................................................100

ГЛАВА 4. ТЕМПЕРАУРНОЕ ПОЛЕ В ПРИЗАБОЙНОЙ ЗОНЕ ПЛАСТА ПРИ ОБРАТНОМ ПОТОКЕ ПРОДУКТОВ РЕАКЦИИ...................................102

4.1. Температурная задача при отборе флюида из продуктивного пласта .... 102

4.2. Определение нулевого коэффициента разложения...................................105

4.3. Осреднение задачи для нулевого остаточного члена................................109

4.4. Нулевой коэффициент...................................................................................111

4.5. Осреднение задачи отбора флюида в интервале продуктивного пласта . 112

4.6. Предельный случай нулевого приближения...............................................113

4.7. Решение задачи для нулевого коэффициента разложения........................114

4.8. Анализ результатов расчетов температурных полей в процессе отбора флюида из продуктивного пласта.......................................................................122

4.9. Выводы по главе 4.........................................................................................125

ГЛАВА 5. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОЛЕЙ, ВОЗНИКАЮЩИХ ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ СОЛЯНОЙ КИСЛОТЫ С ГОРНЫМИ ПОРОДАМИ.......................................126

5.1. Описание лабораторной установки.............................................................126

5.2. Методика проведения эксперимента...........................................................128

5.3. Результаты эксперимента и их анализ.........................................................129

5.3.1. Определение температурного эффекта химической реакции................135

5.3.2. Определение порядка химической реакции.............................................137

5.3.3. Определение константы химической реакции........................................140

5.4. Выводы по главе 5.........................................................................................143

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.........................................................................................................144

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА...................146

ПРИЛОЖЕНИЕ 2 ТЕХНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

ИСПОЛЬЗОВАННОГО ИЗМЕРИТЕЛЬНОГО ОБОРУДОВАНИЯ......................149

ПРИЛОЖЕНИЕ 3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОРЯДКА ХИМИЧЕСКОЙ

РЕАКЦИИ....................................................................................................................151

ПРИЛОЖЕНИЕ 4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНСТАНТЫ ХИМИЧЕСКОЙ РЕАКЦИИ ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ КАРБОНАТНОГО ОБРАЗЦА И РАСТВОРА СОЛЯНОЙ КИСЛОТЫ.........................................................................155

СПИСОКЛИТЕРАТУРЫ........................................................................................160

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

ра - плотность раствора соляной кислоты, кг/м3;

ра0(га) - поле плотности раствора соляной кислоты в начальный момент времени, кг/м3;

р8 - плотность карбонатной фазы скелета пористой среды, кг/м3; а - константа скорости реакции, 1/с; к - стехиометрический коэффициент; т, т0 - пористость;

т0(га) - поле пористости около скважинной зоны продуктивного пласта в начальный момент времени; Б - дебит, м3/с

а - температуропроводность, м2/с; с - удельная теплоемкость, Дж/(кг-К); Бо - число Фурье;

к - полутолщина проницаемого слоя, м; гс - радиус скважины, м; га, и - размерные координаты, м; г и 2 - безразмерные координаты;

Я - глубина проникновения раствора соляной кислоты в карбонатный пласт, м. Н - толщина, продуктивного пласта (Н = 2И), м;

J - конвективный параметр движения жидкости в проницаемой среде; О^г., Бо) - безразмерная функция источников тепла; t - время, с;

и(г) - функция скорости конвективного переноса тепла; е - параметр асимптотического разложения;

0/п) - безразмерный остаточный член асимптотического разложения температуры; п - порядок остаточного члена; 0 - температура, К;

00 - температура закачиваемой жидкости, К;

0ii - максимальный перепад температуры, К; T - безразмерная температура; X - теплопроводность, Вт/(м^К); Ф(х) - единичная функция Хевисайда.

Нижние индексы: d - размерный (dimension); 1 - накрывающий пласт, 2 - подстилающий пласт, центральный пласт указан без цифры.

Верхние индексы: и - изображение; (0), (1) - порядковый номер коэффициента асимптотического разложения.

Сокращения:

КС - кислотный состав;

СКО - солянокислотная обработка;

ПЗП - призабойная зона пласта.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Температурные поля при циклическом воздействии раствора соляной кислоты на карбонатосодержащие нефтегазовые пласты»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность проблемы. Кислотная обработка карбонатных коллекторов является одним из наиболее распространенных способов химического воздействия на призабойную зону скважины, с целью интенсификации добычи нефти. Несмотря на многолетний опыт применения и большой объем проведенных исследований, направленных на совершенствование и повышение эффективности метода, значительная часть обработок не дает положительных результатов. По различным оценкам, успешность проведения кислотных обработок на многих месторождениях не превышает 30% - 50% [1].

Это свидетельствует о необходимости изучения многообразия влияющих факторов. Наиболее важным является исследование особенностей химико-гидродинамических и термодинамических условий протекания химической реакции. Известно, что температурные эффекты, возникающие при взаимодействии кислоты с карбонатной горной породой, достигают нескольких десятков градусов. Однако возможности этих эффектов для контроля не используются в должной степени в связи с отсутствием теоретической базы.

В настоящий момент теория гетерогенных химических процессов изучена достаточно полно. В работах [2 - 4], имеется большое количество экспериментальных данных. Существенным недостатком работ предшественников является отсутствие учета стадийности и цикличности процесса кислотной обработки при решении соответствующих задач.

Наиболее важным результатом, полученным нами на основе работ предшественников, является установление факта, заключающегося в том, что в процессе одного цикла воздействия максимально возможные изменения пористости в удаленных зонах не превышает нескольких процентов. Это создает необходимость многократного циклического кислотного воздействия.

Кроме того, каждый цикл кислотной обработки включает стадии закачки, выдержки и отбора продуктов реакции из пласта. При решении соответствующих химико-гидродинамических задач необходимо учитывать результаты предыдущих

этапов обработки. Это существенно усложняет постановку задач и затрудняет получение расчетных зависимостей. Такие же трудности возникают при постановке и решении температурных задач, актуальность которых обусловлена перспективами использования термометрии в процессе кислотной обработки с целью повышения эффективности. Дело в том, что соответствующие химико-гидродинамические и теплофизические задачи для такого процесса воздействия, учитывающие цикличность и многостадийность, к настоящему времени даже не сформулированы.

Целью диссертационной работы является изучение тепловых и химико-гидродинамических процессов, происходящих при циклическом химическом воздействии раствором соляной кислоты на карбонатосодержащие терригенные породы с учетом многостадийности.

Основные задачи исследования:

- создание физико-математической модели температурного поля, возникающего при закачке химически активного растворителя в пласт, последующих выдержке и отборе в карбонатосодержащем пласте и окружающих породах с учетом изменений пористости и раствора соляной кислоты;

- определение особенностей протеканий химико-гидродинамических процессов при кислотном воздействии при закачке, выдержке и отборе при циклическом воздействии;

- теоретическое и экспериментальное исследование вклада теплофизических, химических и гидродинамических параметров в температурное поле, возникающее при кислотной обработке.

Научная новизна. Впервые построена объединённая физико-математическая модель описывающая взаимосвязанные теплофизические и химико-гидродинамические процессы, протекающие в природных коллекторах, содержащих углеводороды, при циклическом кислотном воздействии.

Развита новая модификация асимптотического метода для решения не стационарных теплофизических задач сопряжения с учетом начальных условий, зависящих от пространственных координат.

Найдены новые аналитические выражения, позволяющие рассчитывать концентрацию, пористость и температуру в слоисто-неоднородном анизотропном пласте и в скважине при циклическом воздействии.

Практическая значимость заключается в возможности описания температурных возмущений, возникающих в пористой среде при кислотной обработке ПЗП. На основе полученных решений созданы новые методы расчета полей температуры и концентрации кислоты в растворе, а на базе изученных закономерностей могут быть созданы новые способы исследования скважин и пластов.

Объектом исследования является слоисто-неоднородная ортотропная кар-бонатосодержащая пластовая система, содержащая углеводороды.

Предметом исследования являются особенности и закономерности формирования термогидродинамических полей в пласте при циклическом химическом воздействии раствором соляной кислоты на карбонатосодержащие терригенные породы с учетом многостадийности.

Методы исследования и фактический материал. Основным методом решения математических задач, представленных в диссертационной работе, является развитая при участии автора модификация асимптотического метода. Кроме того, для получения аналитических зависимостей, представленных в работе, использованы широко известные: метод характеристик, методы вариации произвольной постоянной, интегральные преобразования. Графические зависимости рассчитаны с использованием стандартных математических программных пакетов. Сравнение полученных зависимостей с полученными другими авторами, проведение эксперимента.

Достоверность полученных результатов обосновывается тем, что в основу исследований положены законы сохранения. Согласованием полученных данных с результатами других исследователей, а также удовлетворительным согласием расчётных кривых с результатами экспериментальных исследований, опубликованными в печати.

Основные положения, выносимые на защиту. Математические модели полей концентрации и температуры при нестационарной фильтрации раствора кислоты в карбонатосодержащем пористом пласте и методы их расчета на основе модификации асимптотического метода.

Расчетные асимптотические формулы для температурного поля в пласте и окружающих породах, учитывающие предшествующие температурные возмущения, вызванные предыдущими стадиями и циклами кислотной обработки.

Результаты расчётов пространственно-временных распределений плотности раствора кислоты и пористости при кислотной обработке пластов с учетом много-стадийности и цикличности.

Апробация работы. Результаты данной работы доложены и обсуждены на II Международной студенческой Научно - практической конференции «Интеллектуальный потенциал ХХ1 века, ступени познания» (Новосибирск. 2010), Х Международной Научно-практической конференции «Наука и современность» (Новосибирск. 2011). II Международной Научно - практической конференции «Современные состояние естественных и технических наук» (Москва, 2011), Международной конференции «Современные проблемы математической физики и вычислительной математики» (Москва, 2016), IX Международной научно-практическая конференции молодых ученых «Актуальные проблемы науки и техники» (Уфа, 2016), VI- Ежегодная научно-техническая конференция молодых специалистов (Уфа, 2016),

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, состоящего из 76 наименований. Работа изложена на 167 страницах, включает 15 таблицы и иллюстрирована 42 рисунком.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю, заслуженному деятелю науки РБ, доктору технических наук, профессору А.И. Филиппову, научным консультантам, доктору физико-математических наук, профессору П.Н. Михайлову, доктору физико-математических наук О.В. Ахметовой.

ГЛАВА 1. ХИМИКО-ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОЛЯ ПРИ ЦИКЛИЧЕСКОМ КИСЛОТНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

В данной главе представлен обзор научных достижений в исследуемом вопросе. Осуществлена постановка и найдены решения задачи об изменении пористости при закачке соляной кислоты в карбонатосодержащий пласт в цилиндрической системе координат, получены выражения для расчетов пространственно-временных зависимостей пористости и плотности кислоты в растворе при воздействии на нефтегазовые карбонатосодержащие пласты. Показано, что полученные выражения, в отличие от известных, учитывают предшествующие изменения пористости и плотности кислоты на предыдущих этапах воздействия.

1.1. Исторический обзор

На современном этапе развития техники и технологии, разработка нефтяных месторождений проводится с активным внедрением различных методов интенсификации добычи нефти.

Широко распространенным методом в случае карбонизированных пластов выступает СКО. Изучение взаимодействия кислотных растворов с карбонатами представляет большой практический интерес, так как СКО являются основным способом интенсификации добычи нефти из месторождений с карбонатными пластами [5].

Однако несмотря на широкое применение, эффективность такого процесса определяется как пластовыми условиями, т.е. геолого-промысловыми, так и технологическими, например, условиями нагнетания раствора соляной кислоты в пористою среду [6].

Среди причин низкой эффективности СКО отмечают следующие:

1. Высокая скорость реакции при взаимодействии с породой, не представляющая возможность проведения глубококислотных обработок (не более 0.6 - 1.0 м). Кислота нейтрализуется в ПЗП и снижает эффективность при проведении обработок [7].

2. Кислота при обработке ПЗП попадает преимущественно в интервалы с повышенной водонасыщенностью [7].

3. Поскольку скорость реакции кислоты с породой в водонасыщенных интервалах намного выше, чем в нефтенасыщенных (эффект смачиваемости), кислота отрабатывается в водонасыщенных прослойках [7].

4. В трещиновато-поровых коллекторах кислота обрабатывает преимущественно поверхность трещин, не затрагивая матрицу [7].

5. Соляная кислота содержит соединения окислов железа замедляющего катализатора, а также вступает во взаимодействие с цементным камнем или некоторыми частицами глинистого материала породы, которое оказывает кольматируе-щее действие на ПЗП [7].

Указанные выше недостатки ликвидируются путем дизайна состава соляной кислоты, применения способов декальматизации ПЗП, внедрением новых эффективных методов воздействия на карбонатный пласт [7 - 10].

Одним из таких методов является циклическое воздействие раствором соляной кислоты на карбонатный пласт [11. 12]. Технологический процесс циклического воздействия характеризуется многократно повторяющимися циклами воздействия. В общем случае, каждый цикл можно разделить на составляющие его этапы [11 - 14]. Например, циклическая закачка с паузой между периодом закачки и отбора.

Дальнейшее рассмотрение технологии циклического воздействия раствором соляной кислоты на нефтяной карбонатосодержащий пласт в историческом срезе целесообразно проводить по этапам цикла воздействия. Как отмечалось выше отдельный этап цикла можно разделить на три направления (закачка. выдержка и отбор), каждое из которых имеет свою сложившеюся историю.

1.1.1. Этап закачки раствора соляной кислоты в карбонатосодержащий пласт

Этап закачки соляной кислоты можно охарактеризовать через комплекс параметров. Например, формирование червоточин и проникновение в них раствора соляной кислоты, увеличение абсолютного размера поровых каналов и, как следствие, увеличение проницаемости коллектора, которое обусловлено снижением концентрации раствора соляной кислоты при растворении карбонатной матрицы скелета в ходе химической реакции [15 - 18].

Типичные профили червоточин представлены в работе [19]. Принято выделять несколько базовых режимов растворения: компактное растворение, коническую червоточину, доминантную червоточину, разветвленную червоточину и равномерное растворение. По мере проведения кислотного воздействия возможна смена режима растворения [20].

Взаимное влияние различных процессов, таких, как перенос кислоты и химическая реакция, определяет нестабильное поведение формирования червоточин.

Если реакция растворения происходит значительно медленнее, чем перенос кислоты на поверхность раздела твердой и жидкой фаз, то реакция называется ограниченной кинетически (геасИопгМвитив^. В противном случае, когда скорость растворения велика по сравнению со скоростью переноса, реакция называется ограниченной массообменном (mass-transferlimited) [20]. Тип происходящей реакции сказывается на эффективности кислотного воздействия, особенно в случае обработки ПЗП.

К настоящему моменту реализовано большое число подходов к моделированию процесса растворения карбонатных пород при закачке растворителя в пласт. Основной упор в существующих моделях делается на развитее червоточины. Существующие модели приведены в таблице 1.

Наибольшей интерес представляют работы [21, 22], авторы которых определили зависимость для расчета глубины проникновения КС в пористую среду без учета его инфильтрации, позднее была использована в [22] для создания программного комплекса «Симулятор БСКО». Эта зависимость представлена в формуле

я =

]1

г2 +

'с 1

п

{пНш0 )

(111)

Подобную формулу в своей работе получили М.Ф. Каримов. и Р.К. Мухамет-шин [21].

' П

я = _ г2 + , 0 =

т

о

2кН

(1.1.2)

Цитированные выше работы не учитывают продвижение кислотного состава за счет растворения карбонатной составляющей скелета предшествующих воздействий на карбонатный пласт.

Таблица 1. Математические модели закачки раствора соляной кислоты в карбонатный пласт

Модели закачки раствора соляной кислоты

Аналитические модели на основе безразмерных комплексов, число Пекле и Дамклера [24 - 28]. В работах представлены модели развития червоточин, базирующаяся на экспериментальных наблюдениях и физических предпосылках. На основе этих моделей авторы привели оценку изменений скин-фактора и скорости роста червоточин.

Применение методов решетчатых газов и решетчатых уравнений Больцмана [29 - 34]. Относительно новым направлением является применение методов вычислительной гидродинамики для описания процесса растворения. Одной из первых работ является, в которой применен метод решетчатого газа (ЬОЛ) для моделирования смешанной задачи переноса и химической реакции на поверхности минерала._

Модель сети капиллярных трубок [35 - 40]. Большинство моделей сети капиллярных трубок основаны на решении уравнений конвекции и диффузии для активной примеси внутри капилляра. Рост червоточины происходит из-за увеличения количества кислоты, достигающей конца капиллярной трубки._

Неравновесные крупномасштабные модели [41 - 52]. К этой категории можно отнести модели, в которых система уравнений фильтрации решается напрямую с использованием уравнения переноса в однофазном случае или уравнений неразрывности для многофазного потока. Используются осредненные по объему характеристики (пористость, давление и т. п.). В ряде случаев при существенных допущениях возможны аналитические решения, однако большинство представленных моделей решались с использованием численных методов.

Модель двойной пористости [44]. В своей работе авторы попытались избежать некоторых неопределенностей других моделей, в которых либо делались строгие предположения о форме и плотности расположения червоточин, либо реализовывались не все режимы их развития. За основу авторы использовали модель трещинного резервуара. Помимо пор и по-рового объема предполагается существование трещин, моделирующих червоточины, и соответствующего трещинного объема._

_Продолжение Таблица 1.

Сеточные модели, двухмерные и трехмерные [26 - 27]. Образование червоточин с использованием сеточной модели порового пространства описано в [26]. Поровый объем представляется как двухмерная сеть нодов, соединенных цилиндрическими бондами. Модель позволяет делать количественные оценки изменения проницаемости, а также определять струк-__туру зоны растворения._

Цитированные выше работы не учитывают продвижение кислотного состава за счет растворения карбонатной составляющей скелета предшествующих воздействий на карбонатный пласт.

1.1.2. Этап технологической выдержки

В литературе задача выдержки раствора соляной кислоты в около скважин-ном пространстве рассматривается после доставки активного реагента в глубь карбонатного пласта.

Учет диффузной кинетики гетерогенных реакций осуществлен в законе А. Фика (1855 г.) [53], выражающем количество вещества продифундирующего за единицу времени через единицу площади под действием градиента концентрации

ёш = -Б — Ж, (113)

дх

дС

где Б - коэффициент диффузии, м2/с, —- градиент концентрации.

дх

Польским физиком-химиком Ю.Е. Богуским (1876 г.) получено кинетическое уравнение изменения концентрации кислоты от времени при растворении мрамора в растворах сильных кислот

- СС/сИ = КБ(С0 - С), (114)

где СС/& - скорость убыли кислоты; К - константа пропорциональности;

С0 и С начальная и концентрация кислоты ко времени ^

Его результат позднее подтвердили Н.Н. Каяндер (1880 - 81 г.), В. Спринг (1887 - 88 г.), А.Н. Щукарев [55].

А. Нойес, В. Уитни (1897 г.), Е. Бруннер (1903 г.), В. Нерст (1904 г.) предложили диффузную теорию. Согласно ей, на поверхности раздела фаз химическое

равновесие устанавливается мгновенно, и действительная скорость реакции равна скорости, с которой находящиеся в растворенном виде реагирующие компоненты приносятся к твердой поверхности в результате диффузии

DS

- dm/dt = KS(C0 - C), или - dC'/dt =-(C0 - C), (1.1.5)

5v

где - dm/dt - скорость растворения мрамора, моль или кг; D - коэффициент диффузии, м2/с; 5 - толщина диффузного слоя, м; v - объем раствора кислоты, м3; Со и С концентрация кислоты в объеме и в диффузионном слое.

В приведенных работах, уравнение (1.1.3) не учитывает гидродинамическое перемещение, кинетику химической реакции в пористой среде, а также геометрию растворения карбонатного скелета.

Более поздние работы по кинетике гетерогенных реакций изложены К.В. Кинга, В.М. Гортикова, А.Б. Здановского, Е.А. Мелвина - Хьюза, П.К. Уэйла, К. Ландау, Д.А. Франк - Каменецкого и В.Г. Левина [54 - 57, 58].

Успешность этапа выдержки определяется многими параметрами, такими как необходимый объем кислотного раствора, время выдержки, геометрия растворения пор и т.д.

Б.М. Сунков и Э.М. Шайхутдинова [59] рекомендуют ориентироваться на следующую формулу в выборе объема раствора кислоты на этапе выдержки

vkc =vn +Av-, (1.1.6)

где vKC - объем кислотного состава, м3; vП - объем порового пространства в заданном радиусе обработке, м3; Av t - приращение объема раствора кислоты на каждую следующую выдержку, м3.

В рекомендациях Shlumberger Services рекомендована к применению расчетная формула

vKC = ^ (1- т»100 к2 - Г? ) (1.1.7)

XC

где р100 и XC - параметры растворения горной породы; Ry - радиальная координата, м; r0- радиус скважины, м.

Математический прогноз времени выдержки кислотного состава в карбонатном коллекторе М.И. Максимовым (1945 г.) определялся по формуле

т = СС - С)РП , (1.1.8)

4кмс У )

где й - диаметр ствола скважины, м; С0, С - начальная и конечная (задаваемая) концентрация раствора соляной кислоты; Км - коэффициент массопередачи, м/с;

РП - давление в системе, МПа.

В работе П.Н. Михайлова [60 - 76], рассмотрена модель, учитывающая геометрию пор. Он получил зависимость коэффициента скорости реакции от геометрии пор:

- в первом случае цилиндрических полостей в начальном, и конечном состоянии:

а(ш) = а0Л/ ш(1 - ш), (119)

- во втором - цилиндрических полостей в начальном, и сферических остатков скелета - в конечном состоянии:

а(ш) = а0 4Ш3 (1 - ш)2, (1.1.10)

- в третьем - сферических полостей в начальном, и сферических остатков скелета в конечном состоянии:

а(ш) = а0 3 ((1 - ш)ш)2, (1.1.19)

где а0 - коэффициент скорости реакции.

Приведенные работы рассматривают этап выдержки как сложную задачу, решение которых сопряжено с большими трудностями. Поэтому на практике используются эмпирические зависимости, которые не учитывают повторение этапа выдержки.

1.1.3. Этап отбора

Стадия отбора наступает после закачки, технологической выдержки кислотного состава (КС) в карбонотосодержащем коллекторе. Ее целесообразно применять в результате снижения проницаемости за счет выделения и осаждением поро-

вых каналов нерастворимыми продуктами реакции (гипс, гидрооксид железа, ас-фальтеносмолопарафиновые отложения и т.д.), что приводит к неполному расходу КС за счет недостаточного продавливания их в глубь пласта и, как следствие, закрытие контура питания скважины [53, 56, 80].

Изменение направление движения при отборе активного флюида из периферии к скважине не только промывает ПЗП, а также вовлекает незадействанные в ходе закачки и выдержки полости в карбонатной матрице за счет кислотного растворения, что в свою очередь увеличивает пористость и проницаемость. Из анализа практического опыта время промывки скважин составляет от 4 до 13 часов [80].

1.1.4. Физические процессы, при фильтрации кислотного раствора

Изменение температурного поля в нефтяном карбонатосодержащем пласте, ограниченном непроницаемыми накрывающими и подстилающими породами, обусловлено циклическим воздействием раствором соляной кислоты. В качестве источников тепла выступают: химическая реакция и температурный эффект, обусловленный фильтрацией раствора соляной кислоты в пористой среде при закачке раствора кислоты и отборе активного флюида из карбонатосодержащего пласта. Первый источник зависит от физических параметров закачки. Второй источник тепла описывается теорией баротермического эффекта в нестационарном поле давления [60 - 65].

Изучение механизма течения жидкостей в нефтесодержащих породах обеспечивает получение достаточно определенных данных о величине закачки и отбора, а также тех факторов, которые влияют на изменение этой величины [68 - 72].

На этих сведениях основывается проектирование разработки месторождения и выбор методов искусственного воздействия с целью интенсификации добычи нефти.

Основы термодинамики нефтяного пласта заложены в работе Э.Б. Чекалюка [73]. Он получил уравнение сохранения энергии флюида в условиях пористой среды, описывающее температурные процессы, происходящие при фильтрации в

упругом режиме. В его работах получены простые аналитические решения, описывающие распределение температур в однородном изотропном плоскорадиальном пласте при нестационарной одномерной фильтрации [74].

В работе Г.Г. Куштановой [75] при моделировании теплообмена флюида в скважине температурный сигнал пласта присутствует в качестве граничного условия. Но при его расчете не был учтен баротермический эффект, возникающий вследствие изменения давления в пласте при нестационарной фильтрации, а температурный сигнал пласта определяется эффектом Джоуля - Томсона, который наблюдается в случае стационарной фильтрации флюида в пласте.

В работах А.Ш. Рамазанова и др. [69 - 76] исследуется нестационарное температурное поле в пористой среде при фильтрации многофазного флюида. В качестве недостатка можно отметить, что режим фильтрации считается стационарным и не учитывается слоистая неоднородность залежи.

В работах П.Н. Михайлова, рассматривается изменение температурного поля при фильтрации радиоактивных отходов в пористом коллекторе. Автор не учитывает температурные возмущения от предыдущих закачек радиоактивных веществ.

Таким образом, в выше изложенных работах:

- рассматривается продвижение фронта кислоты только за счет без учета растворения карбонатной породы раствором кислоты;

- изучаются единичные технологические этапы без учета предшествующих технологических воздействий на проницаемый пласт и без учета цикличности процесса кислотного воздействия;

- температурный вклад каждого этапа рассматривается в отдельности без учета этапов и цикличности процесса воздействия раствора кислоты.

Развиваемая в данной работе теория позволяет учесть указанные факторы и тем самым существенно уточняет и развивает представления, максимально приближая их к практическим условиям.

1.2. Задача об изменении пористости при закачке соляной кислоты

Рассмотрена задача о полях концентрации веществ с учетом химической реакции применительно к этапу закачки. Найдены аналитические решения для определения пористости карбонатного скелета и плотности раствора соляной кислоты сучетом предшествующих технологических процессов. Построены приближенные формулы, пригодные для практических расчетов процесса кислотного воздействия. Дан анализ результатов вычислительного эксперимента процесса кислотного воздействия и показано, что полученные зависимости могут быть использованы для расчета параметров циклического воздействия на нефтегазовые коллекторы, осуществляемого для увеличения нефтеотдачи.

Для случая реакции первого порядка, плотность источников тепла определяется по формуле д = ард. В цилиндрической системе координат математическая модель процесса описывается следующей системой дифференциальных уравнений: - для кислоты

д(шРа У 1 д(гй ШУРа )

Ы

дг

= -^ара,

(1.2.1)

- для скелета пористой среды

д(шРш У 1 д(гА шуРш )

д* г й дгА

= 0

- для продуктов реакции

д[р8 (1 - Ш)] _

Ы

-аРа

(1.2.2)

(1.2.3)

с начальными и граничными условиями:

/ , ^ ГА ^ г0d,

Ра (гd, * = 0)=1 г\

Р0 (г ),

г ), ГЛ > г

d > г0d,

* = 0Н ,

^ < Г0d ш0(га), ^ > г0d,

, Ра ^ * )=Р0'

(1.2.4)

г

d

Заметим, что задача отличается от рассмотренных ранее наличием начального условия для пористости, зависящей от начальной координаты т0(гё), которая определяется предшествующими процессами. По этой причине полученные решения применимы для описания циклических процессов воздействия.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кабиров, Ильшат Файзелькавиевич, 2019 год

Тх' -

У

2л/ лБо

г

1 Тр1(г ,х' )ехР

(х " - 2)

V 4ро У

Тх' -1 Тр1 (г, х " )ехр

(X - 2 )2

4ро У

Тх'

Т2(0) = Т,ег&

+г 2/ 3 -а(г +1)

2 г

+ -12(г" )ег&

3

0

V

2л/Бо - г2/ 3 -Б1+ (г 2 - г"2 )/ 3 -а(? +1) 2^о -(г 2 - г '2 )/ 3

2

г

Ф Бо--

У I 3 У

+

г

Ф

Бо

22 г2 - г 2

V

9 г

+ 2 1 (Тр (г, 2 "))¥

3 0

V

г 2 - г '2 ( ч +—---а(2 +1),Бо

22 г - г ^ Ф

Х г да

+—и Тр1 (г', х ' >Р

3

( 2 а

V - г / ч

+-;--а(2 +1)-X + 1,Бо

0 1

3 г" - г

3

Бо

г Тг +

У

22 г2 - г 2

У V "У

2 2 2 2

V

2 г -1

+ Тр2 (г' X '>Р

3

3

22

-Их--аи + 1)-а

3

Тх' Ф

Бо

3

I

V - г

г Тг +

3

Тг + (2.7.28)

0 -да

V

3

(2 + 1)-а(х ' + 1),Бо-

22 г2 -г 2

3

22

ТХ Ф

+

а

24 лБо

—/— 1 Тр 2 (г, х ' )ехР 2^ лБо -да

1 Тр2 (г, Х ' )ехР

' [(X ' + 1)+(2 + 1)]

У 2

Бо

г - г

3

г Тг +

4Бо

(Х-2)2 ^ 2

4Бо

Тх' - 1 Тр 2 (г, х ' )ехр

Тх' + ' (X + 2)1Л

4Бо

Тх'

Аналогично постановке для нулевого приближения, из (2.2.2) - (2.2.9) выписывается задача для первого коэффициента разложения. Эта задача с учетом условия, следующего из (2.2.9), имеет только тривиальное решение. Ниже показано, что для получения единственного нетривиального решения задачи для 7(1) условие при г = 0 следует ослабить и заменить нелокальным средне интегральным. Такое условие получено для случая, когда задача для осредненного по толщине пласта остаточного члена имеет нулевое решение.

+

У

2

1

1

да

г

1

да

2.8. Задача для остаточного члена

Представим искомое решение в виде Т = Т (0)+вТ (1)+ 0 и рассмотрим задачу для остаточного члена 0

Э01 Э 2 01_о

ЭБо Эг

2

Э02 _2 Э202 а 2

ЭБо

Эг

°,

Э0 , чЭ0 X Э20 (ЭТ(1) , чЭТ(1)Л

/ \Э0

ь и(г)---

= -8

ЭБо

+ и (г)

Эг

Э0,

~дг

г=1

ЭБо х ' Эг 8Л Эг2 ч

0 г=1 =01 г=1 , 0 г=-1 =0^ г=-1

_8ЛЭ(01 +8Т1(1)) Э^, ____ Э(02 +8Г

Эг

Э0, ...

г=1 , — г=-1 = 8ЛХ"

Эг

Эг

г=-1

0 Бо=° = Т(0) Бо=° - Тр (г, г), 01рс=0 =02|рс=0 = °

01|

г

^ 0,02

г ^-да

^ 0

0 г=0 = -8Т(1) г=0 + Т(0) г=° - Тр (0, г).

(2.8.1) (2.8.2)

(2.8.3)

(2.8.4)

(2.8.5)

(2.8.6)

(2.8.7)

(2.8.8)

Усредним задачу (2.8.1) - (2.8.8) по г в пределах от - 1 до 1 по формуле (0 = 1Д 0¿2. Для осреднения уравнения (2.8.3) использовано соотношение, следующее из (2.8.5)

1 1Э 2 0

йг =

1 Э0

1 Э0

г=1

г=-1

Л8 2

2 Д Эг2 2 Эг 1 г 1 2 Эг /э(01 +8Т(1)), _ ^ э(о2 +8Т2(1)),

Эг

г=1

Эг

г=-1

(2.8.9)

Осредненная задача для остаточного члена имеет вид

Э01 Э2 01 _

ЭБо Эг2

(2.8.10)

д02 -2 д202 л

—2-а 2—г2 = 0, дБо дг2

(2.8.11)

+ и(г)5'0 -

дБо

дг 2

д©1

V

дг

,-1-Х

д02 "дг"

г=-1

^д Т(1)

= -8

д/Т(1)

+ и (г)—-

дБо дг

дТ(1)

дТ(1)

\

Л | 2 = 1 ^ ~ | 2 = -1 V дг дг у

(2.8.12)

0 2=1 =012=1, 0 2=_1 =0 2 2=_1

0)| Ро=0 = 0 011 Бо=0 = 0 0 2^=0 = 0, 010, 0 2 г^-да^ 0,

0 г=0 =-8 Т

(1)

г=0 .

(2.8.13)

(2.8.14)

(2.8.15)

(2.8.16)

Усредняя аналогично уравнение для первого коэффициента разложения, следующее из (2.2.4) при сомножителе 82, с учетом условий сопряжения (2.2.6), получим

дБо дг 2 д2

и=1

д2

2=-1

Последнее означает, что правая часть уравнения (2.8.12) тождественно равна нулю. Отсюда следует, что осредненный остаточный член (0 и осредненный первый коэффициент (т удовлетворяют одному и тому же уравнению, в котором

дифференциальная часть оператора дополняется следами производных из внешних областей. Такой же оператор со следами производных содержит уравнение для нулевого коэффициента (2.5.3).

Из (2.8.16) при дополнительном условии (т (1)^| г=0 = 0 следует, что усредненная задача для остаточного члена имеет только тривиальное решение. Ниже это условие использовано как дополнительное в задаче для первого коэффициента. Показано, что задача для первого коэффициента с таким условием имеет ненулевое

решение, а осредненная задача для остаточного члена имеет только тривиальное решение.

Найденное асимптотическое разложение обладает важным свойством, заключающимся в том, что решение осредненной задачи для остаточного члена является тривиальным при любых значениях формального параметра 8. Это, естественно, повышает его практическую ценность, поскольку определен критерий близости точного решения и найденного асимптотического, нулевой коэффициент которого является решением осредненной задачи. Поэтому целесообразно в асимптотических решениях выделить соответствующий класс. Асимптотическое решение параметризованной задачи (2.1.10) - (2.1.17), построенное при условии, что решение осредненной задачи для остаточного члена является тривиальным.

2.9. Анализ результатов расчетов температурных полей в процессе соляно кислотного растворения корбонатной породы

На рисунках 2.2 - 2.4 представлены нормированные на максимальное значение температуры т изотермы поля начальных возмущений, рассчитанных на основании формул (2.7.26) - (2.7.28) при Т° = 0, 0(г ) = 0. Рисунки дают представление о динамике пространственных изменений поля, вызванных предшествующими закачке кислоты технологическими процессами, представленными в рассматриваемой модели начальными возмущениями температуры. В расчетах приняты следующие параметры: а = 1, х = 1, ^ = 1, а = 1, = 1, J = 30. Температурные возмущения вызванные предшествующими технологическими операциями описываются формулами Тр = Т° • е~г, ТрХ = Т° • е"г-г+1, Тр1 = Т° • е"г+г+1.

На рисунках 2.2 - 2.4, а изображены пространственные зависимости температуры от координат г и г, а на 2 - 4, б плоское изображение линий равной температуры того же, что и на, а, температурного поля. Сопоставление этих зависимостей обеспечивает более наглядное представление полей температуры.

В расчетах принято, что максимальное значение начального возмущения температуры локализовано в скважине в интервале пласта (г = 0, -1 < г < 1). Кривые

для малых времен закачки Бо = 0.004, представленных на рисунке 2.2, свидетельствуют о возникновении температурного «вала», продвигаемого в удаленные участки пласта. Максимальное значение температуры «вала» достигается при г = 0.35 и составляет 0.9 амплитуды исходного температурного возмущения. Формируется «задний температурный фронт», который на рисунках представлен штриховыми линиями.

Максимальные значения температуры в окружающих породах локализованы вблизи скважины г = 0 на расстоянии г = 0.2 от границы пласта. Таким образом, максимальные значения температуры в породах продвигаются вдоль скважины, удаляясь от границ пласта.

Рис. 2.3 свидетельствует о продвижении максимальных значений температуры вглубь пласта до г = 1.73, с уменьшением их величины. В окружающих породах в этом случае максимум температуры достигается при г = + 1.7 вблизи скважины г = 0.

т

г

а б

Рис. 2.2. Изотермы поля, начальных возмущений (сплошные линии - передний фронт температурных возмущений, штриховые - задний фронт) при Fo = 0.04: 1 - т/т = 0.1; 2 - 0.2; 3 -0.3; 4 - 0.4; 5 - 0.5; 6 - 0.6; 7 - 0.7

С увеличением времени закачки Бо = 1 (рис. 2.4) максимальные значения температуры продвигаются вглубь пласта до г = 5.2, уменьшаясь по величине до

Т/Т = 0.06. В окружающих породах в этом случае максимум температуры Т/Т = 0.14 достигается при г = + 2.7 вблизи скважины г = 0.

Рис. 2.3. То же, что и на рис. 2 при Fo = 0.1: 1 - Т/Т = 0.05; 2 - 0.1; 3 - 0.15; 4 - 0.2; 5 - 0.25; 6 - 0.3; 7 - 0.35; 8 - 0.4

Рис. 2.4. То же, что и на рис. 2 при Бо =1: 1 - Т/Т = 0.0125; 2 - 0.025; 3 - 0.0375; 4 - 0.05; 5 - 0.0625; 6 - 0.075; 7 - 0.0875; 8 - 0.1; 9 - 0.1125; 10 - 0.125

2.10. Выводы по главе 2

Итак, осуществлена постановка и найдены решения задачи о температурном поле, возникающем при закачке соляной кислоты в карбонатосодержащий пласт. В отличие от известных решений постановка задачи учитывает ненулевое начальное распределение температурного поля, вызванного предшествующими технологическими процессами. Для преодоление математических трудностей связанных, с учетом начального распределения, осуществлена модификация «в среднем точного» асимптотического метода. Для этого сформулирована задача для остаточного члена нулевого приближения. Модифицированное условие найдено с выполнением требований тривиального решения задачи для остаточного члена

Выполнено «расцепление» исходного уравнения, содержащее коэффициенты разложения нулевого и первого порядка. Сформулирована задача, содержащая только нулевые коэффициенты разложения.

Полученные приближенные решения позволяют оценивать динамику температурного поля при соляно-кислотной обработке карбонатосодержащих пластов в зависимости от химико-гидродинамических и теплофизических характеристик флюида и вмещающей среды.

Анализ результатов расчетов пространственных зависимостей температуры в различные моменты времени показывает наличие температурного «вала» от предыдущей закачки, который уменьшается, продвигаясь вглубь центрального пласта. Максимумы температурного поля в кровле и подошве проницаемого пласта сдвигаются по оси г от скважины, уменьшаясь по величине.

Показано, что полученное решение соответствует решению осредненной температурной задачи и применимо для любых значений времени.

Найденное решение позволяет рассчитывать пространственно-временные зависимости температуры, возникающие при закачке раствора кислоты в карбонато-содержащий пласт и учитывает вклад предшествующих технологических процессов, это позволяет использовать полученные решения для расчета температурных полей на этапе закачки при циклической обработки в условиях реальных месторождений.

ГЛАВА 3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ТЕМПЕРАУРНОМ ПОЛЕ ПОСЛЕ

ПРЕКРАЩЕНИЯ ПОДАЧИ АКТИВНОГО РАСТВОРА В ПЛАСТ

Получено асимптотическое решение задачи о температурном поле, возникающем при выдержке химически активного растворителя в слоисто-неоднородном, ортотропном пласте. Учтены возмущения температуры, вызванные предшествующими технологическими процессами, что позволяет использовать полученное решение для расчетов в условиях многократного циклического воздействия. Источниками возмущений температуры выступают выделения тепла за счет химической реакции (либо радиоактивного распада), изменения температуры закачиваемого в пласт раствора кислоты (или радиоактивных веществ), поэтому полученное решение охватывает широкий круг процессов термокислотного и радиоактивного воздействия.

Реализованный способ построения решения является развитием «в среднем точного» асимптотического метода, предложенного авторами, применительно к задачам с ненулевыми начальными условиями. Приведены результаты расчетов пространственно-временных распределений температуры при технологической выдержке закачанного водного раствора соляной кислоты в карбонатосодержащий пласт.

3.1. Математическая постановка температурной задачи

Одним из часто используемых для восстановления и увеличения проницаемости призабойной зоны нефтегазосодержащего пласта методов является кислотное воздействие на пласт [1 - 4]. Технологической выдержкой называют процесс, который наступает после доставки активного реагента вглубь пласта. В качестве активного реагента могут выступать, например, закачиваемые водные растворы кислот и радиоактивных изотопов. Возмущение температурных полей в карбонатных пластах на этапе выдержки складывается из возмущений, наследуемых от этапа закачки [5], тепловых эффектов от химической реакции или радиоактивного распада [6]. В работах [5 - 8] рассмотрены численные и аналитические решения

близких к данной работе задач. Недостаток этих работ заключается в пренебрежении эффектом от предшествующих технологических воздействий, в частности от этапа закачки.

Технологический процесс кислотного воздействия на карбонатосодержащий пласт носит цикличный характер. Поэтому будем считать, что температура в начальный момент времени отличается от геотермической в пластах на величину D{r,zd), Dx{r,zd), D2{r,zd) - соответственно.

где Г = Г1 = qzA,zl, Г2 = qz/^z2, qz - составляющая естественного теплового потока Земли. Таким образом, начальное условие рассматриваемой задачи отличается от всех решенных ранее.

Рис. 3.1. Геометрия задачи после прекращения подачи активного раствора в карбонатный пласт

Таким образом, начальное условие в задаче отличается от рассмотренных ранее, поскольку чаще всего начальные возмущения температуры не учитывались. Это, прежде всего, объясняется тем, что учет начальных условий сильно усложняет процесс построения решения.

Однако особые трудности возникают при использовании таких подходов как «схема сосредоточенной емкости», в которых температура в пласте полагается независящей от вертикальной координаты. Они заключаются в том, что нет ника-

е|,=0 = D{r, Zd) + 00 - Г Zd, 0! |,=0 = D {r, ) + ÖQ - ГА -Г1 {zd - h), 021,=0 = D2 {r, zd) + 0q +ГА - Г2 {zd + h),

1 t=0 _

(3.1.1)

ö,,0, zc

ких оснований полагать, что начальные возмущения в пласте не зависят от вертикальной координаты. Если же такая зависимость начальных условий существует, то возникает проблема их согласования с дифференциальными уравнениями задачи. В данной главе найдено решение этой проблемы на основе асимптотических методов.

Математическая постановка температурной задачи для всех областей представляется уравнением теплопроводности, причем для средней области - с источниками дё, вызванными химическими реакциями или радиоактивным распадом

501 1 д

дг г дг

С

д01

дг

д02 1 д = аг 2"Т"

дг г дг

г

V дг у С

д 201

+ а21 —^, г > к, г > 0, г > 0.

2 '

д0

г

2

V

дг

дг

д202

+ аг2--2 2 К_к, г > 0, г > 0.

дг2

д0 дА 1 д

---- = аг--

дг ср г дг

д0 г —

V дг у

д 20

+ а —т,. Ы < к, г > 0, г > 0.

г д г 2

(3.1.2)

(3.1.3)

(3.1.4)

На границе заданы условия равенства температур и тепловых потоков

0 г=к =01 г =к ^ г

д г

= Х

д0

г1

г=к

д г

г=к

0 г=_к =02 г=_к > ^г

с50

д г

= Х

д0-

г 2

г=_ к

д г

(3.1.5)

(3.1.6)

г=_к

Температурные возмущения в начальный момент времени определяются предыдущей историей тепловых воздействий (3.1.1), а условие на бесконечности представлено в виде

Шп 0

г+|Ы^=00 _Гг- > ^ 01

г + ы ^го 00

=00 _Гк_Г1 (г- _к),

Шп 0'

г + Ы ^го'

0 0 +Гк _Г2 (г- + к),

(3.1.7)

02| г=0 = ^2 (г, )+ 00 + Гк _ Г2 (г- + к). Нижние индексы I =1 и 2 относятся к параметрам первой и второй среды соответственно, а нижний индекс ё соответствует размерным величинам. Решение

предполагается ограниченным и симметричным на оси г. Выражение для функции

81

плотности источников д в уравнении (3.1.4) находится из соответствующей химико-гидродинамической задачи.

3.2. Решение температурной задачи асимптотическими методами

Задача (3.1.1) - (3.1.8) приводится к безразмерным координатам с использо-

ванием соотношений

г

иА • Н

г

Н '

и

а

Н

й ^ О(г,Бо) =

г = -", Бо =

Н

2

911аг1

Ой ^ гX

Л = , Х = Х г2

X.

X

х = за, а-2 = а^2

ср

аг1

, Т (Ро):

_9о (г )-8о + Гг,

011

Т

_01 -9о +ГН + Г1(га -Н) т _02 -9о-ГН + Г1 (г, + Н)

011

Т =

9-9о + Гг, 011

> Тр (г, г ) =

Р(г„, ^ )

911

9ц

Тр1 (г,г ) =

А (гсь )

9ц

Тр 2 (г, г ) =

911

(3.2.1)

В безразмерных координатах задача (3.1.2) - (3.1.7) в предположении осевой симметрии принимает следующий вид:

ат р2 д ( дТ Л д% . 1 _ _

1 1 г—1---1 = о, г > 1, г > о, г > о.

дБо г дг

2

V дг У

дг

2

дТ2 Р2 д

' дТ2Л

дг г дг

г

V дг

2 д2Т2

а 2—2 = о, г <-1, г > о, г > о,

дг г д г

2 а Г дТЛ

V дг У

д г

еЛ д г2

2

= д, -1 < г < 1, г > о, г > о

Т.-1 = Т

дТ

г=1 = Т1 г=1

д г

1 дТ

Т\г=-1 = Т2| г=-1 , Х

дТо

д г

Г=1 еЛ д г

1 дТ

г=-1 еЛ дг

г=1