Течения вращающихся газовзвесей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Петров, Дмитрий Александрович

• Петров, Дмитрий Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Петров, Дмитрий Александрович

Введение

§ 1. Расположение материала.—

§ 2. Основные понятия

§ 3. Краткий исторический обзор

Глава 1. Кинетическое описание газовзвеси

§ 1.1. Кинетическая модель неконденсирующей неагрегирующей монодисперсной газовзвеси .—

§ 1.2. Построение трехкомпонентной модели.

Учет испарения и конденсации

§ 1.3. Учет агрегирования и распада включений

§ 1.4. Трехкомпонентная модель

§ 1.5. Кинетическая модель взвеси пыли и капель во влажном воздухе (четырехкомпонентная модель)

§ 1.6. Оценка вклада членов кинетических уравнений

§ 1.7. Предельные функции распределения

§ 1.8. Принцип отбора решений кинетических уравнений

Глава 2. Континуальное описание газовзвеси

§ 2.1. Уравнения переноса для монодисперсной модели .—

§ 2.2. Учет процессов испарения и конденсации

§ 2.3. Учет агрегирования и распада включений

§ 2.4. Уравнения переноса трехкомпонентной модели.

§ 2.5. Уравнения переноса для четырехкомпонентной модели

§ 2.6. Уравнения для среды в целом и диффузии фаз

§ 2.7. Предельная система и ее свойства

§ 2.8. Связь с уравнениями переноса, получаемыми феноменологически и методом осреднения.

Глава 3. Примеры течений вращающихся газовзвесей

§ 3.1. Точное решение кинетических уравнений взвешенной фазы газовзвеси.—

§ 3.2. Задача о смерче (торнадо)

§ 3.3. Возможное применение результатов работы к другим задачам

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Течения вращающихся газовзвесей»

§ 1 Расположение материала

Работа посвящена построению математической модели крупномасштабного вращательного течения газовзвеси на длительных интервалах времени с учетом процессов испарения и конденсации, слипания и распада взвешенных в потоке твердых частиц и капель.

Введение содержит сведения о структуре текста диссертации, определения основных используемых понятий. Здесь же размещены замечания об актуальности исследования и различных его моментов, целях работы, основаниях достоверности полученных результатов и об их практической ценности. В заключительном параграфе главы приводится обзор истории исследований газодисперсных сред, процессов испарения и конденсации, применяемого метода исследования — моделирования на кинетическом уровне.

В первой главе модель строится поэтапно на основе кинетического подхода к описанию газовзвесей, изложенного в монографии [67]. В качестве последовательных по мере возрастания сложности модели приближений рассматриваются задачи о течении монодисперсной газовзвеси (§ 1.1), полидисперсной газовзвеси с учетом только испарения и конденсации водяного пара (§ 1.2) и только агрегирования и распада включений (§ 1.3). В §1.4 приводится комбинация предыдущих двух — модель трехкомпонент-ной газовзвеси с испарением и конденсацией, агрегированием и распадом взвешенных частиц. Наконец, в § 1.5 строится стохастическая (кинетическая) модель двухфазной четырехкомпонентной агрегирующей газовзвеси с учетом испарения и конденсации пара, а также вызванных испарением и конденсацией спонтанных переходов включений из сорта капель и обводненных частиц, принимаемых за капли, в сорт сухих частиц и обратно. Последнее связано с тем обстоятельством, что процесс частичного осушения (обводнения) твердых включений в диссертации исключен из рассмотрения. Далее идет § 1.6, в котором проводится анализ вклада различных членов в кинетические уравнения наиболее общей, четырехкомпонентной модели. В § 1.7 приведены локально-равновесные функции распределения, получаемые независимо методами статистической физики. Завершает главу § 1.8, рассматривающий применение принципа отбора к построенным моделям, т.е. учет граничных условий и законов сохранения.

Вторая глава посвящена описанию рассмотренных в первой главе моделей на континуальном уравне. Для каждой модели выписываются системы газодинамических уравнений, замкнутые с помощью кинетического подхода. В § 2.6 изложен результат записи уравнений двухфазной среды в форме системы уравнений для среды в целом и диффузии. Эти уравнения упрощаются в § 2.7 введением дополнительных обоснованных предположений. Завершает главу § 2.8, анализирующий преимущества полученных из кинетического подхода газодинамических систем уравнений перед уравнениями, записанными феноменологически или полученными методом осреднения.

Третья глава содержит примеры применения построенной модели газовзвеси с учетом испарения — конденсации, агрегирования — распада включений и их обводнения — сушки. Рассмотрены точные решения кинетического уравнения взвешенной фазы, задачи о структуре торнадо и выходе процессов испарения — конденсации и агрегирования — распада на равновесие, некоторые технологические задачи.

§ 2 Основные понятия

Для лучшего понимания материала читателем следует остановиться на встречающихся в работе терминах. Большая часть вещества во Вселенной, и на Земле в частности, находится в дисперсном состоянии, то есть в виде пыли. Гетерогенной называется макроскопически неоднородная система, состоящая из различных по своим свойствам частей, разграниченных поверхностями раздела [54]. Эти части системы называются фазами. Вне зависимости от количества агрегатных состояний вещества в рассматриваемой среде, фаз выделяется всего две — взвешенная и несущая. Взвешенную фазу составляет вещество, находящееся в дисперсном состоянии. Эта фаза взвешена в потоке газа (в гидровзвеси — в потоке жидкости), называемого несущей фазой. Последняя также „разделяет" переносимые инородные включения, а потому может называться дисперсионной. Взвешенная фаза, соответственно, является дисперсной („разделенной").

Золями называют гетерогенные среды, в которых дисперсионной фазой является жидкость [54]. Но аэрозолями по традиции называют газовзвеси, в которых несущей средой является воздух. Газовзвесь — гетерогенная среда, образованная потоком газа, в котором взвешены твердые и/или жидкие частицы (далее просто частицы).

Таким образом, только в случае нахождения всей взвешенной фазы в одном агрегатном состоянии число агрегатных состояний и фаз в системе будет совпадать. В указанном смысле в данной работе рассматриваются двухфазные системы, но агрегатных состояний рассматривается три — твердое, жидкое и газообразное.

Как это обычно делается, сухой воздух рассматривается в качестве простого газа. Оставаясь смесью газов, он считается одним сортом молекул, но с эффективными теплофизическими свойствами, учитывающими свойства смеси. Пористостью (порозностью) называется доля объема, занятого газом.

Взаимодействия между объектами среды бывают упругими (внутренняя энергия вступающих в них объектов не меняется), неупругими (внутренняя энергия не сохраняется, но сохраняется химический сорт) и реактивными (изменяется и химический сорт).

При кинетическом описании среды употребляются также следующие термины. Функция распределения — плотность математического ожидания числа объектов в момент временив со значениями индивидуальных случайных переменных из заданного интервала. Случайная, переменная — переменная, точное значение которой указать невозможно, но можно говорить о вероятности обнаружения ее значений из заданного интервала. Внутренняя трансформанта — плотность вероятности образования в момент времени t объектов со значениями индивидуальных случайных переменных из заданного интервала в результате достоверного соударения объектов с заданными значениями случайных параметров. Граничная трансформанта (граничная ударная трансформанта, граничная функция рассеяния) — плотность вероятности образования в момент времени t объектов со значениями индивидуальных случайных переменных из заданного интервала в результате достоверного соударения объектов с заданными значениями случайных параметров с элементом поверхности (dS) обтекаемого тела.

Среди терминов, встречающихся в цитируемой литературе (а поэтому иногда и в диссертации) и требующих пояснения, следует указать термины «стохастические законы сохранения», «стохастические системы», «стохастические функции», «стохастические (они же кинетические) модели». Для них принимаются определения из публикаций [7, 13, 30].

Стохастические системы — это системы (ансамбли), эволюция которых описывается набором случайных (индивидуальных случайных) переменных. Это, вообще говоря, предмет теории случайных процессов (случайных функций).

Стохастические модели — это модели стохастических систем, в которых предсказываемые значения зависят от распределения вероятностей. Другое название — кинетические модели.

Стохастические законы, сохранения— это математическая формулировка, описывающая стохастическую систему, при обобщении понятия закона сохранения, принятом в [13].

Стохастические функции — функции от набора случайных переменных, характеризующие случайный (стохастический) процесс. Реализацией случайного процесса является не случайная (не стохастическая, детерминистская) функция.

Стохастические уравнения — это, строго говоря, уравнения особого вида, описывающие стохастические процессы (например, уравнение Ланже-вена, уравнение движения броуновской частицы). В диссертации, как и в [13], это понятие трактуется расширительно. Под ними подразумеваются уравнения для отыскания любых стохастических функций и функций распределения. В последнем случае термины стохастический и кинетический можно считать эквивалентными.

Детерминистские модели — это модели, с помощью которых предсказываемые значения могут быть вычислены точно.

Актуальность рассмотрения течений газовзвесей обусловлена использованием таких течений в технических процессах, а также их распространенностью в природе. Аэрозоли в настоящее время являются объектом растущего внимания специалистов в различных областях знания. Это обусловлено той огромной ролыо, которую аэрозоли играют в повседневной жизни человека. В виде загрязненной воздушной среды они могут отрицательно влиять на здоровье, а в виде лекарств — спасать жизнь. Аэрозоли могут быть оружием и удобрениями. Они важны для понимания механизмов изменений погоды и климата. Обеспечение чистоты воздуха, вдыхаемого человеком, следует отнести к одной из наиболее важных проблем экологии. Следует иметь в виду, что взвешенные частицы обладают „сильно развитой" поверхностью, на которой могут протекать химические реакции, процессы горения и адсорбции, а также взаимодействия с электрическим полем. „Развитость" поверхности влияет на гигроскопичность вещества. Поэтому газовзвеси активно используются в химической промышленности. Облака, туманы и дымы, смог — вот лишь несколько примеров природных аэрозолей, играющих важнейшую роль в создании облика Земли, в жизни на ней.

Вращательные (вихревые, циркуляционные) течения являются одним из основных видов движения жидких и газообразных сред. В частности, для метеорологии весьма важной задачей является исследование струкру-ры и поведения атмосферных смерчей и подобных (огненные смерчи) или внешне похожих (смерч-вихри, пыльные вихри) на них явлений [37]. Смерчи (обычные и огненные) связаны с завихренностью некоторого материнского облака, возникают в нем и затем опускаются к земле. В отличие от них, смерч-вихри и пыльные вихри представляют собой вертикально развивающиеся вверх завихрения, зарождающиеся у земной поверхности. При этом смерч-вихри образуют над собой сильно завихренные облака, из которых могут опуститься настоящие смерчи [37]. Пока литература о смерчах (см., например, [37, 53]) носит, в основном, описательный характер. О попытках объяснения и моделирования торнадо будет сказано в исторической справке.

В приближении осесимметричного течения гидродинамически идеального аэрозоля нельзя ответить достаточно строго на вопрос о зависимости тангенциальной скорости смерча от расстояния до его центра. Для этого требуется учет вязкости в слое между идеальным ядром вихря и внешней его границей. При этом доля примеси может оказаться столь высокой, что возможно появление в среде антисимметричных напряжений [67, 69]. Это, в свою очередь, может исказить профиль тангенциальной скорости. В диссертации делается попытка исследования и этого актуального вопроса.

Вращательные течения газовзвесей могут быть использованы для сепарации частиц. На таких принципах работают, в частности, аэрозольные центрифуги. Возможно использование в технике закручивания потока за счет столкновения встречных течений, как это происходит в природе при образовании мезоциклонов и смерчей на атмосферных фронтах. Пузыре-образование в псевдоожиженном слое также может привести к циркуляционным течениям взвесей [45].

Учет испарения и конденсации важен для описания природных процессов (круговорот воды в природе, облачность, туманы). Облака и туманы оказывают влияние на температуру воздуха вблизи Земли. Динамика облаков существенна для долгосрочных прогнозов погоды [13]. Туманы, взаимодействуя с промышленными отходами, образуют токсичные вещества. Многие промышленные выбросы имеют аэрозольную форму. А процессы испарения и конденсации приводят к изменению распределения аэрозолей по размерам. И хотя в монографии [46] отмечается, что некоторые высоко расположенные облака монодисперсны как раз по причине испарения и конденсации, здесь, скорее, учитывается развитие конденсации в вертикально восходящем потоке, что приводит к установлению примерного равенства размеров капель на опреденной высоте. На практике атмосферные аэрозоли обычно описывают некоторой средней величиной размера частиц, но не всегда такое описание достаточно точно. Процесс испарения широко используется в химической технологии, например, при производстве порошкового молока и растворимого кофе.

Процессы агрегирования и распада важны при решении экологических задач, при исследовании динамики явлений в атмосфере (например, град), изучении течений коллоидных растворов, а в промышленности — процессов спекания взвешенных частиц при высокой температуре. Проблема сочетания простоты и точности при описании таких процессов в природе и в промышленности пока далека от завершения.

Актуальность математического описания течений вращающихся газовзвесей связана с необходимостью расчета и предсказания значений макропараметров. В частности, это необходимо для предсказания поведения таких течений в природе.

Отсутствие математической постановки задачи о влиянии антисимметричных напряжений во вращающейся среде и, соответственно, исследования их влияния на гидродинамические величины, а также необходимость сочетания простоты и точности при описании процессов испарения — конденсации и агрегирования — распада, наблюдающихся в природе и в промышленности, лишний раз подчеркивает математическую актуальность рассматриваемой в диссертации задачи в случае большого числа элементов системы.

Актуальность применения кинетического подхода к исследованию течений вращающихся газовзвесей связана с тем, что подход этот позволяет теоретическим путем получить замыкающие соотношения и граничные условия для уравнений переноса, а его область применимости существенно шире области применимости традиционно используемых гидродинамических подходов.

Ранее многими авторами уже рассматривалось явление смерча. Как правило, работы носят описательный характер. Исследований с последовательным применением кинетического подхода (тем более для всех фаз) для описания такого типа явлений автором найдено не было.

Актуальность математического описания процессов и течения внутри смерча связана с отсутствием необходимых прямых экспериментальных данных и невозможностью их получения на современном уровне развития экспериментальной базы. Это приводит к неизбежности построения сравнительно простых гипотетических моделей, основанных на достаточно обоснованных методах, в том числе кинетическом подходе.

Цель работы. Целью работы является построение модели газовзвеси (двухфазной в гидродинамическом смысле среды) с учетом процессов испарения — конденсации и агрегирования — распада, выделяя для описания взвешенной фазы как одну, так и две компоненты. Замкнутая модель газовзвеси должна быть построена на кинетическом уровне с последующим переходом на сокращенное гидродинамическое описание и упрощением получившейся на континуальном уровне системы уравнений для описания атмосферного смерча (торнадо) в предельном приближении с учетом круп-номасштабности явления. Целью моделирования смерча является нахождение формы поверхности его идеального ядра, полей скоростей, плотности и давления среды внутри воронки смерча.

Достоверность полученных результатов обусловлена достоверностью результатов кинетического подхода в теории газовзвесей, описанного в работе [67], применением апробированного асимптотического метода решения кинетических уравнений, положительным опытом применения данного подхода к широкому кругу явлений, а также качественным совпадением полученных результатов с известными экспериментальными данными и особенностями явлений.

Основной метод исследования. Для описания газовзвеси используется кинетический подход (в терминах публикации [13] — методология статистических законов сохранения) и его реализация из монографии [67]. При этом подходе явление моделируется на „микроуровне", а замыкающие соотношения для уравнений переноса получаются в результате приближенного решения соответствующих кинетических уравнений. Приближенное решение кинетических уравнений осуществляется по методу Чепмена — Энскога, что позволяет получить замыкающие соотношения для системы гидродинамических уравнений сплошных сред.

Применяемое обобщение метода Чепмена — Энскога, в отличие от традиционного метода, приводит к зависимости коэффициентов переноса не только от частот соударений частиц фаз, но и к их зависимости от гидродинамических полей [67].

Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Модификация и конкретизация кинетической модели газовзвеси В. А. Цибарова, позволяющая учесть процессы испарения и конденсации, обводнения и сушки в рамках принятого закона рассеяния на частицах и эффективных корреляционных функций, зависящих от объемной доли всех включений.

2. Классификация режимов течения газовзвесей в зависимости от эффективного диаметра включений и их объемной доли.

3. Замкнутая на основе принятой кинетической модели постановка о „макроскопическом" (континуальном) течении газовзвеси, учитывающая процессы испарения и коидепсации, агрегирования и сушки в приближении идеальных фаз (включая предельную задачу) и вязкой взвешенной фазе.

4. Точное слабо неравновесное решение кинетических уравнений взвешенной фазы, обобщающее классические результаты для точного локально равновесного режима на нестационарные и рассматриваемые в диссертации процессы.

5. Решение приближенной (предельной) задачи о течении газовзвеси внутри идеального ядра смерча, включая нахождение его границы.

Практическая ценность результатов. Построенные в данной работе кинетические модели могут быть применены для описания ряда течений любых сред с наличием испарения и конденсации на взвешенных в потоке частицах, а также агрегирования и распада самих этих частиц. Полученные из них газодинамические системы (сокращенные описания) позволяют непосредственно рассчитывать такие течения в случае слабого отклонения от равновесия. Они применимы в задачах метеорологии и химической промышленности, в других областях науки и техники.

Аппробация результатов. Основные результаты работы были представлены на ряде конференций: Третьи Поляховские чтения (СПб, СПбГУ, 2003), XX Международный семинар по струйным, отрывным и нестационарным течениям (СПб, СПбГУ, 2004), Четвертые Поляховские чтения (СПб, СПбГУ, 2006), IV Международная конференция по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ-2006, СПб, СПбГУ, 2006), Всероссийском семинаре по аэрогидродинамике, посвященном 90-летию со дня рождения Сергея Васильевича Валландера (СПб, СПбГУ, 2008), а также докладывались на научных семинарах кафедры гидроаэромеханики и лаборатории аэродинамики СПбГУ. Всего публикаций — десять. По теме диссертации имеются 2 публикации (статьи [42, 44]) в рецензируемом научном журнале, входящем в перечень ВАК на момент публикации.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Петров, Дмитрий Александрович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации построена конкретизация кинетической модели газовзвеси, разработанной В. А. Цибаровым. Модернизированная модель последовательно учитывает испарение и конденсацию, агрегирование и распад взвешенных частиц, обводнение и сушку включений. Непрерывный характер распределения включений по объемам приводит к несколько иным значениям коэффициентов переноса по сравнению с приведенными в работах В. А. Цибарова. Попарное подключение взаимно обратных процессов влечет наличие в каждой из этих пар состояний динамического равновесия. В ходе анализа вклада операторов, описывающих различные пары рассматриваемых процессов, в кинетические уравнения получена диаграмма, определяющая вид первого приближения в решении задачи о течении газовзвеси от объемной доли примеси и диаметра взвешенных частиц. Все вычисления новых замыкающих соотношений в построенных моделях газовзвеси проводились в рамках только самой системы кинетических уравнений и принятой обобщенной диффузной модели испарения — конденсации па включениях. Построенная в работе модель двухфазной четырехкомпо-пентной газовзвеси с учетом выше упомянутых процессов после перехода к сокращенному гидродинамическому описанию применяется для исследования вращающихся течений газовзвеси. В качестве основной задачи выступает построение математической модели атмосферного смерча. Получена форма границы течения и решение для скорости, плотности и давления среды внутри. Проанализирован ход процессов испарения и конденсации (при постоянной вероятности поглощения молекул), агрегирования и распада включений. Показано, что со временем происходит релаксация этих процессов, выход на равновесие, что соответствует известным положениям термодинамики и реально наблюдаемой картине явлений. Результаты соответствуют качественным наблюдениям, описанным в литературе. Решения, полученные в задаче о смерче проиллюстрированы графиками. Дополнительным примером применения модели среды выступает течение, задаваемое точным локально равновесным решением кинетических уравнений. Решение уравнений взвешенной фазы обобщает классические результаты на случай нестационарного течения с возможностью учета процессов испарения — конденсации и агрегирования — распада включений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Петров, Дмитрий Александрович, 2008 год

1. Базаров И. П. Термодинамика. М.: ГИФМЛ, 1961. 292 с.

2. Борис А. Ю., Галкин В. С. Кинетическое описание броуновского движения нагретых частиц в разреженном газе // Изв. АН СССР. МЖГ. 1986. № 2. С. 95-101.

3. Бубнов В. А., Мартыненко О. Г., Солоду хин А. Д. и др. Гидродинамическая структура тайфуна: (Теорет. часть). Минск: ИТМО, 1983, 32 с.

4. Буевич Ю. А., Ендлер B.C., Щелчкова И. Н. Континуальная механика монодисперсных суспензий. Реологические уравнения состояния. // М., ИПМ АН СССР, препринт №85, 1977. 52 с.

5. Бусройд F. Течение газа со взвешенными частицами. М.: Мир, 1975. 378 с.

6. Валландер С. В., Нагнибеда Е. А., Рыдалевская М. А. Некоторые вопросы кинетической теории химически реагирующей смеси газов. JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1977. 280 с.

7. Вентцелъ Е. С., Овчаров Л. А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. М.: Наука, 1991. 384 с.

8. Веригин А. П., Щупляк И. А., Михалев М. Ф. Кристаллизация в дисперсных системах. Л.: Химия, 1986. 248 с.

9. Волощук В. М. Кинетическая теория коагуляции. Л.: Гидрометеоиз-дат, 1984. 284 с.

10. Галкин В. С., Русаков С. В. Кинетическое уравнение Фоккера Планка для броуновских свободномолекулярных термически неравновесных частиц в неоднородном газе // Изв. АН. МЖГ. № 2. 2007. С. 204-208.

11. Горонооский И. Т., Назаренко Ю. П., Некряч Е. Ф. Краткий справочник по химии. Киев: Наукова думка, 1987. 829 с.

12. Далевская О. П., Цибаров В. А. Влияние антисимметричных напряжений на гидродинамические профили газовзвеси // Аэродинамика / Под ред. Р.Н. Мирошина. СПб.: "ВВМ", 2004. С. 24-31.

13. Дулов В. Г, Цибаров В. А. Математическое моделирование в современном естествознании. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2001. 244 с.

14. Ейтс Дж. Основы механики псевдоожижения с приложениями. М.: Мир, 1989. 336 с.

15. Ивлев JI. С., Довгалюк Ю. А. Физика атмосферных аэрозольных систем. СПб.: НИИХ СПбГУ, 1999. 194 с.

16. Ильин И.Е., Фомина О.Н., Цибаров В.А. Массоперенос в гидро- и газовзвесях // Аэродинамика / Под ред. Р.Н. Мирошина. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2001. С. 20-39.

17. Киперман С. Л. Основы химической кинетики в гетерогенном катализе. М.: Химия, 1979. 352 с.

18. Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. Л.-М.: РТТЛ, 1938. 456 с.

19. Краткий справочник химика / Под ред Б. В. Некрасова. М.-Л.: Госхи-миздат, 1951. 675 с.

20. Крюков П. А. Кинетический анализ процессов испарения и конденсации на поверхности // Кинетическая теория процессов переноса при испарении и конденсации: Материалы международной школы-семинара, Минск: АНК „ИТМО ИМ. А. В. Лыкова АН БССР", 1991. С. 3-21.

21. Кунии Д., Левеишпиль О. Промышленное псевдоожижение. М.: Химия, 1976. 447 с.

22. Кухлинг X. Справочник по физике. М.: Мир, 1983. 520 с.

23. Кушин В. В. Смерч. М.: Энергоатомиздат, 1993. 126 с.

24. Лунев В. В. Гиперзвуковая аэродинамика. М.: Машиностроение, 1975. 328 с.

25. Лунькин Ю. П., Мымрин В. Ф. Применение кинетической теории для получения замкнутой системы уравнений динамики газовзвеси // Письма в ЖТФ. 1979. Т. 5. Вып. 3. С. 146-149.

26. Лутов Н. 11., Петров Д. А., Цибаров В. А. Течение вращающихся газовзвесей // Аэродинамика / Под ред. Р.Н. Мирошина. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2002. С. 82-89.

27. Лыков А. В. Теория теплопроводности. М.: ГИТТЛ, 1952.

28. Маренок В. М. Склабинский В. И. Вихревой псевдоожиженный слой и его практическое применение // Физика аэродисперсных систем. Вып. 41. Одесса: "Астропринт", 2004. С. 86-91.

29. Матвеев С. К. Классификация режимов и расчетных моделей обтекания тел газовзвесью // Аэродинамика / Под ред. Р.Н. Мирошина. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1997. С. 205-220.

30. Мирошин Р. Н. Случайные процессы и поля. СПб.: НИИ Химии СПб-ГУ, 2003. 284 с.

31. Мясников В. П. О динамических уравнениях движения двухкомпо-пентных систем // Журн. ПМТФ. 1967. № 2. С. 56-67.

32. Мясников В. П. О распределении взвешенных в кипящем слое // Журн. ПМТФ. 1968. № 3. С. 115-120.

33. Мясников В. П. Статистическая модель механичекого поведения дисперсных систем // Механика многокомпонентных сред в технологических процессах. М., 1978. С. 70-101.

34. Мясников В. П., Рождественская М. С. О теплообмене между поверхностью и псевдоожиженном слоем // Журн. ПМТФ. 1968. № 6. С. 139-144.

35. Нагнибеда Е. А., Кустова Е. В. Кинетическая теория процессов переноса и релаксации в потоках неравновесных реагирующих газов. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2003. 272 с.

36. Накоряков В. Е., Кашинский О. Н. Турбулентная структура двухфазных газожидкостных потоков // Теплофизика и аэромеханика. Т. 4. № 2. 1997. С. 115-127.

37. Наливкин Д. В. Смерчи. М.: Наука, 1984. 111 с.

38. Нигматулин Р. И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978. 336 с.

39. Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред. Ч. 1, 2. М.: Наука, 1987. 464, 360 с.

40. Николаевский В. Н. Тензор напряжений и осреднение в механике сплошных сред // ПММ. 1975. Т. 39. № 2. С. 374-378.

41. Петров Д. А., Цибаров В. А. Стохастическая модель торнадо с учетом агрегирования и конденсации // Аэродинамика / Под ред. Р.Н. Мирошина. СПб.: "ВВМ", 2005. С. 48-56.

42. Петров Д. А., Цибаров В. А. Течение аэрозоля внутри торнадо. // Вестник СПбГУ. Сер. 1, Вып. 3, 2005. С. 95-101.

43. Петров Д. А., Цибаров В. А. Стохастическая модель трехфазной конденсирующей газовзвеси // Четвертые Поляховские чтения. СПб.: "ВВМ", 2006. С. 409-414.

44. Петров Д. А., Цибаров В. А. Стохастическая модель взвеси пыли и капель во влажном воздухе // Вестник СПбГУ. Сер. 1. Вып. 4, 2007. С. 38-46.

45. Протодьяконов И. О., Чесноков Ю. Г. Гидродинамика псевдоожижен-ного слоя. JL: Химия, 1982. 264 с.

46. Райст П. Аэрозоли. М.: Мир, 1987. 280 с.

47. Разумов И. М. Пневмо- и гидротранспорт в химической промышленности. М.: Химия, 1979. 248 с.

48. Разумовский Л. А., Стрижов Н. Г., Цибаров В. А. Столкновение кристаллов во взвешенном слое // Изв. высш. учебп. заведений. Химия и хим. технология. 1987. Т. 30. Вып. 12. С. 117-121.

49. Рудяк В. Я. Статистическая аэрогидромеханика гомогенных и гетерогенных сред. Т. 2: Гидромеханика. Новосибирск: НГАСУ. 2005. 468 с.

50. Рудяк В. Я., Кроснолуцкий С. Л. К кинетической теории описания диффузии наночастиц в разреженном газе // Оптика атмосферы и океана. Т. 16. 5-6. 2003. С. 508-511.

51. Рыдалевская М. А. Аэродинамические свойства течений газа с физико-химическими процессами // Аэродинамика / Под ред. Р.Н. Мирошина. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2000. С. 82-92.

52. Рыдалевская М. А. Статистическая и кинетические модели в физико-химичечекой газодинамике. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2003. 248 с.

53. Скорер Р. Аэродинамика окружающей среды. М.: Мир, 1980. 540 с. (Пер. с англ. R. S. Scorer. Environmental Aerodynamics. New York, London, Sydney, Toronto. 1978.)

54. Советский энциклопедический словарь. M.: Сов. энциклопедия, 1983. 1600 с.

55. Стасенко А. Л. Модели дисперсных сред // Модели механики сплошной среды. Новосибирск: ИТПМ СО РАН, 1983. С. 139-161.

56. Стасенко А. Л. Физическая механика многофазных потоков. М.: МФТИ, 2004. 136 с.

57. Струминский В. В. Применение методов кинетической теории газов к решению некоторых задач химической технологии // Тр. IV Всесоюзн. конф. по ДРГ. М.: Изд. отд. ЦАГИ, 1977. С. 184-196.

58. Тодес О. М. Кинетика коагуляции и укрупнения частиц в золях // Проблемы кинетики и катализа. Статистические явления в гетерогенных системах. M.-JL, 1949. С. 137-172.

59. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. М.: Мир, 1976. 554 с.

60. Физический энциклопедический словарь / гл. ред А. М. Прохоров. М.: Сов. энциклопедия, 1983. 928 с.

61. Филиппов Б. В. Аэродинамика тел в верхних слоях атмосферы. JL, 1973. 127 с.

62. Фомин В. М., Федоров В. М. v др. Волновая динамика реагирующих и нереагирующих газовзвесей // Теплофизика и аэромеханика. Т. 4. № 2. 1997. С. 129-158.

63. Френкель Я. И. Кинетическая теория жидкостей. JI: Наука, 1975. 592 с.

64. Хирс Д., Паунд Г. Испарение и конденсация. М.: Металлургия, 1966. 196 с.

65. Цибаров В. А. Приближенный метод решения задач аэродинамики простого слабо разреженного газа. JI., 1969. 155 с.

66. Цибаров В. А. Кинетический метод в теории газовзвесей: Докт. дис. СПб., 1995. 380 с.

67. Цибаров В. А. Кинетический метод в теории газовзвесей. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1997. 192 с.

68. Цибаров В. А. Стохастические законы сохранения в теории неньютоновских сред // Аэродинамика / Под ред. Р.Н. Мирошина. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2000. С. 93-119.

69. Цибаров В. А. Модель сред с особыми свойствами // Аэродинамика / Под ред. Р.Н. Мирошина. СПб.: "ВВМ", 2004. С. 83-113.

70. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. М.: ИИЛ, 1960. 510 с. (S. Chapman, Т. G. Cowling. The Mathematical Theory of Non-Uniform Gases. Cambridge: University Press, 1952.)

71. Шрайбер А. А., Милютин В. Н., Яценко В. П. Гидродинамика двух-компонентных потоков с твердым полидисперсным веществом. Киев: Наук, думка, 1980. 249 с.

72. Яворский Б. М., Пинский А. А. Основы физики, т.1, М.: Наука, 1974. 496 с.

73. Янков Я. Д. Кинетическая теория дисперсных систем // Изв. АН СССР. МЖГ, 1980. № 1. С. 128-133.

74. Янков Я. Д. Граничные условия на твердой поверхности, обтекаемой двухфазным потоком // Изв. АН СССР. МЖГ, 1980. № 3. С. 46-51.

75. Burnett D. The distribution of velosities in slightly non-uniform gas // Proc. Lond. Math. Soc., 1935. Vol. 39. P. 385-430.

76. Burnett D. The distribution of molecular velosities and the mean motion in non-uniform gas // Proc. Lond. Math. Soc., 1935. Vol. 40. P. 382-435.

77. Chahine M. N., Narasimha R. The integral /0°%nexp{—(u — v)2 — x/v} dv // Jorn. Math, and Phys., 1964. Vol. 43. № 2. P. 163-168.

78. Culic F. E. C. Boltzman equation applied to problem of two-phase flow // Phys. of Fluids, 1964. Vol. 7. № 12. P. 4493-4500.

79. Pai S. J. Fundamental equations of mixture of gas and small spherical solid particles from simple kinetic theory // Rev. Roum. sci. techn. mech. appl., 1974. Vol. 19. № 4. P. 605-621.