Свойства спектрографических сред на базе полей, однородных по Эйлеру с нецелочисленными порядками однородности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.04, кандидат наук Аверин, Игорь Андреевич

• Аверин, Игорь Андреевич
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Аверин, Игорь Андреевич

Введение

Глава 1. Обзор литературы и постановка задачи

§1. Магнитные спектрографы (исторический обзор)

§2. Электростатические спектрографы и спектрометры

(исторический обзор)

§3. Современные магнитостатические спектрометры

и спектрографы

§4. Современные электростатические спектрометры

и спектрографы

§5. Принципиальная разница между спектрометрическим и

спектрографическим подходами

§6. Спектрографические среды Ю.К. Голикова и Н.К. Красновой 31 §7. Коммерчески выпускаемые электронные спектрографы

Глава 2. Принцип подобия траекторий

§1. Принцип подобия траекторий Ю.К. Голикова для

электростатических полей, однородных по Эйлеру

§2. Принцип подобия траекторий для магнитостатических полей,

однородных по Эйлеру

§3. Принцип подобия траекторий для комбинированных электростатических и магнитостатических полей,

однородных по Эйлеру

§4. Краткие выводы по главе

Глава 3. Некоторые двумерные электростатические энергоспектрографы с полями, однородными по Эйлеру

§1. Планарные энергоспектрографы с фокусировкой 1 порядка...45 §2. Планарные энергоспектрографы с фокусировкой 2 порядка

§3. Осесимметричные энергоспектрографы с фокусировкой

1-го и 2-го порядков

§4. Проблемы, возникшие при проведении

компьютерного эксперимента

§5. Краткие выводы по главе

Глава 4. Некоторые трёхмерные электростатические

энергоспектрографы с полями, однородными по Эйлеру

§1. Общие вопросы

§2. Трёхмерные электростатические поля

§3. Краткие выводы по главе

Глава 5. Краевые поля, сохраняющие

свойства однородности по Эйлеру

§1. Численное моделирование краевых полей

§2. Краткие выводы по главе

Заключение

Список литературы

Приложение 1. Однородные функции

Приложение 2. Теорема об однородности скалярных потенциалов

для полей, однородных по Эйлеру

Приложение 3. Выведение формулы для потенциала в плоских

однородных полях

Приложение 4. Выведение формулы для потенциала в

осесимметричных однородных электростатических полях

Приложение 5. Про трёхмерные электростатияческие поля, однородные по Эйлеру

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Свойства спектрографических сред на базе полей, однородных по Эйлеру с нецелочисленными порядками однородности»

Введение

Актуальность темы исследования. Основной задачей физической электроники является исследование физических явлений, происходящих с участием заряженных частиц, для проведения которого необходимо постоянное совершенствование разработок и создание новых электронных приборов и устройств. Электронная спектроскопия - один из наиболее мощных методов таких исследований, позволяющий по энергетическим спектрам и другим характеристикам электронов, эмитируемых веществом под влиянием каких-либо внешних воздействий, определять свойства исследуемого вещества. Исторически первыми для изучения энергетических характеристик электронов использовались анализаторы с задерживающим полем, среди которых особенно удачным являлся конденсатор Лукирского.

Однако сам класс таких приборов отличался в целом невысокими характеристиками, поэтому дальнейшее развитие пошло по пути улучшения качества фокусировки и увеличения чувствительности. Было разработано много различных анализаторов: плоское и цилиндрическое зеркало, конденсатор Юза-Рожанского, сферический дефлектор, анализаторы с плоскостью симметрии, призменные анализаторы. Всех их объединяет спектрометрический режим работы, при котором электронный поток расщепляется полем на парциальные пучки, один из которых фокусируется на выходную щель малой ширины, за которой детектор фиксирует электроны в неразрешенном интервале энергий (Е0, Е0 + АЕ). Все остальные пучки при этом находятся вне зоны регистрации и нигде не фиксируются.

Изучение быстро протекающих процессов и процессов низкоинтенсивных или непостоянных во времени требует иного подхода, названного спектрографическим. В этом режиме необходимо разделить единый поток заряженных частиц на максимально диспергированные пучки,

каждый из которых соответствует одной энергии, и сфокусировать эти моноэнергетические пучки по отдельности в независимые и пространственно разнесённые точки детектирования с максимально одинаковым для всех точек качеством фокусировки. Главной особенностью спектрографического режима является тот факт, что ни один из выделенных пучков не оставляется без внимания.

Переход к спектрографическим режимам работы знаменует собой качественное улучшение скоростных и точностных характеристик современных аналитических приборов. Разработка соответствующих оптических схем требует принципиально новых подходов по сравнению с традиционными схемами спектрометрических приборов. Долгое время основной проблемой спектрографов было качество фокусировки вдоль всего спектра: ближе к краям регистрируемого спектра нарушалось качество фокусировки, и получаемый результат был трудно верифицируем.

Удачное решение проблемы было предложено в работах Ю.К. Голикова, рассмотревшим электрические поля, однородные по Эйлеру, в качестве электронно-оптических сред для энергоспектрографов. Принцип подобия траекторий для полей однородных по Эйлеру, впервые применённый Голиковым для электростатических полей, позволяет целенаправленно синтезировать корпускулярно-оптические системы с идеальными спектрографическими свойствами. В связи с этим нахождение эффективных способов расчёта и синтеза геометрических конфигураций электродов и подаваемых на них напряжений для расчёта электростатических систем, построенных на полях, обладающих свойством однородности по Эйлеру, является актуальной задачей.

Степень разработанности темы исследования. Класс однородных по Эйлеру полей широк и разнообразен. Многие хорошо известные поля являются его частными случаями: поле плоского конденсатора, поле

электростатической квадрупольной линзы, поле цилиндрического конденсатора, поле сферического конденсатора.

В работах Ю.К. Голикова и Н.К. Красновой для общего представления однородных полей по Эйлеру было введено понятие «электронно-оптическая спектрографическая среда», в которой можно в идеальном варианте реализовать идею спектрографа. Целью данной работы является углубление созданной ими теории в направлении электрических полей, однородных по Эйлеру, с нецелочисленными порядками однородности и обобщение выдивинутого Голиковым принципа подобия траекторий на общий случай комбинированных электростатических и магнитостатических полей.

Цели диссертационной работы состоят в нахождении эффективных способов расчёта и синтеза геометрических конфигураций электродов и подаваемых на них напряжений для расчёта электростатических полей, обладающих свойством однородности по Эйлеру, путём исследования движения электронов и ионов в таких полях с произвольными порядками однородности и использовании полученных результатов для синтеза спектрографических схем для разработки энергоанализирующих систем.

Для достижения поставленных целей решены следующие задачи:

1. Подтверждение возможности использования для разработки спектрографических оптических схем полей, однородных по Эйлеру, с произвольными показателями однородности.

2. Расширение принципа подобия траекторий, предложенного Ю.К. Голиковым для чисто электростатических полей, на движение заряженных частиц в магнитостатических и в комбинированных электростатических и магнитостатических полях, однородных по Эйлеру.

3. Исследование энергоспектрографических свойств: а) двумерных электростатических полей, однородных по Эйлеру, б) осесимметричных электростатических полей, однородных по Эйлеру, в) трёхмерных электростатических полей, однородных по Эйлеру.

4. Разработка метода численного расчёта краевых электродных конфигураций и краевых полей, сохраняющих для электростатических полей свойство однородности по Эйлеру. Научная новизна диссертационной работы состоит в том, что:

1. Показана применимость электростатических полей, однородных по Эйлеру, с произвольными показателями однородности для создания эффективных энергоспектрографических оптических схем.

2. Обобщён принцип подобия траекторий, изначально предложенный для электростатических полей, однородных по Эйлеру, на магнитостатические и на комбинированные электростатические и магнитостатические поля, однородные по Эйлеру.

3. Обнаружено, что для осесимметричных электростатических зеркал, создающих электростатические поля, однородные по Эйлеру, для энергоанализа существуют два оптимальных угла влёта, обеспечивающих фокусировку по углу первого порядка для выходного диска, где осуществляется детектирование.

4. Существует метод численного расчёта трёхмерных краевых электростатических полей, сохраняющих свойства однородности по Эйлеру, с бессеточной конфигурацией диафрагм. Практическая ценность работы состоит в том, что:

1. Показано, что электрические поля, однородные по Эйлеру с произвольным порядком однородности, обеспечивают в

спектрографических системах возможность гибкого компромисса между достигаемой разрешающей способностью и диапазоном спектра, укладывающегося вдоль позиционно-чувствительного детектора заданной длины.

2. Рассчитаны и табулированы в диапазоне порядков однородности 1 < k < 3 оптимальные углы влёта заряженных частиц, обеспечивающих фокусировку первого порядка, и определено предельно достижимое разрешение в зависимости от углового размера пучка для: а) электростатических энергоспектрографов, использующих двумерные электростатические зеркала с полями, однородными по Эйлеру, б) электростатических энергоспектрографов, использующих осесимметричные электростатические зеркала с полями, однородными по Эйлеру.

3. Рассчитаны и табулированы в диапазоне порядков однородности 1 < k < 3 оптимальные углы влёта заряженных частиц, обеспечивающих фокусировку первого порядка, для электростатических энергоспектрографов, использующих трёхмерные электростатические поля, однородные по Эйлеру.

4. Найдены оптимальные углы влёта и оптимальные углы наклона детектирующей плоскости, обеспечивающие фокусировку второго порядка для электростатических энергоспектрографов в приближении бесконечно узкого краевого поля, снабжённых дополнительными дрейфовыми расстояниями и использующих: а) двумерные электростатические зеркала с полями, однородными по Эйлеру, б) осесимметричные электростатические зеркала с полями, однородными по Эйлеру.

Теоретическая значимость работы состоит в том, что:

1. Обоснована применимость электростатических полей, однородных по Эйлеру, с произвольными порядками однородности, для создания спектрографических систем.

2. Принцип подобия траекторий, сформулированный Голиковым, обобщён на случай магнитостатических и комбинированных электростатических и магнитостатических полей, однородных по Эйлеру.

3. Показано, что задача численного расчёта трёхмерных скалярных потенциалов, однородных по Эйлеру, может быть сведена к численному решению двумерных уравнений эллиптического типа. На защиту выносятся следующие научные положения:

1. Электростатические, однородные по Эйлеру, поля с произвольными показателями однородности могут быть применены для создания спектрографических оптических схем.

2. Принцип подобия траекторий в модифицированной форме действителен и в случае магнитостатических и комбинированных электростатических и магнитостатических полей, однородных по Эйлеру.

3. Для осесимметричных электростатических зеркал, создающих электростатические однородные по Эйлеру поля для энергоанализа, существуют два оптимальных угла влёта, обеспечивающих фокусировку по углу первого порядка для выходного диска, где осуществляется детектирование.

4. Существуют режимы фокусировки по углу первого и второго порядков для двумерных энергоспектрографических электростатических систем, определяемые углами влёта и углом наклона плоскости детектирования для планарных полей и углами влёта и коэффициентами смеси для осесимметричных полей.

5. Существует метод численного расчёта трёхмерных краевых электростатических полей, сохраняющих свойства однородности по Эйлеру, с бессеточной конфигурацией диафрагм, для которого доказана работоспособность и устойчивость. Достоверность научных результатов исследования обеспечивается использованием корректных и строгих математических методов и совпадением результатов с литературными данными других авторов там, где сопоставление оказалось возможным.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения. Список литературы содержит 152 источника.

Первая глава содержит обзор литературы и основных этапов развития электронной спектроскопии и постановку задачи.

Во второй главе предложено расширение на магнитостатические и комбинированные электромагнитные поля принципа подобия траекторий, впервые сформулированного Ю.К. Голиковым для электростатических однородных по Эйлеру полей.

В третьей главе представлены результаты исследования некоторых энерго-спектрографических схем, основанных на двумерных электростатических и осесимметричных электростатических полях.

В четвёртой главе представлены результаты исследования некоторых энерго-спектрографических схем, основанных на трёхмерных электростатических полях, однородных по Эйлеру.

В пятой главе приведены результаты численного моделирования реальных однородных полей на примере задачи о краевых полях.

В заключении диссертационной работы сформулированы основные полученные в диссертации результаты.

В приложении разобраны некоторые общие свойства электростатических и магнитостатических потенциалов, однородных по

Эйлеру, в виде теорем об однородности скалярного и векторного потенциалов, а также проведён вывод общих формул для потенциала в двумерных и осесимметричных электростатических полях, однородных по Эйлеру.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах: международной конференции по оптике заряженных частиц СРО-9 (Брно, 2014), VI Всероссийская конференция с международным участием «Масс-спектрометрия и ее прикладные проблемы» (Москва, 2015), 12 Всероссийском семинаре «Проблемы теоретической и прикладной электронной и ионной оптики» (Москва, 2015), научном форуме с международным участием «Неделя науки СПбПУ» (Санкт-Петербург, 2015).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 21 работе с участием автора, из них 13 в журналах, входящих в список ВАК, 2 в журналах, не входящих в список ВАК, 6 тезисов докладов на российских и международных конференциях:

1. Голиков, Ю. К. Новые трёхмерные гармонические потенциалы в корпускулярной оптике / Ю. К. Голиков, И. А. Аверин // Научное приборостроение.- 2014.- том 24, №1.- с. 27-35

2. Аверин, И. А. Электростатические и магнитостатические электронные спектрографы с однородными по Эйлеру потенциалами, характеризуемыми нецелочисленными порядками однородности / И. А. Аверин // Научное приборостроение.- 2015.- том 25, № 3.-с. 35-44.

3. Бердников, А. С. Статические масс-спектрографы нового типа, использующие электрические и магнитные поля, однородные по Эйлеру. I. Общий принцип и однокаскадные схемы / А. С. Бердников, И. А. Аверин, Ю. К. Голиков // Масс-спектрометрия.- 2015.- том 12,

№ 4.- с. 272-281. (Имеется перепечатка статьи в журнале, входящем в базу данных SCOPUS, A. S. Berdnikov, I. A. Averin, Yu. K. Golikov. Static mass spectrometers of new type, using Euler's homogeneous electric and magnetic fields. I. General principle and single-stage systems // Journal of Analytical Chemistry, 2016, Volume 71, Issue 13, pp 1280-1287)

4. Бердников, А. С. Новый подход к разработке ионно-оптических схем статических масс-спектрографов на основе неоднородных магнитных полей, однородных по Эйлеру / А. С. Бердников, И. А. Аверин // Успехи прикладной физики.- 2016.- том 4, № 1.- с. 89-95.

5. Аверин И. А. Краевые поля бессеточных электронных спектрографов с однородными по Эйлеру электростатическими полями / И. А. Аверин, А. С. Бердников // Успехи прикладной физики.- 2016.- том 4, № 1.- с. 5-8.

6. Бердников, А. С. Статические масс-спектрографы нового типа, использующие электрические и магнитные поля, однородные по Эйлеру. II. Условия двойной фокусировки высокого порядка у двухкаскадной схемы / А. С. Бердников, И. А. Аверин, Ю. К. Голиков // Масс-спектрометрия.- 2016.- том 13, № 1.- с. 11-20. (Имеется перепечатка статьи в журнале, входящем в базу данных SCOPUS, A. S. Berdnikov, I. A. Averin, Yu. K. Golikov. Static mass spectrometers of new type, using Euler's homogeneous electric and magnetic fields. II: Conditions of high-order double focusing for two-cascade schemes // Journal of Analytical Chemistry, 2016, Volume 71, Issue 14, pp 13321340)

7. Бердников, А. С. О невозможности двойной фокусировки в комбинированных электрических и магнитных полях, однородных по Эйлеру / А. С. Бердников, И. А. Аверин // Масс-спектрометрия.-2016.- том 13, № 1.- с. 67-70. (Имеется перепечатка статьи в журнале,

входящем в базу данных SCOPUS, A. S. Berdnikov, I. A. Averin, Yu. K. Golikov. On the impossibility of double focusing in combined electric and magnetic fields homogeneous in Euler' terms // Journal of Analytical Chemistry, 2016, Volume 71, Issue 14, pp 1389-1391)

8. Бердников, А. С. Общие формулы для трёхмерных электрических и магнитных потенциалов, однородных по Эйлеру с целочисленным порядком однородности / А. С. Бердников [и др.] // Научное приборостроение.- 2016.- том 26, №4.- с. 13-30.

9. Бердников, А. С. Интегральные формулы для трёхмерных электрических и магнитных потенциалов, однородных по Эйлеру с нецелочисленными порядками однородности / А. С. Бердников [и др.] // Научное приборостроение.- 2016.- том 26, №4.- с. 31-42.

10. Аверин, И. А. Принцип подобия траекторий при движении заряженных частиц с разными массами в однородных по Эйлеру электрических и магнитных полях / И. А. Аверин, А. С. Бердников, Н. Р. Галль // Письма в ЖТФ.- 2017.- выпуск 3.- стр. 39. (Имеется перепечатка статьи на английский язык I. A. Averin, A. S. Berdnikov, N R Gall. The principle of similarity of trajectories for the motion of charged particles with different masses in electric and magnetic fields that are homogeneous in Euler terms // Technical Physics Letters, 2017, Vol. 43, No. 2, pp. 156-158.)

11. Об однородности скалярных и векторных потенциалов электрических и магнитных полей, однородных по Эйлеру / А. С. Бердников [и др.] // УПФ.- 2017.- том 5, № 1.- с. 10-27

12. Квазиполиномиальные трехмерные электрические и магнитные потенциалы, однородные по Эйлеру / А. С. Бердников [и др.] // НТВ.-2017.- том 10, №1.- с. 71-80

13. О квазиполиномиальных трехмерных потенциалах электрических и магнитных полей / Н. К. Краснова [и др.] // НТВ.- 2017.- том 10, №1.-с. 81-92

14. Простейшие аналитические электрические и магнитные потенциалы, однородные по Эйлеру / А. С. Бердников [и др.] // Вестник Актюбинского регионального государственного университета им. К. Жубанова. Физико-математические науки.- 2016.- № 2(54), июнь.- С. 17-32.

15. Трёхмерные электрические и магнитные потенциалы, однородные по Эйлеру / А. С. Бердников [и др.] // Вестник Актюбинского регионального государственного университета им. К. Жубанова. Физико-математические науки.- 2016.- № 2 (54), июнь.- С. 147-165.

16. Averin, I. A. Parallel acquisition electrostatic and magnetostatic energy spectrographs based on Euler' homogeneous potentials / I. A. Averin // Abstracts of CPO-9 - 2014, 31. 8 - 5.9 Brno, Czech Republic

17. Аверин, И. А. Осесимметричные электростатические электронные спектрографы, использующие однородные по Эйлеру потенциалы с нецелочисленными порядками однородности / И. А. Аверин // Тезисы VI Всероссийской конференции с международным участием «Масс-спектрометрия и её прикладные проблемы»- 2015, 12. 10 - 17.10. Москва, Россия

18. Аверин, И. А. Краевые поля бессеточных электронных спектрографов с однородными по Эйлеру электростатическими полями / И. А. Аверин, А.С. Бердников // Тезисы VI Всероссийской конференции с международным участием «Масс-спектрометрия и её прикладные проблемы»- 2015, 12. 10 - 17.10. Москва, Россия

19. Бердников, А. С. Новый подход к разработке ионно-оптических схем статических масс-спектрографов на основе неоднородных магнитных

полей, однородных по Эйлеру / А. С. Бердников, И. А. Аверин // Тезисы 12 Всероссийского семинара «Проблемы теоретической и прикладной электронной и ионной оптики»- 2015, 12. Москва, Россия

20. Аверин, И. А. Краевые поля бессеточных электронных спектрографов с однородными по Эйлеру электростатическими полями / И. А. Аверин, А.С. Бердников // Тезисы 12 Всероссийского семинара «Проблемы теоретической и прикладной электронной и ионной оптики»- 2015, 12. Москва, Россия

21. Аверин, И. А. Однородные по Эйлеру потенциалы с нецелочисленными порядками однородности как электронно-оптические среды для осесимметричных электростатических электронных спектрографов / И. А. Аверин // В сборнике: Неделя науки СПбПУ материалы научного форума с международным участием. Институт физики, нанотехнологий и телекоммуникаций; В.Э. Гасумянц, Д.Д. Каров - ответственные редакторы. 2015. С. 191193.

Глава 1. Обзор литературы §1. Магнитные спектрографы (исторический обзор)

Как уже было сказано во введении, за прошедшие годы было разработано огромное количество самых разнообразных спектрометров. Одними из первых были магнитные спектрографы.

В сороковых-пятидесятых годах в связи с быстрым развитием ядерной спектроскопии был сконструирован целый ряд приборов, всё более и более совершенных, для анализа электронных спектров радиоактивных ядер. Именно тогда, сначала для приборов с железным ярмом, а после для магнитных спектрометров без железа был создан принцип магнитной фокусировки по двум направлениям. Приборы без железа очень хороши для точной работы в области энергий ниже 10кЭв. Поэтому один из первых приборов для ЭСХА, 30-сантиметровый магнитный спектрометр с двойной фокусировкой, был сконструирован на базе в-спектрометра такого типа [22], приспособленного для анализа электронного спектра, возбуждаемого рентгеновским излучением.

Таким образом, анализ спектра энергий (а точнее импульсов) проводился с помощью прибора, созданного для целей ядерной спектроскопии. За годы эксплуатации он был полностью переработан и реконструирован. Для магнита спектрометра были использованы две коаксиальные цилиндрические катушки, каждая из которых была разделена на верхнюю и нижнюю части. Также было увеличено место для размещения источника и детектора, а анод не располагался на прямой линии с нитью накала. Сам прибор подходил для возбуждения электронного спектра тремя разными способами [22].

Для изучения возможностей принципа полукруговой фокусировки для ЭСХА был создан магнитный спектрометр с постоянным магнитом, который создаёт однородное поле. Монохроматизация рентгеновского излучения в этом приборе проводилась с помощью кристалла. Регистрация электронов осуществлялась фотографически методом счёта треков с автосканированием фотоэмульсии [22].

Для анализа электронного спектра вместо магнитного поля можно использовать электрическое. Фокусировка по двум направлениям по-прежнему остаётся возможной; теоретические основы можно найти, например, здесь [22, приложение 8]. Электростатический спектрометр с двойной фокусировкой и секторными полями имеет несколько преимуществ. В частности, в местах расположения источника и детектора нет никаких полей, также как нет катушек, ограничивающих доступное пространство для их размещения [22].

Далее электронная спектроскопия развивалась в направлении более высоких точностей, необходимых для исследований структуры ядра. Прецизионная спектроскопия требовала приборов с высоким разрешением. Магнитные спектрометры с двойной фокусировкой, обеспечивающие требуемой высокое пропускание при высоком разрешении заняли свою нишу в бета-спектроскопии высокого разрешения. Вскоре был безжелезный спектрометр с радиусом орбиты 50см. По сравнению с упомянутым выше 30-сантиметровым прибором в нём был введён целый ряд улучшений. В частности, из-за большего радиуса центральной орбиты, были реализованы более свободный доступ к источнику и детектору и более высокая дисперсия. Хотя данный спектрометр можно было использовать и для ЭСХА, на нём, в первую очередь, проводили прецизионные измерения энергий и интенсивностей в спектрах внутренней конверсии и исследования в области атомной спектроскопии внеядерной структуры [22].

Завершая рассмотрение приборов с магнитным полем, остановимся подробнее на двух анализаторах с продольным магнитным полем: спектрометр на основе короткой магнитной линзы и соленоидальный спектрометр. Применение однородного или периодически изменяющегося вдоль оси магнитного поля является одним из способов фокусировки протяжённых потоков электронов в разных электрофизических установках и радиоэлектронных приборах. Измерение энергии или импульсов движущихся в подобных устройствах электронов порождает целый ряд серьёзных экспериментальных или теоретических задач. С задачами такого рода часто сталкиваются разработчики СВЧ-приборов О-типа при решении проблемы рекуперации энергии электронов. Также трудности вызывает измерение энергий электронов, рассеянных разными объектами при корпускулярном облучении на электрофизических установках типа линейных ускорителей, где используются продольные фокусирующие магнитные поля. В таких случаях наиболее удобно проводить энергетический анализ в магнитных полях, у которых силовые линии являются непрерывным продолжением силовых линий фокусирующих полей. Иногда ради уменьшения сферических аберраций вместо одной короткой магнитной линзы используют две. При этом правильное подобранное расстояние между линзами поможет увеличить светимость и разрешающую силу. Недостатком коротколинзовых спектрометров является критичность при настройке. Часто в этих приборах источник преграды и коллектор жёстко связывают со стенками вакуумной камеры для облегчения настройки [23].

В 1923 году П. Л. Капица предложил оригинальный метод измерения импульсов заряженных частиц, движущихся в продольном магнитном поле. При этом обладающие некоторым импульсом электроны входят под заданным углом к силовым линиям аксиально-симметричного магнитного

поля, в котором отсутствуют какие-либо направленные токи, кроме изучаемых электронных. Само поле при этом однородно и обладает фокусирующими и дисперсионными свойствами. Траектория каждого электрона является спиралью с определяемым радиусом и шагом. На основе этого поля было создано семейство в-спектрометров, модификации которых можно использовать при анализе сфокусированных продольным магнитным полем протяжённых электронных пучков [23; 24].

§2. Электростатические спектрографы и спектрометры (исторический обзор)

Также следует упомянуть анализаторы с фокусировкой в одном направлении. Одним из самых простых по конструкции является анализатор с однородным электрическим полем, также известный как плоское зеркало. Его уже упомянутая простота является одной из причин его широкого применения в энергетическом анализе пучков заряженных частиц. Так он использовался для анализа пучков положительных ионов [26], для изучения заряженных продуктов ядерных реакций [27], для анализа продуктов неупругих столкновений в газах [28, 29], в космических исследованиях [30, 31, 32-34]. Анализатор использовался в качестве фотоэлектронного спектрометра [35], для исследований энергетического и углового распределения фотоэлектронов [36]. На его основе был создан прибор для анализа по энергиям ионов и атомов перезарядки при исследовании высокотемпературной плазмы [37]. Вместе с монохроматором он применялся для исследования монокристаллов [38]. Также он входил в состав установок, применяющих одновременно времяпролётный и электростатический анализ для исследования энергетического и массового состава лазерной плазмы [39-41].

В этом анализаторе используются дисперсионные свойства однородного электрического поля. Конструктивно он представляет собой две параллельные пластины, в одной из которых прорезаны окна для впуска и выпуска исследуемых частиц. На пластины подана тормозящая разность потенциалов. На некотором расстоянии от пластины с окнами в эквипотенциальном пространстве расположены входная и выходная щели. Есть три модификации данного прибора: с источником и детектором на краю поля, вне его и фонтанообразный анализатор [25].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Аверин, Игорь Андреевич, 2018 год

Список литературы

1. Голиков, Ю. К. Новые трёхмерные гармонические потенциалы в корпускулярной оптике / Ю. К. Голиков, И. А. Аверин // Научное приборостроение.- 2014.- том 24, №1.- с. 27-35

2. Аверин, И. А. Электростатические и магнитостатические электронные спектрографы с однородными по Эйлеру потенциалами, характеризуемыми нецелочисленными порядками однородности / И. А. Аверин // Научное приборостроение.- 2015.- том 25, № 3.-с. 35-44.

3. Бердников, А. С. Статические масс-спектрографы нового типа, использующие электрические и магнитные поля, однородные по Эйлеру. I. Общий принцип и однокаскадные схемы / А. С. Бердников, И. А. Аверин, Ю. К. Голиков // Масс-спектрометрия.- 2015.- том 12, № 4.- с. 272-281. (Имеется перепечатка статьи в журнале, входящем в базу данных SCOPUS, A. S. Berdnikov, I. A. Averin, Yu. K. Golikov. Static mass spectrometers of new type, using Euler's homogeneous electric and magnetic fields. I. General principle and single-stage systems // Journal of Analytical Chemistry, 2016, Volume 71, Issue 13, pp 1280-1287)

4. Бердников, А. С. Новый подход к разработке ионно-оптических схем статических масс-спектрографов на основе неоднородных магнитных полей, однородных по Эйлеру / А. С. Бердников, И. А. Аверин // Успехи прикладной физики.- 2016.- том 4, № 1.- с. 89-95.

5. Аверин И. А. Краевые поля бессеточных электронных спектрографов с однородными по Эйлеру электростатическими полями / И. А. Аверин, А. С. Бердников // Успехи прикладной физики.- 2016.- том 4, № 1.- с. 5-8.

6. Бердников, А. С. Статические масс-спектрографы нового типа, использующие электрические и магнитные поля, однородные по

Эйлеру. II. Условия двойной фокусировки высокого порядка у двухкаскадной схемы / А. С. Бердников, И. А. Аверин, Ю. К. Голиков // Масс-спектрометрия.- 2016.- том 13, № 1.- с. 11-20. (Имеется перепечатка статьи в журнале, входящем в базу данных SCOPUS, A. S. Berdnikov, I. A. Averin, Yu. K. Golikov. Static mass spectrometers of new type, using Euler's homogeneous electric and magnetic fields. II: Conditions of high-order double focusing for two-cascade schemes // Journal of Analytical Chemistry, 2016, Volume 71, Issue 14, pp 13321340)

7. Бердников, А. С. О невозможности двойной фокусировки в комбинированных электрических и магнитных полях, однородных по Эйлеру / А. С. Бердников, И. А. Аверин // Масс-спектрометрия.-2016.- том 13, № 1.- с. 67-70. (Имеется перепечатка статьи в журнале, входящем в базу данных SCOPUS, A. S. Berdnikov, I. A. Averin, Yu. K. Golikov. On the impossibility of double focusing in combined electric and magnetic fields homogeneous in Euler' terms // Journal of Analytical Chemistry, 2016, Volume 71, Issue 14, pp 1389-1391)

8. Общие формулы для трёхмерных электрических и магнитных потенциалов, однородных по Эйлеру с целочисленным порядком однородности / А. С. Бердников [и др.] // Научное приборостроение.-2016.- том 26, №4.- с. 13-30.

9. Интегральные формулы для трёхмерных электрических и магнитных потенциалов, однородных по Эйлеру с нецелочисленными порядками однородности / А. С. Бердников [и др.] // Научное приборостроение.-2016.- том 26, №4.- с. 31-42.

10. Аверин, И. А. Принцип подобия траекторий при движении заряженных частиц с разными массами в однородных по Эйлеру электрических и магнитных полях / И. А. Аверин, А. С. Бердников, Н.

Р. Галль // Письма в ЖТФ.- 2017.- выпуск 3.- стр. 39. (Имеется перепечатка статьи на английский язык I. A. Averin, A. S. Berdnikov, N R Gall. The principle of similarity of trajectories for the motion of charged particles with different masses in electric and magnetic fields that are homogeneous in Euler terms // Technical Physics Letters, 2017, Vol. 43, No. 2, pp. 156-158.)

11. Об однородности скалярных и векторных потенциалов электрических и магнитных полей, однородных по Эйлеру / А. С. Бердников [и др.] // УПФ.- 2017.- том 5, № 1.- с. 10-27

12. Квазиполиномиальные трехмерные электрические и магнитные потенциалы, однородные по Эйлеру / А. С. Бердников [и др.] // НТВ.-2017.- том 10, №1.- с. 71-80

13. О квазиполиномиальных трехмерных потенциалах электрических и магнитных полей / Н. К. Краснова [и др.] // НТВ.- 2017.- том 10, №1.-с. 81-92

14. Простейшие аналитические электрические и магнитные потенциалы, однородные по Эйлеру / А. С. Бердников [и др.] // Вестник Актюбинского регионального государственного университета им. К. Жубанова. Физико-математические науки.- 2016.- № 2(54), июнь.- С. 17-32.

15. Трёхмерные электрические и магнитные потенциалы, однородные по Эйлеру / А. С. Бердников [и др.] // Вестник Актюбинского регионального государственного университета им. К. Жубанова. Физико-математические науки.- 2016.- № 2 (54), июнь.- С. 147-165.

16. Averin, I. A. Parallel acquisition electrostatic and magnetostatic energy spectrographs based on Euler' homogeneous potentials / I. A. Averin // Abstracts of CPO-9 - 2014, 31. 8 - 5.9 Brno, Czech Republic

17. Аверин, И. А. Осесимметричные электростатические электронные спектрографы, использующие однородные по Эйлеру потенциалы с нецелочисленными порядками однородности / И. А. Аверин // Тезисы VI Всероссийской конференции с международным участием «Масс-спектрометрия и её прикладные проблемы»- 2015, 12. 10 - 17.10. Москва, Россия

18. Аверин, И. А. Краевые поля бессеточных электронных спектрографов с однородными по Эйлеру электростатическими полями / И. А. Аверин, А.С. Бердников // Тезисы VI Всероссийской конференции с международным участием «Масс-спектрометрия и её прикладные проблемы»- 2015, 12. 10 - 17.10. Москва, Россия

19. Бердников, А. С. Новый подход к разработке ионно-оптических схем статических масс-спектрографов на основе неоднородных магнитных полей, однородных по Эйлеру / А. С. Бердников, И. А. Аверин // Тезисы 12 Всероссийского семинара «Проблемы теоретической и прикладной электронной и ионной оптики»- 2015, 12. Москва, Россия

20. Аверин, И. А. Краевые поля бессеточных электронных спектрографов с однородными по Эйлеру электростатическими полями / И. А. Аверин, А.С. Бердников // Тезисы 12 Всероссийского семинара «Проблемы теоретической и прикладной электронной и ионной оптики»- 2015, 12. Москва, Россия

21. Аверин, И. А. Однородные по Эйлеру потенциалы с нецелочисленными порядками однородности как электронно-оптические среды для осесимметричных электростатических электронных спектрографов / И. А. Аверин // В сборнике: Неделя науки СПбПУ материалы научного форума с международным участием. Институт физики, нанотехнологий и телекоммуникаций;

В.Э. Гасумянц, Д.Д. Каров - ответственные редакторы. 2015. с. 191193.

22. Электронная спектроскопия / К. Зигбан [и др.].- М.: Издательство «Мир».- 1971.- 495 с.

23. Козлов, И. Г.. Современные проблемы электронной спектроскопии / И. Г. Козлов.- М.: Атомиздат, 1978.- 247 с.

24. DuMond, J. W. M. Conditions for optimum luminosity and energy resolution in an axial в-ray spectrometer with homogeneous magnetic field / J. W. M. DuMond // Rev. Scient. Instrum.- 1949.- V. 20. №3.- P. 160.

25. Афанасьев, В. П. Электростатические энергоанализаторы для пучков заряженных частиц / В. П. Афанасьев, С. Я. Явор.- М.: Наука, 1978.225 с.

26. Yarnold, G. D. The electrostatic analysis of ionic beams / G. D. Yarnold, H. C. Bolton // J. Sci. Instr.- 1949.- Vol. 26.- p. 38.

27. Литвин, В.Ф. Электростатический анализатор для изучения угловых распределений заряженных продуктов ядерных реакций / В. Ф. Литвин // ПТЭ.- 1958.- т. 3.- с. 32.

28. Electron spectrometersor study of inelastic electronic collision cross sections / E. N. Lassetre [et al] // J. Chem. Phys.- 1964.- Vol. 40.- p. 1232.

29. Метод прецизионного анализа спектров неупругих потерь энергии при атомных столкновениях / В. В. Афросимов [и др.] // ЖТФ.- 1972.т. XLI.- с. 125.

30. Green, T. S. A parallel plate electrostatic spectrograph / T. S. Green, G. A. Proca // Rev. Sci. Instr.- 1970.- Vol. 41.- p. 1409.

31. Proca, G. A. Minimum image size in a parallel plate electrostatic spectrograph / G. A. Proca, T. S. Green // Rev. Sci. Instr.- 1970.- Vol. 41.-p. 1778.

32. Bitter, M. Analysis of the optical properties of an electrostatic parallel plate spectrograph for relativistic particle / M. Bitter, G. Proca // Rev. Sci. Instr.-1972.- Vol. 43.- p. 1125.

33. Proca, G. A. The parallel plate condenser as a relativistic particle analyser / G. A. Proca // Rev. Sci. Instr.- 1973.- Vol. 41.- p. 1365.

34. Proca, G. A. Improvements of the properties of the relativistic parallel plate particle analyser / G. A. Proca // Rev. Sci. Instr.- 1973.- Vol. 44.- p. 1376.

35. Eland, J. D. H. A parallel-plate photoelectron spectrometer / J. D. H. Eland, C. J. Danby // J. Phys. E: Sci. Instr.- 1968.-Vol. 1.- p. 406.

36. Pauty, F. An electron spectrometer for measuring both angular and energy distributions of photo-emitted electrons / F. Pauty, G. Matula, P. J. Vermier // Rev. Sci. Instr.- 1974.- Vol. 45.- p. 1203.

37. Койдан, В. С. Многоканальный анализатор по энергиям ионов и быстрых атомов перезарядки при исследовании высокотемпературной плазмы / В. С. Койдан // ПТЭ.- 1971.- №3.- с. 63.

38. Best, P. E. Apparatus for the measurement of angle-resolved spectra of electrons emergingfrom single crystals / P. E. Best // Rev. Sci. Instr.-1975.- Vol. 46.- p. 1517.

39. Allen, F. J. A plane electrostatic analyser for lazer prodused plasma studies / F. J. Allen // Rev. Sci. Instr.- 1971.- Vol. 42.- p. 1423.

40. Oron, M. A dynamic mass spectrometer for the study of laser-prodused plasmas / M. Oron, Y. Paiss // Rev. Sci. Instr.- 1973.- Vol. 44.- p. 1293.

41. Goforth, R. R. A multichannel ion mass spectrometer in laser prodused plasma studies / R. R. Goforth // Rev. Sci. Instr.- 1976.- Vol. 47.- p. 548.

42. Herzog, R. Ionen- und electonenoptische Zylinderlinsen und Prismen / R. Herzog // Zs. Phys.- 1934.- Vol. 89.- p. 447.

43. Herzog, R. Ablenkung von Kathoden- und Kanalstrahlen am Rande eines Kondensators, dessen Streufeld durch eine Blende begreuzt ist / R. Herzog // Zs. Phys.- 1935.- Vol. 97.- p. 596.

44. Dempster, A. J. Electric and magnetic focusing in mass spectroscopy / A. J. Dempster // Phys. Rev.- 1937.- Vol. 51.- p. 67.

45. Blauth, E. Zur Energieverteilung der von Protonen in Gasen ausgelösten Secundärelectronen / E. Blauth // Zs. Phys.- 1957.- Vol. 147.- p. 228.

46. Mehlhorn. W. Die Feinstructur des L-MM-Auger-Electronenspectrums von Argon und der K-LL-Spectren von Stickstoff, Sauerstoff und Methan / W. Mehlhorn // Zs. Phys.- 1960.- Vol. 160.- p. 247.

47. Mehlhorn. W. Auger und der Coster-Kroning-Übergänge der M-Schale von Krypton / W. Mehlhorn // Zs. Phys.-1965.- Vol. 187.- p. 21.

48. Körber, H. Das K-Auger-Spectrum von Neon / H. Körber, W. Mehlhorn // Zs. Phys.- 1966.- Vol. 191.- p. 217.

49. Palmberg, P. W. High sensitivity Auger electron spectrometer / P. W. Palmberg, G. R. Bohn, J. C. Tracy // Appl. Phys. Lett.- 1969.-Vol. 15.- p. 254.

50. Niehus, H. Low energy ion back-scattering spectroscopy (ISS) with a commercial Auger cylindrical mirror analyser (CMA) / H. Niehus, S. Bauer // Rev. Sci. Instr.- 1975.- Vol. 46.- p. 1275.

51. Огурцов, Г. Н. Метод исследования спектра электронов, освобождаемых при атомных столкновениях / Г. Н. Огурцов, И. П. Флакс, С. В. Авакян // ЖТФ.- 1969.- т. XXXIX.- с. 1293.

52. Harting, E. A combined energy and angle analyzer for scattered electrons / E. Harting // Rev. Sci. Instr.- 1971.- Vol. 42.- p. 1151.

53. A new apparatus for studying excitation in ion-atom collisions at low energy using the ion-photon coincidence method / G. Vassiliev [et al.] // Rev. Sci. Instr.- 1971.- Vol. 42.- p. 1222.

54. Risley, J. S. Magnetic field measurements using an electron beam and electrostatic analyzer / J. S. Risley // Rev. Sci. Instr.- 1971.- Vol. 42.-p. 267.

55. Difference Auger spectroscopy for studying small quantities of elements on metallic surfaces / M. N. Varma [et al.] // Rev. Sci. Instr.- 1973.- Vol. 44.-p. 1643.

56. Цилиндрическое зеркало для разностных методов спектроскопии пучков заряженных частиц / В. В. Зашквара [и др.] // ЖТФ.- 1976.т. XLVI.- с. 1759.

57. Herzog, R. Über einen neuen Massen-spectrographen mit anastigmatischer Abbildung / R. Herzog // Zs. Naturforsch.- 1953.- Vol. 8a.- p. 191.

58. Бейнон, Дж. Масс-спектрометрия и её применение в органической химии / Дж. Бейнон.- «Мир», 1964.

59. Browne, C. P. Spherical electrostatic analyzer for measurement of nuclear reaction energies / C. P. Browne, D. S. Craig, R. M. Willianson // Rev. Sci. Instr.- 1951.- Vol. 22.- p. 952.

60. Simpson, J. A. High resolution, low-energy electron spectrometer / J. A. Simpson // Rev. Sci. Instr.- 1964.- Vol. 35.- p. 1698.

61. Simpson, J. A. Anomalous energy spreads in electron beams / J. A. Simpson, C. E. Kuyatt // J. Appl. Phys.- 1966.- Vol. 37.- p. 3805.

62. Kuyatt, C. E. Electron monochromator design / C. E. Kuyatt, J. A. Simpson // Rev. Sci. Instr.- 1967.- Vol. 38.- p. 103.

63. Doering, J. P. Low-energy, large-angle electronimpact spectra: Helium, nitrogen, ethylene and benzene / J. P. Doering, A. J. Williams // J. Chem. Phys.- 1967.- Vol. 47.- p. 4180.

64. Hertel, I. V. Generalized oscillator strengths in the electron impact spectra of potassium and sodium / I. V. Hertel, K. J. Ross // J. Phys. B: Atom Molec. Phys.- 1969.- Vol. 2.- p. 285.

65. Preston, J. A. A versatile electron spectrometer / J. A. Preston, M. A. Hender, J. W. McConkey // J. Phys. E: Sci. Instr.- 1973.- Vol. 6.- p. 661.

66. Chamberlain, G. E. Absolute measurement of differential cross sections for electron scattering in Helium / G. E. Chamberlain, S. R. Mielczarek, C. E. Kuyatt // Phys. Rev.- 1970.- Vol. A2.- p. 1905.

67. Kuyatt, C. E. Field emission deflection energy analyser / C. E. Kuyatt, E. W. Plummer // Rev. Sci. Instr.- 1972.- Vol. 43.- p. 108.

68. Опыт применения электростатического анализатора на спутнике «Космос-12» / В. В. Мельников [и др.] // Геомагнетизм и аэрономия.-1965.- т. 5.- с. 148.

69. The compositional anisotropic and nonradial flow characteristics of the Solar wind / J. H. Wolfe [et al.] // J. Geophys. Res.- 1966.- Vol. 71.-p. 3329.

70. Wolfe, J. H. Observation of the Solar wind during the flight of Imp 1 / J. H. Wolfe, R. W. Silva, M. A. Myers // J. Geophys. Res.- 1966.-Vol. 71.- p. 1319.

71. Chase, L. M. Energy spectra of Auroral zone particles / L. M. Chase // J. Geophys. Res.- 1970.- Vol. 75.- p. 7128.

72. Pullen, B. P. Photoelectron spectra of methane, silane, germane, methyl fluoride, diflouromethane and trifluoremethane / B. P. Pullen, T. A. Carlson, W. E. Moddeman // J. Chem. Phys.- 1970.- Vol. 53.-p. 768.

73. Molecular photo-detachment spectrometry. I. The electron affinity of nitric oxide and the molecular constants of NO- / M. W. Siegel [at al.] // Phys. Rev.- 1972.- Vol. A6.- p. 607.

74. Photoemission from electrodes in cold cathode glow discharges / R. C. G. Leckey [et al.] // J. Phys. D: Appl. Phys.- 1972.- Vol. 5.- p. 1712.

75. High resolution photoelectron studies of the d-bands of some metals / R. T. Poole [at al.] // J. Phys. F: Metal. Phys.- 1973.- Vol. 3.- p. L46.

76. An X-ray photoelectron spectrometer designed for surface research / W. A. Fraser [et al.] // Rev. Sci. Instr.- 1973.- Vol. 44.- p. 1490.

77. A 304 A photoelectron spectrometer for band structure studies / R. T. Poole [et al.] // Vacuum.- 1972.- Vol. 22.- p. 499.

78. Gibbons, P. C. Inelastic electron sxattering spectrometer / P. C. Gibbons, J. J. Ritsko, S. E. Schnatterly // Rev. Sci. Instr.- 1975.- Vol. 46.- p. 1546.

79. Кельман, В. М. Электростатический призменный анализатор энергии заряженных частиц / В. М. Кельман, И. В. Родникова // ЖТФ.- 1962.т. XXXII.- с. 279.

80. Кельман, В. М. Новые схемы масс-спектрометров / В. М. Кельман, И. В. Родникова // ЖТФ.- 1962.- т. XXXII.- с. 269.

81. Кельман, В. М. Масс-спектрометры с двумерными электрическими и магнитными полями / В. М. Кельман, И. В. Родникова // ЖТФ.- 1963.т. XXXIII.- с. 387.

82. Кельман, В. М. Электронная оптика / В. М. Кельман, С. Я. Явор.-«Наука», 1968.

83. Гликман, Л. Г. Телескопические системы цилиндрических линз / Л. Г. Гликман, В. М. Кельман, Е. М. Якушев // ЖТФ.- 1967.т. XXXVII, с. 1720.

84. Кельман, В. М. Четырехэлектродные отклоняющие телескопические системы. I. Параксиальные свойства / В. М. Кельман, В. А. Расторгуев, Е. М. Якушев // ЖТФ.- 1970.- т. XL.- с. 1458.

85. Кельман, В. М. Четырехэлектродные отклоняющие телескопические системы. II. Аберрации / В. М. Кельман, В. А. Расторгуев, Е. М. Якушев // ЖТФ.- 1970.- т. XL.- с. 2434.

86. Денисов, Е. П. Призменный электростатический спектрометр с пятиэлектродными квадрупольно-октупольными линзами / Е. П. Денисов, И. А. Петров, С. Я. Явор // ЖТФ.- 1971.- т. ХЫ-с. 450.

87. Явор, С. Я. Электростатический спектрометр высокого разрешения для ЭСХА-метода / С. Я. Явор, И. А. Петров, Е. П. Денисов // ЖТФ.-1971.- т. ХЫ- с. 1839.

88. Петров, И. А. Исследование электростатического призменного спектрометра с квадрупольными линзами / И. А. Петров // ЖТФ.-1975.- т. ХЬУ.- с. 2203.

89. Петров, И. А. Характеристики электростатического призменного спектрометра с квадрупольными линзами для ЭСХА-метода / И. А. Петров //. ЖТФ.- 1976.- т. ХЬУ1.- с. 193.

90. Электростатический призменный бета-спектрометр с осесимметричными линзами / Б. В. Бобыкин [и др.] // ПТЭ.- 1973.-№3.- с. 38.

91. Испытание электростатической призмы масс-спектрометра с фокусировкой по энергии / В. М. Кельман [и др.] // ЖТФ.- 1970.т. ХЬ.- с. 535.

92. Кельман, В. М. Призменный масс-спектрометр с фокусировкой по энергии / В. М. Кельман, И. В. Родникова, П. А. Финогенов // ЖТФ.-1971.- т. ХЫ- с. 173.

93. Ахроматическая двумерная ионная линза / А. И. Волженин [и др.] // ЖТФ.- 1973.- т. ХЬШ.- с. 1769.

94. Гликман, Л. Г. Клиновидная электростатическая призма / Л. Г. Гликман, В. М. Кельман, Л. В. Федулина // ЖТФ.- 1973.т. ХЬШ.- с. 1793.

95. Гликман, Л. Г. Геометрические аберрации клиновидной электростатической линзы / Л. Г. Гликман, В. М. Кельман, Л. В. Федулина // ЖТФ.- 1973.- т. XLIII.- с. 2017.

96. Бимурзаев, С. Электростатическая телескопическая система с устранимой сферической аберрацией. I. Уравнения траектории. II. Электронно-оптические свойства / С. Бимурзаев, В. М. Кельман, Е. М. Якушев // ЖТФ.- 1976.- т. XLVI.- сс. 452, 460.

97. Decreau, P. Détermination des grandeurs caractéristiques des analyseurs électrostatiques toriques application l'optimisation d'analyseurs utilises en physique spatiale / P. Decreau, R. Prange, J. J. Berthelier // Rev. Phys. Appl.- 1972.- Vol. 7.- p. 95.

98. Decreau, P. Optimization of toroidal electrostatic analyzer for measurements of low-energy particles in space / P. Decreau, R. Prange, J. J. Berthelier // Rev. Sci. Instr.- 1975.- Vol. 46.- p. 995.

99. Хохлов, М. З. Электростатические анализаторы с симметричными угловыми характеристиками для исследования солнечного ветра / М. З. Хохлов, А. П. Ремизов // Космические исследования.- 1969.-№7.- с. 459.

100. Grough, M. P. An annular curved plate analyzer with large geometrical factor and high resolution / M. P. Grough // J. Phys. E: Sci. Instr.- 1970.-Vol. 3.- p. 332.

101. Ewald, H. Berechnung eines doppelfokussierenden stigmatisch abbildenden Massenspektrographen / H. Ewald, H. Liebl, G. Sauermann // Zs. Naturforsch.- 1959.- Vol. 14a.- p. 129.

102. Sauermann, G. Aufbau und Erprobung eines doppelfokussierenden stigmatisch abbildenden Massenspektrographen / G. Sauermann, H. Ewald // Zs. Naturforsch.- 1959.- Vol. 14a.- p. 137.

103. Liebl, H. Stigmatisch abbildende bildfehlerfreie Massenspectrometer / H. Liebl, H. Ewald // Zs. Naturforsch.- 1959.- Vol. 14a.- p. 842.

104. Wachsmuth, H. Doppelfokussierenden bildfehlerfreie Massenspectrometer mit besonders hoher Auflösung und Dispersion / H. Wachsmuth, H. Liebl, H. Ewald // Zs. Naturforsch.- 1959.- Vol. 14a.- p. 844.

105. Khursheed, A. Scanning Electron Microscope Optics and Spectrometers / A. Khursheed.- World Scientific.- Singapore, 2010.

106. Фишкова, Т. Я. Электростатический спектрограф для заряженных частиц, образованный дискретным плоским и коробчатым электродами / Т. Я. Фишкова // ЖТФ.- 2014.- т. 84, №7.- с. 149.

107. Фишкова, Т. Я. Электростатический спектрограф для заряженных частиц, образованный дискретным плоским и коробчатым электродами. II / Т. Я. Фишкова // ЖТФ.- 2014.- т. 84, №12.- с. 156.

108. Фишкова, Т. Я. Спектрограф заряженных частиц из дискретного плоского электрода с различным законом распределения потенциала и заземленного коробчатого электрода / Т. Я. Фишкова // ЖТФ.- 2015.т. 85, №6.- с. 156.

109. Фишкова, Т. Я. Светосильный спектрограф с большим диапазоном параллельно регистрируемых энергий заряженных частиц / Т. Я. Фишкова // ЖТФ.- 2016.- т. 86, №9.- с. 153.

110. Yavor, M. I. Optics of Charged Particle Analyzers / M. I. Yavor.- Elsevier, 2009.

111. The parallel cylindrical mirror analyzer: axis-to-axis configuration / F. H. Read [et al.] // Nucl. Instr. Meth. A.- 2004.- Vol. 519, Issue 1-2.- p. 338344.

112. Parallel acquisition electrostatic electron energy analyzers for high throughput nano-analysis / D. Cubric, [et al.] // Nucl. Instr. Meth. A.-2011.- Vol. 645, Issue 1.- p. 227-233.

113. Khursheed, A. First order focusing parallel electron energy magnetic sector analyzers design / A. Khursheed, K. Nelliyan , F. Chao // Nucl. Instr. Meth. A.- 2011.- Vol. 645, Issue 1.- p. 248-252.

114. Khursheed, A. Second-order focusing parallel electron energy magnetic sector analyzer designs/ A. Khursheed // Nucl. Instr. Meth. A.- 2011.-Vol. 645, Issue 1.- p. 253-256.

115. Голиков, Ю.К. Электрические поля, однородные по Эйлеру, для электронной спектрографии / Ю. К. Голиков, Н. К. Краснова // Журнал технической физики.- 2011.- т. 81, № 2.- с. 9-15.

116. Краснова, Н.К. Двумерные степенные электронные спектрографы с плоскостью симметрии/ Н. К. Краснова // Журнал технической физики.- 2011.- т. 81, № 6.- с. 97-103.

117. Краснова, Н.К. Теория и синтез диспергирующих и фокусирующих электронно-оптических сред: дис. ...докт. физ.-мат. наук. СПб, 2013.259 с. Автореферат диссертации

118. Применение формулы Донкина в теории энергоанализаторов. I / П. Г. Габдуллин [и др.] // Журнал технической физики.- 2000.- т. 70, № 2.- с. 91-94.

119. Применение формулы Донкина в теории энергоанализаторов. II / П. Г. Габдуллин [и др.] // Журнал технической физики.- 2000.- т. 70, № 3.- с. 44-47.

120. Голиков, Ю.К. Аналитические структуры электрических обобщенно-однородных спектрографических сред / Ю. К. Голиков, Н. К. Краснова // Научное приборостроение.- 2014.- т. 24, №1.- с. 50-58.

121. Голиков, Ю.К. Теория синтеза электростатических энергоанализаторов / Ю. К. Голиков, Н. К. Краснова.- СПб.: Изд-во Политехн. ун-та. 2010.- 409 с.

122. Голиков, Ю. К. Обобщенный принцип подобия и его применение в электронной спектрографии / Ю. К. Голиков, Н. К. Краснова // Прикладная физика.- 2007.- № 2.- с. 5-11.

123. Голиков, Ю. К. Аналитические структуры электрических обобщенно-однородных спектрографических сред / Ю. К. Голиков, Н. К. Краснова // Научное приборостроение.- 2014.- т. 24, №1.- с. 50-58.

124. Бердников, А.С. Достаточный критерий устойчивости и компактности плоских ионных пучков в трёхмерных электрических и магнитных полях с плоскостью симметрии / А. С. Бердников, Н. К. Краснова // Научное приборостроение.- 2015.- т. 25, №2.- с. 69-90.

125. Ландау, Л. Д. Теория поля. Сер. «Теоретическая физика», т. 2 / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц.- 7-е изд., испр.- Москва: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.- 512 с.

126. Стрэттон, Дж. А. Теория электромагнетизма / Дж. А. Стрэттон.- М.-Л.: ГИТТЛ, 1948.- 539 с.

127. Кочин, Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления / Н. Е. Кочин.- 11-е издание.- Москва: Наука, 1965.- 426 с.

128. Голиков, Ю.К. Расчет элементов электростатических электронно-оптических систем: учебное пособие / Ю. К. Голиков, К. Г. Уткин, В. В. Чепарухин.- Ленинград: Издательство ЛПИ, 1984.- 79 с.

129. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1 / Г. М. Фихтенгольц.- Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2001.616 с.

130. Смирнов, В.И. Курс высшей математики. Т. 1 / В. И. Смирнов.-Москва: Наука, 1974.- 480 с.

131. Гобсон, Е.В. Теория сферических и эллипсоидальных функций / Е. В. Гобсон.- Москва: Изд-во иностранной литературы, 1952.- 476 с.

132. Donkin, W. F. On the Equation of Laplace's Functions &c. / W. F. Donkin // Philosophical Transactions of the Royal Society of London.- 1857.-Vol. 147.- p. 43-57.

133. Donkin, W. F. On the Equation of Laplace's Functions &c. / W. F. Donkin // Proceedings of the Royal Society of London.- 1856-1857.- Vol. 8.-p. 307-310.

134. Голиков, Ю. К. Решение задачи Коши для однородных гармонических потенциалов нулевой кратности / Ю. К. Голиков // Вестник Актюбинского регионального государственного университета им. К. Жубанова. Физико-математические науки.- 2016.- № 2(54), июнь.-с. 59-62.

135. Голиков, Ю. К. Аналитические способы описания гармонических функций / Ю. К. Голиков // Вестник Актюбинского регионального государственного университета им. К. Жубанова. Физико-математические науки.- 2016.- № 2(54), июнь.- с. 165-181.

136. Уиттекер, Э. Т. Курс современного анализа. Часть 2: Трансцендентные функции / Э. Т. Уиттекер, Дж. Ватсон.- Москва: ГИФМЛ, 1963.516 с.

137. Фиников, С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии / С. П. Фиников.- Москва-Ленинград: ОГИЗ, 1948.- 432 с.

138. Рашевский, П. К. Геометрическая теория уравнений с частными производными / П. К. Рашевский.- Москва-Ленинград: ОГИЗ, 1947.362 с.

139. Функция Грина оператора Лапласа / А. Н. Боголюбов [и др.].- Москва: Физический факультет МГУ, 2012.- 130 с.

140. Пикулин, В. П. Практический курс по уравнениям математической физики / В. П. Пикулин, С. И. Похожаев.- Москва: МЦНМО, 2004.208 с.

141. Боголюбов, А.Н. Задачи по математической физике / А. Н.Боголюбов, В. В. Кравцов.- Москва: Издательство МГУ, 1998.- 350 с.

142. Джексон, Дж. Классическая электродинамика / Дж. Джексон.- М.: Мир, 1965.- 702 с. (Jackson, J. D. Classical Electrodynamics / J. D. Jackson.- John Wiley and Sons, New York-London, 1962.)

143. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. / Г. Бейтмен, А. Эрдейи.- Изд. 2-е.- М.: Наука, 1973.- 296 с.

144. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / под ред. М. Абрамовица, И. Стиган.-М.: Наука, 1979.- 832 с.

145. NIST Handbook of Mathematical Functions / F. W. J. Olver [et al.].- NIST and Cambridge University Press, 2010.- 952 p.

146. Олвер, Ф. Асимптотика и специальные функции / Ф. Олвер.- Москва: Наука, 1990.- 528 с.

147. Саулит, В. Р. Пространственное распределение поля в магнитных спектрометрах и форма полюсных наконечников / В. Р. Саулит // Вестник ЛГУ. Серия физики и химии.- 1962.- № 22.- с. 29-44.

148. Саулит, В. Р. Пространственное распределение поля в магнитных спектрометрах и форма полюсных наконечников (случай осевой симметрии) / В. Р. Саулит // Вестник Ленинградского университета. Серия физики и химии.- 1966.- №16, вып. 3.- с. 30-52.

149. Голиков, Ю. К. Псевдооднородные электростатические поля с заданными электронно-оптическими характеристиками / Ю. К. Голиков // Труды ЛПИ.- 1983.- №397.- с. 82-85.

150. Голиков, Ю. К. Пространственная фокусировка в трансаксиальных системах с ИФПС / Ю. К. Голиков, В. В. Чепарухин, М. И. Чуваев // Труды ЛПИ.- 1989.- №429.- с. 70-72.

151. A parallel radial mirror energy analyzer attachment for the scanning electron microscope / K. H. Cheong [et al.] // Abstracts of CPO-9.- Brno (Czech Rep.).- p. 11.

152. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн.- М.: Наука, 1973.- 832 с.

Приложение 1. Однородные функции Рассмотрим электрические потенциалы и(х, у, z), которые однородны по Эйлеру. То есть если мы масштабируем координаты х, у, z на некоторый коэффициент, то потенциал и(х, у, z) также масштабируется на этот же коэффициент:

и (Ах, ку, kz ) = кпи (х, у, z). (П1.1)

Это означает, в частности, что градиент удовлетворяет аналогичному равенству, но с другим порядком однородности: У*и (кх, ку, kz ) = кп-1 -Уи (х, у, z ). (П1.2)

где обозначение У* означает, что мы дифференцируем функцию по отношению к масштабированным координатам кх, ку, kz.

Траектории описываются стандартными уравнениями движения

Г = - Я У и (г). (П1.3)

т

где г обозначает координатный вектор (х, у, z). Рассмотрим масштабированную функцию р(г) = к - г (кг), которая также использует масштабированное время т = кг с другим множителем к. Найдем дифференциальное уравнение для р (г):

Я

p = kk2 • г =-kk2 •—VU(r)

t=At m

= -kk q VU (p/ k )=- kq VU (p);.

t=kt m k m

P =

kkk q

Г -VU(p). (П1.4)

kn-1 m

Уравнение (П1.4) тождественно уравнению (П1.3), когда k = k(n-2)/2. Это означает, что p(t) снова является траекторией в том же электрическом поле, но с другими начальными условиями. То есть его начальные координаты масштабируются, его начальные углы остаются теми же, его начальная кинетическая энергия равна

E'=

2

m Р

2

= k 2X2

2

m г

2

t=0

= k2X2 ■ E = kn ■ E (П1.5)

по сравнению с предыдущей начальной энергией. Обратное утверждение также верно: Если мы начинаем траекторию с одинаковыми начальными углами, с масштабированными координатами kx, ky, kz и начальная кинетическая энергия определяется как (П1.5), то результатом является геометрически масштабированная траектория.

Приложение 2. Теорема об однородности скалярных потенциалов для

полей, однородных по Эйлеру

Возьмём электростатическое поле E (x, y, z). В соответствии с уравнениями Максвелла, записанными в дифференциальной форме [125, 126], для электростатического поля везде, за исключением точек недифференцируемости, выполнено условие rot E(x, y, z)= 0. Обращение ротора векторного поля f (x, y, z) в ноль в соответствии с формулой Стокса |fdl = jjjrot(f)dS [127] гарантирует обращение в ноль интеграла по любому

dS S

замкнутому контуру, целиком лежащему в односвязной области, в каждой точке которой векторное поле имеет непрерывные производные надлежащего порядка. Отсюда следует, что криволинейный интеграл от векторного поля от точки до точки не зависит от пути интегрирования, а только от расположения точек. Тем самым скалярная функция координат — криволинейный интеграл векторного поля от фиксированной точки до произвольной точки пространства — будет определена корректным образом, а градиентом (точнее, антиградиентом) такой функции, которая и представляет собой искомый скалярный потенциал, и будет рассматриваемое векторное поле. (Односвязность области, на которую не

t=0

всегда обращают должное внимание, является важным моментом, равно как и существование в любой точке области непрерывных частных производных нужного порядка, но рассмотрение подобных математических деталей выходит за пределы основной темы.)

Если электрический потенциал и(х, у, z) [128] является однородной по Эйлеру функцией, то очевидно, что соответствующее электрическое поле будет однородным по Эйлеру (это следует из правила дифференцирования однородных по Эйлеру функций [129, 130]). Обратное, вообще говоря, не обязательно верно и нуждается в обосновании. В этом разделе математически строго доказывается, что для электрических и магнитных полей, однородных по Эйлеру с ненулевым порядком однородности, скалярный потенциал обязан быть функцией, однородной по Эйлеру с порядком однородности, равным порядку однородности электрического или магнитного поля, если правильно выбрать аддитивную константу для потенциала. В случае же k = 0, который рассматривается отдельно, кроме функции, однородной по Эйлеру с нулевым показателем однородности, потенциал может содержать аддитивную логарифмическую добавку, не являющуюся однородной функцией.

Рассмотрим случай k ^ 0. Из условий Ли(х, у, z) = -|Ё(х',у', и

Ё(Ях,Яу,Яг) = Л—1Ё(х, у, z) при интегрировании вдоль луча (Ах,Лу,Лг) следует, что

я — Л — 1 —

и(Лх,Лу,Лг) — и(х,у,z) = Ё(тх,ту,т)• —(х,у,z)dт =--Ё(х,у,z)• —(х,у,z),

1 k

(П2.1)

где —(х, у, г ) = (х, у, г) — это вектор, направленный из начала координат в начальную точку интегрирования (х,у,г) (длина отрезка между (тх,ту,т) и ((т + dт)x,(т + dт)y,(т + dт)z), как легко проверить, равна dтл|x2 + у2 + г2 , т.е. |г|dт). Рассмотрим теперь интеграл |Ё(х,у,гмежду двумя точками

^a (,Xa ' У a ' Za ) и ? =(хь, Уь, ^), лежащими на поверхности зафиксированной сферы x2 + y2 + z2 = const. Его можно вычислить вдоль пути S, целиком лежащем на поверхности сферы, а можно сначала пройти по лучу Л?, по масштабированному в Л раз пути S ' = XS и вернуться назад по лучу Л? — результат должен быть одинаковым. В итоге для приращения потенциала AU = U(?)- U(?a )=-JE(s)d? между двумя точками рассматриваемой сферы

a

S

выполнено равенство

AU = - JE{ua) • radz - JE(? Od?' - JEfe) • rbdx

1 S Л

= -(E(?a )• ?a - E (?b )• ?b )- Л J E (? )ds (П2.2)

- — (E(?a )• ?a - E(? )• ? )+ Л AU

(здесь Е (тга ) = гк-1 Е (?а), Е (тгъ ) = тк-1 Е (?), Е (? ') = Е (Я? ) = Як -1Е (?) и ds' = d(я?) = ЯхЕ). Тем самым, при к ^ 0 V?,? выполняется равенство

—(Е(?ъ )• гъ - Е(га )• га )= и(?ъ)- и(га) и, следовательно, для всех точек сферы к

и (? ) = -—Е(г )• г + ио, где константа и0 пока что зависит от выбранной сферы к

|?|2 = const. С учётом (1) получаем соотношения

и (я?)=- Я——Е (?) • г + и (?)=- Я——Е (?) • г -—Е(?) • ?+и 0 = - ЯЕ (?) • ?+и0, к к к к

и (ж) = - Ж Е(?) • г + и0, и Я?) = - (Яж)- Е(г) • г + и0,

к к

и (яж)-и 0 = як (и (ж?)-и 0),

где г принадлежит выбранной сфере, а Я, ж — произвольные положительные числа. Но когда радиус-вектор г пробегает поверхность выбранной сферы, то радиус-вектор ¡ж пробегает всё пространство. Поэтому заключительное соотношение превращается в тождество

U(Ar)- U0 = Ak (U(r)- U0), справедливое теперь уже для любой точки г рассматриваемой области пространства, а константа U0 оказывается не зависящей от выбранной эталонной сферы. Аддитивную константу U0 можно присоединить к потенциалу U (r), поэтому для правильно нормированного потенциала будет выполнено соотношение U(Ar )= AkU(г), представляющее из себя условие однородности по Эйлеру с порядком однородности k. Следовательно, среди всех возможных скалярных потенциалов однородного электрического поля обязательно найдётся скалярный потенциал, однородный по Эйлеру.

Проделанные нами выкладки перестают работать при k = 0, то есть для электрических и магнитных полей, однородные по Эйлеру с нулевым порядком однородности. В случае k = 0 соотношение (П2.1) приобретает вид

U(Ar)- U(г) = - fA E(т ) • rdz = - ln (A) - E(r )• r , (П2.3)

а формула (П2.2), выражающая независимость приращения потенциала от пути интегрирования, превращается в тождество E(га )• га - E(гь )• гь = 0. Поэтому E(г )• r =-U0, где константа U0 пока что зависит от выбранной сферы |г|2 = const, но не от положения точки r на поверхности этой сферы.

После этого с помощью формулы (П2.3) получаем цепочку соотношений U(Ar)-U(r) = ln(A>U0, U(p)-U(r) = ln(p)U0, U(Apr)-U(r) = ln(Ap>U0, и в конечном итоге равенство U(Apr)- U(pr ) = ln (A) U0, где r принадлежит выбранной сфере, а A, p — произвольные положительные числа. Следовательно, U(Ar)-U(r) = lnA U0, где r — теперь уже произвольная точка пространства (когда r пробегает поверхность сферы, то pr пробегает всё пространство), а константа U0 оказывается не зависящей от эталонной сферы. Если теперь сделать замену

U(x, y, z) = U(x, y, z) + U0 ln((x + д/x2 + y2 + z2 )/Я ), (П2.4)

где R — нормировочная константа, задающая масштаб длины, то из тождества и (Яг)- и (г ) = 1п (я)- и0 следует условие ¡У (Яг)- ¡У (г ) = 0, что является тождеством однородности нулевого порядка для функции ¡У(х, у, z). Тем самым наш скалярный потенциал будет обязан иметь вид (П2.4), где ¡У (х, у, z) является функцией, однородной по Эйлеру с нулевым порядком однородности. Очевидно и обратное утверждение: при любом выборе константы У0 потенциалы вида (П2.4), где У(х,у,z) однородная по Эйлеру функция с нулевым порядком однородности, порождают однородные по Эйлеру электрические поля нулевого порядка. Следует также отметить, что выражение (П2.4) может быть интерпретировано как логарифм функции, однородной по Эйлеру с порядком однородности, равным ехр(и0).

Логарифмическая поправка в формуле (П2.4) удовлетворяет уравнению Лапласа. Поэтому для того, чтобы уравнению Лапласа удовлетворяла функция У (х, у, z), необходимо и достаточно, чтобы

уравнению Лапласа удовлетворяла функция У(х, у, z). Вопрос о наиболее общем представлении функций ¡У(х, у, z), гармонических и однородных по Эйлеру с нулевым порядком однородности, решается с помощью формулы Донкина [118, 119, 131-136]:

У (х, у, z ) = F

(

у

х + л/х2Ту2Тг2 х + д/х2 + у2 + z2 у где F(р, q) — произвольная функция, удовлетворяющая двумерному уравнению Лапласа д2 ^ др2 + д2 F/ дq2 = 0.

Фиксированная логарифмическая добавка в формуле (П2.4) может быть записана и в другом виде. Например, потенциал бесконечной и

равномерно заряженной нити У01п(д/у^Тг2/Я) при подстановке в условие У (Яг)- У (г ) = 1п (я) - У0 работает ничуть не хуже. На роль логарифмической добавки годится любая функция вида (П2.4), где в качестве ¡У(х,у,г)

(П2.5)

г

используется фиксированная гармоническая функция нулевого порядка, вычисленная по формуле Донкина (П2.5). Однако, как показывает пример с

потенциалом U0 ln (j y2 + z2 /R), не всегда с первого взгляда можно разглядеть в математическом выражении его эквивалентную форму, выраженную через подстановки (П2.4) и (П2.5).

Приложение 3. Выведение формулы для потенциала в плоских

однородных полях

Рассмотрим двумерный электрический потенциал U(x, y). Функция U(х, y) гармоническая, то есть должна удовлетворять уравнению Лапласа Uxx + Uyy = 0. Кроме того, эта функция должна быть однородной по Эйлеру, что равносильно выполнению дифференциального признака однородности по Эйлеру [129, 130] xUx + yUy = kU, где k = const — порядок однородности. Продифференцировав данное выражение по х и по y, получим соотношения xUxx + yUxy =(k - l)Ux и xUy + yUyy = (k - l)Uy. В силу

гармоничности потенциала (Uxx + U = 0), получим, что Uxx = (k -1)xU2—,

x + y

í \ yUx + xUv , ч - xUx + yUv w Uy = (k -1)—2-^, Uy = (k -1)-2-^. Легко проверить, что при

x + y x + y

выполнении этих трёх соотношений автоматически будут выполнены тождества d(Uxx )¡dy = d(Uxy )/dx, 5(uxv )/dy = d{Uyy )/dx для производных

следующего порядка, так что полученная переопределённая система уравнений относительно неизвестной функции U(x, y) находится в инволюции и разрешима [137, 138].

Чтобы найти решение системы уравнений в явном виде, перейдём к

полярным координатам x = rcos <, y = rsin< (r = д/x2 + y2 ,< = arctg(y/x)). В

этих переменных система уравнений существенно упрощается: Urr =(k - l)Ur/r, Upp = kUjr, Upp =-krUr. Из первого уравнения следует, что

Ur (r,p) = rk 1 f(p), так что U(r,p) = — rkf(q>)+g(p), где f(p) и g(p) некоторые

k

пока неизвестные функции. После подстановки этого решения во второе уравнение получаем условие rkf"pp) + rg"(p) = rkf"(p) + kg"(p), из которого следует, что g"(p) = 0, g(p) = g0 = const. Однако из дифференциального признака однородности по Эйлеру до дифференцирования xUx + yUy = kU получается условие Ur = kU/r, так что на самом деле g0 = 0 (при дифференцировании дифференциального тождества Эйлера добавились паразитные решения). Наконец, третье уравнение даёт условие rkf"(p) = -k2rkf(p), откуда следует, что f(p) = acos(kp)+b sin(kp), где a, b — константы. После обратной замены переменных в результате непосредственной проверки убеждаемся, что функция

U(x,y) = (jx2 + y2)[uc cos(k arctg(y/x))+ US sin(k arctg(y/x))] (П3.1) действительно является функцией, однородной по Эйлеру с порядком однородности, равным k (не обязательно целочисленным), а также удовлетворяет двумерному уравнению Лапласа.

С помощью поворота плоскости относительно начала координат выражение (П3.1) может быть приведено к виду

UC (x, y) = U0 (д/ x2 + y2) cos(k arctg (y/ x)) либо к виду

US (x, y ) = U 0 (j x2 + y2 )sin (k arctg (y/x)), так что свобода управлять формой

потенциала (П3.1) с помощью имеющихся свободных констант весьма условна. Первая форма представления поля даёт потенциал, симметричный по координате y : UC (x,-y) = UC (x, y). Вторая форма записи даёт потенциал, антисимметричный по координате y : US (x,-y) = -US (x, y). Оба потенциала симметричны относительно координаты z, но во втором случае имеется

удобная эквипотенциальная поверхность в виде плоскости y = 0, которую можно использовать в качестве одного из электродов. В роли двумерных зеркал для электростатического энергоанализатора, работающего в спектрографическом режиме, такие электрические потенциалы исследовались в [111, 112, 116, 117].

Возможен вариант использования этих двумерных потенциалов, когда координаты y и z меняются местами [117]. Потенциал

UC (x, z) = U0 (j x2 + z2 ) cos(k arctg (z/ x)) порождает симметричное

электростатическое поле. Потенциал US (х, z) = U0 (jx2 + z2 ) sin (k arctg(z¡x))

порождает симметричное магнитное поле. Соответствующие оптические системы, работающие в режиме спектрографических зеркал, рассматриваются в [3, 6, 10, 115-117].

Формулу (П3.1) можно получить другим способом [117]. Любая однородная по Эйлеру функция порядка k от двух переменных может быть

представлена в виде U(x, y) = (jx2 + y2 )f(arctg(y/x)), где F(г) — некоторая функция одного переменного. (Данная формула является модифицированной формой универсального представления однородных функций в виде f(x13x2,...xn) = x'kg(x2/x1,...xn/xl) [129, 130]). Подставив это выражение в двумерное уравнение Лапласа, получим необходимое и достаточное условие, которое надо обеспечить, чтобы U (x, y) была гармонической функцией: F"(г) + k2F(г) = 0. Из этого дифференциального уравнения сразу следует, что функции вида (1) являются искомыми и что других подобных функций не существует. (Исключением является случай k = 0, когда единственными однородными гармоническими функциями нулевого порядка оказываются функции Ua + Ubarctg (y/x)).

Есть и другой способ получить искомый результат. Как известно, для любой краевой задачи с границей r(s)=(xg (s), yg (s)) существует функция

Грина G(xg,, х,у) [139-141], обладающая свойством, что для любой гармонической функции и (х, у) справедливо тождество

и (х, у ) = / G X (,), yg (,) х, у )?иШуМ лХ^), Ху )и (xg (,), yg (, ))*

(П3.2)

Для двумерного уравнения Лапласа с границей в виде прямой линии у = 0 функция Грина известна в аналитическом виде [139]:

G(Ws, х,, )=4- tag Мт+М

(xg -x)+(yg -y)

Про симметричное решение UC (х, y), нам известно, что оно ведёт себя вдоль прямой y = 0 как однородная функция переменной х с порядком, равным k — то есть, как UC (х,0) = —. Кроме того, из соображений симметрии мы знаем, что нормальная производная UC (х, y), вдоль прямой y = 0 равна нулю — то есть, SUC (х,0)/<3у = 0. В результате по формулам (П3.2), (П3.3) можно восстановить полностью это решение:

UC (х, y) = — [|sf --y-- ds = const • Uх2 + y2 ) cos(k arctg(y/х)) (П3.4)

- -L (х - s) + y ;

(правда, этот интеграл сходится не при всех k, а только при -1 < k <+1, и

вычислить его в аналитической форме весьма непросто).

Приложение 4. Выведение формулы для потенциала в осесимметричных однородных электростатических полях

Потенциал осесимметричного поля, записанный в цилиндрических координатах r = д/ х2 + y2 , р = arctg (y/х), z = z, не зависит от азимутального угла и удовлетворяет осесимметричному уравнению Лапласа д 2U (r, z)/dz2 + д 2U (r, z)/dr2 + (l/r )dU (r, z)/dr = 0. Запишем потенциал U (r, z), который должен являться функцией, однородной по Эйлеру с порядком

однородности, равным k, в форме и (г, г ) F (г/л/г2 + г2), где F (т) —

надлежащим образом подобранная функция одного переменного [129, 130]. Подставив это выражение в осесимметричное уравнение Лапласа, получим необходимое и достаточное условие, которое надо обеспечить, чтобы и (г, г) была осесимметричной гармонической функцией: (1 - т2 F" (т) - 2тF' (т) + k (к + 1)F (т) = 0. (П4.1)

При k = 0 и k = -1 решениями уравнения (П4.1) будут функции F (т) = С0 + С11п ((1 + т)/(1 - т)), сингулярные на оси г = 0 при С1 ^ 0. В остальных случаях решением уравнениями (П4.1) будут функции Лежандра первого и второго рода Рк(т) и Qk(т) [136, 142-146]. С учётом того, что Р_к-1 (т) = Рк(т), Q-k-1 (т) = Qк (т), достаточно определить функции Лежандра при к >-1/2. При натуральных значениях к функция Рк (т) оказывается многочленом

1

Лежандра: Рк(т) = ^!^(т2 - 1)к. Функция Qk(т) выражается через Рк(т) с помощью вронскиана Ж (т) = Qk (т)Рк (т)- Qk (т)Рк (т) (подчиняющегося

уравнению Ж'(т) = 2т 2 Ж(т) и поэтому равному Ж(т) = Ж0/(1 - т2)), по

1 - т

формуле Qk (т) = Рк (т)[у-( \\2 . Функции Рк (т) имеют конечные значения

(1 - т №(т))

при т = ±1 (то есть на оси системы г = 0), функции Qk(т) сингулярны. При натуральных значениях к функция Qk (т) имеет вид

1 + т

Qk (т) = Qak (т) + Qbk (т) 1п--, где Qak (т) и Qbk (т) многочлены. Более подробно о

1 -т

функциях Лежандра первого и второго рода см. в соответствующей литературе [136, 142-145].

Имеется интегральная формула Уиттекера ([136], примеры в конце гл. 18), которая взаимно-однозначным образом выражает осесимметричный потенциал ср(г, г), регулярный на оси г = 0, через двумерный симметричный

потенциал f(x, y), удовлетворяющий двумерному уравнению Лапласа

д 2f/ dx2 + д 2f/dy2 = 0 и условию f (x,-y) = f (x, y):

1 л 2 Л12

(p(r,z) = — [ f (rcosa,z)da = — [ f (rcosa,z)da. (П4.2)

л * л *

Л 0 ^ 0

Подставив вместо f (x, y) однородную функцию UC (x, y) = U0 x2 + y2 J cos(k arctg(y/x)), получим регулярную на оси осесимметричную однородную по Эйлеру функцию cp(r, z). Отсюда легко получить интегральное представление для функции Лагранжа первого рода,

а затем через квадратурную формулу Qk(т) = Pk(т)|у-( у,2 вычислить и

(1 - Т )(Pk (т))

функцию Лагранжа второго рода, то есть полностью восстановить осесимметричную однородную функцию в интегральной форме.

Другие интегральные формулы для осесимметричных однородных функций конструируются с помощью формул Саулита [147-150], позволяющих восстанавливать осесимметричный потенциал по его значению на диске г = 0 (где однородная по Эйлеру функция ведёт себя как гк), а не по значению вдоль оси г = 0 (где однородная по Эйлеру функция ведёт себя как ¿к), как в формуле (П1.3). Ещё одна разновидность интегральных формул для осесимметричных однородных потенциалов может быть получена с помощью функций Грина по схеме, описанной в Приложении 3, так как функция Грина для осесимметричного уравнения Лапласа и границы в виде плоского диска г = 0 может быть получена из функции Грина для трёхмерного уравнения Лапласа с границей в виде бесконечной плоскости г = 0 [139].

В конечном счёте, общая формула для осесимметричного потенциала, однородного по Эйлеру с порядком однородности к ф 0, будет иметь вид

и (г, г )= УТ^ЛисРк (г/л/Т2Тг2)+ и^к (г/л/Г2^)], (П4.3)

где г = д/х2 + у2 , а ис и из — произвольные константы. В отличие от двумерного случая, где изменение констант ис и и8 приводит к повороту двумерного потенциала как единого целого, здесь изменение констант ис и и8 создаёт принципиально новые решения. Однако некоторая аналогия вращения присутствует и здесь. А именно, у функций и (г, г), однородных по Эйлеру, имеются эквипотенциальные линии в виде прямых, проходящих через начало координат (если и (г0, г0 )= 0 в точке (г0, г0), отличной от начала координат, то и вдоль всей прямой (Лт0, Лг0) будет выполнено и (г, г )= 0). Эти линии разбивают координатную плоскость (г, г) на сектора, в пределах которых функция и (г, г) сохраняет свой знак. Изменение констант ис и и8 приводит к трансформации указанных секторов и разграничивающих их прямых эквипотенциальных линий и (г, г )= 0, напоминающей процедуру вращения относительно центра координат.

Приложение 5. Про трёхмерные электростатияческие поля, однородные по Эйлеру В упомянутой выше работе [12] предложен новый алгоритм для синтеза трехмерных потенциальных структур с целью создания эффективных электрических и магнитных спектрографов на их основе. Эту методику можно применять для синтеза потенциальных структур с однородными по Эйлеру функциями с произвольным порядком однородности к. Однако получить структуры с однородными по Эйлеру функциями с целочисленным порядком однородности к по этому алгоритму не удается. На одном из этапов данного алгоритма синтеза следует изменить утверждение о выбираемом частном решении. Поэтому ниже приведем поэтапное выполнение процедуры нахождения искомых трехмерных потенциальных структур.

Первый этап. Строим трехмерный потенциал в виде полинома конечной степени 2п или 2п -1 по координате у с коэффициентами, которые являются однородными функциями соответствующего порядка от двух других координат: х и г . Здесь возможно построение потенциала как в четной, так и в нечетной форме. Они распадаются на два непересекающихся семейства:

и (х, у, г ) = и0к (х, г) - 2 у ^-2 (х, г) +... ± ^ У ^-2„ (х, г) (8)

и (х, у, г ) = уи1,и-1 (х, г ) -1 у (х, г ) +... ± у 2п+1и (х, г) (9)

3! (2п +1)!

Второй этап. Подстановка желаемого разложения (8) или (9) в трехмерное уравнение Лапласа

их + иуу + и г = 0

и группировка членов при одинаковых степенях у приводит к тому, что уравнение распадается на цепочку равенств, по форме представляющих собой уравнения Пуассона для соответствующих функций-коэффициентов. Исключением является равенство, отвечающее коэффициенту при старшей степени полинома. В результате получаем набор равенств для разложения

(8):

д2ио,к | ^2и0Л = ах2 дг2 и ^ д2и2,к-2 | д2и2,к-2 = и

дх2 дг2 -4'

д2П д2П

и 2п-2,к-2п-2 , ^ 2п-2,к-2п-2 = и

д^ дг2 =и 2пк-2п,

д и2п,к-2п , д и2п,к-2п = о 2 1 =0.

(10)

дх 2 дг

а также другого разложения, дающего нечетный полином (9):

aUi,m_i | a2uUm_i = U

ar2 az2 U ^

a2U3,m-3 | aU3,m-3 _ rr

ck2 az2 U 5m-5'

a 2u a 2u

u u 2n-3,m-2n+1 , ^ ^ 2n-3,m-2n+1 _ и

aí2 aZ2 _ U 2n-1,m-2n-1,

a 2u a U

17 ^ 2n-1,m-2n-1 | ^ ^ 2n-1,m-2n-1 _ q

aX2 a? " '

Третий этап. Решаем уравнение Лапласа, последнее в данной цепочке, и в качестве генерирующей функции берем однородную по Эйлеру гармоническую функцию со степенью однородности p _ k - 2n (в случае построения четного полинома) или s _ m - 2n -1 (для нечетного полинома):

и 2n, p (х, z)_ Cq (y)rp

или

U2n+1,s (х, Z)_ CQ (уУ°

где r _л/х2 + z2 , у _ arctg(z/х); cq (y) - неизвестная функция, четная или нечетная по аргументу y (вместо cQrp cospy либо cqrs sin sy, т. е. вместо тех функций, которые мы использовали в работе [15]).

Четвертый и последующие этапы. Далее находим все оставшиеся множители

U2n- j,p+j (х, Z)(U2n- j+1,s+ j (х, Z))

при меньших степенях y , решая последовательно соответствующие уравнения Пуассона с правой частью, найденной на предыдущем этапе и отвечающей условию быть симметричной или антисимметричной по координате z.

Заметим, что неопределенные функции-коэффициенты мы будем искать как частное решение, представленное в следующей форме:

cj (y)rp 1

Эта форма имеет самый общий вид для функции двух переменных, однородных по Эйлеру с соответствующим порядком однородности.

Описанная процедура продолжается, пока цепочка рекуррентных вычислений не замкнется на первом члене разложения (8) или (9).

Кроме того, возможны варианты, когда множитель при старшей степени y оказывается гармонической функцией с нулевым порядком однородности и, следовательно, будет задаваться формулами U (x, z) = U 0 = const

как это было в случае с произвольным значением порядка однородности k или т [15].

Окончательный результат представлен далее (записаны только те случаи, которые принципиально отличаются от общих формул, приведенных в статье [12]).

Потенциалы, симметричные по z и с четными степенями у

или

вместо формул

k = 0: U0+(x, y, z ) = 1

, i tt+( \ (y2 "r2)cosy

k = 1:UJ(x,y,z) = ^----rysin у

k = 2:U2+(x,y,z) = y2 -2r2

(y4 3 1 3 k = 2:U+ (x,y,z) = cos2y ^ + 3y2-— r2 - —r2ysin2y

k = 3: U4(x,y, z) = cosy —— 6y2r - 9r3 +| 3r3 - 6y2r |y sin y + r3cos3y

8 ) 12

k = 3: U + (x, y, z ) = cos3y

Л.б

y_+45yz - 5 r 3

88

15 3 .

--r ysin3y

8

3

k = 4:U4+ (x,y,z) = y4 -3y2r^r¿

k = 4: U + (x, y, z ) = cos2y

^y6 , 1^.4 45

5

— 6ту -"tу r + ~r

r2

2 2 4

2 r +-"4 48

+

(15 4 45 2 2 1 • о 45 4

61 — r--y r |ysin2yH--r cos4y

I 4 2 ) 32

^У8 ,14 y6 , 3^.4 35

35

Л

"Ч-н—^н--y H--y r--r

r4 3 r2 4 4 64

35 4

--r ysin4y

16

k = 4 : U8+ (x,y, z) = cos4y

Потенциалы, симметричные по z и с нечетными степенями y k = 1:U 1 (x, y, z ) = y

k = 2 : U3+ (x, y, z) = У—3yr cos y - 3yry sin y

r

3

k = 3:U+(x,y,z) = y3 --;-2

yr

^ y у

k = 3:U5+(x,y,z)= ■y^ + 5y3 -15yr2 cos2y-—yr2ysin2y

4

15

2

¡ ч (y5 3 45 31 (15 3 3 1 3