Свойства решений обобщенных уравнений Курамото-Сивашинского тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Архипов, Александр Михайлович

• Архипов, Александр Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Архипов, Александр Михайлович

Введение

Основные результаты к - сжимающие системы

Обобщенные диссипативные системы и их аттракторы

Глава 1: Оценка хаусдорфовой и энтропийной размерностей аттракторов обобщенного одномерного уравнения Курамото-Сивашинского

1.1 Формулировки и определения

1.2 Основные результаты

1.3 Определение конусов накачки и диссипации

1.4 Глобальное поведение решений

1.5 Формулировки основных лемм

1.6 Свойства уравнения Гамильтона-Якоби

1.7 Рост соболевских норм при приближению к моменту коллапса доказательство)

1.8 Замена масштаба и галеркинские приближения

1.9 Определение трубки траекторий и лемма о возмущении

1.10 Выбор трубки траекторий для возмущенного уравнения

1.11 Выход траекторий на сферу

1.12 Лемма о потере энергии

1.13 Вычисление размерностей аттракторов уравнения Курамото

Сивашинского

Глава 2: Теорема о перекачке энергии в уравнении Курамото-Сивашинского на многомерном торе с римановой метрикой

2.1 Введение

2.2 Уравнение Курамото-Сивашинского на многомерном торе с римановой метрикой

2.3 Нормы и определения

2.4 Теорема о перекачке энергии

2.5 Лемма о выходе

2.6 Уравнение Курамото-Сивашинского как малое возмущение уравнения Гамильтона-Якоби

2.7 Свойства решений уравнения Гамильтона-Якоби

2.8 Доказательство леммы о выходе

2.9 Проверка условий леммы о возмущении

2.10 Априорная оценка 59 Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Свойства решений обобщенных уравнений Курамото-Сивашинского»

Задачи о вычислении хаусдорфовой и энтропийной размерностей аттракторов занимают важное место при изучении уравнений в частных производных. Особую важность имеет при этом энтропийная размерность, поскольку для нее выполняется легкая теорема Уитни о взаимно-однозначном проектировании и, кроме того, при численном счете обычно вычисляется именно эта размерность.

Уравнение, которое будет рассматриваться ниже, впервые возникло в работе Сивашинского [1], посвященной волновым потокам жидкости, текущей по вертикальной плоскости, а также в работе Курамото [2], где изучался диффузионный хаос в системах реакции. Откуда и происходит название уравнение Курамото-Сивашинского. В дальнейшем, данное уравнение было интенсивно изучено, как численно, так и аналитически. В частности, было доказано существование аттрактора и оценена его размерность. Для этой цели применялись различные методы и подходы (см. работы [3], [8], [10], [11], [16], [17], [18], [19], [20]).

Подход, который был предложен Ю. С. Ильяшенко в работе [3] использовал методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В этом случае уравнение Курамото- Сивашинского рассматривается как динамическая система в бесконечномерном фазовом пространстве. Уравнение Курамото-Сивашинского задает векторное поле в бесконечномерном пространстве, а его траектории будут решениями уравнения. Одной из характеристик уравнения Курамото-Сивашинского является размерность его аттрактора. Впервые хаусдорфову размерность для изучения динамических систем применил Ж. Мале-Паре в 1976 году в [4]. Понятие к- сжимающей системы впервые возникло в работе Ю.С.Ильяшенко [5] в 1982 году при вычислении размерности аттракторов системы Навье-Стокса, при этом, кроме хаусдорфовой размерности рассматривалась также энтропийная размерность. Результаты, касающиеся к-сжимающих систем позже были применены при оценке аттракторов уравнения Курамото-Сивашинского в работе [3].

Кроме того, с помощью подхода использованного Ю. С. Ильяшенко, при исследовании решений уравнения Курамото-Сивашинского был обнаружен так называемый эффект "перекачки энергии" от низких гармоник к высоким. Энергией в данном случае является квадрат любой соболевской нормы достаточно высокого порядка.

На эвристическом уровне явление перекачки энергии в уравнении Курамото-Сивашинского представляет собой следующее. Рассмотрим произвольный луч с вершиной 0 в пространстве начальных условий, лежащий в конечномерной плоскости "низших гармоник". Для любого начального условия <р на этом луче существует непрерывно зависящий от </? момент времени Т^, обладающий следующим свойством. Пусть uv(T,p)- значение решения уравнения Курамото-Сивашинского с начальным условием -u|f=o = У в момент времени Т^,, рассмотренное как элемент пространства С°°(Тп). Тогда "энергия", сосредоточенная в "старших гармониках" функции и^Т^) превосходит "энергию", сосредоточенную в ее "младших гармониках", если L2 - норма ip достаточно велика. Более того, отношение этих "энергий" стремится к оо, при ||<£>|| —» оо.

В дальнейшем были предложены различные варианты обобщения обычного уравнения Курамото-Сивашинского: как для многомерного случая ([21], [22], [24]), так и для одномерного. При этом для одномерного уравнения рассматривались различные вариации, как нелинейного члена [23], так и линейного [10].

Представляемая диссертация содержит решение двух задач. Первая задача состоит в оценке размерностей аттракторов обобщенного одномерного уравнения Курамото-Сивашинского. Вторая задача посвящена доказательству теоремы о перекачке энергии для многомерного уравнения Курамото-Сивашинского, заданного на многомерном торе с римановой метрикой. Метод решения этих задач основан на применении идей теории обыкновенных дифференциальных уравнений к бесконечномерным системам. Автор выражает свою огромную благодарность своему научному руководителю - доктору физико-математических наук, профессору Ю. С. Ильяшенко за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Основные результаты

Результаты 1-ой главы.

Обобщенное одномерное уравнение Курамото-Сивашинского. Сформулируем основные результаты работы для одномерного случая. Подробные доказательства будут даны ниже в главе 1. Сначала дадим определение обобщенного уравнения Курамото-Сивашинского.

Определение. Обобщенное уравнение Курамото-Сивашинского имеет вид т =-{Р(и\) + Аи) (GKS) где оператор А = > 0> если s - четное, as < 0, если s

- нечетное, s > 2. Решения u(t,x) этого уравнения рассматриваются на [О, оо) х S1, т.е. u(t,x-\- 2п) = u{t,x). Р - оператор проектирования в L2^1) вдоль вектора / = 1.

Пусть v — |as|/С, as - коэффициент при старшей производной правой части уравнения, С - сумма модулей коэффициентов при остальных линейных членах правой части уравнения. Фазовое пространство для уравнения (GKS) это (7°° - пространство бесконечно-дифференцируемых функций на S1 с нулевым средним. Обозначим Hs пространство Соболева, полученное пополнением пространства С°° по соболевской норме ns. В первой главе будет доказано, что в каждом пространстве Hsi при s' > s уравнение (GKS) задает обобщенную диссипативную систему. Следовательно, это уравнение в каждом пространстве Hs> имеет аттрактор As/. Уравнение (GKS) как и уравнение теплопроводности сглаживает начальные условия. Таким образом, все аттракторы As состоят из гладких функций и совпадают. Поэтому дальше мы можем заменить As на А. Имеет место следующая теорема.

Теорема 1. (Оценка сверху размерностей аттрактора) Рассмотрим L2 метрику в пространстве С°°. Хаусдорфова и энтропийная размерности аттрактора обобщенного уравнения Курамото-Сивашинского оцениваются сверху следующим образом j- л ^ 2 1 + aim А < т-г (2s - 1) v число R удовлетворяет следующему неравенству

З3+0,6з2+3.90Э + 1.6)

R < Си Гм^о

С - некоторая положительная константа.

Теорема 2. (Существование глобально-поглощающей области) Обобщенное уравнение Курамото-Сивашинского определяет полупоток, который имеет обобщенную глобально-поглощающую область В, определенную неравенством п\ < R, где зависящее от и число R оценивается следующим образом: s3-f6,632+3,96s + l,S)

R < Си U^^) С - некоторая положительная константа.

Из теоремы 2 о существовании обобщенной глобально-поглощающей области вытекает теорема 1 о верхней оценке хаусдорфовой и энтропийной размерностей аттрактора уравнения.

Пусть En— пространство тригонометрических многочленов степени не выше N с нулевым средним, PN~ оператор ортогонального проектирования L2(5'1) —У Е^, Pjy - ортогональное проектирование на ортогональное дополнение к Е^.

Теорема 3. (О перекачке энергии). Для любых p>0,N€Ru\e (0,1) существует такое R, что для любой функции <р £ X, лежащей вне шара ni < R в шаре Q = < />||<£>||i}, существует такой момент времени

Tv > 0, что решения уравнения (GKS) с начальным условием <р в момент Тр принимают значение ф, для которого H-P/v^lls+i — ^ll^lls+i* - порядок оператора А.

Результаты 2-ой главы.

Пусть Тп —п - мерный тор, (д) - метрический тензор, заданный на этом торе.

Определение. Многомерным уравнением Курамото-Сивашинского на торе Тп называется уравнение следующего вида: щ = ~(P(Vu, Vtt) + Аи + иА2и) (KS) где и £ С°°(Тп), А - оператор Лапласа-Белътрами, и > О, V - кова-риантное дифференцирование, согласованное с метрикой. С°°(Тп) - пространство бесконечно дифференцируемых функций с нулевым средним на торе. Среднее функции и на торе Тп равно й = vofTn JТп у- где ji - форма объема. Р - ортогональный оператор проектирования, действующий в С°°(Тп) следующим образом: Ри = и — й.

Пусть и = разложение Фурье функции и по собственным функциям оператора Лапласа-Бельтрами. Обозначим как Pjv и Pjy операторы отбрасывания "старших" и, соответственно "младших" членов разложения Фурье (гармоник), т.е. Рдт^ = ak€ki Pjy = и — Р^и. Нормируем метрику так, чтобы модуль наименьшего собственного значения оператора Бельтрами-Лапласа |Ai( = 1.

Тогда выполняется следующая теорема о перекачке энергии.

Теорема 4. Для любых р > О, N Е N, s > тг/2 + 5, А € (0,1) существует такое R, что для любой функции <р 6 С°°(Тп) лежащей вне шара пс1 < R в шаре Q = {ns < /?||<^||ci}, существует такое время t G (0, с), с -некоторая универсальная константа, что g^g^p = ф и H-P/v^lls ^ 'MlV'lls-Здесь R - константа, зависящая от метрики (g). к—сжимающие системы

Для вычисления размерностей аттракторов будут использоваться следующие понятия и результаты. Сначала приведем определение к - сжимающей системы.

Пусть задано векторное поле х = v{x), х Е Rn. Этому полю соответствует квадратичная форма:

Ai(®) > • • • > А п{х) — собственные значения этой квадратичной формы.

Определение. Поле v является k-сжимающим , если для каждого х 6 В, В — поглощающая область, имеют место следующие неравенства Ai(a;) + • • • + Afc(:c) < 0 и существует такое х 6 В : Ах(ж) + • • • + A&i > О

Теорема. Хаусдорфова размерность аттрактора к- сжимающей системы пе превосходит к.

Эта теорема выполняется и для бесконечномерных систем, см. [6]. Для энтропийной размерности Б. Хант в 1996 году доказал аналогичную оценку для бесконечномерных систем, см. [7].

Теорема (Б.Хант). Энтропийная размерность аттрактора к- сжимающей системы не превосходит к.

Обобщенные диссипативные системы и их аттракторы

Для одномерного обобщенного уравнения Курамото-Сивашинского не удалось найти поглощающую область в классическом понимании, т.е. как область на границе которой векторное поле направлено внутрь (такие системы называются диссипативными). Возможно такая область не существует. В нашем случае удалось найти только "обобщенно поглощающую область", которая ничуть не хуже поглощающей области: уравнение с такой областью имеет те же свойства, что и диссипативная система.

Определение. Пусть {д*\ t > 0} - полупоток в пространстве X, непрерывно зависящий от начальных условий. Пусть В и В это два множества в пространстве X такие, что В С. В. Тогда область В является глобально поглощающей для полупотока {д*} с периферией В и временной задержкой Т, если

1. Орбита любой точки ip 6 В возвращается в область В за время не превышающее Т и в тоже время не покидает область В.

2. Орбита каждой начальной точки (р входит в область В за некоторое положительное время.

Система задающая полупоток с обобщенной глобальной поглощающей областью, которая вместе со своей периферией является компактной, называется "обобщенно диссипативной". Орбита полупотока j определяется на всей оси времени, если существует такое отображение g : R —> X, что <7lR+ = 7 и для любого s > 0, g(t + s) = дг(д(в))

Определение. Максимальный аттрактор обобщенной диссипативной системы это объединение всех орбит, которые определены на всей временной оси и лежат в периферии.

Оказывается, что определенный выше аттрактор может быть задан так же как аттрактор диссипативной системы и он будет устойчив по Ляпунову.

Предложение. Пусть t > 0} - обобщенный диссипативный полупоток с обобщенной глобальной поглощающей областью В с периферией В и временной задержкой Т, замыкания В и В являются компактными, и пусть А это его аттрактор в смысле данного выше определения. Тогда

A=f] gTnB n> О

Более того, аттрактор А непуст и является устойчивым по Ляпунову: для любой окрестности U аттрактора А существует такое положительное число t(U), что дгВ С U для любого t > t(U).

Это предложение было доказано в [3].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Архипов, Александр Михайлович, 2008 год

1. G. Sivashinsky, D. M. Michelson, On irregular wavy flow of a liquid down a vertical plane, Prog. Theor. Phys., vol 63 (1980), pp. 2112-2114

2. Y. Kuramoto, Diffusion-induced chaos in reactions systems, Supp. Progr. Theor. Phys., 64 (1978), pp. 346-367

3. Ю. С. Ильяшенко, Глобальный анализ фазового портрета нелинейного параболического эволюционного уравнения, Математика и моделирование, (1990), Пущино, стр. 5-32

4. J. Mallet-Paret, Negatively invariant sets of compact maps and an extension of a theorem of Cartwright, J. Differential Equations, 22:2, (1976), pp.331-348

5. Ю. С. Ильяшенко, Слабо сжимающие системы и аттракторы галеркинских приближений уравнения Навье-Стокса на двумерном торе, Успехи механики, том 5 (1982), стр.31-63

6. Ю. С. Ильяшенко, О размерности аттракторов k-сжимающих систем в бесконечномерном пространстве, том 3 (1983), вест.моск.ун-та, стр. 52-58

7. Brian R. Hunt, Maximum Local Lyapunov Dimension Bounds the Box Dimension of Chaotic Attractors, Nonlinearity, 9 (1996), pp.845-852

8. P. Constantin, C. Foias, R. Temam, Attractors, representing turbulent flows, Memoir Mem. Am. Math. Soc., 53 (1985), pp. 1-67

9. B. Nicolaenko, B. Scheurer, R. Temam, Some global dynamical properties of the Kuramoto-Sivashinsky equations: nonlinear stability and attractors, Phisica 16D, (1985), pp. 155-183

10. A. M. Архипов, Анализ фазового портрета обобщенного уравнения Курамото-Сивашинского, Дифференциальные уравнения, том 29 (1993), вып. 6, Минск, стр. 990-998

11. А. М. Arkhipov, Yu. S. Il'yashenko, Jump of energy from low harmonics to high ones in the multitdimensional Kuramoto- Sivashinsky equation, Selecta Mathematica, formerly Sovietica, Vol. 13, No. 3 (1994), pp. 183-196у

12. M. А. Шубин, Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория, 1978, М. Наука

13. В. И. Арнольд, Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, 1978, М. Наука

14. В. В. Трофимов, А. Т. Фоменко, Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений, 1995, М. Факториал

15. М. Билз, Ч. Феффермен, Р. Гроссман, Строго псевдовыпуклые области в С", М. Мир, 1987 , (пер. с английского)

16. Fred Feudel, Ulrike Feudel, Axel Brandenburg, On the bifurcation phenomena of the Kuramoto-Sivashinsky equation, Internal J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg, 3 (1993), no. 5, 1299-1303

17. A. M. Архипов, Перекачка энергии в уравнении Курамото-Сивашинского на многомерном торе с римановой метрикой, Современная математика и ее припоэюения, том 24 (2005), Тбилиси, стр. 3-13

18. A. Cheskidov, С. Foias, On the non-homogeneous stationary Kuramoto-Sivashinsky equation, Phys. D, 154 (2001), no. 1-2, pp. 1-14

19. Piotr Zgliczynski, Konstantin Mischaikow, Rigorous numerics for partial differential equations: the Kuramoto-Sivashinsky equation, Found. Comput. Math., 1 (2001), no. 3, pp. 255-288

20. Chang Bing Hu, Temam,Roger, Robust control of the Kuramoto-Sivashinsky equation, Dyn. Contin. Discrete Impuls. Syst. Ser. В Appl. Algorithms, 8 (2001), no. 3, pp. 315-338

21. Huijiang Zhao, Shaoqiang Tang, Nonlinear stability and optimal decay rate for a multidimensional generalized Kuramoto-Sivashinsky system, J. Math. Anal. Appl, 246, (2001), no. 2, pp.423-445

22. Fred C. Pinto, Nonlinear stability and dynamical properties for a Kuramoto-Sivashinsky equation in space dimension two, Discrete Contin. Dynam. Systems, 5,(1999), no. 1, pp.117-136

23. Kai-Seng Chou, On a modified Kuramoto-Sivashinsky equation, Differential Integral Equations, 15 (2002), no. 7, pp. 863-874

24. Vladimir Yarlamov, On the Kuramoto-Sivashinsky equation in a disk, Ann. Polon. Math., 73 (2000), no. 3, pp. 227-256

25. Luc Molinet, Local dissipativity inL2 for the Kuramoto-Sivashinsky equation in spatial dimension 2, J. Dynam. Differential Equations, 12 (2000), no. 3, pp. 533-556