Свойства периодических и близких к периодическим решений в общей задаче трех тел тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.03.01, кандидат наук Ясько Павел Петрович

• Ясько Павел Петрович
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Ясько Павел Петрович

1.2 Постановка задачи

1.3 Частные случаи

1.4 Исследование периодических орбит

2 ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ С НУЛЕВЫМ УГЛОВЫМ МОМЕНТОМ И НЕНУЛЕВЫМИ НАЧАЛЬНЫМИ СКОРОСТЯМИ

2.1 Введение и постановка задачи

2.2 Результаты исследования переходных областей между известными периодическими орбитами

2.3 Метод поиска близких к периодическим орбит

2.4 Результаты сканирования

2.4.1 Периоды Т< 10т

2.4.2 Периоды Т < 100т

2.5 Тонкая структура перехода между орбитой Шубарта и ¿"-орбитой

2.6 Основные выводы

3 ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ С НУЛЕВЫМИ НАЧАЛЬНЫМИ СКОРОСТЯМИ

3.1 Постановка задачи и общие результаты

3.2 Прямолинейный случай

3.3 Равнобедренный случай

3.4 Общий случай

3.5 Основные выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

Задача трех тел является классической задачей небесной механики. Сформулированная в 1687 году Ньютоном, она привлекала внимание многих выдающихся математиков, механиков и астрономов. Эйлер, Лагранж, Лаплас, Якоби, Хилл, Пуанкаре, Сундман, Биркхофф, Ляпунов, Колмогоров, Арнольд, Мозер и многие другие ученые посвятили этой задаче годы своих исследований. Общее решение задачи трех тел было получено в 1912 году Сундманом в виде равномерно и абсолютно сходящихся рядов. Однако, эти ряды сходятся чрезвычайно медленно, что означает их практическую непригодность. Отметим также, что ни одно свойство решений в задаче трех тел не было доказано с помощью этих рядов.

Наряду с попытками найти общее решение задачи, предпринимались попытки получить решения в различных частных случаях, в которых накладываются дополнительные условия симметрии и упрощающие предположения. Таким частным случаем является система трех тел равных масс с нулевым угловым моментом. Изучению именно таких систем посвящена данная диссертационная работа.

Важную роль в динамике тройных систем играют периодические орбиты. Устойчивые периодические орбиты „притягивают" к себе множества орбит с ограниченными движениями, а неустойчивые орбиты порождают хаос. Первые периодические решения в задаче трех тел равных масс с нулевым угловым моментом были найдены в 1956 году Шубартом в прямолинейном случае, в 1979 году Бруком для равнобедренной задачи и в 1993 году Муром в общем случае. В 2009 году Мартыновой, Орловым и Рубиновым была обнаружена новая близкая к периодической орбита, названная из-за своей формы ¿"-орбитой. В 2013 году исследования этой задачи Шуваковым и Дмитрашиновичем привели к обнаружению 15 новых периодических орбит.

Настоящая работа посвящена поиску периодических и близких к периодическим орбит в общей задаче трех тел равных масс с нулевым угловым моментом. Выполнено описание найденных орбит, и проведена их классификация по динамическим и геометрическим свойствам.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Свойства периодических и близких к периодическим решений в общей задаче трех тел»

Актуальность работы

Исследования периодических орбит в задаче трех тел проводятся регулярно со времен Пуанкаре. В последние десятилетия интерес к этой тематике существенно вырос — появилось много работ, использующих качественные, аналитические и численные методы исследований. Непрерывный прогресс в вычислительной технике позволяет разрабатывать и применять все новые методы и подходы в поиске и изучении периодических решений. Совместное использование численных экспериментов и аналитических методов современной математики (вариационное исчисление, теория групп, функциональный анализ и др.) позволяет эффективно применять численно-аналитический подход для поиска периодических решений и исследования их свойств. Однако, в основном, в предыдущих работах рассматривались отдельные периодические орбиты в ограниченных областях начальных условий в различных частных случаях задачи трех тел. Например, в прямолинейной и равнобедренной задачах. Таким образом, представляется актуальным рассмотрение обобщающих случаев в задаче трех тел, локализация и классификация периодических орбит, выделение отдельных семейств периодических орбит, изучение зависимостей устойчивости, топологии, характера эволюции и динамики от начальных условий и параметров задачи.

Цели работы

Основной целью работы является поиск и исследование периодических и близких к периодическим орбит в общей задаче трех тел равных масс с нулевым угловым моментом. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие частные задачи:

1. исследование промежуточных областей между известными устойчивыми периодическими орбитами в пространстве начальных условий;

2. разработка и апробация нового алгоритма, позволяющего определять области начальных условий для близких к периодическим орбит с заданной точностью;

3. применение разработанного алгоритма для локализации начальных условий близких к периодическим орбит в общей задаче трех тел равных масс с нулевым угловым моментом;

4. проведение классификации обнаруженных орбит на основе их геометрических и динамических свойств, выделение семейств периодических орбит на основе этих свойств.

Научная новизна

1. Для двух переходных областей между устойчивыми периодическими орбитами показано отсутствие траекторий с ограниченными движениями и установлено, что время жизни долгоживущих тройных систем подчиняется степенному закону f (Те) а Т-а с показателем а ~ 2.

2. Разработан новый метод поиска периодических орбит, основанный на минимизации безразмерной функции, определяющей близость начальных и текущих координат в фазовом пространстве.

3. Впервые локализованы начальные условия для десятков близких к периодическим орбит в общей задаче трех тел равных масс с нулевым угловым моментом.

4. Обнаружены новые семейства близких к периодическим орбит и определены порождающие их орбиты.

5. Выполнена классификация орбит на основе сходства топологических свойств орбит.

6. Обнаружена и детально исследована переходная область от орбит типа орбиты Шубарта к орбитам типа ¿-орбиты.

Научная и практическая ценность работы

В диссертационной работе предложен метод, позволяющий эффективно локализо-вывать начальные условия для периодических решений и близких к ним в общей задаче трех тел. Кроме того, его можно применять для определения начальных условий близких к периодическим орбит в задаче N тел. Предложенный метод дополняет имеющиеся инструменты для поиска и исследования периодических орбит и близких к ним. Обнаруженные области начальных условий для близких к периодическим орбит представляют самостоятельную ценность для небесной механики и динамической астрономии. Предложенная в работе классификация периодических орбит позволяет проследить изменение топологии и геометрии орбит в зависимости от начальных условий и параметров задачи.

Результаты, выносимые на защиту

1. Предложен метод локализации начальных условий для близких к периодическим орбит.

2. Локализовано несколько десятков областей начальных условий, соответствующих орбитам, близким к периодическим.

3. Разработана классификация периодических орбит, основанная на их динамических и геометрических свойствах.

4. Показано, что в переходных областях между устойчивыми периодическими орбитами динамическая эволюция тройных систем завершается распадом системы, причем для долгоживущих систем распределение времени распада подчиняется степенному закону.

Достоверность результатов

В качестве критерия близости найденного решения к истинному периодическому принимается значение безразмерной функции, вычисленное в процессе численного интегрирования. По определению значение этой функции для точной периодической орбиты равно нулю. Достоверность полученных результатов подтверждается согласием в сопоставимых случаях найденных нами решений с решениями, обнаруженными другими авторами, в том числе с использованием других методов и других способов задания начальных условий. Используемая в исследовании программа TRIPLE показала свою эффективность в многочисленных работах других авторов.

Апробация работы

Основные результаты работы неоднократно докладывались на семинаре Кафедры небесной механики СПбГУ, общегородском семинаре по звездной динамике и галактической астрономии, семинаре отдела небесной механики и динамической астрономии ГАО РАН.

Результаты работы докладывались на следующих всероссийских и международных конференциях:

1. 45-я Международная студенческая научная конференция „Физика космоса", Екатеринбург, 1-5 февраля, 2016.

2. International workshop „Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy", Turku, Finland, 31 July, 2015.

3. Всероссийская научная конференция Астрономия от ближнего космоса до космологических далей", Москва, 25-30 мая, 2015.

4. Пятая Пулковская молодежная астрономическая конференция, Санкт-Петербург, 9-11 июня, 2014.

5. 43-я Международная студенческая научная конференция „Физика космоса", Екатеринбург, 3-7 февраля, 2014.

6. Всероссийская астрономическая конференция „Многоликая Вселенная" (ВАК-2013), Санкт-Петербург, 23-27 сентября, 2013.

Публикации по теме диссертации

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих статьях, в том числе изданных в рецензируемом журнале из списка ВАК (статьи под номерами 2—5):

1. Ясько П.П. Новые близкие к периодическим орбиты в общей задаче трех тел. Известия ГАО в Пулкове. 2015. № 222. С. 125—133.

2. Ясько П.П., Орлов В.В. Тонкая структура области начальных условий для близких к периодическим орбит в общей задаче трех тел. Астрономический журнал. 2015. Т. 92. № 10. С. 858—866.

3. Ясько П.П., Орлов В.В. Поиск периодических орбит в области Агекяна-Аносовой для общей задачи трех тел. Астрономический журнал. 2015. Т. 92. № 5. С. 447— 456.

4. Ясько П.П., Орлов В.В. Поиск периодических орбит в общей задаче трех тел. Астрономический журнал. 2014. Т. 91. № 11. С. 978—988.

5. Ясько П.П., Орлов В.В. Переходные области между устойчивыми периодическими решениями в общей задаче трех тел. Астрономический журнал. 2014. Т. 91. № 11. С. 969—977.

6. Ясько П.П., Орлов В.В. Периодические решения общей задачи трех тел с нулевым угловым моментом. Улугбековские чтения. Издательство Ташкентского университета. 2014. Т. 3. С. 130—135.

Результаты работы отражены в следующих тезисах и трудах конференций:

1. Ясько П.П. Свойства близких к периодическим решений в общей задаче трех тел. Труды 45-й Международной студенческой научной конференции Физика космоса", Екатеринбург-Коуровка, 1-5 февраля 2016 г. Екатеринбург. 2016. С. 237.

2. Orlov V.V., Iasko P.P. Near to periodic orbits in the equal-mass free-fall three-body problem. Abstracts of international workshop „Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy", Turku, Finland, 31 July, 2015. Turku, Finland. 2015. P. 34—37.

3. Ясько П.П., Орлов В.В. Близкие к периодическим орбиты в общей задаче трех тел. Сборник резюме докладов научной конференции „ Астрономия от ближнего космоса до космологических далей", Москва, 25-30 мая, 2015 г. Москва. 2015. С. 25—26.

4. Ясько П.П. Периодические орбиты в общей задаче трех тел. Труды 43-й Международной студенческой научной конференции ,, Физика космоса", Екатеринбург-Коуровка, 3-7 февраля 2014 г. Екатеринбург. 2014. С. 213.

5. Ясько П.П., Орлов В.В. Связь между периодическими орбитами в общей задаче трех тел. Тезисы докладов Всероссийской астрономической конференции Многоликая Вселенная", Санкт-Петербург, 23-27 сентября 2013 г. Санкт-Петербург. 2013. С. 285.

Личный вклад автора

В совместных работах диссертант принимал участие в постановке задач, им были проведены все численные эксперименты. Анализ и обсуждение результатов проводились авторами совместно.

Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 101 страница. Диссертация содержит 5 таблиц и 51 рисунок. Библиография включает 86 наименований.

Содержание диссертации

Во введении обосновывается актуальность работы. Описывается постановка целей и задач диссертации, научная новизна, научная и практическая ценность исследования. Формулируются результаты, выносимые на защиту, приводятся сведения о публикациях и апробации работы с указанием личного вклада автора, а также краткое содержание диссертации.

В первой главе дан краткий исторический обзор изучения задачи трех тел и основных полученных результатов. Описана общая постановка задачи. Приводятся уравнения движения, интегралы движения, теорема вириала. Рассматриваются сингулярности уравнений движения, обусловленные двойными и тройными сближениями тел, а также различные методы регуляризации. Выделены результаты других авторов, полученные в процессе изучения периодических орбит. В частности,

описан метод поиска периодических орбит при момощи минимизации функционала действия.

Вторая глава посвящена изучению задачи трех тел равных масс с нулевым угловым моментом при ненулевых начальных скоростях. Начальные условия задаются таким образом, что все три тела лежат на одной прямой, причем одно из тел помещается в центр масс системы. Рассматриваемая конфигурация представляет собой частный случай сизигии. При таком способе задания начального состояния при фиксированной полной энергии динамика каждой системы определяется двумя параметрами: к — вириальный коэффициент тройной системы; ф — угол между вектором скорости центрального тела и прямой, на которой лежат тела.

В начале исследуются переходные области между известными устойчивыми периодическими орбитами: Шубарта и Мура, а также Брука и Мура. Для определения границ переходных областей вычислялись времена Те потери устойчивости для орбит с начальными условиями внутри этих областей. Показано, что границы этих областей могут быть как резкими, так и размытыми. Оказалось, что плотность распределения времени f (Те) для долгоживущих систем внутри переходных областей имеют степенной характер f (Те) а Т-а при а ~ 2, что согласуется с аналогичными исследованиями других авторов.

Обнаружено, что тройные системы, начальные условия для которых лежат внутри исследуемых переходных областей, распадаются на временах значительно меньших, чем орбиты с начальными условиями в окрестности рассматриваемых периодических орбит. В результате изучения отдельных траекторий в переходных областях были выделены три основных этапа эволюции неустойчивых тройных систем. На первом этапе движения тел сходны с движениями, наблюдаемыми в ближайшей окрестности устойчивых периодических орбит. Затем витки траекторий заполняют область, ограниченную эллипсом с малым эксцентриситетом, причем центр эллипса совпадает с центром масс тройной системы. В завершении начинается серия коротких выбросов компонентов, затем происходит далекий выброс или уход одного из тел. Приведены примеры типичных траекторий из переходных областей.

Способ задания начальных условий позволяет сканированием двумерной ограниченной области (к, ф) обнаружить те начальные условия, которые соответствуют близким к периодическим решениям. Критериям близости к периодичности удовлетворяли такие решения, для которых в некоторый момент времени Ь значение безразмерной функции Ф(Ь) становилось меньше заранее заданного критического значения Фс

- стИ ■

Лч

%=1

Ф2(Ь) = Е

3 г |г%0 - Г% |2 |Г%0 - Г % |2 ]

+

^ Ф2Tit,

й2 (й/т)2

где й — средний размер тройной системы; т — среднее время пересечения компонен-

том тройной системы; ri0 и r — начальный и текущий радиус-векторы положения i-го тела (i = 1, 2, 3); ri0 и r — начальный и текущий радиус-векторы скорости i-го тела (i = 1, 2, 3). Значения Ф(£) определялись на каждом шаге численного интегрирования и в 19 промежуточных точках с помощью квадратичной интерполяции. Величина t равна или кратна периоду T найденной близкой к периодической орбиты.

Первоначальное сканирование области (к, ф) было выполнено для орбит с периодами T < 10т .В результате было обнаружено более 20 областей начальных условий, соответствующих близким к периодическим орбитам. Для всех обнаруженных областей построены траектории движения тел, описаны динамические и геометрические свойства орбит. Среди найденных орбит 14 были найдены другими авторами, остальные обнаружены впервые.

Следующим этапом работы стало повторное сканирование области (к, ф) для орбит с периодами T < 100т. Было найдено несколько десятков областей начальных условий, соответствующих близким к периодическим орбитам. Была обнаружена крупномасштабная структура распределения начальных условий: протяженная полоса, тянущаяся от начальных условий орбиты Шубарта (к, ф) = (0.208, 0) к области начальных условий, соответствующих ¿"-орбите (к, ф) = (0.333, 0.656). Внутри этой структуры были обнаружены начальные условия для орбит с периодами, кратными периоду орбиты Шубарта T = 0.90т. При этом каждому значению периода соответствует вытянутая структура, расположенная ортогонально упомянутой выше полосе. В пределах одной вытянутой структуры значение периода приблизительно сохраняется.

При движении вдоль полосы в сторону семейства ¿-орбиты происходит качественное изменение топологии орбит, нарушается осевая симметрия с сохранением центральной. Нижняя часть полосы соответствует орбитам типа орбиты Шубарта, а верхняя часть — орбитам типа ¿-орбиты. Таким образом, внутри полосы имеется переходная область, в которой лежат начальные условия для орбит, обладающих свойствами обоих семейств орбит. В переходной области не найдено орбит с периодами T < 150т.

В третьей главе рассматривается задача трех тел равных масс с нулевыми начальными скоростями (equal-mass free-fall three-body problem). В этом случае начальные условия задаются в замкнутой области всех возможных конфигураций тройных систем (Агекян и Аносова, 1967). Первое тело A находится в точке с координатами (—0.5, 0), второе тело B находится в точке с координатами (+0.5, 0), а третье тело C располагается в точке с координатами (£, п) в области D, ограниченной осями координат и дугой окружности единичного радиуса с центром в точке A: (£+0.5)2+п2 = 1.

Для прямоугольной области (0 < £ < 0.5; 0 < п < л/3/2), включающей в себя область D, проводилось сканирование и фиксировались точки, для которых выпол-

нялось условие (1). В результате были обнаружены 50 областей значений (£, п), которые соответствуют близким к периодическим орбитам с периодами Т < 100т. Среди них 18 орбит для прямолинейной задачи трех тел (точки лежат на оси £), 22 орбиты для равнобедренной задачи (точки лежат на окружности: (£ + 0.5)2 + п2 = 1) и 10 орбит для общего случая (точки лежат внутри или снаружи области Ю).

Все найденные орбиты исследовались методами символической динамики. В результате было выделено два основных типа периодических орбит: в момент времени Ь = Т/2 происходит либо остановка всех трех тел, либо соударение двух тел и остановка третьего тела.

В заключении излагаются основные результаты диссертации.

Глава 1

КРАТКАЯ ИСТОРИЯ ИЗУЧЕНИЯ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ

Гравитационная задача трех тел является одной из классических задач математики, механики и астрономии. Первая научная постановка этой задачи была дана Исааком Ньютоном в его знаменитом труде „Математические начала натуральной философии" , вышедшем в свет в 1687 году (Newton, 1687). На протяжении прошедших столетий исследованиями задачи трех тел занималось большое число исследователей (см., например, книги Marchal (1990), Valtonen and Karttunen (2006), Мартыновой и др. (2010), а также обзорную статью Musielak and Quarles (2014)). Привлекательность этой задачи заключается в том, что ее просто сформулировать, но крайне трудно решить.

Важность задачи трех тел для небесной механики и звездной динамики состоит в том, что она позволяет описывать динамическую эволюцию многих астрономических объектов с хорошей степенью точности. Системы трех тел наблюдаются в широких диапазонах параметров (расстояний, масс, времен): космические аппараты (например, система Солнце-Земля-Луна), тройные астероиды, планетные системы, кратные звезды, тройные черные дыры в ядрах галактик, триплеты галактик и др. Как правило, можно рассматривать ньютоновскую задачу трех тел, однако в некоторых случаях (например, высокоточное моделирование орбит КА, динамика кратных черных дыр и др.) необходимо учитывать релятивистские поправки. Изучение динамики тройных систем позволяет ответить на различные вопросы, касающиеся формирования и эволюции таких систем.

Во многих случаях аппроксимация компонентов точечными массами позволяет надежно отобразить характерные черты динамики реальных тройных систем без учета других параметров (размеры тел, их строение, форма и т.д.). Такое приближение значительно упрощает динамическое описание системы и сводит ее изучение к классической задаче трех тел.

1.1 История и достижения в изучении задачи трех тел

Ньютон, отталкиваясь от законов Кеплера, получил закон всемирного тяготения. Английский ученый первым понял, что все тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной массам тел и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. На основе закона всемирного тяготения Ньютону удалось построить теории движения Луны, комет и планет Солнечной системы, теорию приливов и отливов, оценить массу Земли и Луны. Нельзя не отметить, что для решения поставленных задач Ньютон разработал аппарат дифференциального и интегрального исчислений, составивший основу математического анализа.

При построении теории движения Луны необходимо учитывать притяжение как Солнца, так и Земли. Таким образом, формулируется задача гравитационного взаимодействия трех тел. Ньютону не удалось получить точное решение, однако он смог найти приближенное решение.

Дальнейшее развитие изучения задачи трех тел было достигнуто в работах Эйлера (Euler, 1767) и Лагранжа (Lagrange, 1772). Ими были найдены первые частные аналитические решения для тел произвольных масс. Эйлер получил решение, в котором в каждый момент времени все три тела находятся на одной вращающейся вокруг центра масс прямой (сизигия), а все тела движутся по эллипсам. В решении, полученном Лагранжем, в любой момент времени тела находятся в вершинах равностороннего треугольника, пульсирующего и вращающегося вокруг центра масс тройной системы. Тела также движутся по эллипсам. Заметим, что решения Эйлера и Лагранжа являются периодическими — через определенный интервал времени координаты и скорости всех тел равны их начальным значениям.

Упрощенный вариант задачи трех тел представляет собой ограниченная задача трех тел: массой одного из тел можно пренебречь (приравнять к нулю). Для описания круговой ограниченной задачи (тела конечных масс двигаются по относительной круговой орбите) Эйлер впервые ввел вращающуюся систему координат. Кроме того, Эйлер обнаружил три равновесные точки, лежащие на прямой, соединяющей центры массивных тел. Позже Лагранжем были найдены еще две точки, находящиеся в вершинах равносторонних треугольников. В литературе часто все пять точек называют точками Лагранжа. Точки равновесия неподвижны во вращающейся системе координат, в них уравновешены гравитационные силы со стороны массивных тел.

В Солнечной системе известны группы тел, которые находятся в окрестности треугольных точек Лагранжа. Например, группы астероидов Греки и Троянцы в системе Солнце-Юпитер. Недавние исследования показали, что аналогичные астероиды находятся в системах Солнце-Земля, Солнце-Марс, Солнце-Сатурн, Солнце-Нептун.

В дальнейшем изучением круговой ограниченной задачи трех тел занимались, в частности, Якоби и Хилл. Используя вращающуюся систему координат, Якоби (Jacobi, 1836) получил интеграл движения, впоследствии названный в его честь. Применяя интеграл Якоби к движениям астероидов, Хилл (Hill, 1877, 1878a,b,c) нашел области возможных движений и ввел поверхности нулевых скоростей, ограничивающие эти области. Кроме того, им была сформулирована и исследована задача трех тел, в которой одно тело имеет массу много больше масс двух других и находится на большом удалении от них (расстояние между двумя телами много меньше расстояний между ними и самым массивным телом). Эта задача получила название задачи Хилла. В рамках этой задачи Хилл нашел новый класс периодических решений, а также применил ее для построения теории движения Луны, предсказывавшей положения спутника точнее, чем теория Ньютона.

В конце XIX века значительный вклад в задачу трех тел был внесен французским математиком Пуанкаре. Его фундаментальный труд „Новые методы небесной механики" , опубликованный в 1892-1899 гг., в большей степени посвящен изучению круговой ограниченной задачи трех тел (Poincare, 1892). При исследовании этой задачи Пуанкаре разработал ряд новых качественных методов решения дифференциальных уравнений и использовал эти методы для обнаружения и изучения периодических решений. В то же время Пуанкаре показал неинтегрируемость системы уравнений, описывающей движения в задаче трех тел. Новые методы, развитые Пуанкаре, позволили ему выявить непредсказуемость движений в общей задаче трех тел и установить проявления нового феномена, известного сейчас, как хаос. Пуанкаре изучил задачу Хилла и обобщил определение периодических орбит. Он нашел такие начальные условия, которые соответствовали периодическим решениям в специальном случае ограниченной задачи трех тел. Пуанкаре выделил три сорта решений: первый сорт содержал решения, порожденные круговыми орбитами в задаче двух тел, второй сорт — решения, порожденные эллиптическими орбитами в задаче двух тел, третий сорт — решения, порожденные круговыми орбитами в задаче двух тел с ненулевым наклоном орбиты третьего тела по отношению к плоскости движения главных тел. Работы Пуанкаре послужили стимулом для дальнейших поисков, изучения и классификации периодических орбит в задаче трех тел, а также исследования вопроса об их устойчивости.

Дальнейшее обобщение и развитие идей Пуанкаре об устойчивости периодических орбит было осуществлено в работах Биркхоффа в начале XX века. Он ввел понятие рекуррентного движения, которое в течение достаточно длительного интервала времени подходит сколь угодно близко к любому своему состоянию, и показал, как это соотносится с орбитальной устойчивостью. Кроме того, Биркхофф доказал „последнюю геометрическую теорему", сформулированную Пуанкаре. Эта теорема

утверждает, что существует бесконечно много периодических орбит вблизи любой устойчивой периодической орбиты.

Занимаясь поиском периодических и непериодических решений в задаче трех тел, исследователи осознали, что дифференциальные уравнения движения содержат сингулярности. Такие сингулярности обусловлены двойными и тройными соударениями, при которых одно или все три расстояния между телами становятся равными нулю. Двойные соударения не являются существенной особенностью и дальнейшее аналитическое продолжение решения возможно. Тройные соударения представляют собой существенные особенности и в общем случае не допускают аналитического продолжения. Совокупность методов, позволюящих устранить сингулярности уравнений движения при двойных соударениях, получили название регуляризации уравнений движения. Заметим, что идея регуляризации движений при двойном соударении в задаче двух тел принадлежала Эйлеру (Еи1ег, 1767). В своих работах Пенлеве (Рат1еуе, 1896, 1897) впервые начал исследовать сингулярности в задаче трех тел. Он определил, что в тройных системах сингулярности появляются только при соударениях и они могут быть исключены при определенных начальных условиях, для которых уравнения движения могут быть проинтегрированы с помощью степенных рядов. Несмотря на то, что Пенлеве не смог найти решений в виде рядов, его работы послужили хорошим стимулом для дальнейших исследований в этой области.

В начале XX века регуляризацией двойных соударений занимались Леви-Чивита (ЬеуьСт1а, 1903), Сундман (8и^шап, 1907, 1909, 1912) и др. Кроме того, они исследовали тройные соударения и сформулировали теоремы, позволяющие найти условия для таких соударений. В частности, Сундман (Sundman, 1909) доказал, что тройное соударение возможно только в тройных системах с нулевым угловым моментом. Следовательно, если все три тела столкнутся в одной точке пространства, то они двигаются в плоскости, в которой лежит их центр масс. При приближении к точке тройного соударения тела асимптотически приближаются к одной из центральных конфигураций: либо к прямолинейной конфигурации Эйлера, либо к треугольной конфигурации Лагранжа.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ясько Павел Петрович, 2016 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Агекян Т.А., Аносова Ж.П. Исследование динамики тройных систем методом статистических испытаний // Астрон. журн. 1967. Т. 44. С. 1261-1272.

2. Агекян Т.А., Аносова Ж.П. Начальная конфигурация и распад тройных систем // Труды АО ЛГУ. 1977. Т. 33. С. 52-61.

3. Алексеев В.М. Финальные движения в задаче трех тел и символическая динамика // Успехи мат. наук. 1981. Т. 36. С. 161-176.

4. Алексеев В.М. Лекции по небесной механике / М.-Ижевск: РХД, 2001. 156 с.

5. Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике // Успехи мат. наук. 1963. Т. 18. № 6. С. 91-192.

6. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики / М.: УРСС. 2002. 414 с.

7. Колмогоров А.Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // Доклады АН СССР. 1954. Т. 98. С. 527-530.

8. Мартынова А.И., Орлов В.В., Рубинов А.В. Структура областей устойчивости неиерахических тройных систем // Астрон. журн. 2009. Т. 86. С. 765-777.

9. Мартынова А.И., Орлов В.В., Рубинов А.В., Соколов Л.Л., Никифоров И.И. Динамика тройных систем / Санкт-Петербург: Издательство СПбГУ. 2010. 216 с.

10. Мельников А.В., Орлов В.В., Шевченко И.И. Показатели Ляпунова в динамике тройных звездных систем // Астрон. журн. 2013. Т. 90. С. 472-482.

11. Титов В.Б. Периодические орбиты общей задачи трех тел с нулевым кинетическим моментом // Нелинейная динамика. 2012. Т. 8. С. 377-389.

12. Шмидт О.Ю. О возможности захвата в небесной механике // Доклады АН СССР. 1947. Т. 58. С. 213-216.

13. Ясько П.П., Орлов В.В. Переходные области между устойчивыми периодическими решениями в общей задаче трех тел // Астрон. журн. 2014а. Т. 91. С. 969-981.

14. Ясько П.П., Орлов В.В. Поиск периодических орбит в общей задаче трех тел // Астрон. журн. 2014б. Т. 91. С. 978-988.

15. Aarseth S.J., Zare K. A regularization of the three-body problem // Celest. Mech. 1974. V. 10. P. 185-205.

16. Aarseth S.J. Gravitational N-Body Simulations. Tools and Algorithms / Cambridge: Cambridge Univ. Press. 2003. 413 p.

17. Barutello V., Ferrario D.L., and Terracini S. Symmetry groups of the planar 3-body problem and action-minimizing trajectories // arXiv:math/0404514. 2004.

18. Bendixson I. Sur les courbes definies par des equations differentielles // Acta Math. 1901. T. 24. P. 1-88.

19. Benettin G., Galgani L., and Strelcyn J.-M. Kolmogorov entropy and numerical experiments // Phys. Rev. A. 1976. V. 14. P. 2338-2345.

20. Birkhoff G. Quelques theoremes sur le mouvement des systemes dynamiques // Bull. Soc. Math. France. 1912. T. 40. P. 305-323.

21. Birkhoff G. Proof of Poincare's Geometric Theorem // Trans. Amer. Math. Soc. 1913. V. 14. P. 14-22.

22. Birkhoff G. The restricted problem of three bodies // Rend. Circ. Mat. Palermo. 1915. V. 39. P. 265-344.

23. Bogomolov A.V., Pavluchenko S.A., Toporensky A.V. Power-law tails in triple system decay statistics // arXiv:1101.0399. 2011.

24. Bozis G., Hadjidemetriou J.D. On the continuation of periodic orbits from the restricted to the general three-body problem // Celest. Mech. 1976. V. 13. P. 127136.

25. Broucke R. On the isosceles triangle configuration in the planar general three-body problem // Astron. and Astrophys. 1979. V. 73. P. 303-313.

26. Broucke R., Elipe A., and Riaguas A. On the figure-8 periodic solutions in the three-body problem // Chaos, Solitons & Fractals. 2006. V. 30. P. 513-520.

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

Bulirsch R., Stoer J. Numerical treatment of ordinary differential equations by extrapolation methods // Num. Math. 1966. V. 8. P. 1-13.

Chazy J. Sur l'allure finale du mouvement dans le probleme des trois corps. I // Ann. l'Ecole Norm. 1922. T. 3. P. 29-130.

Chazy J. Sur l'allure finale du mouvement dans le probleme des trois corps. II // Math. Pures et Appl. 1929. T. 8. P. 353-380.

Chazy J. Sur l'allure finale du mouvement dans le probleme des trois corps. III // Bull. Astron. 1932. T. 8. P. 403-436.

Chenciner A., Montgomery R. A remarkable periodic solution of the three body problem in the case of equal masses // Ann. Math. 2000. V. 152. P. 881-901.

Delaunay C. Theorie du mouvement de la Lune, tome 2 // Mem. Acad. Sci. 1867. T. 29. P. 1-931.

Delibaltas P. Families of periodic collision orbits in the general three-body problem // Celest. Mech. 1983. V. 29. P. 191-204.

Euler L. De moto rectilineo trium corporum se mutuo attrahentium // Novi Comm. Acad. Sci. Imp. Petrop. 1767. V. 11. P. 144-151.

Hadjidemetriou J.D. The continuation of periodic orbits from the restricted to the general three-body problem // Celest. Mech. 1975a. V. 12. P. 155-174.

Hadjidemetriou J.D. The stability of periodic orbits in the three-body problem // Celest. Mech. 1975b. V. 12. P. 255-276.

Heggie D.C. A global regularisation of the gravitational N-body problem // Celest. Mech. 1974. V. 10. P. 217-242.

Henon M. Exploration numerique du probleme restreint. I. Masses egales, orbites periodiques // Ann. Astrophysique. 1965a. T. 28. P. 499-511.

Henon M. Exploration numerique du probleme restreint. II. Masses egales, stabilite des orbites periodiques // Ann. Astrophysique. 1965b. T. 28. P. 992-1007.

Henon M. Families of periodic orbits in the three-body problem // Celest. Mech. 1974. V. 10. P. 375-388.

Hill G.W. On the Part of the Motion of the Lunar Perigee which is a Function of the Mean Motion of the Sun and Moon / Cambridge, MA: John Wilson and Son. 1877. 886 p.

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

Hill G.W. Researches in the Lunar theory // Am. J. Math. 1878a. V. 1. P. 5-26.

Hill G.W. Researches in the Lunar theory // Am. J. Math. 1878b. V. 1. P. 129-147.

Hill G.W. Researches in the Lunar theory // Am. J. Math. 1878c. V. 1. P. 245-261.

Jacobi C. Sur le mouvement d'un point et sur un cas particulier du probleme des trois corps // Comptes Rendus de l'Academie des Sciences de Paris. 1836. T. 3. P. 59-61.

Katopodis K. Continuation of periodic orbits — Three-dimensional circular restricted to the general three-body problem // Celest. Mech. 1979. V. 19. P. 43-51.

Kustaanheimo P., Stiefel E.J. Perturbation theory of Kepler motion based on spinor regularization //J. Reine Angew. Math. 1965. V. 218. P. 204-219.

Lagrange L. Essai sur le probleme des trois corps // Prix de l'Academie Royale des Sciences de Paris, tome IX, Oeuvres. 1772. T. 6. P. 229-324.

Levi-Civita T. Traiettorie singolari ed urti nel problema ristretto dei tre corpi // Ann. Math. 1903. V. 9. P. 1-32.

Lindstedt A. Sur la determination des distances mutuelles dans le probleme des trois corps // Ann. l'Ecole Norm. 1884. T. 1. P. 85-102.

Lyapunov A. Probleme generale de la stabilite de mouvement // Ann. Faculte des Sci. Toulouse. 1907. T. 9. P. 203-475. (Русский перевод: Ляпунов А.М. Собрание сочинений. Том 2 / М.: Издательство АН СССР. 1956. 481 c.)

Marchal C. The Three-Body Problem / Amsterdam: Elsevier. 1990. 576 p. (Русский перевод: Маршал К. Задача трех тел / М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2004. 640 c.)

Markellos V.V. The three-dimensional general three-body problem — Determination of periodic orbits // Celest. Mech. 1980. V. 21. P. 291-309.

Markellos V.V. Bifurcations of planar to three-dimensional periodic orbits in the general three-body problem // Celest. Mech. 1981. V. 25. P. 3-31.

Montgomery R. A new solution to the three-body problem // Notices Am. Math. Soc. 2001. V. 48. P. 471-481.

Montgomery R. Infinitely many syzygies // Archives for Rational Mechanics and Analysis 2002. V. 164. P. 311-340.

57. Montgomery R. The only syzygy-free solution is Lagrange's // arXiv:math/0601269. 2006.

58. Moore C. Braids in classical dynamics // Phys. Rev. Lett. 1993. V. 70. P. 3675-3679.

59. Moser J. On invariant curves of area preserving mappings of an annulus // Nachr. Akad. Wiss. Göttingen II, Math. Phys. KI. 1962. P. 1-20.

60. Musielak Z.E., Quarles B. The three-body problem // Rep. Prog. Phys. 2014. V. 77. 065901.

61. Newton I. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica / London: Royal Society Press. 1687. 510 p. (Русский перевод: Ньютон И. Математические начала натуральной философии / М.: Наука. 1989. 711 с.)

62. Orlov V.V., Rubinov A.V., and Shevchenko I.I. The disruption of three-body gravitational systems: lifetime statistics // Monthly Not. Roy. Astron. Soc. 2010. V. 408. P. 16231627.

63. Painleve P. Sur les singularites des equations de la dynamique et sur la probleme des trois corps // Comptes Rendus de l'Academie des Sciences de Paris. 1896. T. 123. P. 871-873.

64. Painleve P. Sur le cas du probleme des trois corps (et des n corps) ou deux des corps se choquent au bout d'un temps fini // Comptes Rendus de l'Academie des Sciences de Paris. 1897. T. 125. P. 1078-1081.

65. Pavluchenko S.A. On Hamiltonian intermittency in equal mass three-body problem // arXiv:1103.0458. 2011.

66. Poincare H. Sur le probleme des trios corps et les equations de la dynamique // Acta Mathematica. 1890. V. 13. P. 1-271.

67. Poincare H. Les Methodes Nouvelles de la Mecanique Celeste T. 1-3 / Paris: Gauthier-Villars. 1892-1899. 385 p. 479 p. 414 p. (Русский перевод: Пуанкаре А. Избранные труды, том 1, 2 / М.: Наука. 1971,1972. 772 с. 999 с.)

68. Robutel P. An application of KAM theory to the planetary three body problem // Celest. Mech. Dyn. Astron. 1993a. V. 56. P. 197-199.

69. Robutel P. The stability of the planetary three-body problem: Influence of the secular resonances // Celest. Mech. Dyn. Astron. 1993b. V. 57. P. 97-98.

70. Saito M.M., Tanikawa K. The rectilinear three-body problem using symbol sequence II: role of the periodic orbits // Celest. Mech. Dyn. Astron. 2009. V. 103. P. 191-207.

71. Schubart von J. Numerische Aufsuchung periodischer Lösungen im Dreikörperproblem // Astron. Nachr. 1956. V. 283. P. 17-22.

72. Siegel C. Der Dreierstoß// Annal. Math. 1941. V. 42. P. 127-168.

73. Simo C. Celestial Mechanics: Dedicated to Donald Saari for His 60th Birthday, ed D. Saari and A. Chenciner // Providence, RI: American Mathematical Society. 2002. V. 292. P. 209-228.

74. Sundman K. Recherches sur le probleme des trois corps // Acta Societatis Sci. Fenn. 1907. V. 34. № 6. P. 1-43.

75. Sundman K. Nouvelles recherches sur le probleme des trois corps // Acta Societatis Sci. Fenn. 1909. V. 35. P. 1-27.

76. Sundman K. Memoire sur le probleme des trois corps // Acta Math. 1912. V. 36. P. 105-179.

77. Suvakov M., Dmitrasinovic V. Three Classes of Newtonian Three-Body Planar Periodic Orbits // Phys. Rev. Lett. 2013. V. 110. id. 114301.

78. Suvakov M. Numerical search for periodic solutions in the vicinity of the figure-eight orbit: slaloming around singularities on the shape sphere // Celest. Mech. Dyn. Astr. 2014. V. 119. P. 369-377.

79. Szebehely V. Theory of Orbits: The Restricted Problem of Three Bodies / New York: Academic. 1967. 668 p. (Русский перевод: Себехей В. Теория орбит. Ограниченная задача трех тел / М.: Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит. 1982. 656 с.)

80. Titov V. Symmetrical periodic orbits in the three body problem — the variational approach // Ann. Univer. Turkuensis. Ser. 1A. 2006. V. 358. P. 9-15.

81. Titov V. Three-body problem periodic orbits with vanishing angular momentum // Astron. Nachr. 2015. V. 336. P. 271-275.

82. Urminsky D.J., Heggie D.C. On the relationship between instability and Lyapunov times for the three-body problem // Monthly Not. Roy. Astron. Soc. 2009. V. 392. P. 1051-1059.

83. Valtonen M.J., Mikkola S., and Huang T.Y. On Construction of Analytic Solutions to the Three Body Problem by Use of Computer Experiments // Celest. Mech. Dyn. Astron. 1989. V. 45. P. 37-43.

84. Valtonen M., Karttunen H. The Three-Body Problem / Cambridge: Cambridge Univ. Press. 2006. 356 p.

85. Vanderbei R.J. New Orbits for the n-Body Problem // Annals of the New York Academy of Sciences. 2004. V. 1017. P. 422-430.

86. Zhang S., Zhou Q., and Liu Y. New Periodic Solutions for 3-Body Problems // Celest. Mech. Dyn. Astron. 2004. V. 88. P. 365-378.