Свойства обобщенно-однородных дифференциальных и разностных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Аль-Асади Бассам Джаббар Джасим

• Аль-Асади Бассам Джаббар Джасим
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Аль-Асади Бассам Джаббар Джасим

Введение

Глава 1. Обобщенно-однородные системы уравнения переменного класса

§1.1. Некоторые определения и свойства

§1.2. Системы переменного класса

§1.3. Специальные решения

§1.4. Существование 0+ и О- кривых

§1.5.Преобразования системы

§1.6. Бифуркации систем дифференциальных уравнений

§1.7. Топологическая эквивалентность систем дифференциальных уравнений

Глава 2. Системы «треугольного» типа

§2.1. Особенности «треугольного» системы

§2.2. О размерности О —кривых системы

§2.3. Ограниченность решения систем

§2.4. Критерий существования О —кривых

§2.5. Критерий асимптотической устойчивости в целом нулевого решения системы

§2.6. Грубость асимптотических свойств решений

Глава 3. Некоторые свойства разностных уравнений

§3.1. Некоторые определения и понятия

§3.2. Система Пуанкаре-Ляпунова

§3.3. О-кривых

§3.4. О бифуркациях разностных уравнений

§3.5. Треугольные системы

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Свойства обобщенно-однородных дифференциальных и разностных уравнений»

Введение.

Актуальность темы. Известно, что многие задачи небесной механики, автоматики, телемеханики и теории колебаний приводят к рассмотрению существенно нелинейных систем дифференциальных и разностных уравнений. Однако общих методов исследования, устанавливающих полную качественную картину расположения траекторий системы дифференциальных и разностных уравнений, не существует. В связи с этим приходится выделять различие классы нелинейных систем дифференциальных и разностных уравнений, которые удается исследовать различными качественными методами.

Самыми распространенными и, по-видимому, наиболее изученными к настоящему времени являются нелинейные системы вида

дх^= ^(х1,...,хп)Л = 1,...,п, (0)

где означает ^ или х^ + к , функции ^(х1,... ,хп), Ь = 1,...,п, удовлетворяют различным условиям однородности.

Наиболее трудным при изучении поведения особой точки вблизи траекторий системы (0) является случай, когда правые части не содержат линейных членов. Такие системы в предположении, что функции ^(х^...,хп), 1 = 1,...,п. являются однородными или разлагающимися в степенные ряды, изучены в работах [4-12]

В работах Е.А., Барашина [17,18], Н. Н. Кросовского [4] точны условия устойчивости нулевого решения системы (0) в целом выражены через свойства функции Ляпунова.

Качественно новым обобщением однородности является введение понятия обобщенно-однородных функций и форм порядка р класса переменной матрицы А(х1,..., хп, с), I = 1,..., п.

А.Р. Эфендиев изучил вопросы о структуре семейства интегральных кривых системы (0) в окрестностях особых точек высшего порядка в случаях, когда правые части являются обобщенно-однородными функциями порядка р класса матрицы Ц^уа^Дл^, с)||, 1,] = 1,...,п, где элементы матрицы зависят от одной переменной.

Совокупность обобщенных и обобщенно-однородных функций соответствует совокупности систем дифференциальных уравнений. Этой совокупности соответствует матрица А(хг,... ,хп,с). Следовательно, каждой матрице А(хг,..., хп, с) соответствует система дифференциальных уравнений. Значит, следует исследовать новые виды матриц. Мы решаем вопрос о структуре семейства интегральных кривых системы (0) в окрестности особых точек высшего порядка в предположении, что правые части системы (0) являются обобщенно-однородными функциями порядка р класса переменной матрицы и$1]а1](х1, ■■■ ,хь,с)1\Л,] = 1,...,п.

Представленные в диссертации схемы исследования свойств, решений дифференциальных и разностных уравнений основаны на методах качественного исследования динамических систем, разработанных в трудах В. В. Немыцкого, Н. Н. Красовского, А. А. Шестакова, Ю.И. Сапронова, А. Д. Мышкиса, Л. Э. Эльсгольца, Г. А. Каминского, М. В. Келдыша, Ю. В. Покорного и других.

Цель данной работы: описание поведения решения системы дифференциальных и разностных уравнений, получение условий существований О — кривых, устойчивость тривиального решения, исследуемой системы, их свойства. Доказательство необходимых и достаточных условий обобщенно-однородных функций.

Научная новизна: Все результаты, включенные в диссертацию, являются новыми. Наиболее значительные из них перечислены в следующем ниже списке.

1. Новые условия существования, асимптотической устойчивости, тривиального решения исследуемой системы.

2. Описание обобщенно-однородных функций, их связь с системами дифференциальных уравнений.

3. Описание обобщенно-однородных разностных систем уравнений.

4. Описание специальных решений систем дифференциальных и разностных уравнений.

Методы исследования: В работе использованы качественные методы анализа особых точек динамических систем. (Пуанкаре, Ляпунова, Немыцкого, Красовского, Шестакова, Эфендиева и др.)

Теоретическая и практическаяценность: Данная работа в целом носит теоретический характер, но представленные в ней результаты могут быть использованы при изучении конкретных динамических систем.

Апробация работы. Результаты диссертации были доложены на VI и VII международных научных конференциях ФДУ и их приложения, 23-26 сентября 2013 и 21-24 сентября 2015, на VII международной научной конференции, 21-24 сентября 2015, на межвузовском научном семинаре в ДГТУ «Актуальные проблемы математики и смежные вопросы» Махачкала, 2015.

Результаты диссертации опубликованы в 6 работах, три работы из них соответствуют списку ВАК РФ. Из совместных работ в диссертацию вошли только те результаты, которые принадлежат диссертанту.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы (параграфы), и списка литературы из 60 наименований. Общий объем диссертации 90 страниц.

Краткое содержание диссертации.

Введение содержит краткое описание основных результатов диссертации и результатов других авторов, соответствующих теме диссертации

Первая глава состоится из 6 параграфов и посвящена рассмотрению обобщенно-однородных систем уравнений переменного класса.

Здесь мы названием мы рассматриваем систему дифференциальных уравнений

1!х{

— = /1(х1,^,хп), 1 = 1,...,п, (1)

где правые части (1) являются обобщенно-однородными функциями порядка р из класса переменной матрицы А(х, с)

А(х, с) =

(2)

к-

1,] = 1, ...,п, — символ Кронекера, р^ —целые

неотрицательные числа, причем а^ —четные числа, с — параметр, причем с Е (—1 — 1,1 + 1), 1> 0 функции ..., г^), таковы что а&Т £г1а<Р1-1Ч1(г1,...,г1-1)ач<1, ц1(0,.0)>0, ¿ = 1,...,п.

Вспомогательных система = + Чь(21, ,21-1)2^1+1, ^ = 1, ...,п, имеет единственную особую точку 0(0,... ,0). При сделанных

предположениях относитольно а^р^^^ и функции , определенной по формуле

СР1Х1

21 = а1--Л = 1...п (3)

11 — а^ ...,

В параграфе §1.1 дается понятие обобщенно-однородной функции и некоторые её свойства.

Определение 1. Вещественная вектор-функция f(x), определенная и

непрерывная в области Б с Яп, называется обобщенно-однородной порядка р класса матрицы А(х, с), если она удовлетворяет соотношению

Г(2) = С*3(2,ХЖХ), (4)

где 2 = А(х, с)х непрерывно дифференцируема по х Е Б и по

пораметру с Е (а, Ь), 3(г, х) —матрица Якоби. Считаем, что 1 Е (а, Ь).

В параграфе §1.2. исследуются системы переменного класса. Под этим понимается, что матрица А(х,с), которая определяет класс обобщенно-однородной функции зависит явно от (хг, ...,хп). В работах В. И. Зубова и В. В. Хоменюка также даны определения обобщенно-однородных функций порядкар класса матрицы А(х, с), но в них предполагается с меняющимся в (—ю,ю), а элементы А(х,с) считаются голиморфными функциями переменых х±, ...,хп и с. Однако если отбросить условие голоморфности, то в общем случае параметр с будет меняться на конечном интервале.

Приведем необходимые и достаточные признаки того, чтобы вектор-функция /(х), была обобщенно-однородной прядкар класса заданной матрицы А(х, с).

Теорема 1. Для того, чтобы вектор-функция f(x), определенная и непрерывно дифференцируемая в Б, была обобщенно-однородной порядка р

класса заданной матрицы А(х, с), необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла системе уравнений в частных производных

3(Г,х)<р(х) = рГ(х) + з(<р,х)Г(х),

(5)

где 3(1, х) =

9Г1

дх]

, 3(<Р,х) =

д<Р1

дх]

Ь,] = 1,... ,п, - матрца Якоби

ф(х) = со1оп[^1(х), ...,<рп(х)], /(х) = со1оп[/1(х), ...,/п(х)]. Доказательство необходимости получается из равенство

дШ

йг

— = рсР 1 ас

дхI

!(х) + Ср

дх^дс

Г(х).

д2^ дщ -= с 1-,

дХ]дс дхI

dz

3(Г(г),г)— = рсР-13&х)Г(х)+ 3(ф),х)Г(х) С учетом А(х, 1) = Е, г1\с=1 = хь I = 1, ...,п.

А доказательство достаточности, получается из следующих равенство

3(Г(г),г)у(г)—рГ(г)—3(Ф),г)Г(г) = 0.

(6)

ф(х,с)=Г(г) — сРЗ(г,х)Г(х),

Лф

= 3(1(г)>г)<Р(г) — рсрЗ&х)Г(х) — с?3(ф(г),г)3(г,х)Г(х)

с—— = рф(х, с) + 3(ф(г), г)ф(х, с) ас

■ф(х, 1) = 0.

Пример скалярной функции непеременного класса:

-И.

/(х1,.,Хп) =^^М11..лпх'1~(р1 + Ц1Х±г>) ... Хп(рп + Япхпп)

1п

*п\ ап

(7)

где р5 > > 0, б = 1,... ,п, а суммирование должно быть распространено на все решения целых и положительных числах уравнения

Р1к+Р2Ь + -- + Рп1п = р,р*рьЛ = 1,...,п (8)

Функция (7), обобщенно-однородной класса матрицы

1

1 + х?1 — (1 — са^) 1 Рь

1,) = 1,...,п (9)

Порядкар, где — символ Кронекера.

В параграфе §1.3. рассматриваются специальные решения системы дифференциальных уравнений, и на основе их и определяющих уравнений троятся решения дифференциальных уравнений.

Параграф §1.4. Посвящен существованию О+ и О- кривых .

Определение 2. специальными (простейшими) решениями системы

назовем

= ^(х1,...,хп), ¿ = 1,...,п, (10)

_1 _1 х = А(а, т)а, т = (с0 + €) р, х = А(а,т)а,т = (с0 — €) р,

специальными (простейшими) решениями

где

а = (а1,..., ап), а = (сс1,..., ап)

решения

определяющих уравнений системы

(р^,...^^+ р^(х1,...хп) = 0, 1 = 1,..п, (11)

(р1(х1,...,хп)-р^(х1,...хп) = 0, 1 = 1,.. п. (12)

Теорема 2 [10] Специальными решениями (10) будут

х1 = г() и х1 = г(), I = 1,..., п,

определение формулами (13) и (13 а), являются соответственно 0+ и О-кривыми [10], где

-Е±

^ _(Со+У PWi_

XI = г^) = —, =, (13)

— (Сп+П) Р р 1 ^0

1 = 1, ...,п, ге [0,+то), с0 > 0

и

_Р±_

*=ъ® ^ с° !2р , (13а)

1 = 1, ...,п, 1Е(-ю,0], с0 > 0.

Доказательство этой теоремы строится кратко из следующих рассуждений.

Если мы установили для всех I = 1,... ,п, 1г()1 ^ 0 при t ^ 1г()1 ^ 0 при t ^ —то. Это соотношение видно из явного вида функций г^Ю и г^^).

Пользуясь понятием определяющих уравнений вида

Ф1(х±) _ Ф2(Х1,Х2) = = фп(Х1,...Хп) А(%1, .■■ ,%-п) /2(х1, .••, п(х1,.--,хп)

и следующим определением

(14)

Определение 3. Кривые х^ = г^Ю и х^ = г^^), определенные формулами (13) и (13 а) и удовлетворяющие уравнениям (14), следуя работам

[А. А. Шестаков] назовем критическим кривыми, вдоль которых в особую точку 0(0,... ,0) могут входить интегральные кривые системы (10).

В параграфе §1.5. Систему дифференциальных уравнений (10) сведем к системе Пуанкаре - Ляпунову [37]

ду

= — [3(<Р, а) + 03(1, а)]у + Ч(у), (15)

где

3((р, а),3(/, а) —матрицы Якоби , а = (а1,..., ап) вещественное решение (11), ^(у) —т вышего порядке, где

у = (у^_, ...уп),т = (с0 + £) р ,^-порядок обобщенно- однородной функции (10), со > 0.

Очевидно, когда система содержим линейную часть, ее легче исследовать.

В параграфе §1.6. Рассматривается вопрос о бифуркации системы дифференциальных уравнений.

В параграфе §1.7. Рассматривается топологическая эквивалентность систем дифференциальных уравнений.

Глава 2, состоится из 6 параграфов, посвящена изучение системы «Треугольного» вида.

В параграфе §2.1. Изучаются свойства, треугольной системы Теорема 3. Выражения

-Р1

^ _(со + У pWi_

X; = г() = —, (16)

i ; I Щ а,р,+р ' 4 '

ЩМ,- 1 ^ ——

' Гъ —

1+—^}1-с(со+Л) р Я;(г1,...,г;)(1г1

и 1 ^0

Pi_

_ ( C0 — t) pWi

Xi =m = 4 a-*ai t «jpj+p _ ' (16а)

^l1—^j-fcto-1(Co—'n) p qi(Zi,^,Zi)dr]

где c0 > 0, будут специальными решениями (соответственно О+ и О-кривые) системы d Xi

— = fi(Xi,...,Xi), i = 1,...,n тогда и только тогда, когда вещественные числа

ws, щ, s = 1,...,n являются решениями соответственно определяющих уравнений [ 37]

(ps(xi,...,xs) +pfs(xi,...xs) = 0, (17)

<ps(xi,...,xs)—pfs(xi,...xs) = 0. (17 а)

В параграфе §2.2. Рассматривается вопрос о размерности О —кривых системы.

В параграфе §2.3. Исследуются вопросы ограниченности решений.

В параграфе §2.4. Дается критерий того, чтобы все решения системы (1) были О+ и О- кривыми .

Теорема 4. Если р —четное, pi(i = 1, ...,n) —нечетные числа, то для того, чтобы все решения системы (1) были 0+ — кривыми ( О- — кривыми), необходимо и достаточно, чтобы все fi<0( все fi > 0)( i = 1, ...,n). При этом для О+ и О- — кривых имеет место асимптотические формулы

Pi

lim xi(t)(co + t)p =Wi,

Pi

lim xi(t)(c0 — t)p = (—1)Piwwi, i = 1,...,n,

где

wi и = 1, ...п соответственно решения определяющих уравнений

Р1Х1 + РК(х1,.~,хд = 0, 1 = 1,...,п, —Р№ + РК(*1, .,*д = 0, 1 = 1,...,п.

В параграфе §2.5. Рассматривается критерий асимптотической устойчивости в целом нулевого решения системы. Имеет место

Теорема 5. Пусть р —четное, р^(1 = 1, ...,п) —нечетные числа и ^ ф 0,1 = 1,...,п. Тогда нулевое решение системы (1) будет асимптотически устойчивым в целом тогда и только тогда, когда все ^ < 0, I = 1,...,п.

В параграфе §2.6. Изучается грубость асимптотических свойств решений системы.

Глава 3 состоит из 5 параграфов и посвящена исследованию поведения решений разностных уравнений, здесь впервые исследуются разностные уравнения когда правые части являются обобщенно- однородным функциями.

В параграфе §3.1. Рассмотрим систему

х(г + к) = /(х(^), (18)

где

х = (х1, ...,хп),/ = (^, —непрерывно-дифференцируемые в

области Б с Яп, к —натуральное число, t —принимает дискретные значения.

Определение 4. Вещественную вектор-функцию f(x), определенную и непрерывно дифференцируемую в области Б с Еп назовем обобщенно-однородным порядка р класса матрицы А(с), с е (—1 — Ь,1 + Ь),Ь > 0, если Г(А(с)) = [А(с)УГ(х),р>0. (19)

Теорема 6. Если х = хЮ —решение системы (18), то

£

х(Я = [А(с)]Р~кха) также является решением системы (18).

Доказательство теоремы 3.1 получается непосредственной подставим (19) в (18 ) и не сложными выкладками.

Следствие 1. Если \ = ж —вещественное решение определяющей

системы /(х) = х, то х(£) = [А(с)]р —специальное решение системы (18).

В параграфе §3.2. Система (18) приводится к системе Пуанкаре - Ляпунова вида

у(1 + к)=Я(Г^)уЮ + 1р(у), (20)

где

0(1, —матрица Якоби. Справедлива.

Теорема 7. Если система f(x) = х имеет вещественное решение х = w, то матрица 3^, w) линейной части системы (20) имеет собственное число, равное к^р.

Следствие 2. Если система (20) такова, что к = 1, то собственное значение матрицы Д(/, ж) равно р.

В параграфе §3.3. Рассматривается ссуществование 0+ —кривых. В параграфе §3.4. Рассматривается система вида

п

У&+1)=У&)^Ь1]У*Ю, } = 1.....п. (21)

]=1

К системе (21) сводится система вида

т

+ 1) = х&) £ а^Ц).....хРпт\1)

]=1

степенным преобразованием [10]

у1 = х1 х2 ••• хп >

_ ~а21~а22 ~а2п

У 2 = х1 х2

х

п

(22)

л. _ ^п! ап2 ^пп уп = х1 х2 ••• хп •

Теорема 8. Если р —четное число и ранг матрицы \\Ь1 ¿\\> 1>] = 1> •..> правен г = п — 1, то для того, чтобы особая точка 0(0> •.. >0) системы (21) была единственной, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы одно из чисел к1>к2> •.. > кп-1, выражающих линейную зависимость между столбцами матрицы \\Ь1] \\> 1>] = 1> •.. >п, было положительным.

В параграфе §3.5. Рассматривается треугольная системы.

Система (18) называется треугольной , если правая часть её зависит от неизвестных с числом, равным номеру уравнения. Мы рассматриваем «треугольную» систему

«Я = Гз(*1.....х5),

(23)

где б = 1> ^>п> /3(0> • >0) = 0 - единственная особая точка 0(0> •.. >0). Функции (23) fs(хп> •..>х5)> 5 = 1> ...>п определены в области Б, непрерывно дифференцируемы до порядка V > 0 и удовлетворяют соотношению

•..>тЪXs) = :.>хт)>

(24)

где те(—ю> +гс>). Имеет место

Теорема 9.

1)Пусть р- четное, р5(б = 1, ...,п) нечетные числа, тогда для того, чтобы все специальные решения

х3&) = 63т™\5 = 1,...,п) (25)

Системы (23) с начальным данными |х5(0)| < 1 были 0+ -кривыми необходимо и достаточно, чтобы 0 < 1д51 < 1.

2) Пусть р и р^ - числа нечетные. Тогда для того, чтобы все специальные решения (25) системы (23) с начальными данными |х5(0)| < 1 были 0+ -кривыми, необходимо и достаточно, чтобы 0 < д5 < 1.

3) При указанных в пункте 1) условиях тривиальное решение асимптотически устойчиво.

Глава I. Об обобщенно-однородном системы уравнении переменного

класса.

В этой главе мы рассматриваем обобщенно-однородные функции, специальные решения, О —кривые. Уравнения нелинейные и поэтому мы стараемся с помощью системы Пуанкаре-Ляпунова оценить те решения, которые мы ищем.

§ 1.1 Некоторые определения и свойства.

Определение 1.1. Вещественная вектор-функция f(x), определенная и

непрерывная в области Б е Яп, называется обобщенно-однородной порядка р класса матрицы А(с, х), если она удовлетворяет соотношению

Г(г) = сРд(г,х)Г(х), (1.1.1)

где 2 = А(с, х)х непрерывно дифференцируема по х е Б и по параметру с е (а, Ь), 3(г, х) —матрица Якоби. Будем считать, что 1 е (а,Ь),

А(1,х) = Е —единичная матрица и А(с, х) определяет дифференциальное уравнение

сТс = 9(г1 (112)

Для удобства запишем систему дифференциальных уравнений в виде йх

-а = кл

где

f(0) = 0. Если правая часть системы (1.1.3) удовлетворяет равенству (1.1.1), то имеет место предложение [1].

Теорема 1.1 Для того, чтобы функция f(x), определенная и непрерывно-дифференцируемая в Б, была обобщенно-однородной порядка р класса матрицы А(с, х), необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла уравнению

3(Г, х)(р(х) = [рЕ + 3(<р, х)]Г(х), (1.1.4)

где

Ж/,х) —матрица Якоби, <р(х) —правая часть равенства (1.1.2) при г = х, Е —единичная матрица. Равенство (1.1.4) является обобщением формулы Эйлера [1] для однородных функций.

Доказательство равенства (1.1.4) проводится дифференцированием соотношения (1.1.1) по с и подстановкой с = 1 с учетом (1.1.2).

Следствие 1.1. Функция ф(х) является обобщенно-однородной нулевого порядка класса той же матрицы А(с, х).

Доказательство следствия 1.1 следует из равенства (1.1.4), если положить в (1.1.4) р = 0.

Теорема 1.2. Если (1.1.3) имеет интегральную кривую х = х(1, х°), то любая кривая семейства

х = А(с,х(ср^х0))х(ср^х0) = х^,А(с,х0)х0) (1.1.5)

также является интегральной кривой системы (1.1.3), причем (1.1.5) заполняет каноническую поверхность, вершина которой лежит в начале координат 0(0,0,... ,0), направляющим множеством является интегральная кривая х = х^,х°).

Доказательство этого предложения проводится непосредственной подстановкой (1.1.5) в (1.1.3) с учетом (1.1.2).

Следствие 1.2. Окрестность начала координат, фигурирующей в теореме Н. Н. Красовского [4], для системы (1.1.3), где f(х) удовлетворяет равенству (1.1.1), может быть любой ограниченной областью, содержащей начало координат.

Пример. Скалярная функция

а I а

^...^х^^ + я^1) 1 ...х^^Рп + ЯпхП,71) ап, (1.1.6)

где ап, р5 (б = 1,... ,п) известные натуральные числа и р5 > я5 > 0, а знак X должен быть распространен на все решения целых и положительных числах уравнения

Р1к+Р2к + - + РпЧ = Р,Р^Р1, Является обобщенно-однородной класса

1

1+х?1-(1-са^) 1 Рь

1,} = \,...,п (1.1.7)

порядка р, — символКронекера.

Заметим, что преобразование у5 = х5(р5 + Яцх^) класса (1.1.7) не приводится ||8ьуСр'||, хотя функция

й(У1, .,Уп) = ^ а11..лпУ1 .-Уп

является обобщенно- однородной класса||8ьуср'||, порядка р.

Функции ^(х1,...,хп), I = 1, ...,п удовлетворяют соотношению

п

5 дх5

5=1

X (р5(х5)-£ = (Р + Р'^М, (1.18)

1

I = 1,... ,п, в дальнейшем будем кратко записывать в виде

20

и е {(р1(х1), ...,(рп(хп),р + уКх^)}.

Нетрудно показать, если функция [(х1,., хп) дважды непрерывно дифференцируема и

/ е {<Р1(Х1),...,<рп(Хп),р},

то

д/ , , е {^1(х1),.,^п(хп),р — ер'¿х^},

Т.е. частная производная по некоторому переменному х^ от обобщенно-однородной функции есть обобщенно-однородная функция того же класса, что является обобщением известного свойства непрерывно дифференцируемых однородных функций.

§ 1.2. Система переменного класса.

Если в (1.1.1) Д(г,х) не зависит от х, то обобщенно-однородная функция f(x) не относится к переменному классу.

В работах [5, 6] и [14] также дано определение обобщенно-однородных функций порядка р класса матрицы А(х, с), но в них предполагается с изменяющимся в (—го, +го) и элементы А(х, с) считаются голоморфными функциями переменных х1,х2, ...,хп и с. Однако, если отбросить условие голоморфности, то в общем случае параметр с будет меняться на конечном интервале.

Приведем необходимые и достаточные признаки того, чтобы вектор-функция f(x), была обобщенно-однородной порядка р класса заданной матрицы А(х, с).

Теорема 1.3. Для того, чтобы вектор-функция f(x), определенная и непрерывно дифференцируемая в Б, была обобщенно-однородной порядка р

класса заданной матрицы А(х, с), необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла системе уравнений в частных производных

3(Г, х)ф(х) = рГ(х) + 3(<р, х)Г(х), (1.2.1)

где

3(1, X) =

дП

дХ]

3(ф,х) =

дф1

дХ]

, I,] = 1, ...,п,

ф(х) = со1оп[^1(х), ...,<рп(х)], /(х) = со1оп[/1(х), ...,/п(х)]. Доказательство.

Необходимость. Пусть вектор-функция f(x) обобщенно-однородная

порядка р класса матрицы А(х, с). Тогда по определению 1.1 справедливо равенство (1.1.1). Дифференцируя его по параметру с, имеем:

(1г

— = рсР 1 ас

дХ]

/(х) + ср

д221

дх^дс

Г(х).

(1.2.2)

Учитывая равенство (1.1.2), имеем:

-1 дфь

-= с 1-,

дХ]дс дХ]

Тогда равенство (1.2.2) перепишется в виде

dz

°(Г(2),2)Тс = рср-13(ъх)г(х) + 3(ф),х)Г(х).

(1.2.3)

Умножая обе части равенства (1..2.3) на с и воспользовавшись соотношениями (1.1.1) и (1.1.2), получим

МЮЛФ) = рГ(2) + з(ф),х)Г(х).

(1.2.4)

Из условия А(х, 1) = Е, наложенного на матрицу А(х, с) следует, что zilc=1 = Xi, i = 1, ...,п. Тогда, положив в равенстве (1.2.4) с = 1, получим требуемое (1.2.1).

Достаточность. Пусть задано уравнение (1.2.1). Покажем, что тогда вектор-функция /(х) является обобщенно-однородной порядка р класса матрицы А(х, с), т.е. выполняется соотношение (1.1.1). Для этого перепишем равенство (1.2.1) в виде

3(/(z), z)cp(z) - p/(z) - 3(<p(z), z)/(z) = 0. (1.2.5)

Зафиксируем вектор х и введем в рассмотрение новую неизвестную вектор-функцию ф(х, с) = со 1оп[ф1(х, с),..., фп(х, с)] по формуле

ф(х, с) = /(z) - cp3(z, х)/(х). (1.2.6)

Дифференцируя равенство (1.2.6) по параметру с затем умножив обе части на с, получим систему дифференциальных уравнений для вектор-функций ф(х, с)

dp

Cdl = 3(/(z),z)<p(z) - pcp3(z, х)/(х) - сР3(<р(г),г)3(г,х)/(х)

Учитывая равенства (1.2.5) и (1.2.6), последнее перепишется в виде

dip

с — = рр(х,с) + 3(<р(г),г)-ф(х,с). (1.2.7)

Выберем начальное условие для системы (1.2.7).

ф(х, 1) = 0. (1.2.8)

В силу теоремы единственности линейная задача Коши (1.2.7) (1.2.8) имеет единственное нулевое решение ф(х, с) = 0.

С другой стороны решением задачи Коши (1.2.5), (1.2.6) является вектор-функция, определенная формулой (1.2.6). В самом деле, ф(х, с) из (1.2.6) удовлетворяет уравнению (1.2.7) и при с = 1 имеем:

ф(х, 1) = /(х) — Е/(х) = 0, т.е. из (1.2.6) имеем (1.1.1). Теорема доказана. В дальнейшем будем считать, что матрица А(х, с) имеет вид

А(х,с) =

11 — а^х"1 1qi(zll...,zi-1)di7

(1.2.9)

где Sij-символ Кронекера,

Pi =

ki

2lt + 1

kt, li, at — целые

неотрицательные числа, причем at —четные, kt —натуральные числа, qi(z1,..., zi-1) —заданные функции своих аргументов, дифференцируемых по z1,...,zi-1 под знаком интеграла, причем^(0,... ,0) >0, i = 1,... ,пи qt = const > 0, а функции zt, i = 1, ...,п определяются по рекуррентной формуле

CPiXi

Zi =

(1.2.10)

1 — KiX^ ¡1^iJaiPi 1qi(z1,... ,zi-1)dri]

и

с

а&Т J VaiPi-1qi(z1,..., Zi-1)dn < 1

Легко видеть, что равенство (1.1.2) имеет вид:

dzi . ✓

c — piZi + qi(Z1.....zi-1)zi^ =Vi(Z1,...,Zi), i = 1,.,п. (1.2.11)

а

а

1

При наложенных выше условиях система (1.2.11) имеет единственную особую точку 0(0, ...,0).

Теорема 1.4. Функции ^¿(х1, ...,х{), I = 1, ...,п, определенные равенством (1.2.11), являются обобщенно-однородными функциями нулевого порядка класса заданной матрицы А(х, с). Особая точка 0(0,... ,0) системы (1.2.11) неустойчива по Ляпунову [7].

Доказательство. Доказательство первой половины теоремы следует из равенства (1.2.1), если положить в ней р = 0, f = ф.

Доказательство второй половины теоремы 1.3 следует из функции Ляпунова

х(г±^2) > 0, 1-1,.,п.

§ 1.3 Специальные решения

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений йх^

— = f¿(х1,...,хn), Ь = 1,...,п, (1.3.1)

где f¿(х1,... ,хп), I = 1,...,п — обобщенно — однородные функции

порядка р класса матрицы А( х, ). Предположим, что правые части f¿(х1,...,хп), I = 1, ...,п системы (1.3.1) заданы в области

0:\\х\\ = М

п

£х2 <е

¿=1

и непрерывно дифференцируемы там по всем своим аргументам до порядка включительно. В случае будем считать также, что функции f¿(х1,...,хп), I = 1, ...,п удовлетворяют некоторым условиям единственности решений системы (1.3.1).

Пусть далее в области Б системы (1.3.1) имеет единственную особую точку 0(0,... ,0). Дадим явный вид некоторых решений системы (1.3.1). Для этого в решении г^ уравнения

с— = ф1(г1,...,г1), 1 = 1.....п,

определяемых по формулам (1.2.10), перейдем к параметру по формуле

с = (c0±t) р, t Е (—т, +т),

где с0 = const >0, р —порядок обобщенно-однородной функции fi(x1,...,хп), i = 1, ...,п, причем знак «+» соответствует значениям параметра t > 0 и знак «-» соответствует значениям параметра t < 0. Переменные xt, i = 1,..., п, входящие в формулу (1.2.10) играют роль параметров, но зависящих от с. Их мы будем обозначать через wt,i = 1, и считать, что (w1,..., wn) Е D. Тогда имеем:

,п

Pi

= zi(t) =

(Co+t) PWt

a- a

ui I a;W;

aiPj+P P

1+-L^!1-c(Co+l) p qi(zi,.,zi-1)d71

(1.3.2)

i = 1,...,n, tE [0,+m), c0>0

и

Pi

Xi = Zi(t) =

(Co — t) PWi

ail <XiW? rt

aiPj+P P

'qi(zi,.,zi-1)dT]

i = 1,...,n, t E (—m,0], c0 > 0

(1.3.3)

Введем в рассмотрение общую систему определяющих уравнений системы (1.3.1). Для этого подставим в систему (1.3.1) функции (1.3.2), записав их в общем виде

i

п

Ъ = I (Со + о р

]=1

wj,i = 1, ...,п.

Тогда, учитывая определение обобщенно-однородных функций и формулу (1.1.2), получим

п

}=1

Х1 = w1

1, ..^п) =0

(1.3.4)

Хп = Wп

Покажем, что при сделанных предположениях относительно функций

х1,...,хп), I = 1, ...,п уравнение (1.3.4)не зависит от Действительно, по теореме 1.3 функция р^(х1, ...,хп), I = 1, ...,п являются обобщенно-однородными функциями нулевого порядка класса матрицы А(х, с). Равенство (1.3.4) принимает вид

п

I

=1

(1.3.5)

Известно

п

п

п

^^^...^п) * О,!/2^,...^^ * 0при Iw? * 0

=1

=1

=1

и с0 + t * 0, то из (1.1.1) имеем

дхI

* 0,1,] = 1,..,п.

Учитывая оказанное, из (1.3.5) получим

(р^1,... ^п) + рК^1,..^п) = 0,1 = 1,..п

Это доказывает то, что мы утверждали.

(1.3.6)

Чтобы преобразовать систему (1.3.1) введем понятия определяющих

уравнений, специальных (простейших) решений, а также установим связь между определяющими уравнениями.

Определяющими уравнениями системы (1.1.3) называют уравнения

(р^Х!,...^^+ р^(х1)...хп) = 0, 1 = 1,.. п. (1.3.7)

<р1(х1,...,хп)-р^(х1,...хп) = 0, 1 = 1,..п, (1.3.8)

причем а = (а1,..., ап), а = (а{, ...,аП) будут решениями (1.1.3) соответственно (1.3.7) и (1.3.8).

Определение 1.2. Специальными (простейшими) решениями системы (1.3.7) назовем

_г

х = А(а,т)а,т = (с0 + 0 (1.3.9)

1

х = А(а, т)а,т = (с0- г)-р, (1.3.10)

где с_0>0, р>0,А-матрица.

Теорема 1.5. Функции х{ = Ь) их^ = г1(¿), определенная формулами (1.3.2) и (1.3.3), являются специальными решениями системы (1.3.1) тогда и только тогда, когда координаты точек (хм-^,..., шп) и (Щ,..., Щ1) из Б удовлетворяют соответственно определяющим уравнениям (1.3.7) и (1.3.8).

Доказательство. Для доказательства перепишем систему (1.3.1) в виде

= П(г1,...,гп), 1 = 1,.п. (1.3.10)

Найдя—— из (1.3.2) имеем:

а

рь+р

-(с0 + г) р

(X

а

Ь _ -а1Р1+Р

X

Р№ +

■í Г1 —ахРх+Р

—Н (Со + О р Ч1(г1,...,г1-1)йт1 + V к-сп

Рг

+ 1 __

1 (Со + О рд1(г1,.,г1-1)

, 1 = 1, ..п.

(1.3.11)

По определению обобщенно-однородных функций порядка р класса матрицы А(х, с), имеем:

п

V""1

№1,...гп) = (Со + Ъ 1 ^д^-/]^,.--™^, 1 = 1,

п.

(1.3.12)

}=1

Найдем выражения производных -—,...,-—,фигурирующих в правых частях уравнения (1.3.12). Согласно формулам (1.3.2), имеем

дг^

РI —и^р^+р / \

ат+р р

р

1 + ¡1-Со(С0 + ^

-а,р,+р

Р

дт^ Ы

л

-а1Р1+Р

дщ дг^—х

дг1—1

р

аI

ць(г1, .,г1-1)(1г]

—а1Ру+Р

р и1-Со

-Р±

(Со + 1) р

а;

1 + !1-Со(С0 + л) п 4^1,

-а,р,+р

(1.3.13)

I = 1,... п.

Подставив сначала (1.3.13) в (1.3.12), затем перегруппировав сумму интегралов, подставим (1.3.12) и (1.3.11) в (1.3.10). Сократив обе части полученного

а1+1

а

а1+1

а

а1+1

а

соотношения на общий множитель -— ф 0, имеем:

Viwlw" Г1 -аьрь+р

Viwi +--- I (С0+1) р Я1(21,.,21-1)(Т1 +

а.+1 -аи

(с0 + 0 р Я1(г1,.,г1-1) =

а +1 ~ат+р дд1 д7.{

м,1 I (с0+1) р д^д^1(Х1,.,мп)(т1

+маь + 1 Ц Со(С0 + 1) ^ % [^ЛК.....Мп) + .....Мп)] +.

, аь + 1 С ( , дЧ1

Н-С0 д21-1

X

-1

^дг1-1

к &1,..., мп) (1 + vfl(Wl,..., мп)

(1.3.14)

и=1

К (1.3.14) применим интегрирование по частям, положив и = д1(г1,..., г1-1),

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Аль-Асади Бассам Джаббар Джасим, 2017 год

ЛИТАРАТУРА

1. М. Розо., Нелинейные колебания и теория устойчивости. Издательство "Наука", Главная редакция матем. Л-рн, М. , 1971 г.

2. Д. Р. Меркни. , Введение в теорию устойчивости., изд. "Наука", Главная редакция физмат л-рн., М. 1971 г.

3. В.В. Немыцкий, Топологическая классификация особых точек и обобщенные функции Ляпунова, Дифференциальные уравнения, T.III, №3 1967, с.359-370

4. Н. Красовский. , Некоторые задачи теории устойчивости движения., М., физматгиз ., 1959г.

5. В. И. Зубов. , Методы А. М. Ляпунова и их применение. ЛГУ, 1957г.

6. В. И. Зубов., Математические методы исследования систем автоматического регулирования., Л., Судпромгиз, 1959г.

7. А.А. Шестаков Об асимптотическом поведении многомерных систем дифференциальных уравнений ,// Уч. записки. ВЗИИЖТ, вып7., М 1961, с.3-102.

8. А. О. Брюно., Степенные асимптотики решений нелинейных систем., известие АН СССР, сер. мат. 29, 1965, стр. 329-364 .

9.Л. А. Беклеммива. Некоторые решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений с полиномиальной правой частью., Диф. Уравнения, т. 1971г. УП, р9, стр. 1547-1559, т. УП, р10,стр. 1739-1951, т. УП, стр. 1946-1959.

10. А. Р. Эфендиев. , Кандидатская диссертация, М., 1962г.

11. А. Р. Эфендиев. , Об устойчивости одной нелинейной системы., ученые записки ДГПИ, стр. 144-148. Дагучпедгиз, 1966г.

12. А. Р. Эфендиев. , системы дифференциальных уравнений с обобщенно-однородными правыми частями., ученые записки ДГПИ, стр. 134-143., Дагучпедгиз, 1966г.

13.П. А. Папуш. Изучение расположения интегральных заполняющих область, содержащую одну особую точку., кат. Сборник, т. 38, вып. 3, 1956г.

14. В. В. Хоменов., О системах обыкновенных дифференциальных уравнений с обобщенно-однородными правыми частями., Известия вузев.,23, ст. 157-165, 1961г.

15. Marqus. Quadratic differential équations and nonassociative algebras/ contributions to the Theory of Nonlinear Oscillations, Vol. 5, pp. 185-213, 1961.

16. Л. Э. Райзинь., Локальная эквивалентность дифференциальных уравнений. Изд. "Зинатве", Рига, 1971г.

17. Е. А. Барбашин., Введение в теорию устойчивости движения., "Наука", М., 1966г.

18. Е. А. Барбашин., Функции Ляпунова. "Наука", М.,1970г.

19. В. В. Немыцкий и В. В. Степанов., Качественная теория дифференциальных уравнений., М-Л, 1949г.

20. В. И. Арнольд., Обыкновенные дифференциальные уравнения., Изд. "Наука", Главная редакция физмат л-ры, 1971г.

21. А. А. Андронов Е. А. Леонтович, И. И. Гордон, А. Г. Майер., Теория бифуркации динамических систем., М. Изд. "Наука", Главная редакция физмат л-ры, 1967г.

22. Ф. Трикоми., Дифференциальные уравнения., М., 1962г.

23. А. Пуанкаре., О кривых определяемых дифференциальными уравнениями, Гостехиздат, 1947г.

24. И. Г. Петровский., О поведении интегральных кривых системы дифференциальных уравнений в близи особой точек., Дополнение к главе ху 1 А. Пуанкаре., О кривых определяемых дифференциальными уравнениями, Гостехиздат, 1947г.

25.В. В. Еругии. Некоторые общие вопросы теории устойчивости

движения. , ПНН. тХУ, вып. 2, стр. 227-236, 1951г.

86

26. А. М. Ляпунов. , Обещал задача об устойчивости движения., Гостехидат., 1950г.

27. В. И. Рдович., Математические вопроси теории устойчивости движений и дикости. Доктореная диссертация, Институт проблем механики АН СССР, М., 1972г.

28. И. Г. Малкин. , Теория устойчивости движения., ГИТТЛ, 1962г.

29. С. Лефшец. , Геометрическая теория дифференциальных уравнений. М., 1961г.

30. А. Х. Джасим, Б. Д. Д. Аль - Асади,. Об одной системе типа Брио -Буке, ДГУ, Материалы VI Межд. научной конференции «ФДУ и их приложения», 2013, с. 121 - 123

31. Б. Д. Д., Аль - Асади, А. Х. Д. Джасим, А. Р Эфендиев, Об обобщенно - однородных системах дифференциальных уравнений .//Вестник ДГУ, 2014, Вып.1, с. 68-72

32. Б. Д. Д., Аль - Асади, О свойствах разностной системы, успехи современной науки ,2016, N0.3, Тот 2, с. 105-107

33. Б. Д. Д. Аль - Асади, Об одной треугольной обобщенно -однородной системе дифференциальных уравнений.//Вестник ДГУ, 2015, Вып.6, с. 131-134

34. Б. Д. Д. Аль - Асади, Об одной треугольной обобщенно -однородной системе дифференциальных уравнений.//Материалы VI международной научной конференции посвященной 80-летию профессора Г.А. Магомедова 21-24 сентября ,2015, с.27-28

35. Б. Д. Д. Аль - Асади, Об одной обобщенно - однородном дифференциальном уравнении, Актуальные проблемы математики и смежные вопросы, Сборник научных трудов межвузовского семинара, Махачкала, 2015 с.7-8

36. А. Х. Катхим, А. Р. Эфендиев, Об одном приложении обобщенно -однородных функций к исследованию гипотезы подобия. Вестник Дагестанского научного центра 2013, № 48, с. 5 - 9.

87

37. А. Р. Эфендиев, Программа и методические указания к спецкурсу «Избранные главы качественной теории дифференциальных уравнений», Махачкала, 1983.

38. Э.А. Эфендиева., Об одной системе разностных уравнений высших порядков //ФДУ и их приложения , 2002, вып. 4, с.92-94.

39. А.Р Эфендиев. Об одной разностной системе // Актуальные проблемы математики и смежные вопросы. Труды межвузовского семинара, Махачкала, 2015, с.92-93

40. А.Х. Катхим, А.Р Эфендиев. Краевая задача системы с параметром , // Вестник ДГУ -2013-Вып.1- С.103-110.

41 . Г. Н. Исаев и А. Р. Эфендиев., об одном классе системы дифференциальных уравнений. , сборник научных сообщений (политическим и техническим наукам), Махачкала ДГУ, часть III, 1977г., с.167-174.

42. Г. Н. Исаев, А.Р. Эфендиев. , об обращении теорем Ляпунова для нелинейных систем дифференциальных уравнений с обобщенно-однородными правыми частями // РГУ, Ростов-на-Дону ( Деп. В ВИНИТИ, 1985, N0 8636-В, 19с.

43. А.Х. Катхим, А.Р Эфендиев. Существование и единственность решения интегро- дифференциальной системы // Вестник ДГУ-2013-Вып.1 С. 91-102.

44. А. Х. Катхим, А.Р Эфендиев. , О краевой задаче дифференциально-функциональны уравнений // Вестник ДГУ . -2012.- Вып. 6-С. 93-100.

45. А. Х. Катхим, Ю.И. Сапронов, Н.С. Уварова, А.Р. Эфендиев. , Многоточечные краевые задачи и конечномерные редукции в бифуркационном анализе экстремалей // Вестник ДГУ . -2012.- Вып. 6-С. 86-92

46. А.Х. Катхим, А.Р. Эфендиев. , «Об одной краевой задаче. ,

//Материалы У-Международные конференции по ФДУ и их

приложениям , Махачкала ,2011 г., с.153-156.

88

47. А.Х. Катхим, А.Р. Эфендиев. , Краевая задача системы интегро-дифференциальных уравнений. Моделирование производственных процессов и развитие инфо систем // Сборник научных статей по материалам IV-й Международной научно-практической конференции, г. Ставрополь, СГАУ, 28-29 сент. 2012г., с. 152-160.

48. А.Х. Катхим, С.А. Аль-Джоуфи, М.Д. Джасим, А.Р Эфендиев. , О свойствах одной нелинейной системы //Материалы Международной конференции «Мухтаровские чтения», «Актуальные проблемы математики и смежные вопросы», Махачкала, ДГТУ, 2012, с. 100-104.

49. А.Х. Катхим, Салах-Али Аль- Джоуфи. , О знаке функции Грина краевой задачи для дифференциального уравнения пятого порядка //Материалы Международной конференции по ФДУ и их приложениям , Махачкала ,2011 г., с.153-156.

50. Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: Лань , 2010, 386 с.

51. С.А. Аль-Джоуфи, А.Х. Катхим, М.Д. Джасим. , Законы распределения нулей решений линейного дифференциального уравнения 6-го порядка // Сборник научных статей по материалам IV-й Международной научно-практической конференции, г. Ставрополь, СГАУ, 28-29 сентября 2012г., с. 103-109.

52. 48. А.Х. Катхим, Изучение прогибов кирхгофова стержня посредство редукции Морса-Ботта / Ю.И. Сапронов , К.А. Хуссейн.//Воронежская зимняя математическая школа С.Г.-2012Материалы международной конференции.2012,С 196-201.

53. C., T. Briot I., Bouquet ole Ecoltpoly technique, 1952, V. 21, p. 85 - 132.

54. А.Р. Эфендиев, О свойствах одной обобщенно-однородной системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом ФДУ и их приложения // Меж вуз. Н.- тех. ст, ДГУ 2009, вып.5, с. 116-119

55. М.Д. Джасим, А.Р. Эфендиев Об области влияния особой точки нелинейной системы дифференциальных уравнений специального вида// Вестник ДГУ. Естественные науки, 2012, вып. 1, с. 54-63.

56.С.В. Исраилов, Метод отображений для исследования обобщенной многоточечной задачи функционально- дифференциальных уравнений, Математическая морфология //Электронный матем. И медико- биол. Ж .Т.9, 2010, вып. 1 с. 1-15.

57. М. Пародии, Локализация характеристических чисел матриц и ее применения, М., 1960, с.92

58. Р. Беллман , Динамическое программирование. М., 1960.

59. Р. Беллман, В ведение в теорию матриц, науке, М. 1969.

60. А. Халанай, Д. Векслер, Качественная теория импульсных систем, М., 1971 г.