Свойства корреляторов калибровочных теорий поля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Морозов, Андрей Алексеевич

• Морозов, Андрей Алексеевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Морозов, Андрей Алексеевич

Оглавление

1 Введение

1.1 Содержание диссертации

1.2 Результаты, выносимые на защиту диссертации

2 Конформная теория поля

2.1 Теория свободных полей

2.2 Свободная теория с с ф 1

2.3 Корреляторы в свободной теории

2.4 Четырехточечный конформный блок

2.5 Форма Шаповалова

2.6 Тройные вершины

2.6.1 Тройные вершины Г

2.6.2 Тройные вершины Г

2.7 Диаграммная техника

2.8 Подсчитанные тройные вершины

2.9 алгебра

2.9.1 Тройные вершины в алгебре И^3'

2.9.2 Вычисления в свободной теории поля

2.9.3 Примеры тройных вершин

3 АГТ-соотношение

3.1 Функция Некрасова

3.2 АГТ-соотношснис для конформных блоков на сфсрс

3.2.1 и (1)-фактор

3.2.2 Четырехточечный конформный блок

3.2.3 Пятиточечный конформный блок

3.2.4 Шеститочечный конформный блок

3.2.5 тг-точечпый конформный блок

3.2.6 Симметрии

3.2.7 Выбор диаграмм

3.2.8 Явные вычисления для АГТ-соотношения

3.3 АГТ-соотношение для конформных блоков на торе

3.3.1 Предел больших масс

4 Теория свободных полей и интегралы Сельберга

4.1 С£1+аа+ьлг на первом уровне

4.2 С£+п*+ш на втором уровне

4.3 Обобщение на высшие уровни

4.4 Переход от операторного разложения к конформному блоку

4.5 Интегралы Сельберга и их обобщение

5 Теория Черна-Саймонса

5.1 ХОМФЛИ в фундаментальном представлении

5.2 Полиномы ХОМФЛИ торических узлов

5.3 Обобщенные ХОМФЛИ и т-функции

5.3.1 т-функции

5.3.2 Сравнение ПК{Щ и т{1}

5.4 Цветные полиномы ХОМФЛИ для узла 4г

5.4.1 ХОМФЛИ для произвольного антисимметричного представления

5.4.2 Проверка цветного ХОМФЛИ

5.4.3 Проверка гипотезы Оогури-Вафы

5.4.4 Цветные суперполнномы узла-восьмеркп

5.4.5 Разностные уравнения на полиномы ХОМФЛИ и суперполиномы102

6 Заключение

Глава

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Свойства корреляторов калибровочных теорий поля»

Введение

Квантовая теория поля возникла в результате слияния квантовой механики и классической теории поля. Она, с одной стороны, включает в себя вероятностную картину мира и принцип неопределенности, а. с другой стороны, учитывает ограничения, связанные со специальной теорией относительности. Теории такого типа позволяют описать основные процессы, связанные с физикой элементарных частиц, атомной физикой и физикой твердого тела.

Аппаратом квантовой теории поля из квантовой механики был заимствован такой важный принцип, как разделение величии па наблюдаемые и ненаблюдаемые. Согласно данному принципу, любой величине, которую можно измерить, соответствует наблюдаемая теории, то есть среднее значение соответствующего ей оператора. В квантовой теории поля средние значения такого типа соответствуют корреляционным функциям. Таким образом, любые физические процессы в квантовой теории поля описываются некоторыми корреляционными функциями (корреляторами). В рамках данной работы рассмотрены свойства корреляторов двух моделей квантовой теории поля: трехмерной теории Черна-Саймонса и двумерной конформной теории поля, а также связь последней с суперсиммстрпчнымп теориями.

Суперсимметричные теории в настоящее время широко изучаются в теоретической физике. Суперсимметрпя — это симметрия, связывающая бозоны и фермионы — частицы с целыми и полуцелыми спинами соответственно, которые по этой причине описываются различными законами и распределениями. Согласно этой гипотетической симметрии для каждого бозона (и квантового поля, ему соответствующего) существует парный ему фермпон, и наоборот. Существование такой симметрии было предположено в работах В.Акулова, Д.Волкова. Ю.Гольфанда и Е.Лихтмана [1, 2, 3, 4, 5]. Данная симметрия имеет очень широкое применение, как в теории струн, так и в других областях теоретической физики, но экспериментальных свидетельств суперсимметрии в физике элементарных частиц пока не обнаружено. N = 2

суперсимметричная теория, которая изучается при рассмотрения АГТ-соотношения, обладает двумя симметриями такого типа.

В работе Н.Зайберга и Э.Вит гена [6, 7] была подробно рассмотрена такая Л/" = 2 суперсимметричная теория Янга-Миллса. Такая теория включает в себя четыре различных поля: два бозонных — векторное Аа и скалярное фа, и два фермионных — ■фа и А0. Такая теория описывается лагранжианом

+ + (¿И)^ - А?~ (1 1}

-/Аст^А - ¡.фа'^^ф - ¿^2[А- 1л/2[Х,

Из-за наличия суперсимметрни эффективное низкоэнергетичное действие такой теории всегда можно представить с помощью голоморфной функции Т, называемой препотенциалом:

5 = — 1т / ¿4тТг 4тг /

Т"(ф)\д,ф\2 + Г{ф) - гРП + ...

(1.2)

Специфика N = 2 суперсимметричной теории состоит, в том числе, в наличии в ней дуальности. Математически эта дуальность выражается формулой

¿Щф) дТр(фв)

где фр — формально введенное, согласно этой формуле, дуальное поле.

Помимо известной ранее формулы для препотенциала. рассчитанной по теории возмущений,

?реп(ф) ~ (1-4)

Н.Зайберг и Э.Виттен также предложили метод, позволяющий получить точное выражение для препотенциала. не требующий тсоретико-полевых вычислений. Проблема теоретико-полевых вычислений такого точного выражения состоит в необходимости учета инстантонных поправок. Инстантопы не являются минимумом действия, то есть решениями классических уравнений движения в теориях со спонтанным нарушением симметрии (тогда как ответ строится для некоторого вакуумного среднего а, то есть в теории со спонтанно нарушенной симметрией). Это приводит с сингулярности инстантонных вкладов.

Один из вариантов регуляризации этой сингулярности был рассмотрен А.Лосевым, Г.Муром, Н Некрасовым и С.Шаташвилп [8. 9, 10]. Суть примененного ими подхода к вычислению инстантонных поправок состоит в том, что производится деформация теории Зайберга-Виттена с помощью двух дополнительных параметров 61 и 62 • При

этом оказывается возможным посчитать интеграл по всем инстантонным состояниям, который выражается так называемой функцией Некрасова.

Четырехмерная N =■ 2 суперсимметричная теория вызывает в последнее время особый интерес в связи с ее предполагаемой связью с двумерной конформной теорией. Л.Алдай, Д.Гайотто и Ю.Тачикава в работе [11] предположили существование такого соотношения, получившего название соотношения Алдая-Гайотто-Тачикавы (АГТ-соотношения) или гипотезы АГТ. Согласно высказанной ими гипотезе функция Некрасова равна конформным блокам — голоморфной части корреляторов конформной теории поля. Данное соотношение позволяют решить ряд задач, связанных как с суперсимметричной теорией, так и с конформной теорией. Так, с помощью вычислений в конформной теории было получено выражение для препотенциала в суперсимметричной теории с четырьмя безмассовыми мультиплетами в фундаментальном представлении [12].

Первая часть работы посвящена различным вопросам, связанным с двумерной конформной теорией. Конформной теорией поля [13, 14] называется модель квантовой теории поля, инвариантная относительно конформных преобразований. Эти преобразования, являющиеся прямым обобщением масштабных преобразований, сохраняют углы между любыми двумя направлениями, но не сохраняют расстояния. Конформная теория имеет непосредственное отношение к физике твердого тела, в частности, к теории фазовых переходов [15, 16]. Наиболее интересный случай конформной теории — это двумерная теория, потому что только в этом случае множество генераторов в теории бесконечномерно.

Еще одно важное свойство двумерной конформной теории состоит в возможности рассмотрения по отдельности голоморфных и антиголоморфных объектов. Если перейти от двумерных координат Х\ и х2 к комплексным координатам г = х\ + ¿ж2 и г = х\— гж2, то оказывается, что все объекты распадаются в комбинацию голоморфной части, зависящей только от г, и антиголоморфной, зависящей только от г.

В данной работе изучаются не сами поля, а их корреляторы. Как и у других объектов в двумерной конформной теории, у корреляторов также можно выделить голоморфную и антиголоморфную компоненты. Для этого вводят в коррелятор дополнительные поля, по которым позже производится суммирование. Например, коррелятор четырех полей можно описать следующей формулой:

АД (1.5)

хЯд(Д1, Д2, Аз, Д4, с, гиг2, гг, г4)Вд(Д1, Д2) Д3, Д4, с, гъ г2, г3, г4).

и — это структурные константы, описывающие зависимость коррелятора от конкретной конформной теории. и Д, — это голоморфная и антиголоморфная

части размерности поля V], а суммирование ведется по всевозможным промежуточным полям, которые дополнительно вводятся в коррелятор. Функции Вд и Вд называются голоморфным и антиголоморфным конформными блоками соответственно. Разложение такого вида может быть построено и для корреляторов произвольного числа полей. Далее рассматриваются только свойства голоморфных конформных блоков В. Все вычисления, однако, могут быть проведены аналогичным образом и для антиголоморфного случая.

В данной работе используются два метода вычисления конформных блоков. Первый основан напрямую на свойствах конформной симметрии. При этом вычисления довольно громоздки, а их сложность значительно увеличивается при рассмотрении высших порядков разложения по координатам полей в конформном блоке.

Второй метод основан на использовании конкретной конформной модели — теории свободных скалярных полей. Это — одна из простейших моделей конформной теории. С помощью данной модели можно легко получить все интересующие конформные блоки. В качестве полей конформной теории при этом выступают экспоненты от скалярного поля:

Уа(г) = еа«*\ (1.6)

конформные размерности которых связаны с параметрами а:

(1.7)

Однако, в данной модели присутствует закон сохранения — уравнение, жестко связывающее друг с другом размерности полей, входящих в конформный блок — ^ а = 0. Тем самым эта модель не позволяет рассматривать конформный блок для произвольных размерностей полей.

Один из результатов данной работы связан с рассмотрением способа вычисления корреляторов полей с произвольной размерностью в модели свободных полей. Идея такого вычисления состоит в добавлении в корреляторы экранирующих операторов Доценко-Фатеева [17, 18, 19]. Экранирующими называются поля, которые задаются параметром 6, связанными с <5 следующим образом — С} = Ь— 1/Ь. Специфика таких полей состоит в том, что конформная размерность интегралов от них равна нулю. По этой причине добавление в выражения для корреляторов элементов вида

(1.8)

не должно повлиять на конформные свойства теории. Таким образом, при добавлении экранирующих полей получается выражение для конформного блока, включа-

ющее в себя шшлралы Ссльбсрга

1у,=п Г ¿ь Ь' - п-^ - . (1.9)

7 = 1 I К] 1 = 1 J

Выражения такого типа близки к матрично-модельным интегралам [20]-[37], что позволяет говорить о построении матричной модели, соответствующей конформному блоку. Однако, связь полученных ответов в такой "деформированной" свободной теории с ответами, порученными пз конформной симметрии, не очевидна и требует проверки. В данной работе проверено, что в первых трех порядках разложения по двойным отношениям координат полей "деформированные" константы связи действительно равны рассчитанным с помощью конформной симметрии.

АГТ-соотношение связывает между собой два описанных выше объекта — конформный блок и функцию Некрасова — для определенного состава полей конформной теории и состава материи суперсимметричной теории. Простейший и наиболее изученный случай, в котором рассматривается АГТ-соотношение, это связь между 5(7(2) суперсиммстричной теорией Янга-Миллса и конформной теорией с полями, которые генерируются с помощью операторов Впрасоро. Но это соотношение допускает и обобщение на 5(7(И) супсрсиммстричную теорию. При этом в конформной теории рассматриваются поля, которые генерируются с помощью И^^ алгебры. В частности, в работах [38] было рассмотрено такое соотношение для случая N = 3.

Исследования в этом направлении были продолжены в рамках данного диссертационного исследования. Были получены некоторые общие формулы необходимые для вычислений в случае N = 3. Эти формулы позволяют рассмотреть конформные блоки с алгеброй Полученные результаты были проверены с помощью модели

свободных полей.

Кроме того, в данной работе рассмотрено АГТ-соотношение для двух конфигураций полей — конформного б пока для нескольких внешних полей на двумерной сфере и конформного блока для одного ноля на двумерном торе. Как конформный блок, так и функция Некрасова, представляются рядами по двойным отношениям координат в первой теории и по непертурбативному параметру во второй. В данной работе рассмотрены низшие порядки этих разложений (иногда соответствующие порядки разложений будут называться "уровнем" АГТ-соотношения) и проверено, что гипотеза АГТ действительно выполняется.

Вторая часть работы посвящена трехмерной теории Черна-Саймонса. Исходная гипотеза АГТ, предложенная в [11], описывает связь между двумерной и четырехмерной теориями. Но также существуют и обобщения на теории других размерностей. Так, рассматриваются обобщения на случай двух трехмерных теорий [39]-[57]

и трехмерной и пятимерной теорий [57]. В обоих случаях в роли (одной из) трехмерных теорий выступает теория Черна-Саймонса с действием

"С'5 = 47Г

(лл<1А+^АлАлА^ . (1.10)

Эта теория примечательна тем, что она является топологической теорией, то есть ее корреляторы не зависят от координат в трехмерном пространстве. По этой причине ее изучение актуально в кон тексте приложений к более сложным топологическим теориям, в том числе к топологической теории струн [58].

При некоторых выборах калибровки трехмерная теория Черна-Саймонса превращается в локально невзаимодействующую теорию. Тем самым задача о нахождении корреляторов нескольких полей не представляет такого широкого интереса, как в других теориях поля. Однако, благодаря топологической инвариантности и трехмерности, большой интерес для изучения представляют корреляторы другого тина — вильсоновские средние.

(ИЪ) = ^ !\DA\Tr Рехр Ыас1х \ еЕ м С[Л\ (1.Ц)

м

где 2, — статистическая сумма теории:

[ ъ I С\А\ = \DA\e м \ (1.12)

2

м

Вильсоновские средние (средние значения петель Вильсона) вычисляются для различных контуров /С. Ключевая особенность трехмерной теории, которая не проявляется в теориях больших размерностей, состоит в том, что в трехмерном пространстве существуют нетривиальные контуры, которые нельзя свести с помощью топологических преобразований друг к другу. Такие контуры соответствуют различным узлам. Тем самым открывается большой пласт задач об изучении свойств таких вильсоиов-ских средних для различных контуров (узлов).

Согласно работе Э.Виттена [59] средние значения петель Вильсона в теории Черна-Саймонса с калибровочной группой 5С/(2) равны полиномам Джонса [60], построенным в математической теории узлов. Математическая теория узлов — это довольно старая область математики, которую начали изучать еще в семнадцатом веке. Главная задача этой теории состоит в построении алгоритма, позволяющего отличить друг от друга различные узлы — замкнутые контуры в трехмерном пространстве. Основной метод, используемый для достижения этой цели, состоит в построении так называемых инвариантов узлов. Одни из наиболее общих полиномов узлов

— это так называемые полиномы Хосте-Окнеану-Милле-Фрейда-Ликориша-Йеттера (ХОМФЛИ)1. Полиномы Джонса являются их частным случаем.

Если обобщить утверждения, сделанные Э.Виттеном, то вильсоновские средние теории Черна-Саймонса эквивалентны полиномам ХОМФЛИ. Свойства таких полиномов на данный момент широко изучены только для одного класса узлов, называемых торическими (так как они получаются с помощью намотки нити на тор). Однако, общие свойства вильсоновских средних (полиномов ХОМФЛИ) для произвольных узлов пока мало изучены. Во многом причиной для этого служит то, что ответы для неторичсских узлов известны только в фундаментальном представлении. Многие известные свойства торических узлов, однако, связаны с полиномами также и в высших представлениях.

В данной работе рассмотрены две задачи, связанные с полиномами узлов. Одна из них связана с построением полиномов ХОМФЛИ в высших симметрических и антисиммстричсских представлениях для простейшего исторического узла. Вторая задача связана с описанием интегрируемых свойств полипомов торических узлов, а именно, со связью полиномов ХОМФЛИ торических узлов и решений уравнений иерархии Кадомцева-Петвиашвили (КП).

В случае теории Черна-Саймонса с произвольной калибровочной группой ви(./V) вильсоновские средние соответствуют полиномам ХОМФЛИ, которые являются полиномами по двум переменным д и А, которые связаны с константой связи теории и группой (./V):

д = ех р(М) А = дк. (1.13)

Данное соотношение между теорией узлов и теорией Черна-Саймонса интересно по той причине, что оно позволяет изучать структуру Вильсоновских средних для различных контуров (узлов). Отметим также, что теория Черна-Саймонса связана и с другими физическими теориями, например, конформной теорией Весса-Зумино-Виттепа [59].

Исходно в математической теории узлов полиномы ХОМФЛИ задаются с помощью набора скейи-соотношеиий, связывающих между собой полипомы для узлов, в которых пересечение заменяется на обратное пересечение или же на отсутствие пересечения:

V V \ (

1С<—> V _ К'ыД^ £»<-+) . (1.14)

Скейн-соотношения при этом гласят, что

АНК{А, д) - А^1Н>С'{А, д) = (д - д-х)Нк" {А, д). (1.15)

1 Иногда их также называют полиномами ХОМФЛИ-ПТ — по фамилиям авторов Дж.Хосте. А.Окнсану. К.Милле, П.Фрснд, В.Ликоршп и Д.Йеттср, а также Й.Пржтнцки и П.Трачук (62, 63]

Топологическую инвариантность построенных таким образом полиномов можно проверить, рассмотрев движения Редемейстера:

<—>

И: --С1-16)

у \_/

III: /\ <-* \/

/ \ А

С точки зрения топологических преобразований два контура совпадают тогда и только тогда, когда двумерную проекцию одного из них можно перевести в проекцию другого с помощью движений Редемейстера и плавных деформаций [61]. Из третьего движения Редемейстера следует, что полиномы ХОМФЛИ описываются произведением 7£-матриц, так как оно эквивалентно уравнению Янга-Бакстера

ftiTWi = К2К{Я2. (1.17)

Уравнение (1.15) при этом задаст собственные значения 7£-матрицы.

Согласно [62, 63] для того, чтобы удовлетворялось первое движение Редемейстера, полиномы ХОМФЛИ следует представлять в форме разложения по характерам квантовой группы SU(N):

(1.18)

Q

где Sq(A, q) — это характеры, а h® — коэффициенты, определяемые для каждого узла с помощью произведения 7£-матриц. Характеры Sq(A,q) при этом берутся в специальной точке, называемой топологическим локусом. Стандартная запись для характеров описывает их, как функции временных переменных tk (следы степеней группового элемента в фундаментальном представлении). Соответственно, разложение (1.18) можно обобщить путем замены топологического локуса на произвольные tk, построив, таким образом, обобщенные полиномы ХОМФЛИ.

В данной работе была изучена связь между теорией Черна-Саймонса и интегрируемыми системами. Одни из самых хорошо изученных объектов в теории интегрируемых систем это — т-функции иерархии Кадомцева-Петвиашвили (КП). В случае трех переменных они являются решениями классического уравнения Кадомцева-Петвиашвили. Это уравнение допускает также обобщение на случай большего чис-

л а неременных, порождая, тем самым, иерархию уравнений. Соответствующие т-функции являются решениями билинейного уравнения Хироты

В настоящее время решения данного уравпеппя широко изучаются, в том числе в контексте связей с различными теориями.

Как т-функции, так и обобщенные полиномы ХОМФЛИ являются функциями от временных переменных. В данной работе рассмотрена связь между этими двумя объектами. При этом используются методы построения полиномов ХОМФЛИ как разложения по характерам. Так, было получено, что производящая функция обобщенных полиномов ХОМФЛИ действительно является т-функцией КП для ториче-ских узлов. Но также оказалось, что это не всегда соблюдается для неторических узлов.

Связь с интегрируемыми системами не ясна для неторических узлов. Одна из причин состоит в том, что только для торических узлов известна наиболее общая формула для полиномов ХОМФЛИ в произвольном представлении (соответствующих вильсоновскнм средним с полем, преобразующимся по произвольному представлению калибровочной группы). Скейн-соотношения (1.15) также сильно усложняются при изучении высших представлений, что не позволяет использовать их для рассмотрения таких полиномов. В том числе и для прояснения связи с интегрируемыми системами возникает задача о построении полиномов ХОМФЛИ в высших представлениях для простейшего исторического узла — узла-восьмерки.

Результаты данной работы опубликованы в ведущих отечественных и зарубежных научных журналах [64, 65, 66, 67, 68, 69). Работы широко цитируются. Так, работы [65, 66, 67] имеют цитирусмосгь более 50, а работы [64, 68, 69] — более 30.

1.1 Содержание диссертации

Введение посвящено общему описанию рассмотренных задач и их актуальности.

Глава 2 посвящена двумерной конформной теории поля. Рассмотрены основные свойства и элементы конформной теории.

Разделы 2.1-2.3 посвящены теории свободных скалярных полей в контексте изучения конформной теории поля. В частности, в этих разделах описаны свойства корреляторов в свободной теории.

В разделах 2.4-2.8 рассмотрена методика расчета конформных блоков по диаграмме. Конформный блок, который является частью коррелятора конформной тео-

(1.19)

рии поля, сводится к произведению обратных матриц Шаповалова и тройных вершин. Матрица Шаповалова соответствует коррелятору двух полей. Описаны свойства тройных вершин и матрицы Шаповалова, а также приведен ряд вычисленных тройных вершин.

В разделе 2.9 описаны свойства конформной теории с алгеброй И^ (обобщением алгебры Вирасоро). Рассмотрены отличия от алгебры Вирасоро. Описаны способы вычисления тройных вершин и получены основные формулы для их построения. В том числе построены рекурсивные выражения на тройные вершины с алгеброй \¥(Л). Также проведены аналогичные вычисления с помощью теории свободных полей. Проверены полученные с помощью общих методов конформной теории тройные вершины в случае теории свободных полей.

Глава 3 посвящена рассмотрению АГТ-соотношения. АГТ-соотношение подразумевает равенство между конформным блоком и функцией Некрасова (свойства конформных блоков подробно рассмотрены в главе 2). Процедура построения функции Некрасова, необходимой при рассмотрении АГТ-соотпошеиия, рассмотрена в разделе 3.1.

В данной главе рассмотрены две конфигурации полей конформной теории. Раздел 3.2 посвящен АГТ-соотношению для конформных блоков на двумерной сфере. Подробно рассмотрены случаи четырех, пяти и шести внешних полей. Из выражений для первых порядков разложений но координатам нолей получены соотношения между параметрами, и проверено, что при таком выборе параметров АГТ-соотношение выполняется для второго и третьего порядков разложений. Также показано, что с помощью рассмотренных случаев можно получить связь между параметрами теорий для произвольного числа внешних полей. Показано, что первые три порядка разложения многоточечного случая (как конформного блока, так и функции Некрасова) сводятся к четырех-, пяти- и шеститочечным случаям. В разделе 3.2.6 также описано множество симметрий для соотношений между параметрами. В разделе 3.2.7 рассмотрены различные способы выбора диаграмм для одинакового числа полей и описаны диаграммы, которые связаны с функциями Некрасова посредством АГТ соотношения.

В разделе 3.3 рассматривается АГТ-соотношение для конформного блока для одного внешнего поля на двумерном торе. Описаны соответствующий конформный блок и функция Некрасова. В частности, в разделе 3.3.1 рассмотрен предел больших размерностей конформных нолей. Доказано, что конформный блок в таком пределе описывается формулой

~ А'^д1 ([!"], [1"]), (1-20)

что согласуется с рассчитанным ранее в работах [70, 711 аналогичным пределом для случая четырех внешних полей на сфере.

В главе 4 рассматривав 1ся процедура вычисления конформного блока с использованием конкретной конформной теории — теории свободных полей. Эта теория позволяет легко рассчитать все необходимые элементы, но обладает существенным ограничением — "законом сохранения", налагающем жесткие условия на размерности полей. Для рассмотрения произвольных размерностей в конформный блок, согласно работам Доценко и Фатеева, добавляются операторные вставки специального вида, которые не изменяют конформных свойств выражений. При этом конформный блок представляется суммой интегралов, являющихся обобщением известных в математике интегралов Сельберга. Форма этого интеграла характерна для матричных моделей. В разделах 4.1-4.3 построены структурные константы для свободной теории с операторными вставками Доценко-Фатеева и проверено, что они согласуются с соответствующими результатами из главы 2. В разделе 4.4 описан метод построения соответствующего матричио-модельного выражения для конформного блока. В разделе 4.5 рассмотрены свойства интегралов Сельберга.

Глава 5 посвящена трехмерной теории Черпа-Саймопса и связанным с ней задачам. Описаны основные методы построения Вильсоновских средних теории Черна-Саймонса и соответствующих им полиномов ХОМФЛИ в теории узлов. В разделе 5.1 описан известный алгоритм вычисления полиномов узлов в фундаментальном представлении, использующий свойства 72.-матрпц. В разделе 5.2 приведен известный ответ для полиномов ХОМФЛИ для торических узлов — единственной серии, для которой известен наиболее общий ответ в произвольном представлении.

В разделе 5.3 рассмотрена связь между теорией Черна-Саймонса, в частности полиномами ХОМФЛИ, и т-функциями КП, возникающими в наиболее изученных интегрируемых системах (т-функции такого типа являются решениями уравнений иерархии КП — обобщенных уравнений Кадомцева-Петвиашвили). Описаны свойства т-функций КП. Для определения интегрируемых свойств полиномов ХОМФЛИ используются так называемые обобщенные полиномы ХОМФЛИ, которые получаются с помощью обобщения разложения но характерам для стандартных полиномов ХОМФЛИ (1.18).

Кт = Е С1-21)

Qhn|r|

Доказано, что производящая функция обобщенных полиномов ХОМФЛИ

nK{t\t] = J^n${t}ST{t} = J2hQSQ{^Sr{t} (1.22)

Т T,Q

для торических узлов является тау-функцией r{t}. Показано, что данное свойство

не выполняется при рассмотрении простейших исторических узлов.

В разделе 5.4 построен полином ХОМФЛИ в произвольном симметрическом представлении для узла-восьмерки. Приведены аргументы в пользу предложенного ответа. Построены соответствующие полиномы Оогури-Вафы. Построен полином ХОМФЛИ для узла-восьмерки в произвольном антисимметрическом представлении. Построены соответствующие цветные суперполиномы.

В заключении огшсапы основные результаты диссертации.

1.2 Результаты, выносимые на защиту диссертации

• Найдены рекурсивные соотношения для корреляторов трех полей конформной теории поля с операторами алгебры

• Проверена гипотеза АГТ для четырех-, пяти- и шеститочечных конформных блоков типа гребенки на двумерной сфсрс в первых трех порядках разложения по двойным отношениям координат полей конформной теории. Доказано, что для конформных блоков типа гребенки с большим числом нолей гипотеза АГТ в первых трех порядках сводится к рассмотренным случаям четырех-, пяти- и шести полей.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Морозов, Андрей Алексеевич, 2014 год

Литература

[1] Д. В. Волков, В. П. Акулов. О возможном универсальном взаимодействии нейтрино // Письма в ЖЭТФ (1972), 16, 621-624.

[2] D V. Volkov, V. P. Akulov, Is the neitrino a Goldstone partiicle? // Phys.Lett. В (1973), 46, 109—110.

[3] В. П. Акулов, Д. В. Волков. Голдстоуновские поля со спином половина // Теоретическая и математическая физика (1972), 18, 39-50.

[4] Ю. А. Гольфанд, Е. П. Лихтмап. Расширение алгебры генераторов Пуанкаре и нарушение Р-инварпантности // Письма в ЖЭТФ (1971), 13, 452—455.

[5] Ю. Весе, Д. Беггер. Суперсимметрия и супергравитация // Москва, Мир, 1986.

[6] N. Seiberg, Е. Witten, Electric-magnetic duality, monopole condensation, and confinement in J\f — 2 supersymmetric Yang-Mills theory // Nucl. Phys. В (1994), 426, 19, arXiv:hep-th/9407087.

[7] A. Bilal, Duality in Я = 2 SUSY SU{2) Yang-Mills Theory: A pedagogical introduction to the work of Seiberg and Witten // arXiv:hep-th/9601007.

[8] N. Nekrasov, Seiberg-Witten Prepotential from Instanton Counting // Adv. Theor. Math. Phys. (2003). 7, 831-864, arXiv:hep-th/0206161.

[9] A. Losev, N. Nekrasov. S. Shatashvili. Issues in topological gauge theory // Nucl. Phys. В (1998), 534. 549-611. arXiv:hep-th/9711108.

[10] A. Losev, N. Nekrasov. S. Shatashvili, Testing Seiberg-Witten solution // Cargese (1997), Strings, branes and dualities, 359-372, arXiv.hcp-th/9801061.

[11] L. Alday. D. Gaiotto, Y. Tachikawa, Liouville Correlation Functions from Four-dimensional Gauge Theories // Lett. Math. Phys. (2010), 91, 167-197, arXiv:0906.3219.

.2] A. Marshakov, A. Mironov, A. Morozov, Zamolodchikov asymptotic formula and instanton expansion in N = 2 SUSY Nf = 2Nc QCD // JHEP (2009), 11, 048, arXiv:0909.3338.

L3] А. Замолодчиков, Ал. Замолодчиков. Конформная теория поля и критические явления в двумерных системах // Москва, МЦНМО, 2009.

L4] A. A. Belavin, А. М. Polyakov, А. В. Zamolodchikov, Inlinite conformal symmetry in two-dimensional quantum field theory // Nucl. Phys. В (1984), 241, 333-380.

15] A. M. Поляков, Конформная симметрия критических флуктуаций // Письма в ЖЭТФ (1970), 12, 538-541.

16] А. М. Поляков, Негамильтонов подход в конформной теории поля // Ж. Эксп. и Теор. Физ. (1974), 66, 23-42.

17] VI. Dotsenko, V. Fateev, Conformal algebra and multipoint correlation functions in 2d statistical models // Nucl. Phys. В (1984), 240, 312-348.

18] A.Marshakov, A.Mironov, A.Morozov, Generalized matrix models as conformal field theories: Discrete case // Phys. Lett. B. (1991), 265, 99.

19] S.Kharchcv, A.Marshakov, A.Mironov, A.Morozov, S.Pakuliak, Conformal Matrix Models as an Alternative to Conventional Multi-Matrix Models // Nucl. Phys. В (1993), 404, 17-750.

20] R. Dijkgraaf, C. Vafa, Matrix models, topological strings, and supersymmetric gauge theories // Nucl. Phys. В (2002), 644, 3-20, arXiv:hep-th/0206255.

21] R. Dijkgraaf, C. Vafa, On Geometry and Matrix Models // Nucl. Phys. В (2002), 644, 21-39, arXiv:hep-th/0207106.

22] R. Dijkgraaf, C. Vafa, A Perturbative Window into Non-Perturbative Physics // arXiv:hep-th/0208048.

23] L. Chekhov, A. Mironov, Matrix models vs. Seiberg-Witten/Whitham theories // Phys. Lett. В (2003), 552, 293-302, arXiv:hep-th/0209085.

24] H. Itoyama, A. Morozov, The Dijkgraaf-Vafa prepotential in the context of general Seiberg-Witten theory // Nucl. Phys. В (2003), 657, 53-78, arXiv:hep-th/0211245.

25] H. Itoyama, A. Morozov, Experiments with the WDVV equations for the gluino-condensate prepotential: the cubic (two-cut) case // Phys. Lett. В (2003), 555, 287-295, arXiv:hcp-th/0211259.

[26] H. Itoyama, A. Morozov, Calculating Gluino-Condensate Prepotential // Prog. Theor. Phys. (2003), 109, 433-463, arXiv:hep-th/0212032.

[27] H. Itoyama, A. Morozov, Gluino-Condensate (CIV-DV) Prepotential from its Whitham-Time Derivatives // Int. J. Mod. Phys. A (2003), 18, 5889-5906, arXiv:hep-th /0301136.

[28] A. Klemm, M. Marino, S. Theisen, Gravitational corrections in supersymmetric gauge theory and matrix models // JHEP (2003), 03, 051, arXiv:hep-th/0211216.

[29] L. Chekhov, A. Marshakov, A. Mironov, D. Vasiliev, DV and WDVV // Phys. Lett. В (2003), 562, 323-338, arXiv:hep-th/0301071.

[30] L. Chekhov, A. Marshakov, A. Mironov, D. Vasiliev, Complex Geometry of Matrix Models // Proc. Steklov Inst, Math. (2005), 251 254, arXiv:hep-th/0506075.

[31] A. Alexandrov, A. Mironov, A. Morozov, Partition functions of matrix models as the first special functions of string theory. I: Finite size Hermitean 1-matrix model // Int. J. Mod. Phys. A (2004), 19, 4127, arXiv:hep-th/0310113.

[32] A. Alexandrov, A. Mironov, A. Morozov, Unified description of correlators in non-Gaussian phases of Hermitean matrix model // Int. J. Mod. Phys. A (2006), 21, 2481-2518, arXiv:hep-th/0412099.

[33] A. Alexandrov, A. Mironov, A. Morozov, Solving Virasoro Constraints in Matrix Models // Fortsch. Phys. (2005), 53, 512-521, hep-th/0412205.

[34] А. С. Александров, А. Д. Миронов и А. А. Морозов, // Теоретическая и мате-матичекая физика 150 (2007) 179-192, arXiv:hep-th/0605171.

[35] A. Alexandrov, A. Mironov, A. Morozov, Instantons and Mcrons in Matrix Models // Physica D (2007), 235, 126-167, arXiv:hep-th/0608228.

]36] А. Д. Миронов, Матричные модели и матричные интегралы // Теоретическая и математичекая физика (2006), 146, 63-72, arXiv:hep-th/0506158.

[37] G. Moore, N. Scibcrg, Classical and Quantum Conformal Field Theory // Comm. Math. Phys. (1989), 123, 177-254.

[38] A. Mironov, A. Morozov, On AGT relation in the case of U{3) // Nucl. Phys. В (2010), 825, 1-37, arXiv:0908.2569.

[39] Yu. Terashima, M. Yarnazaki, SL(2,R) Chern-Simons, Liouville, and Gauge Theory on Duality Walls, JHEP (2011), 08, 135, arXiv:1103.5748.

[40] D. Gaiotto, N=2 dualities // arXiv:0904.2715.

[41] D. Gaiotto, G. Moore, A. Neitzke, Wall-crossing, Hitchin Systems, and the WKB Approximation // arXiv:0907.3987.

[42] T. Dimofte, S. Gukov, Y. Soibelman, Quantum Wall Crossing in N=2 Gauge Theories // Lett. Math. Phys. (2011), 95, 1-25, arXiv:0912.1346.

[43] M. Kontsevich, Y. Soibelman, Stability structures, motivic Donaldson-Thomas invariants and cluster transformations // arXiv:0811.2435.

[44] V. Fock, A. Goncharov, Moduli spaces of local systems and higher Teichmuller theory // Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci. (2006), 103, 1-211, arXiv: math/0311149.

[45] V. Pestun, Localization of the four-dimensional N=4 SYM to a two-sphere and 1/8 BPS Wilson loops // arXiv:0906.0638.

[46] N. Nekrasov, E. Witten. The Omega Deformation, Branes, Integrability, and Liouville Theory // JHEP (2010), 09, 092, arXiv: 1002.0888.

[47] H. Awata, H. Kanno, Macdonald operators and hornological invariants of the colored Hopf link // J. Phys. A (2011), 44, 375201, arXiv:0910.0083.

[48] E. Gorsky, q,t-Catalan numbers and knot homology // arXiv: 1003.0916.

[49] T. Dimofte, S. Gukov, L. Hollands, Vortex Counting and Lagrangian 3-manifolds // arXiv: 1006.0977.

[50] R. Dijkgraaf, H. Fuji, M. Manabe, The Volume Conjecture, Perturbative Knot Invariants, and Recursion Relations for Topological Strings // Nucl. Phys. B (2011), 49, 166-211, arXiv: 1010.4542.

[51] K. Hosomichi. S. Lee, J. Park, AGT on the S-duality Wall // JHEP (2010), 12, 079, arXiv: 1009.0340.

[52] K. Hosomichi. S. Lee, J. Park, Notes on SUSY Gauge Theories on Three-Sphere // JHEP (2011), 03, 127, arXiv:1012.3512.

[53] K. Hosomichi, S. Lee, J. Park, SUSY Gauge Theories on Squashed Three-Spheres // arXiv.1102.4716.

[54] E. Witten, Analytic Continuation Of Chern-Simons Theory // arXiv: 1001.2933.

[55] E. Witten, Fivebranes and Knots // arXiv:1101.3216.

[56] F. Dolan, V. Spiridonov, G. Vartanov, From 4d superconformal indices to 3d partition functions // Phys. Lett. В (2011), 704, 234-241, arXiv: 1104.1787.

[57] Д. M. Галахов, А. Д. Миронов, А. А. Морозов, А. В. Смирнов, О трехмерном обобщении соответствия Алдая-Гайотто-Тачикавы // Теоретическая и мате-матичекая физика (2012), 172, 73-99, arXiv:1104.2589.

[58] Н. Ooguri, С. Vafa, Knot Invariants and Topological Strings // Nucl. Phys. В (2000), 577, 419-438, arXiv:hep-th/9912123.

[59] E. Witten, Quantum field theory and Jones polynomials // Commun. Math. Phys. (1989), 121, 351-399.

[60] L. H. Kauffman, On knots // Princeton, Princeton Univ. Press, 1987.

[61] В. В. Прасолов, А. В. Сосинский, Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия // Москва, МЦНМО, 1997.

[62] J. Hoste, A. Ocneanu, К. Millett, P. Freyd, W. В. R. Lickorish, D. Yetter, A new polynomial invariant of knots and links // Bull. Amer. Math. Soc. (1985), 12, 239-246.

[63] J. Przytycki, P. Traczyk, Conway Algebras and Skein Equivalence of Links // Proc. Amer. Math. Soc. (1987), 100, 744-748.

[64] V. Alba, And. Morozov, Check of AGT Relation for Conformal Blocks on Sphere // Nucl. Phys. В (2010), 840, 441-468, arXiv:0912.2535.

[65] V. Alba, And. Morozov, Non-confonnal limit of AGT relation from the 1-point torus conformal block // Письма в ЖЭТФ (2009), 90, 803-807, arXiv:0911.0363.

[66] А. Д. Миронов, С. А. Миронов, А. Ю. Морозов, А. А. Морозов, Вычисления в конформной теории, необходимые для проверки гипотезы Алдая-Гайотто-Тачикавы // Теоретическая и математичекая физика, 2010, 165, 503-542, arXiv:0908.2064.

[67] A. Mironov, A. Morozov, And. Morozov, Conformal blocks and generalized Sclbcrg integrals // Nucl. Phys. В (2011), 843, 534-557, arXiv:1003.5752.

[68] A. Mironov, A. Morozov, And. Morozov. Character expansion for HOMFLY polynomials. I. Integrability and difference equations // Strings, Gauge Fields, and the Geometry Behind: The Legacy of Maximilian Kreuzer, Singapore, World Scietific Publishms Co., 101-118, 2013, arXiv: 1112.5754.

[69] H. Itoyama, A. Mironov, A. Morozov, And. Morozov, HOMFLY and superpolynomials for figure eight knot in all symmetric and antisymmetric representations // JHEP (2012), 7, 131, arXiv: 1203.5978.

[70] A. Marshakov, A. Mironov, A. Morozov, On non-conformal limit of the AGT relations // Phys. Lett. B (2009). 682, 125-129, arXiv:0909.2052.

[71] D. Gaiotto, Asymptotically free N = 2 theories and irregular conformal blocks // arXiv:0908.0307.

[72] H. Itoyama, A. Mironov, A. Morozov, Matching branches of non-perturbative conformal block at its singularity divisor // arXiv: 1406.4750.

[73] P. Di Francesco, P. Mathieu, D. Senechal, Conformal Field Theory // New York, Springer-Verlag, 1997.

[74] A. Mironov, A. Morozov, Sh. Shakirov, Matrix Model Conjecture for Exact BS Periods and Nekrasov Functions // JHEP (2010), 02, 030, arXiv:0911.5721.

[75] A. Mironov, A. Morozov, Sh. Shakirov, Conformal blocks as Dotsenko-Fateev Integral Discriminants // Int. J. Mod. Phys. A (2010), 25, 3173-3207, arXiv: 1001.0563.

[76] A. Selbcrg, Bemerkningar om ct multipelt integral // Norsk. Mat. Tisdskr. (1944), 24, 71.

[77] S. Iguri, T. Mansour, Some recursive formulas for Selberg-type integrals // J. Phys. A: Math. Thcor. (2010), 43, 065201, arXiv:0912.3507.

[78] S. Ole Warnaar, A. Selberg, Integral for the Lie Algebra An // J. Phys. A: Math. Thcor. (2008), 41, 025209, arXiv:0708.1139.

[79] S. Ole Warnaar, The slz Selberg Integral // Adv. Math. (2010), 224, 499-524, arXiv:0901.4176.

[80] V. G. Turaev, The Yang-Baxter equation and invariants of links // Invent. Math. (1988), 92, 527553.

[81] W. Fulton, Young Tableaux, with Applications to Representation Theory and Geometry // Cambridge, Cambridge University Press, 1997.

[82] A. Mironov, A. Morozov, And. Morozov. Character expansion for HOMFLY polynomials. II. Fundamental representation. Up to five strands in braid // JHEP (2012), 03, 034, arXiv:1112.2654.

[83] M. Rosso, V. F. R. Jones, On the invariants of torus knots derived from quantum groups // J. Knot Theory Ramifications (1993), 2, 97-112.

[84] J. M. F. Labastida, M. Marino, A New Point of View in the Theory of Knot and Link Invariants // J. Knot Theory Ramifications (2002), 11, 173, arXiv:math/0104180.

[85] X.-S. Lin, H. Zheng, On the Hecke algebras and the colored HOMFLY polynomial // Trans. Amer. Math. Soc. (2010), 362, 1-18, arXiv:math/0601267.

[86] S. Kharchev, A. Marshakov, A. Mironov, A. Morozov, A. Zabrodin, Unification of All String Models with с < 1 // Phys. Lett. В (1992), 275, 311-314, arXiv:hep-th/9111037.

[87] S. Kharchev, A. Marshakov, A. Mironov, A. Morozov, A. Zabrodin, Towards unified theory of 2d gravity // Nucl. Phys. В (1992), 380, 181-240, arXiv:hep-th/9201013.

[88] S. Kharchev, A. Marshakov, A. Mironov, A. Morozov. Generalized Kontsevich Model Versus Toda Hierarchy and Discrete Matrix Models // Nucl. Phys. В (1993), 397, 339-378, arXiv:hep-th/9203043.

[89] А. Ю. Морозов, Теория струн — что это такое? // Успехи Физ. Наук (1992), 162 (8), 84-175.

[90] А. Ю. Морозов, Интегрируемость и матричные модели // Успехи Физ. Наук (1994), 164, 3-62, arXiv:hep-th/9303139.

[91] A. Morozov, Matr ix Models as Intcgrablc Systems // Particles and Fields, CRM Series in Mathematical Physics (1999), 127-210, arXiv:hep-th/9502091.

[92] A. Morozov, Challenges of Matrix Models // String theory: From gauge interactions to cosmology, Proceedings, NATO Advanced Study Institute, Cargese, 129-162, arXiv:hcp-th/0502010.

[93] A. Mironov, 2d gravity and matrix models. I. 2d gravity // Int. J. Mod. Phys. A (1994), 9, 4355, arXiv:hep-th/9312212.

[94] A. Mironov, Quantum Deformations of r-functions. Bilinear Identities and Representation Theory // arXiv:hep-th/9409190.

[95] A. Mironov, r-function within group theory approach and its quantization // arXiv:q-alg/9711006.

[96] S. Kharchev, A. Marshakov, A. Mironov, A. Morozov. Generalized Kazakov-M igdal-Kontsevieh Model: group theory aspects // Int. J. Mod. Phys. A (1995), ДО, 2015, hep-th/9312210.

[97] A. Alexandrov, A. Mironov, A. Morozov, S. Natanzon, Integrability of Hurwitz Partition Functions. I. Summary // J. Phys. A: Math. Theor. (2012) 45, 045209, arXiv:1103.4100.

[98] А. Д. Миронов, А. А. Морозов, С. M. Натанзон, Полный набор операторов разрезания п склейки в теории Гурвица-Концевпча // Теоретическая и Математическая физика (2011), 166 3-27, arXiv:0904.4227.

[99] A. Mironov, A. Morozov, S. Natanzon, Algebra of differential operators associated with Young diagrams // J. of Gcom. and Phys. (2012), 62, 148-155, arXiv:1012.0433.

[100] A.Okounkov, Toda equations for Hurwitz numbers // Math. Res. Lett. (2000), 7, 447-453, arXiv:math/0004128.

[101] A.Mironov, A.Morozov, Virasoro constraints for Kontsevich-Hurwitz partition function // J HEP (2009), 02, 024, arXiv:0807.284.

[102] M.Kazarian, KP hierarchy for Hodge integrals // arXiv:0809.3263.

[103] H. Itoyama, A. Mironov. A. Morozov, An. Morozov, Character expansion for HOMFLY polynomials. III. All 3-Strand braids in the first symmetric representation // Int. J. of Mod. Phys. A (2012), 27, 1250099, arXiv: 1204.4785.

[104] H. Itoyama, A. Mironov, A. Morozov, An. Morozov, Eigenvalue hypothesis for Racah matrices and HOMFLY polynomials for 3-strand knots in any symmetric and antisymmetric representations // Int. J. of Mod. Phys. A (2013), 28, 1340009, arXiv:1209.6304.

[105] P. Ramadevi, T. Sarkar, On Link Invariants and Topological String Amplitudes // Nucl. Phys. В (2001), 600, 487-511, arXiv:hep-th/0009188.

[106] P. Dunin-Barkowski, A. Mironov, A. Morozov. A. Sleptsov, A. Smirnov, Superpolynomials for toric knots from evolution induced by cut-and-join operators // JHEP (2013), 03. 021, arXiv: 1106.4305.

[107] А. Д. Миронов. А. А. Морозов, А. В. Слепцов, Разложение по родам для полиномов ХОМФЛИ // Теоретическая и Математическая физика (2013), 177, 179-221, arXiv:1303.1015.

[108] A. Mironov, A. Morozov, A. Sleptsov, On genus expansion of knot polynomials and hidden structure of Hurwitz tau-functions // Euro. Phys. J. С (2013), 73, 2492, arXiv: 1304.7499.

[109] X.-S. Lin, H. Zheng, On the Hecke algebras and the colored HOMFLY polynomial // arXiv:math.QA/0601267.

[110] S. Zhu, Colored HOMFLY polynomial via skein theory // arXiv: 1206.5886.

[111] А. С. Анохина, А. А. Морозов, Процедура каблирования для раскрашенных полиномов ХОМФЛИ // Теоретическая и Математическая физика (2014), 178, 3-68, arXiv: 1307.2216.

[112] Ant. Morozov, Special colored Superpolynomials and their representation-dependence // JHEP (2012), 12, 116, arXiv: 1208.3544.

[113] Ant. Morozov, The first-order deviation of superpolynomial in an arbitrary representation from the special polynomial // Письма в ЖЭТФ (2013), 97, 171172, arXiv:1211.4596.

[114] К. Kawagoe, Limits of the HOMFLY polynomials of the figure-eight knot // Intelligence of Low Dimensional Topology 2006, 143-150, Singapore, World Scientific Publishing Co., 2007.

ч [115] J. Labastida, M. Marino, Polynomial invariants for torus knots and topological

strings // Comm. Math. Phys. (2001), 217, 423-419. arXiv:hep-th/0004196.

[116] J. M. F. Labastida, M. Marino, C. Vafa, Knots, links and brancs at large N // ^ JHEP (2000), 11, 007, hep-t,h/0010102.

[117] M. Marino, C. Vafa, Framed knots at large N // arXiv:hcp-th/0108064.

[118] M. Aganagic, Sh. Shakirov // arXiv: 1105.5117.

[119] H. Fuji. S. Gukov, P. Sulkowski (with an appendix by Hidetoshi Awata), Volume Conjecture: Refined and Categorified // Adv. Theor. Math. Phys. (2012), 16, 16691777, arXiv:1203.2182.

[120] S. Gukov, M. Stosic, Homological algebra of knots and BPS states // arXiv: 1112.0030.

[121] N. M. Dunfield, S. Gukov. J. Rasnmssen, The Superpolynomial for Knot Homologies // Exp. Math. (2006). 15. 129-159. arXiv:math/0505662.

[122] R. Gelca, On the relation between the A-polynonnal and the Jones polynomial // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. (2002). 133, 311-323, arXiv:math/0004158.

[123] R. Gelca, J. Sain. The noncommutative A-ideal of a (2,2p+l)-torus knot determines its Jones polynomial // J. Knot Theory Ramifications (2003), 12, 187-201, arXiv:math/0201100.

[124] S. Gukov, Three-Dimensional Quantum Gravity, Chern-Simons Theory, and the A-Polynomial // Coinmun. Math. Phys. (2005), 255, 577-627, arXiv:hep-th/0306165.

[125] S. Garoufalidis, T. Le, The colored Jones function is q-holonomic // Geometry and Topology (2005), 9, 1253-1293, arXiv:math/0309214.

[126] A. Alexandrov. A. Mironov, A. Morozov, BGWM as Second Constituent of Complex Matrix Model /,/ JHEP (2009), 12, 053, arXiv:0906.3305.

[127] A. Alexandrov, A. Mironov, A. Morozov. P. Putrov. Partition Functions of Matrix Models as the First Special Functions of String Theory. II. Kontsevich Model // Int. J. Mod. Phys. A (2009), 24, 4939-4998, arXiv:0811.2825.

[128] B. Eynard. All genus correlation functions for the hcrmitian 1-matrix model // JHEP (2004), 0411, 031, arXiv:hcp-th/0407261.

[129] L. Chekhov, B. Eynard. Hcrmitean matrix model free energy: Fcynman graph technique for all genera // JHEP (2006). 0603, 014, arXiv:hep-th/0504116.

[130] L. Chekhov, B. Eynard. Matrix eigenvalue model: Fcynman graph technique for all genera // JHEP (2006), 0612, 026, arXiv:math-ph/0604014.

[131] N. Orantin, Symplcctic invariants, Virasoro constraints and Givcntal decomposition // arXiv:0808.0635.

[132] R. Dijkgraaf, H. Fuji, M. Manabe, The Volume Conjecture, Perturbative Knot Invariants, and Recursion Relations for Topological Strings // Nucl. Phys. B (2011), 849, 166-211, arXiv: 1010.4542.