Свободно 3-порождённые решётки с элементами дистрибутивного и модулярного типов среди порождающих тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Шушпанов, Михаил Павлович

• Шушпанов, Михаил Павлович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Шушпанов, Михаил Павлович

Оглавление

Введение

Глава 1. Некоторые 3-порождённые решётки

с определяющими соотношениями

§ 1.1. Множество соотношений и базовые подмножества

§ 1.2. Решётка /л, свободная модулярная решётка ранга

и решётка £

§ 1.3. Решётка Ьг

§ 1.4. Решётка Ьъ

Глава 2. Модулярность и дистрибутивность 3-порождённых решёток с элементами дистрибутивного и модулярного типов

среди порождающих

§ 2.1. Эквациональные свойства элементов модулярного типа

§ 2.2. Примеры малых немодулярных решёток с порождающими элементами дистрибутивного и модулярного типов среди

порождающих

§ 2.3. Модулярность 3-порожденных решёток с элементами

модулярного типа среди порождающих

§ 2.4. Дистрибутивность 3-порожденных решёток с элементами

модулярного и дистрибутивного типов среди порождающих

Глава 3. Конечные и бесконечные свободные 3-порожденные решётки с порождающими элементами модулярного типа

§ 3.1. Конечность свободных 3-порожденных решёток с элементами

модулярного типа среди порождающих

§ 3.2. Бесконечные свободные 3-порожденные решётки с элементами

модулярного типа среди порождающих

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Свободно 3-порождённые решётки с элементами дистрибутивного и модулярного типов среди порождающих»

Введение

С момента возникновения теории решёток в классических работах Г. Биркгофа, Р. Дедекинда, О. Ope и других математиков внимание в первую очередь было уделено решёткам двух важных классов - классу дистрибутивных решёток и классу модулярных решёток, определяемых посредством тождества дистрибутивности и квазитождества модулярности, соответственно. В последующем изучались элементы решёток, которые в той или иной степени аккумулировали в себе свойство дистрибутивности. Так, Г. Биркгоф [15] определил нейтральный элемент как такой элемент решётки, который в совокупности с любыми двумя другими элементами порождает дистрибутивную подрешётку, определения дистрибутивного и стандартного элементов используют тождество дистрибутивности.

Приведём основные определения, указывая, кому они принадлежат.

Определение 1. ([21]) Элемент d решётки L называется дистрибутивным, если

Vjc,_y е L\ dv (х л у) = (d v х) л {d vy).

Определение 2. ([17]) Элемент d решётки L называется стандартным, если

Vjc, у е L\ х л (у v d) = (х л у) v (х л d).

Определение 3. Элемент d решётки L называется нейтральным, если Vjc, у е L\ (х а у) v (у л d) v (d л х) = (х vy) л (у v d) л (d v х).

Эквивалентность этого определения упомянутому выше определению нейтрального элемента, предложенному Г. Биркгофом, доказана Г. Гретцером [16].

Отметим, что свойство «быть нейтральным элементом» самодвойственно. Для других свойств естественно возникают двойственные понятия.

Определение 4. Элемент называется кодистрибутивным (костандартным), если он дистрибутивен (соответственно, стандартен) в двойственной решётке.

Для краткости будем говорить, что элемент является элементом дистрибутивного типа, если он обладает каким-либо свойством из определений 1-4 или комбинацией таких свойств.

Обширную информацию об элементах дистрибутивного типа, показывающих естественность и необходимость их изучения можно найти, например, в [1] и [31].

Легко видеть, что определения элементов дистрибутивного типа получены по одной схеме - в равенстве, выражающем закон дистрибутивности, квантор всеобщности применяется только к двум элементам из трех, и оставшийся свободным третий элемент, для которого оказывается истинным сконструированное таким образом высказывание, и получает соответствующее название.

Если в тождестве дистрибутивности зафиксировать не один элемент, а два, то получаем определение дистрибутивной пары (О. Ope [23]). Аналогичный подход естественно применить, используя квазитождество модулярности.

Определение 5. ([36]) Пара элементов (а, Ъ) решётки L называется модулярной, если

Vjc е L\ х < Ъ —» jc v (а л Ъ) = (х v а) л Ь.

Если в этом определении применить квантор всеобщности еще к одному элементу - а или b, то возникают понятия левомодулярного и правомодулярного элементов [31].

Определение 6. Элемент а решётки L называется левомодулярным, если для любого элемента bmL пара (а, Ь) модулярна.

Определение 7. Элемент b решётки L называется правомодулярным, если для любого элемента amL пара (а, Ь) модулярна.

Свойство «быть левомодулярным элементом» самодвойственно, что не имеет места для правой модулярности.

Определение 8. Элемент называется коправомодулярным, если он правомодулярен в двойственной решётке.

Для краткости будем говорить, что элемент является элементом модулярного типа, если он обладает каким-либо свойством из определений 6-8 или комбинацией таких свойств.

Элементы модулярного типа (под разными названиями) изучались О. Ope [22], С. Бхаттой [14], Г. Гретцером и Е. Шмидтом [18], Г. Цассенхаузом [37] и др. Особое внимание уделялось элементам, которые одновременно левомодулярны и коправомодулярны. Это объясняется тем, что в решётке подгрупп (подколец) произвольной группы (произвольного кольца) нормальные подгруппы (двусторонние идеалы) как раз являются такими элементами, хотя обратное утверждение неверно. Оказалось, что многие свойства нормальных подгрупп (идеалов) связаны не с групповыми (кольцевыми) операциями, а с указанными свойствами этих подгрупп (подколец) как элементов решётки подгрупп (подколец). Можно сказать, что переход от свойств решётки в целом к свойствам отдельных элементов локализует эти свойства, позволяя в тоже время достаточно эффективно выстраивать структурную теорию решёток, в которых элементы с такими свойствами имеются. Яркими примерами могут служить такие теоремы, как теорема Куроша-Оре и лемма Цассенхауза «о бабочке», которые показали, что именно этими решёточными свойствами обусловлены важные факты строения групп и колец. В представленной диссертационной работе доказан ряд новых утверждений, позволяющих вскрыть решёточную природу некоторых групповых и кольцевых феноменов. Название для элементов с указанным сочетанием свойств было предложено А. Г. Курошем.

Определение 9. Элемент называется дедекиндовым, если он одновременно левомодулярен и коправомодулярен.

О. Ope [22] такой элемент называл полунормальным; в более поздних работах ([24], [33]) его нередко называли модулярным. Одно из важных свойств дедекиндовых элементов, доказанное в [22], состоит в том, что отображение срь'.х^хлЬ оказывается изоморфизмом интервалов [а, a v Ь] и [а л b, b] при любом b, тогда и только тогда, когда элемент а дедекиндов.

Свойство «быть дедекиндовым элементом» не самодвойственно, поэтому естественно

Определение 10. Элемент называется кодедекиндовым, если он дедекиндов в двойственной решётке.

Г. Гретцер и Е. Шмидт в [18] показали, что любой нейтральный элемент является стандартным, а любой стандартный - дистрибутивным. В то же время не трудно проверить, что любой дистрибутивный элемент является коправомодулярным, а любой стандартный элемент является также левомодулярным и, следовательно, дедекиндовым. Таким образом естественно возникает частичный порядок на совокупности рассматриваемых нами свойств. Этот порядок иллюстрируется рисунком 1, на котором стрелками показаны направления от более сильного свойства к более слабому.

Обращения стрелок в том или ином смысле тоже имеют место. Некоторые из них очевидны из определений, другие следуют из описания свойств стандартных и нейтральных элементов, приведённых, например, в [18]. В частности, элемент стандартен тогда и только тогда, когда он дистрибутивен и левомодулярен. Элемент нейтрален тогда и только тогда, когда он дистрибутивен, левомодулярен и ко дистрибутивен.

нейтральный

Рис. 1: частичный порядок на совокупности рассматриваемых свойств

Ради краткости мы введем рабочие термины для ещё двух вариантов комбинаций свойств.

Определение 11. Элемент называется вполне правомодулярным, если он правомодулярен и коправомодулярен.

Определение 12. Элемент называется вполне модулярным, если он правомодулярен, левомодулярен и коправомодулярен.

Отсутствие совпадений среди свойств, указанных в определениях 6-12, по-видимому, считается очевидным. В связи с этим отметим, что оно легко высматривается также и из результатов нашей работы.

Элементы модулярного и дистрибутивного типов под общим названием «специальные элементы решётки» изучались в работах [34, 35]. Нам, однако, будет удобно различать элементы модулярного и дистрибутивного типов.

При изучении конечнопорождённых алгебр значительное внимание уделяется тому, как влияют свойства порождающих элементов на свойства алгебры в целом. Именно при изучении этого вопроса возникло понятие уже упомянутого нейтрального элемента; С. Бхатта [14] определил М-нейтральный элемент (модулярный аналог нейтрального элемента) как такой элемент решётки, который в совокупности с любыми двумя другими элементами порождает модулярную подрешётку; Г. Гретцер и Е. Шмидт [18] доказали, что 3-порождённая решётка, у которой два порождающих стандартны, дистрибутивна.

Отмеченные результаты о дистрибутивности 3-порожденных решёток, у которых среди порождающих имеется нейтральный элемент или два стандартных, делают естественным вопрос: наличие каких элементов дистрибутивного и модулярного типов среди порождающих гарантируют дистрибутивность или модулярность 3-порождённой решётки.

В модулярной решётке любой элемент является вполне модулярным, но может не быть элементом дистрибутивного типа, вместе с тем в дистрибутивной решётке каждый элемент нейтрален, поэтому при отсутствии элементов дистрибутивного типа естественно интересоваться

модулярностью решётки, а при наличии элементов дистрибутивного типа естественно интересоваться дистрибутивностью решётки.

В диссертации рассматриваются тройки элементов с условием, что в тройке присутствуют элементы дистрибутивного и модулярного типов. Наличие частичного порядка на совокупности свойств элементов индуцирует частичный порядок на тройках элементов: будем говорить, что одна тройка сильнее другой, если есть перестановка элементов в одной из троек, что свойства первого элемента первой тройки влекут наличие свойств первого элемента второй тройки, свойства второго элемента первой тройки влекут наличие свойств второго элемента второй тройки, и свойства третьего элемента первой тройки влекут наличие свойств третьего элемента второй тройки. При этом отметим, что для одного или двух элементов тройки может вообще не предполагаться наличие рассматриваемых свойств.

Если какая-либо тройка элементов порождает дистрибутивную решётку, то и все более сильные тройки также порождают дистрибутивную решётку, если какая-либо тройка элементов порождает модулярную решётку, то и все более сильные тройки также порождают модулярную решётку. Эти наблюдения приводят к постановке следующих двух задач.

Задача 1. Найти все минимальные по силе тройки с элементами модулярного типа, гарантирующие модулярность порождаемой ими решётки.

Задача 2. Найти все минимальные по силе тройки с элементами дистрибутивного и модулярного типов, гарантирующие дистрибутивность порождаемой ими решётки.

Ответ, полученный в диссертации при решении задачи 1, показывает, что не каждая тройка с элементами модулярного типа порождает модулярную решётку. Поскольку любая 3-порожденная модулярная решётка конечна, а свободная решётка ранга 3 и свободная модулярная решётка ранга 4 бесконечны, возникает естественный вопрос, когда будет конечной 3-порожденная решётка, у которой среди порождающих есть элементы модулярного типа.

Задача 3. Найти все минимальные по силе тройки с элементами модулярного типа, порождающие конечную решётку.

В ходе исследования выяснилось, что некоторые 3-порождённые решётки с элементами модулярного типа среди порождающих могут быть заданы конечным числом определяющих соотношений. Поэтому изучение 3-порождённых решёток, заданных тем или иным конечным набором определяющих соотношений, выступает важным инструментом для решения поставленных задач 1-3. Эти исследования выполнены в главе 1.

Для описания решения задачи 3 оказалось полезным введённое нами понятие свободно порождённой решётки, порождающие элементы которой обладают заданными свойствами. Оно является аналогом определения свободной решётки, порождённой частично упорядоченным множеством [1,с. 55].

Определение 13. Свободно порождённой решёткой с заданными свойствами порождающих элементов будем называть решётку Р, порождённую множеством X, некоторые элементы которого обладают какими-либо заданными свойствами (не обязательно одними и теми же для разных элементов) в решётке Р, и удовлетворяющую следующему условию:

если ф - некоторое отображение множества X в произвольную решётку Ь, причём для каждого элемента х & X образ ср(х) обладает теми же свойствами, что и элемент л*, то ср продолжается до гомоморфизма решётки /<' в решётку Ь.

В данной работе под свойствами порождающих элементов понимается наличие элементов дистрибутивного и модулярного типов среди порождающих. В ряде случаев удаётся предъявить конечную решётку, которая является свободно 3-порождённой решёткой с элементами дистрибутивного и модулярного типа среди порождающих. В других случаях возникает вопрос существования таких решёток. В главе 2 показано существование свободно порождённых решёток с элементами модулярного типа среди порождающих. Отметим, что достаточные условия существования свободно порождённой решётки с заданными свойствами порождающих элементов иные, нежели

критерий существования свободной решётки, порождённой частично упорядоченным множеством, сформулированный в [1, с. 55].

И модулярность, и дистрибутивность, и конечность сохраняются при гомоморфизмах, поэтому при решении задач 1-3 достаточно отвечать на вопрос, является ли модулярной, дистрибутивной или конечной решётка, свободно порождённая рассматриваемой тройкой.

Основные результаты.

1. Найдены конечные наборы определяющих соотношений для ряда свободно 3-порождённых решёток, у которых среди порождающих есть элементы дистрибутивного и модулярного типов. Построены диаграммы этих решёток.

2. Найдены все минимальные по силе тройки с элементами модулярного типа, для которых решётка, свободно порождённая такой тройкой, является модулярной.

3. Найдены все минимальные по силе тройки с элементами дистрибутивного и модулярного типов, для которых решётка, свободно порождённая такой тройкой, является дистрибутивной.

4. Найдены все минимальные по силе тройки с элементами модулярного типа, для которых решётка, свободно порождённая такой тройкой, является конечной.

Апробация работы. Результаты проведённого исследования были представлены на Международной конференции «Алгебра и линейная оптимизация» (Екатеринбург, 2012), Международной конференции по алгебре (Киев, 2012), Международных конференциях «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2012,2014,2016,2017), Международной конференции «02М2» (Екатеринбург, 2017). Кроме того, результаты диссертации докладывались на семинаре «Алгебраические системы» (Екатеринбург, 2015 - 2017). Работа автора по теме диссертации была представлена на XVII Свердловском областном конкурсе студенческих научных работ «Научный олимп» (2014), где получила третью премию по направлению «естественные науки».

Глава 1. Некоторые 3-порождённые решётки с определяющими соотношениями

Наличие среди порождающих элементов модулярного и/или дистрибутивного типов естественно приводит к наличию (бесконечного) множества соотношений, связывающих порождающие элементы. В ряде случаев оказывается, что можно выбрать конечное подмножество, для которого остальные соотношения являются следствиями. Мы не ставим задачу в каждом случае находить минимальное множество таких соотношений (т.е. базис), хотя в некоторых случаях это сделано.

В § 1.1 выписано множество всех соотношений между порождающими элементами, из которого в последующих параграфах этой главы выбираются подмножества, определяющие те решётки, которые фигурируют в главах 2 и 3 при решении задач 1-3.

§ 1.1. Множество соотношений и базовые подмножества

Для решёток с элементами а, Ъ, с мы будем использовать следующие краткие обозначения их элементов:

я = {а л Ъ) V (Ь л с) V (с л а);

? = (а V Ь) л (Ь V с) л (с V а);

а3 = а V я = а V (Ь л с);

аг = а л ? = а л (Ь V с);

Ь8 = Ъ V я = Ь V (с л а);

Ьг = Ъ л ? = Ь л (с V а);

с3 = с V я = с V {а л Ь);

сг = с л ? = с л {а V Ь);

а\ = а3 л (Ь V с) = (а V (Ь л с)) л(Ь V с);

а2 = atv (Ь л с) = (а л(Ь V с)) V (Ь л с);

Ь\ = Ь8 л (с V а) = (Ь V (с л а)) л (с V а);

Ъг = Ьг V (с л а) = (Ь л (с V а)) V (с л а);

С1 = с3 л (йг V Ь) = (с V (йг л Ь)) л (а V Ь);

11

сг = Сг V (а л Ь) = (с л (а V Ь)) V (а л Ь); со = (с V (¿/1 л Ь\)) л (¿/1V Ь\).

В следующей лемме приведены некоторые соотношения, которые выполняются между указанными выше элементами в произвольной решётке.

Лемма 1.1. Для любых элементов а, Ъ и с произвольной решётки выполняются неравенства

1) (>а\> а2;

2) (с V а) л (а V Ъ) > а V с\ > а V сг > а8\ 1>{а\/с\)/\(Ъ\/с)>(а\/ С2) л(Ь v с)> а\,

3) (а V с\) л (Ь V с) > с\ > (Ъ л С1) V (с а а); (а V сг) а (Ъ V с) > сг > (Ь а сг) V (с а а); Доказательство.

1) Неравенство дистрибутивности даёт

? = (а v Ь) а (£ v с) а (с v а) > (а v а с)) а (Ь v с) = а8 а (£ v с) = а\. Неравенство модулярности для Ь V с>Ь л с даёт а\ = {а V (Ь а с)) л(Ь V с)>(а л(Ь V с)) V (Ь лс) = аг.

2) Неравенства (с V а) л (а V Ь) > t > с\> С2> я дают

(с V а) л(а V Ь)>а V с\>а V С2>а5. Вторая цепочка неравенств получается из первой пересечением каждого элемента с Ь V с.

3) Неравенства Ь\/с>1>с\>С2>$>сАа дают (а V с\) л (Ь V с) > с\ и с\ > (Ъ а С1) V (с а а), а также (а V с?) а (£ V с) > С2 и сг > (Ь л с^) V (с а а). □

Хорошо известно, что подмножество элементов М8г = {а V Ь V с, а V Ь, с V а, Ь V с, (с V а) л (а V Ь), (а V Ь) л (Ь V с), v с) а (с v а), и {я, (с л а) V (а л Ь), (а л V (£ л с), (Ь л с) V (с л а), а л Ъ, с л а, Ь л с, а л Ь л с} в любой решётке с элементами а, Ь и с является подрешёткой этой решётки (см., например, [1], с. 60-61). Этот факт, а также неравенство \Мзг\ <16 будут неоднократно использоваться в доказательствах результатов этой главы.

Ниже приведён полный список тех определяющих соотношений между элементами а, Ъ и с, которые фигурируют в утверждениях этой главы (в их

записи для краткости использованы введенные выше обозначения).

л Ь3) V л с5) V (с5 л = я (1)

(я, V ¿г) л V сг) л (сг vat) = t (2)

й V ?= (с V й) Л (й V 5) (3)

Ь V ? = (йг V л (£ V с) (4)

с V ? = V с) л (с V а) (5)

й( Л £ = (с Л а) V (й Л (6)

Ь л я = (а л Ь) V (Ь л с) (7)

с л я = л с) V (с л а) (8)

а\ = а2 (9)

Ъх=Ъг (10)

С1=С2 (11)

? = (12)

Со = (с Л (#1 V ¿1)) V (#1 Л ¿1) (13)

£/1 V ¿1 = ((а V ¿1) л(Ь V с)) V ((¿/1 V л (с V а)) (14)

Й1 Л = ((а Л ¿1) v (ь а с)) Л ((¿/1 Л V (с Л а)) (15)

л Ь\ = (а8 л (с V (¿/1 л ¿1))) V л (с V (¿/1 л Ь\))) (16)

¿/1 V ¿1 = (йг5 V (с л (¿/1 V ¿1))) л ф8 V (с л (¿/1 V Ь\))) (17)

сг V (¿/1 л ¿1) = (с V (¿/1 л Ь\)) л (а V Ь) (18)

с5 л (¿/1 V ¿1) = (с л (¿/1 V ¿1)) V (а лЬ) (19)

я = ¿/1 л Ь\ л с5 (20)

£ = V ¿1V с* (21) (£ л С1) V (с л а) = ((а V (Ь л С1)) л с\) V ((а V (Ь л С1)) л Ы) V ф8 л с\) (22) (а V С2) л (Ь V с) = ((Ь л (йг V С2)) V С2) л ((Ь л (йг V сг)) V йгг) л (йгг V сг) (23)

а V (Ь л С2) = (а V (Ь л С1)) л (а V сг) (24)

Ь л(а V с\) = (Ь л(а V сг)) V (Ь л с\) (25)

(■ъ а с\) V с2 = с\ (26)

{а V с2) лс\ = с2 (27)

V ф л С1) = {а\/ ф а С1)) л(Ь V с) (29)

л (йг V С2) = (Ь л (а V С2)) V (с л а) (30)

йгг V (£ л С2) = (а\/ ф а С2)) л(Ь V с) (31)

л (а V С1) = (Ь л (а V С1)) V (с л а) (32)

(£ л сг) v (с а а) = (а v (Ь а С2)) л (33)

(а V С1) а(Ь v с) = (Ь а(а v С1)) V (34)

я = а8 аЬ8 (35)

t = atvbt (36)

(£ л с) V (с л а) = с а (ф а с\) V (с л а)) (37)

ф V с) а(с V а) = с V ((а V с?) л (Ь V с)) (38)

Пусть р1 - множество, состоящее из двух соотношений (1) и (2). Пусть рм - множество, состоящее из соотношений (1)-(11). Пусть р2 - множество, состоящее из соотношений (3) - (11) и (13) - (21). Пусть рз - множество, состоящее из соотношений (3), (4), (6), (7), (9), (10) и (22) - (38).

§ 1.2. Решётка /л, свободная модулярная решётка ранга 3 и решётка £

В этом параграфе рассмотрены 3-порождённые решётки с множествами определяющих соотношений р1 и р\/.

Теорема 1.1. Решётка с порождающими элементами а, Ь, с и множеством определяющих соотношений р1 изоморфна решётке Ь\, изображённой на рисунке 1.1.

Доказательство теоремы опирается на леммы 1.2 - 1.4.

Лемма 1.2. В решётке с элементами а, Ь и с соотношение (1) эквивалентно я = а* а Ь* = Ь* а с* = с* а а*.

Доказательство. Из Леммы 1.1 следует, что а5 > ^ и Ъ5 > л, так что сь л Ьх > s. Но из (1) следует ^ > а5 л Ь5. Оставшиеся равенства верны в силу а-Ь-с симметрии в лемме 1.1 и соотношении (1). Обратная импликация очевидна. □

Пусть Ь - решётка с порождающими а, Ь, с и множеством определяющих соотношений рь Рассмотрим следующие частично упорядоченные подмножества её элементов.

Ма = {а, а V t, а\, а2, аи а л ,?}; Мъ = {b,bv t, ЬЪ\, Ь2, Ьь Ъ л ,?};

Мс = {с, С V t, Сз, С\, С2, сь с Л

Лемма 1.3. Множество М,, и Ма и Мс замкнуто относительно операции л.

Доказательство. Для наглядности проводимых рассуждений на рисунке 1.2 «изображено» частично упорядоченное множество М,7 и Ма и Мс. Неравенства между изображёнными элементами очевидны или проверены в лемме 1.1. Однако мы не утверждаем, что все элементы, показанные на рисунке, различны (поэтому слово «изображено» взято в кавычки).

Проверка замкнутости будет осуществлена в несколько шагов.

16

1) Из условия а V ? е [7; (с V а) л (а V и ((с V а) л (а V Ь)) л V с) = ? получаем (а V л л- = ? для всех л: из интервала [7; Кс].

2) Из определения элемента ¿/1 получаем л л- = ¿/1 для всех л* из интервала [а\, Ъ V с].

3) По Лемме 1.2 л а8 = поэтому л- л _у = я для всех х из интервала [я, с3] и для всех у из интервала [.v, а,].

4) Из определения элемента получаем а л л* = а, для всех л* из интервала \аи Ъ V с].

5) По Лемме \2аас3 = аас3аа3 = аа$, поэтому а а л- = а л я для всех л" из интервала [а а .v, сл].

6) х лу = с ла для всех х из интервала [с л а, с] и для всех у из интервала [с л а, а].

7) Ь > (а л Ь) V (Ь л с) > а л Ь, значит а л ((а л V л с)) = а л Ь.

Поэтому ((а л Ь) V (Ь л с)) лх = а л Ь для всех х из интервала [а л Ь; а].

8) (а л Ь) лх = а лЬ ас для всех х из интервала [а аЬ ас, с].

В силу а-с симметрии в множестве М,7 и Ма и Мс, а также в силу показанных выше неравенств между элементами этого множества приведённых проверок достаточно, чтобы утверждать замкнутость множества М8г ^ Ма и Мс относительно операции л. □

Лемма 1.4. Множество М,7 и Ма и Мь и Мс является подрешёткой решётки Ь.

Доказательство. Пусть л*, у е М5Г и Ма ^ Мъ^> Мс, тогда л-, у е М,7 и Ма и Мс, или л*, у е М,, и Ма и Мь, или л*, у е М,г Мь^> Мс.

В первом случае по лемме 1.3 .х л _у е М5Г и Ма ^ Мь^> Мс. Во втором и третьем случаях .х л_у е М5Г и Ма ^ Мь^> Мс по лемме 1.3 в силу а-Ь-с симметрии в множестве соотношений рь

Множество элементов и Ма и Мъ Мс и множество соотношений р1 самодвойственны, поэтому замкнутость множества М,7 и Ма и Мь и Мс относительно операции V доказывается двойственными рассуждениями. □

Доказательство теоремы 1.1. Из леммы 1.4 следует, что множество М= М,7 и Ма и Мь и Мс является подрешёткой решётки Но указанное множество содержит порождающие элементы решётки Д поэтому Ь = М, в частности, в Л не более 37 элементов. С другой стороны, легко видеть, что оба соотношения из р1 выполняются в решётке Ь\, изображённой на рисунке 1.1, поэтому она -гомоморфный образ решётки Ь для некоторого гомоморфизма ср. Но в решётке Ь\ ровно 37 элементов, поэтому гомоморфизм ср является изоморфизмом решёток. □

В [21] приведены ряд соотношений, которые выполняются в свободной модулярной решётке ранга 3. В [20] 3. Ладзианска выделила из них 15, достаточных для того, чтобы решетка оказалась модулярной, и доказала минимальность этого набора. Теорема 1.1 позволяет уменьшить количество определяющих соотношений свободной модулярной решётки ранга 3 до 11

Следствие 1.1. Решётка с порождающими а, Ь, с и множеством определяющих соотношений рм изоморфна свободной модулярной решётке ранга 3.

Доказательство. Пусть Ь - решётка с порождающими а, Ъ, с и множеством определяющих соотношений рм- С одной стороны, соотношения из р1 выполняются в решётке Ь, поэтому ввиду теоремы 1.1 она - гомоморфный образ решётки Ь\. Каждое соотношение из р.\Д р1 отождествляет не менее двух элементов, так что в Ь не более 28 элементов.

С другой стороны, легко видеть, что все соотношения из рм выполняются в свободной модулярной решётке ранга 3, поэтому она - гомоморфный образ решётки Ь для некоторого гомоморфизма ср. Но в свободной модулярной решётке ранга 3 ровно 28 элементов, поэтому гомоморфизм ср является изоморфизмом решёток. □

Отметим, что множество рд/ также является минимальным множеством определяющих соотношений для свободной модулярной решётки ранга 3. Доказательство этого утверждения приведено в нашей работе [6].

Также в качестве следствия из теоремы 1.1 получается результат Ф. Шика [32] о строении 3-порождённой решётки с одним определяющим соотношением (12).

Следствие 1.2. Решётка с порождающими а, Ъ, с и определяющим соотношением (12) изоморфна решётке изображённой на рисунке 1.3.

Доказательство. Пусть Ь - решётка с порождающими а, Ъ, с и определяющим соотношением (12).

Из леммы 1.1 (с V а) л (а V Ь) > а5 > ^ и Ь V с > Ь5 > поэтому ? > а^ л Ь8 > Теперь из (12) следует а3 л Ь8 = В силу а-Ъ-с симметрии в соотношении (12), а также самодвойственности этого соотношения

выполнение соотношения (12) влечёт по лемме 1.2 выполнение соотношений из рь Ввиду теоремы 1.1 существует гомоморфизм \|/ решётки Ь\ на решётку Ь, переводящий порождающие элементы а, Ъ, с решётки Ь\ в одноимённые порождающие элементы решётки Ь.

Из (12) следует, что а\/1 = а\/$ = ат.е. гомоморфизм 1|/ отождествляет элементы а V / и В силу а-Ъ-с симметрии в соотношении (12) и его самодвойственности при гомоморфизме 1|/ отождествляются элементы в парах Ь V ? и Ъ3, с V ? и с3, а л я и аи Ъ л я и Ьи с л я и сг. Кроме того, вместе с я и ? отождествляются все элементы из интервала [.v, /] решётки Ь\. Поэтому в Л не более 24 элементов. В то же время, легко видеть, что соотношение (12) выполняются в решётке Л1, изображённой на рисунке 1.3, поэтому она -гомоморфный образ решётки Ь для некоторого гомоморфизма ср. Но в решётке £ ровно 24 элемента, поэтому гомоморфизм ср является изоморфизмом решёток. □

§ 1.3. Решётка Ьг

В этом параграфе рассмотрена 3-порождённая решётка с определяющими соотношениями р2.

Теорема 1.2. Решётка с порождающими а, Ь, с и множеством определяющих соотношений рг изоморфна решётке Ьг, изображённой на рисунке 1.4.

Доказательство теоремы опирается на леммы 1.5-1.10.

Лемма 1.5. В решётке с элементами а, Ь и с соотношение (14) эквивалентно а\ V Ь\ = {а V Ь\) л (Ь V с) = (а\ V Ь) л (с V а).

Доказательство. Из Ь л с < я < Ь\ следует а\ < а8 < а V Ь\, также верно а\ V Ь\ < ? < Ь V с, поэтому а\ V Ь\ < {а V Ь\) л (Ь V с). Но из (14) следует а\ V Ь\ > {а V Ь\) л (Ь V с). Второе равенство верно в силу а-Ь симметрии в соотношении (14). Обратная импликация очевидна. □

Лемма 1.6. В решётке с элементами а, Ь и с соотношение (16) эквивалентно а\ л Ь\ = а3 л (с V (<а\ л Ь\)) = Ь8 л (с V (¿/1 V ¿1)).

Доказательство. Из ¿/1 л ¿1 < а\ < а3 следует а\ л Ь\ < а3 л (с V (¿/1 л ¿1)). Но из (16) следует а\ лЬ\>а5 а(с v (а.\ л ¿1)). Второе равенство верно в силу а-Ъ симметрии в соотношении (16). Обратная импликация очевидна. □

Пусть Ь - решётка с порождающими а, Ь, с и множеством определяющих соотношений Рассмотрим следующие частично упорядоченные

подмножества её элементов.

Ма = {(с V а) л {а V Ь), а V Ь\, а};

Мъ = {(a v b) л (b v с), v а, Ь};

Мс = {(b v с) л (с v а), с v (а\ л ¿1), cÄ, с};

Mab = {av b\, b\ v а, öi v ¿1, a, b, a\, b 1, ar, bt, a\ лЬ\,а л b\, b\ л а};

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Шушпанов, Михаил Павлович, 2018 год

Список литературы

[1] Гретцер, Г. Общая теория решеток. / Г. Гретцер. — М.: Мир, 1982.

[2] Шушпанов, М. П. Достаточные условия модулярности решётки с порождающими элементами, обладающими свойствами типа модулярности / А. Г. Гейн, М. П. Шушпанов // Сибирский математический журнал. - 2015. - Т. 56. - № 4. - С. 798-804.

[3] Шушпанов, М. П. Конечнопорождённые решётки с вполне модулярными элементами среди порождающих / А. Г. Гейн, М. П. Шушпанов // Алгебра и логика. — 2013. — Т. 52. — № 6. — С. 657-666.

[4] Шушпанов, М. П. Модулярность и дистрибутивность 3-порождённых решёток со специальными элементами среди порождающих / А. Г. Гейн, М. П. Шушпанов // Алгебра и логика. — 2017. — Т. 56. — № 1. — С. 3-19.

[5] Шушпанов, М. П. О бесконечности свободной 3-порожденной решетки с одним левомодулярным порождающим / М. П. Шушпанов // Сибирские электронные математические известия. — 2017. — Т. 14. — С. 528-532.

[6] Шушпанов, М. П. Об определяющих соотношениях свободной модулярной решетки ранга 3 / А. Г. Гейн, М. П. Шушпанов // Известия высших учебных заведений. Математика. — 2013. — № 10. — С. 69-72.

[7] Шушпанов, М. П. О вложении свободной решётки ранга 3 в свободную решётку, порождённую тремя вполне правомодулярными элементами / М. П. Шушпанов // Международная конференция «Мальцевские чтения»: Тез. докл. Новосибирск. — 2017. — С. 160.

[8] Шушпанов, М. П. О конечности 3-порождённой решётки с ограничениями типа модулярности на порождающие элементы / М. П. Шушпанов // Международная конференция «Мальцевские чтения»: Тез. докл. Новосибирск. - 2016. - С. 203.

[9] Шушпанов, М. П. О подрешётке, порождённой модулярными элементами / А. Г. Гейн, М. П. Шушпанов // Международная алгебраическая конференция «Алгебра и линейная оптимизация», посвященная 100-летию С.Н. Черникова: Тез. докл. Екатеринбург. — 2012. — С. 47.

[10] Шушпанов, М. П. О решетках, порожденных вполне модулярными элементами / А. Г. Гейн, М. П. Шушпанов // Международная алгебраическая конференция «Мальцевские чтения»: Тез. докл. Новосибирск. — 2012. - С. 52.

[11] Шушпанов, М. П. Решётки, порождённые модулярными элементами / М. П. Шушпанов // Известия высших учебных заведений. Математика. — 2015. - № 12. - С. 84-86.

[12] Шушпанов, М. П. Решётки с определяющими соотношениями, близкими к дистрибутивности / А. Г. Гейн, М. П. Шушпанов // Сибирский математический журнал. — 2017. — Т. 58. — № 6. — С. 1267-1275.

[13] Шушпанов, М. П. Условия дистрибутивности 3-порождённых решёток / А. Г. Гейн, М. П. Шушпанов // Международная алгебраическая конференция «Мальцевские чтения»: Тез. докл. Новосибирск. — 2014. — С. 131.

[14] Bhata, S. P. A characterization of neutral elements by the exclusion of sublattices / S. P. Bhata // Discrete Mathematics. - 2009. - Vol. 309. -P. 1691-1702.

[15] Birkhoff, G. Neutral elements in general lattices / G. Birkhoff // Bull. Amer. Math. Soc. - 1940. - Vol. 46. - P. 702-705.

[16] Gratzer, G. A characterization of neutral elements in lattices. (Note on Lattice Theory, I) / G. Gratzer // Magyar Tud. Akad. Mat. Kutato Int. Kozl. - 1962. - Vol. 7. - P. 191-192.

[17] Gratzer, G. Standard ideals / G. Gratzer // Magyar Tud. Akad. Mat. Fiz. Oszt. Kozl. - 1959. - Vol. 9. - P. 81-97.

[18] Gratzer, G. Standard ideals in lattices / G. Gratzer, E. T. Schmidt // Acta Math. Acad. Sci. Hungar. - 1961. - Vol. 12. - P. 17-86.

[19] Kolibiar, M. Distributive sublattices of a lattice / M. Kolibiar // Proc. Amer. Math. Soc. - 1972. - Vol. 34. - № 2. - P. 359-364.

[20] Ladzianska, Z. Modular substructures of a structure / Z. Ladzianska // Mat. casop. - 1974. - Vol. 24. - № 1. - P. 81-83.

[21] Ore, O. On the foundations of abstract algebra. I/O. Ore // Ann. of Math. — 1935. - Vol. 36. - P. 406-437.

[22] Ore, O. On the theorem of Jordan-Holder / O. Ore // Trans. Amer. Math. Soc. - 1937. - Vol. 41. - P. 266-275.

[23] Ore, O. Structures and group theory. II / O. Ore // Duke Math. J. - 1938. -Vol. 4. - № 2. - P. 247-269.

[24] Schmidt, R. Subgroup Lattices of Groups / R. Schmidt. — Berlin: Walter de Cruyter, 1994.

[25] Shushpanov, M. P. Free 3-Generated Lattices with Two Semi-Normal Generators / A. G. Gein, M. P. Shushpanov // Order. - 2018. - P. 1-6.

[26] Shushpanov, M. P. On 3-generated lattices with a completely modular element among generators / M. P. Shushpanov // Algebra Univ. — 2017. — Vol. 78. — № 3,-P. 377-387.

[27] Shushpanov, M. P. On the embedding of the free lattice of rank 3 in the lattice freely generated by three completely right modular elements / M. P. Shushpanov // Siberian Electronic Mathematical Reports. — 2017. — Vol. 14. - P. 1215-1219.

[28] Shushpanov, M. P. Nonmodular lattices generated by modular elements / M. P. Shushpanov // International Conference on Algebra dedicated to 100th anniversary of S. M. Chernikov: Book of abstracts. Kyiv, Ukraine. — 2012. — P. 146.

[29] Shushpanov, M. P. On lattices with left modular and distributive elements among generators / M. P. Shushpanov // The International Conference and PhD-Master Summer School «Groups and Graphs, Metrics and Manifolds»: Book of abstracts. Yekaterinburg. — 2017. — P. 93.

[30] Shushpanov, M. P. The Minimal System of Defining Relations of the Free Modular Lattice of Rank 3 and Lattices Close to Modular One / A. G. Gein, M. P. Shushpanov // Mathematics and Statistics. — 2014. — Vol. 2. — № 1. — P. 27-31.

[31] Stern, M. Semimodular Lattices. Theory and Applications / M. Stern. — Cambridge: Cambridge University Press, 1999.

[32] Sik, F. Modular and Distributive Equalities in Lattices / F. Sik // Mat. casop. — 1973. - Vol. 23. - № 4. - P. 342-351.

[33] Varea V. R. Modular subalgebras, quasi-ideals and inner ideals Lie algebras of prime characteristic / V. R. Varea // Comm. in Algebra. — 1993. — Vol. 21. -№ 11. - P. 4195-4218.

[34] Vernikov, B. M. Special elements in lattices of semigroup varieties / B. M. Vernikov // Acta Sci. Math. (Szeged). - 2015. - Vol. 81. - № 1-2. - P. 79109.

[35] Vernikov, B. M. Special elements of the lattice of epigroup varieties / V. Yu. Shaprynski, D. V. Skokov,B. M. Vernikov//Algebra Univ. — 2016. — Vol. 76. -№ 1. - P. 1-30.

[36] Wilcox, L. R. Modularity in the theory of lattices / L. R. Wilcox // Ann. of Math. - 1939. -Vol. 40. - № 2. - P. 490-505.

[37] Zassenhaus, H. The theory of group / H. Zassenhaus. — 2nd ed. — New York: Chelsea Publishing Company, 1958.