Существование глобальных решений одного класса квазилинейных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Романова, Ирина Андреевна

• Романова, Ирина Андреевна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Романова, Ирина Андреевна

Оглавление

Введение

1 Параметрическое представление решений квазилинейного уравнения

1.1 Вспомогательные результаты

1.1.1 Уравнения эллиптического типа

1.1.2 Преобразование Лежандра

1.1.3 Гипергеометрическая функция Гаусса

1.1.4 Монотонность композиций гипергеометрических функций

1.1.5 Вырожденная гипергеометрическая функция Куммера

1.1.6 Связь гипергеометрической функции Гаусса и функции Куммера

1.1.7 Некоторые числовые оценки параметров полученных гипергеометрических функций

1.2 Построение решений квазилинейного уравнения

1.2.1 Переход к фазовой плоскости

1.2.2 Решение линейного уравнения в фазовой плоскости

1.2.3 Параметрическое представление построенных решений

1.3 Решения уравнения Саймона

2 Существование целых решений

2.1 Свойства градиентного отображения

2.1.1 Свойства функциональных коэффициентов градиентного отображения

2.1.2 Разложение в ряды функциональных коэффициентов параметризации решения квазилинейного уравнения

2.1.3 Локальная инъективность градиентного отображения и оценка знака его якобиана

2.2 Глобальная инъективность градиентного отображения

2.3 Оценка гладкости решения в начале координат

2.4 Оценка роста решения на бесконечности

2.5 Замечания о росте решения

2.6 Теорема существования

3 Связь УУ-решений и гармонических полиномов

3.1 Предварительные замечания

3.2 Представление гармонических полиномов в терминах параметризации решения

3.3 Поведение функций специального вида

3.3.1 Положительность вспомогательной функции

3.3.2 Поведение вспомогательной функции на кривых специального вида

3.4 Связь А^-решений и гармонических полиномов

3.5 Замечание о минимальных поверхностях

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Существование глобальных решений одного класса квазилинейных уравнений»

Введение

Данная работа посвящена изучению качественных свойств целых, т.е. определенных во всей плоскости аргументов {х,у), решений квазилинейного уравнения

ЬЪ£[и] = ихх (2£+(7+ 1)и2х + (7 - 1 )и2у) ху ихиу +

+ иуу(2£+(1 + 1)и2у + {1-1)и2х) =0, (1)

где |7| > 1, е — 0, 1 или — 1.

Актуальность. Многие задачи анализа и геометрии «в целом» приводят к квазилинейным уравнениям, которые обладают квадратичной нелинейностью по отношению к первым производным. Особое место в изучении свойств решений таких уравнений занимают так называемые целые решения или решения с минимальным набором особых точек. Данный класс решений, в том случае если он не пуст, описывает внутренний характер соответствующего уравнения, а также его симметричные и структурные свойства.

Задача о тривиальности целых решений квазилинейных уравнений в частных производных имеет обширную историю и является, фактически, одной из классических задач. Хорошо известная теорема С. Н. Бернштейна [27] утверждает, что целыми решениями уравнения минимальных поверхностей

(1 + и2) ихх - 2ихиу иху + (1 + и2х) иуу = 0 будут только линейные функции и(х, у) = ах + Ъу + с (здесь а, 6, с — числа).

Глубокие обобщения данного феномена как для многомерного случая, так и для более широкого класса квазилинейных уравнений были получены в 60-80-х г.г. О. А. Ладыженской, В. М. Миклюковым, Дж.Дж. Ниче, Л. Саймоном, Дж. Серрином, Дж. Симонсом, Р. Финном, и многими другими математиками. Подробную библиографию по данному вопросу можно найти, например, в [17].

Тем не менее, в недавнем обзоре по целым решениям [30] показано, что основную трудность исследований составляют как проблема унификации методов для различных классов эллиптических уравнений, так и слабая изученность вопросов строения целых решений в тех случаях, когда они существуют. При этом, особый интерес представляют уравнения, не являющиеся обобщением уравнения минимальных поверхностей (так называемый «неклассический случай»), для исследования которых требуется разработка новых и переосмысление известных методов.

В том же обзоре Л. Саймон приводит пример довольно широкого класса уравнений вариационного типа}, для которых выполняется свойство Берн-штейна. Данный класс, с одной стороны, содержит уравнение минимальных поверхностей как частный случай, а с другой стороны, включает и уравнения, не относящиеся к уравнениям типа минимальных поверхностей ([30, стр. 349-350]).

Другой пример «неклассического» уравнения был исследован Г. Аронссо-ном в рамках проблемы продолжения липшицевых функций. В 1964 г. он показал [24], что уравнение

2 2 ^х^хх ^^ху^х^у ^у^уу = 0

обладает, в терминологии работы [30], «свойством Бернштейна», т.е. его С2-гладкие решения — линейные функции. Однако позже, в 1984 г., для того же уравнения Г. Аронссон получает дискретное семейство нетривиальных квазирадиальных решений, имеющих гельдерову особенность в начале ко-

^ермин взят из статьи Л. Саймона [30]

ординат [25], то есть решений класса С1,а, где 0 < а < 1. Применяя метод работы [25] в исследовании уравнения

ихх((7 + 1 )и2х + (7 - + 4ихуихиу + иуу{{7 + + (7 - = (2)

где | 7 | > 1, Г. Аронссон также установил наличие нелинейных целых решений вида и = гкм/дг {0) в полярных координатах для некоторой 27г-периоди-ческой функции /дг(0)> гДе произвольное натуральное число.

Однако, полученные им представления решений имеют сложный и неявный характер, получение явного вида функции /дг(0) даже при N = 2 вызывает значительные трудности.

Используя альтернативный подход к исследованию уравнения (2) В. Г. Ткачев [31] получил явный вид квазирадиальных iV-решений в форме специальной алгебраической параметризации:

и(х,у) = СК^-»-" • ReCV х + гу = К1СГ"1» + С™-\ С 6 С.

Здесь С означает комплексное сопряжение, к = k(N, 7) - наибольший корень уравнения

(2N - 1)(7 + 1 )к2 - 2(А27 + 2N - 1 )к + iV2(l + 7) = О, N £ N,

и ¡л = /i(iV, 7) — некоторый параметр, зависящий от N и 7. Как следствие, доказано, что особенности квазирадиальных решений имеют вполне алгебраический характер (что уточняет хорошо известный гельдеров характер особенностей р-гармонических функций). Кроме того, описаны все значения 7, при которых уравнение (2) допускает нетривиальные (т.е. отличные от линейных) алгебраические iV-решения и доказана конечность множества соответствующих индексов N при каждом фиксированном ¡7) > 1 (при 7=1 доказано, что все TV-решения - алгебраические функции).

Цель работы. По проблематике диссертационная работа относится к очерченному направлению. Целью работы является построение семейства

целых решений уравнения (1) для |7|>1,7 = 1и£т^0и исследование качественных свойств и структурного строения полученных решений.

Методика исследования. Методы исследования относятся к методам структурной теории свойств целых решений, уравнений в частных производных, дифференциальной геометрии, теории специальных трансцендентных функций. В частности, применяются методы, развитые в недавних работах Г. Аронссона, В. А. Клячина, В. М. Миклюкова, В. Г. Ткачева, Л. Саймона, С. Т. Яу.

Научная новизна и практическая значимость. Отметим, что исследуемое уравнение (1) охватывает широкий спектр уравнений геометрии (поверхности нулевой средней кривизны), нелинейной теории потенциала (уравнения р-Лапласа), газодинамики и др. Для уравнений подобного вида проблема существования нетривиальных целых решений относительно мало изучена ввиду отсутствия сложившейся методологии, каких-либо стандартных подходов как, например, в теории уравнений типа минимальных поверхностей.

Диссертация носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы в научных коллективах, занимающихся изучением специальных трансцендентных функций, решений эллиптических дифференциальных уравнений, а также найти применение в специальных курсах по математическому анализу.

Результаты, выносимые на защиту:

1. Получено явное параметрическое представление семейства решений уравнения (1) в терминах гипергеометрической функции Гаусса при [7! > 1 и в терминах вырожденной гипергеометрической функции при 7 = 1.

2. Показано, что построенные решения уравнения (1) являются С2 -гладкими целыми функциями, а это означает невыполнение свойства Бернштейна.

3. Исследовано поведение построенных решений на бесконечности, в частности, установлен степенной характер роста.

4. Выявлена структурная связь между полученными решениями и гармоническими полиномами.

Апробация исследования.

Основные результаты диссертации докладывались на российских и международных конференциях: X международной Казанской летней научной школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (2011), семинаре-совещании «Сети в анизотропных пространствах» (Волгоград, 21 - 23 апреля 2011 г.), VIII международной Казанской летней научной школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (2007), VII международной Казанской летней научной школ е-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (2005), на Международной школе-конференции по Анализу и Геометрии (г. Новосибирск, 2004), на Международной конференции «Алгебра и Анализ 2004» (г. Казань, 2004), на Международной школе-конференции «Геометрический анализ и его приложения» (г. Волгоград, 2004), а также на научных конференциях молодых ученых Волгоградской области (2002-2005 гг.) и конференциях профессорско-преподавательского состава ВолГУ (2002-2006гг.).

Кроме того, все результаты докладывались в разное время на научном семинаре «Геометрический анализ и его приложения» кафедры МАТФ ВолГУ (рук. д.ф.-м.н. В.М. Миклюков), на семинаре «Эллиптические дифференциальные уравнения на римановых многообразиях» (рук. д.ф.-м.н. А.Г. Лосев), на семинаре кафедры математического анализа Саратовского государственного университета (рук. д.ф.-м.н. Д.В. Прохоров).

Исследовательская работа «Новые примеры поверхностей нулевой средней кривизны в пространстве Лоренца®!»; представленная на ХЬ Международную научную студенческую конференцию «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2002 г.) отмечена дипломом III степени.

Кроме того, на конференциях профессорско-преподавательского состава ВолГУ работы автора неоднократно удостаивались призовых мест: «Некоторые максимальные периодические поверхности в пространстве Лоренца Мг,» удостоена III места среди студенческих работ в 2002 г.; «Поверхности нулевой средней кривизны, допускающие периодическую структуру» отмечена дипломом I степени в 2003 г.; «О связи целых решений уравнения Саймона и гармонических полиномов» отмечена дипломом I степени (2004 г.).

Исследования по теме диссертации были поддержаны грантами РФФИ №03-01-00304 и Федерального агентства по образованию для поддержки научно-исследовательской работы аспирантов ЖА.04-2.8-932, математического факультета ВолГУ.

Структура диссертации.

Диссертация состоит из трех глав и библиографического списка из 31 наименования. Объем диссертации 95 страниц.

Содержание диссертации.

В первой главе приводятся вспомогательные сведения, доказываются некоторые числовые неравенства, необходимые в работе, а также приводится метод построения решений уравнения (1).

Вторая глава содержит доказательство невыполнения свойства Берн-штейна для уравнения (1), а именно показано, что построенные в первой главе решения являются целыми С2 -гладкими функциями. Кроме того, исследован характер роста решений на бесконечности.

В третьей главе показана структурная связь между построенными ре-

-хотениями и гармоническими полиномами.

Перейдем к точным формулировкам полученных результатов. При исследовании квазилинейного уравнения (1) мы ограничиваемся случаем эллиптичности его типа. Это равносильно тому, что е и 7 должны иметь одинаковые знаки

5 = sgn 7.

Для построения решений уравнения (1) мы используем подход, аналогичный методу работ [24], [25], [26] и примененный для получения целых решений при s = 0 в [31]. Суть его сводится к следующему.

Перейдем к фазовой плоскости с помощью преобразования Лежандра [16, стр. 43]

£ = их{х,у), г] = иу(х,у)7 v(Ç,rj) = xÇ + yrj - и(х,у).

При этом отображении квазилинейное уравнение (1) примет вид линейного уравнения

Vtf [2£ +(7 + 1W + (7 - 1)£2] -

+ V/[2£+(7+l)e2 + (7-l)^2] =0,

решениями которого для | 7 | > 1 являются функции вида

v(p: в) = рк F (a, b; с; cos N6,

2

где 1 < к < 2, а

F(a, b; с; -Ц-V) = 2^1 (а, Ь; с; Р2)

гипергеометрическая функция с параметрами, заданными равенствами

с = к + 1. В случае 7=1 квазилинейное уравнение

1x^(1 + и2) + 2 ихуихиу + иуу(1 + и2) = 0

будет преобразовано в

4(1 + Т72) - 2^77 + v'^il + = 0.

Соответственно, решением данного уравнения будет

к - к2 п2

у(р, в) = рк ФС-у, 1 + A;; -Ç) COS M?,

где 1 < к < 2 и 1 + к] — вырожденная гипергеометрическая

функция.

Таким образом, поскольку обратное преобразование к преобразованию Лежандра само является пробразованием Лежандра, решение квазилинейного уравнения (1) будет определяться параметризацией

£ = ^(£,7?), y = vv(Ç,r}), u = x£ + yri-v(Ç,r)).

Тем не менее, следует отметить, что преобразование Лежандра возможно только в точках, для которых якобиан У^Ущ — v2rj не обращается в нуль. Такие точки будем называть неособыми.

И будет справедлива следующая теорема.

Теорема 1.1. Пусть |7| > 1, iV > 2 - произвольное натуральное число, к = jj^j и f(p) = pkF{a, 6; с; — ^ р2), где F(a} 6; с; t) — гипергеометриче-скал функция Гаусса с параметрами

« = ^ + 72-l) + lY

Ъ = + ^ + 72-1) + I],

с = k + 1. Тогда параметрическое представление

х = А(р) cos(2N- 1)9 + В(р) cos в, у = A{p)sm(2N-l)e-B(p)sme, (1.4)

идг = М{р) cos N9,

задае?п непрерывную функцию ujy(x, у), являющуюся решением уравнения (1)

в окрестности неособых точек (р,6). Здесь

Л(Р) = 1(Г(Р)-!Р(Р)) В{р) = +

М(р) = рГ(р)-Пр)-

(1.5)

Определение 1.5. Решения уравнения (1) в форме (1.3) — (1.5) будем называть N -решениями.

Следует отметить, что, в силу метода построения, а-рпоп не известно будет ли построенное решение являться целым и, вообще говоря, однозначным. Доказательство этих фактов требует более тонкого анализа и связано с исследованием свойств отображения

которое в дальнейшем будем называть градиентным. Также будем использовать комплексную форму отображения, полагая, что С = £+¿7?, а IV = х+гу.

В свою очередь, изучению поведения отображения \¥ предшествует исследование монотонных свойств гипергеометрических функций и их комбинаций специального вида.

Особую роль играют следующие леммы.

Лемма 2.1. Пусть |7| > 1,к = N/(N—1) для натуральных N > 2. Пусть также параметры а, Ъ и с удовлетворяют (1.3), а А(р) и В(р) определены равенствами (1.5). Тогда

(г) функция -щ^у положительна, возрастает при 7 > 1 (или отрицательна и убывает при 7 < — 1), и имеет место соотношение

р-^+оо В{р) —а+к'

(%%) функция В(р) положительна при всех р > 0, а А(р) сохраняет знак, причем sgn А(р) = sgn7.

—а

Лемма 2.2. Пусть | 7 | > к — N/[И — 1) для натуральных N > 2. Пусть также параметры а, Ъ и с удовлетворяют (1.3), а А(р) и В(р) определены равенствами (1.5). Тогда для любого р ^ 0 справедливы неравенства:

А(р) В(р)

£ 1

И(п\ ^ 2Л/-1'

(и) О, В' > \А'\ ^ О.

Причем равенства в неравенствах пункта (и) достигаются только при /о = 0.

С помощью этих двух результатов получены следующие свойства градиентного отображения .

Лемма 2.3. Градиентное отображение \У инъективно переводит каждую окружность радиуса р > Об жорданову кривую, не проходящую через начало координат.

Лемма 2.4. Якобиан градиентного отображения отрицателен при

С^о.

Теорема 2.1. Градиентное отображение является гомеоморфизмом

плоскости на себя.

Отметим, что из теоремы 2.1, следует, что построенные решенияидг(ж, у) являются однозначно определенными функциями, заданными на всей плоскости аргументов х, у. В свою очередь, свойство С2-гладкости и оценка роста решения на бесконечности устанавливаются непосредственными вычислениями.

Таким образом, можно сформулировать основной результат главы 2.

Теорема 2.2. Пусть 171 ^ 1; 7 — I и е = sgn7. Для любого натурального N существует целое С2 -гладкое решение и^(х,у) уравнения (1), которое имеет на бесконечности степенной рост

им{х,у)

Нт . = С, С ф 0,

где

а =1ь_(N-l)|7-l|_

VN4l2 -1) + (N - I)2 - (N - 1)1 7 I '

Остановимся на двух моментах формулировки теоремы. Во-первых, значению N = 1 отвечают линейные решения уравнения (1). Однако они не входят в построенное семейство (1.3) — (1-5) и, вообще говоря, считаются тривиальными, поскольку их наличие предусматривается свойством Бернштейна.

Во-вторых, случай 7 = 1 отвечает уравнению Саймона

Uxx{ 1 + и2) + 2 UxyUxUy + Uyy{ 1 + и2 ) = 0, (6)

задача о существовании нетривиальных решений которого была поставлена в [30] в контексте его связи с уравнением минимальных поверхностей

ихх{ 1 + и2) - 2ихуихиу + иуу( 1 + и2х) = 0

и уравнением Аронссона

2 2 их ихх 2uXyUxUy + Uy Uyy = 0.

Известно, что оба уравнения не имеют нетривиальных С2 -гладких решении (см. [27], [24]) и при этом, уравнение минимальных поверхностей и уравнение Саймона можно рассматривать как сопряженные, а уравнение Аронссона выступает как однородное для уравнения Саймона.

В то же время, уравнение (6) имеет семейство нетривиальных целых решений, параметрическое представление которых можно получить из параметризации общего случая (1.3) — (1.5) предельным переходом 7 —> 1. В результате получим

ж = А(р) cos(27V - 1)0 + В(р) cos в, у = А{р) sin(2N - 1)в - В{р) sin0, uN = М{р) cos N6,

где

Л(р) = \{f ~ -/), В(р) = \{f + -/), М{р) = pf - /, 2 р 2 р

и

/(/>).= Л + *;-£),

а через Ф(а, c\t) обозначена вырожденная гипергеометрическая функция

Куммера и к = N/(N — 1).

При этом, рост решения будет определяться соотношением

N2

Q^ = 2А^Т'

Построенные TV-решения квазилинейного уравнения (1) находятся в естественном соответствии с классом гармонических полиномов степени N вида Re(a; + iy)N. А именно, справедлива теорема.

Теорема 3.1. Пусть |7| > 1 и е = sgn7; N ^ 2 — произвольное натуральное число, a ujsr{z) = uj\r(x,y) — решение уравнения (1), задаваемое параметризацией (1.3)—(1.5).

Тогда имеет место разложение

uN(z) = Un(z) Re zN,

где Un(z) — некоторая положительная непрерывная функция. Причем, UN{z) ограничена сверху при 7 > 1

(N -l)N-1

О < UN(z) < UN(0) = -,

а при 7 < — 1 удовлетворяет неравенству

UN(z) > UN(0).

Пользуясь случаем, автор хотел бы выразить глубокую благодарность за полезные обсуждения, замечание и постоянное внимание к работе научному руководителю д.ф.-м.н. В. Г. Ткачеву, а также д.ф.-м.н. А. Г. Лосеву, д.ф.-м.н. В. М. Миклюкову, д.ф.-м.н. А. А. Клячину, к.ф.-м.н. Е. А. Мазепе и к.ф.-м.н. А. Н. Кондрашову, П. Левинтану

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Романова, Ирина Андреевна, 2012 год

Литература

[1] Бакельман, И.Я. Геометрические методы решения эллиптических уравнений / И.Я. Бакельман. — М.: Наука, 1965. — 340 с.

[2] Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. — М. : Наука, 1965. - 296 с.

[3] Безбородов, П.А., Контрпример к гипотезе Саймона / П.А. Безбородов // Тезисы Трудов Международной конференции по анализу и геометрии, Новосибирск, 30 авг.-З сент. 1999. — Новосибирск : Изд-во ИМ СО РАН. - 1999. - С. 10-11.

[4] Гилбарг, Д. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка / Д. Гилбарг, Н. Трудингер. — М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 464 с.

[5] Зорина, И.А. О целых решениях квазилинейных уравнений с квадратичной главной частью/ И.А. Зорина, В.Г. Ткачев // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. — 2008. — JY2 3. — С. 108-123.

[6] Зорина, И.А. О связи целых решений уравнения Саймона и гармонических полиномов / И.А. Зорина // Избранные труды молодых ученых математического факультета ВолГУ, апрель 2005 г. — Волгоград : Изд-во ВолГУ, 2006. - С. 16-19.

[7] Зорина, И.А. Целые решения уравнения Саймона / И.А. Зорина, В.Г. Ткачев //Геометрический анализ и его приложения : труды

международной школы-конференции, г. Волгоград, 24—30 мая 2004 г. - Волгоград : Изд-во ВолГУ, 2005. - С.55-74.

[8] Зорина, И.А. Примеры максимальных периодических поверхностей в R\ / И.А. Зорина // Вестник ВолГУ. Серия 9: исследования молодых ученых. - 2003. - № 1. - С. 17-20.

[9] Зорина, И.А. О целых решениях одного класса квазилинейных уравнений /' И.А. Зорина // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского : материалы VIII международной Казанской летней научной школы-конференции — Казань: Изд-во Казанского математического общества, 2007. - Т. 35. - С. 112-113.

[10] Зорина, И.А. О связи целых решений уравнения Саймона и гармонических полиномов / И.А. Зорина // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского : материалы VII международной Казанской летней научной школы-конференции — Казань: Изд-во Казанского математического общества, 2005. — Т. 30. — С. 80—81.

[11] Зорина, И.А. Строение целых решений уравнения Саймона / И.А. Зорина, В.Г. Ткачев // Международная школа-конференция по анализу и геометрии, посвященная 75-летию академика Ю. Г. Решетника. — Новосибирск: Институт математики имени С. Л. Соболева СО РАН, 2004. - С. 105-106.

[12] Зорина, И.А. Вырожденная гипергеометрическая функция и решения квазилинейных уравнений / И.А. Зорина // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского : материалы международной конференции — Казань: Издательство Казанского математического общества, 2004. - Т.23 - С.94-95.

[13] Зорина, И.А. Новые примеры поверхностей нулевой средней кривизны в пространстве Лоренца / И.А. Зорина // Материалы XL международ-

ной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика. — Новосибирск: Изд-во НГУ, 2002. — С. 54—56.

[14] Зорина, И.А. Некоторые максимальные периодические поверхности в пространстве Лоренца / И.А. Зорина // Материалы VII межвузовской конференции студентов и молодых ученых г. Волгограда и Волгоградской области, г.Волгоград, 12—15 ноября 2002 г. Вып.4: Физика и математика. — Волгоград : Изд-во ВолГУ, 2002. — С. 49—50.

[15] Курант, Р. Уравнения с частными производными / Р. Курант. — М.: Мир, 1964. - 830 с.

[16] Курант, Р. Методы математической физики / Р. Курант, Д. Гильберт.

- М.: ОГИЗ, 1945. - Т.1. - 538 с.

[17] Миклюков, В.М. Об одном новом подходе к теореме Бернштейна и близким вопросам уравнений типа минимальных поверхностей / В.М. Миклюков // Матем. сб. - Т. 108(150):2. - 1979. - С. 263-289.

[18] Романова, И.А. А^-решения уравнения минимальных поверхностей /' И.А. Романова // Труды Математического центра им. Н. И. Лобачевского : материалы X международной Казанской летней научной школы-конференции — Казань : Изд-во Казанского математического общества; Изд-во Казанского государственного университета, 2011. — Т. 43. — С. 308-309.

[19] Свешников,А.Г. Теория функций комплексной переменной /А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов. — М.: Наука. Физматлит, 1999. — 319 с.

[20] Суетин, П.К. Классические ортогональные многочлены / П.К. Суетин.

- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 480с.

[21] Уиттекер, Э.Т. Курс современного анализа / Э.Т. Уиттекер, Дж. Н. Ват-сон. - М.: Едиторал УРССб, 2002. - 4.1. - 516 с.

[22] Фихенгольц, Г.M. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г.М. Фихенгольц // [Учеб. пособие] : В 3 т. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - Том I. - 616 с.

[23] Фихенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления /Г.М. Фихенгольц // [Учеб. пособие] : В 3 т. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - Том I. - 810 с.

[24] Aronsson, G. On the partial differential equation uxxu2+2uxyuxuy+uyyuy = 0/ G. Aronsson// Ark. Mat. - 1968. - N 69. - P. 395-425.

[25] Aronsson, G. On certain singular solutions of the partial differential equation UxxU2 + 2uxyuxuy + UyyU2 = 0/G. Aronsson// Manuscripta Math. — 1984. - N 47. - P. 133-151.

[26] Aronsson, G. Construction of singular solutions to the p-harmonic equation and its limit equation for p = oo/ G. Aronsson// Manuscripta Math., — N 56. - 1986. - P. 135-158.

[27] Bernstein S.N. Sur un théorème de géometrie et ses application aux équations aux dérivées partielles du type elliptiqe / S. N. Bernstein // Comm. Soc. Math. Kharkov. - 1915. - N 15. - P. 38-45.

[28] Buchholz, H. The Confluent Hypergeometric Function with Special Emphasis on its Applications/ H. Buchholz//New York: Springer-Verlag, 1969. - 256 p.

[29] Calabi, E. Examples of Bernstein problems for some nonlinear equations/ E. Calabi// Proc Symp Pure Math. - 15. - 1970. - P. 223-230.

[30] Simon L., Asymptotics for exterior solutions of quasilinear elliptic equations/ L. Simon // Geometry from Рас. Rim. — Berlin ; New York: de Gruyter. — 1997. - P. 343-362.

[31] Tkachev, V.G. Algebraic structure of7-harmonic functions/V.G. Tkachev// Pacific Journal Math. - 2006. - N 1. - V. 226. - P. 179-200.