Структурные описания множеств формальных теорий: на материале формальных силлогистик тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 09.00.07, кандидат философских наук Шиян, Тарас Александрович

• Шиян, Тарас Александрович
• кандидат философских наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат философских наук Шиян, Тарас Александрович

Список сокращений и некоторых обозначений.

Введение.

I. Теоретико-методологические основания

§ 1. Реляционные систематизации.i

§2. Построение структурных описаний.

§3. Основные понятия теории формальных теорий.

§4. Сравнение формальных теорий.

II. Структурное исследование языков формальных силлогистик (алфавиты, классы термов, классы формул)

§ 1. Алфавиты.

§2. Термы.

§3. Формальные языки (классы формул).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Структурные описания множеств формальных теорий: на материале формальных силлогистик»

Актуальность темы. За последний век построено огромное количество различных формальных теорий, показано существование счетных и континуальных классов формальных теорий. Например, описан счетный класс конечно-значных логик Лукасевича, счетный класс собственных расширений силлогистики Лукасевича-Смирнова [Шиян 2002е, 2004а], континуальный класс суперинтуиционистских логик [Янков 1968]. Число индивидуально описанных теорий давно измеряется сотнями. Так, за последние 25-30 лет в русскоязычной литературе описано более 100 формальных силлогистик (и теорий в силлогистических языках). В связи с этим, обзор, систематизация, сравнительный анализ построенных теорий является насущной задачей для более эффективной ориентации в материале и интенсификации дальнейших исследований. Одним из необходимых шагов является «картографирование» пространства уже описанных в литературе теорий. Использование языка графов дает возможность наглядного представления результатов подобных компаративных исследований.

Степень разработанности проблемы. У нас в стране и за рубежом идут активные исследования соотношения формальных теорий, изучаются различные классы теорий, строятся структурные систематизации отдельных групп формальных теорий. К сожалению, исследования эти во многом разорваны, сравнение теорий не перерастает обычно в построение структурных систематизаций. В рамках построения структурных систематизаций ограничиваются обычно сравнением чистых пропозициональных логик с неполными наборами связок. Автору известен ряд исследований, в которых соотношение теорий представляется в виде графов теорий, но эти исследования касаются только импликативных и модальных пропозициональных логик.

Если в сравнительном анализе силлогистик автор существенным образом опирался на работы В.И. Маркина ([Маркин 1991] и др. из списка литературы в конце работы), то идеей графического представления соотношений теорий автор обязан работам A.C. Карпенко [Карпенко 1993; 1995; 1997a-b; 1999а-Ь; 2001]. Причем, именно под влиянием Карпенко сформировалась установка автора, что получение (и обоснование) графа теорий может быть целью и основным результатом подобного рода сравнительных исследований. В' области изучения модальных логик можно, например, указать статью Томаса Шнайдера [Schneider, 2005], в которой строился граф (соотношения по дедуктивной силе) 25 нормальных модальных систем.

В области изучения предикатных логик вообще и силлогистических теорий, в частности, мне подобные работы не известны. Исключением составляют две работы В.А. Смирнова [Смирнов 1983b, 4; 2002, 155], в которых он представляет соотношение четырех формулируемых им теорий (Cl, С2, СЗ, С4) в виде графа.

В литературе описаний специальных методик, направленных на доказательство адекватности графа теорий, автору также не известно. Методика, используемая Карпенко в [Карпенко 1993; 1995; 1997а-Ь; 1999а-Ь; 2001], обеспечивает адекватность графа, но нацелена на достижение несколько других задач, чем простое построение графа теорий. Часто же ограничиваются доказательством наличия между теориями отношения нестрогого включения по множеству теорем, а строгость порядка (попарное неравенство систематизируемых теорий) и полнота представления на графе отношения «включение по множеству теорем» принимаются как очевидные.

Научная новизна исследования. Работа имеет научную новизну в двух аспектах: методологическом и предметном.

Методологический аспект. Во-первых, в работе вводится понятие структурной систематизации, как особой интеллектуальной процедуры, систематизирующей объекты через задание на них некоторой структуры решетки, дерева и т.п.), и проводится различение между структурной систематизацией (в общем случае) и классификацией (как процедурой разбиения множества систематизируемых объектов на классы и построения иерархии таких разбиений). Такое различение является важным, поскольку в литературе часто построение структур теорий называют классификацией, хотя никаких разбиений на классы при этом не производится. Вводится представление о частном случае структурных систематизаций, при котором систематизирующего эффекта добиваются путем задания на множестве (систематизируемых) объектов некоторого отношения частичного порядка. Адекватным описанием (представлением) такой систематизации будет граф особого вида, называемый обычно диаграммой Хассе.

Во-вторых, в работе формулируется терминологический аппарат (в основном, за счет перенесения необходимых понятий из различных областей математики), необходимый для описания структурных систематизаций, обсуждения их адекватности, описания используемых при этом логико-методологических процедур.

В-третьих, сформулированные методы построения структурных систематизаций конкретизируются применительно к формальным теориям. В частности, выделяется особая методика (на основе сводных таблиц аксиоматик) построения адекватных структурных систематизаций (по множеству теорем) исчислений и формальных теорий, не применимая для систематизации объектов произвольной природы.

Предметный аспект. Основные результаты диссертации состоят в построении структурных систематизаций (на основе отношения включения по множеству теорем) нескольких групп формальных силлогистик и теорий в силлогистических языках. Доказывается адекватность построенных систематизаций. Всего в работе представлены результаты исследования около 50-и формальных теорий. Результаты исследований представлены в виде 5 графов (структурных систематизаций) теорий. До работ автора изученные теории не исследовались с точки зрения построения графов ни на основе их соотношения по множеству теорем, ни по иным основаниям.

В качестве дополнительных предметных результатов можно указать следующие. Построен и изучен ряд расширений «силлогистики Лукасевича» С4, показана расширяемость С4 (следовательно, и всех ее подтеорий, среди которых различные реконструкции силлогистических учений Аристотеля, Уильяма Оккама, Льюиса Кэрролла, Б. Больцано, фундаментальной силлогистики) до теории эквивалентности (равенства). Для этого расширения и ряда других расширений С4 построены силлогистические теоретико-множественные семантики стандартного типа и показана их адекватность. Предлагается способ построения счетного ряда конечно-аксиоматизируемых расширений С4 и силлогистических семантик для этих теорий.

В диссертации уделяется специальное внимание - насколько известно автору, впервые — рассмотрению соотношения языков (классов формул), классов термов и алфавитов формальных теорий. Строятся структурные систематизации 27 алфавитов, 10 классов термов и 28 классов формул (языков); демонстрируется адекватность построенных графов. Хотя это исследование в диссертации носит вспомогательный характер, по мере роста количества сравниваемых теорий (в разных языках) роль и необходимость таких сравнений будет возрастать. Кроме того, на основании этих систематизаций, в работе применяется новый метод классификации, при котором классификация объектов одной группы осуществляется за счет построения структурной систематизации объектов другой группы, сопоставленных объектам первой группы. В частности, построенные структурные систематизации языков (классов формул), классов термов и алфавитов формальных силлогистик могут использоваться для классификации силлогистических формальных теорий (или исчислений) по признаку эквивалентности по языку, по классу термов или по алфавиту, соответственно. Такие разветвленные теоретические классификации являются альтернативой традиционным дихотомическим делениям силлогистик (по классу термов) на позитивные и негативные, сингулярные и чистые (несингулярные) и т.п. или выделению отдельных типов силлогистик (расширенные, обобщенные, васильевского типа, сингулярные аристотелевского типа и т.п.).

Цель и задачи исследования. Целями работы были: формулирование логико-методологического аппарата, необходимого для построения структурных систематизаций теорий и доказательства их адекватности, и исследование группы бескванторных предикатных теорий (формальных силлогистик и сродных с ними систем) с точки зрения их соотношения по множеству теорем. В качестве задачи бралось исследование сформулированными методами, построение и обоснование адекватности структурных описаний нескольких групп формальных силлогистик; при этом, область исследования ограничивалась теориями, удовлетворяющими совокупности следующих условий: (1) построение на базе классической логики высказываний (КЛВ) в языке без кванторов и модальных операторов, (2) формулировка в виде аксиоматического исчисления, (3) наличие описания в русскоязычной литературе (по преимуществу, в достаточно узком круге периодических изданий).

Методологические основания. Работа и по предмету исследования, и по применяемым методам относится к области так называемой символической логики. Круг привлекаемых в работе математических дисциплин задается, в первую очередь, объектом исследования и аспектом его изучения. Объектом исследования являются «формальные теории" (термин заимствован мной у В.А. Смирнова, в частности, применялся в [Смирнов 2002]; понятие введено А. Тарским, в частности, использовалось в [Тагек! 1956]), которые понимаются как множества формул (того или иного формального языка), замкнутые относительно некоторого набора правил вывода. Отсюда, помимо аппарата современной символической логики, обращение к теории множеств, топологии, абстрактной алгебре, ориентация на методологию формализма. Формальные теории исследуются с точки зрения наличия отношения включения (по множеству теорем), которое является частным случаем отношения частичного порядка, что обуславливает обращение к теории бинарных отношений, теории частично упорядоченных множеств, теории решеток. И, наконец, поскольку результаты исследований представляются в виде графов, то необходимо обращение к теории графов.

Центральным методологическим понятием работы стало понятие диаграммы Хассе как особого представления частичного порядка на конечных множествах. Диаграмма Хассе - ациклический антитранзитивный ориентированный граф, вершинами которого являются элементы ЧУ множества, а связи соединяют только ближайшие (относительно представляемого порядка) элементы множества. При этом, направление связей обозначается на графе не стрелками, а считается направленным снизу вверх (если не оговорено иное).

Для того, чтобы показать, что некоторый граф С является диаграммой Хассе некоторого множества М, частично упорядоченного отношением нужно:

1. Показать, что множество вершин графа С есть в точности множество элементов М. Для этого необходимо и достаточно показать, что a) каждая вершина (7 представляет некоторый элемент М; b) разные вершины (7 представляют разные элементы М; c) все элементы М представлены вершинами на графе С.

2. Показать, что каждой паре вершин, непосредственно соединенных на графе С связью, соответствует пара элементов М, находящихся в отношении Л.

3. Показать, что каждой паре вершин, между которыми нет пути на графе, соответствует пара элементов М, не находящихся в отношении Я.

4. Поскольку диаграмма Хассе является результатом т.н. транзитивной редукции (т.е. изображаются связи только между «ближайшими» элементами ЧУ множества), то необходимо убедиться, что на графе нет связей между вершинами, если между ними есть путь, идущий через другие вершины.

Важным, в методологическом плане, является то, что такие «содержательные» математические объекты как графы, частично упорядоченные множества и некоторые др. имеют формальные математические модели одного типа: упорядоченная пара <М, R>, где М -некоторое множество и Rci(MxM). В разных ситуациях такая пара трактуется то как граф (тогда М - множество вершин, а R - множество связей), то как упорядоченное множество (тогда R - бинарное отношение на М). Этот факт активно эксплуатируется в работе, в первую очередь, за счет совмещенного использования терминологии из теории графов, теории бинарных отношений и теории упорядоченных множеств.

Все рассуждения проводились в рамках классической логики. Для формальных выводов использовался вариант системы натурального вывода, описанный в книге [Бочаров, Маркин 1994], но допускаем также и использование напрямую тех или иных законов классической логики.

Все рассматриваемые силлогистики строятся на базе классической логики высказываний (далее - KJIB). Ее можно задать пропозициональной - частью упоминаемого исчисления натурального вывода из [Бочаров, Маркин 1994] или исчислением со схемами аксиом и единственным правилом вывода modus ponens, например, описанное в [Мендельсон, 49] и расширенное двумя аксиомами для эквивалентности (Мендельсон вводит эквивалентность с помощью определения). В основной части работы этот вопрос больше не оговаривается.

Последовательному введению необходимых понятий и описанию применяемых методик посвящена первая глава.

Основные положения, выносимые на защиту. - Построенные в работе структурные систематизации формальных теорий графы 3.1.1, 3.2.1, 4.1.1, 4.2.1), языков (граф 2.3.1), классов термов (граф 2.2.1) и алфавитов (граф 2.1.1) - адекватны, т.е. являются диаграммами Хассе соответствующих частично упорядоченных (отношением с:) множеств объектов.

- Построенные в работе фрагменты матриц операций пересечения и объединения языков, классов термов и алфавитов (таблицы 2.1.3, 2.1.4, 2.2.3, 2.2.4, 2.3.4) - корректны, т.е. представленные в них данные верны.

- Теория С4 расширяема до теории эквивалентности (равенства).

- Теории С=, С(2), С(1) адекватны (семантически полны и непротиворечивы) построенным для них семантикам (теорема 3.3.2).

- Теория С= (а значит, и С4) имеет по крайней мере счетное число конечно-аксиоматизируемых гильбертовского типа собственных расширений, для которых существуют экстенсиональные силлогистические семантики стандартного вида.

Практическая значимость исследования. Структурные систематизации в форме графов являются удобным наглядным средством представления соотношений между теориями по тем или иным основаниям. Такие представления имеют широкие перспективы применения как в обучении (наглядное компактное представление соотношений изучаемых теорий), так и в научных исследованиях (облегчают понимание уже имеющихся фактов; облегчают выяснение места новых теорий среди описанных ранее; позволяют в ряде случаев результаты, полученные для одних теорий, переносить на другие теории; и выполняют другие функции научных систематизаций). В частности, исследование автора имеет значение для такой старейшей области философской логики как силлогистика, устанавливая соотношения (по множеству теорем) примерно 50-и формальных силлогистических теорий.

Методологические и предметные результаты диссертационного исследования нашли практическое применение и дальнейшую разработку при создании в 2003-2005 гг. в Интернете Информационной системы по формальным теориям Theo.ru (грант РГНФ №03-03-12003в).

Апробация описываемых в диссертации идей, результатов и методов состоялась в ходе обсуждений и дискуссий на кафедре логики философского факультета МГУ, на секторе логики Института философии РАН, в ходе научных конференций. Основные идеи, методы и результаты диссертанта докладывались и обсуждались в ходе следующих научных мероприятий:

1) Защита дипломной работы на кафедре логики философского факультета МГУ им. Ломоносова (Москва, 2000).

2) 3-я Международная конференция «Смирновские чтения» (Москва, 2001).

3) Международная конференция «Человек - Культура - Общество. Актуальные проблемы философских, политологических и религиоведческих исследований» (Москва, 2002).

4) VII Общероссийская научная конференция «Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке» (Санкт-Петербург, 2002).

5) Третий Российский Философский конгресс «Рационализм и культура на пороге третьего тысячелетия» (Ростов-на-Дону, 2002).

6) Ломоносовские чтения 2003 (Москва, 2003).

7) 4-я Международная конференция «Смирновские чтения» (Москва,

2003).

8) Ломоносовские чтения 2004 (Москва, 2004).

9) VIII Общероссийская научная конференция «Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке» (Санкт-Петербург,

2004).

10) IX Общероссийская научная конференция «Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке» (Санкт-Петербург, 2006).

Все основные идеи, подходы, методы и результаты диссертанта нашли отражение в публикациях на русском и английском языках, размещенных как в печатных изданиях, так и в научном электронном журнале «Logical Studies». По теме диссертации автором опубликовано 9 статей и 7 тезисов конференций (см. список публикаций). Из них одна статья в журнале из списка ВАК России и одна статья в периодическом сборнике статей из списка ВАК Украины.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 4-х глав, заключения, списка литературы, списка сокращений и обозначений и приложения.

Заключение диссертации по теме «Логика», Шиян, Тарас Александрович

Заключение

В качестве предмета исследования брались формальные силлогистики (и близкие им теории), построенные на базе классической логики в языках без кванторов и модальных операторов. При этом, ставилась цель максимально полно учесть теории, описанные в русско-язычной литературе. В диссертации были проанализированы соотношения около 50 -и таких теорий. Для анализа теории были объединены в несколько групп: силлогистики в классическом языке (ЬБ и две теории в его подъязыках), обобщенные силлогистики, негативные несингулярные силлогистики, силлогистики сингулярные аристотелевского типа и силлогистики сингулярные оккамовского типа. Для основных групп теорий были простроены графы, представляющие соотношение этих теорий по множеству теорем. Исследовались также вопросы о выделении точных фрагментов теорий в тех или иных подъязыках и об алгебраических операциях над теориями. Для нескольких теорий построены адекватные семантики, а для некоторых силлогистик предложены доказательства адекватности уже известных семантик (в ряде случаев, когда в литературе не удалось найти доказательств семантической адекватности, а обращение к семантике было необходимо в процессе доказательства метатеорем). Для ряда силлогистик исследовался вопрос о дефинициальной выразимости одних теорий в других.

Среди наиболее важных дополнительных результатов, полученных в диссертации, на наш взгляд, являются: (1) показ расширяемости теории С4 (а значит и ее подтеорий) до теории эквивалентности (при традиционной семантике — равенства), (2) построение семантик для ряда собственных расширений С4 и (3) построение счетного класса конечно аксиоматизируемых расширений С4.

Но далеко не все собранные мной или построенные (для решения различных задач) силлогистики вошли в данную работу. В первую очередь, по причине ограничения на объем диссертации. Как было указано в заключении к последней главе, остался не исследованным ряд сингулярных и «расширенных» силлогистик и теорий близких бескванторной Онтологии Лесьневского. Осталась не рассмотренной отдельная группа силлогистик, так называемого васильевского типа [Смирнов 1994; 2001b; 2002; 1987; Костюк 1999]. В частности, остались не включены в диссертацию результаты автора, изложенные в [Шиян 2004b]. Практически не рассматривались теории в подъязыках LS (кроме упоминавшихся С2.1 и Саг) и их расширения (например, [Shepherdson 1956; Смирнов 2001b; 2002; и др.]).

Можно и несколько расширить область исследований, например, существуют бескванторные немодальные силлогистики, построенные на базе неклассических логик, например, предложенные в [Колесников 1983] формализации силлогистики Льюиса Кэрролла.

Особый теоретический интерес представляет выделение точных фрагментов в языках с только одной силлогистической связкой. Это позволило бы сравнивать силлогистические связки между собой по формальным свойствам, а также - со стандартными математическими отношениями с, с, =, » и др.

Все эти вопросы нуждаются в дальнейшем исследовании и могут составить поле для дальнейшей работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат философских наук Шиян, Тарас Александрович, 2008 год

1. Общая литература

2. Бочаров, Маркин 1994. Бочаров В.А., Маркин В.И. Основы логики. Учебник. М.: Космополис, 1994.

3. Бронштейн, Семендяев 1986. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. М.: Наука, 1986.

4. Васюков 1995. Васюков B.JT. Развивая Тарского: котопос теорий // Логические исследования. Вып. 3. М.: Наука, 1995.

5. Драгалин 1979. Драгалин А.Г. Математический интуиционизм. Введение в теорию доказательств. М.: Наука, 1979.

6. Карпенко 1993. Карпенко A.C. Импликативные логики: решетки и конструкции // Логические исследования. Вып. 2. М.: Наука, 1993.

7. Карпенко 1995. Карпенко A.C. Классификация пропозициональных логик // XI Международная конференция «Логика, методология и философия науки». М.-Обнинск, 1995.

8. Карпенко 1997а. Карпенко A.C. Максимальная решетка импликативных логик // Международная конференция "Смирновские чтения". М., 1997.

9. Карпенко 1997b. Карпенко A.C. Классификация пропозициональных

10. Карпенко 1999а. Карпенко A.C. Булевы каскады импликативных логик // Смирновские чтения. 2 Международная конференция. М., 1999.

11. Карпенко 1999b. Карпенко A.C. Импликации следования, строгая, релевантная, интуиционистская и классическая и их взаимоотношения // Логические исследования. Вып. 6. М.: Наука, 1999.

12. Карпенко 2001. Карпенко A.C. Подструктурные логики: гильбертовские исчисления // Смирновские чтения. 3 Международная конференция. М., 2001.

13. Касьянов, Евстигнеев 2003. Касьянов В.Н., Евстигнеев В.А. Графы в программировании: обработка, визуализация и применение. СПб.: БХВ-Петербург, 2003.

14. Лисовский, Марков 2004. Лисовский К.Ю., Марков A.C. Базы данных. Введение в теорию и методологию. М., 2004.

15. Мендельсон. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М., 1971. И другие переиздания.

16. Расева, Сикорский 1972. Расева Е., Сикорский Р. Математика метаматематики. М., 1972.

17. Смирнов 2001с. Смирнов В.А. Логический анализ научных теорий и отношений между ними // Смирнов В.А. Логико-философские труды. М.: «Эдиториал УРСС», 2001.

18. Смирнов 2002. Смирнов В.А. Логические методы анализа научного знания. М.: «Эдиториал УРСС», 2002.

19. Субботин 2001. Субботин A.JI. Классификация. М., 2001.

20. Френкель, Бар-Хиллел 1966. Френкель A.A., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М., 1966.

21. Янков 1968. Янков В.А. Построение последовательности сильнонезависимых суперинтуиционистских пропозициональных исчислений // Доклады Академии Наук СССР, Т. 181, №1, 1968. С. 3334.

22. Tarski 1956. Tarski A. Foundations of the calculus of system 11 Logic, semantics, metamathematics. Oxford, 1956.

23. Schneider 2005. Schneider T. A Hierarchy of Modal Logics. Режим доступа в Интернете: http://www.minet.uni-jena.de/~thschnei/publ/HierarchyMLex.pdf. 2005.

24. Использованные источники по формальным силлогистикам

25. Аккерман, Гильберт 1947. Аккерман В., Гильберт Д. Основы теоретической логики. М.: «Иностранная литература», 1947.

26. Бочаров 1980. Бочаров В.А. Алгебраические реконструкции силлогистики // Логико-методологические исследования. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1980.

27. Бочаров 1983. Бочаров В.А. Булева алгебра в терминах силлогистики // Логические исследования. М., 1983.

28. Бочаров 1984. Бочаров В.А. Аристотель и традиционная силлогистика. М., 1984.

29. Бочаров 1986. Бочаров В.А. Эктезис в силлогистике С2 // Философские проблемы истории логики и методологии науки (Материалы к Всесоюзной конференции «Методологические и мировоззренческие проблемы истории философии», секция X). Часть I. М., 1986.

30. Бочаров 1987. Бочаров В.А. Силлогистики с сингулярными терминами // Современная логика и методология науки. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987.

31. Ганиянц, Маркин 1997. Ганиянц И.И., Маркин В.И. Силлогистики с константой исчерпываемости // Международная конференция "Развитие логики в России: итоги и перспективы". Тезисы докладов и сообщений. М., 1997.

32. Ильин 2000. Ильин A.A. Негативная фундаментальная силлогистика // Труды научно-исследовательского семинара Логического центра Института философии РАН 2000. М., 2000.

33. Ильин 2001. Ильин A.A. Негативная фундаментальная силлогистика // Смирновские чтения. 3 Международная конференция. М., 2001.

34. Ильин 2002. Ильин A.A. Негативная силлогистика Л.Кэрролла // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке: Материалы VII Общероссийской научной конференции. 20-22 июня 2002. СПб., 2002.

35. Ильин 2003а. Ильин A.A. Негативная силлогистика аристотелевского типа // Смирновские чтения. 4 Международная конференция. М., 2003.

36. Ильин 2003b. Ильин A.A. Негативная силлогистика аристотелевского типа // Электронный журнал Logical Studies. №10 (2003). www.logic.ru.

37. Ильин 2003с. Ильин A.A. Негативная силлогистика аристотелевского типа // Логика и B.E.K. К 90-летию профессора Войшвилло Евгения Казимировича. М.: Изд-во «Современные тетради», 2003.

38. Ильин 2003d. Ильин A.A. Силлогистика Б. Больцано // Аспекты: Сборник статей по философским проблемам истории и современности. Выпуск II. М.: Изд-во «Современные тетради», 2003.

39. Ильин 2004. Ильин A.A. Аксиоматизация традиционной силлогистики // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке: Материалы VIII Общероссийской научной конференции. 24-26 июня 2004. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2004.

40. Ильин 2006. Ильин A.A. Система негативной силлогистики // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке: Материалы IX Общероссийской научной конференции. 22-24 июня 2006. СПб., 2006.

41. Ишимото 1993. Ишимото А. Логическая грамматика: логико-онтологический обзор // Логические исследования. Вып. 2. М.: Наука, 1993.

42. Ишимото, Сагал 1993. Ишимото А., Сагал П.Т. Интерпретация Онтологии Лесневского: пропозициональный фрагмент Онтологии Лесневского и родственные системы // Логические исследования. Вып.2. М.: Наука, 1993.

43. Клини 1973. Клини С.К. Математическая логика. М., 1973.

44. Колесников 1983. Колесников Н.Г. Формализация силлогистики Льюиса Кэррола // Логические исследования (Труды научно-исследовательского семинара по логике Института философии АН СССР). Москва: ИФ АН СССР, 1983.

45. Костюк 1999. Костюк Т.П. Позитивные силлогистики Васильевского типа// Логические исследования. Вып. 6. М.: Наука, 1999.

46. Костюк, Маркин 1997. Костюк Т.П., Маркин В.И. Проблема реконструкции ассерторической силлогистики H.A. Васильева // Международная конференция: «Смирновские чтения». М., 1997.

47. Кускова 2001. Кускова С.М. Расширение обобщенной фундаментальной силлогистики // Смирновские чтения. 3 Международная конференция. М., 2001.

48. Маркин 1983. Маркин В.И. Семантическое доказательство погружаемости некоторых систем силлогистики в исчисление предикатов // Логические исследования. М., 1983.

49. Маркин 1991. Маркин В.И. Силлогистические теории в современной логике. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1991.

50. Маркин 1993. Маркин В.И. Силлогистические теории и исчисление предикатов//Логические исследования. Вып. 1. М.: Наука, 1993.

51. Маркин 1994. Маркин В.И. Современная реконструкция сингулярной негативной силлогистики Аристотеля // Научная конференция «Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке». СПб., 1994.

52. Маркин 1995. Маркин В.И. Современная реконструкция сингулярной негативной силлогистики Аристотеля // XI Международная конференция «Логика, методология и философия науки». М.-Обнинск, 1995.

53. Маркин 1997а. Маркин В.И. Формализация традиционной сингулярной негативной силлогистики // Международная конференция: «Смирновские чтения». М., 1997.

54. Маркин 1997Ь. Маркин В.И. Сингулярная негативная силлогистика Аристотеля и свободная логика // Логические исследования. Вып. 4. М.: Наука, 1997.

55. Маркин 1998а. Маркин В.И. Системы силлогистики, адекватные двум переводам силлогистических формул в исчисление предикатов В.А. Смирнова // Труды научно-исследовательского семинара Логического центра Института философии РАН 1997. М., 1998.

56. Маркин 1998Ь. Маркин В.И. Формальная реконструкция традиционной сингулярной негативной силлогистики // Логические исследования. Вып. 5. М.: Наука, 1998.

57. Маркин 1999. Маркин В.И. Обобщенная позитивная силлогистика // Логические исследования. Вып. 6. М.: Наука, 1999.

58. Маркин 2001а. Маркин В.И. Традиционная силлогистика как теория отношений между понятиями по содержанию // Смирновские чтения. 3 Международная конференция. М., 2001.

59. Маркин 2001Ь. Маркин В.И. Интенсиональная семантика традиционной силлогистики // Логические исследования. Вып. 8. М.: Наука, 2001.

60. Мчедлишвили 1986. Мчедлишвши Л.И. Позитивная ассерторическая силлогистика и логика одноместных предикатов // Логика и системные' методы анализа научного знания. М., 1986.

61. Мчедлишвили 1999а. Мчедлишвши'Л. Применение лейбницева метода арифметизации к нетрадиционным системам силлогистики // Смирновские чтения. 2 Международная конференция. М., 1999.

62. Мчедлишвили 1999Ь. Мчедлишвши Л.И. К семантике аподиктической силлогистики Аристотеля // Логические исследования. Вып. 6. М.: Наука, 1999.

63. Мчедлишвили 2000а. Мчедлишвши Л.И. К семантике аподиктической силлогистики Аристотеля // Логические исследования. Вып. 7. М.: Наука, 2000.

64. Мчедлишвили 2001. Мчедлишвши Л.И. Исчисление отбрасываемых формул для нетрадиционных систем позитивной силлогистики // Логические исследования. Вып. 8. М.: Наука, 2001.

65. Мчедлишвили 2002. Мчедлишвши Л.И Арифметическая семантика для нетрадиционных систем силлогистики // Логические исследования. Вып. 9. М.: Наука, 2002.

66. Попов 1986. Попов В.М. Силлогистика и квазибулева алгебра // Логикаи системные методы анализа научного знания. Тезисы IX Всесоюзного совещания по логике, методологии и философии науки. М., 1986.

67. Попов 1994. Попов В.М. Диадические семантики для силлогистических систем // Научная конференция «Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке». СПб., 1994.

68. Попов 1997. Попов В.М. Расширение системы С2 В.А. Смирнова и п-полурешетка с нулем // Международная конференция "Развитие логики в России: итоги и перспективы". Тезисы докладов и сообщений. М., 1997.

69. Попов, Хорохорин 1995. Попов В.М., Хорохорин И.И. Диадические семантики в силлогистике // XI Международная конференция «Логика, методология и философия науки». М.-Обнинск, 1995.

70. Попов, Хорохорин 1997. Попов В.М., Хорохорин И.И. Диадические семантики для систем С1 и СЗ формальной силлогистики // Логические исследования. Вып. 4. М.: Наука, 1997.

71. Попов, Хорохорин 1998. Попов В.М., Хорохорин И.И. Диадические семантики для систем формальной силлогистики // Логические исследования. Вып. 5. М.: Наука, 1998.

72. Серебрянников 1970. Серебрянников О.Ф. Эвристические принципы и логические исследования. М., 1970.

73. Смирнов 1983а. Смирнов В.А. Дефинициальная эквивалентность расширенной силлогистики С2Д булевой алгебре // Логические исследования. М., 1983.

74. Смирнов 1983b. Смирнов В.А. Погружение систем позитивной силлогистики в одноместное исчисление предикатов // Логические исследования. М., 1983.

75. Смирнов 1987. Смирнов В.А. Аксиоматизация логических систем H.A. Васильева // Современная логика и методология науки. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987.

76. Смирнов 1994. Смирнов В.А. Дефинициальная эквивалентность системсиллогистики // Труды научно-исследовательского семинара логического центра Института философии РАН 1993. М., 1994.

77. Смирнов 2001а. Смирнов В.А. Топологическая интерпретация модальной силлогистики // Смирнов В.А. Логико-философские труды. М.: «Эдиториал УРСС», 2001.

78. Смирнов 2001b. Смирнов В А. Логические идеи Н.А. Васильева и современная логика // Смирнов В.А. Логико-философские труды. М.: «Эдиториал УРСС», 2001.

79. Смирнов 2002. Смирнов В.А. Логические методы анализа научного знания. М.: «Эдиториал УРСС», 2002.

80. Shepherdson 1956. Shepherdson J.С. On the Interpretation of Aristotelian Syllogistic // The Journal of Symbolic Logic. Volume 21, Number 2, June 1956.

81. Исследования автора по теме диссертации

82. Шиян 2000а. Шиян Т.А. Классификация теорий чистой позитивной силлогистики // Электронный журнал Logical Studies. №4 (2000). www.logic.ru.

83. Шиян 2000b. Shiyan Т.А. A Classification of Syllogistics with Simple Positive Terms // Online Journal Logical Studies. №4 (2000). www.logic.ru.

84. Шиян 2001. Шиян Т.А. Классификация силлогистических теорий // Смирновские чтения. 3 Международная конференция. М., 2001.

85. Шиян 2002а. Шиян ТА. Методы классификации формальных теорий и множество силлогистик // Аспекты: Сборник статей по философским проблемам истории и современности. М.: Изд-во «Современные тетради», 2002.

86. Шиян 2002b. Шиян Т.А. О работе по системному математическому описанию предмета современной символической логики // Человек -Культура Общество. Актуальные проблемы философских, политологических и религиоведческих исследований. Т. 2. М.: Изд-во

87. Современные тетради», 2002.

88. Шиян 2002с. Шиян ТА. Структурные классификации формальных теорий // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке: Материалы VII Общероссийской научной конференции. 20-22 июня 2002. СПб., 2002.

89. Шиян 2002е. Шиян Т.А. Множество формальных силлогистик с простыми «общими» термами (структурное описание и количественный анализ) // Электронный журнал Logical Studies. №8 (2002). www.logic.ru.

90. Шиян 2003а. Шиян Т.А. Принципы построения структурных описаний множеств формальных теорий // Смирновские чтения. 4 Международная конференция. М., 2003.

91. Шиян 2003b. Шиян Т.А. Формально-историческое исследование нескольких групп формальных силлогистик // Электронный журнал Logical Studies. №10 (2003). www.logic.ru.

92. Шиян 2003с. Шиян Т.А. Формально-историческое исследование нескольких групп формальных силлогистик // Логика и В.Е.К. К 90-летию профессора Войшвилло Евгения Казимировича. М.: Изд-во «Современные тетради», 2003.

93. Шиян 2004а. Шиян Т.А. Систематизация и количественный анализ множества формальных силлогистик с простыми «общими» термами // Эпистемы 3: Язык. Дискурс. Текст. Екатеринбург, 2004.

94. Шиян 2004b. Шиян Т.А. Соотношение формальных силлогистик вязыке с предикаторами а, е, i // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке: Материалы VIII Общероссийской научной конференции. 24-26 июня 2004. СПб., 2004.

95. Шиян 2006а. Шиян Т.А. Теория С2.1 В.А. Смирнова в универсуме формальных силлогистик // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке: Материалы IX Общероссийской научной конференции. 22-24 июня 2006. СПб., 2006. С. 402-405.

96. Шиян 2006b. Шиян ТА. О некоторых проблемах интерпретации логико-математической символики // Aó^a / Докса. Зб1рник наукових праць з фшософй' та фшологп. Вип. 10. Стратегп' штерпретаци тексту: методи i mokí ix застосування. Одеса, 2006.

97. Шиян 2007а. Шиян Т.А. О фактических ограничениях формальной методологии // Философия математики: актуальные проблемы. Материалы Международной научной конференции 15-16 июня 2007. М.: Изд. Савин С.А., 2007.

98. Шиян 2007b. Шиян ТА. Моделирование логических знаний и знаниевого вывода средствами СУБД // Логические исследования. Вып. 14. М.: Наука, 2007.

99. Шиян 2008. Шиян Т.А. О некоторых ограничениях формально-математической методологии // Вестник РГГУ. Серия «Философия». №7/08. М, 2008.