Структура пространства параметров нелинейных осцилляторов при квазипериодическом воздействии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Захаревич, Андрей Михайлович

• Захаревич, Андрей Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Захаревич, Андрей Михайлович

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР ПРИ

ДВУХЧАСТОТНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

1.1. Пространство параметров внешнего воздействия колебательного контура с полупроводниковым диодом при двухчастотном воздействии

1.2. Колебательный контур при двухчастотном воздействии с рациональным соотношением частот

1.3. Динамика кусочно-линейного осциллятора при двухчастотном воздействии

1.3.1. Кусочно-линейный осциллятор при гармоническом воздействии

1.3.2. Кусочно-линейный осциллятор с симметричным потенциалом при квазипериодическом воздействии

1.4. Выводы

ГЛАВА 2. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ

ОСЦИЛЛЯТОРОВ

2.1. Численное исследование моделей осцилляторов в виде отображений

2.1.1. Способ идентификации странных нехаотических аттракторов

2.1.2. Отображение осциллятора с мягким поведением»

2.1.3. Отображение осциллятора с симметричным потенциалом

2.2. Численное исследование модели осциллятора в виде дифференциального уравнения

2.3. Численное исследование дискретной модели с рациональным соотношением частот

2.4. Выводы

ГЛАВА 3. ДИНАМИКА СВЯЗАННЫХ НЕАВТОНОМНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ С ИРРАЦИОНАЛЬНЫМ СООТНОШЕНИЕМ ЧАСТОТ ВОЗДЕЙСТВИЯ

3.1. Экспериментальное исследование динамики нелинейных колебательных контуров с диссипативной связью

3.2. Численное исследование динамики нелинейных колебательных контуров с диссипативной связью

3.3. Экспериментальное исследование динамики нелинейных колебательных контуров с реактивной (емкостной) связью

3.4. Динамика дискретной модели связанных нелинейных осцилляторов при синфазном возбуждении

3.5. Выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Структура пространства параметров нелинейных осцилляторов при квазипериодическом воздействии»

Одним из интересных и важных направлений в нелинейной динамике является изучение систем, находящихся под внешним воздействием (неавтономных систем). Так, исследование вынужденных колебаний осциллятора подарило науке понимание многих важных феноменов, таких как резонанс, который успешно используется для фильтрации сигналов. С развитием нелинейных представлений, особенно, концепции динамического хаоса, интерес к неавтономным осцилляторам значительно возрос, поскольку оказалось, что многие из них при элементарном гармоническом воздействии демонстрируют сложное поведение и хаос. [1-6].

Переход к исследованию более сложных систем на основе нелинейного осциллятора возможен двумя путями. Первый, часто используемый - это цепочки и решетки на основе осциллятора. Второй - изменение формы внешнего воздействия, например, квазипериодическое.

Известно, что в динамике нелинейных систем при квазипериодическом воздействии переходу к хаосу предшествует рождение странного нехаотического аттрактора. Впервые странные нехаотические аттракторы были описаны в работе Гребоджи, Отта и Йорка в 1984 году [7]. С этого момента их исследованию посвящено немало работ [7-45]. Странные нехаотические аттракторы характеризуются совмещением свойств регулярных режимов и хаоса, они устойчивы по Ляпунову, однако, обладают фрактальной структурой. Спектр колебаний, соответствующий странному нехаотическому аттрактору, является сингулярно-непрерывным. В большинстве публикаций, посвященным динамике систем со странными нехаотическими аттракторами, уделяется внимание исследованиям математических моделей. Экспериментальные работы встречаются крайне редко. Для численного анализа систем со странными нехаотическими аттракторами чаще привлекаются дискретные модели: в виде квадратичного отображения и отображения Эно с дополнительным воздействием, в тоже время редко используются дифференциальные модели.

Анализ известных результатов позволяет выделить ряд проблем, которые требуют дополнительного исследования.

• Мало изучена структура пространства управляющих параметров нелинейного осциллятора при квазипериодическом воздействии.

• Одна из проблем при изучении систем со странными нехаотическими аттракторами связана с идентификацией колебательных режимов. В настоящее время для определения перехода к странному нехаотическому аттрактору наиболее широко используются методы фазовой чувствительности и рациональных аппроксимаций. Первый хорошо себя зарекомендовал при анализе дискретных моделей, второй - в физическом эксперименте. Однако, при изучении дифференциальных моделей эти методы оказываются громоздкими, что влечет к поиску иных методов идентификации странных нехаотических аттракторов.

• Переход от одиночного осциллятора к связанным осцилляторам, а затем к цепочкам и решеткам, традиционно в теории колебаний и волн является классическим приемом исследования и рассматривается как промежуточный этап при последовательном переходе к волновым процессам. Однако, исследования динамики связанных нелинейных осцилляторов были ограничены случаем синфазного воздействия, а случай произвольного иррационального соотношения частот внешнего воздействия не рассматривался.

• В общем случае для неавтономных систем можно выделить два типа динамических переменных - отражающие состояние системы и характеризующие фазу воздействия. При иррациональном соотношении частот воздействия, динамика неавтономных систем инвариантна по отношению к начальной фазе или разности начальных фаз гармонических составляющих воздействия. Каковы последствия нарушения инвариантности в динамике системы и структуре пространства управляющих параметров?

Таким образом, тематика диссертационной работы затрагивает сферы фундаментальных вопросов радиофизики, нелинейной динамики и теории колебаний. В первую очередь это касается закономерностей перехода, связанных с рождением странного нехаотического аттрактора, методов идентификации различных режимов колебаний, структуры пространства параметров дискретных и дифференциальных моделей нелинейного осциллятора при квазипериодическом воздействии, влияния нарушения инвариантности динамики по отношению к разности начальных фаз воздействия, динамики связанных систем при иррациональном соотношении частот воздействия.

Цель диссертационной работы состоит в исследование динамики и структуры пространства управляющих параметров неавтономного нелинейного осциллятора и связанных систем на его основе при рациональном и иррациональном соотношении частот воздействия.

Для достижения цели решались следующие основные задачи.

1) Последовательное экспериментальное исследование динамики и структуры пространства управляющих параметров диссипативного нелинейного осциллятора с различным профилем потенциальной ямы при двухчастотном воздействии.

2) Разработка методики построения структуры пространства параметров дифференциальных моделей при квазипериодическом воздействии.

3) Численное исследование дискретных моделей при двухчастотном воздействии.

4) Исследование дифференциальных моделей при квазипериодическом воздействии.

5) Экспериментальное и численное исследование динамики и структуры пространства управляющих параметров в системе нелинейных осцилляторов с резистивной и емкостной связью при иррациональном соотношении частот воздействия.

Для достижения поставленных целей сконструированы радиофизические объекты, способные демонстрировать сложную динамику, созданы экспериментальные установки для их исследования. В качестве таковых в эксперименте выступают неавтономные колебательные контуры с полупроводниковым диодом и кусочно-линейной емкостью. Проводится исследование их поведения в возможно более широкой области изменения управляющих параметров. Затем выбирается диапазон значений параметров, при которых объект характеризуется определенным набором свойств и проводится предварительное изучение более сложной системы (с дополнительным воздействием или связанных объектов). Следующий шаг -исследование в более широкой области управляющих параметров. Для модельных дискретных и дифференциальных систем на основе оценки компоненты автокорреляционной функции отработан метод построения структуры разбиения пространства управляющих параметров на области существования различных режимов колебаний.

Научная новизна:

• проведено комплексное экспериментальное исследование семейства нелинейных осцилляторов с различными формами потенциальной ямы при периодическом и квазипериодическом внешнем воздействии;

• предложен и апробирован простой метод исследования структуры пространства параметров на основе оценки компоненты автокорреляционной функции;

• проведено экспериментальное и численное исследование влияния нарушения инвариантности динамики системы по отношению к разности начальных фаз воздействия;

• проведено численное исследование структуры пространства управляющих параметров дифференциальных моделей нелинейных осцилляторов с различными формами потенциальной ямы при квазипериодическом внешнем воздействии; • проведено детальное экспериментальное и численное исследование динамики связанных нелинейных осцилляторов с иррациональным соотношением частот воздействия. Построены карты динамических режимов, отработана методика регистрации странных нехаотических аттракторов.

Практическая значимость работы.

Полученные результаты полезны для специалистов, занимающихся исследованием нелинейных систем при двухчастотном воздействии, в частности, параметрических усилителей, генераторов и умножителей на основе варакторных диодов в режиме больших сигналов, как разделы в курсах теории колебаний и волн.

Достоверность полученных результатов основывается на соответствии выводов экспериментальных исследований и численного анализа моделей, совпадении результатов при использовании различных методов идентификации колебательных режимов (спектральных, наблюдений проекций фазовых портретов, их сечений Пуанкаре, на основе оценки размерностных характеристик и старших ляпуновских показателей), воспроизводимости экспериментов, использовании стандартной измерительной аппаратуры, отработанных численных методов решений алгебраических и дифференциальных уравнений, а так же отсутствием противоречий с известными в литературе достоверными результатами.

Личный вклад соискателя. Соискатель участвовал в постановке задач, разработке и обосновании методов их решения, интерпретации результатов численных и радиофизических экспериментов. Обсуждение и обобщение результатов, а также экспериментальные исследования проводились совместно с научным руководителем д.ф.-м.н. Е.П. Селезневым. Соискателем был подготовлен комплекс программ и проведены численные исследования дискретных и дифференциальных моделей. Он принимал участие в разработке и изготовлении экспериментальных макетов. Им проведено ряд экспериментальных и численных исследований, обеспечена иллюстрация результатов.

Апробация работы и публикации.

Основные материалы работы представлялись на: Second Interdisciplinary School on Nonlinear Dynamics for System and Signal Analysis (EUROATTRACTOR 2001), международной конференции «Проблемы фундаментальной физики» (2000), Всероссийских конференциях "Нелинейные колебания механических систем" (Нижний Новгород, 2002, 2005), Всероссийских школах "ХАОС" (Саратов, 2001, 2004), конференции молодых ученых «Нелинейные волновые процессы». (Н. Новгород, 2004), на International symposium "Topical problems of nonlinear wave physics"( H. Новгород, 2005), XIII научной школе "Нелинейные волны-2006", (Н.Новгород, 2006.), конференции молодых ученых, аспирантов и студентов НОЦ СГУ "Нелинейная динамика и биофизика". (Саратов 2002, 2003), 2-ой конференции молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика» (Саратов 2007), школе-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых" (2003 - 2006 гг.), научных семинарах кафедры электроники, колебаний и волн факультета нелинейных процессов СГУ и СФ ИРЭ РАН.

Работы были поддержаны: грантами CRDF (REC-006) для студентов, грантом Президиума РАН для молодых ученых, грантами РФФИ № 99-0217735, № 02-02-17578, грантами Фонда некоммерческих программ «Династия».

Основные результаты работы представлены публикациями в российских научных журналах, рекомендованных ВАК для публикации диссертационных работ. По теме диссертации опубликовано 27 работ (6 статей в рецензируемых журналах, 11 статей в сборниках трудов научных конференций, 10 тезисов докладов).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации - 130 страницы, в том числе 58 рисунка и библиография из 155 наименований.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Захаревич, Андрей Михайлович

3.5. Выводы

Таким образом, для различных вариантов соотношений частот, уровней и типов связи построены карты динамических режимов связанных нелинейных осцилляторов при иррациональном соотношении частот воздействия, даны иллюстрации различных режимов колебаний: торов, удвоенных торов странных нехаотических и хаотических аттракторов. Показано, структура плоскости параметров внешнего воздействия связанной системы, как и в случае одиночного осциллятора при квазипериодическом воздействии, определяется набором терминальных точек ТОТ, на которые опираются линии удвоения торов, перехода к странному нехаотическому аттрактору и хаосу. Терминальные точки формируются при введения связи в окрестности пересечения линий удвоения. Типичными в рассматриваемой системе являются сценарии перехода к хаосу через рождение странного нехаотического аттрактора, через разрушение трехмерного тора, режим перемежаемости тор - хаос и разрушение трехмерного тора. Характерным для динамики связанной системы является отсутствие мультистабильности, а для плоскости параметров воздействия (А,, А2) - симметрия относительно осей координат.

Предложенный в главе 2 метод построения карт динамических режимов можно использовать для построения структуры плоскости параметров внешнего воздействия, для одиночного контура и для системы связанных контуров.

Опираясь на известные результаты исследований динамики связанных нелинейных осцилляторов при синфазном воздействии (рациональном соотношении частот воздействия), а так же моделей в виде связанных квадратичных отображений (например в [92-110]), можно утверждать, что нарушение инвариантности динамики по отношению к начальным фазам воздействия ведет к формированию мультистабильности и сложной многолистной структуры пространства управляющих параметров.

Заключение

Экспериментальные исследования нелинейного осциллятора при двухчастотном воздействии, системы связанных осцилляторов, а также их дискретных и дифференциальных моделей показывают, что при иррациональном соотношении частот воздействия динамика подобных систем инвариантна по отношению к начальным фазам воздействия. Как следствие инвариантности динамики системы к начальным фазам воздействия в динамике такой системы отсутствует мультистабильность, а плоскость параметров воздействия симметрична относительно осей координат. Характерным для пространства управляющих параметров является существование набора пар терминальных точек ЮТ, на которые опираются линии удвоения тора, рождения странного нехаотического аттрактора и перехода к хаосу. Задание рационального соотношения частот воздействия приводит к нарушению инвариантности по отношению начальным фазам воздействия и формированию мультистабильности.

Предложенный в главе метод построения карт динамических режимов на основе скорости спадания автокорреляционной функции позволяет качественно построить карты динамических режимов дискретных и дифференциальных моделей нелинейного осциллятора и связанных нелинейных осцилляторов при иррациональном соотношении частот воздействия.

Опираясь на полученные в работе экспериментальные и численные результаты, а также ранее полученные для связанных нелинейных осцилляторов при синфазном воздействии (рациональном соотношении частот воздействия) и их моделей, можно утверждать, что нарушение инвариантности динамики по отношению к начальным фазам воздействия ведет к формированию мультистабильности и сложной многолистной структуры пространства управляющих параметров.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Захаревич, Андрей Михайлович, 2007 год

1. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. -М: Наука, 1984.

2. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988. - 240 е., ил.

3. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. М.: Мир, 368 е., ил.

4. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику (от маятника до турбулентности). М.: Наука, 1988. - 368с., ил.

5. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Саратов: Издательство Саратовского университета, 1999. - 368 с.

6. Кузнецов С.П. Динамический хаос (курс лекций). М.: Издательство физико-математической литературы, 2001. - 296 с.

7. Grebodgi С., Ott Е., Pelican S., Yorke J. Strange attractor that are not chaotic. // Physica. 1984. - Vol.D13. - P.261.

8. Кузнецов С.П. О воздействии периодического внешнего возмущения на систему, демонстрирующую переход порядок хаос через бифуркации удвоения периода. // Письма в ЖЭТФ. - 1984. - Т.39. -С.113.

9. Bondeson A., Ott Е., Antonsen Т.М. Quasiperiodically forced pendula and Schrodinger equvation with quasiperiodic potentials: implications of their equivalence. // Phys. Rev. Lett. 1985. - Vol. 55. - P.2103.

10. Romeiras F.J., Bondeson A., Ott E., Antonsen T.M., Grebogi C. Quasiperiodically forced dynamical systems with strange nonchaotic attractors. // Physica. 1987. - Vol. 26D. - P. 277.

11. Romeiras F.J., and Ott E. Strange nonchaotic attractor of the damped pendulum with quasiperiodic forcing. // Phys. Rev. 1987. - Vol. A35. - P. 4404.

12. Ding M., Grebogi C., and Ott E. Evolution of attractors in quasiperiodically forced system. // Phys. Rev. 1989. - Vol. A39. - P. 2593.

13. Ditto W.L. et al. Experimantal observation of strange nonchaotic attractors. // Phys. Rev. Lett. 1990. - Vol.65. - P. 533.

14. Ding M., Grebogi C., Ott E. Dimensions of strange nonchaotic attractors. // Phys. Lett. A. 1989. - Vol.137. - P.167.

15. Kapitaniak Т., Ponce E., and Wojewoda J. Rout to chaos via strange nonchaotic attractors. // J. Phys. 1990. - Vol. A23. - P. L383.

16. Zhou Т., Moss F. and A. Bulsara. Observation of strange nonchaotic attractors in a multistable potential. // Phys. Rev. 1992. - Vol.A45. - P. 5394.

17. Zhou Т., Moss F., Bulsara A. "Observation of a strange nonchaotic attractor in multistable potential", Phys. Rev. A, 1992, Vol.45, P.5394.

18. Feudel U., Kurths J. and Pikovsky A. Strange nonchaotic attractors in quasiperiodically forced circle map. // Physica. 1995. - Vol. D88. - P. 176.

19. Pikovsky A. and Feudel U. Characterizing strange nonchaotic attractors. // CHAOS. 1995. - Vol. 5. - P. 253.

20. Heagy J.F. and Hammel S.M. The birth of strange nonchaotic attractor. // Physica. 1994. - Vol. D70. - P. 140.

21. Pikovsky A., Feudel U. Correlations and spectra of strange nonchaotic attractors.// J. Phys. A: Math., Gen. 1994. - Vol.27. - P.5209.

22. Ding M., Scott-Kelso J. Phase-resetting map and the dynamics of quasiperiodically forced biological oscillators. // Int. J. Bif. Chaos. 1994. -Vol.4.-P.553.

23. Feudel U., Pikovsky A.S., Zaks M.A. Correlation properties of quasiperiodically forced two-level system. // Phys. Rev. E. 1995. - Vol.51. -P. 1762.

24. Kuznetsov S., Pikovsky A., Feudel U. Birth of a strange nonchaotic attractor: Renormalization group analysis. // Phys. Rev. E. 1995. - Vol.51. -P.R1629.

25. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Сосоновцева O.H. Механизмы рождения странного нехаотического аттрактора в отображении кольцас квазипериодическим воздействием. // Изв. Вузов, Прикладная нелинейная динамика. 1995. - Т. 3, № 3. - С.34.

26. Y.-C. Lai. Transition from strange nonchaotic attractor to strange chaotic attractor. // Phys. Rev. 1996. - Vol. E53. - P. 57.

27. Nishikawa T. and Kaneko K. Fractalization of torus revisited as a strange nonchaotic attractor. // Phys. Rev. 1996. - Vol. E54. - P. 6114.

28. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Sosnovtseva O.N. Mechanisms of ergodic torus destruction and apperence of strange nonchaotic attractor. // Phys. Rev. 1996. - Vol. E53. - P. 4451.

29. Feudel U., Pikovsky A., Politi A. Renormalization of correlations and spectra of a strange nonchaotic attractor. // J. Phys. A. 1996. - Vol.29. -P.5297.

30. Sosnovtseva O., Feudel U., Kurths J., Pikovsky A. // Phys. Lett. A. 1996. -Vol.218.-P.255.

31. Keller G. A note on strange nonchaotic attractors. // Fundamenta Mathematicae. 1996. - Vol.151. - P. 139.

32. Prasad A., Mehra V., Ramaswamy R. Intermittency route to strange nonchaotic attractors. // Phys. Rev. Lett. 1997. - Vol.79, №21. - P.4127.

33. Witt A., Feudel U., Pikovsky A. Birth of strange nonchaotic attractors due to interior crisis. // Physica. 1997. - Vol.109D. - P. 180.

34. Kuznetsov S., Feudel U., Pikovsky A. Renormalization group for scaling at the torus-doubling terminal point. // Phys. Rev. E. 1998. - Vol.57. -P.1585.

35. Prasad A., Mehra V., Ramaswamy R. Strange nonchaotic attractors in the quasiperiodically forced logistic map. // Phys. Rev. E. 1998. - Vol.57. -P.1576.

36. Negi S.S., Prasad A., Ramaswamy R. Bifurcations and transitions in the quasiperiodically driven logistic map. // Physica. 2000. - Vol.145D. - P.l.

37. Osinga H.M., Feudel U. Boundary crisis in quasiperiodically forced systems. // Physica. 2000. - Vol.l41D. - P.54.

38. Kuznetsov S.P., Neumann E., Pikovsky A., Sataev I.R. "Critical point of tori collision in quasiperiodically forced systems", Phys. Rev. E, 2000, Vol.62, P.1995.

39. Bezruchko В.Р., Kuznetsov S.P., Seleznev Ye.P. Experimental observation of dynamics near the torus-doubling terminal critical point. // Phys. Rev. E. 2000. - Vol. 62, №6. - p.7828-7830.

40. Hunt B.R., Ott E. Fractal properties of robust strange nonchaotic attractors. // Phys. Rev. Lett. 2001. - Vol.87, №25.

41. Kuznetsov S.P. "Torus fractalization and intermittency", Phys. Rev. E, 2002, Vol.65, 066209.

42. Jalnine A., Kim S.-Y. "Characterization of the parameter-mismatching effect on the loss of chaos synchronization", Phys. Rev. E, 2002, Vol.65, 026210.

43. Kim S.-Y., Lim W., Jalnine A., Kuznetsov S.P. "Characterization of the noise effect on weak synchronization", Phys. Rev. E, 2003, Vol.67, 016217.

44. Кузнецов С.П., Пиковский A.C. Фойдель У. Странный нехаотический аттрактор. // В кн. «Нелинейные волны 2004», Наука. 2004.

45. Zaks М. A. Fractal Fourier spectra of Cherry flows. // Physica-2001. Vol. D 149.-p. 237-247

46. Linsay P.S. Period doubling and chaotic behaviour in a driven anharmonic oscillator. //Phys. Rev. Lett. 1981.- Vol. 47, №19. -P.1349-1352.

47. Buskirk R., Jeffries C. Observation of chaotic dynamics of coupled nonlinear oscillators. // Phys. Rev. A. 1985. - Vol.31, №5. - P.3332-3357.

48. Testa J., Perez J., Jeffries C. Evidence for universal behavior of a driven nonlinear oscillator. // Phys. Rev. Lett. 1982. - Vol.48, №11. -P.714-717.

49. Testa J., Perez J., Jeffries C. Testa, Perez and Jeffries respond. // Phys. Rev. Lett. 1982. - Vol.49, №14. - P. 1055.

50. Jeffries C., Perez J. Observation of a Pomeau-Manneville intermittent route to chaos in a nonlinear oscillator. // Phys. Rev. A. 1982. - Vol.26, №4. -P.2117-2123.

51. Hunt E.R. Comment on driven nonlinear oscillator. // Phys. Rev. Lett. -1982.-Vol.49, №14.-P.1054.

52. Rollins R.W., Hunt E.R. Exactly solvable model of a physical system exhibiting universal chaotic behavior. // Phys. Rev. Lett. 1982. - Vol.49, №18. - P.1295-1298.

53. Hunt E.R., Rollins R.W. Exactly solvable model of a physical system exhibiting multidimensional chaotic behavior. // Phys. Rev. A. 1984. -Vol.29, №2. -P.1000-1002.

54. Bronson S.D., Dewey D., Linsay P.S. Self-replicating attractor of a driven semiconductor oscillator. // Phys. Rev. A. 1983. - Vol.28. - P.1201-1203.

55. CascaisJ., DilaoR., Da Costa A.N. Chaos and reverse bifurcation in RLC circuit. // Phys. Lett. A. 1983. - Vol. 93, № 5. - P. 213-216.

56. BockoM.F., Douglass D.H., FrutchyH.H. Bounded regions of chaotic behavior in the control parameter space of a driven nonlinear resonator. // Phys. Lett. A. 1984. - Vol. 104, № 8. - P. 388-390.

57. Klinker T., Meyer-Ilse W., Lauterborn W. Period doubling and chaotic behavior in a driven Toda oscillator. // Phys. Lett. A. 1984. - Vol.101. №8, P.371-375.

58. Yoon T.H., Song J.W., Shin S.Y., Ra J.W. One-dimentional map and its modification for periodic chaotic sequence in a driven nonlinear oscillator. // Phys. Rev. A. - 1984. - Vol.30, №6. - P.3347-3350.

59. Perez J. Mechanism for global features of chaos in a driven nonlinear oscillator. // Phys. Rev. A. 1985. - Vol.32, №4. - P.2513-2516.

60. Астахов В.В., Безручко Б.П., Селезнев Е.П. Исследование динамики нелинейного колебательного контура при гармоническом воздействии. // Радиотехника и электроника. 1987. - Т.32, №12. - С.2558-2566.

61. Астахов В.В., Безручко Б.П., Селезнёв Е.П. Изменение структуры разбиения плоскости параметров стохастической системы при возбуждении дополнительной моды. // Письма в ЖТФ. 1987. - Т. 13, вып.8. - С.449-452.

62. Su Z., Rollins R.W., Hunt E.R. Measurements of F(alpha) spectra of attractors at transition to chaos in driven diode resonator systems. // Phys. Rev. 1987. Vol.A36, № 7. - p. 3515-3517.

63. Хаслер М.Ж. Электрические схемы с хаотическим поведением. // ТИИЭР. 1987. - Т.75, №.8. - С.40 - 54.

64. Tanaka S., Matsumoto Т., Chua L.O. Bifurcation scenario in a driven RL-diod circuit. //Physica.-1987.-Vol.28D, №13.- P.317-344.

65. Kim C.M., Cho C.H., Lee C.S, Yim J.H., Kim J., Kim Y. Period-doubling bifurcation in an electronic circuit with a fast-recovery diode and square-wave input. // Phys. Rev. A. 1988. - Vol. 38, № 3. - P. 1645-1648.

66. Su Z., Rollins R. W., Hunt E. R. Simulation and characterization of strange attractors in driven diode resonator systems. // Phys. Rev. A. 1989. -Vol.40, №5. - P.2698-2705.

67. Кипчатов A.A. Особенности сложной динамики неавтономного нелинейного контура. // Изв. ВУЗов, Радиофизика. 1990. - Т.ЗЗ, № 2. -С. 182-190.

68. Baxter J.H., Bocko M.F., Douglass D.H. Behavior of a nonlinear resonator driven at subharmonic frequencies. // Phys.Rev.A. 1990. - Vol.41, №2. -P.619-625.

69. Безручко Б.П. Особенности возбуждения субгармонических и хаотических колебаний в контуре с диодом. // Радиотехника и электроника. 1991. - Т.36, №1. - С.39-43.

70. Безручко Б.П., Кулешов А.В., Потапов В.Т., Пономаренко В.И. Нелинейные явления в колебательной системе с фотодиодом.// Радиотехника и электроника. 1991. - Т.36, №2. - С.387-391.

71. Balberg I., Arbell Н. Temperature as a bifurcation parameter in nonlinear electronic circuits. // Phys. Rev. E. 1994. - Vol.49, №1. - P. 110-113.

72. Linsay P.S. Nonlinear dynamics in driven and autonomous electronic circuits. // In: Nonlinear Dynamics in Circuits. Eds. Carroll T. and Pecora L.- World Scientific. 1995. - P.4-33.

73. Прохоров М.Д., Смирнов Д.А. Эмпирическая дискретная модель колебательного контура с диодом. // Радиотехника и электроника. -1996. Т. 41, № 11. - С. 1340-1343.

74. R. М. de Moraes, S. М. Anlage. Unified model and reverse recovery nonlinearities of the driven diode resonator. // Phys. Rev. E. 2003. -Vol.68. (026201).

75. Azzouz D., Duchr R., Hasler M. Transition to chaos in a simple nonlinear circuit driven by sinusoidal voltage source. // IEEE Trans. CAS. 1983. -Vol.30.-P.913-914.

76. Azzouz D., Duchr R., Hasler M. Bifurcation diagram in piece-wise circuit. // IEEE Trans.CAS. 1984. - Vol.31. -P.587-588.

77. Matsumoto Т., Chua L.O., Tanaka S. Simplest nonautonomous circuit. // Phys.Rev.A. 1984. -Vol.30. - P. 1155-1157.

78. Pei L.-Q., Guo F., Wu S.-X., Chua L.O. Experimental confirmation of period-adding rout to chaos in nonlinear circuit. // IEEE Trans.CAS. 1986.- Vol.31.-P.438-442.

79. МацумотоТ. Хаос в электронных схемах// ТИИЭР. 1987. - Т. 75, В. 8.-С. 66-87.

80. Аллен Ф., Санчес-Синенсио Э. Электронные схемы с переключаемыми конденсаторами. // М.: Радио и связь, 1989. - 576с.

81. Безручко Б.П., Селезнев Е.П. Сложная динамика возбуждаемого осциллятора с кусочно-линейной характеристикой. // Письма в ЖТФ. -1994. Т.20, вып.19. - С.75-79.

82. Li T.Y., Yorke J.A. // Am. Math. Monthly. 1975. - Vol.82. - P.985.

83. Holmes P. A nonlinear oscillator with strange attractor. // Phylos. Trans. -1979.-Vol.292.-P.419^48.

84. Humieres D.D., Beasley M.R., Huberman B.A., Libhaber A. Chaotic states and rout to chaos in forced pendulum. // Phys. Rev. A. 1982. - Vol.26, № 6. -P.3484-3496.

85. Sato S., Sano M., Sawada Y. Universal scaling property in bifurcation structure of Duffing's and generalized Duffing's equation. // Phys. Rev. A. -1983. Vol.28, №3.-P. 1654-1658.

86. Афраймович B.C., Рабинович М.И., Угодников А.Д. Критические точки и "фазовые переходы" в поведение неавтономного ангармонического осциллятора. // Письма в ЖЭТФ. 1983. - Т.38, вып.2. - С.64-67.

87. Parlitz U., Lauterborn W. Superstructure in bifurcation set of the Duffing's equation.//Phys. Lett. 1985. - Vol.l07A, №8. - P.351-355.

88. Bezruchko В.Р., Prokhorov M.D., Seleznev Ye.P. Multiparameter model of a dissipative nonlinear oscillator in the form of one-dimensional map. // Chaos, Solitons, Fractals. 1995.-Vol.5,№11.-P.2095-2107.

89. Кузнецов С.П. Универсальность и подобие в поведении связанных систем Фейгенбаума. // Изв. ВУЗов, Радиофизика. 1985. - Т. 28, № 8. -С. 991-1007.

90. Gu Y., Tung M., Yuan J.-M., Feng D.H., Narducci L.M. Crises and gisteresis in coupled logistic maps. // Phys. Rev. Lett. 1984. - Vol.52, №9. -P.701-704.

91. Kuznetsov S.P., Sataev I.R. Period-doubling for two-dimensional non-invertible maps: renormalization group analysis and quantitative universality. // Physica. 1997. - Vol. 101D. - P. 249-269.

92. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Коразмерность и типичность в контексте проблемы описания перехода к хаосу через удвоения периода в диссипативных динамических системах. // Регулярная и хаотическая динамика. 1997. - Т. 2, № 3-4. - С. 90-105.

93. Прохоров М.Д. Виды колебаний диссипативно связанных систем с удвоением периода при сильной связи. // Изв. ВУЗов «Прикладная нелинейная динамика». 1996. - Т.4, №4,5. - С.99-107.

94. Sakaguchi Н., Tomita К. Bifurcations of the coupled logistic map. // Prog. Theor. Phys. 1987. - Vol.78. -P.305-315.

95. Satoh K., Aihara T. Self-similar structures in the phase diagram of a coupled-logistic map. // J. Phys. Soc. Jpn. 1990. - Vol.59. - p. 1123-1126.

96. Kook H., Ling F.H., Schmidt G. Universal behavior of coupled nonlinear systems. //Phys. Rev. A. 1991. - Vol.43. -p.2700-2708.

97. Udwadia F.E., Raju N. Some global properties of a pair of coupled maps: quasi-symmetry, periodicity, and synchronicity. // Physica D, 1998, V.lll, P. 16-26.

98. Udwadia F.E., Raju N. Some global properties of a pair of coupled maps: quasi-symmetry, periodicity, and synchronicity. // Physica. 1998. -Vol.111.-p. 16-26.

99. Carvalho R, Fernandez B, Mendes R.V. From synchronization to multistability in two coupled quadratic maps. // Phys. Lett. A. 2001. -Vol.285.-P.327-338.

100. Астахов B.B., Безручко Б.П., Пономаренко В.И. Формирование мультистабильности, классификация изомеров и их эволюция всвязанных фейгенбаумовских системах. // Изв.вузов. Радиофизика. 1991. -Т.34, №1.-С.35-39.

101. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пономаренко В.И., Селезнёв Е.П. Квазиоднородные стохастические движения и их разрушение в системе связанных нелинейных осцилляторов. // Изв.вузов, Радиофизика. -1988. Т.31, №5. - С.627-630.

102. Астахов В.В., Безручко Б.П., Гуляев Ю.В., Селезнёв Е.П. Мультистабильные состояния диссипативно связанных фейгенбаумовских систем. // Письма в ЖТФ. 1989. - Т. 15, вып.З. -С.60-65.

103. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пономаренко В.И., Селезнев Е.П. Мультистабильность в системе радиотехнических осцилляторов с емкостной связью. // Радиотехника и электроника. 1991. - Т.36, №11. -С.2167-2170.

104. Астахов В.В., Безручко Б.П., Ерастова Е.Н. Селезнев Е.П. Виды колебаний и их эволюция в диссипативно связанных фейгенбаумовских системах. // ЖТФ. 1990. - Т.60, вып. 10. - С. 19-26.

105. Безручко Б.П, Прохоров М.Д., Селезнев Е.П. Виды колебаний, мультистабильность и бассейны притяжения аттракторов симметрично связанных систем с удвоением периода. // Известия ВУЗов, Прикладная нелинейная динамика. 2002. - Т. 10, №10. - С.47-68.

106. Bezruchko В.Р., Prokhorov M.D., Seleznev Ye.P. Oscillation types, multistability, and basins of attractors in symmetrically coupled period-doubling systems. // Chaos, Solitons & Fractals. 2003. - №15. - p.695-711.

107. Rossler O.E. An equation for hyperchaos. // Phys.Lett. 1979. - Vol.71 A. -P.155-157.

108. Rossler O.E., Kahlert C., Parisi J., Peinke J., Röhricht В. Hyperchaos and Julia Hyperchaos and Julia sets. // Z.Naturforsch. 1986. - Vol.4 la. -P.819-822.

109. Tomasz Kapitaniak, Yuri Maistrenko, and Svitlana Popovych Chaoshyperchaos transition. // Phys. Rev. E. 2000. - Vol.62, №.2. - p. 19721976.

110. Seung-hwan Kim and Stellan Ostlund. Simultaneous rational approximation in the study of dynamical systems. // Phys. Rev. A. 1986. - Vol.34, №4. -P.3425-3434.

111. Анищенко B.C., Летчфорд Т.Е. Разрушение трехчастотных колебаний и хаос в генераторе при бигармоническом воздействии. // ЖТФ. 1986. -1986. - Т.56, вып. 11.- С.2250-2253.

112. Feudel U., Safonova М.А., Kurths J., Anishchenko V.S. On the destruction of three-dimensional tori. // Int. J. of Bifurcation and chaos. 1995. - Vol.6, № 7. P.1319-1332.

113. Афраймович B.C., Веричев H.H., Рабинович М.И. Стохастическая синхронизация колебаний в диссипативных системах. // Изв. вузов, Радиофизика. 1986. - Т.29, №9. - С.1050-1060.

114. Анищенко В.С.,Арансон И.С.,Постнов Д.Э.,Рабинович М.И. Пространственная синхронизация и бифуркация развития хаоса в цепочке связанных генераторов. // ДАН СССР. 1986. - Т. 286, №5. -С.1120-1124.

115. Кузнецов С.П., Пиковский A.C. Переход от симметричного к несимметричному режиму хаотической динамики в системе диссипативно связанных рекуррентных отображений. // Изв. ВУЗов, Радиофизика. 1989. - Т.32. - С.49-54.

116. Pecora L.M., Carrol T.L. Synchronization in Chaotic Systems. // Phys. Rev. Lett. 1990. - Vol.64. - p.821-824.125

117. Pikovsky A.S., Grassberger P. Symmetry breaking bifurcation for coupled chaotic attractors. // J. Physics A. 1991. - Vol.24. - p.4587-4597.

118. Astakhov V., Shabunin A., Kapitaniak Т., Anishchenko V. Loss of Chaos Synchronization through the Sequence of Bifurcations of Saddle Periodic Orbits. // Phys. Rev. E. 1997. - Vol.76, №6. - p. 1014-1017.

119. Yu. L. Maistrenko, V. L. Maistrenko, O. Popovych, and E. Mosekilde. Desynchronization of chaos in coupled logistic maps. // Phys. Rev. E. -1999. Vol.60, №3. - p. 2817-2830.

120. M. Hasler, Yu. Maistrenko, and O. Popovych. Simple example of partial synchronization of chaotic systems. // Phys. Rev. E. 1998. - Vol.58, №5. -p. 6843-6846.

121. Udwadia F.E., Raju N. Some global properties of a pair of coupled maps: quasi-symmetry, periodicity, and synchronicity. // Physica. 1998. -Vol.111.-p. 16-26.

122. Dmitry Postnov, Seung Kee Han, and Hyungtae Kook. Synchronization of diffusively coupled oscillators near the homoclinic bifurcation. // Phys. Rev. E. 1999. - Vol.60, №3. - p. 2799-2807.

123. Halsey T.S., Jensen M.H., Kadanoff L.P. et al. // Phys.Rev. A. 1986. -Vol.33.-p.1141.

124. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. // Изв. вузов, Прикладная нелинейная динамика. 1993.-Т.1,№ 1,2. С.15-33.

125. Селезнев Е.П., Захаревич A.M. Структура пространства управляющих параметров модели нелинейного осциллятора при двухчастотном воздействии. // Изв. Вузов, ПНД. 2001,т.9, № 2. С.39-44.

126. Селезнев Е.П., Захаревич A.M. Влияние асимметрии на фрактальные свойства синхронного хаоса в связанных системах с удвоением периода. // Письма в ЖТФ. 2002. Т. 28, вып. 13. С.7-14.

127. Селезнев Е.П., Захаревич A.M. Динамика нелинейного осциллятора при квазипериодическом воздействии. // Письма в ЖТФ. 2005. Т. № 31, вып. 17. С.13-18.

128. Селезнев Е.П., Захаревич A.M. О размерности аттрактора нелинейного осциллятора. // Письма в ЖТФ. 2004. Т.30, вып.5. с.76-81.

129. Селезнев Е.П., Захаревич A.M. Структура пространства управляющих параметров неавтономного кусочно-линейного осциллятора. // ЖТФ. 2006. Т. 76, вып. 4. с. 133-135.

130. Селезнев Е.П., Захаревич A.M. Фрактальные свойства синхронного хаоса в связанных отображениях // Известия ВУЗов, Прикладная нелинейная динамика. 2002. Т. 10, №5. с. 19-24.

131. Селезнев Е.П., Захаревич A.M. Динамика модели нелинейного осциллятора при двухчастотном воздействии. // Вторая международная конференция «Фундаментальные проблемы физики», Саратов, Россия, 9-14 октября 2000г. Материалы конференции. С.173-174.

132. Селезнев Е.П., Захаревич A.M. Влияние асимметрии на свойства синхронного хаоса в связанных системах с удвоением периода. // Международная школа «ХАОС-2001». Тезисы докладов. Саратов. 2001. с.107-108.

133. Селезнев Е.П., Захаревич A.M. О размерности хаотического аттрактора неавтономного нелинейного осциллятора. // Межд. конференция «Нелинейные колебания механических систем». Н.Новгород. 2002. Тезисы докладов. С.74.

134. Селезнев Е.П., Захаревич A.M. Фрактальные свойтсва синхронного хаоса в связанных отображениях // Межд. конференция «Нелинейные колебания механических систем». Н.Новгород. 2002. Тезисы докладов. С.75.

135. Захаревич A.M. О реконструкции модели неавтономной RL-диода цепи по временным рядам // Сборник материалов научной школы-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых 2002". Саратов, 2002. стр. 54-57.

136. Захаревич A.M. Экспериментальное исследование динамики нелинейного осциллятора при двухчастотном воздействии // Сборник материалов на научной школы-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых — 2003", Саратов

137. Селезнев Е.П., Захаревич A.M. Динамика нелинейного осциллятора при двухчастотном воздействии // Международная школа «ХАОС-2004». Тезисы докладов. Саратов. 2004. с. 178.

138. Селезнев Е.П., Захаревич A.M. Динамика неавтономных осцилляторов с диссипативной связью и иррациональным соотношением частот // Международная школа «ХАОС-2004». Тезисы докладов. Саратов. 2004. с. 179.

139. Селезнев Е.П., Захаревич A.M. Рождение и синхронизация трехмерного тора в неавтономных осцилляторах с реактивной связью. // Международная школа «ХАОС-2004». Тезисы докладов. Саратов. 2004. с.180.

140. Захаревич A.M. Динамика нелинейного колебательного контура при двухчастотном воздействии // Сборник материалов научной школы-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых — 2004", Саратов, 2004. С. 106-109.

141. Селезнев Е.П., Захаревич A.M. Сценарии перехода к хаосу в нелинейном осцилляторе при квазипериодическом воздействии // Всероссийская научная конференция «Нелинейные колебания механических систем». 2005. с. 191.

142. Селезнев Е.П., Захаревич A.M. Динамика нелинейного осциллятора при двухчастотном воздействии с рациональным соотношением частот // Всероссийская научная конференция «Нелинейные колебания механических систем». 2005. с. 194

143. Seleznev Ye.P., Zakharevich A.M. Transition to chaos in quasiperiodically forced nonlinear pendulum. // International symposium "Topical problems of nonlinear wave physics". N. Novgorod. Russia. Proceedings. 2005. p.93-94.

144. Захаревич A.M. Исследование динамики одномерных отображений при квазипериодическом воздействии. // Сборник материалов научной школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых — 2005», Саратов. 2005.

145. Захаревич A.M. Осциллятор Тода при квазипериодическом воздействии // Сборник материалов научной школы-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых — 2006", Саратов.

146. Захаревич A.M., Селезнев Е.П., Зборовский А.В. II конференция молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика», Саратов, 2007. с.71

147. Захаревич A.M., Селезнев Е.П., Зборовский А.В. II конференция молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика», Саратов, 2007. с.73.

148. Захаревич A.M., Селезнев Е.П. Переход хаос гиперхаос в диссипативно связанных нелинейных осцилляторах с иррациональным соотношением частот воздействия. // VIII Международная конференция «Хаотические автоколебания, образование структур-2007».