Структура конечных SR-групп тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Янишевский, Виталий Валериевич

• Янишевский, Виталий Валериевич
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Янишевский, Виталий Валериевич

1 Введение

2 Предварительные сведения

2.1 Теоретико-групповые сведения.

2.2 Сведения из теории представлений.

2.2.1 Начальные сведения.

2.2.2 Характеры неразрешимых групп

2.2.3 Индуцированные характеры.

2.2.4 Теория Клиффорда.

2.2.5 Характеры знакопеременной группы Ап.

2.3 Оценки классового числа.

2.4 Сведения о простых неабелевых группах.

2.4.1 Некоторые изоморфизмы простых неабелевых групп.

2.4.2 Общие сведения о k(L), Out(L), StL.

2.4.3 Группы Ln(q), Un(q), где n ^ 3.

2.4.4 Группы Bn(q), Cn{q), где n ^ 2.

2.4.5 Характеры групп PGL2(q) (q нечетно) и L2(q) (q четно)

2.4.6 Спорадические группы.

2.5 Теоретико-числовые сведения

3 Вещественные группы

3.1 Предварительные замечания.

3.2 Результаты Берггрена о вещественных группах.

3.3 Свойства вещественных 2-групп.

3.4 Вещественные группы с абелевой подгруппой индекса 2.

4 Некоторые классы SR-rpynn

4.1 Предварительные замечания.

4.2 SR-группы с абелевой подгруппой индекса 2.

4.3 Описание SR-групп малых порядков.

4.4 Сверхразрешимые SR-группы порядков 2 крп, I ^ к ^

4.5 SR-группы порядка 2прт с циклической р-силовской подгруппой

4.5.1 Теорема редукции.

4.5.2 Особенные SR-группы.

4.6 SR-группы порядка 2прт с диэдралыюй 2-силовской подгруппой

4.6.1 Теорема редукции.

4.6.2 Атомарные SR-группы.

4.6.3 Пример SR-группы с неабелевой р-силовской подгруппой

5 Разрешимость конечных ASR-rpynn

5.1 Предварительные обсуждения.

5.2 Простые неабелевы ASR-группы.

5.3 Минимальный контрпример к теореме 5.1.2.

5.4 Редукция.

5.4.1 Знакопеременные группы.

5.4.2 Спорадические простые группы.

5.4.3 Исключительные простые группы лиева типа.

5.4.4 Классические простые группы лиева типа.

5.5 Характеры и нормальные подгруппы.

5.6 Характеры группы PGL2(q).

5.7 Доказательство теорем 5.1.2 и 5.1.3.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Структура конечных SR-групп»

Постановка задачи и актуальность темы диссертации

Конечными SR-группами1 называются группы, все элементы которых сопряжены со своими обратными и тензорное произведение любых двух неприводимых представлений которых содержит каждое представление не более одного раза (свойство простой приводимости). Класс SR-групп впервые был введен в рассмотрение лауреатом Нобелевской премии по физике Юджином Вигнером2 в работах [38] и [39]. Вигнер показал, что для конечной группы принадлежность к классу SR-групп эквивалентна обращению в равенство следующего неравенства, справедливого для всех конечных групп.

Здесь \М\ — мощность множества М, у/д = {ж е G \ х2 = д}, Са{д) — централизатор элемента д. Таким образом, класс конечных SR-групп составляют в точности те группы, которые обращают неравенство (*) в равенство. В некоторых случаях это неравенство служит основным инструментом для выяснения вопроса о принадлежности данной группы к классу SR-групп, поскольку позволяет выяснять это, не вычисляя представлений (или характеров) группы и разложений их тензорных произведений.

Между тем, как можно будет убедиться из основного текста диссертации, с точки зрения объемов вычислений, установление справедливости тождества Виг-нера для данной группы — это по-прежнему трудоемкая операция, требующая внимательного изучения даже сравнительно просто заданной группы. Возможно, именно этим объясняется, что данный класс групп исследовался слабо. Однако, как отмечено в [10], необходимость изучения SR-групп не вызывает сомнений, так как этот класс групп непосредственно связан с задачами на собственные функции уравнения Шредингера квантовой механики.

В книге [2], стр. 250-251, А. И. Кострикин, в качестве нерешенной проблемы, сформулировал вопрос о SR-группах следующим образом:

Вопрос 1. Как выразить в общем принадлежность к SR-классу в терминах структурных свойств группы?

В Коуровской тетради С. П. Струнковым был поставлен следующий вопрос (см. [3], стр. 61, вопрос 11.94):

Вопрос 2. Будут ли SR-группы разрешимы?

В теории конечных групп уже исследовались группы в которых любой элемент сопряжен со своим обратным. Такие группы были названы вещественными, так как все их неприводимые комплексные характеры вещественнозначны. Очевидно, что класс SR-групп является подмножеством этого класса групп. Среди тех работ

1 От английского "simply reducible, то есть "просто приводимыми".

2Нобелевская премия но физике 1963 года Юджину Полу Вигнеру, "За вклад в теорию атомного ядра и элементарных частиц, особенно с помощью открытия и приложения фундаментальных принципов симметрии". Более подробная информация находится на сайте Нобелевского комитета: http://nobelprize.org/nobelprizes/physics/laureates/1963/ geG geG по этой теме, результаты которых будут использоваться в данной диссертации, можно отметить работы Берггрена [14] и [15].

В работе [10] С. П. Струнков исследовал связь между целыми и полуцелыми представлениями SR-групп. Представление SR-группы называется целым, если оно реализуется в поле вещественных чисел и полуцелым в противном случае. Струнков показал, что если SR-группа G имеет хотя бы одно полуцелое представление, то центр группы G нетривиален. Причем в G содержится такая центральная подгруппа W, \W\ = 2, что все неприводимые целые представления группы G являются компонентами представления а полу целые — компонентами представления CG, где С ~ нетривиальное неприводимое представление группы W. Из этого результата в частности вытекает, что любая полуцелая группа является расширением группы порядка два, при помощи SR-группы, все представления которой целые, а также вещественная реализуемость любого представления SR-группы без центра.

В работе [37] исследовались числа решений некоторых уравнений в SR-rpynnax.

Необходимо отметить и возможные приложения SR-групп к алгебраической комбинаторике. Определение SR-групп указывает на их вероятную связь т.н. «соответствием Макки». Напомним, см. [9J, что с каждым представлением р группы G, можно связать некоторый граф представления Гр следующим образом. Пусть {pi,., pt} — набор неприводимых представлений группы G. Тогда имеется разложение

Р ® Рз — ф ЩкРк, к где j, к Е {1, .,t}. Граф Гр = ГP(G) — это граф с множеством вершин .,pt} и с rrijk (направленными) ребрами из pj к pk■ При этом пара противоположно направленных ребер заменяется на одно ненаправленное ребро. Доказано, см. [9], что граф ГP(G) связен тогда и только тогда, когда р точно на G. Также, граф TP(G) са-модуален (инвариантен относительно противоположной ориентации ребер) тогда и только тогда, когда характер р принимает только вещественные значения. Поэтому, исследование графов представлений, связанных с точными представлениямми конечных SR-групп, может представлять определенный интерес. Действительно, графы точных представлений SR-групп будут связными, самодуальными и без кратных ребер (хотя петли возможны), что может иметь комбинаторный смысл.

Возможно, более выпукло связь SR-групп с алгебраической комбинаторикой видна в определении схем отношений. Для более точных формулировок потребуется определение (мы следуем [1], стр. 61-62):

Определение 1.0.1. Пусть X — лтоо/сество мощности п и Щ, г Е {0, — подмножества в X х X, обладающие следующими свойствами:

1. R0 = {(ж, ж) | х G X};

2. X х X = R0 U . U Rd, R, П Rj = 0 длягф j;

3. lRi — для некоторого г' € {0, где lRi — {{х,у) \ {у,х) € Ri};

4. для i,j, к € {0,., d} число элементов z G X, таких, что (я, z) Е Ri, (у, z) Е Rj, является константой, если (х, у) Е Rk; эта константа обозначается через

5. Pjj = р^ для всех г, j, к;

6. г = г', тогда конфигурация % = (X, {-Rijo^ci), для которой выполнены свойства 1, 2, 3, 4 называется схемой отношений на X с d классами. Если дополнительно выполнено свойство 5, то такая схема отношений называется коммутативной, а если выполнено свойство 6, то такая схема называется симметричной.

Теперь мы можем определить некоторую схему отношений, связанную с транзитивной группой подстановок. Пусть G — транзитивная группа подстановок па множестве Q = {1,2,., п} и в — подстановочный характер. Пусть G действует на Q х Q таким образом, что (а, (З)9 = (а9,/39), для а, /3 G f2, g е G. Обозначим через А0, Ai, ., Ad орбиты действия G на Q х Q. Предположим дополнительно, что для каждой пары (х,у) 6 Aj, г 6 {0,., б?}, существует такой элемент h Е G, что xh = у, yh = х (группы с таким свойством называются щедро3 транзитивными, см. [34]). Положим X = Q, Ri = A j, тогда можно показать, см. пример 2.1(1), стр. 63, [1], что схема % = (Г2, является схемой отношений. Схема 71, определяемая действием G на Cl, является коммутативной симметричной, см. замечание (2) стр. 116, [1], тогда и только тогда, когда соответствующий подстановочный характер в не имеет кратностей, и каждая неприводимая компонента X характера 9 принимает на G значения в поле вещественных чисел. Итак, имеется явная параллель между определением SR-группы и определением коммутативной симметричной схемы отношений И.

Вопрос об орбитных кодах, связанных с SR-группами, также представляет интерес.

К сожалению, в настоящий момент, высказаться более определенно в отношении связей SR-групп с вышеуказанными объектами в алгебраической комбинаторике невозможно т.к. никаких исследований на эту тему, по-видимому, не проводилось.

Цель и методы работы

Целью работы является исследование строения конечных SR-групп. В диссертации используются методы доказательств теории групп и теории характеров, в том числе теорема Классификации простых конечных групп. Для проведения вычислений в ряде случаев использовалась система компьютерной алгебры GAP, [22].

Научная новизна

Все основные результаты диссертации являются новыми. Главные из них:

1. получен положительный ответ на вопрос о разрешимости конечных SR-rpynn при дополнительном условии отсутствия у группы композиционных факторов, изоморфных знакопеременным группам или АГ>. Причем этот результат справедлив и для более широкого класса ASR-групп. Тем самым (частично) положительно решен вопрос 11.94 Коуровской тетради, [8];

3От английского "generosity".

2. получено описание строения бипримарных SR-групп (порядка 2прт) некоторых классов по модулю подгруппы Фраттини, среди них: группы с циклической р-силовской подгруппой, группы с диэдральной 2-силовской подгруппой, а также сверхразрешимые группы сп<4;

3. определено строение SR-групп малых порядков. Теоретическая и практическая значимость

Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях по теории конечных групп и их представлениям, в алгебраической комбинаторике, а также в интерпретации некоторых задач теоретической физики.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на всероссийской конференции «Колмо-горовские чтения IV» (Ярославль, 2006), на всероссийской конференции «Колмо-горовские чтения V» (Ярославль, 2007), на международной алгебраической конференции «Классы групп, алгебр и их приложения» посвященной 70-летию со дня рождения JI. А. Шеметкова, (Гомель, Беларусь, 2007), на международной алгебраической конференции посвященной 100-летию со дня рождения Д. К. Фаддеева (Санкт-Петербург, 2007).

Публикация результатов

Материал диссертации был опубликован в цикле работ, состоящем из 4 статей (в том числе 1 статья в журнале из списка рекомендованных ВАК РФ), и 2 тезисов докладов. Из 4 статей 2 написаны без соавторов, 2 — двумя авторами (Казарин JI. С., Янишевский В. В.). Все совместные работы написаны в нераздельном соавторстве. Список работ приведен в конце диссертации.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, оглавления, четырех глав (30 параграфов), приложения, заключения и списка литературы из 39 наименований. Текст диссертации изложен на 114 страницах.

Заключение диссертации по теме «Математическая логика, алгебра и теория чисел», Янишевский, Виталий Валериевич

7 Заключение

В заключении предлагается несколько гипотез, формулировки которых являются развитием изложенных в диссертации результатов и которые описывают предполагаемое строение конечных SR-групп.

Гипотеза 1. Любая ASR-группа разрешима.

В силу справедливости теоремы 5.1.2 для доказательства гипотезы 1 остается доказать отсутствие композиционных факторов изоморфных группам и А^.

Гипотеза 2. Пусть G — сверхразрешимая SR-группа. Тогда

Ф(<?) D{A{) х . х D(An) х Е0, где каждая А{ = Ерк для некоторых р > 2 и к, Eq — элементарная абелева 2-группа.

Гипотеза 3. Пусть G — конечная SR-группа, тогда

Ф(С) ^ Nx х . х Nk х Go, где каждая Ni — несверхразрешимая SR-группа изоморфная Еры х D2(pn+i), для некоторых р и п, Go — сверхразрешимая SR-группа, Ф(С?о) = 1

Теоремы 4.5.2 и 4.6.2 подтверждают справедливость гипотезы 3 в частных случаях.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Янишевский, Виталий Валериевич, 2008 год

1. Баннаи, Э. Ито, Т. Алгебраическая комбинаторика. Схемы отношений / Э. Баннаи. Т. Ито. — М.: Мир, 1987.

2. Белоногов, В.А. Фомин, А.И. Матричные представления в теории конечных групп / В.А. Белоногов. А.Н. Фомин. — М.: Наука, 1976.

3. Белоногов, В.А. Представления и характеры в теории конечных групп / В.А. Белоногов, — Свердловск: Изд-во УрО АН СССР, 1990.

4. Горенстейн, Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию / Д. Горенстейн. — М.: Мир, 1985.

5. Джеймс, Г. Теория предсталений симметрических групп / Г. Джеймс. — М.: Мир, 1982.

6. Кертис, Ч. Райнер, И. Теория представлений групп и ассоциативных алгебр / Ч. Кертис. И. Райнер. — М.: Наука, 1969.

7. Кострикин, А.И. Введение в алгебру, часть 3. Основные структуры алгебры / А.И. Кострикин. — М.: Физ.-мат. лит., 2000.

8. Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп. Издание 16-е, дополненное, включающее Архив решенных задач / Новосибирск: ИМ СО РАН, 2006.

9. Маккей, Д. Графы, особенности и конечные группы, / Д. Маккей // Успехи математических наук. 1983. т. 38, вып. 3 (231), С. 159-164.

10. Струнков, С.П. О расположении характеров просто приводимых групп / С.П. Струнков // Математические заметки. 1982. т. 31, №3. С. 357-362.

11. Хамермеш, М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам / М. Хамермеш. — М.: Мир, 1966.

12. Холл, М. Теория групп / М. Холл. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1962.

13. Холл, М. Комбинаторика / М. Холл. — М.: Мир, 1970.

14. Berggren, J.L. Finite groups in which every element is conjugate to its inverse / J.L. Berggren // Pacific Journal of Mathematics, 1969. Vol. 28. №2. p. 289-293.

15. Berggren, J.L. Solvable and supersolvable groups in which every element is conjugate to its inverse / J.L. Berggren // Pacific Journal of Mathematics, 1971. Vol. 37. m. p. 21-27.

16. Bierbrauer, J. The uniformly 3-homogeneous subsets in PGL2(q) / J- Bierbrauer // J. Algebraic Combinatoric, 1995. Vol. 4. p. 99-102.

17. Carter, R.W. Finite groups of Lie type. Conjugacy classes and complex characters / R.W. Carter. Chichester, etc., Willey, 1985.

18. Conway, J.H. Curtis, R.T. Norton, S.P. Parker, R.A. Wilson, R.A. Atlas of Finite Groups / J.H. Conway. R.T. Curtis. S.P. Norton. R.A. Parker. R.A. Wilson. — Oxford: Clarendon Press, 1985. http://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/v3/

19. Dixon, J.D. The Fitting subgroup of a linear solvable group / J.D. Dixon // J. Austral. Math. Soc., 1967. Vol. 7. p. 417-424.

20. Evans-Riley, S. Newman, M.F. Schneider, C. On the soluble length of groups with prime-power order / S. Evans-Riley. M.F. Newman. C. Schneider // Bull. Austral. Math. Soc., 1999. Vol. 59 №2. p. 343-346.

21. Gallagher, P.X. The number of conjugacy classes in a finite group / P.X. Gallagher // Math. Z., 1970. Vol. 118. p. 175-179.

22. The GAP Group, GAP — Groups, Algorithms and Programming, Version 4.4.10, Aachen, St. Andrews, 2008; http://www.gap-system.org

23. Gorenstein, D. Finite groups / D. Gorenstein. — N.Y.: Harper and Row, 1968.

24. Feit, W. Characters of finite groups / W. Feit — N.Y., Amsterdam: W. A. Benjamin Inc., 1967.

25. Huppert, B. Endliche Gruppen I / B. Huppert. — Berlin, Heidelberg, N.Y.: Springer, 1967.

26. Huppert, B. Blackburn, N. Finite Groups II / B. Huppert. N. Blackburn — Berlin: Springer, 1982.

27. Isaacs, I.M. Character theory of finite groups / I.M. Isaacs. — N.Y.: Acad. Press, 1976.

28. Kazarin, L.S. Sagirov, I.A. On the degrees of irreducible characters of finite simple groups / L.S. Kazarin. I.A. Sagirov // Proc. of the Steklov Inst. Math. Suppl., 2001, Vol. 2. p.'71-81.

29. Kovacs, L.G. Robinson, G.R. On the number of conjugacy classes of a finite group / L.G. Kovacs. G.R. Robinson // J. Algebra, 1993. Vol. 160. p. 441-460.

30. Liebeck, M.W. Praeger, C.E. Saxl, J. The maximal factorizations of the finite simple groups and their automorphism groups / M.W. Liebeck. C.E. Praeger. J. Saxl // Memoirs of the AMS, 1990. Vol. 86. №432.

31. Liebeck, M. Pyber, L. Upper bounds for the number of conjugacy classes of a finite group / M. Liebeck. L. Pyber // J. Algebra, 1997. №198. p. 538-562.

32. Macdonald, I.G. Numbers of conjugacy classes in some finite classical groups / I.G. Macdonald. // Bull. Austral. Math. Soc., 1981. Vol. 23, №1. p. 23-48.

33. McKay, J. The non-abelian simple groups G, |G| ^ 106 — character tables / Л. McKay // Commun. Algebra, 1979. Vol. 7. №13. p. 1407-1445.

34. Neumann, P.M. Generosity and characters of multiply transitive permutations groups / P.M. Neumann // Proc. London Math. Soc., 1975. Vol. 31. p. 457-481.

35. Silberberg, G. Finite p-groups whose proper factors are abelian / G. Silberberg // Pure Math. Appl, 1996. Vol. 7. №34. p. 332-339.

36. Spaltenstein, N. Caracteres unipotents de 3D4(Fq) j j N. Spaltenstein / / Comment. Math. Helveteci, 1982. Vol. 57. p. 679-691.

37. Van 2anten, A.J. De Vries, E. Number of roots of certain equations in finite simply reducible groups. / A.J. Van Zanten. E. De Vries // Groningen University, Netherlands, Physica, 1970. Vol. 49. p. 536-548.

38. Wigner, E.P. On representations of finite groups / E.P. Wigner // Amer. J. Math., 1941. Vol. 63. p. 57-63.

39. Wigner, E.P. On the Matrices which Reduce the Kronecker Products of Representations of S.R. Groups. / E.P. Wigner. Princeton, 1951.

40. Публикации автора по теме диссертации

41. Публикации в издании, рекомендованном ВАК РФ:

42. Казарин, JI.C. Янишевский, В.В. О конечных просто приводимых группах / JI.C. Казарин. Янишевский В.В. // Алгебра и анализ. 2007. т. 19, № 6. С. 86-116.1. Другие публикации:

43. Казарин, JI.C. Янишевский, В.В. SR-группы порядка 2пр / JI.C. Казарин. Янишевский В.В. // Сборник научных работ «Математика в Ярославском университете», посвященный 30-летию математического факультета ЯрГУ. Ярославль: ЯрГУ, 2006. С. 257-262.

44. Янишевский, В.В. SR-группы порядка 2прт с циклической р-силовской подгруппой / В.В. Янишевский. // Вестник Пермского Университета: Математика. Механика. Информатика. 2007. № 7 (12). С. 39-43.

45. Янишевский, В.В. SR-группы порядка 2прт с диэдральной 2-силовской подгруппой / В. В. Янишевский. j j Моделирование и анализ информационных систем. 2007. т. 14. № 2. С. 17-23.