Структура двухэлектронных состояний и параметра порядка в топологических сверхпроводящих материалах UTe2, UPt3, Sr2RuO4 тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Тепляков Егор Александрович

• Тепляков Егор Александрович
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Тепляков Егор Александрович

Введение

Глава 1. Обзор литературы

1.1 Экспериментальное подтверждение необычной сверхпроводимости и структуры параметров порядка

1.1.1 Сдвиг Найта и четность параметра порядка сверхпроводящего состояния

1.1.2 Метод мюонной спиновой релаксации

1.1.3 Оптический эффект Керра

1.2 Феноменологический подход к описанию параметра порядка сверхпроводящего состояния

1.2.1 Основные идеи феноменологического подхода

1.2.2 Фаза Гинзбурга-Ландау

1.2.3 Температурная зависимость физических величин и нули ППСС

1.3 Известные факты о топологическом сверхпроводящем материале

1.4 Известные факты о топологическом сверхпроводнике UPtз

1.5 Обзор физических свойств в сверхпроводящем материале 8г2КиС4

1.6 Пространственно-групповой подход к волновой функции куперовской пары

1.7 Краткий вывод из обзора литературы

Глава 2. Математическое описание двухэлектронных состояний

в кристаллических материалах

2.1 Одноэлектронные состояния в кристаллах и индуцированные представления

2.2 Шубниковские группы

2.3 Копредставления Шубниковских групп

2.4 Теорема Макки-Бредли. Теория двухэлектронных состояний в

кристаллах

Глава 3. Учет Шубниковской симметрии при построении

параметра порядка иТе2

3.1 Функции Куперовских пар в симметрии 02н

3.2 Шубниковская симметрия в 02н

3.3 Заключение и сравнение результатов симметрийного анализа с экспериментальными данными для ИХвг

Глава 4. Теоретико-групповой подход к триплетному ППСС иР13

4.1 Анализ нулей в плоскостях симметрии и дополнительные квантовые числа

4.2 Компьютерное моделирование ППСС в сверхпроводящем материале с симметрией

4.3 Обсуждение результатов и сравнение с экспериментальными данными для UPtз

Глава 5. Исследование ППСС в 8г2И,и04. Исследование фазы

Гинзбурга-Ландау с точки зрения теории групп

5.1 Описание электронных состояний в группе Д^ и анализ нулей

на плоскостях симметрии

5.2 Фаза Гинзбурга-Ландау и теория групп

5.3 Компьютерное моделирование ППСС в симметрии

5.4 Обсуждение результатов и сравнение с экспериментальными данными для 8г2НлС4

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Структура двухэлектронных состояний и параметра порядка в топологических сверхпроводящих материалах UTe2, UPt3, Sr2RuO4»

Введение

Сверхпроводимость это важное свойство, которое используется для передачи энергии и создания магнитных полей. Топологические сверхпроводники также вызывают большой интерес и являются активной современной областью исследования из-за потенциальных применений в топологических квантовых вычислениях [1]. Первые исследованные сверхпроводники были чистыми металлами, сверхпроводимость которых обусловлена электрон-фононным взаимодействием. Для большинства «обычных» сверхпроводников сверхпроводимость хорошо описана в рамках теории БКШ(теория Бардина-Купера-Шриффера) [2], которая дает микроскопическое описание сверхпроводящего состояния, как конденсата, состоящего из пар электронов на поверхности Ферми с полным импульсом и спином равными нулю(куперовских пар) [3].

Обнаруженные физическими методами в некоторых материалах степенные температурные зависимости физических величин (вместо экспоненциальной для БКШ-сверхпроводников) указывают на то, что параметр порядка сверхпроводящего состояния (ППСС) обращается в нуль в точках и на линиях поверхности Ферми [4]. Кроме того, данные ЯМР указывают на нечетность параметра порядка, а релаксация спинов мюона и эффект Керра указывают на наличие внутренних магнитных полей в сверхпроводниках. Эти экспериментальные данные указывают на ряд необычных симметрийных свойств. Примерами таких соединений являются: иТе2, иР^, 8г2Ки04, ¡3-В12Р^ Поскольку единой теории для необычных сверхпроводников нет, то особое значение приобретает симмет-рийный подход для обработки экспериментальных данных с целью определения симметрии взаимодействий, ответственных за образование куперовских пар. До недавнего времени применялись симметрийные подходы, основанные на выборе сферических функций, взятыми из теории кристаллического поля, которые преобразуются по неприводимым представлениям точечных групп симметрии материалов.

Однако феноменологические подходы не описывали всех экспериментальных данных, в частности триплетный параметр порядка для точечной группы в иТе2 и вертикальные линии нулей хирального ППСС в 8г2Ки04.

Целью настоящей работы является построение симметрийной теории топологических сверхпроводников «из первых принципов», а именно построение ППСС из волновых функций куперовских пар, полученных теоретико-группо-

выми методами из одноэлектронных состояний кристалла. А также применение этого метода к исследованию таких необычных сверхпроводящих материалов, как UTe2, UPt3, 8г2КиС4 и сравнение полученных результатов с экспериментальными данными.

Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи:

1. Развитие математической теории двухэлектронных состояний в кристаллах с целью определения связи неприводимых представлений с возможными угловыми моментами в теории Гинзбурга-Ландау.

2. Расчет структур с двухэлектронными состояними для различных кристаллических симметрий и для всех точек Зоны Бриллюэна.

3. Исследование с помощью пространственно-группового подхода точечных нулей и линии нулей в топологических сверхпроводящих материалах, а также их сравнение с экспериментальными данными.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Применение черно-белых Шубниковских групп для симметрийного рассмотрения ППСС.

2. Связь неприводимого представления с возможными угловыми моментами в теории Гинзбурга-Ландау и определение узловой структуры ППСС.

3. Дополнительные квантовые числа для двумерных неприводимых представлений, а также описание трех топологических фаз UPt3 с помощью них.

4. Физическая одномерность ППСС, построенного из волновых функций пар, принадлежащих двумерным неприводимым представлениям 8г2кис4, и объяснение современных экспериментальных данных для линий нулей четного параметра порядка с симметрией Ед.

Научная новизна:

1. Впервые построен параметр порядка из функций отдельных пар и установлена связь возможных фаз Гинзбурга-Ландау с кристаллической симметрией и неприводимыми представлениями точечных групп

2. Впервые исследовано влияние черно-белой Шубниковской симметрии на ППСС и установлено, что при осевой точечной симметрии ППСС с отличным он нуля полным моментом описывается Шубниковской груп-

пой, в которой отражение в вертикальных плоскостях сопровождается обращением времени

3. Впервые введены и исследованы дополнительные квантовые числа для куперовских пар, преобразующихся по двумерным неприводимым представлениям.

Научная и практическая значимость Полученные в работе данные, представленные в виде таблиц и графиков, использованы для интерпретации новых экспериментальных данных для соединений Sr2RuÜ4, UPt3 и UTe2. Эти данные также могут быть использованы для интерпретации экспериментальных данных для других синглетных и триплетных необычных сверхпроводников с симметрией D2h, D4h, В частности, экспериментальные результаты для UTe2 были объяснены в терминах одного неприводимого представления Шубниковской группы т'т'т, для UPt3 все три топологические фазы были описаны в терминах дополнительных квантовых чисел. Показано, что современные экспериментальные данные для Sr2RuO4 соответствуют представлению Eg с разными дополнительными квантовыми числами. Разработанные в диссертации новые подходы и методики могут быть использованы также для построения волновых функций куперовских пар в топологических сверхпроводящих материалах с другими симметриями.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены устными доклададами на конференциях:

— 62-я Всероссийская научная конференция МФТИ, 18 - 23 ноября 2019, МФТИ, Долгопрудный

— 64-я Всероссийская научная конференция МФТИ, 29 ноября - 3 декабря 2021, МФТИ, Долгопрудный

— 65-я Всероссийская научная конференция МФТИ, 1-6 апреля 2023, МФТИ, Долгопрудный

— Topological Superconductivity in Quantum Materials, 19 - 22 October 2020, online, Mainz

— The international summer conference on theoretical physics, 3-7 July 2023, MIPT, Dolgoprudny

Личный вклад.

Содержание диссертации и выносимые на защиту основные положения отражают личный вклад автора в опубликованные работы. Все представленные в

диссертации результаты получены автором. Автор принимал непосредственное участие в решении следующих задач:

- Расчет ППСС для материалов 8г2Ки04, UPt3 и UTe2.

— Исследование Шубниковской симметрии в топологическом сверхпроводнике UTe2.

- Развитие математического аппарата для описания дополнительных квантовых чисел.

— Исследование связи между теорией представлений и угловыми моментами в теории Гинзбурга-Ландау.

Публикации. Результаты по теме диссертации изложены в 6 публикациях, из которых 3 статьи опубликованы в международных журналах [А1-А3], а 3 — в сборниках трудов конференций.

Благодарности. Работа была выполнена при поддержке СПбГУ (грант 95442847). Автор глубоко благодарен своему научному руководителю Виктору Георгиевичу Яржемскому за постановку задачи и за постоянную поддержку. Автор также выражает большую благодарность сотрудникам кафедры теоретической физики МФТИ.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 88 страниц с 25 рисунками и 15 таблицами. Список литературы содержит 104 наименований.

Глава 1. Обзор литературы

В этой главе будет дан обзор физических свойств топологических сверхпроводящих материалов UTe2, UPt3, 8г2Ки04 и имеющихся экспериментальных исследований, а также кратко описаны основные физические принципы и идеи, лежащие в основе экспериментальных данных и симметрийного анализа.

1.1 Экспериментальное подтверждение необычной сверхпроводимости и структуры параметров порядка

1.1.1 Сдвиг Найта и четность параметра порядка сверхпроводящего состояния

Сдвиг Найта — это измерение ядерного магнитного резонанса (ЯМР), которое определяет изменение частоты ЯМР ядра атома в металле по сравнению с частотой, измеренной в вакууме или изоляторе [5,6]. В твердом теле электроны проводимости занимают Ферми-распределение по свободным электронным состояниям. В отсутствие магнитного поля эти состояния заселены попарно в соответствии с принципом Паули. Однако когда присутствует магнитное поле, Зеемановское взаимодействие нарушает вырождение между электронными спиновыми состояниями, что приводит к чистой магнитной поляризации электронов проводимости. Затем ядра соединяются с этой средней электронной поляризацией по тому же механизму, что и для парамагнитных взаимодействий. Сдвиг Найта может быть очень большим, если электроны проводимости состоят в основном из й- электронов, имеющих ненулевую плотность в ядре. Если присутствуют р— или (1— электроны, имеющие нули на ядре, они могут вызвать поляризацию й- электронов, то в таком случае сдвиг Найта может быть меньшим или отрицательным.

Энергия взаимодействия ядра со спином I и гиромагнитным 7/ соотношением равна

и = (—ъ ПВ0 + а{3))1г. (1.1)

Здесь а-сверхтонкая постоянная. Первое слагаемое описывает взаимодействие с магнитным полем В0, а второе слагаемое среднее сверхтонкое взаимодействие ядра с электронами проводимости. Среднее значение спина электрона

проводимости ) связано со спиновой восприимчивостью Паули электронов проводимости: Мг = дМ^в) = ХбВ». Взаимодействие тогда записывается как

и = (-Ц й + )В»1г = -II ВД>(1 + ^ )1г. (1.2)

дл^в т

В этом выражении сдвиг Найта определяется следующим образом

к = - — = аХБ (13)

Во gNцв 71 й' '

Сдвиг Найта является одним из основных инструментов для идентификации триплетного состояния в топологических сверхпроводящих материалах.

1.1.2 Метод мюонной спиновой релаксации

Метод мюонной спиновой релаксации(дБК метод) представляет собой очень чувствительный метод для определения малых магнитных полей в исследуемом образце (до 10-5 Тл) [7,8]. Таким способом исследования, выполненным в отсутствие внешнего магнитного поля, можно выявить спонтанное появление очень малых магнитных полей в сверхпроводящем состоянии и, следовательно, выявить нарушение симметрии по отношению к обращению времени(ТКБ). Большим достоинством этого метода является возможность определения нарушения ТИБ как в отдельных кристаллах, так и в поликристаллах. Метод дБИ, основан на наблюдении изменения мюонной спиновой поляризации Р(£), зависящей от времени. Сами же мюоны находятся в образце.

Позитроны испускаются преимущественно вдоль направления спина мю-она, асимметрия А(Ъ) отражает локальное распределение поля. По-простому говоря, А(Ь) содержит информацию о физике процесса и определяется следующим образом

ш = ад - №д)

т = м + № (I). (ы)

Здесь Жр(£) и Ыв(£) — количество позитронов, подсчитанных в момент времени £ на переднем и заднем детекторах соответственно, а ¡3 — калибровочная константа. Параметр ¡3 зависит от эффективности самих устройств, то есть от детекторов позитронов, и определяется на практике путем калибровки.

В топологических сверхпроводниках нарушение симметрии по отношению к обращению времени экспериментально обнаруживается по увеличению скорости релаксации А(р), возникающей из-за спонтанного появления дополнительных внутренних полей в сверхпроводящем состоянии.

1.1.3 Оптический эффект Керра

Оптический эффект Керра является еще одним экспериментальным методом обнаружения спонтанных магнитных полей внутри сверхпроводящего материала посредством измерения изменения угла Керра [7]. Эффект Керра описывается следующим образом: пусть имеется линейно-поляризованный свет (т.е. одинаковая суперпозиция правой и левой круговой поляризации), падающий нормально на материал. Если комплексные показатели преломления материала п для двух круговых поляризаций различаются, отраженный свет будет представлять собой неравную - как по амплитуде, так и по фазе - суперпозицию правой и левой круговых поляризаций. Состояние отраженной поляризации будет эллиптическим и сдвинуто по фазе относительно падающего луча. Угол Керра 9к, задающий поворот главной оси отраженного луча относительно падающего луча [9], определяется выражением

Ок = ^(агд[Я++] — агд[Я——]). (1.5)

Где Я++— коэффициент отражения от света с правой круговой поляризацией к правой круговой поляризации, а Я__— коэффициент отражения от света

с левой круговой поляризацией к левой круговой поляризации соответственно.

Есть и другое выражения для определения угла Керра через физические свойства материала

вк = —1т(——) = 1т—(-^—-т яХу). (1.6)

ПЬПд — 1 ш п(п2 — 1)

Где аху—это тензор проводимости. Таким образом, угол Керра связан с наличием мнимой компоненты недиагональной части тензора проводимости, которая возникает только при нарушении симметрии обращения времени. В сверхпроводниках этот метод применяется, если параметр порядка имеет несколько компонент, иначе говоря, принадлежит двумерным или трехмерным представлениям группы. Чтобы засечь сигнал при нарушении симметрии по отношению

к обращению времени, необходимо измерить очень маленькое 9к, но с достаточно низкой интенсивностью луча во избежание перегрева исследуемого образца.

1.2 Феноменологический подход к описанию параметра порядка

сверхпроводящего состояния

1.2.1 Основные идеи феноменологического подхода

В феноменологическом подходе сверхпроводимость описывается ППСС, который минимизирует свободную энергию [4,10,11]. Теория Гинзбурга-Ландау формулируется в терминах функционалов свободной энергии, зависящих от амплитуды волновой функции куперовской пары, и строится, исходя из соображений симметрии материала. Основное допущение данного подхода заключается в том, что функционал свободной энергии раскладывается в ряд Тейлора по степеням параметра порядка. Также этот функционал имеет полную симметрию несверхпроводящего(нормального) состояния. Общий вид функционала имеет следующий вид [10]

Р = / А £ аг(Т) £ |ч!г)|2 + .... (1.7)

^ г г=1

Где аг(Т)-коэффициенты рассматриваемого материала,зависящие от температуры и давления. Выше температуры Тс предполагается, что аг(Т) > 0.

-амплитуды волновых функций куперовских пар, которые инварианты относительно неприводимых представлений Г рассматриваемой точечной группы кристалла.

Например, базисные функции с учетом операций симметрии для представлений группы Д^ для двух двумерных представлений Ед и Еи записываются соответственно следующим образом [4]

Ед : /о,г,х(к) = кхкх Дг,у(к) = кхку. (1.8)

Еи : /г,х(к) = хкх /г,у(к) = хку. (1.9)

Здесь, в этом примере /-состояния с нечетным спариванием с ориентацией вдоль оси ^ и соответствуют триплетному состоянию (£; 8Х) = (1; 0).

Выражение свободной энергии для двухкомпонентного параметра порядка ц = (ЦхЯу) имеет вид [10]

Ъ

р И = а(Т Ш2 + Ь1\1\4 + | + гЦ V**2} + Ьз Ы2\ъ |2. (1.10)

Уравнение (1.10) включает в себя все независимые комбинации преобразований по Ед,и до 4-го порядка. Тут присутствуют только три члена четвертого порядка. Здесь а(Т) = а'(Т — Тс) (обе компоненты имеют одинаковую критическую температуру). Ь\, Ь2 и Ь3 — действительные коэффициенты, зависящие от свойств материала.

Функция щели А(к) должна иметь симметрию волновой функции пары в ^-пространстве. Поскольку фермионы антисимметричны относительно перестановок, то [4]

А(к) = —Ат (—к). (1.11)

Для синглетной(£ = 0) куперовской пары функция А(к) должна быть четной функцией от к. Следовательно, А(к) — антисимметричная матрица, которую можно описать с помощью одной четной функции ф(к) [4]

( 0 ф(к)\ \—т о )

А(к) = шуф(к)= ( 0 ^ |. (1.12)

Для описания триплетного(£ = 1) параметра порядка сверхпроводящего состояния используется понятие ^-вектора [12]. Щелевая матрица в этом формализме описывается в терминах трехкомпонентного комплексного вектора ¿(к) = [(!х(к),йу(к),(1х(к)}. ^-вектор ведет себя как вектор при вращениях в спиновом пространстве. Функция, зависящая от спина и момента, Ааа'(к) рассматривается как волновая функция куперовской пары, образованной двумя квазичастицами, импульсы и спины которых равны (к,а) и (—к,а') [13]. Для триплетного сверхпроводника Ааа' (к) выражается через ^-вектор следующим образом [14]

Ааа'(к) = г[(б,(к) • а)ау]аа'. (1.13)

Или в матричной форме имеет вид [13,15-17]

д ( fAttCfc) ДП№)\ = /—dx(k) + idy(к) dz(к) \ (1 14)

() ^it(k) Дц(к); \ dz( k) dx(k) + idy(k)J ' )

Где a = (ax,ay,az)-вектор спиновой матрицы Паули. Направление d-вектора перпендикулярно полному спину S куперовской пары. Например, рассмотрим случай d || z (d(k) = (0,0,dz(k))). Тогда Дtt(k) = Дц(k) = 0 (Sz = 0), что дает d ± S [13].

Поскольку (1.14) обладает той же симметрией, что и волновая функция Куперовской пары, поэтому вектор состояния для триплетного сверхпроводника записывается как

= дп |tt> + Дц IU> + ДоШ + Ht>). (1.15)

Где базис |tt>, |ii> и — (Iti> + |it>) соответствует проекции спина куперовской пары Sz = 1, — 1,0 соответственно. Если ввести новый базис x,y,z, то получатся следующие выражения [15]

* = S = 0> = -J^ltD + |lt>), (1.16)

ж = |S, = 0> = -1=(— Itt> + IU>), (1.17)

У = S = 0> = -=(|tt> + |И>). (1.18)

1

л/2

Тогда вектор состояния |^> запишется следующим образом [15]

|Щ = /2((1хх + dyy + dz г). (1.19)

Энергетический спектр возбужденных квазичастиц с волновым вектором к запишется в терминах d-вектора тогда следующим образом [12,15]

Ек ^ ^l + dГd*±\dXdl*\. (1.20)

Где -энергия квазичастицы, е^-химический потенциал. Если |dxd*| = 0, то такое состояние называют унитарным. Произведение d• d* может быть опре-

делено как квадрат сверхпроводящей энергетической щели |А(&) |2. Состояние называется неунитарным, если d х d* = 0. В неунитарных состояниях спины куперовских пар поляризованы.

Параметры порядка фаз 3He определяются как [18]: d(k) к z(кх ± гку) (A фаза), d(k) к хкх + уку + zkz (B фаза), d(k) к (х + iy)(kx + iky) (А1 фаза, которая возникает под действием магнитных полей). Обе фазы A и B являются унитарными состояниями, а фаза A1 представляет собой неунитарное состояние с поляризацией спина. Если возможно выбрать подходящие спиновые координаты, такие что dz(к) = 0 для всех к, тогда мы называем такое состояние спаривания "состоянием спаривания с равным спином"(Е8Р). Фазы A и A1 являются состояниями ESP. Фазы A и B сверхтекучего 3He имеют аналоги в топологическом сверхпроводнике Sr2RuO4. Аналогия между фазами 3He и триплетными параметрами порядка Sr2RuO4 представлена в таблице 1.

Таблица 1 — d-вектора в Sr2RuO4. Неприводимые представления(Ш) группы C4v представлены в первой колонке. Во второй колонке представлено выражение для d-вектора, исходя из симметрийных соображений. В третьей колонке показано направление d-вектора. TRSB обозначает нарушение симметрии по отношению к обращению времени. В пятой колонке приведены аналоги топологических фаз в сверхтекучем 3He. Адаптировано из работ [11,13].

IR d-вектор Направление вектора d TRSB Аналог в 3He

Aiu хкх + уку d ab Нет B фаза

А2и хку — укх d ab Нет -

В\и хкх — уку d ab Нет -

В2и хку + укх d ab Нет -

Еи %± iky) d с Да A фаза

Состояние Еи в симметрии D4h называется хиральным состоянием, поскольку такие состояния обладают двумя поляризациями относительного орбитального углового момента двух связывающихся квазичастиц: левая и правая поляризации соответствуют кх + iky и кх — iky соответственно. Эти состояния обладают орбитальным угловым моментом Lz = 1 или Lz = — 1 [13].

В большинстве теоретических работ [10, 11,19-21] используется феноменологическое представление куперовской пары. Воловик и Горьков в своей работе [19] обобщили подход Гинзбурга-Ландау и предложили использовать сфе-

рические функции для описания топологического параметра порядка, взятые из теории кристаллического поля. В этом подходе волновой вектор k рассматривается в изотропном пространстве. В k-пространстве сферические функции используются для описания волновых функций куперовских пар. Например, функции для Куперовской пары с угловым моментом I = 1 записываются, как kz = |k|Y01 = Щ^р^совО и kx ± iky = |k|y±T = |k|. Аналогично сферические функции с 1 = 2, 1 = 3 и 1 = 4 соответствуют функциям d—, f— и д— из атомной физики. В этом подходе в общей точке Зоны Бриллюэна(ЗБ) синглетная функция пары четная, а триплетная функция пары нечетна. Сферические функции с четным значением углового импульса остаются четными при действии инверсии, а сферические функции с нечетным значением углового момента остаются нечетными. Рассматривая эти свойства сферических функции, обычно предполагается в феноменологических подходах, что синглетные сверхпроводники описываются с помощью s—, d— и д— сферических функций, а триплетные сверхпроводники функциями р— и /— соответственно. Прямая связь между угловым моментом и четностью пары не является фундаментальным физическим результатом, а является лишь следствием выбора сферических функций в качестве базисного набора для описания куперовских пар.

1.2.2 Фаза Гинзбурга-Ландау

В теории Гинзбурга-Ландау параметры порядка имеют амплитуду и комплексную фазу [22]

ф(г) = \Щ(г)\ егв(г). (1.21)

Где 9(г) называется фазой Гинзбурга-Ландау. Если производится калибровочное преобразование для векторного потенциала поля А(г) ^ А(г) + Vx(r), то тогда нужно произвести и соответствующее изменение фазы Гинзбурга-Ландау в параметре порядка (1.21).

Ь

р = - V + 2 еА. (1.22)

Если фаза в параметре порядка изменяется как гЩ(г) ^ гЩ(г)ег0(г), то тогда получится следующее выражение

рф(г)ег9(г) = ег9(г)( - V + 2е(А + — ЩЩг). (1.23)

Из этого следует, что свободная энергия не изменяется при таких преобразованиях. Это показывает, что теория удовлетворяет локальной калибровочной инвариантности. И фаза, и векторный потенциал поля зависят от выбора калибровки, но все физические наблюдаемые величины (F, В и т. д.) калибро-вочно-инвариантны.

Рассмотрим применение теории Гинзбурга-Ландау к случаю сверхпроводящего кольца. Пусть система поисывается цилиндрическими полярными координатами г = (г; ф; z) с осью z, направленной перпендикулярно плоскости. Тогда параметр порядка должен быть периодичен по углу ф

ф(г) = ф(г; ф + 2щ z). (1.24)

Будем считать, что изменения ф(г) по сечению кольца несущественны и пренебрежем зависимостью от г и z. Тогда параметры порядка для сверхпроводника записываются следующим образом

ф(ф) = ф0егпф. (1.25)

Где п — целое число, а — постоянная функция. Здесь п можно трактовать как число накрутки(шт^п§ number) макроскопической волновой функции.

1.2.3 Температурная зависимость физических величин и нули

ППСС

В обычных s-сверхпроводниках, описывающихся БКШ теорией, параметр порядка обладает сферической симметрией. Поэтому низкоэнергетические возбуждения имеют энергетическую щель. Существование энергетической щели в спектре возбуждений естественным образом приводит к экспоненциальной температурной зависимости различных физических величин, таких как теплоемкость, скорость релаксации ядерного магнитного резонанса (ЯМР) и сдвиг Найта. С другой стороны, в необычном сверхпроводнике ППСС может иметь

точечные нули или линии нулей, поскольку физические величины имеют степенные температурные зависимости [4].

При низких температурах, когда зависимостью сверхпроводящего параметра порядка от можно пренебречь, теплоемкость определяется следующим выражением при Т << Тс

2

■>оо

С = - у ¿Ер(Е )Е2

( ¿е) .

(1.26)

Где /(Е)-функция распределения Ферми, а р(Е)-плотность состояний. Из уравнения (1.26) следует, что линии нулей и точечные нули сверхпроводящего параметра порядка определяются следующим образом с помощью степенных зависимостей теплоемкости [4]

Сое

Т без щели Т2 линия нулей Т3 точечные нули

(1.27)

Скорость релаксации ЯМР в необычных сверхпроводниках и нули даются выражением [4,23]

1

Т1

Т без щели — х •( Т3 линия нулей

(1.28)

Т

5

точечные нули

Таким образом, при низких температурах физические величины в чистых образцах сверхпроводящих материалов без примесей должны подчиняться степенным зависимостям, соответствующим линиям нулей и точечным нулям.

1.3 Известные факты о топологическом сверхпроводящем

материале иТе2

В недавно открытом триплетном сверхпроводнике ИТе2 было обнаружено много необычных ранее не наблюдавшихся свойств. Этот материал обладает объёмноцентрированной орторомбической решёткой (/шшш). С точки зрения теории групп описывается пространственной группой (соответствующая то-

чечная группа В2н). Сверхпроводящее состояние было открыто всего несколько лет назад [24,25].

Недавние исследования показывают наличие нескольких аномальных сверхпроводящих свойств, включая чрезвычайно высокое верхнее критическое поле, намного превышающее предел Паули [24,26], возвратную сверхпроводимость [27] и незначительное уменьшение сдвига Найта [28]. Сдвиг Найта при Тс получился намного меньше, чем обычно ожидается для сверхпроводящего состояния с четным спариванием. Эти экспериментальные результаты указывают на то, что иТе2 является триплетным топологическим сверхпроводником с нечетным спариванием. Температура сверхпроводящего перехода равная Тс = 1.6 К, что является относительно высоким значением, была обнаружена в ИТе2 [24]. Свойства сверхпроводимости, как показывают эксперименты, в ИТе2 сильно зависят от качества образца [29]. Так как в некоторых случаях спин-триплетных сверхпроводников влияние примесей плохо изучено и поэтому крайне важно на практике постараться максимально удалить дефекты в материале.

Большие значения верхнего критического поля Нс2, значительно превышающего парамагнитный предел во всех направлениях, были обнаружены в этом топологическом сверхпроводящем материале. При этом минимальное значение Нс2 = 6 Тл вдоль оси а, а вдоль направления Ь максимальное значение поля составляет Нс2 = 35 Тл. Направления осей и приложенного магнитного поля представлены на рисунке 1.1. Такие величины магнитного поля являются значительными по срвнению с другими сверхпроводниками [30]. Экспериментальные исследования свидетельствуют о наличии другой сверхпроводящей фазы, которая индуцируется магнитным полем, и существует при полях в диапазоне от 40 до 65 Тл [26].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Тепляков Егор Александрович, 2024 год

Список публикаций

[A1] Yarzhemsky V. G., Teplyakov E. A. Time reversal symmetry and the structure of Cooper pair wavefunction in topological superconductor UTe2 // Phys. Lett. A.-2020.-Vol. 384.-P. 126724.

[A2] Yarzhemsky V. G., Teplyakov E. A. Additional quantum numbers for two-electron states in solids. Application to topological superconductor UPt3 // J. Phys. A: Math. Theor. —2021. —Vol. 54.-P. 455304.

[A3] Yarzhemsky V. G., Teplyakov E. A. Topological Structure of the Order Parameter of Unconventional Superconductors Based on d— and f— Elements // Symmetry.-2023. —Vol. 15.-P. 376.

Список литературы

[1] Das Sarma S., Freedman M., Chetan Nayak C. Majorana zero modes and topological quantum computation // NPJ Quantum Inf. — 2015. — Vol. 1.— P. 15001.

[2] Bardeen J., Cooper L. N., Schrieffer J. R. Theory of Superconductivity // Phys. Rev.-1957.-Vol. 108.-P. 1175.

[3] Яржемский В. Г. и Нефедов В. И. Симметрия двухэлектронных состояний в необычных сверхпроводниках // Неорганические материалы. — 2005. — № 12. —С. 1415-1424.

[4] Sigrist M., Ueda K. Phenomenological theory of unconventional superconductivity // Rev. Mod. Phys.-1991.-Vol. 63.-P. 239-311.

[5] Kittel C., McEuen P. Introduction to solid state physics. — New Jersey : John Wiley and Sons, 2018.-P. 692.

[6] Klemm R. A. Towards a Microscopic Theory of the Knight Shift in an Anisotropic, Multiband Type-II Superconductor // Magnetochemistry. — 2018.-Vol. 4.-P. 14.

[7] Recent progress on superconductors with time-reversal symmetry breaking / S. K. Ghosh, M. Smidman, T. Shang et al. //J. Phys. Condens. Matter. — 2020.-Vol. 33.-P. 033001.

[8] Khasanov R., Guguchia Z. Probing the multi gap behavior within '11' and '122' families of iron based superconductors: the muon-spin rotation studies // Supercond. Sci. Technol. - 2015.-Vol. 28.-P. 034003.

[9] Schemma E. R., Levenson-Falka E. M., Kapitulnik A. Polar Kerr effect studies of time reversal symmetry breaking states in heavy fermion superconductors // Physica C: Superconductivity And Its Applications. — 2017. — Vol. 535. — P. 13-19.

[10] Sauls J. A. The order parameter for the superconduction phases of UPt3 // Adv. Phys.-1994.-Vol. 43.-P. 113.

11] Rice T. M., Sigrist M. Sr2RuÜ4: an electronic analogue of 3He? // J. Phys. Condens. Matter. - 1995. - Vol. 7. - P. L643.

12] Balian R., Werthamer N. R. Superconductivity with Pairs in a Relative p Wave //Phys. Rev. B. -1963.-Vol. 131.-P. 1553.

13] Evaluation of Spin-Triplet Superconductivity in Sr2RuO4 / Y. Maeno, S. Kit-taka, T. Nomura et al. // J. Phys. Soc. Jpn. - 2012.-Vol. 81.-P. 011009.

14] Sato M., Ando Y. Topological superconductors: a review // Rep. Prog. Phys.-2017.-Vol. 80.-P. 076501.

15] Mackenzie A. P., Maeno Y. The superconductivity of Sr2RuO4 and the physics of spin-triplet pairing // Rev. Mod. Phys. — 2003. — Vol. 75. — P. 657.

16] Kallin C., Berlinsky J. Chiral superconductors // Rep. Prog. Phys.— 2016.-Vol. 79.-P. 054502.

17] Leggett A. J. A theoretical description of the new phases of liquid 3He // Rev. Mod. Phys.-1976.-Vol. 48.-P. 357.

18] Vollhardt D., Woelfle P. The Superfluid Phases Of Helium 3. — London : Taylor & Francis, 1990.-P. 640.

19] Volovik G. E., Gorkov L. P. Superconducting classes in heavy-fermion systems // Sov. Phys. JETP.-1985.-Vol. 61.-P. 843.

20] Ueda K., Rice T. M. p-wave superconductivity in cubic metals // Phys. Rev. B. —1985. —Vol. 31.-P. 7114.

21] Mineev V. P., Samokhin K. V. Introduction to Unconventional Superconductivity. — London : Gordon and Breach, 1999. —P. 204.

22] Annett J. F. Superconductivity, Superfluids, and Condensates. — Oxford : Oxford University Press, 2004. —P. 200.

23] Hebel L. C. Theory of Nuclear Spin Relaxation in Superconductors // Phys. Rev.-1959.-Vol. 79.-P. 116.

24] Nearly ferromagnetic spin-triplet superconductivity / S. Ran, C. Eckberg, Q.-P. Ding et al. // Science. - 2019.-Vol. 365.-P. 684-687.

[25] Unconventional Superconductivity in Heavy Fermion UTe2 / D. Aoki, A. Nakamura, F. Honda et al. //J. Phys. Soc. Jpn. — 2019. — Vol. 88.— P. 043702.

[26] Extreme magnetic field-boosted superconductivity / S. Ran, I.-L. Liu, Y. S. Eo et al. // Nat. Phys. - 2019.-Vol. 15.-P. 1250-1254.

[27] Field-Reentrant Superconductivity Close to a Metamagnetic Transition in the Heavy-Fermion Superconductor UTe2 / G. Knebel, W. Knafo, A. Pourret et al. //J. Phys. Soc. Jpn. - 2019.-Vol. 88.-P. 063707.

[28] Anisotropic response of spin susceptibility in the superconducting state of UTe2 probed with 125Te-NMR measurement / G. Nakamine, K. Kinjo, S. Kita-gawa et al. // Phys. Rev. B. - 2021.-Vol. 103.-P. L100503.

[29] Field Induced Multiple Superconducting Phases in UTe2 along Hard Magnetic Axis / H. Sakai, Y. Tokiwa, P. Opletal et al. // Phys. Rev. B. — 2023. — Vol. 130.-P. 196002.

[30] A review of UTe2 at high magnetic fields / S. K. Lewin, C. E. Frank, S. Ran et al. // Rep. Prog. Phys. - 2023.-Vol. 86.-P. 114501.

[31] Haneveld A. J. K., Jellinek F. The crystal structure of stoichiometric uranium ditelluride // J. Less Common. Met. - 1970.— Vol. 21.-P. 45-49.

[32] Tuning magnetic confinement of spin-triplet superconductivity / W.-C. Lin, D. J. Campbell, S. Ran et al. // npj Quantum Mater. — 2020. — Vol. 5.— P. 68.

[33] Минеев В. П. Сверхпроводимость в урановых ферромагнетиках // Успехи физических наук.— 2012.— Т. 187, №2. — С. 129-158.

[34] Comparison of two superconducting phases induced by a magnetic field in UTe2 / W. Knafo, M. Nardone, M. Valiska et al. // Commun. Phys. — 2021. — Vol. 4.-P. 40.

[35] Tei J., Mizushima T., Fujimoto S. Pairing symmetries of multiple superconducting phases in UTe2: Competition between ferromagnetic and antiferro-magnetic fluctuations. — 2023.

[36] Tei J., Mizushima T., Fujimoto S. Possible Realization of Topological Crystalline Superconductivity with Time-Reversal Symmetry in UTe2 // Phys. Rev. B. 2023. -Vol. 107.-P. 144517.

[37] Incommensurate Spin Fluctuations in the Spin-Triplet Superconductor Candidate UTe2 / C. Duan, K. Sasmal, M. B. Maple et al. // Phys. Rev. Lett.—

2020.-Vol. 125.-P. 237003.

[38] Low-dimensional antiferromagnetic fluctuations in the heavy-fermion paramagnetic ladder compound UTe2 / W. Knafo, G. Knebel, P. Steffens et al. // Phys. Rev. B. —2021. —Vol. 104.-P. L100409.

[39] Feedback of Superconductivity on the Magnetic Excitation Spectrum of UTe2 / S. Raymond, W. Knafo, G. Knebel et al. //J. Phys. Soc. Jpn. —

2021.-Vol. 90.-P. 113706.

[40] Superconducting Order Parameter in UTe2 Determined by Knight Shift Measurement / H. Fujibayashi, G. Nakamine, K. Kinjo et al. //J. Phys. Soc. Jpn.-2022.-Vol. 91.-P. 043705.

[41] Change of superconducting character in UTe2 induced by magnetic field / K. Kinjo, H. Fujibayashi, S. Kitagawa et al. // Phys. Rev. B. — 2023.— Vol. 107.-P. L060502.

[42] Aoki D. Molten Salt Flux Liquid Transport Method for Ultra Clean Single Crystals UTe2 //J. Phys. Soc. Jpn. - 2024.-Vol. 93.-P. 043703.

[43] Chiral superconductivity in UTe2 probed by anisotropic low-energy excitations / K. Ishihara, M. Roppongi, M. Kobayashi et al. // Nat. Commun. — 2023.-Vol. 14.-P. 2966.

[44] Possibility of Coexistence of Bulk Superconductivity and Spin Fluctuations in UPta / G. R. Stewart, Z. Fisk, J. O. Willis, J. L. Smith // Phys. Rev. Lett.-1984.-Vol. 52.-P. 679.

[45] Joynt R., Taillefer L. The superconducting phases of UPt3 // Rev. Mod. Phys.-2002.-Vol. 74.-P. 235.

[46] Ultrasonic Attenuation in UPt3 / C. M. Bishop, D. J. Varma, B. Batlogg, E. Bucher et al. // Phys. Rev. Lett. -1984.-Vol. 53.-P. 1009.

[47] 195Pt Knight Shift in the Heavy Fermion Superconductor UPt3 / Y. Kohori, T. Kohara, H. Shibai et al. //J. Phys. Soc. Jpn. -1987.-Vol. 56.-P. 22632266.

[48] Specific heat of UPt3: Evidence for unconventional superconductivity / S. Fisher, R. A. andKim, B. F. Woodfield, N. E. Phillips et al. // Phys. Rev. Lett.-1989.-Vol. 62.-P. 1411.

[49] Hasselbach K., Taillefer L., Flouquet J. Critical point in the superconducting phase diagram of UPt3 // Phys. Rev. Lett. - 1989.-Vol. 63.-P. 93.

[50] Phase diagram of UPt3 from ultrasonic velocity measurements / S. Aden-walla, S. W. Lin, Q. Z. Ran et al. // Phys. Rev. Lett. -1990. - Vol. 65.-P. 2298.

[51] Anisotropic temperature dependence of the magnetic-field penetration in superconducting UPt3 / C. Broholm, G. Aeppli, R. N. Kleiman et al. // Phys. Rev. Lett.-1990.-Vol. 65.-P. 2062.

[52] Muon spin relaxation in UPt3 / G. M. Luke, A. Keren, L. P. Le et al. // Phys. Rev. Lett.-1993.-Vol. 71.-P. 1466.

[53] Realignment of the flux-line lattice by a change in the symmetry of superconductivity in UPt3 / A. Huxley, P. Rodiere, D. M. Paul et al. // Nature.— 2000.-Vol. 406.-P. 160-164.

[54] Twofold Spontaneous Symmetry Breaking in the Heavy-Fermion Superconductor UPt3 / Y. Machida, A. Itoh, Y. So et al. // Phys. Rev. Lett. — 2012. — Vol. 108.-P. 157002.

[55] Observation of broken time-reversal symmetry in the heavy-fermion superconductor UPt3 / E. R. Schemm, W. J. Gannon, C. M. Wishne et al. // Science.-2014.-Vol. 345.-P. 190-193.

[56] Evidence for Complex Superconducting Order Parameter Symmetry in the Low-Temperature Phase of UPt3 from Josephson Interferometry /

J. D. Strand, D. J. Van Harlingen, J. B. Kycia, W. P. Halperin // Phys. Rev. Lett.-2009.-Vol. 103.-P. 197002.

[57] The Transition Between Real and Complex Superconducting Order Parameter Phases in UPt3 / J. D. Strand, D. J. Bahr, Van Harlingen et al. // Science.-2010.-Vol. 328.-P. 1368-1369.

[58] Effects of the order parameter anisotropy on the vortex lattice in UPt3 / K. E. Avers, W. J. Gannon, A. W. D. Leishman et al. // Front. Electron. Mater.-2022.-Vol. 2.-P. 878308.

[59] A Spin Triplet Superconductor UPt3 / Y. Tsutsumi, K. Machida, T. Ohmi, M. Ozaki // J. Phys. Soc. Jpn. - 2012.-Vol. 81.-P. 074717.

[60] Nodal gap structure and order parameter symmetry of the unconventional superconductor UPt3 / W. J. Gannon, W. P. Halperin, C. Rastovski et al. // New J. Phys.-2015.-Vol. 17.-P. 023041.

[61] Broken time-reversal symmetry in the topological superconductor UPt3 / K. E. Avers, W. J. Gannon, S. J. Kuhn et al. // Nat. Phys. - 2020. -Vol. 16.-P. 531-535.

[62] Superconductivity in a layered perovskite without copper / Y. Maeno, H. Hashimoto, K. Yoshida et al. // Nature. - 1994.-Vol. 372.-P. 532-534.

[63] Sigrist M. Spin-Orbit Coupling and the in-Plane Anisotropy of the Upper Critical Field in Sr2RuO4 //J. Phys. Soc. Jpn. - 2000.-Vol. 69.-P. 12901293.

[64] Spin-triplet superconductivity in Sr2RuO4 identified by 17O Knight shift / K. Ishida, H. Mukuda, Y. Kitaoka et al. // Nature. — 1998. — Vol. 396.— P. 658.

[65] Time-Reversal Symmetry Breaking Superconductivity in Sr2RuO4 / G. M. Luke, Y. Fudamoto, K. M. Kojima et al. // Nature. - 1998. - Vol. 394.-P. 558.

[66] Deguchi K., Mao Z. Q., Maeno Y. J. Determination of the superconducting gap structure in all bands of the Spin-Triplet Superconductor Sr2RuO4 // J. Phys. Soc. Jpn.-2004.-Vol. 73.-P. 1313-1321.

[67] Vertical line nodes in the superconducting gap Structure of Sr2RuO4 / E. Hassinger, P. Bourgeois-Hope, H. Taniguchi et al. // Phys. Rev. X. — 2017. — Vol. 7.-P. 011032.

[68] Horizontal line nodes in Sr2RuO4 proved by spin resonance / K. Iida, M. Kofu, K. Suzuki et al. //J. Phys. Soc. Jpn. - 2020.-Vol. 89.-P. 053702.

[69] Theoretical studies for identifying horizontal line nodes via angle-resolved density-of-states measurements: Application to Sr2RuO4 / K. Machida, K. Irie, K. Suzuki et al. // Phys. Rev. B.-2019.-Vol. 99.-P. 064510.

[70] High Resolution Polar Kerr Effect Measurements of Sr2RuO4: Evidence for Broken Time-Reversal Symmetry in the Superconducting State / J. Xia, Y. Maeno, P. T. Beyersdorf et al. // Phys. Rev. Lett. - 2006. - Vol. 97.-P. 167002.

[71] Evidence for vertical line nodes in Sr2RuO4 from nonlocal electrodynamics / J. F. Landaeta, K. Semeniuk, J. Aretz et al.— 2023.— 2312.05129.

[72] Constraints on the superconducting order parameter in Sr2RuO4 from oxygen-17 nuclear magnetic resonance / A. Pustogow, Y. Luo, A. Chronister et al. // Nature. - 2019.-Vol. 574.-P. 72-75.

[73] Ishida K., Manago M., Maeno Y. Reduction of the 17O Knight Shift in the Superconducting State and the Heat-up Effect by NMR Pulses on Sr2RuO4 // J. Phys. Soc. Jpn.-2020.-Vol. 89.-P. 034712.

[74] Zutic I., Mazin I. Phase-Sensitive Tests of the Pairing State Symmetry in Sr2RuO4 // Phys. Rev. Lett. - 2005.-Vol. 95.-P. 217004.

[75] Split superconducting and time-reversal symmetry-breaking transitions in Sr2RuO4 under stress / V. Grinenko, S. Ghosh, R. Sarkar et al. // Nat. Phys. — 2021.-Vol. 17.-P. 748-754.

[76] Unsplit superconducting and time-reversal symmetry breaking transitions in Sr2RuO4 under hydrostatic pressure and disorder / V. Grinenko, D. Das, R. Gupta et al. // Nat. Commun. - 2021.-Vol. 12.-P. 3920.

[77] Momentum-resolved superconducting energy gaps of Sr2RuO4 from quasipar-ticle interference imaging / R. Sharma, S. D. Edkins, Z. Wang et al. // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. - 2020.-Vol. 117.-P. 5222.

[78] A proposal for reconciling diverse experiments on the superconducting state in Sr2RuO4 / S. A. Kivelson, A. C. Yuan, B. Ramshaw, R. Thomale // NPJ Quantum Mater. - 2020.-Vol. 5.-P. 43.

[79] Thermodynamic evidence for a two-component superconducting order parameter in Sr2RuO4 / S. Ghosh, A. Shekhter, F. Jerzembeck et al. // Nat. Phys. —2021. —Vol. 17.-P. 199.

[80] Ramires A., Sigrist M. Superconducting order parameter of Sr2RuO4: A microscopic perspective //Phys. Rev. B.— 2019.— Vol. 100. —P. 104501.

[81] ^SR measurements on Sr2RuO4 under (110) uniaxial stress / V. Grinenko, R. Sarkar, S. Ghosh et al. // Phys. Rev. B. - 2023.-Vol. 107.-P. 024508.

[82] Heat capacity double transitions in time-reversal symmetry broken superconductors / H. S. Roising, G. Wagner, M. Roig et al. // Phys. Rev. B. -2022. — Vol. 106.-P. 174518.

[83] Constraints on a split superconducting transition under uniaxial strain in Sr2RuO4 from scanning SQUID microscopy / E. Mueller, Y. Iguchi, C. Watson et al. // Phys. Rev. B. - 2023.-Vol. 108.-P. 144501.

[84] High-sensitivity heat-capacity measurements on Sr2RuO4 under uniaxial pressure / Y.-S. Li, N. Kikugawa, D. A. Sokolov et al. // Proc. Natl. Acad. Sci. USA.-2021.-Vol. 118.-P. e2020492118.

[85] Yarzhemsky V. G., Murav'ev E. N. Space group approach to the wavefunction of a Cooper pair // J. Phys. Condens. Matter. - 1992.-Vol. 4.-P. 3525.

[86] Yarzhemsky V. G. Space-Group Approach to the Nodal Structure of the Superconducting Order Parameter in UPt3 // Phys. Status Solidi B. — 1998. — Vol. 209.-P. 101-107.

[87] Mackey G. W. Symmetric and Anti Symmetric Kronecker Squares and Intertwining Numbers of Induced Representations of Finite Groups // Am. J. Math.-1953.-Vol. 75.-P. 387-405.

[88] Anderson P. W. Structure of "triplet" superconducting energy gaps // Phys. Rev. B. - 1984. - Vol. 30. - P. 4000-4002.

[89] Bose-Einstein condensation superconductivity induced by disappearance of the nematic state / T. Hashimoto, Y. Ota, A. Tsuzuki et al. // Sci. Adv. — 2020.-Vol. 6.-P. eabb9052.

[90] Micklitz T., Norman M. R. Symmetry-Enforced Line Nodes in Unconventional Superconductors // Phys. Rev. Lett. -2017.— Vol. 118.-P. 207001.

[91] Classification of topological crystalline superconducting nodes on high-symmetry lines: Point nodes, line nodes, and Bogoliubov Fermi surfaces / S. Sumita, T. Nomoto, K. Shiozaki, Y. Yanase // Phys. Rev. B. — 2019. — Vol. 99.-P. 134513.

[92] Sumita S., Yanase Y. Topological gapless points in superconductors: From the viewpoint of symmetry // Prog. Theor. Exp. Phys. — 2022. — Vol. 2022.-P. 04A102.

[93] Blount E. I. Symmetry properties of triplet superconductors // Phys. Rev. B. —1985. —Vol. 32.-P. 2935.

[94] Bouckaert L. P., Smoluchowski R., Wigner E. Theory of Brillouin Zones and Symmetry Properties of Wave Functions in Crystals // Phys. Rev. — 1936. — Vol. 50.-P. 58.

[95] Knox R. S., Gold A. Symmetry in the solid state. — New York : Benjamin, 1964.-P. 344.

[96] Yarzhemsky V. G. Induced Representation Method in the Theory of Electron Structure and Superconductivity // Adv. Math. Phys. — 2019. — Vol. 4. — P. 1-10.

[97] Яржемский В. Г. Симметрия в физике и электронное строение материалов. — 2012. — Режим доступа: https://old.mipt.ru/education/chair/ theoretical_physics/upload/393/symmetry_Lp1-arphimp9woq.pdf (дата обращения: 30.05.2024).

[98] Bradley C., Cracknell A. The Mathematical Theory of Symmetry in Solids: Representation Theory for Point Groups and Space Groups. — Oxford : Oxford University Press, 2010. —P. 745.

[99] Herring C. Effect of Time-Reversal Symmetry on Energy Bands of Crystals // Phys. Rev.-1937.-Vol. 52.-P. 361.

[100] Bradley C. J., Davies B. L. Kronecker products and symmetrized squares of irreducible representations of space groups //J. Math. Phys. — 1970. — Vol. 11. —P. 1536-1552.

[101] Yarzhemsky V. G. Multiplicity, Parity and Angular Momentum of a Cooper Pair in Unconventional Superconductors of D4h Symmetry: Sr2RuO4 and Fe-Pnictide Materials // Symmetry. — 2021.— Vol. 13. —P. 1435.

[102] Hamermesh M. Group theory and its application to physical problems. — London : Addison-Wesley, 1964. — P. 509.

[103] Kovalev O. V. Irreducible Representations of the Crystallographic Space Groups: Irreducible Representations, Induced Representations and Corepre-sentations. — New York : Gordon and Breach, 1993. — P. 390.

[104] Pairing Symmetry of UPt3 Probed by Thermal Transport Tensors / K. Izawa, Y. Machida, A. Itoh et al. //J. Phys. Soc. Jpn. — 2014. - Vol. 83. — P. 061013.