Структура борелевских множеств и их отображения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, доктор физико-математических наук Островский, Алексей Владимирович

• Островский, Алексей Владимирович
• доктор физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Островский, Алексей Владимирович

Введение.

1. Канонические борелевские множества.

2. Особые А-множества и их свойства.

3. Гармонические отображения.

4. О некоторых классах отображений метрических пространств.

5. Об открытых отображениях борелевских множеств, гомеоморфизмах h-од-нородных пространств и характеристике Р х Q.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Структура борелевских множеств и их отображения»

Актуальность темы. В дальнейшем, если не оговорено противное, все пространства предполагаются лежащими в канторовом множестве С или пространстве иррациональных чисел Р.

В диссертации рассматриваются взаимосвязанные вопросы, относящиеся к трем периодам.

1. Вопросы 1928-45 годов, касающиеся определения канонических борелевских множеств и поведения их при гомеоморфизмах и открытых отображениях.

2. Вопросы 70-х годов, об описании отображений, сохраняющих первые борелев-ские классы множеств и, в первую очередь, класс (^-множеств, совпадающий, как известно, с классом полнометризуемых пространств.

Сюда относятся вопросы о гомеоморфизмах и об индуктивной совершенности отображений (индуктивно совершенные отображения сохраняют борелевские классы).

3. Вопросы 90-х годов о сохранении борелевских классов различными видами стабильных и гармонических отображений и об их индуктивной совершенности.

Вопросы первой группы ставились классиками топологии и дескриптивной теории множеств. Они оставались актуальными до последнего времени.

Об актуальности последней группы вопросов говорит, например, только что объявленное положительное решение Ж. Сен Реймоном и Г. Дебсом вопроса о сохранении борелевских классов гармоническими (= компактно накрывающими) отображениями. Данное ими доказательство явилось важным событием последнего времени, так как ими же было установлено, что доказательство индуктивной совершенности таких отображений требует привлечения дополнительных аксиом теории множеств.

Вернемся к начальным вопросам и их истории.

Важнейший класс топологических пространств - класс компактных пространств - сохраняется при любых непрерывных отображениях. Изучение непрерывных образов второго по значимости класса пространств - пространств, метризуемых полной метрикой, привело, как известно, к развитию дескриптивной теории множеств

ДТМ), в которой борелевские множества играют ведущую роль. С точки зрения ДТМ метризуемые полной метрикой пространства образуют класс Gs (содержащий Р). Известно, что непрерывные взаимно-однозначные образы Са-множеств суть все борелевские множества и только они.

При каких отображениях пространства иррациональных чисел Р его образы будут всегда борелевскими множествами того же класса Сд?

Этот вопрос интенсивно изучался как вопрос об отыскании наиболее широкого класса отображений, сохраняющего полнометризуемость.

Наряду с такими давно известными классами отображений как открытые и замкнутые, в 70-х годах вышли на сцену новые классы отображений1-индуктивно совершенные, 5-накрывающие, компактно накрывающие, трифакторные2.

В случае, когда отображаемое пространство есть (^-множество, образ его при всех этих отображениях будет также Са-множеством, и все четыре класса отображений совпадают. Исторически это было установлено в таком порядке: доказатель-Ютображение / : X -> Y называется индуктивно совершенным, если на некотором замкнутом в X подпространстве Хо ограничение f\Xo есть совершенное отображение на Y. Если / индуктивно совершенно только для компактов К С У, оно называется компактно накрывающим, а если рассматриваются только счетные такие компакты К, то отображение называется s-накрывающим. 2Трифакторные отображения появились как свойство s-накрывающих отображений при доказательстве сохранения ими полнометризуемости, однако впоследствии было установлено, что у s-накрывающих отображений имеется более сильное и интересное свойство: они точечно-гармоничны (см. главу 3), поэтому мы здесь опускаем их определение. ство сохранения класса Gs компактно накрывающими отображениями было дано Й. Христенсеном. Впоследствии Ж. Сен Реймон, диссертант и Е. Майкл установили, соответственно, что условие компактно накрываемости эквивалентно в этом случае индуктивной совершенности, s-накрываемости и трифакторности.

В поисках наиболее широкого класса отображений, сохраняющего полнометризу-емость (такой класс будет указан в диссертации - класс стабильных отображений) обнаружились два феномена, требовавших объяснения.

Первый из них заключался в том, что первоначально не удавалось доказать несовпадение указанных выше четырех классов отображений уже при отображениях на пространство рациональных чисел Q, если даже в качестве отображаемого пространства взять простейшее не полнометризуемое борелевское множество: Р х Q.

Нетривиальность ситуации видна уже потому, что соответствующие вопросы даже ставились (Е. Майклом) в виде двух отдельных вопросов: о совпадении классов трифакторных и s-накрывающих отображений; о совпадении классов индуктивно совершенных и s-накрывающих отображений.

Отрицательный ответ на первый вопрос был дан впервые автором (см. 3.4 Е), а положительный ответ на второй - автором, В. Юстом и Г. Викке (см. теорему 3.2.1, которая для частного случая счетных пространств была получена одновременно В. Юстом и Г. Викке).

Второй феномен состоял в отсутствии до конца 70-х годов топологических характеристик пространств Р х Q и Q", что сделало актуальной старую проблематику о канонических борелевских множествах, которые Н. Лузин представлял себе как не имеющие лишних частей, не приводя точного определения этого понятия. Снова стали актуальными старые вопросы:

П.С. Александрова - П.С. Урысона, об описании неприводимых борелевских множеств и их перечислении;

Н. Лузина и Л.В. Келдыш, об определении канонических элементов и о представлении борелевских множеств с помощью их сумм,

Л.В. Келдыш, об универсальности борелевских множеств; В. Гуревича, о существовании особых А-множеств;

JI. В. Келдыш, об описании борелевских множеств как образов друг друга при открытых отображениях.

Мы напомним кратко историю этого круга вопросов.

Имеются различные классификации борелевских множеств, и во всех из них первые классы представляют особый интерес. Например, среди подпространств гильбертова куба Iй, в первые классы попадают все (сепарабельные) компактные и локально компактные пространства, полнометризуемые, и-компактные и многие другие топологические пространства.

Основными представителями своих классов являются:

С - канторово совершенное множество;

Q - пространство рациональных чисел и произведение Q х С;

Р - пространство иррациональных чисел;

Началом изучения топологической структуры борелевских множеств следует считать классические топологические характеристики этих пространств, данные Брауэ-ром (для С), В. Серпинским (для Q), Ф. Хаусдорфом и П.С. Александровым - П.С. Урысоном (для Р), П.С. Александровым - П.С. Урысоном (для С х Q):

С - единственное нульмерное компактное без изолированных точек пространство;

Q - единственное нульмерное счетное без изолированных точек пространство;

Р - единственное нульмерное полнометризуемое пространство, не содержащее открытых компактных подмножеств;

С х Q - единственное нульмерное а-компактное пространство, не содержащее открытых компактных или счетных подмножеств.

Из этих топологических характеристик легко следуют такие дескриптивные3:

Q - единственное множество класса Fa, всюду счетное и всюду не дополнительного класса Gs]

Р - единственное множество класса G&, всюду не дополнительного класса Fc\ 3под свойствами "всюду" понимаются свойства, которые наследуются всеми открыто-замкнутыми подмножествами. Иногда вместо "всюду" говорят "на каждой своей порции".

С x Q - единственное множество класса Fa, всюду несчетное и всюду не дополнительного класса G&.

Указанные множества обладают рядом других однородных свойств. Так, очевидно, все эти множества всюду принадлежат борелевскому классу исходного и даже всюду гомеоморфны исходному (пространства с последним свойством называются /i-однородными).

Множества некоторого класса а, но не дополнительного класса, называются множествами строго класса а. Неприводимые множества класса а определяются как множества всюду строго этого класса В частности:

Q - единственное счетное неприводимое множество класса Fa\

С х Q - единственное несчетное неприводимое множество класса Fa\

Р - единственное неприводимое множество класса Gs

Упомянутые множества имеют еще одно замечательное свойство, благодаря которому их выделили как канонические: любые борелевские множества этих классов получаются объединением счетного числа канонических.

Например, каждое несчетное компактное множество представимо в виде суммы канторова совершенного множества С и счетного числа точек, которые суть тривиальные канонические множества.

В связи с этим Н. Лузин выдвинул идею о возможности подобного представления для каждого борелевского множества. Однако в случае борелевских множеств высших классов ситуация резко усложнилась и попытки точного определения канонического множества привели к ряду вопросов.

Теперь, когда мы знаем, что характеристики типа /г-однородности связаны с вопросом о детерминированости борелевских множеств и что доказательство детерминированности даже в первых классах очень непросто, возникшие в те годы трудности легко объяснимы.

Н. Лузин склонялся к определению канонических множеств как однородных в смысле свойства неприводимсти, а П.С. Александров и П.С. Урысон сформулировали проблему с полной определенностью:

Сколько существует попарно негомеоморфных неприводимых множеств в данном борелевском классе? Какова их топологическая характеристика?

Решающий вклад в понимании проблемы определения "каноничности" внесла JI В Келдыш, положив в основу своего определения канонического элемента свойство универсальности: мы скажем, что борелевское множество некоторого класса является универсальным, если любое борелевское множество этого класса гомеоморфно пересечению исходного с некоторым совершенным множеством (что равносильно тому, что исходное множество содержит замкнутую копию любого борелевского множества этого класса).

Из топологических характеристик С, Q х С и Р следует, что произведение каждого из этих пространств с произвольным борелевским множеством того же класса дает пространство, гомеоморфное исходному пространству.

Так как в произведении любых пространств каждый сомножитель является замкнутым подпространством, из сказанного следует:

С - единственный всюду универсальный представитель класса замкнутых множеств;

Р - единственный всюду универсальный представитель класса Gs',

Q - единственный счетный всюду универсальный представитель класса Fa для счетных множеств,

Q х С - единственный всюду универсальный представитель класса Fa.

Однако в классах Faj и Gsj появились уже по крайней мере по два равноправных претендента

J1.B. Келдыш, привлекая топологическое понятие категории 4, определила канонические элементы класса а как элементы этого класса, всюду универсальные и первой категории на себе. 4Напомним, что пространства первой категории суть пространства, представимые в виде объединения счетного числа нигде не плотных в них множеств, а все остальные пространства суть второй категории. Пространства первой категории являются таковыми всюду.

В диссертации показано, что канонический элемент класса а, определенный Келдыш, гомеоморфен Q х MQi (3 < а < ш) или Q х Ма, где и < а < щ и множества Ма определяются с использованием только операций произведения и перехода к дополнению

При изучении гомеоморфных отображений канонических элементов Л.В. Келдыш рассматривала естественный более общий случай открытых отображений. Она доказала, что теорема В. Серпинского (обобщенная Ф. Хаусдорфом на случай несе-парабельных метрических пространств) о сохранении класса Gs при открытых отображениях уже не имеет места для борелевских множеств высших классов первой категории на себе (как показано в диссертации, произведение Р х Q может быть отображено открыто на любое другое борелевское множество).

Так как всякое Gs по теореме Бэра о категориях имеет всюду вторую категорию, Л.В. Келдыш поставила естественный вопрос.

Можно ли всякое борелевское множество всюду не FaC\Gs и всюду второй категории на себе отобразить с помощью открытого отображения на произвольное аналитическое множество всюду второй категории на себе?

Исследования Л.В Келдыш о сохранении классов борелевских множеств при открытых отображениях послужили отправной точкой для поиска наиболее широкого класса непрерывных отображений, сохраняющих борелевские классы. Естественное ограничение к такому классу - содержать в себе все открытые и все замкнутые отображения.

Н. Бурбаки установили, что открытые отображения Сг-множеств обладают следующим свойством к-накрываемости: любой компакт в образе накрывается некоторым компактом из прообраза.

Христенсен усилил теорему В. Серпинского, доказав, что образ Са-множества при к-накрывающем отображении будет также (^-множеством.

По аналогии с уточненной теоремой Л.В. Келдыш, согласно которой любое борелевское множество есть открытый образ Р х Q, автор поставил такой же вопрос для к-накрывающих отображений сначала для Р х Q, а потом и в общей форме: сохраняют ли отображения со свойством к-накрываемости классы борелевских множеств?

В диссертации доказано, что в случае, когда У состоит из счетного числа компактов, всякое fc-накрывающее отображение / : X —> У является индуктивно совершенным на некотором подпространстве Х0 С X с тем же образом.

Следствием доказательства стало открытие автором классов компактно гармонических отображений и (одновременно с Юстом и Викке, которые нашли его в эквивалентной форме совершенно другим методом) точечно-гармонических отображений, а затем и более общего класса стабильных отображений5, замечательного тем, что он включает все открытые и все замкнутые отображения и даже их композиции. К тому же он наследует, в отличие от класса факторных отображений, лучшие общие свойства открытых и замкнутых отображений, а в случае компактных прообразов точек совпадает с точечно-гармоническими.

Параллельно изучается вопрос о сохранении борелевских классов при стабильных отображениях с компактными прообразами точек. Полученные здесь диссертантом результаты говорят об эффективности применения понятий гармонических и стабильных отображений: с их помощью можно получать ответы там, где традиционная техника индуктивно совершенных отображений не работает, что говорит об актуальности этого направления исследований.

Цель диссертации в общей постановке можно сформулировать как изучение условий существования между борелевскими множествами разных классов тех или иных гармонических отображений.

Ютображение называется стабильным, если в прообразе /-1(у) каждой точки у Е Y найдется такое семейство еу, что каждое открытое множество, содержащее какое либо В Е еу, содержит также некоторое множество В' Е еу> для всех точек у1 из некоторой окрестности точки у. Если £у состоит из компактов, то отображение называется точечно-гармоническим. Заменяя в определении точечно-гармонического отображения "точка у" на "компакт Кполучаем определение компактно гармонического отображения.

С одной стороны этим достигается решение некоторых задач. Так, в частности, мы получаем: в случае гомеоморфизмов и неприводимых борелевских множеств - проблемы Н. Лузина и П.С. Александрова - П.С. Урысона; в случае открытых отображений - проблемы Л.В. Келдыш; в случае трифакторных и стабильных отображений - соответствующие задачи Е. Майкла и диссертанта.

С другой стороны, проясняется глобальный вопрос классификации, впрочем, весьма условной, какие пространства и отображения считать хорошими и плохими по принципу: отображение тем лучше, чем хуже может быть класс пространств, инвариантный для него.

Наоборот, пространство тем хуже, чем лучше должен быть класс отображений, сохраняющий его свойства.

Мы будем сравнивать пространства по высоте борелевских классов, к которым они принадлежат.

Например, замкнутые отображения сохраняют все борелевские классы и поэтому лучше открытых, которые сохраняют их только до второго, а точное место в этой классификации для s-накрывающих или стабильных отображений с компактными прообразами пока неизвестно.

Методы исследования.

Традиционные методы ДТМ (например, А-системы, проекции) в значительной мере были заменены топологическими (например, использованием тихоновских произведений, бикактных расширений, индуктивно совершенных и других классов отображений)

В диссертации применяются методы топологии (бикомпактные расширения, вложения, тихоновские произведения), дескриптивной теории множеств (борелевские множества, аналитические множества).

Из разработанных автором методов отметим главные: продолжения открытых отображений и гомеоморфизмов (метод изоморфных систем остаточных множеств); методы, основанные на свойствах стабильных отображений

Научная новизна. Новыми результатами, естественно, являются ответы на ряд вопросов ДТМ и топологии, на которые ранее ответ не был известен, в числе которых следующие: полные ответы на вопросы П. С. Александрова - П. С. Урысона об описании и перечислении неприводимых борелевских множеств; полный ответ на вопрос JI.B. Келдыш об условиях существования открытых отображений между различными борелевскими множествами; положительный ответ на вопрос JI.B. Келдыш о представлении элементов данного класса как объединения канонического элемента и множества меньшего класса; отрицательный ответ на вопрос Е. Майкла о совпадении классов s-накрывающих и трифакторных отображений и положительный ответ на его вопрос об индуктивной совершенности s-накрывающих отображений, если образ есть сумма счетного числа компактов, с помощью введения более широкого нового класса гармонических отображений, для которого этот вопрос оказывается более естественным.

Кроме того: впервые дана топологическая характеристика канонических элементов JI.B. Келдыш с помощью простейших операций произведения и перехода к дополнению. В частности, показано, что канонический элемент JI.B. Келдыш третьего класса го-меоморфен счетной степени рациональных чисел; приведено короткое доказательство гипотезы Н. Лузина о представлении борелевских множеств в виде суммы канонических (данное впервые Л.В. Келдыш с помощью А-систем) путем привлечения топологических методов; найден естественный новый класс отображений, названных стабильными, содержащий открытые, замкнутые и многие другие и сохраняющий полнометризуемость. Получены первые результаты пока о небольшом повышении такими отображениями с компактными прообразами точек классов борелевских множеств.

Практическая и теоретическая ценность. Полученные результаты могут найти применение в дескриптивной теории множеств и функций, общей топологии, теории вероятностей, функциональном анализе, теоретической информатике.

Из результатов диссертации, относящихся к теории отображений топологических пространств, можно сделать вывод, что роль сепарабельных метрических пространств много важнее, чем считалось ранее.

Тенденция 60-х годов "изгнать паразита счетности" из топологии привела к общим классам отображений, которые оказываются зачастую недееспособными при решении конкретных задач уже для подпространств из Р.

Наоборот, рассмотрение сепарабельных метрических пространств позволяет найти удачные классы отображений для общих топологических пространств.

С точки зрения практики и теории, из исследований диссертации следует вывод, что существовавшая до последнего времени теория отображений общих топологических пространств оказывается слишком абстрактной и бедной в приложениях к конкретным вопросах для борелевеских подмножеств действительной прямой.

Поясним сказанное на истории возникновения стабильных и гармонических отображений.

1. Рассмотрим, например, вопрос о классе отображений, включающем открытые и замкнутые, который имел бы такое их общее "хорошее" свойство как сохранение полнометризуемости. Можно было бы начать решать его "в лоб", путем рассмотрения класса всевозможных композиций открытых и замкнутых отображений. Такой подход рассматривался ранее, но приводит к громоздким конструкциям и мало что дает.

Другой путь предложен в диссертации: рассматривается для этих классов отображений общий класс стабильных отображений, инвариантный относительно композиций. Доказывается, что в классе сепарабельных метрических пространств он имеет свойство (трансфакторности), которое влечет сохранение полнометризуемости.

Класс стабильных отображений оказался наиболее широким классом отображений, сохраняющим полнометризуемость сепарабельных метрических простанств.

2. Рассмотрим вопрос Е. Майкла об индуктивной совершенности s-накрывающих отображений на счетные пространства.

В классе сепарабельных метрических пространств s-накрывающие отображения и только они точечно-гармоничны.

Отображения последнего класса на счетные пространства индуктивно совершенны, даже если отображаемое метрическое пространство не сепарабельно.

Подобно этому доказывается, что компактно накрывающие отображения эквивалентны гармоническим отображениям в классе метрических пространств, только если они сепарабельны.

Класс гармонических отображений оказался наиболее широким классом отображений, сохраняющим классы борелевских подмножеств из С6.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на: семинаре кафедры общей топологии и геометрии МГУ им. М В. Ломоносова;

Ленинградской международной топологической конференции (Ленинград, 1983);

V Тираспольском симпозиуме по общей топологии и ее приложениям (Тирасполь, 1985); семинаре Г. Шоке по анализу (Париж, 1993);

X летней конференции по общей топологии и ее приложениям (Амстердам, 1994);

31 и 33 зимней школе по функциональному анализу в Чехии (2003,2005); семинаре по функциональному анализу и ДТМ Карлова университета (Прага, 2004); конференции по анализу и ДТМ в институте Филдса (Торонто, 2002); семинарах Ленинградского университета (1976-1994); ежегодных конференциях памяти П.С. Александрова, проходящих в МГУ им. М.В. Ломоносова; конференции по вычислимости и сложности в анализе (Виттенберг, Германия, 2004); семинаре по ДТМ и функциональному анализу (Париж, 2006); ряде других конференций и симпозиумов.

6При дополнительном предположении, что все пообразы точек компактны, таким классом скорее всего должен быть класс стабильных ото-юражений. На это указывет теорема 3.5.

Основные результаты диссертации опубликованы в 21 работах автора, список которых приведен в конце.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, 5 глав и списка литературы. Главы разбиты на разделы, которые, в свою очередь, разбиты на пункты. Общий объем работы составляет 119 страниц, библиография содержит 55 наименований

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Островский, Алексей Владимирович, 2006 год

1. П.С. Александров, А.А. Ляпунов. Людмила Всеволодовна Келдыш, УМН. 10 (1955), 217-223.

2. П.С. Александров, П.С. Урысон. О нульмерных множествах, В кн.: П.С. Александров. Теория функций действительного переменного и теория топологических пространств, М.: Наука. (1978), 147-166.

3. Л.В. Келдыш. Структура В-множеств, Тр. МИАН. 17 (1945), 1-74.

4. Л.В. Келдыш. Структура В-множеств, ДАН СССР , 31 (1941), 651-653.

5. Л.В. Келдыш. Об открытых отображениях А-множеств, ДАН СССР. 49 (1945), 646-648.

6. К. Куратовский. Топология, т.1, Москва, изд. Мир, (1966).

7. Н.Г. Окромешко. Псевдооткрытые отображения разреженных пространств, Вестник Московского Университета, Математика, 2 (1981), 32-35.

8. А. Островский. О s-накрывающих отображениях сепарабельных метрических пространств, ДАН СССР 202 (1972), 1271-1273.

9. А. Островский. Произведение ^/-пространств и А-множеств, Вестник Московского Университета, Математика, 30 (1975), 29-34.

10. А. Островский. О к-накрывающих отображениях, ДАН СССР 227 (1976), 3436.

11. А. Островский. О несепарабельных т-А-множествах и их отображениях, ДАН CCCCP. Math., 226 (1976), 269-272.

12. А. Островский. Об открытых отображениях нульмерных пространств ДАН СССР, ДАН СССР 228 (1976), 34-37.

13. А. Островский. Непрерывные образы произведения С х Q канторова совершенного множества С и рациональных чисел Q, Семинар по общей топологии, изд. Моск. Унив. (1981), 78-84.

14. А. Островский. К вопросу о структуре борелевских множеств, в сб.: Топология и теория множеств, Изд. удм. гос. унив., Ижевск (1982), 75-84.

15. А. Островский. Борелевские продолжения, селекторы и неизоморфные А-множества, Труды Ленинградской международной топологической конференции, Ленинград, Наука, (1983), 84-90.

16. А. Островский. О факторных конечнократных отображениях, в сб.: Непрерывные функции на топологических пространствах изд. ЛГУ, Рига, (1986) 126-133.

17. А. Островский. К вопросу JI.B. Келдыш о структуре борелевских множеств, Mam. сб. 131 (1986), 323-346.

18. А. Островский. Теорема Уэджа решает проблемы Лузина и Гуревича, в сб.: Кардинальные инварианты и расширения топологических пространств, Изд. удм. гос. унив., Ижевск (1989), 91-94.

19. А. Островский. О новом классе отображений, связанных с компактно накрывающими, Вестник Моск. Унив. 46 (1994), 24-28.

20. А. Островский Отображения борелевских множеств, Труды МИАН, 252 (2006), 225-247.

21. А.Д. Тайманов. Об отрытых образах борелевских множеств, Матем. сб. 37 (1955), 293-300.

22. А.В. Чернавский. О работах J1.B. Келдыш и ее семинара, УМН. 60 (2005), 1136.

23. М. М. Чобан. Непрерывные образы полных пространств, Тр. Моск. Мат. Общ 30 1974, 23-59.

24. М. М. Чобан. О некоторых вопросах дескриптивной теории множеств в топологических пространствах, УМН 60 (2005), 123Ц144.

25. Е. В. Щепин. Топология предельных пространств несчетных обратных спектров, УМН, 31 (1976), 191-226.

26. Р. Энгелькинг. Общая топология, Мир (1986).

27. G. Debs and J. Saint Raymond. Compact Covering and game determinancy, Topology and Appl. 68 (1996), 153-185.

28. G. Debs and J. Saint Raymond. Arbres distingues, bi-arbres et theoremes de relevement, Comptes Rendus Mathematiques. Paris, 36 (2003), 625-628.

29. A.J.M. Engelen. Homogeneous zero-dimensional absolute Borel Sets, volume 27 of CWI Tracts, Vol. 27, Centrum voor Wiskunde en Informatica, Amsterdam (1986).

30. R. Engelking, W. Holstynsky, R. Sikorsski. Some example of Borel sets, Coll. Math. , 15 (1966), 271-274.

31. P. Holicky, J. Spurny. Perfect images of absolute Souslin and absolute Borel Tychonoff spaces, Topology and its Applications 131 (2003), 281-294.

32. W. Hurewicz. Relativ perfekte Teile von Punktmengen und Mengen (A), Fund. Math. 12 (1928), 78-109.

33. W. Just, H. Wicke. Some condition under which tri-quotient or compact-covering maps are inductively perfect, Topology and its Application 55 (1994), 289-305.

34. A. Kechris. Classical Descriptive Set Theory, Springer- Verlag, New York 1995.

35. L. Keldysh. Sur la structure des ensembles mesurables В, Мат. Сб. 15 (57):1 (1944), 71-97.

36. N. Lusin. Lecons sur les ensembles analytiques et leurs applications, Gauthier-Villars, Paris 1930.

37. N. Lusin. Analogies entre les ensembles insurables В et les ensembles analytiques, Fund. Math., XVI (1930), 48-76.

38. A. Louveau, J. Saint-Raymond. Borel classes and closed games : Wadge-type and Hurewicz-type results, Trans. Amer. Math. Soc. 304 vol. 2, (1987), 431-467.

39. E. Michael. Inductively perfect maps and tri-quotient maps, PAMS 82 (1981), 115-119.

40. E. Michael. Partition-complete spaces and their preservation by tri-quotient and related maps, Top. and Appl. 73, (1996) 121-131.

41. Y. Moschovakis, Descriptive Set Theory. Amsterdam, 1994.

42. J. Mycielski. On the axiom of determinateness, Fund. Math. 53, 1964, 205-224.

43. G. Debs and J. Saint Raymond. Compact Covering properties of finite-to-one mappings, Topology and Appl,81 (1997), 55-84.

44. A. Ostrovsky. On open maps of Borel sets, Fund. Math. 146, 1995, 203-213.

45. A. Ostrovsky Set-valued stable maps, Topology and its Applications, 104(2000), 227-236.

46. A. Ostrovsky s-covering maps with complete fibers, Topology and its Applications, 102 (2000), 1-11.

47. A. Ostrovsky, Stable Maps of Polish spaces, Proceedings of American Mathematical Society, 128, 10(2000), 3081-3089.

48. A. Ostrovsky. Triquotient and inductively perfect maps, Top. and Appl. 23 (1986), 25-28

49. M. Pillot. Tri-quotient maps become inductively perfect with the aid of consonance and continuous selections, Top. and Appl. 104 (2000), 237-253.

50. J. Saint Raymond. La structure borelienne d'Effros est-elle standard? Fund. Math. 100, (1978), 201-210.

51. J. Saint Raymond. Caracterisation d'espaces polonais, Seminair Choquet Initiation а Г Analyse, Univ. Paris Vino 5 (1971-73).

52. J. Steel. Analytic sets and Borel isomorphism, Fund. Math. 198 1980, 83-88.

53. E. A. Stshegolkow, A.A. Ljapunow, W.J. Arsenin. Arbeiten zur Descriptiven Mengenlehre, Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin (1955).

54. A.H. Stone. Metrizability of decomposition spaces, PAMS 7 (1956), 690-700.

55. R. Van Wesep. Wadge degrees and descriptive set theory, Cabal Seminar, Spnnger-Verlag LNM, 689, (1978) 151-170.