Струйно-барботажный метод и устройство измерения вязкости жидкостей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.11.13, кандидат технических наук Тышкевич, Андрей Александрович

  • Тышкевич, Андрей Александрович
  • кандидат технических науккандидат технических наук
  • 2007, Тамбов
  • Специальность ВАК РФ05.11.13
  • Количество страниц 206
Тышкевич, Андрей Александрович. Струйно-барботажный метод и устройство измерения вязкости жидкостей: дис. кандидат технических наук: 05.11.13 - Приборы и методы контроля природной среды, веществ, материалов и изделий. Тамбов. 2007. 206 с.

Оглавление диссертации кандидат технических наук Тышкевич, Андрей Александрович

Введение.

1. Обзор пневматических методов контроля вязкости жидкостей.

1.1. Значимость вязкости для контроля жидких веществ и проведения технологических процессов.

1.2. Методы измерения вязкости жидких веществ.

1.3. Классификация пневматических методов измерения вязкости жидких веществ.

1.4. Капиллярные методы измерения вязкости.

1.5. Пузырьковые методы измерения вязкости.

1.5.1. Взаимодействие пузырька газа с жидкостью.

1.5.2. Пузырьковый метод измерения вязкости без отрыва пузырька.

1.5.3. Барботажный метод измерения вязкости.

1.6. Струйные методы измерения вязкости.

1.6.1. Струйный метод измерения вязкости с вертикально падающей струей газа.

1.6.2. Струйный метод измерения вязкости с наклонно падающей струей. газа.

1.6.3. Струйно-барботажый метод измерения вязкости.

1.7. Выводы и постановка задач исследования.

2. Физические основы струйно-барботажных процессов и их математическое моделирование.

2.1. Режимы взаимодействия слоя жидкости с проходящим через нее потоком газа.

2.2. Границы возникновения струйно-барботажного режима.

2.3. Физические особенности процессов, происходящих в струйно-бар-ботажной системе.

2.4. Режим колебаний, при котором максимальный размер газовой камеры периодически меняется во времени.

2.5. Математическое описание процесса взаимодействия струи газа со слоем жидкости в струйно-барботажном режиме.

2.6. Параметрическая идентификация математической модели.

2.6.1. Экспериментальное исследование процессов, происходящих в струй-но-барботажной системе.

2.6.2. Оценка влияния массовой силы на процесс колебания поверхности раздела фаз «газ - жидкость».

2.7. Математическая модель струйно-барботажного метода измерения физико-химических свойств жидкости.

Выводы по второй главе.

3. Струйно-барботажный метод контроля вязкости жидкости.

3.1. Реализация струйно-барботажного метода.

3.2. Информативные параметры струйно-барботажной системы.

3.3. Изменение угла раскрытия газовой струи в процессе колебания поверхности раздела фаз.

3.4. Методика проведения измерений.

3.5. Погрешность струйно-барботажного метода контроля вязкости жидкости

Выводы по третьей главе.

4. Устройство, реализующее струйно-барботажный метод контроля вязкости жидкости.

4.1. Схема и принцип действия устройства.

4.2. Выбор конструктивных и режимных параметров устройства.

4.2.1. Выбор конструкции сопла.

4.2.2. Выбор диаметра сопла, расхода газа и высоты слоя жидкости над соплом

4.2.3. Конструктивная реализация измерительного элемента.

4.3. Оценка погрешности устройства, реализующего струйно-барботажный метод контроля вязкости жидкости.

Выводы по четвертой главе.

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Приборы и методы контроля природной среды, веществ, материалов и изделий», 05.11.13 шифр ВАК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Струйно-барботажный метод и устройство измерения вязкости жидкостей»

Вязкость является важнейшим параметром, определяющим качество веществ. По вязкости судят о качестве полуфабриката или готового продукта, о тех физико-химических изменениях в материале, которые происходят во время технологического процесса. В химической, лакокрасочной, нефтеперерабатывающей, пищевой и ряде других отраслей исходные и конечные продукты подвержены значительным колебаниям вязкости, в связи с чем удобно судить по ней о ходе производства. Технологические процессы полимеризации, переработки нефти и др. используют измерение вязкости материала для косвенного определения молекулярного веса, концентрации нерастворенных твердых веществ и др.

Имеется множество различных методов измерения вязкости, каждый из которых соответствует определенным контролируемым веществам и условиям измерения. Отсутствие надежных в эксплуатации автоматических вискозиметров затрудняет автоматизацию технологического процесса в ряде производств химической, пищевой, стекольной и др. отраслей промышленности.

В ряде отраслей промышленности получаемые в процессе производства продукты и полупродукты представляют собой высоковязкие, быстро кристаллизующиеся жидкости. Использование устройств, реализующих классические методы измерения вязкости (капиллярные, ротационные) в этом случае затруднено из-за налипания на чувствительном элементе контролируемого вещества.

В настоящее время широко используются методы измерения вязкости жидких веществ, основанные на взаимодействии газа с исследуемой жидкостью. Барботажные методы, относящиеся к данной группе, имеют точную теоретическую проработку и простое аппаратное исполнение. Тем не менее, для них свойственна достаточно большая высота слоя жидкости над соплом и, как следствие, необходимо большое количество контролируемого вещества для анализа, что может быть недопустимо для целого ряда технологических процессов. Кроме того, недостатком барботажного метода, в случае его использования с высоковязкими жидкостями является зависимость размера образующегося пузырька газа от свойств контролируемого вещества, что вызывает дополнительную погрешность измерения, и, в некоторых случаях, засорение жидкости пузырьками газа.

Таким образом, актуальной является задача разработки метода измерения вязкости, основанного на взаимодействии газа с исследуемой жидкостью, сочетающего достоинства барботажных и струйных методов, в тоже самое время лишенного их недостатков.

Цель работы. Исследование физических эффектов, происходящих при прохождении струи газа через слой жидкости и создание на их основе высоконадежного струйно-барботажного метода и устройства измерения вязкости.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- провести экспериментальное исследование процесса взаимодействия струи газа со слоем жидкости;

- на основе анализа эффектов, происходящих при прохождении струи газа через слой жидкости, разработать математическую модель процесса колебания поверхности раздела фаз;

- разработать струйно-барботажный метод измерения вязкости жидкостей и провести оценку его погрешности;

- разработать устройство для измерения вязкости жидкостей;

- осуществить промышленные испытания результатов работы.

Методы и методики исследований. Основные задачи работы решались моделированием и анализом моделей процессов газовой динамики с использованием методов математического моделирования. При проведении экспериментальных исследований использовались методы статистического анализа.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- в результате анализа результатов экспериментальных и теоретических исследований физических эффектов, возникающих при взаимодействии струи газа со слоем жидкости, доказана возможность создания на их основе струйно-бар-ботажного метода контроля вязкости жидкости;

- разработана математическая модель процесса колебания поверхности раздела фаз «газ - жидкость» при прохождении струи газа через слой вязкой жидкости, связывающая частоту колебаний поверхности раздела фаз с физикомеханическими свойствами жидкости и параметрами газожидкостной системы;

- разработан новый струйно-барботажный метод измерения вязкости, основанный на непрерывном измерении характеристик струи газа, проходящей через тонкий слой жидкости. Метод, в отличие от известных, позволяет осуществлять непрерывное измерение вязкости малых объемов жидкостей в условиях пожаро- и взрывоопасных производств.

Практическая значимость. Разработано устройство для измерения вязкости высоковязких, легко воспламеняющихся, агрессивных жидкостей в условиях пожаро- и взрывоопасных производств. Осуществлен выбор его основных конструктивных и режимных параметров. Производственные испытания экспериментальных образцов устройств показали их работоспособность.

Оригинальный метод и реализующее его устройство для контроля вязкости признаны изобретением и защищены патентом Российской Федерации.

Реализация результатов. Результаты теоретических и экспериментальных исследований автора прошли промышленные испытания на ОАО «Уваровский сахарный завод» и рекомендованы к внедрению.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на IV Всероссийской научно-технической конференции (Нижний Новгород, 1999 г.); на 14-й Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Смоленск, 2001 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 научных работ, получен 1 патент на изобретение.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Основная часть диссертации изложена на 117 страницах машинописного текста, содержит 37 рисунков и 16 таблиц. Список литературы включает 70 наименований. Приложения содержат 82 страницы.

Похожие диссертационные работы по специальности «Приборы и методы контроля природной среды, веществ, материалов и изделий», 05.11.13 шифр ВАК

Заключение диссертации по теме «Приборы и методы контроля природной среды, веществ, материалов и изделий», Тышкевич, Андрей Александрович

Основные результаты и выводы по работе

1. Анализ существующих пневматических методов показал, что на сегодняшний день имеется множество подходов к измерению свойств жидкостей и одним из наиболее популярных методов измерения вязкости является барботаж-ный метод. Тем не менее, существенным недостатком для него является необходимость взятия относительно большой пробы контролируемого вещества для анализа, а в случае его использования с высоковязкими жидкостями - зависимость размера образующегося пузырька газа от свойств контролируемого вещества и возможность засорения контролируемого вещества пузырьками газа. Разработка нового метода и прибора на его основе, лишенного указанных недостатков является актуальной задачей вискозиметрии.

2. Экспериментально изучены режимы взаимодействия струи газа со слоем вязкой жидкости. Выделены: устойчивый режим, при котором поверхность контакта газа с жидкостью не претерпевает заметных изменений во времени; режим устойчивых колебаний, в дальнейшем названный "режимом струйного барботажа", при котором поверхность контакта газа с жидкостью совершает периодические изменения; режим барботажа, при котором перенос газа осуществляется отдельными пузырьками; а также неустойчивые режимы, поверхность контакта газа с жидкостью в которых изменяется во времени сложным образом. Определены факторы, влияющие на возникновение того или иного режима.

3. На основе анализа процесса прохождения струи газа через тонкий слой вязкой жидкости получена математическая модель струйно-барботажного режима взаимодействия, связывающая период колебаний поверхности раздела фаз с физико-механическими свойствами контролируемого вещества и конструктивными параметрами измерительного элемента.

4. Проведенная параметрическая идентификация математической модели на стадии роста газовой камеры с сопутствующим определением величин действующих сил, показала незначительность влияния массовой силы на колебательный процесс. Исключив из уравнений математической модели массовую составляющую, их удалось решить алгебраически относительно периода колебаний поверхности раздела фаз "газ - жидкость".

5. Предложен метод непрерывного измерения вязкости жидкости по периоду колебаний поверхности раздела фаз, а также метод периодического измерения вязкости контролируемой жидкости по периоду колебаний поверхности раздела фаз и расходу газа на измерительный элемент в момент возникновения устойчивых колебаний, защищенный патентом РФ.

6. Разработано устройство, реализующее метод непрерывного измерения вязкости жидкости по периоду колебаний поверхности раздела фаз.

7. Проведенная оценка погрешности показала, что для жидкостей с вязкостью, лежащей в диапазоне от 1 до 31 Па-с, относительная погрешность устройства измерения вязкости, реализующего струйно-барботажный метод, не превышает 5%.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Тышкевич, Андрей Александрович, 2007 год

1. Гализдра, В.И. Бесконтактный аэрогидродинамический метод измерения вязкости жидких веществ / В.И. Гализдра, М.М. Мордасов // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. - 2000. - Т.66, №6. - С. 37-39.

2. Лаптев, В.И. Барботажно-пьезометрические методы контроля физико химических свойств жидкостей / В.И. Лаптев. - М.: Энергоатомиздат, 1984. - 79 с.

3. Гализдра, В.И. Аэрогидродинамические бесконтактные способы и средства контроля физико-механических свойств жидких сред (дис. на соискание ученой степени к.т.н.).

4. Кутателадзе, С. С. Гидродинамика газожидкостных систем / С. С. Кутателад-зе, М. А. Стырикович. М.: Энергия, - 1976. - 296 с.

5. Ruff, Klaus Bildung von Gasblasen an Dusen bei konstantem Volumendurchsatz / Klaus Ruff// Chemie-Ing.-Techn. 1972. - Nr. 24. - S. 1360-1366.

6. Бронштейн, И. H. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. М.: Наука Гл. ред. физ-мат лит, -1986.-544 с.

7. Бондарев, Г.С. Использование явления барботажа в измерительной технике / Г.С. Бондарев, В.Ф. Романов / Измерит, техника. 1972. - № 12 . - С. 48-53.

8. Васильев, А.С. Закономерности истечения струи газа в жидкость / А.С. Васильев, B.C. Талачев, В.П. Павлов, А.Н. Плановский // Заводская лаборатория. -1970.-Т.4, №5.-С. 727-735.

9. А. с. №1672240 СССР. МКИ G01 К 11/26. Устройство для измерения температуры / Мордасов М.М., Гализдра В.И., Коваленко С.В. № 4473050/2410; -Заявл. 11.08.88; Опубл. 23.08.91. Бюл. №31.

10. А. с. №1712834 СССР. МКИ G01 N 13/02. Устройство для измерения поверхностного натяжения жидкостей / Мордасов М.М., Дмитриев Д.А., Ефремов А.А. № 4808406/25; - Заявл. 19.02.90; Опубл. 15.02.92. Бюл. №6.

11. Константинов, Б.П. Гидродинамическое звукообразование и распространение звука в ограниченной среде / Б.П. Константинов. JL: Наука, 1974. - 144 с.

12. Уоллис, Г. Одномерные двухфазные течения / Г. Уоллис. М.: Мир, 1972. -440 с.

13. Гализдра, В.И. Аэрогидродинамическое бесконтактное совокупное измерение физико-механических параметров жидкостей / В.И. Гализдра, М.М. Мордасов // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2005. - Т.71, № 5. - С. 34-37.

14. А. с. №1746256 СССР. МКИ G01 N 11/16. Способ контроля вязкости жидкости по её колебаниям / Мордасов М.М. № 4785266/25; - Заявл. 23.01.90; Опубл. 07.07.92. Бюл. №25.

15. Рего, К.Г. Метрологическая обработка результатов технических измерений / К.Г. Рего. Справ.пособ. Киев: Техника, 1987. - 128с.

16. Кулаков, М.В. Технологические измерения и приборы для химических производств / М.В. Кулаков. М.: Машиностроение, 1983. - 462 с.

17. Брюханов, В.А. Методы повышения точности измерений в промышленности / В.А. Брюханов. -М.: Изд-во стандартов, 1991. 108 с.

18. Фарзане, Н.Г. Технологические измерения и приборы / Н.Г. Фарзане, J1.B. Илясов, А.Ю. Азим-заде. М.: Высш. школа, 1989. - 456 с.

19. Артемьев, Б.Г. Справочное пособие для работников метрологических служб / Б.Г. Артемьев, С.М. Голубев. 3-е изд., доп. и перераб. - М.: Изд-во стандартов, 1990.-320 с.

20. Мордасов, М.М. Контроль плотности жидких веществ пневмометрическими методами / М.М. Мордасов, С.В. Мищенко, Д.М. Мордасов, А.А. Тышкевич // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 1998. - Т.64, № 7. - С. 3137.

21. Гализдра, В.И. Контроль поверхностного натяжения жидких веществ в промышленных условиях / В.И. Гализдра, С.В. Мищенко, Д.М. Мордасов, М.М. Мордасов // Заводская лаборатория. 1997. - Т.63, № 5. - С. 28-30.

22. Гализдра, В.И. Математическое описание взаимодействия газовой струи со слоем жидкости / Гализдра В.И. Тышкевич А.А. // Труды ТГТУ: Сборник научных статей молодых ученых и студентов. 3 вып. Тамбов, 1999. С. 32-36.

23. Тышкевич, А.А. Анализ режимов взаимодействия газовой струи с жидкостью / А.А.Тышкевич // Труды ТГТУ: Сборник научных статей молодых ученых и студентов. Вып.5. Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2000. С. 54-57.

24. Тышкевич, А.А. Исследование режимов протекания газа через слой жидкости / А.А. Тышкевич, В.Н. Точка, В.А. Лузгачев // Вестник ТГУ: Тамб. гос. унт. -Тамбов, 2001.-С. 94-97.

25. Тышкевич, А.А. Физические особенности процессов в струйно-барботажной системе / А.А.Тышкевич, М.М.Мордасов // Труды ТГТУ: Сборник трудов молодых ученых, аспирантов и студентов. N19. 2006. С. 15-18.

26. Тышкевич, А.А. Математическое моделирование струйного барботажа / А.А. Тышкевич, В.И. Гализдра, М.М. Мордасов, Ю.Ф. Мартемьянов, В.А. Луз-гачев // Вестник ТГТУ. Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2000. Т.7. №1. - С. 66-74.

27. Гализдра, В.И. Математическое описание струйно барботажного взаимодействия газа с жидкостью / В.И. Гализдра, Ю.Ф. Мартемьянов, М.М. Мордасов, А.А. Тышкевич // ММТТ 14 Смоленск, 2001. Т. 5. - Смоленск: Изд-во Смоленск. ГУ. 2001., С. 120-122.

28. Мордасов, М.М. Динамические процессы в струйно-барботажной системе / Мордасов М.М., Тышкевич А.А.; Тамб. гос. техн. ун-т. Тамбов, 2006. - 16 с. ил. - Библиогр. 7 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 16.06.06, №811-В2006.

29. Патент №2192630 РФ. МКИ G01 N 13/02. Способ контроля физико-механических свойств жидкости по ее колебаниям / Мордасов М.М., Мордасов Д.М., Гализдра В.И., Тышкевич А.А. № 2000109446; Заявл. 13.04.2000; Опубл. 10.11.2002; Бюл.№31.

30. Мордасов, М.М. Физические основы измерения плотности и поверхностного натяжения пневматическими методами / Мордасов М.М., Мищенко С.В., Мордасов Д.М., Тамб. гос. техн. ун-т. Тамбов, 1999. 76 с.

31. Буевич, Ю.А. О механизме образования пузыря при истечении газа в жидкость из круглого отверстия / Ю.А. Буевич, В.В. Бутков // Заводская лаборатория. 1971. - Т.5, № 1. - С. 74-83.

32. Латекс в технике / Под. ред. И. В. Гармонова, А. В. Лебедева. Л.: Ленинградское отделение Госхимиздата, 1962. - 896 с.

33. Реометрия пищевого сырья и продуктов: Справочник / Под. ред. Ю. А. Мачихина. М.: Агропромиздат, 1990. 271 с.

34. Нарушева, Н.В. Технохимический контроль кондитерского производства / Н.В. Нарушева, И. С. Лурье. -М.: Агропромиздат, 1990. 154 с.

35. Технохимический и микробиологический контроль в кондитерском производстве: Справочник / И.С. Лурье, Л.Е. Скокан, А.П. Цитович. М.: Колос, 2003.-416 с.

36. Технохимический контроль сахарного производства / Под. ред. И. Ф. Буга-енко. М.: Агропромиздат, 1989. - 216 с.

37. Приборы технологического контроля в молочной промышленности: Справочник / А.П. Брусиловский, А.Я. Вайнберг. М.: Агропромиздат, 1990. - 288 с.

38. Теплофизические и физико-химические характеристики продуктов микробиологического синтеза: Справочник / A.M. Карпов, А.В. Саруханов. М.: Агропромиздат, 1987. - 224 с.

39. Волчек, И.С. Автоматизация производств поликонденсационных смол / И.С. Волчек, Ю.М. Лужков. М.: Химия, 1976. - 231 с.

40. Волошин, З.С. Автоматизация сахарного производства / З.С. Волошин, Л.П. Макаренко, П.В. Яцковский. -М.: Агропромиздат, 1990.-271 с.

41. Басов, Н.И. Контроль качества полимерных материалов / Н.И. Басов, В.А. Любартович, С.А. Любартович; Под. ред. В. А. Брагинского. Л.: Химия, 1990. -112 с.

42. Общая технология стекла и стеклянных изделий / Е.П. Казенмова. М.: Стройиздат, 1989. - 144 с.

43. Ли, X. Справочное руководство по эпоксидным смолам / X: Ли, К. Невилл. -М.: Энергия, 1973.-415 с.

44. Мордасов, М.М. Пневматический контроль вязкости жидких веществ. 4.1: Капиллярные методы измерения и устройства их реализации / М.М. Мордасов, Д.М. Мордасов; под ред. М.М. Мордасова. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. унта, 2007.- 120 с.

45. Романков, П.Г. Гидромеханические процессы химической технологии / П.Г. Романков, М.И. Курочкина. Л.: Химия, 1982. - 288 с.

46. Рамм, В.М. Абсорбция газов / В.М. Рамм. М. Химия, 1976. - 655 с.

47. Tadaki Т., Maeda S., Kagaku Kogaku, 1961, v. 25, N 4, p. 254 264; 1963, v.27, N3, p. 147-155.

48. Кутателадзе, C.C. Гидравлика газожидкостных систем / C.C. Кутателадзе, M.A. Стырикович. M.: Госэнергоиздат, - 1958. - 232 с.

49. Davidson J.F., Shuler B.O.G., Trans. Inst. Chem. Eng., 1960, v. 38, N 3, p. 144 -154; N6, p. 335-342.

50. Calderbank, P.H. Spherical-Cap Bubbles Annual Review of Fluid Mechanics / P.H. Calderbank // Trans. Inst. Chem. Eng. - 1956. - v. 34, N 1. - p. 71-90.

51. Leibson, T. Characterization of Gas Jet Behavior at a Submerged Orifice in Liquid Metal / T. Leibson, E.G. Holcomb, A.G. Cacoso, J.J. Jacmic // A. I. Ch. E. J. -1956.-v. 2, N3,p. 296-299.

52. Davidson, J. Influence of wettability on bubble formation in liquid / J. Davidson, E. Amick // A. I. Ch. E. J. 1956. - v. 2, N 3, p. 337-339.

53. Айзенбуд, М.Б. Вопросы гидравлики химических реакторов для систем газ-жидкость / М.Б. Айзенбуд, В.В. Дильман // Хим. пром-сть. 1961. - №3. - С. 199-208.

54. Kumar, A. Gas-bubble formation in liquid layer / A. Kumar, N.R. Kullor // Chem. Technik. 1967. - v. 19, N 2, p. 78-84.

55. Соболев, С.JI. Уравнения математической физики: учебник для ун-тов / C.JI. Соболев. М.: Наука, 1966. - 443 с.

56. Справочник химика. Т. 1. 2-е изд. перераб. и доп. - Л.; М.: Гос. науч. изд-во хим. лит-ры., 1963. - 1070 с.

57. Абрамович, Г.Н. Теория турбулентных струй / Г.Н Абрамович. М.: Наука. Гл. ред. Физико-математической литературы, 1984 - 716 с.

58. РМГ 43-2001 Рекомендации по межгосударственной стандартизации. Применение "Руководства по выражению неопределенности измерений".

59. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. М.: Наука, 1987. - 600 с.

60. Дифференциальное и интегральное исчисление Пискунов Том 1

61. Теория автоматического управления. Т. 2 / Под ред. А.В. Нетушил. М.: Высшая школа, 1972. - 430с.

62. Егоров, К.В. Основы теории автоматического управления / К.В. Егоров. -М.: Энергия, 1967. 620 с.

63. Пантелеев, А.В. Методы оптимизации в примерах и задачах / А.В. Пантелеев, Т.А. Летова. М.: Высш. Шк., 2002. - 544с.

64. Габасов, Р. Методы оптимизации / Р. Габасов, Ф.М. Кириллова. Минск: Изд-во БГУ, 1981.-352 с.

65. Дэннис, Дж. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений / Дж. Дэннис, Р. Шнабель. М.: Мир, 1988. - 440 с.

66. Райбман, Н.С. Построение моделей процессов производства / Н.С. Райбман, В.М. Чадеев. -М.: Энергия, 1975. 319 с.

67. Киреев, В.И. Численные методы в примерах и задачах. 2-е изд., стер. / В.И. Киреев, А.В. Пантелеев. М.: Высшая школа, 2006. - 480 с.

68. Каханер, Д. Численные методы и программное обеспечение / Д. Каханер, К. Моулер, С. Нэш. М.: Изд Мир, 2001. - 575 с.

Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.