Строение обратимых матриц над упорядоченными алгебраическими системами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Ильин, Сергей Николаевич

• Ильин, Сергей Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ильин, Сергей Николаевич

Введение

1 Обратимые матрицы над положительно упорядоченными неассоциативными кольцоидами

1.1 Описание матриц, обратимых над областью целостности кольцоида

1.2 Описание матриц, обратимых над областью квазицелостности кольцоида

2 Обратимость матриц над положительно упорядоченными кольцоидами

2.1 Обратимость матриц над кольцоидами, в которых элемент 1 является талией

2.2 Описание сильно обратимых матриц над кольцоидами общего вида

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Строение обратимых матриц над упорядоченными алгебраическими системами»

Известно, что многие вопросы в алгебре зачастую оказываются так или иначе связаными с матрицами, причем наряду с классическими вещественнозначными и комплекснозначными матрицами различные применения имеют, например, булевозначные матрицы, матрицы над решетками. Разумеется, при изучении матриц над различными алгебраическими системами далеко не последнее место отводится вопросу о их обратимости. Однако, в то время как свойства обратимых матриц над полями и кольцами иследуются достаточно давно, многие вопросы, касающиеся обратимости матриц над полукольцами и, в частности, упорядоченными алгебраическими системами, обладающими полукольцевой структурой (булевы алгебры, дистрибутивные решетки, т-полурешетки) либо были решены в течение последних 30-40 лет, либо остаются открытыми до настоящего времени.

Как известно, решетку Ь можно рассматривать как алгебраическую систему (Ь,и,П), в которой роль сложения и умножения элементов играют операции их объединения и пересечения, так что реше-точнозначные матрицы можно обычным образом складывать и умножать, используя сложение и умножение, имеющиеся в самой решетке. Особый интерес в этом отношении представляют ограниченные решетки, то есть решетки, обладающие наибольшим элементом 1 и наименьшим элементом 0, поскольку в этом случае матрица Е = играет роль единичной матрицы, а следовательно, имеет смысл говорить об обратимости матриц над такими решетками.

В первую очередь исследовались матрицы над булевыми алгебрами. По всей видимости, первой работой в данном направлении следует считать статью Веддерберна [1]. Исследуя различные свойства матриц с элементами в булевой алгебре, Веддерберн в частности получил необходимые и достаточные условия обратимости матрицы А — \\dij|| • и«ч = 1 (г = 1,. . ,п), (0.1)

3 = 1 а{]Пак] = 0 (г ф /г), (0.2) п и ау'1 ~ 1 (г = 1,.,п), (0.3) 1 а^Па^ = 0 (0.4)

Позднее Люк [2] показал, что булевозначная матрица А обратима тогда и только тогда, когда она ортогональна, то есть удовлетворяет равенству ААТ — Е, где Ат — матрица, транспонированная к матрице А, при этом Ат является обратной матрицей. Следующий важный шаг был сделан Рузерфордом [3]. Оказалось, что для булевозначной матрицы А условия {(0.1), (0.2)} эквивалентны условиям {(0.3), (0.4)}, так что для обратимости матрицы А необходимо и достаточно выполнения половины условий Веддерберна. В этой же статье Рузерфордом была установлена эквивалентность одно- и двусторонней обратимости булевозначной матрицы. Следует также отметить обзорные статьи Рудеану [4], Сагнаевой и Цаленко [5], затрагивающие те же вопросы.

После того, как были изучены свойства обратимых матриц над булевыми алгебрами, возник вопрос о распространении данных результатов на более широкие классы решеток. Значительный вклад в развитие этой темы был сделан Скорняковым [6]. Он дал полное описание (состоящее из 11 эквивалентных свойств, включая условия Веддерберна-Рузерфорда) обратимых матриц над ограниченными дистрибутивными решетками. Им же был установлен следующий факт: множество элементов обратимых матриц над ограниченной дистрибутивной решеткой образует булеву алгебру.

Другое обобщение результатов Веддерберна-Рузерфорда было сделано Б лисом [7]. Блис исследовал матрицы над упорядоченным группоидом с 0 и 1, образующим верхнюю полурешетку, для которой 0 и 1 являлись, соответственно, наименьшим и наибольшим элементами. Предполагалась также дистрибутивность имеющегося в группоиде умножения относительно операции объединения. Согласно терминологии из [8](с. 416,417) описанный упорядоченный группоид является ограниченной целостной т-полурешеткой. Ограниченную дистрибутивную решетку и, в том числе, булеву алгебру можно рассматривать как частный случай т-полурешетки, в которой умножение элементов совпадает с их пересечением. С учетом того, что умножение в т-полурешетке необязательно коммутативно, и следовательно, формула (АВ)Т — ВтАт, вообще говоря, перестает быть верной, Блис ввел понятие сильной обратимости матриц. Согласно [7] матрица А сильно обратима справа (слева), если найдется матрица В такая, что АВ = ВТАТ = Е (ВА — АТВТ = Е). Матрица А сильно обратима, если она сильно обратима слева и справа. Для матрицы над т-полурешеткой с наименьшим элементом 0 и наибольшим элементом 1 Блис доказал необходимость и достаточность условий Веддерберна-Рузерфорда для ее сильной обратимости, эквивалентность одно- и двусторонней сильной обратимости, единственность сильно обратной матрицы и совпадение ее с транспонированной матрицей, а также то, что элементы сильно обратимых матриц образуют булеву алгебру. Наконец, заканчивая обзор публикаций об обратимых матрицах над упорядоченными алгебраическими системами, следует также упомянуть о доказанной Салием [9] эквивалентности условий {(0.1), (0.2)} и {(0.3), (0.4)} Веддерберна-Рузерфорда для матриц над квазибулевыми решетками.

Обратимся теперь к матрицам над полукольцами. Под полукольцом понимается такая алгебраическая система {£,+,•, 0,1), что (¿>,+,0) — коммутативный моноид, (¿>,-,1) — моноид, выполняются законы дистрибутивности, Ох = х0 = 0 для всех х £ 5. Если умножение в £ необязательно ассоциативно, говорят, что S — неассоциативное полукольцо. Неассоциативное полукольцо, в котором нейтральный элемент по сложению 0 необязательно является мультипликативным нулем, будем для краткости называть предполуколъ-цом.

Легко видеть, что все перечисленные выше авторы (за исключением Салия) исследовали свойства обратимых матриц над упорядоченными множествами, которые могут рассматриваться как полукольца (у Блиса — неассоциативные полукольца) с идемпотентным сложением, каждый элемент х которых удовлетворяет равенствам

1 + ж = ж + 1 = 1.В последние годы активно изучаются и другие виды полуколец с идемпотентным сложением, в частности, имеются результаты об обратимых матрицах (см. [10]). Однако, в полученных результатах наблюдается явное сходство с известными элементарными свойствами обратимых матриц над полукольцом неотрицательных вещественных чисел (см. напр. [11] (стр. 592, зад. 9), а также [12] (стр. 155, зад. 4226)), несмотря на, казалось бы, различную природу этих алгебраических систем. Это позволило сделать предположение о том, что и те, и другие результаты вытекают из свойств алгебраических систем, обобщающих и полукольца с идемпотентным сложением, и полукольцо неотрицательных вещественных чисел. Таковыми являются, например, положительно упорядоченные (неассоциативные) полукольца. Однако полученные автором результаты справедливы и для более общих упорядоченных алгебраических систем, определяемых ниже.

Пусть 7Z — множество, на котором заданы бинарные операции сложения " + " и умножения "•", причем (7?,,+,0) — группоид с нейтральным элементом 0, -,1) — группоид с единицей 1, выполнены законы дистрибутивности и 0 / 1. Согласно терминологии из [13](с. 94, 96) 71 является не ассоциативным дистрибутивным кольцоидом с 1 над группоидом с 0 с необязательной дистрибутивностью умножения относительно нульарной операции (иначе говоря, нейтральный элемент по сложению необязательно является мультипликативным нулем). В дальнейшем, описанную выше алгебраическую систему будем для краткости называть неассоциативным кольцоидом. Неассоциативный кольцоид 7?-, на котором задано отношение порядка <, называется положительно упорядоченным, если 1) Уж £ 71 верно 0 < ж и 2) Уж, у, г £ Л х < у влечет х + г < у + г,

2 + х < г + у, хх < уг, гх < гу. В частности, если в положительно упорядоченном неассоциативном кольцоиде 71 сложение ассоциативно и коммутативно, то 71 — положительно упорядоченное предполу-кольцо, а если к тому же для всякого х Е 71 верно Ох = х0 = 0, то 71 — положительно упорядоченное неассоциативное полукольцо.

Возвращаясь теперь к сказанному выше, нетрудно видеть, что любое полукольцо 5 с идемпотентным сложением может быть положительно упорядочено, если для всех а, 6 Е <5 положить а < Ь тогда и только тогда, когда а + Ь = 6, при этом сумма элементов а и 6 является их точной верхней гранью относительно введенного порядка, положительная упорядоченность же полукольца неотрицательных вещественных чисел очевидна.

Разумеется, исследуя столь обширный класс алгебраических систем, целесообразно разбить его на более или менее крупные подклассы. В настоящей работе соответствующее разбиение класса всех положительно упорядоченных (неассоциативных) кольцоидов связано, во-первых, с введением естественных дополнительных ограничений, налагаемых на единицу кольцоида, и во-вторых, с требованием (либо отсутствием такового) ассоциативности умножения и выполнением условия, что нейтральный элемент по сложению является также мультипликативным нулем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ильин, Сергей Николаевич, 1999 год

1. Маслов В.П., Колоколъцов В.Н. Идемпотентный анализ и его применения в оптимальном управлении. Москва.: Наука, 1984.

2. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. Пер. с англ. М.: Мир, 1989.

3. Сборник задач под редакцией А.И. Кострикина. М.: Факториал, 1995.

4. Курош А.Г. Общая алгебра (лекции 1969-70 учебного года). М.: Наука. 1974.

5. Фукс JI. Частично упорядоченные алгебраические системы. Пер. с англ. М.: Мир, 1965.

6. Reutenauer Ch., Straubing Н. Inversion of matrices over а commutative semiring. // J. Algebra. 1984. V. 88. N2. P. 350-360.Работы автора по теме диссертации

7. Ильин С.Н. Обратимость матриц над упорядоченными алгебраическими системами //II Республиканская конференция молодых ученых и специалистов. Казань, 1996. С. 11.

8. Ильин С.Н. Описание сильно обратимых матриц над полукольцами с идемпотентным сложением // Алгебра и анализ. Материалы конференции, посвященной 100-летию Б.М.Гагаева. Казань, 1997. С. 101-102.

9. Ильин С.Н. Описание обратимых матриц над полукольцами с идемпотентным сложением // Международная алгебраическая конференция памяти проф. JI.M. Глускина. Славянск, 1997. С. 8.

10. Ильин С.Н. Описание ортогональных матриц над положительно упорядоченными полукольцами // Тезисы докладов на Международной алгебраической конференции памяти А.Г. Куроша. Москва, 1998. С. 177-178.

11. Ильин С. Н. Обратимость матриц над упорядоченными алгебраическими системами // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39. N3. С. 551-559.