Стохастический транспорт, индуцированный квазислучайным телеграфным сигналом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Никитин, Александр Петрович

• Никитин, Александр Петрович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Никитин, Александр Петрович

Содержание.

Сокращения, использованные в диссертации

Введение

1 Фазовая автоподстройка частоты как система с асимметричным периодическим потенциалом

1.1. Вывод модельных уравнений

1.2. Экспериментальная установка и методика эксперимента

1.3. Модельные уравнения и некоторые их решения

1.3.1. Движение частицы под действием белого шума

1.3.2. Движение частицы, вызванное медленным шумом. 39 ' 1.4. Выводы по Главе 1

2 Аддитивное действие квазислучайного телеграфного сигнала на систему с периодическим потенциалом

2.1. Введение к Главе 2

2.2. Квазислучайный телеграфный сигнал. Определение. Свойства

2.3. Аддитивное действие квазислучайного телеграфного сигнала на систему с периодическим потенциалом. Экспериментальные результаты

2.4. Аддитивное действие квазислучайного телеграфного сигнала на систему с периодическим потенциалом. Теоретические результаты

2.5. Аддитивное действие периодического во времени сигнала

на систему с периодическим в пространстве потенциалом

2.6. Влияние инерционности на движение частицы, возбуждаемой шумом

2.7. Выводы по Главе 2

3 Мультипликативное действие квазислучайного телеграфного сиг. нала на систему с периодическим потенциалом

3.1. Введение к главе 3

3.2. Особенности экспериментальной установки для исследования системы с мультипликативным воздействием

3.3. Экспериментальные результаты по мультипликативному действию квазислучаного телеграфного сигнала на систему с периодическим потенциалом

3.4. Теоретические результаты по мультипликативному действию квазислучайного телеграфного сигнала на систему

с периодическим потенциалом

3.4.1. Поток частиц при периодической модуляции потенциала. Случай передемпфирования

3.4.2. Поток частиц при модуляции потенциала посредством квазислучайного телеграфного сигнала

3.4.3. Влияние массы частиц на их поток

3.5. Поток частиц, приводимых в движение "цветным" гаус-совским шумом

3.6. Выводы по Главе 3

4 Система с периодическим потенциалом и бегущей волной под действием шума

4.1. Введение к Главе 4

4.2. Уравнение фазовой автоподстройки частоты, находящейся под действием гармонической помехи

4.3. Броуновское движение в периодическом потенциале в при-

сутствии волны

4.4. Движение частиц в периодическом потенциале в присутствии волны и медленного шума

4.5. Выводы по Главе 4

Заключение

Список цитированной литературы

Приложение I.

165

Сокращения, использованные в диссертации.

ФАП - система фазовой автоподстройки частоты.

СТС - случайный телеграфный сигнал (дихотомический шум).

КТС - квазислучайный телеграфный сигнал (бинарный шум).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Стохастический транспорт, индуцированный квазислучайным телеграфным сигналом»

Введение.

Настоящая работа посвящена исследованию направленного движения в стохастических системах с периодическим потенциалом, а так же проблеме управления этим движением. В последнее время при описании подобных явлений все чаще используют термин "стохастический транспорт" (stochastic transport). Данный класс задач является интересным по нескольким причинам. Во-первых, системы с периодическим потенциалом широко распространены в технике. Например, системы фазовой автоподстройки частоты [1, 2, 3] и синхронизируемый периодическим сигналом автогенератор [4] при некоторых предположениях можно рассматривать как системы с периодическим потенциалом. В условиях флуктуаций их фазовые переменные, как заметил Стратонович, ведут себя подобно броуновской частице [5]. Несколько лет назад выяснили, что броуновское движение в периодических потенциальных полях широко распространено в живой природе - в клетках [6, 7, 8, 9,10]. Оказалось, что движение ионизированных молекул около полимерной цепи есть не что иное как броуновское движение в периодичном потенциальном поле, которое создается за счет периодичности структуры полимера. Кроме перечисленных систем, к данному классу можно отнести и хорошо изученный в теоретической физике контакт Джозефсона [11, 12, 13]. Во-вторых, неожиданным оказалось то, что результаты исследований систем с периодическим потенциалом могут быть полезными не только в радиофизике, биологии и медицине, но и в нанотехнологии [14, 15, 16]. В настоящее время инженеры заимствовали принцип действия молекулярных моторов и пытаются применить его в нанотехнологии для сортировки и направленного перемещения частиц.

Любопытно, но броуновское движение в периодических Потенциаль-

ных полях затрагивает проблему обоснования Второго закона термодинамики [17]. На первый взгляд может показаться невероятным, что Второй закон вносит ограничения на поведение, например, системы фазовой автоподстройки частоты, которая подвержена флуктуациям. Хотя ограничения законов термодинамики на движение частиц около полимера кажутся естественными.

Для систем с периодическим потенциалом Второй закон означает, что существует шум с такой статистикой, под действием которого переходы через потенциальные барьеры в противоположных направлениях осуществляются с равной вероятностью, и поток вероятности в среднем равен нулю, причем для потенциальных барьеров любой фи-зичной формы и асимметрии. Такому требованию отвечает белый гаус-совский шум. Его условно называют равновесным и с его помощью описывают тепловые флуктуации. Наиболее ясное физическое объяснение тому, почему гауссовский белый шум является равновесным и не вызывает направленного Движения, дает модель Магалинского [18]. Данная модель представляет собой классическую механическую систему, описывающую тяжелую частицу-осциллятор, который взаимодействует с системой из N свободных осцилляторов. Модель показывает, что действие свободных осцилляторов на частицу может быть двояким. С одной стороны, осцилляторы возбуждают частицу и приводят ее в движение. Поэтому силу со стороны осцилляторов можно называть толчковой. С другой стороны, осцилляторы мешают частице свободно двигаться, что приводит к затуханию ее скорости. Такое взаимодействие играет роль трения. Если число свободных осцилляторов велико, и все они действуют на тяжелую частицу одинаково, то есть имеет место равномерное распределение энергии по степеням свободы как при тепловом равновесии, то, принимая во внимание, что коор-

динаты и импульсы всех осцилляторов являются случайными величинами, согласно Центральной предельной теореме теории вероятностей

[19] толчковая сила имеет гауссовское распределение. Модель Магалин-ского является обобщением флуктуационно-диссипационной теоремы

[20] и связывает трение с толчковой силой. В пределе N оо толчковая сила становится ¿-коррелированной, то есть белым гауссовским шумом. В радиофизике очень часто посредством белого гауссовского шума аппроксимируют широкополосную помеху [21, 22] или электродвижущую силу теплового движения электронов в элементах контуров. Но, в отличие от модели Магалинского, здесь белый шум может выступать не только внутренним, но и внешним для системы. В данном случае это не принципиально, поскольку систему с внутренним шумом и систему с внешним шумом описывают уравнения ланжеве-новского типа, то есть стохастические дифференциальные уравнения [23, 24]. В ряде случаев уравнения системы фазовой автоподстройки частоты и броуновского движения в периодичном потенциале совпадают (это будет показано в настоящей работе). Естественно, совпадают и их решения. Поэтому можно проводить соответствующие обобщения результатов, полученных, например, для броуновского движения, на системы фазовой автоподстройки частоты. Подобный подход принят в синергетике - в междисциплинарном направлении, которое использует аналогию в поведении систем различной природы и поэтому интегрировало в себя многие отрасли знания [25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32].

Интерес исследователей к проблеме влияния асимметрии периодического потенциала на поток в стохастической системе был вызван работами Магнеско [6, 7]. В этих работах было показано, что энергия аддитивно приложенной симметрично распределенной коррелированой во времени силы может быть трансформирована в энергию направлен-

ного движения частицы. Ценность работ очень велика, поскольку до этого исследовались системы, у которых потенциальные барьеры были симметричны. По сути,дела, Магнеско "открыл" новый класс неисследованных систем.

Как было указано ранее, математическими моделями систем с периодическим потенциалом являются уравнения Ланжевена, причем нелинейные. Нелинейность стохастических уравнений оказывается препятствием на пути решения задачи, в ходе которой требуется найти среднюю скорость изменения фазовой переменной. Сложность решения задачи заключается в том, что среднее от нелинейной функции со случайным аргументом не совпадает с значением этой функции от среднего ее аргумента. По этой причине непосредственным усреднением ланжевеновского уравнения нельзя перейти к уравнению, записанному относительно среднего фазовой переменной, а значит и решать задачу принятым в линейной теории методом [5]. Здесь требуется качественно иной подход. Например, когда шум, генерируемый ланжевеновским источником, является марковским процессом, можно совершить переход к уравнению Фоккера-Планка, которое описывает эволюцию плотности вероятности фазовых переменных. Уравнение Фоккера-Планка для данного класса задач является линейным уравнением в частных производных с периодическим коэффициентом сноса. На сегодняшний день получено несколько его стационарных решений при периодических граничных условиях [33, 34, 35]. Все эти решения относятся к режиму передемпфирования, то есть когда частица движется в условиях большого трения, и ее инерционными свойствами пренебрегают.

К первой группе аналитически решаемых задач относятся системы под аддитивным и мультипликативным действием дискретных шумов с непрерывным временем [33, 34, 35]. Следует отметить, чтобы реше-

ние было нетривиальным (ненулевой поток вероятности) необходимо при мультипликативном цветном шуме присутствие аддитивного белого гауссовского шума. Из-за дискретности значений, принимаемых шумом, уравнение Фоккера-Планка преобразуется к так называемым управляющим уравнениям. В стационарном случае управляющие уравнения превращаются в систему связанных обыкновенных дифференциальных уравнений. Если шум имеет конечное число возможных состояний, то, соответственно, и уравнений будет конечное число. Наиболее простое решение имеет задача, когда в качестве аддитивного воздействия выступает случайный телеграфный сигнал. Поскольку дискретных состояний у шума два, то система уравнений будет состоять из двух уравнений первого порядка, причем, проделав необходимую замену переменных и затем подставив одно уравнение в другое, можно перейти к уравнению относительно одной независимой переменной и одной искомой функции. Уравнение первого порядка решается стандартными хорошо разработанными методами [36]. Решение для шумов трех состояний громоздко, но тем не менее его можно использовать для тестирования численных методов, которые оказываются во многих случаях единственными способами решения задачи.

Вторая группа решаемых аналитическими методами задач относится к системам с дискретным фазовым пространством [37]. Задача сводится к решению системы линейных дифференциальных уравнений высокой размерности: от шести и выше.

В других случаях приходится применять приближенные или численные методы решения [38, 39]. Например, можно находить асимптотические решения в пределах малого или большого времен корреляции шума [40]. Для марковских шумов разработан численный метод, который состоит в том, что искомое решение для стационарной плотности

вероятности представляют рядом Фурье. Получают незамкнутую цепочку уравнений, связывающих амплитуды гармоник этого ряда. Посредством рекуррентных соотношений задачу решают на компьютере. Таким методом были решены задачи о воздействии на систему с периодическим потенциалом процесса Орнштейна-Уленбека [41] и гармонического шума [42]. Наиболее распространенными методами численного интегрирования стохастических дифференциальных уравнений являются методы, сохраняющие неизменным шаг интегрирования по времени, например, метод Рунге-Кутта [43]. Однако, они обладают существенным недостатком - требуется много компьютерного времени. В связи с этим Элстон и Деринг разработали для данного класса задач численный метод [44], который использует не дискретизацию по времени, как другие численные методы, а дискретизацию фазового пространства.

Тестовые эксперименты показали, что по времени вычисления новый метод интегрирования стохастических дифференциальных уравнений эффективней используемых ранее методов примерно в 25 раз.

Множество интересных результатов было получено за последние пять лет в изучении стохастических систем с периодическим потенциалом. Наиболее хорошо исследован режим передемпфирования, поскольку в таких условиях обычно функционируют молекулярные моторы в клетках [45]. Движение броуновской частицы в асимметричном потенциале под действием аддитивной коррелированной во времени силы х сильно зависит от статистики последней. В [33] показано, что по коэффициенту

ф —< г4 > / < г2 >2, где < г4 > и < г2 > - четвертый и второй моменты стационарного симметричного распределения Р(^), можно предсказать направление потока вероятности в пределе малых времен кор-

реляции шума гс. Так как в этом пределе поток оказывается пропорциональным величине (2 — ф), то смена его направления Происходит при ф — 2. Для случайного телеграфного сигнала ф = 1; для гауссовского шума ф = 3. Это означает, что потоки для этих шумов будут иметь встречные направления. На примере дискретного случайного процесса, имеющего только три возможных состояния в [46] было показано, что при малых временах корреляции шума поток направлен в сторону более пологого склона потенциальных барьеров. Но при увеличении времени корреляции шума может произойти смена направления потока, если коэффициент ф превышает значение 1. Причем, смена знака потока произойдет дважды, если ф меньше чем 2: сначала в одну сторону, затем в обратную сторону. Аналогичная смена знака потока наблюдается и при мультипликативном действии случайного процесса с тремя возможными состояниями. Однако, в этом случае требуется асимметрия распределения 2.

Интересной представляется реакция системы с периодическим потенциалом на периодичное во времени аддитивное воздействие [47, 48, 49]. Средний поток за период воздействия квантуется с шагом линейной частоты внешнего воздействия. Подобная ситуация имеет место в системе автоподстройки частоты в присутствии гармонической помехи [50, 51] и означает синхронизацию гетеродина на частотах, кратных разности частот эталонного генератора и гармонической помехи. Дополнительное присутствие белого гауссовского шума оказывает не только сглаживающее действие на систему, но и в некоторых случаях способно сменить направление потока [47]. Это представляется интересным потому, что в детерминистской системе смены знака потока не обнаружено ни при каких параметрах. То есть факт смены направления потока является еще одним примером того, что шум способен

вызвать качественно новый режим функционирования системы, отсутствующий в невозмущенной детерминистской системе.

Поведение непередемпфированной системы под действием гармонического сигнала качественно отличается от поведения передемпфированной системы [52]. При некоторых параметрах детерминистская система проявляет хаотическое поведение, характеризуемое положительным старшим ляпуновским показателем. Если взять ансамбль таких осцилляторов с разными начальными условиями в пределах одного периода потенциала, то с течением времени огибающая распределения фазовой координаты примет гауссовский вид. Это говорит о том, что непередемпфированная система при периодическом внешнем воздействии ведет себя качественно как передемпфированная система с шумом. Для того, чтобы сменить направление потока, не требуется присутствие белого шума, достаточно изменить параметры внешнего воздействия: частоту и амплитуду. Очень похожим поведением обладает система фазовой автоподстройки частоты с блоком автоматической регулировки усиления в петле обратной связи [53]. Она даже в автономном режиме способна к хаотическому поведению. Таким же сложным поведением обладают ФАП других конструкций [3, 54].

В настоящее время спектр направлений исследований систем с асимметричным периодическим потенциалом очень широк. Например в [55, 56] рассмотрена ситуация, когда потенциал в себе содержит "ошибки", из-за чего его нельзя считать строго периодическим. Работы [57, 58, 59] посвящены проблеме кооперативного транспорта частиц в асимметричном периодическом потенциале. В [60] рассматривается индуцированный флуктуациями транспорт солитонов. В работах [61, 62, 63] исследуются влияния мультипликативных шумов на движение передемпфированных частиц. Имеются попытки проклассифицировать си-

стемы с периодическим потенциалом по характеру внешнего воздействия [64, 65].

Как было указано выше, в настоящее время инженеры заимствовали принцип действия молекулярных моторов и пытаются применить его в нанотехнологии для сортировки и направленного перемещения частиц. В связи с этим, требуется детальное исследование влияния статистики внешних шумовых воздействий на поведенние частиц в асимметричном периодическом потенциале, поскольку управлять движением частиц предполагается именно посредством шума. Современный научно-технический уровень развития подразумевает активное использование компьютерной техники в процессах управления и контроля ( см. [66, 67]) за движением частиц. Нетрудно придти к пониманию того, что наиболее удобным на практике было бы применение шумов, которые получены непосредственно на компьютере. В этом случае изменять статистику шума, а значит и управлять движением частиц, можно программным образом.

Основной особенностью компьютерных шумов является то, что они представляют собой цифровые сигналы [68]. Цифровые сигналы квантованы по уровню (дискретные процессы с конечным числом состояний) и времени вероятных смен состояний [69, 70, 71]. Самым простым представителем компьютерных шумов является случайный двоичный цифровой сигнал - квазислучайный телеграфный сигнал (КТС). В названии используется приставка "квази" чтобы отличать от случайного телеграфного сигнала, у которого смена состояний может осуществляться в произвольные моменты времени. Квазислучайный телеграфный сигнал является моделью оцифрованного сообщения, а многие современные приемно-передающие радиоустройства содержат в себе систему фазовой автоподстройки частоты, которую в ряде случаев можно

рассматривать как систему с периодическим потенциалом. Следовательно, исследование реакции системы с асимметричным периодическим потенциалом на действие цифрового сигнала представляет интерес и для радиофизики, и для нанотехнологии.

Таким образом, была сформулирована цель работы, которая заключается в исследовании реакции систем с асимметричным периодическим потенциалом на действие аддитивного, а также мультипликативного квазислучайного сигнала.

Для достижения указанной цели необходимо решить следующие основные задачи:

1. Провести теоретическое и экспериментальное обоснование возможности экспериментального изучения динамики систем с простран-ственнопериодическим потенциалом на базе натурного эксперимента с системой фазовой автоподстройки частоты.

2. Построить экспериментальную установку и создать программное обеспечение для контроля и управления экспериментом с компьютера. Создать программное обеспечение для осуществления численного моделирования изучаемых систем на компьютере.

3. Выяснить основные закономерности динамики систем с периодическим потенциалом при аддитивном воздействии квазислучайным телеграфным сигналом. Изучить влияние статистики модулирующего сигнала на динамику системы с пульсирующим потенциалом.

4. Исследовать влияние массы на механизмы генерации направленного движения частиц в системах с аддитивным и мультипликативным воздействием на потенциал.

5. Изучить особенности генерации потока в системе с аддитивным воздействием на потенциал в присутствии дополнительного воздействия бегущей волной.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитированной литературы и приложения. В первой главе диссертации выводится уравнение системы фазовой автоподстройки частоты и обосновывается выбор подходящей для построения экспериментальной установки функциональной схемы системы. Показываются приближения, при которых система фазовой автоподстройки частоты может быть рассмотрена как система с асимметричным периодическим потенциалом. Получено соотношение, которое позволяет оценивать время, необходимое для проведения экспериментальных измерений с наперед заданной точностью, когда действующий на ФАП шум является медленным. Вторая глава диссертации посвящена исследованию реакции системы с периодическим потенциалом на аддитивный квазислучайный телеграфный сигнал. Основные результаты получены посредством натурного эксперимента и приближенной математической теории. В третьей главе рассматривается реакция системы на мультипликативный квазислучайный телеграфный сигнал в присутствии аддитивного белого гауссовского шума, а также аддитивный процесс Орнштейна-Уленбека. Четвертая глава посвящена исследованию влияния волнового воздействия на систему с аддитивным квазислучайным телеграфным сигналом. Итоги работы подведены в заключении. В приложение вынесено описание основных свойств случайного телеграфного сигнала.

Диссертация содержит 95 страниц текста, 59 рисунков, список литературы из 111 наименования на 12 страницах, приложения на 2 страницы. Общий объем работы 166 страниц.

Научная новизна результатов работы заключается в следующем.

Впервые для экспериментального изучения динамики стохастиче-

ских систем с пространственно-периодичным потенциалом использован подход, использующий общность модельных уравнений для указанных систем с математической моделью системы фазовой автоподстройки частоты.

На базе указанного подхода было впервые получено экспериментальное подтверждение ряда теоретически предсказанных эффектов, а также впервые исследованы специфические особенности реакции систем с пространственно-периодическим потенциалом на воздействие квазислучайным телеграфным сигналом.

Экспериментально обнаружен, подтвержден результатами численного моделирования и теоретически (в адиабатическом приближении) обьяснен новый эффект стабилизации средней скорости частиц в стохастической системе с пространственно-периодическим потенциалом в присутствии дополнительного воздействия бегущей волной.

Достоверность научных выводов работы подтверждается согласием результатов аналитического исследования, натурного эксперимента и численного модделирования, а также их воспроизводимостью.

На защиту выносятся следующие основные положения и результаты;

1. Динамика стохастических систем с асимметричным пространственн периодичным потенциалом может изучаться средствами натурного эксперимента на базе системы фазовой автоподстройки частоты.

Такой подход к проблеме использует сходство модельных уравнений указанных систем и включает способ экспериментальной реализации, оценку границ применимости метода и методику проведения измерений.

Полученные для системы фазовой подстройки частоты результаты могут быть изложены в терминах нелинейного броуновского движения.

2. Квазислучайный телеграфный сигнал (КТС) индуцирует направленное в среднем движение частиц в системе с асимметричным периодическим потенциалом. При этом интенсивность и направление движения зависят от параметров приложенного КТС.

При аддитивно приложенном КТС это движение для передемпфированной системы направлено в сторону более пологих склонов потенциальных барьеров, причем зависимость средней скорости от амплитуды КТС имеет более одного локального максимума, а соответствующие зависимости для средних частот преодоления потенциальных барьеров квантованы по уровням в соответствии со спектром времен пребывания КТС.

При совместном действии мультипликативного КТС и аддитивного гауссовского шума движение направлено в сторону более крутых склонов потенциальных барьеров, причем зависимость средней скорости от временного масштаба КТС характеризуется явно выраженным глобальным максимумом, а также замедленным (по сравнению со случаем периодической модуляции потенциала) спадом средней скорости частицы по мере увеличения средней частоты КТС.

3. При воздействии синусоидальной волной на систему с асимметричным периодическим потенциалом и аддитивным КТС наблюдается эффект стабилизации средней скорости движения частицы на величинах, кратных половине фазовой скорости волны.

Научно-практическое значение результатов работы состоит в том, что характерные закономерности поведения стохастических систем с асимметричным периодическим потенциалом, выявленные в диссертации, могут быть полезными при проектировании приемно-передаюш радио-аппаратуры, а также устройств, предназначенных для направленного перемещения и сортировки молекул.

Аппробация работы и публикации.

Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции "Nonlinear Dynamics and Chaos. Applications in Physics, Biology and Medicine" (Саратов, 1996), на региональной научной конференции "Молодежь и наука на пороге XXI века" (Саратов, 1998), на международной конференции "Fluctuations far from Equilibrium: Noise Induced Transport" (Германия, Дрезден, 1998), на 5-ой Международной школе "Chaotic Oscillations and Pattern Formation" (Саратов, 1998), на научном семинаре в университете POSTECH (Pohang, Korea).

По теме диссертации опубликовано 8 работ в центральной и зарубежной печати (5 статей, 3 тезиса докладов). В работах, выполненных в соавторстве, Никитину А. П. принадлежит осуществление всех натурных и основной части численных экспериментов.

Результаты работы использовались при выполнении гранта Госкомвуза России по фундаментальному естествознанию (№95-0-8.3-66) и совместного гранта РФФИ и Физического общества Германии (436 RUS 113/334/0(R)).

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Никитин, Александр Петрович

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1. В диссертации указаны условия, когда математическая модель движения частицы в одномерном периодическом потенциале и модель системы фазовой автоподстройки частоты в присутствии флуктуаций совпадают. Обоснован выбор функциональной схемы экспериментальной установки.

2. Построена экспериментальная установка и создано программное обеспечение для контроля и управления экспериментом с компьютера. Предложенный в диссертации способ экспериментального определения взаимной фазы гармонических колебаний двух генераторов позволил фиксировать изменения взаимной фазы на 2тг (перескоки фазы) с учетом их знака и, таким образом, измерять в натурном. эксперименте величины, эквивалентные средней частоте преодоления частицей потенциальных барьеров и ее средней скорости.

3. Создано программное обеспечение для осуществления численного моделирования на компьютере.

4. Проведено детальное исследование системы с асимметричным периодическим потенциалом путем натурного эксперимента, численного моделирования, а также путем приближенных аналитических методов. В отличие от результатов, известных для других типов случайного сигнала, было установлено, что: а) зависимость средней скорости движения фазовой переменной от амплитуды квазислучайного телеграфного сигнала при аддитивном воздействии имеет более одного максимума; б) график средних частот преодоления потенциальных барьеров в обоих направлениях от амплитуды КТС квантован по уровням в соответствии со его спектром времен пребывания. в) увеличение инерционности системы (что эквивалентно увеличению массы частицы) приводит к понижению средней скорости движения в первом максимуме графика зависимости средней скорости от амплитуды аддитивного шума.

5. Для системы с пульсирующим потенциалом, зависимость средней скорости движения от частоты как для периодической модуляции потенциала, так и для модуляции по закону КТС имеет "резонансный" характер. То есть существует некоторое оптимальное значение частоты модуляции потенциала, зависящее от параметров системы, при которой абсолютная величина средней скорости движения максимальна.

При этом, структура спектра времен пребывания воздействующего сигнала определяет как абсолютное значение максимальной средней скорости, так и широкополосность эффекта. В частности, в области высоких частот модуляция потенциала по закону КТС обеспечивает большую среднюю скорость по сравнению со случаем периодической модуляции.

6. Показана, эквивалентность моделей системы фазовой автоподстройки частоты в присутствии гармонической помехи и системы с периодическим потенциалом и бегущей периодической волной.

В ходе исследований было выяснено, что медленный шум способен индуцировать в системе с периодическим потенциалом и бегущей волной движения частицы, которые можно рассматривать как движения, находящиеся в синхронизме с волной. То есть времена, за которые частица перемещается на расстояние периода потенциала, кратны времени пробега волной одного ее периода.

Заключение.

В диссертации исследованы явления, связанные с направленным движением, которое индуцированно шумом, в системах с асимметричным периодическим потенциалом. Исследования проводились как методами натурного эксперимента, так и численным моделированием на компьютере.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Никитин, Александр Петрович, 1998 год

Список цитированной литературы.

1. Шахгильдян В.В., Ляховкин А.А. Системы фазовой автоподстройки частоты. - М.: Связь, 1972. - 447 с.

2. Линдсей В. Системы синхронизации в связи и управлении: Пер. с англ.// Под ред. Ю. Н. Бакаева, М. В. Капранова. - М.: Сов. радио. 1978. - 589 с.

3. Системы фазовой синхронизации/ Под ред. Шахгильдяна В.В., Бе-люстиной Л. Н. - М.: Связь, 1982.

4. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. - М.: Физматгиз, 1959. - 915 с.

5. Стратонович Р. Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике. - М.: Сов. радио, 1961. - 558 с.

6. Magnasco М. Forced thermal ratchets// Phys.Rev.Lett. 1993. - V.71.

- P. 1477-1480.

7. Magnasco M. Molecular Combustion Motors// Phys.Rev.Lett. 1994.

- V.72. - P. 2656-2659.

8. Maddox J. Directed motion from random noise// Nature (London). 1994. - V. 369. - P. 181.

9. Maddox J. More models of muscle movement// Nature (London). " 1994. - V. 368. - P. 287.

10. Leibler S. Moving forward noisily// Nature (London). 1994. - V. 370.

- P. 412 - 413.

11. Shapiro S., Janus A. R. end Holly S. Rev. Mod. Phys. 36. 223. 1964.

12. Nonequilibrium fluctuation-induced phase transport in Josephson junctions// Phys. Rev. E. 1996. - V. 53. - №3. - P. 2239 - 2242.

13. Zapata I., Bartussek R., Sols F. and Hänggi. Voltage rectification by SQUID ratchet// Phys. Re v. Lett. 1996. - V.77. - P. 2292-2301.

14. Faucheux L. P., Bourdieu L. S., Kaplan P. D. and Libchaber A. J. Optical thermal retchet// Phys.Rev.Lett., 1995. - V.74. - P. 1504 -1507.

15. Astumian A. D. Thermodynamics and Kinetics of a Brownian Motor// Science. 1997. - V.276. - P. 917 - 922.

16. Rousselet J., Salome L., Ajdari A. and Prost J. Directional motion of Brownian particles induced by a periodic asymmetric potential// Nature (London). 1994. - V. 370. - P. 446.

17. Smoluchowsky M. Experimentell nachweisbare, der üblichen Thermodynamik widersprechende Molekularphänomene// Phys. Zeitschr. 1912. - XIII. - P. 1069 - 1080.

18. Терлецкий Я. П. Статистическая физика. - М: Высш. школа. 1973. - 278 с.

19. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. - М.: Наука. 1986. - 544 с.

20. Кимонтович Ю. J1. Статистическая физика. - М: Наука. 1982. - 608 с.

21. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. - М: Радио и связь, 1982. - 624 с.

22. Малахов А. Н. Флуктуации в автоколебательных системах. - М: Наука. 1968. - 660 с.

23. Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения. - Киев: Наукова думка, 1968.

24. Анищенко В. С. Введение в статистическую радиофизику, 1982. -Саратов: Изд. Саратовского университета. - ч.2. - 140 с.

25. Хакен Г. Синергетика. - М.: Мир, 1980. - 404 с.

26. Хакен Г. Синергетика. Иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. - М.: Мир, 1985. - 420 с.

27. Синергетика/ Под ред. Б. Б. Кадомцева. - М.: Мир, 1984. - 248 с.

28. Лоскутов А. Ю., Михайлов А. С. Введение в синергетику. - М.: Наука, 1990. - 270 с.

29. Николис Дж. Динамика иерархических систем. - М.: Мир, 1989. -486 с.

30. Пригожин И. От существующего к возникающему. - М.: Наука, 1985. - 218 с.

31. Пригожин И., Стенгс И. Порядок из хаоса. - М.: Прогресс, 1986. -287 с.

32. Климонтович Ю. Л. Турбулентное движение и структура хаоса. -М.: Наука, 1990. - 317 с.

33. Doering Ch. R., Horsthemke W. and Riordan J. Nonequilibrium fluctuation-induced transport// Phys. Rev. Lett. 1994. - V.72, - P. 2984 - 2987.

34. Berghaus C., Kahlert U. end Schnakenberg J. Current Reversal induced by a Cyclic Stochastic Process// Phys. Lett. A. 1997. - V.224. - P.243 - 248.

35. Astumian R. D., Bier M. Fluctuation Driven Retchets: Molecular Motors// Phys. Rev. Lett. 1994. - V.72. - P. 1766-1769.

36. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М: ИЛ. 1950. - 704 с.

37. Schimansky-Geier L., Kschischo М. and Fricke Т. Flux of Particles in Sawtooth Media// Phys. Rev. Lett. 1997. - V.72. - P. 1766-1769.

38. Bartussek R., Reinmann P. end Hanggi P. Precise Numerics versus Theory for Correlation Ratchets// Phys. Rev. Lett. 1996. - V.76. - P. 1166 - 1169.

39. Kula J., Czernik T. and Luczka J. Brownian ratchets: Transport controlled by thermal noise// Phys. Rev. Lett. 1998. - V.80. - P. 1377 -1380.

40. Doering Ch. R. Randomly Rattled Ratchets// Proceedings of the Workshop on Fluctuations in Physics and Biology. IL Nuovo Cimento

• D. Soc. (Ital.) 1995. - V. 17. - P. 685 - 697.

41. Bartussek R. Retchets Driven by Colored Gaussian Noise// in. Schimansky-Geier L. u. Poschel (Ed.): Lectures on Stochastic Dy-namiics. Springer. Berlin. 1997.

42. Bartussek R., Hanggi P., Lindner B. and Schimansky-Geier L. Ratchet Driven by Harmonic and White Noise// Physica D. 1997. - V.109, -P. 17.

43. Никитин H. H., Разевиг В. Д. Методы цифрового моделирования стохастических дифференциальных уравнений и оценка их погрешностей// ЖВМ. 1978. - Т.18. - №1. - С.106 - 117.

44. Elston Т. С. and Doering Ch. R. Numerical and Analytical Studies of Nonequilibrium Flutuation-Induced Transport Process// Journal of Statistical Physics. 1994. - V.83. - №3/4. P.359 - 383.

45. Jiilicher F., Ajdari A. and Prost J. Modeling molecular motors// Reviews of Modern Physics. 1997. - V.69. - №4. - P. 269 - 281.

46. Bier M. Reversals of noise induced flow// Phys. Lett. A. 1996. - V.211. -P. 12- 18.

47. Bartussek R., Hanggi P. end Kissner J. G. Periodically Rocked Thermal Ratchets// Europhys. Lett. 1994. - V.28. - P. 459 - 464.

48. Ajdari A., Mukamel D., Peliti L. and Prost J. Rectified motion induced by ac forces in periodic structures// J. Phys. I (France). 1994. - V.4. - P. 1551 - 1561.

49. Dialyanas Т. E., Lindenberg K. and Tsironis G. P. Ratchet motion induced by deterministic and correlated stochastic forces// Phys. Rev. E. 1997. - V. 56. - №4. - P. 3976 - 3985.

50. Белюстина JI. H., Белых В. Н. О режимах работы системы ФАП с малой инерционностью в цепи управления при действии аддитивной гармонической помехи// Изв. вузов. Радиофизика, 1972. - Т. 15. - С. 1637 - 1643.

51. Белюстина Л. Н., Белых В. Н. О неавтономной фазовой системе уравнений с малым параметром, содержащей инвариантные торы и грубые гомоклинические кривые// Изв. вузов. Радиофизика, 1972. - Т. 15. - С. 1039 - 1048.

52. Jung P., Kissner J. G. and Hânggi P. Regular and Chaotic Transport in Asymmetric Periodic Potentials: Inertia Ratchets// Phys. Rev. Lett.

1996. - V.76. - P. 3436 - 3439.

53. Постнов Д. Э., Баланов А. Г. Синхронизация в хаотических системах со счетным числом состояний равновесия// Изв. вузов ПНД.

1997. - Т.5. - №1. - С. 69 - 80.

54. Шалфеев В. Д., Осипов Г. В., Козлов А. К., Волковский А. Р. Хаотические колебания - генерация, синхронизация, управление// Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники, 1997. - №10. - С. 27 - 49.

55. Marchesoni F. Transport properties in disordered retchet potentials// Phys. Rev. E. 1997. - V. 56. - №3. - P. 2492 - 2495.

56. Harms T. and Lipowsky R. Driven Ratchets with Disordered Tracks// Phys. Rev. Lett. 1997. - V.79. - P. 2895 - 2897.

57. Derenyi I. and Vicshek T. Cooperative Transport of Brownian Particles// Phys. Rev. Lett. 1995. - V.75. - P. 374 - 377.

58. Derenyi I. and Ajdari A. Collective transport of particles in a "flash-• ing" periodic potential// Phys. Rev. E. 1996. - V. 54. - №1. - P. R5 -

R8.

59. Jiilicher F. and Prost J. Cooperative Molecular Motors// Phys. Rev. Lett. 1995. - V.75. - P. 2618 - 2621.

60. Marchesoni F. Thermal Retchets in 14-1 Dimensions// Phys. Rev. Lett. 1996. - V.77. - P. 2364 - 2367.

(

61. Reimann P., Bartussek R., Häußler end Hänggi P. Brownian Motors Driven by Temperature Oscillations// Phys. Lett. A. 1996. - V. 215.

- P. 26 - 29.

62. Bao J.-D., Zhuo Y.-Z., Wu X.-Z. Effects of multiplicative noise on fluctuation-induced transport// Phys. Lett. A. 1996. - V. 217. - P. 241

- 247.

63. Bier M., Astumian R. D. Biasing Brownian Motion in Different Directions in a 3-State Fluctuating Potential and an Application for the Separation of Small Particles// Phys. Rev. Lett. 1996. - V.76. - P. 4277- 4280.

64. Hänggi P. and Bartussek R. in Nonlinear Physics of Complex Systems, Lecture Notes in Physics/ edited by J. Parisi et al. 1996. - Springer: Berlin. - P. 294 - 308.

65. Bartussek R. Stochastishe Ratschen. Dissertation. Universität Augsburg. 1996. Augsburg. - 105 P.

66. Певчев Ю. П., Финогентов К. Г. Автоматизация физического эксперимента: Учебное пособие для вузов. - М: Энергоатомиздат, 1986.

67. Кузмичев Д. А., Радкевич И. А., Смирнов А. Д. Автоматизация . экспериментальных исследований: Учебное пособие. - М: Наука,

1983.

68. Архангельский С. В. Информационный анализ цифровых сигналов.

- Самара: Изд-во Саратовского ун-та, Самарский филиал. 1991. -203 с.

69. Применение цифровой обработки сигналов/ Под ред. Э. Оппен-гейма. - М.: Мир. 1980. - 552 с.

70. Рабинер JL, Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. - М.: 1978. - 848 с.

71. Рабинер Л., Шафер В. Цифровая обработка речевых сигналов. -М.: Радио и связь. 1981. - 495 с.

72. Никитин А. П. Резонансная активация неравновесных переходов: Дипломная работа./ СГУ. - Саратов, 1995. - 48 с.

73. Постнов Д. Э., Никитин А. П., Анищенко В. С. Управление потоком вероятности в системе фазовой автоподстройки частоты// Письма в ЖТФ. 1996. - Т.22. - вып.9. - С. 24 - 29.

74. Дуб. Дж. JI. Вероятностные процессы. - М: ИЛ. 1956. - 605 с.

75. Тихонов В. И., Миронов М. А. Марковские процессы. - М: Сов. радио. 1977. - 488 с.

76. Luczka J., Bartussek R. end Hanggi P. White Noise Indused Transport in Periodic Structures// Europhys. Lett. 1995. - V.31. - P. 431 - 436.

77. Czernik Т., Kula J. end Luczka J. Termal ratchets driven by Poisso-nian white shot noise// Phys. Rev. E. 1997. - V.55. - №4. - P. 4057 -4066.

78. Luczka J., Hanggi P. end Czernik T. What minimal noise is necessary for generation of trannsport in periodic structures? Proceeding of the First I.C. on Unsolved Problems of Noise in Physics, Biology, Electronic Technology end Information Technology. Editors Ch.R.Douring, L.B.Kiss end M.F.Shlesinger. World Scientific. Singapure. New Jersey, London, Hong Kong. - P. 234 - 237.

79. Luczka J., Czernik T. end Hanggi P. Symmetric white noise can induce directed current in ratchets// Phys. Rev. E. 1997. - V.56. - №4. - P. 3968- 3975.

80. А. П. Никитин. Оптимальное управление движением частицы посредством флуктуирующей силы// Молодежь и наука на пороге XXI века. Тез. докл. Региональной научной конференции. - Саратов: СГУ, 1998. - с. 15 - 16.

81. Биндер К. // Методы Монте-Карло в статистической физике/ Под. ред. К. Биндера: Пер. с англ. - М.: Мир, 1982.

82. Голубенцев А. Ф., Малоземов Ю. А., Денисов Ю. И. Машинные методы моделирования непрерывных случайных величин. Пособие - справочник. - Саратов: Изд. СГУ, 1982. - 84 с.

83. Пейтген X. О., Рихтер П. X. Красота фракталов/ Пер. с англ. П. В. Малышева, А. Г. Сивака. - М.: Мир, 1993. - 176 с.

84. Irwin A. J., Eraser S. J. and Kapral R. Stochastically Induced Coherence in Bistable Systems// Phys. Rev. Lett. 1990. - V.64. - №20. - P. 2343 - 2346.

85. Stark J. Commet on "Stochastically Induced Coherence in Bistable Systems"// Phys. Rev. Lett. 1990. - V.64. - №20. - P. 3357 - 3358.

86. Eraser S. J. and Kapral R. Periodic dichotomus-noise-induced transitions and stochastic coherence// Phys. Rev. A. 1992. - V.45. - №6. -P. 3412 - 3424.

87. Eraser S. J. and Kapral R. Transition process on noise-induced fractal sets// Proceeding of the third IFIP working conference on fractals in the natural and applied sciences, Ed. by M. M. Novak., 1995. -

London - Glasgow - Weinheim - New York - Tokyo - Melbourne -Madras: Chapman & Hall, 1995. - P. 279 - 291.

88. Купцов П. В. Динамика линейных и нелинейных модельных систем с дискретным временем под действием бинарных последовательностей: Дис... канд. физ. - мат. наук/ СГУ. - Саратов, 1998. -172 с.

89. А. П. Никитин., Постнов Д. Э. Влияние массы частиц на поведение "stochastic ratchets"// Письма в ЖТФ. 1998. - Т.24. - №2. - С. 47 -53.

90. Landa P. S. Noise-induced transport of Brownian particles with consideration for their mass// Phys. Rev. Б. 1998. - V.58. - №2. - P. 1325

- 1333.

91. Никитин А. П. Индуцированный шумом перенос броуновских частиц в стохастических системах с асимметричным периодичным в пространстве потенциалом// Изв. вузов ПНД. 1997. - Т.5. - №1.

- С. 30 - 41.

92. Prost J., Chauwin J.-F., Peliti L., Ajdari A. Asymmetric Pumping of Particles // Phys. Rev. Lett. 1994. - V.72 , - P. 2652-2655.

93. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках: Пер. с англ. - М.: Мир, 1986. - 528 с.

94. Малахов А. Н. Эффект ускорения диффузии броуновских частиц вдоль короткопериодного в пространстве быстрого случайного поля// Письма в ЖТФ, 1998. - Т. 24. - №21. - С. 9 - 15.

95. Никитин А. П., Постнов Д. Э. Индуцированный шумом перенос броуновских частиц в системе с "пульсирующим" периодичным потенциалом// Изв. вузов ПНД. 1997. - Т.5. - №6. - С. 21 - 28.

96. Gorre-Talini L. and Sielberzan P. Force-Free Motion of a Mercury Drop Alternatively Submitted to Shifted Asymmetric Potentials// J. Phys. I (France). 1997. - V.7. - №11 - P. 1475 - 1485.

97. Gorre-Talini L., Jeanjean S. and Sielberzan P. Sorting of Brownian particles by the pulsed application of an asymmetric potential// Phys. Rev. E. 1997. - V.56. - №2. - P. 2025 - 2034.

98. Neiman A., Silchenko A., Anishchenko V. and SchimanskyrGeier L. Stochastic resonance: noise enhanced phase coherence// Phys. Rev. E, (accepted for publication), 1998.

99. Арнольд В. И. Потеря устойчиввости колебаний вблизи резонан-сов// Нелинейные волны/ Ред. А. В. Гапонов-Грехов, - М: Наука. 1979. - С.116.

100. Рабинович М. И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн. - М.: Наука, 1984. - 432 с.

101. Блехман И. И. Синхронизация в природе и технике. - М.: Наука, 1981.

102. Блехман И. И. Синхронизация динамических систем. - М.: Наука, 1971.

103. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. - М.: Мир, 1968. - ч. 4.

104. Анищенко В. С. Сложные колебания в простых системах: Механизмы возникновения, структуры и свойства динамического хаоса в радиофизических системах. - М.: Наука, 1990. - 312 с.

105. Ланда П. С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. - М.: Наука, 1980.

106. Бутенин Н. В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Введение в теорию нелинейных колбаний. - М.: Наука, 1987. - 384 с.

107. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. Случайные процессы. М.: Наука, 1976.

108. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами/ Под ред. М. Абрамовица и И. Стеган. - М.: Наука, 1979. - 832 с.

109. Postnov D. Е., Nikitin А. P., Anishchenko V. P., Synchronization of the mean velocity of a particle in stochastic ratchets with a running wave// Phys.Rev.E, 1998. - V. 58.- P. 1662-1664.

110. Postnov D. E., Nikitin A. P., Balanov A. G., Anishchenko V. S. Symmetric and asymmetric hopping dynamics in noisy electronic circuit// Nonlinear Dynamics and Chaos: Applications in Physics, Biology and Medicine. Book of Abstract. - Saratov: College, 1996. - P.181.

111. Nikitin A. P., Postnov D. E. Wave Stochastic Synchronization and Resonant behavior in ratchet-like system// 5th International School on Chaotic Ostillations and Pattern Formation. The book of abstracts. - Saratov: College, 1998. - P. 47.

Приложение I. Случайный телеграфный сигнал.

Случайный телеграфный сигнал ??(£) - это дискретный марковский процесс с двумя состояниями и —-г (случайный двоичный сигнал), стационарное распредиление которого является симметричным, Р(г)) = Р(-77).

Случайный телеграфный сигнал может быть описан следующими дифференциальными уравнениями:

Ф1Й

<а

ф2оо

= -7(Р1«-Р2М), (1.1)

= -7(Р2«-Р1(*)), (1-2)

сЙ

где и есть вероятности нахождения г)(£) в момент времени í в состояниях +£ и —г соответственно, 7 обратно пропорциональна величине тс, характеризующей время "жизни" случайного процесса в соответствующих состояниях. Поскольку 7) может быть только либо —г, условие нормировки есть

Р1{1)+Р2^) = 1. (1.3)

Подставим (1.3) в (1.1)

**<*> = -*, (*(,)-!) (1.4)

(И ' V ' 2,

и предполагая, что в начальный момент времени ¿о — О случайный телеграфный сигнал фо) был равен запишем решение (1.1) и (1.2) в виде

= ~ + (1.5)

Р2(*) = ^-^ехр(-27*). (1.6)

Первый момент распределения P(rj) есть

mi{t) = zexp(-2yt) (1.7)

и экспоненциально приближается к стационарному значению т\ = 0. Аналогично ведет себя дисперсия

о-"2 = m2(t) -ml(t) = z2 + z2exp(-47¿). (1.8)

Стационарное среднеквадратичное отклонение от среднего в этом случае совпадает с амплитудой z:

у/т2 - т\ — z. (1.9)

В стационарном случае р\ — р2 = 1/2, а корреляционная функция есть

< r¡(t)rj(t + г) >= К0(т) = z2 exp (-27|г|). (1.10)

Время корреляции равно

гс = /0°° I < ,((),(») > I d{t -,) = z-2 jf Ko(r)dT = i. (1.11)

Спектральная плотность мощности представляет собой следующее:

Если время корреляции тс устремить к нулю, то коррелционная функция примет ¿-образный вид, а спектральная плотность мощности станет равномерно распределенной по частотам ш:

cí \ v 2 47 2 47 S(lü) — lim 2г —^-—г = lim 2; —-—г = —

то-*о и;2 + 472 ш2 -Ь 472 7

Следовательно, плотность S(u) не равна нулю только в случае z2 —» оо.

Таким образом, rj(t) в пределе малого времени корреляции можно рассматривать как белый негауссовский шум.

7~+оо

2

Благодарности.

Выражаю глубокую благодарность моему научному руководителю доценту Дмитрию Энгелевичу Постнову, без которого эта диссертационная работа была бы невозможна. Выражаю признательность профессору Вадиму Семеновичу Анищенко за внимание к моей работе и оказанную поддержку. Я благодарен профессору Гумботского университета Лутцу Шиманскому-Гайеру за возможность у него учиться. Благодарю профессора Артура Вениаминовича Хохлова за оказанную техническую поддержку. Выражаю искреннюю признательность сотрудникам научной Лаборатории Нелинейной Динамики: доцентам Татьяне Евгеньевне Вадивасовой и Владимиру Владимировичу Астахову, доктору Александру Борисовичу Нейману и ассистенту Игорю Александровичу Хованову за возможность обсуждения моей работы. Особую признательность выражаю моим друзьям: Александру Баланову, Алексею Павлову, Наташе Янсон, Ольге Сосновцевой, Александру Силь-ченко, Борису Шульгину, Александру Климшину и Алексею Шабунину за радость общения и постоянную помощь в решении вопросов, возникающих в ходе выполнения работы.