Стохастические автоколебания в электронных распределенных системах на сверхвысоких частотах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Кац, Виталий Альбертович

• Кац, Виталий Альбертович
• кандидат физико-математических наук
• 1985

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кац, Виталий Альбертович

ВВЕДЕНИЕ. б

ГЛАВА I. СТОХАСТИЧЕСКИЕ АВТОКОЛЕБАНИЯ В РАС

ЭЛЕКТРОННЫЙ ПУЧОК - ОБРАТНАЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ВОЛНА (ПУТИ ПЕРЕХОДА К ХАОСУ И УПРАВЛЕНИЕ КОЛЕБАНИЯМИ С ПОМОЩЬЮ ВНЕШНЕГО СИГНАЛА).

1.1. Генератор обратной волны - типичный пример РАС, демонстрирующей стохастическое поведение

1.2. Теоретическая модель ЛОВ. Некоторые результаты машинных экспериментов в рамках нелинейной нестационарной теории ЛОВ

1.3. Результаты экспериментального исследования путей перехода к хаосу в РАС электронный пучок - обратная электромагнитная волна

1.3.1. Особенности конструкции лабораторного макета ЛОВ.

1.3.2 Последовательность бифуркаций удвоения периода автомодуляции

1.3.3. Переход к хаосу от режима квазипериодической автомодуляции. Разрушение двумерных торов

1.3.4. Структура бифуркационных диаграмм., системы при переходе к хаосу на плоскости параметров ток и напряжение пучка.

1.4. РАС электронный пучок - обратная электромагнитная волна вблизи порога возникновения хаоса, как двупараметрическая динамическая система

1.5. Обсуждение возможных причин существования у генератора обратной волны двух независимых параметров, определяющих динамику системы

1.5.1. Некоторые особенности возникновения и эволюции режима периодической автомодуляции в ЛОВ при изменении параметров системы

1.5.2. Результаты экспериментального исследования характера бифуркации потери устойчивости режима периодической автомодуляции в ЛОВ в широком диапазоне изменения параметров системы

1.5.3. Модельные эксперименты по исследованию влияния, отражений на механизм перехода к 0 хаосу в ЛОВ.6о

1.6. Эволюция спектра мощности выходного сигнала и фазового портрета системы в режиме стохастических автоколебаний

1.7. Результаты экспериментального исследования влияния внешнего гармонического воздействия на динамику ЛОВ.

1.7.1. Переход к хаосу при воздействии внешнего гармонического сигнала на режим периодической автомодуляции в ЛОВ.

1.7.2. Переход к хаосу через разрушение трехмерного тора в неавтономном генераторе обратной волны.

1.7.3. Синхронизация хаоса внешним гармоническим сигналом в ЛОВ.

Выводы к главе I.

ГЛАВА 2 СТОХАСТИЧЕСКИЕ АВТОКОЛЕБАНИЯ В РАС С

ЗАПАЗДЬВАЮЩЕЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ С АКТИВНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ ЭЛЕКТРОННЫЙ ПУЧОК - ПРЯМАЯ БЕГУЩАЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ВОЛНА.

ЭКСПЕРИМЕНТ

2.1 Экспериментальный макет генератора с знзапздывающеи обратной связью и его особенности.

2.2. Генератор с запаздыванием как распределенная динамическая система.

2.3. Собственные моды генератора с запаздыванием и структура плоскости параметров

2.4. Модуляционная неустойчивость. Экспериментальное исследование путей перехода к хаосу в ЛБВ-генераторе с запаздывающей обратной связью

2.4.1 Последовательность бифуркаций удвоения периода автомодуляции и ее универсальные свойства.

2.4.2. Разрушение квазипериодических режимов.

2.4.3. Переход через перемежаемость

2.4.4. О многообразии путей перехода к хаосу в исследуемой РАС.

2.5. Экспериментальное исследование эволюции одномодового хаоса в РАС с запаздывающей обратной связью.

2.6. Качественное обсуждение особенностей сложной динамики системы с запаздыванием тяп (по результатам натурных экспериментов) . iJU

2.7. Стохастизация колебаний и переходы в хаосе 0 в неавтономном генераторе с запаздыванием

2.7.1. Экспериментальное исследование влияния малого гармонического возмущения на переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения ТОЛ. периода.1J¿

2.7.2. Переходы в хаосе, инициированные внешним гармоническим воздействием. Дестохастизация колебаний

Выводы к главе 2.

ГЛАВА 3 ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗНИКНОВЕНИЯ

И ЭВОЛЮЦИИ МОДУЛЯЦИОННОГО ХАОСА В РАЗЛИЧНЫХ

МОДЕЛЯХ АВТОГЕНЕРАТОРА С ЗАПАЗДЫВАЮЩЕЙ

ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ

3.1 Модели генератора с резонансным фильтром в цепи запаздывающей обратной связи и алгоритмы численного расчета амплитуды

3.2. Режим стационарной генерации и условия возникновения автомодуляции в модели генератора с запаздыванием . ¿

3.3. Фазовый (топологический) инвариант и рабочие моды генератора с запаздывающей обратной связью

3.4. Влияние расстройки фильтра на условия возникновения амплитудной автомодуляции в генераторе с запаздыванием

3.5. Переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода в модели генератора с запаздывающей обратной связью

3.6. Модель генератора с запаздыванием, учитывающая отражения в линии задержки (генератор с двумя петлями запаздывающей обратной связи)

3.6.1. Условия возникновения амплитудной модуляции в генераторе с двумя петлями запаздывающей обратной связи.

3.6.2. Мультипликаторы "пространственно-однородного" периодического режима в моделях генератора с запаздыванием

3.6.3. Некоторые результаты численного эксперимента по исследованию динамики модели генератора с двумя петлями запаздывающей обратной связи (разрушение торов) .Д

3.7. Динамика комплексной амплитуды огибающей в модели генератора с запаздыванием

3.7.1. Устойчивость одномодовых автомодуляционных режимов и переход к многомодовому хаосу

3.7.2. Влияние расстройки и ширины полосы пропускания фильтра на устойчивость одномодовых автомодуляционных режимов

3.8. Качественная интерпретация результатов численного эксперимента. Структура фазового пространства т„ РАС с запаздыванием

Выводы к главе 3.;.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Стохастические автоколебания в электронных распределенных системах на сверхвысоких частотах»

В последние десять - пятнадцать лет распределенные автоколебательные системы (РАС) устойчиво привлекают внимание исследователей различных специальностей, что связано с их широким распространением в физике, химии, биологии и даже в общественных науках. Сейчас уже имеется ряд монографических обзоров (см., например [ 1 ] и примыкающий к нему обзор [ 2 ] ) и две книги [3,4г] , посвященные автоколебаниям в распределенных системах. Достаточно взглянуть на оглавление книги [ 3] и ознакомиться с содержанием главы из [5 ] » чтобы понять, сколь широкий круг объектов различной природы относится к РАС. Действительно, это - лазеры (самый распространенный в литературе пример РАС), генераторы Ганна, пьезополупроводниковые генераторы ультразвука, страты в плазме, различные гидродинамические течения (термоконвекция Релея-Бенара, течение Куэтта и т.д.), биоконвекция, автоколебания в сообществах организмов, автоколебательные химические реакции и др. Проблемы, возникающие при исследовании РАС различной физической природы, оказываются похожими с наиболее характерной для радиофизики общеколебательной и общеволновой точки зрения. Поскольку общая теория колебательных и волновых процессов в системах с распределенными параметрами еще не завершена, серьезный интерес представляет экспериментальное исследование сложной динамики РАС, включая турбулентные режимы. Весьма подходящими для этих целей являются радиофизические РАС, такие как лампа с обратной волной(ЛОВ) и лампа бегущей волны с запаздывающей обратной связью (ЛБВ), демонстрирующие стохастические автоколебательные режимы. Эти автогенераторы в наибольшей степени отвечают физическому определению РАС, данному М.И.Рабиновичем [ 1 ] : назовем автоколебательной консервативную систему, в которой в результате развития неустойчивостей возможно установление незатухающих волновых или колебательных движений (не обязательно регулярных), причем параметры этих движений - амплитуда и форма колебаний или волн, частота, а в более общем.случае - спектр колебаний, - определяются самой системой и не зависят от конечного изменения начальных условий".

В ЛОВ волновая неустойчивость связана с черенковским излучением движущихся электронов, и к возникновению автоколебаний приводит развитие абсолютной неустойчивости возмущений. В ЛБВ имеет место конвективная неустойчивость (физический механизм тот же, что и в ЛОВ, - черенковское излучение движущихся электронов); однако при введении в систему запаздывающей обратной связи возмущения и при конвективной неустойчивости со временем будут нарастать в определенном объеме - возникает глобальная неустойчивость [ 1 ] . Ив том и в другом случаях неустойчивость приводит к установлению автоколебаний из-за наличия обратной связи, но характер обратной связи (ее физическая природа) разный. В ЛОВ она внутренняя и обусловлена встречным направлением скорости электронов и групповой скорости волны, т.е. скорости распространения потока электромагнитной мощности. В ЛБВ-генераторе -внешняя, обеспечиваемая внешней цепью обратной связи.

До последнего времени, главным образом, излучались регулярные волновые и колебательные движения в РАС, более того для радиофизики СВЧ было характерно изучение одночастотных режимов. Правда, в связи с многочастотной и шумовой радиолокацией изредка обсуждались режимы одновременной генерации нескольких частот в ЛОВ и ЛБВ-генераторах. Исключение составляли предложенные В.Я.Кисловым и подробно изученные им и его сотрудниками шумотроны -генераторы шума, представляющие собой различные варианты ЛБВ с запаздывающей обратной связью [б ] •

Несмотря на то, что шумотроны были изобретены еще в начале шестидесятых годов, понимание природы автостохастических колебаний и механизмов их возникновения в динамических системах пришло много позже. Широкий круг физиков познакомился с проблемой стохастических колебаний благодаря обзору [ 7 ] • Следующий шаг состоял в понимании возможности существования хаотических режимов в простых динамических системах с конечным числом степеней свободы (см. обзоры [б -11] ). Число работ по изучению стохастического поведения простых динамических систем в настоящее время растет взрывным образом, особенно после того, как были вскрыты некоторые универсальные закономерности путей перехода от порядка к хаосу (см., например, § 22.5 в монографии [5 ] ). Сейчас можно сказать, что основные представления о природе стохастического поведения в простых динамических системах уже сформировались: математическая природа хаоса связана с существованием в фазовом пространстве диссипативной системы притягивающего множества из неустойчивых траекторий - странного аттрактора; определяй основные механизмы рождения странного аттрактора из регулярных траекторий (точки устойчивого равновесия, предельного цикла, двумерных и трехмерных торов) при изменении параметров системы. Для систем, динамика которых моделируется одномерным отображением, получено аналитическое описание характеристик рождающегося хаоса в терминах критических индексов [Ц ] - вблизи точки перехода энтропия, средняя мощность, ширина спектральных пиков и другие параметры хаоса степенным образом зависят от величины надкритичности,

В последнее время, по мнению М.И.Рабиновича [12] » максимум интереса как теоретиков, так и экспериментаторов начинает смещаться в сторону исследования свойств и характеристик уже возникшего хаоса и их трансформаций при возрастании степени неравновесности динамической системы, т.е. проблемы организации в фазовом пространстве системы стохастического множества предельно высокой размерности. С позиций этой проблемы необходимо выделить именно распределенные динамические системы, размерность фазового пространства, как и число стпеней свободы которых, принципиально бесконечное.

Полученные результаты для простых динамических систем должны стать отправной точкой при исследовании турбулентного поведения распределенных систем; конечной целью такого изучения следует считать создание теории турбулентности, в первую очередь, гидродинамической. Эксперименты, в которых различные пути переходов порядок-хаос изучались для различных типов закрытых гидродинамических течений, уникальны [13] - их единицы и они сложны в исполнении. С другой стороны для целого класса распределенных систем - систем радиофизических (к ним относятся, в частности, упомянутые выше ЛОВ и ЛБВ-генератор) - техника экспериментального исследования автоколебательных режимов хорошо разработана и сравнительно проста. В этом убедили уже первые исследования автоколебательных режимов (включая стохастические) в ЛОВ [14] Заметим, что из распределенных систем только для ЛОВ в настоящее время имеется теоретическая модель вполне адекватная экспериментальным макетам [15] . Целесообразность дальнейшего исследования подробных радиофизических систем очевидна и из-за высокой достоверности и точности получаемых результатов.

Поскольку для систем с малым числом степеней свободы установлены некоторые универсальные пути перехода порядок-хаос (мы уже упоминали об этом), то в отсутствии общей теории РАС важен ответ на следующие вопросы:

I. Могут ли распределенные системы демонстрировать все известные переходы к автостохастическим колебаниям, характерные для простых динамических систем, и какова специфика таких переходов в РАС?

2. Какова природа эволюции свойств уже возникшего хаоса при изменении параметров РАС, в частности, при переходе к "сильно турбулентному" движению?

Ответы на эти вопросы нужно искать, в первую очередь, в натурных экспериментах и в экспериментах на ЭВМ. Если "сценарии" возникновения хаоса действительно универсальны, то результаты исследования радиофизических систем окажутся важными и в других областях науки. Отметим, что в качестве объектов для машиннных экспериментов с РАС можно использовать упрощенные математические модели, основанные на уравнениях с запаздыванием, всилу относительной простоты используемых численных методов и алгоритмов расчета, требующих малых затрат машинного времени.

Таким образом, экспериментальные и теоретические исследования автоколебательных режимов в радиофизических РАС, включая автостохастические, и выявление общих закономерностей в переходах типа порядок-хаос и хаос-хаос представляется актуальным для современной науки о колебаниях и волнах, в частности, для создания предпосылок дальнейшего развития теории турбулентности. Такие исследования актуальны и с практической точки зрения для создания автошумовых СВЧ генераторов с управляемыми параметрами и свойствами, демонстрирующих целый набор различных автоколебательных режимов.

Цель работы

I, Экспериментальное исследование последовательности автоколебательных режимов и деталей механизмов перехода к хаосу в РАС электронный поток - обратная электромагнитная волна СЛОВ) в режиме автономных и неавтономных (под действием внешнего гармонического сигнала) колебаний при изменении параметров системы в широкой области, а также влияния отражений от концов электродинамической структуры на динамику РАС при переходе к хаосу;

2. Экспериментальное исследование различных сценариев возникновения хаоса и его эволюции при увеличении степени неравновесности РАС с внешней запаздывающей обратной связью с активным элементом электронный пучок - прямая бегущая электромагнитная волна (ЛБВ-генератор) как в автономном, так и неавтономном режимах работы;

3. Численное моделирование экспериментально обнаруженных автомодуляционных режимов и сценариев перехода к хаосу в РАС на различных простых цепочках-моделях генератора с запаздывающей обратной связью.

Научная новизна

Отличительной особенностью работы является то, что в ней впервые сделана попытка экспериментального исследования стохастических колебаний в двух типах РАС, отличающихся характером неустойчивости и видом обратной связи, с целью выявления, с одной стороны сценариев перехода к хаосу, типичных для систем с небольшим числом степеней свободы, и, с другой стороны, специфических особенностей сложной динамики РАС. Достоинство такого подхода в том, что исследование разных систем одновременно позволяет говорить о типичности и нетипичности того или иного сценария. Это важно с точки зрения установления общеволновых и общеколебательных закономерностей в РАС.

Другая отличительная черта работы состоит в том, что в сверхвысокочастотных автогенераторах, которые на практике можно использовать в качестве шумовых, впервые экспериментально продемонстрированы все известные сценарии перехода к хаосу в простых динамических системах, а также все пути перехода к гидродинамической турбулентности, обнаруженные в различных экспериментах при исследовании термоконвекции Релея-Бенара и течения Куэтта между двумя вращающимися цилиндрами.

Отметим также, что в отсутствии общей теории РАС в работе была впервые сделана попытка численного моделирования автоколебательных режимов и их сложной динамики при переходе к хаосу, экспериментально обнаруженных в исследуемых РАС, на упрощенных математических моделях генератора с запаздывающей обратной связью, основанных на дифференциальных уравнениях первого порядка с запаздывающим аргументом.

Конкретно получены следующие новые результаты:

1) экспериментально доказано, что типичным механизмом перехода к хаосу в системах типа распределенных резонаторов с активной средой является последовательность бифуркаций удвоения периода;

2) экспериментально обнаружено, что структура бифуркационной диаграммы перехода к хаосу в исследуемых РАС качественно описывается в рамказ теории разрушения двумерного тора в фазовом пространстве размерности три двупараметрической динамической системы;

3) как в численном, так и в натурном экспериментах обнаружен переход к многомодовому хаосу в РАС с запаздывающей обратной связью, связанный с последовательным включением новых собственных мод системы в процесс стохастического движения;

4) показано, что генератор с двумя петлями запаздывающей обратной связи демонстрирует в численном эксперименте переход к хаосу, связанный с разрушением двумерных и трехмерных торов в фазовом пространстве.

Практическая значимость

Полученные результаты важны, в первую очередь, как экспериментальное подтверждение теоретически предсказанных сценариев возникновения хаоса и их универсальности. Значение проведенных экспериментов состоит также в том, что они продемонстрировали существование в РАС практических всех типов переходов порядок-хаос, характерных для простых динамических систем. Последнее можно использовать для построения картины возникновения турбулентности в РАС в различных режимах через так называемый "маломерный хаос", основанной на представлениях, типичных для систем с малым числом стпеней свободы (в различных областях изменения параметров РАС ведет себя как та или иная конечномерная система). Высказано также предположение о природе перехода РАС к "развитой турбулентности", связанной с включением новых собственных мод системы, на базе каждой из которых существует режим стохастической модуляции, в процесс стохастического движения.

Полученные результаты могут быть использованы для интерпретации возникновения паразитных явлений в некоторых релятивистских сильноточных генераторах, а также для выработки требований к СВЧ автошумовым автогенераторам и при конструировании.

Использование результатов работы

Результаты теоретического и экспериментального исследования сложной динамики электронных распределенных систем, полученные в диссертации, были использованы в Институте прикладной физики АН СССР при разработке релятивистских генераторов, предназначенных для получения коротковолнового электромагнитного излучения большой мощности и интерпретации экспериментов, на что указано в справке об использовании [109] • Конкретно использованы следующие результаты, полученные автором диссертации и включенные в диссертацию:

I) результаты экспериментального исследования на нерелятивистских аналогах сложной динамики автоколебательных режимов С в особенности стохастических) и влияния отражений от концов электродинамической структуры на характер переходов типа порядок-хаос в карсинотроне;

2) результаты численных и натурных экспериментов на нерелятивистских моделях генератора с запаздывающей обратной связью, в которых исследована сложная динамика автомодуляционных режимов, а также механизмы возникновения и эволюции стохастических автоколебаний при увеличении степени неравновесности системы.

Полученные результаты позволили с высокой степенью точности прогнозировать области параметров ЛСЭ и карсинотронов, в которых реализуются заданные автоколебательные режимы, а также предсказывать характер переходов от одного режима к другому (в частности, переходы порядок-хаос).

По результатам, приведенным в диссертации, в специальном курсе лекций "Стохастические колебания в динамических системах" для студентов 5 курса физического факультета СГУ (специализация "Теория колебаний и волн") был разработан и внедрен новый раздел "Стохастические колебания в радиофизике и электронике" [110].

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, 3-х глав, заключения и приложения ( 125 стр. основного текста, 97 стр. рисунков и таблиц, 6 стр. приложений и 12 стр. списка литературы (110 названий)).

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Кац, Виталий Альбертович

4. Основные результаты численного исследования сложной динамики упрощенных теоретических моделей генератора с запаздывающей обратной связью позволили объяснить разнообразие путей перехода к хаосу и переход "хаос-хаос" при включении новой моды систе мы в процесс общего стохастического движения, обнаруженные в натурном экспреименте с лабораториям макетом ЛБВ-генератора (см. главу 2).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведённые экспериментальные и теоретические исследования позволили получить ряд новых результатов, являющихся важными для понимания общих закономерностей сложной динамики РАС различной природы при переходе к хаосу и имеющих прикладное значение для высокочастотной релятивистской электроники. Выделим основные из них,

1. Экспериментально обнаружено, что переход к хаосу в исследуемых РАС осуществляется через так называемый "маломерный" хаос а структура бифуркационной диаграммы перехода качественно описывается в рамках теории разрушения двумерного тора в фазовом пространстве размерности три двупараметрической динамической системы.

2. Экспериментально доказано, что типичным механизмом перехода к хаосу в системах типа распределённых резонаторов с активной средой является последовательность бифуркаций удвоения периода (механизм Фейгенбаума).

3. Как в численном, так и в натурном экспериментах обнаружен переход к многомодовому хаосу, связанный с последовательным включением новых собственных глод РАС с запаздыванием в процесс стохастического движения.

4. Показано, что теоретическая модель генератора с двумя петлями запаздывающей обратной связи демонстрирует в численном эксперименте переход к хаосу, связанный с разрушением двумерных и трёхмерных торов в фазовом пространстве.

5. Результаты теоретического и экспериментальнгго исследованиея сложной динамики электронных распределённых систем, полученные в диссертации, были использованы в ИПФ АН СССР при разработке релятивистских генераторов, предназначенных для получения коротковолнового электромагнитного излучения большой мощносж и интерпретации результатов экспериментов, на что указано в справкеоб использовании [Ю9]. Конкретно использованы следующие результаты: а) результаты экспериментального исследования на нерелятивистских аналогах сложной динамики автоколебательных режимов (в особенности стохастических) и влияния отражений на характер переходов типа порядок-хаос в карсинотроне; б) результаты численных и натурных экспериментов на нерелятивистских моделях генератора с запаздывающей обратной связью, в которых исследована сложная динамика автомодуляпионных режимов, а также механизмы возникновения и эволюции стохастических автоколебаний при увеличении); степени нерзвновесности системы.

Полученные результаты позволили с высокой степенью точности прогнозировать области параметров ЛСЭ и карсинотронов, в которых реализуются заданные автоколебательные режимы, а также предсказывать характер перехода от одного режима к другому (в частности, переходы "порядок-ха ос").

6. По результатам, приведённым в диссертации, в специальном курсе лекций "Стохастические колебания в динамических системах" для студентов 5 курса физического фаиулввта СГУ (специализация"-^ ория колебаний и волн") был разработан и внедрён новый раздел "Стохастические колебания в радиофизике и электронике" 1110].

В заключении выражаю глубокую благодарность моему научному руководителю Д.И.Трубецкову за постоянное внимание и всестороннюю поддержку, М.И.Рабиновичу за проявленный интерес и плодотворную критику, С.П.Кузнецову за полезные дискуссии и обсуждение результатов, Ю.А.Зюрюкину за представление макета линии задержки.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кац, Виталий Альбертович, 1985 год

1. Рабинович М.И. Автоколебания в распределенных системах. -Изв.высш.учебн.завед.СССР. Сер. Радиофизика, 1974, т.17, М, с. 477-510.

2. Рабинович М.И., Фабрикант А.Л. Нелинейные волны в неравновесных средах. Изв.высш.учебн.завед.СССР. Сер. Радиофизика, 1976, т.19, № 5-6, с. 721.

3. Ланда П.С. Автоколебания в распределенных системах. М.: Наука, 1983.

4. Колесов Ю.С., Колесов B.C., Федик И.И. Автоколебания в системах с распределенными параметрами. Киев: Наукова думка, 1979.

5. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984, 432 с.

6. Кислов В.Я., Мясин Е.А., Богданов Е.В. Генератор СВЧ широкополосных колебаний. Заявка № 984513/18-09 от 31.07.1968.

7. Заславский Г.М., Чириков В.В. Стохастическая неустойсивость нелинейных колебаний. УФНД971, т. 105, № I, с. 3-38.

8. Eckmann J.-P. Roads to turbulence in dissipative dinamical systems.-Rev. Mod. Phys., v. 53, N 4, Part 1, p. 643-654.

9. Неймарка Ю.И. Физические механизмы самогенерации стохастических колебаний. В кн.: Динамика систем, Горький, 1979,с. II5-I3I.

10. Ю. Рабинович М.И. Стохастические автоколебания и турбулентность. УФН, 1978, т. 125, № I, с. 123-168.1.. Гапонов-Грехов A.B., Рабинович М.И. Нелинейная физика. Стохастичность и структуры. Препринт № 87, Горький, ИПФ АН СССР, 1983, 59 с.

11. Gaponov-Grekhov A.V., Rabinovich M.I., Starobinets I.M. ' Regular and chaotic structures in simple systems.-In:Self-Organization. Autowaves and Struct.,1984, p. 1^0-140.

12. Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности. /Под ред. X. Суинни, Дж.Голлаба. М.: Мир, 1984.

13. Безручко Б.П., Кузнецов С.П., Трубецков Д.И. Экспериментальное наблюдение стохастических автоколебаний в динамической системе электронный поток обратная электромагнитная волна.' Письма в ЖЭТФ, 1979, т. 29, № 3, с. 180-184.

14. Электроника ламп с обратной волной / Под ред. Шевчика В.Н. и Трубецкова Д.И. Изд-во Сарат.ун -та, 1975 г. 195

15. Безручко Б.П., Булгакова Л.В., Кузнецов С.П., Трубецков Б.И. Экспериментальное и теоретическое исследование стохастических автоколебаний в лампе обратной волны. В кн.: Лекции по электронике СВЧ и радиофизике. Саратов, 1980, кн.5,с. 25-77.

16. Гинзбург Н.С., Кузнецов С.П., Федосеева Т.Н. Теория переходных процессов в релятивистской ЛОВ. Изв.высш.учебн.завед. СССР. Сер. Радиофизика, 1978, т. 21, № 7, с. 1037.

17. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. -М. : Гостехиздат, 1953.

18. Афраймович B.C. Краткий очерк качественной теории динамической системы. В кн.: Лекции по электронике СВЧ и радиофизике. Саратов, 1980, кн. 2, с. 75-89.

19. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980.

20. Безручко Б.П., Гинзбург Н.С., Кузнецов С.П. Теоретическоеи экспериментальное исследование переходных процессов в Л0В0-генераторе. В кн.: Лекции по электронике СВЧ (4-я зимняя школа-семинар инженеров). Саратов, 1978, кн.5, с.236-267.

21. Кузнецов С.П. Теоретические методы анализа нестационарныхявлений в некоторых распределенных системах типа электронный пучок электромагнитная волна. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.мат. наук, Саратов, 1977,с

22. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения М.: "Мир", 1980, 368 с.25* Штерн В.Н. Возникновение и свойства хаоса в простых моделях тепловой конвекции. Препринт 98-83, Институт теплофизики СО АН СССР, 1983.

23. Libchaber A. Rayleigh-Bernard experiment in liquid helium.-In books: NATO Study Nonlinear Phenomena and Phase Transitions / Ed. by T. Riste.-Plenum Press, 1981.

24. Gollub J., Benson S.V., Steinman J. A subharmonic route to turbulent convection.-Annal. New York Academy of Science, 1981, vol. 357, P. 22.

25. Hopf E. A mathematical example displaining the features of turbulence.-Comm. Pure Appl. Math., 1948, vol. 1, p. 303-322.

26. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: "Наука", 1978, 257 с.

27. Rand D., Ostlund S., Sethva J., Siggia E.D. Universal Transi tion from Quasiperiodicity to Chaos in Dissipative Systems.-Phys. Rev. Lett., 1982, vol. 49, N 2, p. 132-135.

28. Franceschini V. Bifurcations of Tori and Phase Locking in a Dissipative System of Differential Equations.-Physica, 1983, vol. 6D, N 3, p. 285-304.

29. Fenstermaher P.P., Swinney H.L., Gollub J.-P. Dynamical instabilities and transition to chaotic Taylor vortex flow.-J. Fluid Mech., 1979, vol.94, p. 103-128.

30. Афраймович B.C. О разрушении торов. В кн.: Труды 9-й Международной конференции по нелинейным колебаниям.-Киев.: Изд-во ИМ АН УССР, 1983, с. II8-I20.

31. Афраймович B.C., Шильников Л.П. Инвариантные двумерные торы, их разрушение и стохастичность. В кн.? Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Горький,: Изд-во ГГУ, 1983, с. 3-26.

32. Manneville Р., Pomeau Y. Different ways to turbulence in dissipative dynamical systems.-Physica, 1980, vol. 1D, P. 219.

33. Афраймович B.C., Шильников Л.П. О некоторых глобальных бифуркациях, связанных с исчезновением неподвижной точки типа седло-узел. ДАН СССР, 1974, т. 219, с. 1281-1)285.

34. Gollub J.-P., Benson S.V. Many routs to turbulent convection.-J. Fluid Mech., 1980, vol. 100, p. 449-470.

35. Лукьянов В.И., Шильников Л.П. О некоторых бифуркациях динамических систем с гомоклиническими структурами. ДАН СССР, 1978, т. 243, № I, с. 26-29.

36. Berge Р., Dobois М., Manneville Р., Pomeau Y. Intermittency in Rayleigh-Benard convection.-J. Phys. Lett.(Paris), 1980, vol. 41, p. L341.

37. Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Изд-во МГУ, 1983, 80 с.

38. Шевчик В.Н.,. Синицын Н.И. Влияние отражений на работу лампы обратной волны. Радиотехника и электроника, 1963, № 8,11, с. 99.

39. Андрушкевич В.С., Тореев А.И. Некоторые вопросы теории ламп обратной волны 0-типа при наличии отражения. В кн.: Вопросы электроники сверхвысоких частот. Изд-во СГУ, 1964, в I, с.47.

40. Шевчик В.Н., Жарков Ю.Д. Влияние отражений на работу лампы обратной волны. Радиотехника и электроника, I960, т.5, №12, с. 2059.

41. Андрушкевич B.C.; Тореев А.И. 0 частотных характеристиках ЛОВ 0-типа при наличии отражений. Радиотехника и электроника, 1966, т. II, № 9, с. 1934.

42. Амиров Р.Ш., Безручко Б.П., Исаев В.А., Четвериков А.П.,

43. Влияние отражений на нестационарные процессы в ЛОВО. В кн.: Лекции по электронике СВЧ и радиофизике, Саратов, 1984, кн.2, с. 90-105.

44. Кузнецов С.П. Сложная динамика генераторов с запаздывающейобратной связью. Изв.высш.учебн.завед.СССР. Сер.Радиофизика, 1982, т. 25, № 12, с. I4I0-I428.

45. Рюэль Д., Такенс Ф. 0 природе турбулентности. В кн.: Странныеаттракторы: Пер. с англ. Под ред. Я.Г.Синая и Л.П.Шильникова.-М.: Мир, 198I, с. II6-I5I.

46. Newhause S., Ruell D., Takens F. Occurence of Strange Axiom Attractors Near Quasi Periodic Flow on Tm, mx 311.-Comm. Math. Phys., 1978, vol. 64, p. 35.

47. Кузнецов Ю.И., Ланда П. С., Ольховой А.Ф., Перминов С.М.

48. Порог синхронизации как характеристика фазового перехода "хаос-порядок", Препринт физич. ф-та МГУ, 1984, № 9, 4с.

49. Пиковский A.C. О поведении спектра странного аттрактора в критической точке. Изв.высш.учебн.завед.СССР. Сер. Радиофизика, 1983, т. 25, № 10, с. 848-853.

50. Кислов В.Я.; Залогин H.H., Мясин Е.А. Исследование стохастических автоколебательных процессов в автогенераторах с запаздыванием. Радиотехника и электроника, 1979, т. 24,б, с. III8-II30.

51. Кислов В.Я., Мясин Е.А., Залогин H.H. О нелинейной стохастизации автоколебаний в электронно-волновом генераторе с задержанной обратной связью. Радиотехника и электроника, 1980, т. 25, № 10.

52. Дихтяр В.Б., Кислов В.Я. Стохастические колебания в резонансных автогенераторах с запаздыванием. В кн.: Нелинейные волны. Стохастичность и турбулентность. Горький: ИПФ АН СССР, 1980, с. 37-45.

53. Дихтяр В.Б., Кислов В.Я. Расчет колебаний автогенераторов с внешней запаздывающей обратной связью временным методом. -Радиотехника и электроника, 1977, т.22, № 10, с. 21412147.

54. Кислов В.Я. Теоретический анализ шумоподобных колебаний в электронно-волновых системах и автогенераторах с запаздыванием и сильной нелинейностью. Радиотехника и электроника, 1980, т. 25, № 8, с. 1683-1690.

55. Кислов В.Я. Теоретический анализ шумоподобных колебаний вэлектронно-волновых системах и автогенераторах с запаздыванием. В кн: Лекции по электронике СВЧ и радиофизике, Саратов, 1980, кн. 5, с. 78-117.

56. Калинин В.И., Залогин Н.Н., Кислов В.Я. Нелинейный резонанси стохастичность в автоколебательной системе с запаздыванием.-Радиотехника и электроника, 1983, т.26, № 10, c.2Q0I-2007.

57. Анисимова Ю.В., Дмитриева А.С., Залогин Н.Н., Калинин В.И., Кислов В.Я., Панас А.И. Об одном механизме перехода к хаосу в системе электронный пучок электронная волна. - Письмав ЖЭТФ, 1983, т. 37, № 8, с. 387-389.

58. Анищенко B.C., Астахов В.В. Экспериментальное исследование стохастизации автоколебаний в усилителях с внешней обратной связью. В кн.: Лекции по электронике СВЧ и радиофизике, Саратов, 1980, кн. 5, с. II8-I33.

59. Котырев Е.А., Плисс Л.Е. Спектральные особенности устойчивойгенерации колебаний в генераторе с запаздывающей обратнойсвязью в мягком режиме. Радиофизика и электроника, 1965, т. 10, с. I628-1634.

60. Кузнецов С.П. Бифуркации удвоения в простой модели распределенной системы. Изв.вузов. Радиофизика, 1982, т.25,1. II, с. 1364-1368.

61. Витт А.А. К теории скрипичной струны. ЖТФ,1963, т.6, № 9, с. 1459-1479.

62. Farmer J.D. Chaotic attractor of an infinite-dimensional dynamical system.-Physica, 1982,vol. D4, N 5, p. 566-595.

63. Nauenberg M., Rudnick J. Universality and the power spectrum at the onset of chaos.-Phys. Rev. B, 1981, vol. 21, N 1, p. 495-4-95•

64. Фейгенбаум М. Универсальность в проведении нелинейных систем. УФН, 1983, т.141, вып.2, с.343-375.

65. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.П., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.:Наука, 1976, 384 с.

66. Geisel Т., Nierwetberg J., Kehher J. Critical behavior of the Lyapunov number of the period-doubling onset of chaos Phys. Lett., 1981, vol. A86, N 2, p. 75-78.

67. Афрамович B.C., Рабинович М.И., Угодников А.Д. Критические точки и "фазовые переходы? в стохастическом поведениинеавтономного осциллятора. Письма в ЖЭТФ, 1983, т.38, №2, с. 64-67.

68. Кальянов Э.В. Стохастизация и дестохастизация колебанийв неавтономных многомодовых автоколебательных системах. -Радиотехника и электроника, 1982, т. 27, № 12, с. 2448-2453.

69. Кузнецов С.П. 0 воздействии периодического внешнего возмущения на систему, демонстрирующую переход порядок-хаос черезбифуркции удвоения периода. Письма в ЖЭТФ, 1984, т.39, № 3, с. II3-II6.

70. Аниценко B.C., Астахов В.В.»Летчфорд Т.Е., Сафонова М.А.

71. К вопросу о структуре квазигеперболической стохастичности в инерционном автогенераторе. Изв.вузов. Радиофизика, 1983, т.26, № 7, с. 832-842.

72. Arneodo A., Coullet Р.Н., Spiegel Е.А. Cascade of period doublings of tori.-Phys. Lett., 1983, vol.94A, N1, p. 1-6.

73. Колесов Ю.С., Швитра Д.И. Автоколебания в системах в запаздыванием. Вильнюс, "Мокслас", 1979, 148 с.

74. Свиреаюев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука, 1978, 352 с.

75. Бабский В.Г., Мышкис А.Д. Математические модели в биологии,связанные с учетом последствия. В кн.: Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях/ Под ред. Дж.Марри, - М.: "Мир", 1983, с. 383-394.

76. Смт Дж.М. Модели в экологии. М.: "Мир", 1976, 184 с.

77. Марчуг Г.И. Математические модели в иммунологии. М.: "Наука", 198I, 285 с.

78. Бошеверов В.М. О некоторых колебательных задачах, приводящих к функциональным уравнениям. ЖТФ, i936, т.6, № 9, с.1480-1488.

79. Азьян Ю.М., Мигулин В.В. Об автоколебаниях в системе о запаздывающей обратной связью. Радиотехника и электроника, 1956, т.1, № 4, с. 418-427.

80. Азьян Ю.М. О возбуждении автоколебаний в системе с запаздывающей обратной связью. Радиотехника и электроника, 1963,т. 8, № 10, с 1665-1670.

81. Азьян Ю.М., Снегирев О.В., Мкртумов A.C. О режимах стационарной генерации автоколебательной системы с запаздывающей обратной связью. Вестник МГУ, Сер. 3. Физика, астрономия, 1972, т. 13, № I, с. 99-103.

82. Азьян Ю.М., Снигирев О.В. Переходные процессы в автоколебательной системе с запаздывающей обратной связью с дисперсией. -Вестник МГУ, Сер.З, Физика, астрономия, 1972, т.13, № 2,с. 245-247.

83. Гоноровский И.С. К теории высокочастотных генераторов с запаздывающей обратной связью. Радиотехника, 1958, т.13, № 5, с. 19-30.

84. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: "Наука", 1977, 439 с.

85. Недешев А.И.Начальный (линейный) этап установления колебаний в автогенерат0ре с запаздывающей обратной связью.

86. Радиотехника, 1963, т.18, № I, с. 30-34.

87. Дихтяр В.Б., Кислов В.Я. Расчет колебаний автогенераторовс внешней запаздывающей обратной связью временным методом. -Радиотехника и электроника, 1977, т.22, № 10, с.2141-2147.

88. Кислов В.Я., Дмитриев A.C. Стохастические колебания в радиотехнических и электронных системах. В кн.: Проблемы современной радиотехники и электроники, ИРЭ АН СССР, Москва, 1983, с. 193-212.

89. Солнцев В.А., Андреевская Т.М. Условия амплитудной автомодуляции в автогенераторе с запаздыванием. Радиотехника и электроника, 1983, т.28, № 3, с. 561-568.

90. Калинин В.И., Герштейн Г.М. Введение в радиофизику, М.: Технико-теоретическая литература, 660 с.

91. Ikeda К., Kondo К., Akimoto 0. Successive Higher-Harmonic Bifurcations in Systems with Delayed Feedback.-Phys. Rev. Lett., 1982, vol. 49, N 20, p. 1467-1470.

92. Гилмор P. Прикладная теория катастроф (в 2-х книгах). М.: "Мир", 1984, кн.2, с.

93. Кузнецов С.П. О модельном описании цепочки связанных динамических систем вблизи точки перехода порядок-беспорядок.-Изв.высш.учебн.завед.СССР, сер.Физика, 1984, т.27, № 6,с. 87-96.

94. Кузнецов С.П. О критическом поведении одномерных цепочек. -Письма в ЖТФ, 1983, т.9, № 2, с. 94-98.

95. Сычев Е.И. Исследование гиперзвуковых линий задержки и СВЧ радиотехнических устройств на их основе. Дипломная работа.1. Саратов, 1982, 43 с.

96. Кац В.А., Трубецков Д.И. Возникновение хаоса при разрушении квазипериодическихредимов и переходе через перемежаемость враспределенном генераторе с запаздыванием. Письма в ЖЭТФ, 1984, т.39, № 3, с. II6-II9.

97. Кац В.А. Экспериментальная демонстрация универсальных свойств последовательности бифуркаций удвоения Фейгенбаума при переходе к хаосу в распределенном генераторе с запаздыванием,-Письма в ЖТФ, 1984, т.10, № II, с. 684-689.

98. Кац В.А. Стохастизация структур и переходы в заосе в автогенераторе с запаздыванием. В кн.: Лекции по электронике СВЧ и радиофизике, Саратов, 1983, кн. 2, с. 46-64.

99. Кац В.А. Переходы в хаоса, инициированные внешним гармоническим воздействием, в распределенном автогенераторе с запаздыванием. Эксперимент.- В кн.: Лекции по электронике СВЧ и радиофизике. Саратов, 1983, кн. 2, с. 65-68.

100. Кац В.А. Возникновение и эволюция хаоса в распределенном генераторе с запаздыванием. Эксперимент. Изв.высш.учебн. завед. СССР. сер. Радиофизика, 1985, т.28, № 2 (принято к печати).

101. Katz V.A., Trubetzkov D.I. Stohastization of nonstationary structures in a distributed oscillation with delay.-In:Self-Organization. Autowaves and Structures far of Equilibrium / Ed. by V.I.Krinsky, Springer, 1984, p. 35-38.

102. Кац B.A. э Кузнецов С.П. Переход к хаосу через бифуркации удвоения периода в модели генератора с запаздывающей обратной связью. Численный эксперимент. В кн.: Лекции по электронике СВЧ и радиофизике. Саратов, 1983, кн.2, с,45-48.

103. Кац В.А. Переход к "развитому хаосу" в модели распределенного генератора с запаздыванием. В кн.: Некоторые вопросы современной физики. Научно-темат.сб. ч.1, Саратов, 1984,с. 31-37.

104. Кац В.А. Механизмы возникновения хаоса в распределенном генераторе обратной волны. В кн.: Некоторые вопросы современной физики. Научно-темат.сб. ч.2, Саратов, 1984, с. 28-33.

105. Кац В.А., Трубецков Д.И. Экспериментальное исследование переходов "порядок-хаос" в ЛБВ-генераторе с запаздывающей обратной связью. X Всесоюзная научная конференция. Электроника сверхвысоких частот. Тезисы докладов, Минск, 1983, т.I, с. 67-68.

106. Кац В.А. Стохастизация колебаний и переходы в хаосе в неавтономном генераторе с запаздыванием. XXXIX Всесоюзная сессия, посвященная Дню радио. Тезисы докладов, 1984, ч.I, с. 125.

107. Исследование нестационарных и автоколебательных процессовв релятивистских электронных СВЧ-генераторах. Заключительный отчет по НИР "Зубр" государственной регистрации 01.82.201882^, 1982, 142 с. 13.

108. Справка об использовании результатов от 11.12.84 СИПФ АН СССР, г. Горький).

109. НО. Акт о внедрении результатов в учебный процесс от 14.12.84 (СГУ, г. Саратов).