Стохастическая имитационная модель одного механизма пульмо-кардиальной системы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Рудкевич, Марина Владимировна

• Рудкевич, Марина Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Рудкевич, Марина Владимировна

Введение.

Глава 1. Модель одного механизма пульмо-кардиальной системы с

4 известной динамикой исследуемых процессов.

§ 1.1 Некоторые математические модели пульмо-кардиальных систем.

§ 1.2 Описание эксперимента.

§ 1.3 Математическая и имитационная модели.

§ 1.4 Оценка параметров в модели пульмо-кардиальной системы

Глава 2. Оценка параметров в частично-наблюдаемой схеме для модели пульмо-кардиальной системы. i

§ 2.1 Стохастическое описание параметров системы в частично

1 наблюдаемой схеме.

§ 2.2 Насыщение гемоглобина кислородом.

§ 2.3 Анализ имитационной модели.

Глава 3. Частично-наблюдаемая схема с разладками для модели пульмо-кардиальной системы. t

§ 3.1 Оценка момента разладки в наблюдаемом процессе.

§ 3.2 Анализ математической и имитационной моделей.

§ 3.3 Оценка момента разладки в ненаблюдаемом процессе.

§ 3.4 Анализ математической и имитационной моделей.

J Глава 4. Модель расчета интегрального показателя для оценки функционального состояния пульмо-кардиальной системы.

§ 4.1 Хроническая обструктивная болезнь легких.

§ 4.2 Математическая модель интегрального показателя.

§ 4.3 Анализ интегрального показателя при малом стаже табакокурения.

1 Выводы и заключение.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Стохастическая имитационная модель одного механизма пульмо-кардиальной системы»

Исследования медико-биологических процессов составляютважное направление математического моделирования ([11], [16], [37]). Впоследние годы появилось большое число работ, посвященныхпостроению математических моделей этих процессов (см., например,М.В. Абакумов, А.А. Бутов, Г.И. Марчук, А.А. Романюха и др.). Вбольшинстве работ математическое описание моделируемых объектовили явлений осуществляется в терминах обыкновенныхдифференциальных уравнений (А.А. Романюха, Г. Руднев и др.) илина основе методов многомерной статистики (И.И Сиротко, С. Солдатченко и др.). Как правило, такие модели не предполагают анализвременных характеристик (в том числе и оценку параметров), анаправлены лишь на исследование поведения объекта в целом и вразличных моделируемых ситуациях. Однако при математическоммоделировании медико-биологических явлений не всегда удаетсяадекватно применять детерминистский подход. Следует отметить, чтолюбой биологический объект состоит из множества подсистем(связанных друг с другом), на которые влияют случайные внешние ивнутренние факторы. Воздействия этих факторов на параметрымеханизмов играют существенную роль, и описать их с помощьюдетерминистического подхода невозможно. Следовательно, одним изинструментов в исследование медико-биологических процессовявляется использование стохастических имитационных моделей. В связис этим, разработанные в данной работе модели медико-биологическихобъектов и методы анализа их временных характеристик являютсяактуальными и имеют прикладное значение.В качестве медико-биологического объекта в работе рассмотренапульмо-кардиальная система человека. Разработанные математическиемодели позволяют диагностировать отклонения в работе даннойсистемы, приводящие к возникновению хронической обструктивнойболезни легких.Хроническая обструктивная болезнь легких (ХОБЛ) занимаетодно из ведущих мест среди всех причин летальности в промыщленноразвитых странах. В то время как за последние десятилетия смертностьот всех заболеваний снизилась на 22%, а от сердечно-сосудистыхзаболеваний на 23%, смертность от ХОБЛ выросла на 28% (Ferguson,Chemiack). Летальность от ХОБЛ занимает четвертое место среди всехпричин смерти в общей популяции (GOLD, 2001). Сегодня эта болезньдиагностируется на поздних стадиях и приводит к преждевременнойсмерти, что также обосновывает прикладную актуальность разработкиматематических методов раннего обнаружения и прогнозированияХОБЛ. Целью диссертационной работы является разработкастохастических имитационных моделей и их анализ для исследованияодного механизма пульмо-кардиальной системы, а также разработкаалгоритмов, реализующих данные модели, и их воплощение в видекомплекса программ на языке высокого уровня (Borland C++ Builder).Целью данной работы является построение и исследование трех моделейдля пульмо-кардиальной системы. Первая - это модель пульмокардиальной системы с известной динамикой исследуемых процессов;вторая - модель частично наблюдаемой системы для процессанасыщения гемоглобина кислородом. В качестве третьего типапредполагается исследовать модели частично наблюдаемой системы сразладками в наблюдаемой компоненте для процесса изменения числадыхательных движений и с разладками в ненаблюдаемой компонентедля процессов кислородной десатурации гемоглобина и временизадержки дыхания. Также в работе предполагается разработать иадаптировать интегральный показатель для оценки функциональногосостояния пульмо-кардиальной системы и подтвердить возможностьприменения данного показателя для выявления ранних функциональныхнарушений при малом стаже табакокурения.Математические модели и методы разрабатываются всемимартингальных терминах. Выбор параметров моделейосуществляется исходя из известной информации о моделируемомобъекте. Определение неизвестных коэффициентов проводится сиспользованием методов оптимального оценивания. При разработкекомпьютерных моделей используются элементы теории разностныхсхем.Все основные результаты настоящей диссертационной работыявляются новыми. В диссертационной работе предложены новыеимитационные модели пульмо-кардиальной системы всемимартингальных терминах. Методы анализа частично-наблюдаемыхсистем с разладками также являются новыми. Доказаны новые теоремыо состоятельности оценок частичного правдоподобия. Доказана новаятеорема о прогнозировании момента разладки в частично-наблюдаемойсхеме. Разработанный интегральный показатель для оценкифункционального состояния пульмо-кардиальной системы имеетпрактическое применение. Этот показатель, а также стохастическиеимитационные модели и комплекс программ их реализующийприменяются при анализе медико-биологических данных на кафедрепропедевтики внутренних болезней УлГУ, а также внедрены вЦентральную клиническую медико-санитарную часть г. Ульяновска.На защиту выносятся следующие основные положения:I. Разработаны и адаптированы стохастические имитационные моделидля процессов пульмо-кардиальной системы.ч.2. Теоремы о состоятельности оценок частичного правдоподобия дляимитационной модели процесса насыщения гемоглобина кислородомв пульмо-кардиальной системе.3. Теорема о прогнозировании момента разладки в частичнонаблюдаемой системе с разладками в наблюдаемой компоненте дляимитационной модели процесса изменения числа дыхательныхдвижений.4. Построена адекватная приближенная оценка вероятностинаступления разладки в частично наблюдаемой системе с разладкамив ненаблюдаемой компоненте для имитационной модели процессовкислородной десатурации гемоглобина и времени задержки дыхания.5. Разработан и адаптирован интефальный показатель для оценкифункционального состояния пульмо-кардиальной системы, иподтверждена возможность применения данного показателя длявыявления ранних функциональных нарушений при малом стажетабакокурения.По теме диссертации опубликовано 9 работ [14], [20], [43]-[48],[65].Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения,списка литературы из 77 наименований источников отечественных изарубежных авторов, а также приложений. Общий объем диссертациисоставляет 104 страницы.В Главе 1, состоящей из четырех параграфов, рассматриваетсястохастическая имитационная модель одного механизма пульмокардиальной системы с известной динамикой исследуемых процессов.Данная система представлена четырьмя следз^ощими показателями:время произвольной задержки дыхания на вдохе (Г,), числодыхательных движений в одну минуту (С,), транскутанное насыщениегемоглобина кислородом (5,) и степень кислородной десатурациигемоглобина (D,) во время задержки дыхания.Параграф 1.1 содержит краткий обзор работ по математическомумоделированию в пульмонологии и кардиологии.В параграфе 1.2 содержится описание экснеримента по изучениюсостояния пульмо-кардиальной системы человека. Имеющиеся реальныеданные состоят из трех групп: здоровые некурящие, курящиепрактически здоровые и индивидуумы с хронической обструктивнойболезнью легких. Соответствующие экспериментальные исследованиябыли проведены доцентом кафедры пропедевтики внутренних болезнейУлГУ В.В. Гноевых.Часть, входящих в модель, параметров определяется исходя изимеющейся экспериментальной информации. Для неизвестныхпараметров в параграфе 1.4 построены оценки. Также в параграфе 1.3вводится дискретное описание построенной модели, которое затемалгоритмически реализуется в виде комплекса программ (языкпрограммирования Borland C++ Builder). Пастройка параметровимитационной модели осуществляется на основе сопоставлениярезультатов модели и эксперимента. В качестве критерия достоверностивыбранных параметров используется вероятностная метрика ЛевиПрохорова.В параграфе 1.4 построены и исследованы оценки неизвестныхпараметров для модели (0.1) — (0.4) для выявления нарушений в пульмокардиальной системе на основе квадратичной вариации и отношениямаксимального правдоподобия. Также в данном параграфе рассмотренаобщая схема построения и исследования моделей механизма пульмокардиальной системы, состоящая из десяти этапов.Вторая глава, состоящая из трех параграфов, посвящена анализучастично-наблюдаемой линейной схемы на примере процессанасыщения гемоглобина кислородом пульмо-кардиальной системы.В приведенных выше обозначениях справедливы следующиетеоремы 2.1-2.2.Теорема 2.1. Оценка частичного правдоподобияявляется состоятельной (т.е. построенная оценка ^вероятности к параметру ^,) .В параграфе 2.2 содержится биологическое описание процессанасыщения гемоглобина кислородом и обоснование возможностиприменения рассмотренной в параграфе 2.1 модели.В параграфе 2.3 изложены основные методы построениякомпьютерной имитационной модели и оценок параметров пульмокардиальной системы, математическое описание которых рассмотрено в§2.1. Вычислительный алгоритм реализован в виде комплекса программна языке программирования Borland С-н- Builder.Третья глава, состоящая из четырех параграфов, посвященаанализу стохастических частично-наблюдаемых систем с разладками.В качестве оценки для момента разладки т рассматривается вкаждый момент времени / > О 3f - измеримая случайная величина a{t)такая, что условное математическое ожидание процесса, остановленногокак раз в момент cr{t), совпадает с уровнем d:Справедлива следующаяТеорема 3.1. При условии T>t случайная величина (7{t)> t:b]j=d является решением следующего уравнения:2Аи Ydu = d,Y.+ATT, J в lAt\ + е(0.9)где условное математическое ожиданиесреднеквадратическая ошибка фильтрацииудовлетворяют системе уравнений:Ив параграфе 3.2 рассматривается дискретный аналогматематической модели, представленной в параграфе 3.1, который затемалгоритмически реализуется в виде комплекса программ (языкпрограммирования Borland С-Н- Builder). Имитационная модельпостроена для процесса изменения числа дыхательных движений в однуминуту пульмо-кардиальной системы. Экспериментальные данныесостоят из группы курящих (практически здоровых) и группы схронической обструктивной болезнью легких. В качестве моментаразладки рассматривается накопление повреждений от длительноговоздействие на дыхательные пути табачного дыма, котороевпоследствии приводит к ХОБЛ. Адекватность построенной модели реальным данным,наблюдаемым в экспериментах, проверяется на основе сопоставленияэмпирических и модельных функций распределения. В качествекритерия достоверности выбранных параметров используется метрикаЛеви-Прохорова.12a, b^O, Aua^O - нараметры, ^независимые стандартные винеровские процессы, 0 - экспоненциальнораспределенная случайная величина:P{e<t} = l-e^ нри/>0; Я>0.Проверка адекватности построенной приближенной оценки вероятностинаступления момента разладки (0.12) и вероятности в случае полногонаблюдения основана на среднеквадратической ошибке отклонения.В четвертой главе, состоящей из трех параграфов, разработанаметодика расчета нового интегрального показателя для выявленияранних функциональных нарушений в пульмо-кардиальной системе.В параграфе 4.1 приводится обоснование необходимостиразработки нового показателя (респираторно-газового индекса) дляоценки функциональных отклонений при хронической обструктивнойболезни легких.В параграфе 4.2 предложена математическая модель, на основекоторой строится респираторно-газовый индекс для оценкифункционального состояния пульмо-кардиальной системы прихронической обструктивной болезни легких.Респираторно-газовый индекс / ( F , С, S, D) = {f, (F, С, S, D)\^^^j.разрабатывается на основе четырех показателей, определенных в первойглаве (0.1) - (0.4) в виде стохастического дифференциальногоуравнения:cif,=frcriV,,C,,S,,D,)dW,, (0.13)где W = (W, )о<1^т " стандартный винеровский процесс, a{V(,C,,S,,Df)определяет функциональную зависимость между показателями.В данной работе респираторно-газовый индекс рассматривается ввиде следующего линейного приближения:i ) l (0.14)14где or, р, у, /л — константы, для нахождения которых разработанасоответствующая программа на Borland C++ Builder 6.0.Предполагается, что индивид принадлежит группе здоровыхиндивидов, еслигде константа г выбирается экспериментально, а'->/у кi^k->'^k^^k))расстояние от значения респираторно-газовогоиндекса проверяемого индивида до среднего значения индекса по группездоровых, которое определяется следующим образом:В параграфе 4.2 подтверждается предположение о возможностиприменения разработанного респираторно-газового индекса (0.14) длявыявления ранних функциональных нарущений пульмо-кардиальнойсистемы при малом стаже табакокурения, когда классические методыфункциональной диагностики малоинформативны, а значительныеотклонения в состоянии исследуемых систем практически отсутствуют.Предполагается, что индивидуум принадлежит группе риска, еслигде константа г^'" выбирается экспериментально, а— расстояние от значения респираторногазового индекса проверяемого индивида до среднего значения индексапо группе курящих (/*"*), которое определяется следующим образом:в выводах и заключении перечислены основные результатыдиссертационной работы, подчеркнута их новизна и значимость.15в Приложении 1 приводятся графики эмпирических и модельныхфункций распределения для построенных процессов пульмокардиальнои системы, а также отдельные моменты компьютернойпрограммы, реализующей модель и построение оценок параметров длямеханизма пульмо-кардиальнои системы.В Приложении 2 приведены фрагменты программ, реализующихнахождение оценок неизвестных параметров модели, представленных впараграфе 2.1 для процесса насыщения гемоглобина кислородом.В Приложении 3 представлены фрагменты программ,реализующих вычисление оценки момента разладки в наблюдаемомпроцессе и вероятности наступления разладки в ненаблюдаемомпроцессе для процессов пульмо-кардиальнои системы.В Приложении 4 приведены таблицы и графики анализаэкспериментальных данных пульмо-кардиальнои системы.Автор нриносит глубокую благодарность своему научномуруководителю профессору А.А. Бутову за внимание, проявленное кработе.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Рудкевич, Марина Владимировна

Выводы и заключение

В диссертационной работе исследовались математические и имитационные модели пульмо-кардиальной системы в семимартингальных терминах и методы их анализа на основе частичной информации о состоянии данной системы. Также исследовалась адекватность представленных моделей реальным медицинским данным. Доказана состоятельность оценок частичного правдоподобия. Построен прогноз для наступления момента разладки в частично-наблюдаемой схеме.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Рудкевич, Марина Владимировна, 2005 год

1. Александров О.В., Воробьева З.В. Хроническая легочная недостаточность // Российский медицинский журнал — 1996 — №3- с . 5-11.

2. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер - М.: Наука - 1977.

3. Бримкулов Н.Н., Винников Д. В. Особенности табачной зависимости у нациентов с хронической обструктивнойболезнью легких // Пульмонология - 2003 - № 3 - с. 20-24.

4. Бутов А.А. О моменте пересечения границы процессом в простой задаче о разладке // Обозрение прикладной и промышленнойматематики - том 8 - вып.2 - М.:ТВП - 2001 - с. 751.

5. Бутов А.А. Теорема для оценок вероятностей пересечения границы простым монотонным дифференцируемым процессом //Учёные записки УлГУ: Фундаментальные проблемы математикии механики: Сб. статей 10 (1) — Ульяновск: УлГУ — 2001 — с. 21-25.

6. Бутов А.А., Арбеев К.Г., Яшин А.И. К вопросу о применении оценок вероятностей пересечения границ случайнымипроцессами в моделях страхования // Препринт института им. М.Планка — Росток — 2001 - 19с.

7. Валимухаметова Д.А., Новоженов В.Г., Хамитов Р.Ф., Копылов 81A.H. Сергеев В.A. Математическая модель прогноза теченияострых пневмоний // Пульмонология - 1997.

8. Вальд А. Последовательный анализ, пер. с английского.- М.: Мир - 1960.

9. Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Главный редактор Прохоров Ю.В. - М.: Большая Российскаяэнциклопедия— 1999.

10. Винер Н. Кибернетика или управление и связь в животном и машине. - М.: Советское радио - 1958.

11. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. - М.: Наука - 1977.

12. Гноевых В.В. Легочная недостаточность и длительная кислородотерапия. // Методические рекомендации. - Ульяновск-1999.-15 с.

13. Деллашери К. Емкости и случайные процессы. - М.: Мир - 1975.

14. Дильман В.Н. Четыре модели медицины. Л.: «Медицина» - 1987.

15. Дынкин Е.Б., Юшкевич А.А. Управляемые марковские процессы и их приложения. - М.: Паука - 1975.

16. Жакод Ж., Ширяев А.П. Предельные теоремы для случайных процессов - т. 1 - 2. - М.: Физматлит - 1994.

17. Журавская П.С., Шакирова О.В. Математические методы обработки информации в пульмонологии // Терапевтическийархив - 2004 - № 3 - с. 80-83.82

18. Зорин М.В., Рудкевич М.В. Оценка момента разладки частично- наблюдаемого процесса. // Обозрение прикладной ипромышленной математики - т. 12 - вып. 2 - М.: ОПиПМ - 2005- с . 371-372.

19. Зуев СМ. Статистическое оценивание параметров динамики процесса функционального восстановления. В кн.«Математическое моделирование в иммунологии и медицине»гл. ред. Марчук Г.И. - Н.: Наука - 1982 - с. 93-99.

20. Ивчик Т. В., Кокосов А. Н., Разоренов Г. И., Разоренова Т. С, Яковлева Н. Г. Прогнозирование развития обструктивногосиндрома у больных хроническим бронхитом. // www.medlit.ru

21. Калманова Е.Н., Айсанов З.Р. Исследование респираторной функции и функциональный диагноз в пульмонологии. //Российский медицинский журнал — 2000 — том 8 — К^И.

22. Козинец Г.И. Физиологические системы организма человека - основные показатели. - М.: «Триада-Х» - 2000 - 336 с.

23. Крылов Н.В. Введение в стохастическое исчисление. - Итоги науки и техники - серия Современные проблемы математики -т.45 - ВИНИТИ- 1989 - с. 9-42.

24. Крылов Н.В. Управляемые процессы диффузионного типа. — М.: Наука-1977.

25. Кулинич Г.Л. Об оценке параметра сноса стохастического диффузионного уравнения. // Теория вероятности и ееприменение - 1975 -т. 20 - в. 2 - с. 393-397.

26. Кутоянц Ю.А. Оценивание параметров случайных процессов. — Ереван-1980.

27. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. - М.: Наука-1974.83

28. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Теория мартингалов.- М.: Наука - 1986.

30. Марчук Г.И,, Белых Л.Н. Математические модели в иммунологии и медицине // Сб. статей 1982 - 1985 гг. - 1986. -310 с.

31. Николаев М.Л. Задача о «сбое» стохастической последовательности. // Обозрение прикладной и промышленнойматематики - том 9 - вьш.-1 - М.: ТВП - 2002 - с. 128.

32. Николаев М.Л. Об оптимальной многократной остановке марковских последовательностей // Теория вероятностей и ееприменение - том 43 - вып. 2 - М.: ТВП - 1998 - с. 374

33. Николаев М.Л. Оптимальные нравила многократной остановки // Обозрение прикладной и промышленной математики - том 5 -вып. 2 - М.: ТВП - 1998 - с. 309-348.

34. Новиков А.А. Мартингальный подход в задаче о времени первого пересечения нелинейных границ. // Тр. Матем. ин-та АНСССР- Т.158-1981-с. 130-152.

35. Петунии Ю.И. Приложение теории случайных процессов в биологии и медицине — М. 1981.

36. Пресман Э.Л., Сонин И.М. Последовательное управление по неполным данным - М.: Наука - 1982.

37. Прохоров Ю.В. Теория вероятностей и ее применение - 1956 - Т.1.-В.2-С. 177-238.84

38. Роббинс Г., Сигмунд Д., Чао И. Теория оптимальных правил остановки - М.: Наука - 1977.

39. Романюха А.А. Сопоставление математической модели инфекционного заболевания и клинических данных. В кн.«Математическое моделирование в иммунологии и медицине»гл. ред. Марчук Г.И. - Н.: Наука - 1982 - с. 27-32.

40. Романюха А.А., Руднев Г. Вариационный принцип в исследовании противоинфекционного иммунитета на примерепневмонии // Математическое моделирование — том 13 - j^ 2 8 -2001.-с. 65-84.

41. Рудкевич М.В. Модель расчета маркера ранних функциональных нарушений бронхо-легочной системы. // Ученые записки УлГУ.Серия «Фундаментальные проблемы математики и механики» -вып. 1(14)-2004-с. 143-147.

42. Рудкевич М.В. Модель расчета функционального показателя вспомогательной диагностики хронической обструктивнойболезни легких. // Обозрение прикладной и промышленнойматематики - т. 11 - вып. 3 - М.: ОПиПМ - 2004 - с. 915.

43. Рудкевич М.В. Об оценках частичного правдоподобия в линейной схеме. // Обозрение прикладной и промышленнойматематики - т. 11 - вып. 2 - М.: ОНиПМ - 2004 - с. 395 - 396.

44. Рудкевич М.В. Об оценке момента пересечения границы в частично-наблюдаемой схеме. // Обозрение прикладной ипромышленной математики - т. 12 - вып. 2 - М.: ОПиПМ - 2005- с.499-500.

45. Руднев Г., Романюха А.А. Математическое моделирование пневмонии. Анализ данных и идентификация параметров //Пульмонология- 1997.

46. Савченко В.М., Солдатченко С., Ярош A.M., Герасимович О.И., Коротков О.Э., Семикина Е.А. Математическоемоделирование патологических изменений у больныххроническими неспецифическими заболеваниями легкихпараметров // Пульмонология — 1997.

47. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. - М.: Паука.Физматлит - 1997 - 320 с.

48. Сиротко И.И., Мурашов Б.Ф. Дифференциальная диагностика острой пневмонии на основе математического моделированияпараметров // Пульмонология — 1997.

49. Солдатченко С., Ярош A.M., Савченко В.М. Математические модели в пульонологии // Пульмонология - 1997.

50. Тараскин А.Ф. Пекоторые предельные теоремы для стохастических интегралов. - Сб. "Теория случайных процессов"- Киев: Паукова думка - 1973 - вып. 1 - стр. 119-133.

51. Тараскин А.Ф. Об асимптотической нормальности 86стохастических интегралов и оценках коэффициентов цереносадиффузионного процесса. - Сб. "Математическая физика" -Киев: Наукова думка - 1970 - вып. 8 - стр. 149-163.

52. Уэст Дж. Физиология дыхания. Основы. - М.: Мир. - 1988. - 200 с.

53. Фурсова П.В., Левич А.П., Алексеев В.Л. Экстремальные принципы в математической биологии // Успехи современнойбиологии -2003 - том 123 - № 2 - с. 115-137.

54. Ширяев А.Н. Вероятность - М.: Наука - 1989.

55. Ширяев А.Н. Некоторые точные формулы в задаче о разладке. // Теория вероятностей и ее применение — М.: ТВН — т. 10 — в. 2 -1965-с. 380-385.

56. Ширяев А.Н. Об оптимальных методах в задачах скорейшего обнаружения. // Теория вероятностей и ее применение. - М.: ТВП- т. 8 - в . 1-1963-с. 26-51.

57. Ширяев А.Н. Статистический последовательный анализ. - М.: Наука-1976-272 с.

58. Щиров А.Н. Модель сердечно-сосудистой системы человека // Биосистемы в экстремальных условиях: под ред. Шакина В.В. —1996-ВЦРАН-с. 57-71.

59. Яшин А.И. Теоретические и прикладные задачи оценивания скачкообразных процессов // Нрепринт. М.: Институт проблемуправления- 1978.

60. Afanasiev V.N., Kolmanovskii V.B., Nosov V.R. Mathematical Theory of Control Systems Design - Dordrecht: Kluwer - 1996.

61. Gnoevykh V., Butov A., Rudkevich M., Gondareva L., Sychev M., Shakmeeva V. New markers of early functional disorders in healthysmokers. // European Respiratory Journal - V 24 - Suppl. 48 - Sept.872004-s. 249-250.

62. Gnoevykh V. The "Gas-Respiratory" Index and chronic obstructive pulmonary disease // European Respiratory Journal - 2003.

63. Kahle W., Wendt H. Statistical analysis of damage processes // Recent Advances in reliability theory - statistics for industry andtechnology - 2000 - pp. 199-212.

64. Krylov N.V. Introduction to the theory of diffusion processes - USA: American Mathematical Society- 1995.

65. Moller CM. The distribution of first entry time with applications to ruin probabilities // Working Paper - 1994 - N2 122.

66. Naujokat E., Kiencke U. Neuronal and hormonal cardiac control processes in a model of the human circulatory system // Journal of theInternational Society for Bioelectromagnetism - 2000 - 2 (2) - pp.57-62.

67. Peskir G, Shiryaev A.N. On the Brownian first-passage time over a one-sided stochastic boundary // Theory Probability And Application- 1997 - № 42(3) - pp. 591-602.

68. Swan G.W. Application of Control Theory in Medicine. - N.Y.: Dekker-1984.

69. Whitmore G.A. Estimating degradation by a Wiener diffusion process subject to measurement error // Lifetime Data Analysis - 1995 - JV» 1- p p . 307-319.

71. Whitmore G.A., Shenkelberg F. Modeling accelerated Estimating degradation data using Wiener diffusion with a time scaletransformation // Lifetime Data Analysis -1997 -№ 3 -pp. 1-19.

72. Wiener N. Differential Spaces // J. Math. Phus. Math. Inst. Tech. - 1923-vol. 2 - p p . 131-174.89