Степенные ряды с обобщенными условиями Харди-Калуца тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Железняк Александр Владимирович

• Железняк Александр Владимирович
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Железняк Александр Владимирович

1.3 Доказательство теоремы

1.4 Достаточные условия отрицательности коэффициентов обратного формального степенного ряда двух переменных

1.5 Примеры

1.6 Общее условие Харди-Калуца

1.7 Примеры

2 Степенные ряды с условием логарифмической выпуклости коэффициентов начиная с некоторого места

2.1 Введение

2.2 Основные определения и формулировки

2.3 Подготовительные леммы

2.4 Доказательство теоремы

2.5 Случай нескольких переменных: Основные определения и формулировки

2.6 Случай нескольких переменных: Подготовительные леммы

2.7 Случай нескольких переменных: Доказательство теоремы

2.8 Случай нескольких переменных: доказательство лемм

3 Одно свойство произведения Адамара специальных степенных

рядов одной и нескольких переменных с положительными ко-

эффициентами

3.1 Введение

3.2 Основные определения и формулировки

3.3 Связь с интерполяционной задачей Неванлинны-Пика

3.4 Доказательство основных результатов

3.5 Многомерный случай

3.6 Многомерный случай. Доказательство теоремы

3.7 Примеры

3.8 Приложения к задачам ТФКП

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Степенные ряды с обобщенными условиями Харди-Калуца»

Введение

В классичесой интерполяционной задаче Неванлинны-Пика для данных точек х\,х2,... ,хп € Ю и значений гш1,гш2,... ,'Шп € Ю требуется найти голоморфную функцию ф € Нтакую, что

ф(Хк) = П)к

при всех к = 1,..., п, где Ю = {г € С, |г| < 1} обозначает единичный шар в С, при этом норма ф

||ф|| = впр1ф(г)| — 1, г € Ю.

Эта задача впервые была решена Пиком в 1916 году [1], он показал, что эта задача разрешима тогда и только тогда, когда матрица А = (1—Хкщ )г<к,1<п нестрого положительно определена, более того, он доказал, что если опреде-

А

де конечного произведения Бляшке. В 1929 году Р. Неванлинна [2], [3] рассмотрел эту задачу независимо от Пика и дал параметрическое описание всех решений в случае строгой положительной определенности матрицы А. Тем самым, задача Неванлинны-Пика разрешима тогда и только тогда, когда матрица А = (-щ V к1<п нестрого положительно определена, то есть, матрица

А = ((1 — /шкщ)к(хк, х/))1—к,1—п нестрого положительно определена,

где к(х,у) = у——у - воспроизводящее ^дао пространства Хардп Н2

В работах Аглера и МакКарти [4], [5] рассматривается общая задача НеванН

жестве X такое, что функционал вычисления значения в точке непрерывен, то есть Н пространство с воспроизводящим ядром ку таким, что

(/(г ),ку )н = / (у).

Рассмотрим также ядро следующего вида

к(у,х) = (кх,ку) = кх(у).

Для пространства Н определим алгебру мультипликаторов:

М(Н) = (ф|д е Н ^ фд е Н).

С мультипликатором ф связан ограниченный оператор умножения, действующий на пространстве Н, Мф(д) = фд,д е Н. Положим ||ф||м(н) = ||Мф||.

Для данных х\,х2,... ,хп е Х,Щ\,Щ2,... ,щп е © мы ищем мультипликатор ф пространства Н такой, что ф(хк) = Щк) к = 1, 2,...,пи ||ф|| < 1. Известно, что условие положительной определенности матрицы

А = ((1 - 'шкЩ)к(хк, хг))х<к, 1<п,

ф

гать линейную независимость кх и ку при х = у. Пусть теперь £ - натуральное число, определим Щ гак Щ = Н 0 Н 0 — 0 Н - ортогональная сумма £ экземпляров пространств Н.

/м

Ht : F =

f2

fk е H, ||F||Ht = \lEl=i ||fkII2.

ft

Пусть tus — два натуральных числа. Определим алгебру мультипликаторов M(Ht, Hs) = (R = f )а«|F е Ht ^ RF е Hs).

Мультипликатор R порождает оператор умножения Mr в L(Ht, Hs), а множество L(Ht, Hs) - множество ограниченных линейных операторов из Ht в Hs. Положим теперь ||R||M(Ht,Hs) = ||MR||. Пусть Ms*t обозначает множество матриц размером s * t. Верпа следующая теорема:

Теорема. Пусть H- гильбертово пространство функций на множестве X, точки x1, х2,... , xn е X и матрицы W1, W2,..., Wn е Ms*t. Необходимым условием для решения интерполяционной задачи

ф(хг) = Wi

с мультипликатором ф с норм ой ||ф|| < 1 является неотрицательность матрицы Пика:

[(Ies - WiWjk)k(xi,Xj)],

где k(xi,xj) - ядро H. Иными словами для любых векторов vi, v2, • • • , vn G Cs верно соотношение:

N

Y ((ic- - ,Vi)k(Xi,Xj) > 0.

Следующие два определения, введенные Мак-Каллахом [6], помогут определить полное свойство Пика.

Определение. Воспроизводящее ядро k та множестве X удовлетворяет Ms*t свойству Пика, если для всяких точек x1, x2,... , xn G X и матриц W1, W2,..., Wn G Ms^t таких, что

(iC- - WiWjk)k(xi, Xj) > 0,

существует мульпликатор ф с норм ой ||ф|| < 1, решающий интерполяционную задачу Неванлинны-Пика ф(х^) = W¿.

kX

ному свойству Пика, если оно удовлетворяет Ms*t свойству Пика при всех натуральных числах t и s.

kX

димым, если k(x, y) = 0.

В работах [6], [7] доказана следующая теорема:

kX

ет полному свойству Пика тогда и только тогда, когда ядро k(x,y) представимо в виде

k(x y) = ¿ ww

k(X,y) = 1 - b(x,y)'

где 6(x) не принимает значение 0, а функция |b(x,y)| < 1 такая, что матрица B = (b(k,i)) = (b(xk,x¡))1<k,i<n положительно определена.

Эта теорема имеет важное практическое применение при рассмотрении пространства l2(wn) функций f (z) аналитических в единичном круге, где функция f (z) = fnzn c нормой

n>0

llf II2 = ^ Wn || fn ||2 <

n>0

Известно [11], [12], что в этом случае, для выполнения полного свойства Пика

wn

формального степенного ряда ^2(wn)( 1)xn справедливы соотношения

Jn >

n> 0

(E(wn)(-1)xn)(-1) = wo - Y bnxn, bn > 0, n > 0.

n>0 n>0

Тем самым, возникает естественный вопрос: для каких рядов ^n>o anxn с положительными коэффициентами an верно, что обратный ряд имеет все неположительные коэффициенты, кроме нулевого. Ответ на этот вопрос можно найти работе Харди [8], где он исследовал свойства суммирования рядов методом Вороного. Харди в этой работе ссылается на работу Сеге [9], а тот в свою очередь приписывает авторство Калуца [10].

Классическая теорема Калуца была сформулирована и доказана в начале 20 века немецким математиком Калуца и использовалась им для изучения структуры и свойств одномерных монотонных последовательностей. Формулировка ее довольно проста и звучит следующим образом:

an

f (x) = ^ an.xn

n

n0

строго положительны и удовлетворяют условию логарифмической выпукло-

сти, а именно

an+ian-i > a<n

при всех натуральных п. Тогда, все коэффициенты обратного ряда

д(х) = (/ (х))-1 = ^ ьпхп

n>0

b0

В 2011 году финские математики Вести и Вуоринен совместно с венгерским Батишем [14] показали, что если коэффициенты ап и сп двух формальных степенных рядов /1 (х) = ^п>0 апхп и /2(х) = ^п>0 спхп удовлетворяют условию

логарифмической выпуклости, то и у ряда Г(х) = ^п>0 апопхп7 коэффициенты которого получены как произведение коэффициентов ап и еп7 обратный ряд будет иметь все коэффициенты неположительными, за исключением нулевого.

Диссертация посвящена расширению и обобщению условия Харди-Калуца и эти результаты могут быть востребованы при решении задач Неванлинны-Пика.

Обзор первой главы.

Теорема Калуца, к сожалению, дает только достаточное условие на коэффициенты ряда /, но не является необходимым. Контрпримером к ней может являться ряд:

^(х) = Гпхп = 1 + х + 2х2 + 3х3 + 5х4 +----,

п>0

где Гп обозначает п—ное число Фибоначчи, обратный ему ряд Н2(х) будет иметь вид

Н2(х) = 1 — х — х .

Легко видеть, что для коэффициентов ряда ^(х) условие логарифмической выпуклости не выполнено. Цель получить новые более широкие достаточные условия на коэффициенты ряда ] и продолжить условие Харди-Калуца на случай нескольких переменных.

Вспомогательные обозначения и определения. Пусть в = (в^ ..., вп)

- мультииндекс. Обозначим через е, = (0,... , 0,1,0,..., 0) - мультииндекс, состоящий из нулей и одной единицы на г—м месте, а через О = (0,..., 0) и Е = (1,..., 1)— мультииндексы, состоящие целиком из нулей и единиц соответственно. Для удобства и краткости будем использовать обозначения х/ = х11 х22 ... хп и а3 = а31^2,..,8п- Также будет писать, что в > I и в > если при всех г = 1, 2,... , п выполнено в, > ¿¿и в, > соответственно. Обозначим через

п

1|в|| = в,;— порядок мультииндекса в.

¿=1

Определение 1.1. Будем говорить, что тройка мультииндексов (в,£,и) В-выпуклая если выполнено неравенство:

ав+г+иав > Bas+tas+м.

Определение 1.2. Будем говорить, что последовательность (ак)0 удовлетворяет условию Харди-т по отношению к набору чиселЬ0, Ь\,Ь2,..., Ьт—1 если при всех натуральных числах к вы,полнено соотношение:

т—1 т—1

Ъгак+т-г > ак ^ Ьак+ т—1— г. г=0 г=0

Основной результат. Получено новое условие, аналогичное теореме Килу ни для рядов нескольких переменных.

Теорема 1.1. Пусть коэффициенты а 3 формального степенно го рядаи переменных

/(х) /(х1, Х2, ..., Хп) ^ ^ азьз2,...,з„Х1 Х2 ^ ^ азХ ,

зь в2,..., з„>0 з>0

а

ям:

a) тройки (в, вг, вг) 1 -выпуклы, 1 < г < и;

b) тройки (в, вг, в^) 1-выпуклы при, ■вi■вj > 0 г =

c) тройки (в,вi,вj) (и — 1)/(и — I — 1)-выпуклы еели и > 1, вгвj = 0, где I -число нулей в последовательности

тогда все коэффициенты обратного ряда

д(х) = д(х1,х2,...,Хп)= Ьз 1,з2,...,зпХ1 Х2 ...Хп ^ ^ЬзХ ,

зь32,..., з„>0 з>0

неположительны за исключением Ь0.

При и = 1 теорема 1.1 есть теорема Калуца. На случай формальных степенных рядов двух переменных получено новое достаточное условие:

ат,п

ременных

/(х) = /(Х1,Х2) = ^ ат,пХтХп = ^ азХ3,

т,п>0 з>0

ат,п

виям:

a) тройка ((0,0),в1,в2) 2-выпукла;

b) тройки (твг,вг,вг) 1-выпуклы,т > 0 1 < г < 2;

с) тройки (пе^, е^, (т + 1)е;) 1-выпуклы при, т2 + п2 > 0 г = й) для всех пар мультииндексов (т,п), таких что т2 + п2 > 0, и для всех пар мультииндексов (к,1) таких, что к2 + I2 > 0 и (к,1) < (т,п) выполнено соотношение:

ат+1—к,п+1—1 ат—к,п+1—1 ат+1—к,п—1 + ат—к,п—1^ 0

ат+1,п+1 ат,п+1 ат+1,п ат

тогда все коэффициенты обратного ряда

д(х) = д(х1,х2) = ьт,пхтхп = ^ Ь3х3,

т,п>0 в>О

неположительны за исключением Ь00.

Приводятся примеры рядов, удовлетворяющих условиям теорем 1.1 и 1.2, более того получена оценка снизу на коэффициенты формального стпеннного ряда, удовлетворяюще гот условиям теоремы 1.1, с точностью до нормировки нулевого коэффициента.

Следующая теорема описывает целый класс условий Харди-т и дает достаточные условия для неположительности коэффициентов обратного ряда. Теорема 1.3. Пусть формальный степенной ряд одной переменной /(х) = акхк с положительными коэфиициентами ак и коэффициенты Ьк обратного ряда, д(х) = ^^=0 Ькхк удовлетворяет следующим, условиям:

a) Ь0 > 0 Ь1, ...,Ьт—1 < 0;

b) последовательность (ак) удовлетворяет условию Харди-т по отношению к числам Ь0,Ь1,..., Ьт—1;

д

Ь0

Теорема 1.3 , которая при т = 1 вырождается в теорему Калуца, как и теорема Калуца, является достаточной, но не является необходимой при любом т.

ремы 1.3 при всех натуральных т > 1, для которых, при этом не будет верно условие логарифмической выпуклости коэффициентов. Кроме того, приведен пример ряда, который показывает, что теорема 1.3 не является достаточной.

Обзор второй главы. Условие логарифмической выпуклости коэффициентов Харди-Калуца может выполняться необязательно для всех элементов последовательности ап, а начиная с некоторого места в этой заданной последовательности чисел ап, например, при п > п0. Возникает вопрос, существует ли какое-нибудь число ао, чтобы можно было гарантировать неотрицательность коэффициентов обратного ряда? Тем самым все коэффициенты ряда, кроме

ао

ратного ряда все коэффициенты кроме нулевого были неположительны. Определение 2.1. Пусть {ап} — последовательность положительных чисел, К — натуральное число. Говорят, что последовательность удовлетворяет условию К-Харди, если при всех натуральных п > К вы,полнено условие:

ап+2 ^ ап+1 ап+1 ап

Основной результат:

то

Теорема 2.1. Положим /(х) = а0 + ^ апхп- формальный степенной ряд.

то

п

п

п=1

то

рассмотрим д(х) = ущ = ^ Ьпхп формальный степенной ряд обратный к

п=0

/(х). Тогда, для любой последовательности чисел а1,а2,... , , удовлетворяю-

а0

числа Ьп < 0 при, всех натура,л,ьных п.

Так же получены результаты, аналогичные теореме 2.1, для формальных степенных рядов нескольких переменных.

Обзор третьей главы. Теорема Калуца, к сожалению, дает только достаточное условие на коэффициенты ряда / и не дает необходимые. Целью настоящей главы будет дать описание множества рядов (для случая одной и нескольких переменных), у которых все коэффициенты положительны, а у обратного ряда все коэффициенты, кроме нулевого будут неположительны.

Вспомогательные обозначения и определения. Пусть й = (й1, ..., вп) - мультииндекс. Обозначим через е = (0,... , 0,1,0,..., 0) - мультииндекс, состоящий из нулей и одной единицы на г—м месте, а через О = (0,..., 0) и Е = (1,..., 1)— мультииндексы, состоящий из нулей и единиц соответственно. Для удобства и краткости будем использовать обозначения х — х1 х^ ... х п и

и

as = &s1;s2v„;sn. Также будет писать, чтоs > t и s > t, если при всехi = 1, 2,... ,n

n

выполнено Si > ti и Si > ti соответственно. Обозначим через ||s|| = ^ si — поря-

i=i

док мультииндекса s. Будем говорить, что s >> t если выполнены два условия s > t и s = t. Кроме того, s >< t, если коэффициенты s и t несравнимы. Произведением Адамара двух формальных степенных рядов является поэлементное произведение коэффициентов степенных рядов:

ж ж ж

^ anx ) ^ СпХ ) — ^ ^ ancnx .

п=0 n=0 n=0

Историческая справка. Теорема Калуца, доказанная в 1920-х годах дает только достаточное условие на коэффициенты ряда f - это условие логарифмической выпуклости коэффициентов. Впоследствии она находила применение в работах Сеге и Харди для изучения различных вопросов связанных со степенными рядами. Во второй половине 20 века теорема Калуца находит применение в вопросе разрешимости задачи Неванлинны-Пика и появляется в работах Аг-лера [4], Шиморина [11], Болла, Винникова и Трента [12], [13] и др. В 2011 году Вести, Вуоринен и Батиш [14] описали свойства рядов обладающих условием логарифмической выпуклости коэффициентов, охарактеризовав множество рядов обладающих свойством логарфмической выпуклости коэффициентов.

Основной результат. Получено новое условие, аналогичное теореме Бати-ша-Вести-Вуоринена, для произвольных формальных степенных рядов одной переменной.

то то

Теорема 3.1. Пусть /1(х) = а0 + ^ апхп и ¡2(х) = с0 + ^ спхп - два,

п=1 п=1

формальных степенных ряда с положительными коэффициентами, и пусть

то то

д1(х) = Ь0 — ^ Ьпхп и д2(х) = — ^ ¿пхп - ряды обратные /1 и ¡2 соответ-

п= 1 п= 1

ственно, причем, коэффициенты Ьп и ¿п неотрицательны при всех п. Пусть

то

ряд Г(х) = /1(х) к /2(х), С(х) = 10 — ^ 1пхп - ряд обратныи Г. Тогда, все

п= 1

коэффициенты 1п ряда С будут неотрицательны.

Ряды, удовлетворяющие условие логарфмической выпуклости коэффициентов, в частности теорема Батиша-Вести-Вуоринена является частным случаем рассматриваемой конструкции. Кроме того, получен аналог теоремы 3.1 для рядов нескольких переменных.

то то

Теорема 3.2. Пусть /1(х) = аО + ^ ааха и /2(х) = сО + ^ саха - два обор-

а>>О а>>О

мальных степенных ряда от п переменных с положительными коэффициен-

тото

тами, и пусть д1(х) = ЬО — ^ Ъаха и д2(х) = (1О — ^ 1аха - рлдм обратные

а>>О а>>О

/1 и /2 соответственно, причем коэффициенты Ьа и (1а неотрицательны при,

то

всех в. Пусть ао = Ьо = со = 1о = 1. Пусть ряд Г(х) = аОсО + ^ (ааса)ха,

а>> о

то

С(х) = 1о — ^ 1аха - ряд обратныи, Г. Тогда все коэффициенты 1а ряда С

а>> О

будут неотрицательны.

Теорема 3.1 имеет важное приложение в теории гильбертовых пространств фунцкий с воспроизводящими ядрами Неванлинны-Пика. Одним из важных примеров является простанство I2(,шп) функций /(г) аналитических в единичном круге, /(г) = ^ /пгп с нормой

п>0

II/II2 = 5^ ^п||/п||2 < то,

п>0

при этом числа и)п строго положительны и для формального степенного ряда '^2(,шп)(—1^хп справедливы соотношения

п>0

(^(™п){—1)хп)(—1) = Ы0 — ^ Ьпхп, Ьп > 0,п> 0. п> 0 п> 0

В обозначениях теоремы 3.1 -тп = а^п 1). Из теоремы 3.1 следует полугрупповое свойство пространств: если пространства 12(/шп) и 12(уп) обладают ядрами Неванлинны-Пика, то и пространство 12(гшпуп) обладает тем же свойством.

Научная новизна: все выносимые на защиту результаты являются новыми.

Практическая значимость: работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы при дальнейшем изучении проблем Неванлинны-Пика в одномерной и, возможно, многомерной формулировке.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Получены новые, более широкие, достаточные условия, гарантирующие неположительность коэффициентов обратного степенного ряда одной переменной. Получены условия, гарантирующие неположительность коэффициентов обратного ряда нескольких переменных.

2. Доказано, что при достаточном увеличении нулевого коэффициента ряда для рядов, у которых условие логарифмической выпуклости коэффициентов выполняется при всех натуральных n, больших некоторого натурального щ, можно подобрать такой нулевой коэффициент а0, чтобы ряд обратный данному имел все неположительные коэффициенты, кроме нулевого.

3. Получено новое мультипликативное свойство рядов, обобщающее результаты на случай одной и нескольких переменных.

4. Получено полугрупповое свойство пространств: если пространства l2(wn) и l2(vn) обладают ядрами Неваплиппы-Пика, то и пространство l2(wnvn) обладает тем же свойством.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгими математическими доказательствами.

Апробация работы. Результаты по теме диссертации докладывались автором на семинарах кафедры Алгоритмической Математики СПб ТЭТУ, семинаре по теории функций и операторов, 18th Summer St. Petersburg Meeting in Mathematical Analysis.

Личный вклад. Все результаты диссертационной работы получены автором самостоятельно.

Публикации. Результаты по теме диссертации изложены в четырех статьях [15], [16], [17], [18] в рецензируемых научных журналах. Все публикации входят в реферативные базы данных Web of Science и Scopus, а также в список рекомендованный ВАК.

Благодарности. Автор искренне благодарит своего научного руководите-

ля H.A. Широкова за руководство работой, полезные обсуждения и ценные советы. Автор признателен И.В. Виденскому и A.M. Коточигову за полезные обсуждения и ценные советы.

Объём и структура работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 81 страницу. Список литературы содержит 18 наименований.

Глава 1.

Продолжение условия Харди-Калуца на степенные ряды одной и нескольких переменных.

1.1 Введение.

Цель настоящей главы — обобщить результаты, полученные Калуца и используемые Харди для рядов одной переменной, на случай нескольких переменных, получив тем самым некоторые достаточные условия на коэффициенты, работающие для формальных степенных рядов. Также получены некоторые усиления условия Харди-Калуца для случая рядов одной переменной. Во втором параграфе вводятся вспомогательные обозначения и определения, а также дается формулировка основного результата на случай формальных степенных рядов нескольких переменных (теорема 1 §2). В третьем параграфе приводится доказательство результата параграфа 2. В четвертом параграфе формулируется и доказывается теорема 2, касающаяся рядов двух переменных. Пятый параграф содержит примеры рядов с положительными коэффициентами, чьи обратные ряды имеют все отрицательные коэффициенты, кроме нулевого. Шестой параграф посвящен разбору случая формальных степенных рядов одной переменной. В нем дается определение условия Харди-т и формулируются и доказываются результаты (теорема 3 §6), усиливающие и обобщающие условие Харди на случай рядов одной переменной. В седьмом параграфе показывается, что условия Харди-т не являются необходимыми и приводятся примеры рядов, показывающие связь классического условия Харди-Калуца с условием Харди-т,, а также различие между условиями Харди-т,, при различных т.

1.2 Достаточные условия отрицательности коэффициентов обратного формального степенного ряда нескольких переменных.

Для того чтобы сформулировать основной результат нам понадобятся некоторые вспомогательные обозначения. Пусть в = (в1,..., вп) - мультииндекс. Обозначим через в{ = (0,..., 0,1,0,..., 0) - мультииндекс, состоящий из нулей и одной единицы на г—м месте, а через О = (0,..., 0) и Е = (1,..., 1) — мультииндексы, состоящий из нулей и единиц соответственно. Для удобства и краткости будем использовать обозначения х — х1 х2 ... хп и а« — а§1 «2 «и' Также будет писать, что в > I и в > если при всех г = 1, 2,... ,п выполнено

п

в-1 > ¿¿и в-1 > ¿-1 соответственно. Обозначи м через ||в|| = ^ в— порядок муль-

%=1

в

Определение 1.1 Будем говорить, что тройка мультииндексов (в, ¿,и) В-выпуклая если выполнено неравенство:

ав+г+иав > Вав+гав+и.

Таким образом условие теоремы Харди-Калуца означает 1-выпуклость любой (в, 1, 1)

Теорема 1.1. Пусть коэффициенты а « формального степенно го ряда п переменных

I(х) = I(x1,x2, ...,хп) = а«1,в2,...,«пх1 х2 ...хгг } ^ аах , (1-1)

«1, «2,..., йи >0 й>О

а

ям:

a) тройки (в, в1, в,}) 1-выпуклы, 1 < г < п;

b) тройки (в, в}, в^) 1-выпуклы при, вiвj > 0 г =

c) тройки (в,вi,вj) (п — 1)/(п — I — 1 )-выпуклы еели п > 1, вiвj = 0, где I — число нулей в последовательности {вк}к=-1,к^,

тогда все коэффициенты обратного ряда

9(х) = 9(х\,х2 ,...,Хп)= ^ х?1 х? = ^

неположительны за исключением ЬО.

Заметим, что при п = 1 мы получаем в точности теорему Харди-Калуца.

1.3 Доказательство теоремы 1.1.

Доказательство теоремы 1.1. Доказательство будем проводить индукцией по п. Баз а (п = 1) нам известна. Переход от п — 1 к п:

Мы хотим доказать для произвольного мультииндекса в = О неравенство Ь3 < 0. Если в1 = 0 хоть для какого-нибудь индекса г, то, полагая Х{ = 0, мы получим формальный степенной ряд (п — 1)-й переменной. Используя индукционное предположение, получаем нужное нам неравенство Ь3 < 0. Поэтому, не умаляя общности, мы можем считать, что в > О. Докажем, что и в этом случае будет выполнено неравенство Ь3 < 0. Нам достаточно доказать следующее утверждение:

если Ьг < 0 для всех I < в + Е^ = в + Е, то Ь3+Е < 0.

Рассмотрим 1 как произведение рядов (1.1) и (1.2) и приравняем коэффициенты при хи (и = О)

0^ а3Ьи—г.

О <г<и

Положим вначале и = в + Е

^ афз+Е—г = 0, (1.3)

о<г<в+Е

а потом и = в + Е — в{, 1=1,2,...п,

^ агЬз+Е—е— г = 0. (1.4)

О<г<в+Е-а

Домножим тождество (1.3) на число п/а3+Е5 & каждое го тождеств (1.4) на —1/ а3+Е—ег В результате коэффициент при ЬО будет равен п в тождестве (1.3) и

— 1 в каждом из тождеств (1.4). Сложив получившиеся тождества, мы получим линейную комбинацию коэффициентов Ьг (£ < в + Е, ^ = 0), равную нулю. Тем самым, коэффициент при Ьо станет равен 0. Обозначим через е коэффициент при Ьг в полученном тождестве:

n

Ct = n-

as+E—t as+E—t—e.

£

as+E "=1 as+E—e¿

в случае, если в + Е <1 + е коэффнцпент г-е считаем равным 0. Далее, выразим коэффициент Ь5+е через оставшиеся получим:

as+E f atbs+E—t 1 atbs+E—e.¿-t

, as+E / atbs+E—t 1

as+E n — — as+E—e-

t=0,t=s+E,t<s+E s+E i=1 t<s+E-ei,t=s+E-ei s+E e

as+E

Y ctbt.

nao

O t=0,t=s+E,t<s+E

Если мы докажем, что все числа ct неположительны, то bs+E < 0, и теорема 1 будет доказана. Для доказательства неравенств ct < 0 нам понадобится лемма.

Лемма. Пусть s, t и u мультииндсксы. Если выполнены условия теоремы 1.1 , то тройка (s,t,u) 1-выпукла.

Доказательство леммы. Из условий Ь) и с) теоремы 1.1 следует, что тройки (s,ei,ej) 1-выпуклы для любых различных индексов i и j. Вместе с условием а) мы получаем, что все тройки (s,ei,ej-) 1-выпуклы. Пусть t = (t1, ....,tn). Докажем сначала частный случай леммы при u = ei. Из 1-выпуклости троек (s + ei + t — ke1, e1,ei), 1 < k < t1 получаем цепочку неравенств

as+t+e¿ ^ as+t+e¿ — ej ^ as+t+e¿ — 2ei ^ ^ as+t+e¿ — tiei as+t as+t—e1 as+t—2e1 as+t—t1e1

Откуда тройка (s +1 — t1e1,ei,t1 e1) 1-выпукла. Продолжая цепочку неравенств, покажем, что любая тройка (s + t — v, ei,v) (v < t) 1-выпукла. Действительно, из 1-выпуклости троек (s + ei +1 — t1e1 — ke2,e2,ei) 1 < k < t2 получаем цепочку неравенств

as+t+e¿ — t1e1 ^ as+t+e¿—t1e1—e^ ^ as+t+e¿ — t1e1— 2e2 ^ as+t+e¿ — t1e1— t2e2 as+t—t1e1 as+t— t1e1— e2 as+t—t1e1—2e2 as+t—11 e1— t2e2

Действуя таким образом и учитывая выпуклость троек (в + в^ +£ — ^^=1 £jвj — kвj+1, в2,в{), 1 < к < ^1 < т < п — 1, имеем

ав+Ь ав+Ь—Ь1е1 ав+Ь—Ь1 в1— Ь2е2 ав

В частности, тройка (в, в{, £) 1-выпукла при любом г. Тем самым а+1+ег > а+ег

ав+ь ав

при любых мультииндексах в и £ и любом индексе г. Написав аналогичную цепочку неравенств

ав+Ь+и ^ ав+Ь+и—ав+Ь+и—2е1 ^ ^ ав+Ь+и— Ь^ ав+Ь ав+Ь—е1 ав+Ь—2е1 ав+Ь—Ь1е1

получаем, что тройка (в + £ — £1в1,£1 в1,и) 1-выпукла. Продолжая цепочку, имеем, что любая тройка (в + £ — у,у,и) (у < £) 1-выпукла. В частности, тройка (в, £, и). Лемма доказана. О

Осталось доказать, что коэффициент вь < 0. Пусть £ < в + Е. Тогда

С = п-

ав+Е—Ь ав+Е

пп а8—е+Е—Ь

Е

г=1

ав—е,+Е

Е

г=1

ав+Е—Ь О-в—е+Е—Ь

ав+Е

ав—е+Е

Сь <

0. Если неверно, что £ < в + Е, то хотя бы одна из координат мультиндекса в + Е — £ равны нулю. Пусть к число таких координат. Не умаляя общности можно считать, что это первые к координат мультииндекса в + Е — £. То есть, £ > Ек := Ек=1 вг- Следовательно,

Сь = п

ав+Е—Ь ав+Е

Е

i=k+1

ав—е, +Е—Ь ав—ег+Е

Е

i=k+1

п

ав+Е—Ь аз—е+Е—Ь

п — к а5+Е а«—е,+Е

Докажем, что выражение в каждой скобке в последней сумме неположительно. Нам достаточно доказать, что

ав+Е—Ь . п — к ав+Е 7 . .

-<--, к < г < п.

ав+Е—Ь—ег

п аз—е+Е

Используя условие с) получаем, что

ав+Е—Ь ав+Е—Ь—ег

<

пк

ав+Е—Ь+Е1

п — к + 1 а«+Е—Ь—ег+Е1

<

п — к ав+Е—¿+£2 <п — к ав+Е—

п — к + 2 а5+К—¿—е,+£2 п ав+Е—¿—е,+£

Так как £ > Ек, мы можем применить лемму и получить неравенство:

ав+Е—¿+Е ^ ав+Е

ав+Е—¿—е.+Е ав+Е—е. Тем самым мы доказали, что все числа с неположительны. Теорема 1.1 полностью доказана. О

1.4 Достаточные условия отрицательности коэффициентов обратного формального степенного ряда двух переменных.

Полученные в §2 результаты используют понятие В-выпуклости тройки муль-тииндексов ^^^^^^^ этого условия при В > 1 бесконеч-

ное число раз, однако в случае формальных степенных рядов двух переменных полученный в §2 можно видоизменить и усилить, потребовав, чтобы условие В-выпуклости было выполнено только 1 раз при В > 1.

Теорема 1.2. Пусть коэффициенты атп формального степенного ряда 2 переменных

/(х) = /(Х1,Х2)= ^ а^пХ^х^ =^ а3хв, (1.5)

т,п>0 в>0

с положительными коэффициентами, ат,п удовлетворяют следующим условиям:

a) тройка ((0,0),е1,е2) 2-выпукла;

b) тройки (ше{/,е{/ ,е{) 1-выпуклы,ш > 0 1 < £ < 2;

c) тройки (пе^, е^, (ш + 1)е{) 1-выпуклы при ш2 + п2 > 0 £ =

й) для всех пар мультииндексов (ш,п), таких что ш2 + п2 > 0, и для всех пар мультииндексов (к, I) таких, что к2 + I2 > 0 и (к,1) < (ш,п) вы,полнено соотношение:

ат+1—&,п+1 — I ат—&,п+1 — I ат+1—&,п—I + ат—&,п—I ^ о

ат+1,п+1 ат,п+1 ат+1,п аг

тогда все коэффициенты, обратного ряда

д(х) = д(хл,х2) = Ьт,пхТх'п = ^2 Ь«х«

(1.6)

т,п>0 в>О

в> О

неположительны за исключением Ь0,0.

х2 = 0

мы для г = 1, т > 0, получим классическую теорему Харди-Калуца для случая одной переменной, откуда немедленно следует неположительность коэффициентов Ьт,о,т > 0. Аналогично, полагая х1 = 0 и применяя условие Ь) теоремы для г = 2,т > 0, получим неположительность коэффициентов Ьо,п,п > 0. Рассмотрим 1 как произведение рядов (1.5) и (1.6) и приравняем коэффициенты х1 х2 х1 х2

0 = ао,оЬ1,о + а1,оЬо,о 0 = ао,оЬо,1 + ао,1Ьо,о 2/а1,1

па 1/а^0 и третье, умноженное па 1/а0д, получим следующее выражение:

Первая скобка в последнем тождестве будет неотрицательна ввиду условия а) теоремы, а вторая будет отрицательна ввиду отрицательности коэффициентов Ьо,1 и &1,о, следовательно, коэффициент Ь1:1 неположителен. Далее, не умаляя общности, мы можем считать, что в > О, в = О. Докажем, что и в этом случае будет выполнено неравенство Ь« < 0. Нам достаточно доказать следующее утверждение:

0 = ао,оЬ1,1 + а1,оЬо,1 + ао,1Ь1,о + а1,1 Ьо,о

Ь1,1

если Ьь < 0 для всех £ < в + Е,£ = в + Е, то Ь3+Е < 0.

Рассмотрим 1 как произведение рядов (1.5) и (1.6) и приравняем коэффициенты при хи (и = О)

0= £ ОьЪи-г.

О<г<и

Положим вначале и = в + Е

£ аф3+Е- = 0, (1.7)

о<г<в+Е

ПОТОМ и = в + вг, 1=1,2.

и=в

£ афа+е— = о, (1.8)

о<г<8+в,

£ агЪ— = 0. (1.9)

О<г<а

Домножнм тождество (1.7) на число 1 /аа+Е, каждое из тождеств (1.8) па —1/ аа+е^ а тождество (1.9) па 1 /аа. В результате коэффициент при ЬО будет ра-1 —1 получившиеся тождества, мы получим линейную комбинацию коэффициентов Ь (£ < в + Е, Ъ = 0), равную нулю. Обозначим через ( коэффициент при Ьг в полученном тождестве. Далее, выразим коэффициент Ьа+Е через оставшиеся:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Железняк Александр Владимирович, 2022 год

Литература

[1] Pick G. Uber die Beschrankungen analytischer Funktionen, weiche durch vorgegebene Funktionswerte bewirkt werden,

Math. Ann. 77, 1916.

[2] Nevanlinna R. Uber Beschrankte Funktionen, die is gegebenen Punkten vorgeschriben Werte annehmen,

Ann. Acad. Sei. Fenn. Ser. A13, 1919.

[3] Nevanlinna R. Uber Beschrankte Funktionen, Ann. Acad. Sei. Fenn. Ser. A32, 1929.

[4] Agier J., McCarthy J. Pick Interpolation and Hilbert function spaces, Am. Math. Soc. Rhode Island, 2000.

[5] Agier J. Some Interpolation theorems of Nevanlinna-Pick type, Preprint, 1988.

[6] Mc Cullough S. The local de Branges-Rovnyak Construction and complete Nevanlinna-Pick kernels,

Birkhauser verlag Boston, pp. 15-24, 1994.

[7] P. Quiggin Generalization of Pick's theorem of reproducing kernel Hilbert

spaces,

Ph.D. thesis, Lancaster Univercity, 1993.

[8] Харди Г. Расходящиеся ряды,

Москва, Издательство иностранной литературы. 1951.

[9] Szego. G. Bemerkungen zu einer Arbeit von Herrn Fejer über die Legendreschen Polynome,

Mathematische Zeitschrift, Vol. 25, pp. 285-98, 1926.

[10] Kaluza Th. Uber die Koeffizienten reziproker Potenzreihen, Mathematische Zeitschrift, Vol. 28, pp. 161-170, 1928.

[11] Shimorin S. Complete Nevanlinna-Pick property of Dirichlet-type spaces, Journal of Functional Analysis 191, pp. 276-296, 2002.

[12] Ball J.A., Trent Т., Vinnicov V. Inperpolation and commutant lifting for multipliers on reproducing kernels Hilbert spaces,

Operator theory: Advances and applications, Vol. 122, pp. 89-138, Birkhauser verlag Basel, 2001.

[13] Ball J.A., Trent T. Unitary colligations, reproducing kernel Hilbert spaces and Nevanlinna-Pick interpolation in several variables,

Journal of Functional Analysis 197, pp. 1-61, 1998.

[14] Baricz A., Vesti J., Vuorinen M. On Kaluza's sign criterion for reciprocal power series,

Annales Universitate Maria Curie-Sklodowska Lublin-Poland Vol. LXV, NO. 2, pp 1-16, 2011 SECTIO A.

[15] Железняк А.В. Многомерный аналог условия Харди для степенных рядов,

Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1. Математика. Механика. Астрономия, вып. 4, стр. 28-33, 2009.

[16] Железняк А.В. Степенные ряды одной переменной с условием логарифмической выпуклости коэффициентов,

Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, том 7 (65), вып. 1, стр. 28-38, 2020

[17] Железняк А.В. Степенные ряды нескольких переменных с условием логарифмической выпуклости коэффициентов,

Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, том 8 (66), вып. 1, стр. 49-62, 2021.

[18] Железняк А.В. Мультипликативное свойство рядов, используемых в задаче Неванлинны-Пика,

Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, том 9 (67) вып. 1, 2022.