Стационарная система Максвелла в волноводах с несколькими цилиндрическими выходами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат наук Порецкий, Александр Сергеевич

• Порецкий, Александр Сергеевич
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Порецкий, Александр Сергеевич

Оглавление

Введение

1 Спектр операторных пучков

1.1 Краткое содержание главы

1.2 Эллиптическое расширение системы Максвелла. Операторные пучки

1.2.1 Расширенная система Максвелла

1.2.2 Эллиптический и максвелловский операторные пучки

1.2.3 Собственные числа и собственные векторы пучков 21 и Ш

1.3 Жордановы цепочки

1.3.1 Присоединенные векторы

1.3.2 Канонические системы жордановых цепочек

1.4 Специальный выбор жордановых цепочек

1.4.1 Случай А0 ф 0

1.4.2 Случай А0 = 0

2 Матрица рассеяния и принцип излучения для системы Максвелла вне порогов

2.1 Краткое содержание главы

2.2 Матрица рассеяния и иринцип излучения для эллиптической системы Максвелла

в волноводе

2.2.1 Волны

2.2.2 Собственные функции непрерывного спектра. Матрица рассеяния

2.2.3 Естественные условия излучения

2.3 Нерасширенная система Максвелла в волноводе

2.3.1 Разложение собственных пространств эллиптической задачи в прямую сумму максвелловского и градиентных подпространств

2.3.2 Блочная структура матрицы рассеяния

2.3.3 О свойствах излучения в эллиптической задаче с правой частью, подчиненной требованию совместности

2.3.4 Принцип излучения для системы Максвелла

2.4 Статика: к = 0

2.4.1 Волны

2.4.2 Собственные функции непрерывного спектра. Матрица рассеяния

2.4.3 Принцип излучения для эллиптической системы Максвелла

2.4.4 Принцип излучения для оператора Максвелла

3 Поведение матрицы рассеяния к м- S (к) в окрестности порогов

3.1 Краткое содержание главы

3.2 Устойчивый базис волн

3.2.1 Устойчивый базис волн для уравнения Гсльмгольца

3.2.2 Устойчивый базис волн для системы Максвелла

3.2.3 Построение устойчивых волн в других ситуациях

3.3 Расширенная матрица рассеяния 6(7

3.3.1 Расширенное пространство волн, расширенная матрица рассеяния, расширенный принцип излучения

3.3.2 Аналитичность решений и матрицы рассеяния как функций спектрального параметра

3.3.3 Преобразование матрицы рассеяния при замене базиса волн

3.4 Вычисление пределов матрицы к S(k) на пороге

3.4.1 Связь матриц S(k) и S(k) при к > г

3.4.2 Связь матриц S(k) и S(k) при к <т

3.4.3 Пределы S(k) при к т ± 0

3.4.4 Обсуждение результатов

4 Метод приближенного вычисления матрицы рассеяния

4.1 Краткое содержание главы

4.2 Вычисление матрицы рассеяния вне порогов

4.2.1 Определение функционала и формулировка теоремы

4.2.2 Разрешимость задачи в GR

4.2.3 Обоснование метода

4.3 Вычисление матрицы рассеяния в окрестности порога

4.3.1 Метод вычисления матрицы рассеяния в окрестности порога

4.3.2 Обоснование метода

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Стационарная система Максвелла в волноводах с несколькими цилиндрическими выходами»

Введение

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Классическими задачами теории электромагнитных волноводов являются задача рассеяния (дифракции) электромагнитной волны на неоднородностях волновода и задача возбуждения электромагнитного поля заданными зарядами и токами. Среди многочисленных математических работ, посвященных изучению этих задач, выделим два направления. В работах одного направления рассматриваются цилиндрические волноводы с заполняющей средой, не меняющейся вдоль оси волновода, при этом предполагается, что заряды и токи имеют компактный носитель; допускается также некоторые локальные возмущения (в ограниченной области) формы волновода и характеристик среды (см. работы [4-6] и указанную там литературу). Другое направление связано с нахождением приближенных решений задач в двумерных модельных областях при помощи методов Винера-Хопфа и сшивания. Рассматриваются ситуации, где система Максвелла сводится к уравнению Гельмгольца, а волновод распадается на конечное число модельных областей. Обзоры таких методов имеются в монографиях [7-9].

Актуальной проблемой является расширение класса электромагнитных волноводов, допускающих математически строгое исследование, и развитие математической теории рассеяния для таких волноводов, в частности, определение матрицы рассеяния с позиций этой теории, развитие асимптотических методов исследования этой матрицы, разработка и обоснование метода ее приближенного вычисления.

В настоящей работе мы отказываемся от ограничений, связанных с цилиндрической формой волновода, и допускаем волноводы, имеющие любое конечное число цилиндрических выходов на бесконечность; в ограниченной области волновод может иметь произвольную форму с гладкой границей. Для таких волноводов мы формулируем и обосновываем принцип излучения, вводим матрицу рассеяния, зависящую от спектрального параметра и определенную на непрерывном спектре волновода. Для всех значений спектрального параметра эта матрица является унитарной и имеет конечный размер, который меняется на порогах и остается постоянным между двумя соседними порогами. Кроме того в работе предлагается и обосновывается метод приближенного вычисления матрицы рассеяния.

Мы не используем ни методов, ни результатов работ, упомянутых в первом абзаце. Отправной точкой нашего исследования является расширение оператора Максвелла до оператора эллиптической краевой задачи. Речь идет об "ортогональном" расширении, предложенном в работах

Гудович, КрсГша и Куликова [10]. Такое расширение использовалось, в частности, в работах Бирмана и Соломяка [11] при изучении спектра оператора Максвелла в областях с негладкой границей. Эллиптические краевые задачи (для систем уравнений) в волноводах с несколькими цилиндрическими выходами изучались в монографии Назарова и Пламенсвского [12]. В частности, была предложена корректная постановка задачи с естественными условиями излучения и определена унитарная матрица рассеяния. По существу, эта матрица определена на непрерывном спектре волновода и при любом значении спектрального параметра имеет конечный размер, равный кратности непрерывного спектра волновода.

После расширения системы Максвелла до эллиптической краевой задачи мы выясняем специфические свойства этой задачи. В частности, проводится подробное изучение операторных пучков, порожденных эллиптической задачей. Затем из сведений, полученных об эллиптической задаче, извлекается информация о системе Максвелла.

Цели и задачи работы:

1. Обоснование для системы Максвелла в волноводах с несколькими цилиндрическими выходами «принципа излучения», т.е. корректной постановки задачи с естественными условиями излучения,

2. Описание непрерывного спектра волновода, определение матрицы рассеяния и изучение ее свойств,

3. Исследование поведения матрицы рассеяния в окрестности порогов,

4. Формулировка и обоснование метода приближенного вычисления матрицы рассеяния.

Научная новизна. Для волноводов сведение системы Максвелла к эллиптической краевой задаче применяется впервые (вероятно, из-за того, что теория волноводов для эллиптических систем была развита в достаточной общности сравнительно недавно). Впервые рассматривается электромагнитный волновод с несколькими цилиндрическими выходами; предполагается, что волновод пустой (матрицы диэлектрической и магнитной проницаемости единичные) и имеет идеально проводящую границу. Основные результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми:

1. Обоснована корректная постановка задачи с естественными условиями излучения (принцип излучения). Естественные условия излучения означают, что главный член асимптотики решения на бесконечности содержит только уходящие волны. Задача с такими условиями имеет единственное решение, которое непрерывно зависит от правой части.

2. Описан непрерывный спектр волновода, на непрерывном спектре определена матрица рассеяния и изучены ее свойства. Матрица рассеяния является унитарной и имеет конечный размер, который меняется на порогах и остается постоянным между двумя соседними порогами.

3. IIa интервалах между порогами матрица рассеяния аналитически зависит от спектрального параметра, а на порогах имеет конечные правый и левый пределы. В окрестности порога определяется расширенная матрица рассеяния, которая аналитически зависит от спектрального параметра. Поведение (обычной) матрицы рассеяния в окрестности порогов описывается в терминах расширенной матрицы.

4. Предложен и обоснован метод приближенного вычисления матрицы рассеяния на всем непрерывном спектре, в том числе в окрестности порогов (возможное присутствие собственных значений волновода на непрерывном спектре не влияет на формулировку метода). В качестве приближения для строки матрицы рассеяния служит минимизатор некоторого квадратичного функционала. Для того чтобы построить этот функционал, решается вспомогательная задача в ограниченной области. При увеличении размера области минимизатор сходится к строке матрицы рассеяния с экспоненциальной скоростью.

Научная и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты расширяют возможности теории электромагнитных волноводов, в частности включают в рассмотрение ветвящиеся волноводы (волноводы с несколькими цилиндрическими выходами). Изучение электромагнитного поля, возникающего в таких волноводах, представляет практический интерес, в частности, при проектировании оптоволоконных сетей. Возбуждение волн зарядами и токами описывается принципом излучения, а распространение волн описывается матрицей рассеяния. Метод приближенного вычисления матрицы рассеяния позволяет проводить компьютерное моделирование реального процесса распространения волн в ветвящихся волноводах.

Предложенная методика может быть использована для дальнейшего развития теории, в частности, для изучения волноводов с неоднородным заполнением, для исследования задачи с учетом поглощения и др.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научном семинаре кафедры Высшей математики и математической физики, а также на международных конференциях:

1. DAYS оп DIFFRACTION 2012, Russia, St. Petersburg, 2012. (устный доклад)

2. The Fourth St. Petersburg Conference in Spectral Theory, Russia, St. Petersburg, 2012. (устный доклад)

3. European Congress on Computational Methods in Applied Scicnces (ECCOMAS 2012), Austria, Vicnna, 2012. (устный доклад)

4. The Seventh International Conference on Differential and Functional Differential Equations, Russia, Moscow, 2014. (устный доклад)

5. DAYS on DIFFRACTION 2015, Russia, St. Petersburg, 2015. (устный доклад)

Личный вклад. Результаты первой и второй главы диссертации опубликованы в совместной работе A.C. Порецкого и Б.А. Пламеневского [1]; эти результаты в равной мере принадлежат обоим авторам. Основные результаты третьей и четвертой главы опубликованы в совместных работах диссертанта, Б.А. Пламеневского и О.В. Сарафанова [2], [3]; определяющий вклад в эти работы принадлежит диссертанту.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в трех печатных изданиях ( [1], [2], [3]), рекомендованных ВАК для опубликования результатов кандидатских и докторских диссертаций. Все три публикации индексируются международной системой цитирования Web of Science и одна из них ( [3]) - системой SCOPUS.

[1]. Б.А. Пламеиевский, A.C. Порецкий. О системе Максвелла в волноводах с несколькими цилиндрическими выходами па бесконечность // Алгебра и анализ. - 2013. - Т. 25, 1. - С. 94 - 155.

[2]. Б.А. Пламеневский, A.C. Порецкий, О.В. Сарафанов. Метод вычисления волноводной матрицы рассеяния в окрестности порогов // Алгебра и анализ. - 2014. - Т. 26, 1. - С. 128 - 164.

[3]. Б.А. Пламеневский, A.C. Порецкий, О.В. Сарафанов. О вычислении волноводной матрицы рассеяния для системы Максвелла // Функц. анализ и его прил. - 2015. - Т. 49, 1. - С. 93 - 96.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения и четырех глав. Полный объем диссертации 135 страниц текста. Список литературы содержит 30 наименований.

Формулировка основных результатов

Рассматривается область G в трехмерном пространстве К3, которая совпадает вне большого шара с объединением полуцилиндров П1,,..., П+, где nq, = {{yq,lq) : yq £ W, t4 > 0}, a сечение fV - ограниченная область в R2. Далее для простоты изложения мы будем считать во введении, что число цилиндрических выходов Т равно единице, единственный цилиндрический выход мы будем обозначать П+ = {у е П, t > 0}. Граница DG области G предполагается гладкой. Система уравнений Максвелла

г rot »"(ж) — ku\x) = fl(x), —¿di vu2(x) — hl{x), -i rot ul(x) - ku2(x) = f2(x), i div u1 (x) = h2{x), x G G, (0.0.1)

с краевыми условиями

v{x) x и1 (ж) = 0, (гг(.т), v(xj) = 0, хЕ ÔG, (0.0.2)

описывает электромагнитное поле в пустом волноводе G с идеально проводящей границей, возбужденное распределенными внутри волновода зарядами и токами. Здесь и1, и2, функции со значениями в С3, обозначают векторы электрического и магнитного поля, (•, •) - скалярное произведение в С3, • x ■ - векторное произведение в R3, au- единичный вектор внешней нормали к 0G. Задача (0.0.1), (0.0.2) является переопределенной и для ее разрешимости необходимо вы-

полнение условии совместности

сИу /1 (.с) - г А; /г (х) = 0, х € С, (Ну /2(ж) + гк /г1 (ж) = 0, ж е С,

(/2(х),и(х)} = 0, же <9С.

(0.0.3)

В первой главе вводится эллиптическая краевая задача

А(0,к)Ы(х) = Р(х),х в <7, В{х)и{х) = д(х), X е ЗС,

(0.0.4)

полученная из (0.0.1), (0.0.2) методом "ортогонального расширения" [10]. Здесь

и31Р - трехкомпонентные вектор-функции и а-7. Ы - скалярные функции в области С, ] = 1,2, а д1 - скалярные функции па сЮ, I = 1.... ,4. Дифференциальный оператор Л(О.к) и граничный оператор В задаются равенствами

А{0,к)Ы

( I го1 и2 + г Уа2 — ки1 \ — г сИу и2 — ка1 —г го1 и1 — г Х7а1 — ки2 \ гсНу?;1 — ка2 У

х е С.

(0.0.5)

Ш = (-(■и1,т2)1(»1,т1), (и2, и), а2), хедв,

где т\,т2,и - правая тройка ортонормированных векторов в Ж3: и - векгор внешней нормали к границе <9(7, а т\,т2 - касательные векторы. Для ¿V, V € С8) и граничного оператора О, :

ОЫ = —¿((и2, п). (и2, гг), а1, —(и1, г/)), ж 6 <9(7, справедлива формула Грина

СД(М V)« + (Ш, = (И, Д( А А;)У)С + (Ог^, (0.0.6)

где (-,-)с и (-,-)дО ~ скалярное произведение в С8) и Ь2(<9(7;С4), соответственно. (Далее в обозначениях пространств вектор-функций не указывается число компонент.)

Волны, распространяющиеся в цилиндрическом выходе П+ волновода (7, мы будем искать в виде ехр (Ш)Р(у), где Ли Р - собственное значение и отвечающий ему собственный вектор некоторой спектральной задачи на сечении П. В первой главе такая спектральная задача подробно исследуется: вычисляются всевозможные собственные значения и отвечающие им собственные векторы.

На сечении О. цилиндра Г1 = Г2 х R введем операторный пучок

21 (D,y, Л; к)Р(у) = ехр(-Ш).4(0,А)(ехр(Ш)Р(у)), у £ П, i £ R (0.0.7)

с оператором A(D.k) вида (0.0.5). В область определения 73(21) пучка (0.0.7) мы включаем вектор-функции Р = с компонентами ip, 0 £ C^iijC3) и ci,/3 £ С1 (Q; С), подчи-

ненные на 00. краевым условиям ip-j = 0, <¿>1^2 ~ — 0, "ф\У\ + 02^2 — 0, /3 = 0, где и2) -вектор внешней нормали к 00. Число Л называется собственным значением пучка 21(-,А), если существует ненулевой вектор Р £ Т>(21), такой что

ш(х,к)Р(у) = о,уеп.

Такой вектор Р называется собственным; его компоненты являются гладкими функциями в Г>. Сужение операторного пучка 2((-,А) на множество V(DJl) = {Р = (<¿>.0,0,0) £ £>(21)} будем называть максвелловским пучком и обозначать 9Л(-,А). Иными словами, 9Л(-,А) есть операторный пучок вида (0.0.7), определенный для задачи (0.0.1), (0.0.2). Число Л является собственным значением пучка 9Л(-,А), если существует ненулевой вектор Р £ V(DJl), удовлетворяющий равенству 21(А,А)Р = 0. Первая глава посвящена изучению спектра пучков 21(-,к) и 9Л(-,А).

При любом фиксированном А- £ R собственные значения пучка 21(-,А) (9Л(-,А-)) расположены на осях комплексной плоскости симметрично относительно начала координат (числа ±А являются собственными одновременно, а размерности пространств кег21(А.А) и ker2l(—А.А) (кег9Л(А,А;) и ксг 9Л(—А,А')) совпадают); на вещественной оси лежит конечное число собственных значений. Если при некотором А; £ R \ {0} число А = 0 является собственным значением пучка 21 (9Л), то для всякого отвечающего ему собственного вектора Р £ Х>(21) (Р £ Т>(Ш)) существует присоединенный вектор из 33(21) (2)(9Л)) (точное определение присоединенных векторов приводится в разделе 1.3.1 диссертации); соответствующее значение параметра к называется порогом задачи (0.0.4). При А ф 0 присоединенных векторов не возникает. Пороги расположены симметрично относительно нуля и накапливаются только на бесконечности.

Для любого собственного значения А пучка Ш(-,к) в пространстве кег9Л(А.А~) фиксируется базисный набор собственных векторов который затем дополняется векторами {/V,/} Д°

базиса пространства ker2l(A,A;). Базисные собственные векторы {P<m,j}, {А7,/} и отвечающие им присоединенные векторы (если они возникают) выбираются специальным образом.

В первой части второй главы изучается эллиптическая задача (0.0.4) в области G, описывается ее непрерывный спектр, вводится унитарная матрица рассеяния и обосновывается "принцип излучения" (корректная постановка задачи с естественными условиями излучения). Для этого применяется схема исследования эллиптических краевых задач в областях с цилиндрическими выходами, предложенная в работах Назарова и Пламеневского [12].

Если для числа А существует решение U однородной задачи (0.0.4) с оценкой U(x) = 0(|х|) при |.г| —¥ оо, не принадлежащее L2(G), то говорят, что к - точка непрерывного спектра, а

U - отвечающая числу к собственная функция непрерывного спектра (СФНС). Пространство, натянутое на собственные функции непрерывного спектра, мы обозначим через Е{к). Число к называется собственным числом задачи (0.0.4), если существует решение из L2(G)\ собственные числа не сгущаются на конечном расстоянии. Для простоты мы будем предполагать во введении, что параметр к отличен от нуля и не является собственным числом (в диссертации обсуждается общий случай).

Будем считать сначала, что число к зафиксировано (для определенности к > 0) и не совпадает с порогами (пороговый случай подробно обсуждается в третьей главе). Асимптотика СФНС описывается в терминах приходящих и уходящих воли. Для каждого вещественного собственного значения Л операторного пучка 21 (-,к) и каждого собственного вектора Р из набора {Рщ}^}, {Ру,/}> отвечающего числу Л, введем функцию и, заданную на II ( П G равенством

v(y, t; к) = |2Afc|"1/2 ехр(Ш)Р(у; к), y€ü,t>T (0.0.8)

при достаточно большом Т и продолженную гладким образом на оставшуюся часть области С. Полученные функции удовлетворяют однородной задаче (0.0.4) при больших |.т| и называются волнами. Если число Л - отрицательное (положительное), то отвечающая ему волна и вида (0.0.8) называется приходящей (уходящей) и обозначается и' (гг). Поскольку спектры пучков 01(-.А~) и £Ш(-,/с) симметричны относительно начала координат, число волн в наборах {»' } и {г/-} одно и то же; каждый из этих наборов мы пронумеруем индексом j = 1,..., Т. Линейную оболочку функций («1 ,..., (/{-, "Г- • • ■' иг) назовем пространством волн и обозначим W(k).

Согласно эллиптической теории [12] в пространстве Е{к) СФНС существует базис Y] ,..., Уг', подчиненный соотношениям

т

У/ (-.к) = «;(.,А-) + + 0(ехр(-ВД), .) = 1.....Т (0.0.9)

при больших |х| и 5 < Зц(к) (где 8о(к) — min |ImA| по всем мнимым собственным числам А пучка 21(-,А;)). Размерность Т(к) пространства Е(к) называется кратностью непрерывного спектра в точке к. Матрица S(k) размера Т(к) х Т(А;) с элементами Sji(k) унитарная и называется матрицей рассеяния.

Перейдем к описанию принципа излучения для эллиптической задачи. Для этого мы введем весовое пространство Соболева Hlp(G), I > 0, полученное замыканием линеала C™(G) относительно нормы

\W,lllß(G)\\ :=\\Pßu-Hl(G)\\ = í¿ I \Da{pßu)\2dx

\H=oJa

где pß - гладкая функция на G, совпадающая на £?ПП+ с отображением (у,1) н-» exp(ßt). Обозначим также через Hl^^2(dG) пространство следов функций из HlJ 1(G) на dG. Для пространств

вектор-функций с компонентами из и П1^л^2(дС) мы будем, как правило, использовать

те же обозначения, не указывая число компонент. Оператор {А(0,к).В} краевой задачи (0.0.4) осуществляет непрерывное отображение

: -> Н1Р{С) X //¿+1/2(У(?) =: ЩС) (0.0.10)

при любом /3 <Е К и / = 0,1,.... Выберем показатель 0 < 8 < д0, где <50 из (0.0.9).

Предложение 0.0.1. Пусть {.Т7,!?} принадлежит пространству (67). Тогда

1. Задача (0.0.4) имеет единственное решение Ы, подчиненное условиям излучения

V =14 — сЛи^-----сгпг € Н15п((7). (0.0.11)

2. Коэффициенты с3 в асимптотике (0.0.11) вычисляются по формуле

Ч = Ц7Уг)0 + 1{Я,ОУГ)ос,

где У~ = с функциями У,'' из (0.0.9), а С) - оператор из формулы (0.0.6).

3. Справедливо неравенство

||У; || + \сЛ\ + ■■■ + |гт| <

Вторая часть второй главы посвящена возвращению от эллиптической задачи (0.0.4) к исходной задаче (0.0.1), (0.0.2). Пространство СФНС задачи (0.0.4) можно представить в виде прямой суммы подпространств (такое представление вытекает непосредственно из уравнений на СФНС)

Е(к) = Ем (к) + Е*(к),

причем Ем(к) состоит из СФНС вида (г^ДгДО). Решение задачи А(0,к)Ь( = Т, ВЫ = 0 вида Ы = 1,0,гг2, 0) мы будем называть максвелловским. Вектор-функция II = (и1,и2), составленная из компонент максвелловского решения, удовлетворяет исходной задаче (0.0.1), (0.0.2). Таким образом, пространство £(к) собственных функций непрерывного спектра задачи (0.0.1), (0.0.2) можно отождествить с пространством Ем(к) максвелловских собственных функций непрерывного спектра задачи (0.0.4). Для того чтобы ввести матрицу рассеяния задачи (0.0.1), (0.0.2), требуется доказать, что в пространстве Ем(к) существует базис, подчиненный соотношениям вида (0.0.9). С этой целью мы покажем, что базис (0.0.9) пространства Е(к) распадается на две подсистемы, которые образуют базисы подпространств Ем(к) и Еу(к).

Введем более подробные обозначения. Волны и^, соответствующие (максвелловским) собственным векторам имеют вид = (г/1,0,г^2,0). Такие волны мы будем называть макс-велловскими и обозначать и^ I = 1,...,Т,ц. Волны, соответствующие собственным векторам {Ру^}, мы будем называть градиентными и обозначать и^ I = 1....,Ту. Мы доказы-

ваем, что матрица рассеяния 5(А) является блочно-диагональной в (к) = сПнц (5Л((А), 5У(А)). Иными словами, максвелловские (градиентные) приходящие волны и^ - рассеиваются

только по максвелловским (¡радиентным) уходящим волнам и~КЛ1 (и^ ¡). Обозначим через У^ ■ собственную функцию непрерывного спектра с асимптотикой (0.0.9), содержащей волну , ,7 = 1...., Тм- Функции У,^ ■, 7 = 1,.... Тм, образуют базис пространства Ем(к). Вводя новые обозначения, мы приходим к теореме.

Теорема 0.0.2. В пространстве £{к) СФНС задачи (0.0.1), (0.0.2) существует базис ц^...., у,\, подчиненный соотношениям

V

/,+ (■, к) = и+(;к) + £ ,ьл(к)иг(:к) + 0(схр(-д>|)). 3 = 1,...,и. (0.0.12)

1=1

Здесь у — Тд-ь 5 = Ям, а функции у* и и^ получаются из У^^ и вычеркиванием

(нулевых) компонент а1, а2. Матрица является унитарной и называется матрицей рассеяния задачи (0.0.1), (0.0.2).

Перейдем от принципа излучения для эллиптической задачи (предложение 0.0.1) к принципу излучения для задачи (0.0.1), (0.0.2). Пусть Ы = (и1,а1, и2, а2) - решение задачи (0.0.4) с условиями излучения (0.0.11) и правой частью {7-",0}, подчиненной условиям совместности (0.0.3). Тогда его компонента а1 (а2) удовлетворяет однородной задаче Неймана (Дирихле) для уравнения Гельмгольца с естественными условиями излучения; в силу теоремы единственности такое решение может быть только нулем. Следовательно, решение 1А является максвелловским, т.е. имеет вид Ы — (•н1,0.'1Г,0). Такое утверждение еще нельзя считать удовлетворительным для нашей цели (возвращение к исходной задаче (0.0.1), (0.0.2)), поскольку формулировка предложения 0.0.1 содержит другие напоминания об эллиптической задаче: условия излучения содержат эллиптические волны, а коэффициенты вычисляются с помощью эллиптических СФНС. Однако при выполнении условий совместности коэффициенты перед волнами и^ ■ равны нулю и в условиях излучения участвуют лишь максвелловские волны и'^. Поскольку матрица рассеяния Б(к) блочно-диагональная, СФНС, которые вычисляют коэффициенты при и^ , также являются максвелловскими У^

'м I■ Переходя к новым обозначениям, имеем

Теорема 0.0.3. Предположим, что 0 < 5 < д0 и правая часть Т = (/V'1,/2,к2) € //¿(С; С8) удовлетворяет условиям совместности (0.0.3). Тогда

1. Задача (0.0.1), (0.0.2) имеет единственное решение и = (и1.и2), подчиненное условиям излучения

V = и - с, {/Г-----и~ 6 Н1+1 (б; С0). (0.0.13)

2. Коэффициенты с^ в асимптотике (0.0.13) вычисляются по формуле с,- = г(/,у]~)о, где / = (У1-/2)- а у~ = XX] 3]!Ху! с функциями у}' из (0.0.12).

3. Справедливо неравенство

ЦК; C(i)|| + | + - • ■ + |c„| < const//i(G;C8)||.

Результаты первой и второй главы опубликованы в статье [1].

В предыдущих главах спектральный параметр к был фиксирован, в третьей главе изучается зависимость матрицы рассеяния и решений задачи (0.0.4) от спектрального параметра, пробегающего непрерывный спектр. Доказывается, что на любом интервале, не содержащем порогов, матрица рассеяния к S(k) имеет постоянный размер и является аналитической. При переходе к через порог размер матрицы рассеяния изменяется скачкообразно, поэтому требует исследования поведение матрицы S(k) при приближении к к порогам.

Во второй главе было установлено, что один из блоков матрицы S(k) совпадает с матрицей рассеяния для уравнения Гельмгольца с краевыми условиями Дирихле. Для этой задачи пороговое поведение матрицы рассеяния исследовалось в работе [2]. Для того чтобы изучить пороговое поведение матрицы S(k), к задаче (0.0.4), по существу, применяется метод работы [2]. Вводится "расширенная матрица рассеяния" к ь-» S(k), аналитическая в окрестности порога. Выясняется связь матриц S(k) и S(k) слева и справа от порога. В терминах матрицы S(k) вычисляются левый и правый пределы на пороге матрицы S(k).

Матрица S(k) обладает блочной структурой (так же, как и S(k)), а формулы связи S(k) и S(k) выполняются "поблочно". Это позволяет описать пороговое поведение матрицы рассеяния а(к) системы Максвелла (0.0.1), (0.0.2) во внутренних терминах.

На любом интервале, не содержащем порогов, кратность непрерывного спектра Т(А-) задачи (0.0.4) постоянна. Пусть 0 < т' < т < т" - три последовательных порога; обозначим через L и М значение Т(А~) на интервалах (т',т) и (т,т"), соответственно. На каждом из этих интервалов матрица рассеяния S(k) определяется формулами (0.0.9). При приближении спектрального параметра к порогу асимптотика (0.0.9) теряет смысл. Пусть к е (г, т"), тогда (возможно, после перенумерации) функции uj, j = L + 1,..., М, вида (0.0.8) отвечают собственным числам Т-Х(к) = (/,-'-' — т2)1/2 и в области G П 11+ удовлетворяют формулам

uf(-.k) = |2А:(Аг - г2)1/2|-1/2ехр(Тг(А:2 - т2У'Ч)PJ(у; к)

при больших При к = т функции ехр(;р/(Аг — т'2)1^21)Р^(у; к) совпадают, а нормировочный множитель |2А;(Ат — т2)1/2!-1/2 обращается в бесконечность. Поэтому набор uf(-,k),... , и^(-,к) не годится в качестве базиса волн при к = т, а асимптотика (0.0.9) оказывается неустойчивой при к —> т + 0. При А- —► т — 0 показатель 8 < до (к) = |ImA(A-)| = (г2 — Аг)1//2 стремится к нулю и поправочный член 0(ехр(—5|.т|)) становится того же порядка, что и главный член асимптотики (0.0.9).

При к е (г,г") неустойчивый базис uf(-,k).. .., uf[(-,k) пространства волн VV(A:) мы заменим новым базисом wf(-,k),..., w^j(-,k), который удовлетворяет следующим требованиям. 1. Функ-

ции к м- - аналитические на интервале (т',т") (здесь и далее под аналитичностью на

интервале вещественной оси понимается аналитичность в некоторой комплексной окрестности каждой точки этого интервала). 2. Функции х н4 ги^(х,к), 3 = 1,..., М, линейно независимы. 3. Волны (-,А) (и>~(-,А)) - приходящие (уходящие). В соответствии с принципами Умова и Мандельштама мы называем волну приходящей (уходящей), если она приносит с бесконечности (уносит на бесконечность) энергию. (Строгое определение приходящих и уходящих волн приводится в разделе 2.2.1) Указанными свойствами обладают функции

и;у{-.к) = Й±(А:)«+(..А:) + сР{к)и~(-,к), 3 = Ь + 1,..., М,

где

с1Нк) = - (т/А)2)1/4 ± (1 - (т/АО2)"1/4),

причем ветвь корня фиксируется требованием (1 — (т/А)2)1/1 > 0 при А > т.

Так же, как и в главе 2 устанавливается, что при каждом к из интервала (т, т") в пространстве СФНС Е{к) существует базис У\(-,к)____А"), подчиненный соотношениям

м

У; (-.А) - и;+(-,к) - ^^(А)юГ(;к) е НЦС), 3 = 1.....М, (0.0.14)

г=1

где й < 5{)(к) = ((т")2 - А2)1//2. Для к 6 (т', т) элементы к), 3 = I + 1,..., ЛУ, экспоненци-

ально растут при |:г| —> оо. Поэтому для того чтобы продолжить формулу (0.0.14) непрерывным образом на интервал, содержащий порог т, мы вынуждены включить в рассмотрение собственные функции непрерывного спектра, допускающие некоторый экспоненциальный рост.

Далее мы будем рассматривать к из интервала и = (т — р, т + р) для некоторого р > 0. Выберем показатель 7 > 0 так, чтобы выполнялись неравенства

т1 < А2 + 72 < (т")2 при А е и. (0.0.15)

Расширенным пространством собственных функций непрерывного спектра будем называть пространство Е(7,А) := кег£_7(А) с оператором £_7(А) вида (0.0.10). При А: € О в пространстве

Е(~/,к) существует базис З^1 (--А),____З^Д-,А), подчиненный соотношениям (0.0.14), где вместо

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Порецкий, Александр Сергеевич, 2015 год

Список литературы

1. Б.А. Пламеневский, A.C. Порецкий. О системе Максвелла в волноводах с несколькими цилиндрическими выходами на бесконечность // Алгебра и анализ. — 2013. — Т. 25, № 1. -С. 94 - 155.

2. Б.А. Пламеневский, A.C. Порецкий, О.В. Сарафанов. Метод вычисления волноводной матрицы рассеяния в окрестности порогов И Алгебра и анализ. — 2014. — Т. 26, № 1. — С. 128 -164.

3. Б.А. Пламеневский, A.C. Порецкий, О.В. Сарафанов. О вычислении волноводной матрицы рассеяния для системы Максвелла // Функц. анализ и его прнл. — 2015. — Т. 49, № 1. — С. 93 - 96.

4. П.Е. Краснушкин, Е.И. Моисеев. О возбуждении вынужденных колебаний в слоистом радиоволноводе II Докл. АН СССР. - 1982. - Т. 264, № 5. - С. 1123-1127.

5. АЛ. Боголюбов, A.JI. Делицын, А.Г. Свешников. О задаче возбуждения волновода с неоднородным заполнением // Ж.вычисл. матем. и матем. физ. — 1999. — Т. 39, № 11. — С. 1869-1888.

6. Т.Н. Галишникова, A.C. Ильинский. Метод интегральных уравнений в задачах дифракции волн. - М.: МАКС Пресс, 2013.

7. Р. Миттра, С. Ли. Аналитические методы в теории волноводов. — М.: Мир, 1974.

8. Е.И. Нефедов, А.Т. Фиалковский. Асимптотическая теория дифракции электромагнитных волн на конечных структурах. — М.: Наука, 1972.

9. J1.A. Вайнштейн. Теория дифракции и метод факторизации. — М.: Сов. Радио, 1966.

10. И. С. Гудович, C.F. Крейн. Краевые задачи для переопределенных систем уравнений в частных производных. Труды семинара № 9. — Вильнюс, 1974.

11. М.Ш. Бирман, М.З. Соломяк. Самосопряженный оператор Максвелла в произвольных областях II Алгебра и анализ. - 1989. - Т. 1, № 1. - С. 96-110.

12. С.А. Назаров, Б.А. Пламеневский. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. — М.: Наука, 1991.

13. С. А. Назаров, Б.А. Пламеневский. Самосопряженные эллиптические задачи с условиями излучения на ребрах границы // Алгебра и анализ. — 1992. — Т. 4, № 3. — С. 196-225.

14. И.В. Колющий, С.А. Назаров. Расширенная матрица рассеяния и экспоненциально затухающие решения эллиптической задачи в цилиндрической области // Математические вопросы теории распространения волн. Зап. научн. сем. ПОМИ. — 2000. — Т. 264, № 29. — С. 66-82.

15. Б.А. Пламеневский, О.В. Сарафанов. О методе вычисления волноводных матриц рассеяния в присутствии точечного спектра // Функц. анализ и его прил. — 2014. — Т. 48, № 1. — С. 61-72.

16. Resonant Tunneling / Baskin L.M., Neittaanmaki P., Plamenevskii B.A., Sarafanov O.V. — Springer, 2015.

17. С. Агранович M„ И. Вишик M. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида // УМН. - 1964. - Т. 19, № 3. - С. 53-161.

18. Н.Д. Филонов. Об одном неравенстве на собственные числа задач Дирихле и Неймана для оператора Лапласа // Алгебра и анализ. — 2004. — Т. 16, № 2. — С. 172-176.

19. А.Н. Васильев. Классическая электродинамика, Краткий курс лекций. — СПб: БХВ-Петербург, 2010.

20. И.Ц. Гохберг, Е.И. Сигал. Операторное обобщение теоремы о логарифмическом вычете и теоремы Руше II Мат. Сб. - 1971. - Т. 84, № 3. - С. 607-629.

21. Ж.-77. Лионе, Э. Мадженес. Неоднородные граничные задачи и их приложения. — М.: Мир, 1971.

22. Maz'ya М., Rossmann J. On a problem of Babuska (stable asymptotics of the solution to the ' Dirichlet problem for elliptic equations of second order in domains with angular points // Math. Nachr. - 1993. - Vol. 155. - Pp. 199-220.

23. Schmutzler В. About the structure of branching asymptotics for elliptic boundary value problems in domains with edges // Symposium "Analysis in Domains and on Manifolds with Singularities", Breitenbrunn 1990.Teubner-Texte zur Mathematik / Ed. by B.-W. Schulze, H. Triebel. - Vol. 131. - Leipzig: B. G. Teubner, 1992. - Pp. 201-207.

24. Costabel M., Dauge M. General edge asymptotics of solutions of second order elliptic boundary value problems 1,П // Proc. Royal Soc. Edinburgh. - 1993. - Vol. 123A. - Pp. 109-155, 157-184.

25. Costabel M., Dauge M. Stable asymptotics for elliptic systems on plane domains with corners //

Comm. Partial Differential Equations. — 1994. — Vol. 19, no. 9-10. — Pp. 1677-1726.

/

26. И.В. Колющий, C.A. Назаров. Аномалии Вуда и поверхностные волны в задачах рассеяния на периодической границе II Матем. сб. — 1999. — Т. 190, № 1. — С. 109-138.

27. И.В. Камоцкий, С.А. Назаров. Аномалии Вуда и поверхностные волны в задачах рассеяния на периодической границе И Матем. сб. — 1999. — Т. 190, № 2. — С. 43-70.

28. I. Gohberg, S. Goldberg, М.А. Kaashoek. Classes of Linear Operators, v.l, Oper. Theory: Adv. Appl. 49. — Basel-Boston-Berlin: Birkhäuser. — Vol. 49.

29. S.A. Nazarov, B.A. Plamenevsky. Elliptic Problems in Domains with Piecewise Smooth Boundaries. — Berlin - New York: Walter de Gruyter, 1994.

30. Bers L. John F., M. Schechter. Partial Differential Equations. — New York-London-Sydney: Interscience Publishers, 1964.

/

/