Статистическое описание релятивистских адронных систем в столкновениях протонов с протонами и тяжелых ионов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Парван Александру

• Парван Александру
• доктор наук
• 2023

Оглавление диссертации доктор наук Парван Александру

Введение

Глава 1. Обобщённая статистическая механика

1.1 Пространство-время

1.1.1 Псевдориманово пространство

1.1.2 Псевдоевклидово пространство

1.1.3 Пространство событий

1.1.4 Пространство-время СТО: Псевдоевклидово пространство ^4 з

1.1.5 Матричное представление элементов псевдоевклидова пространства ^4

1.1.6 Симметрии псевдоевклидова пространства ^4 3: Группа Лоренца

1.1.7 Инфинитезимальные операторы группы Лоренца

1.1.8 Симметрии псевдоевклидова пространства ^ 3: Группа Пуанкаре

1.1.9 Дифференциальные операторы группы Пуанкаре

1.1.10 Волновые уравнения группы Пуанкаре в пространстве ^4

1.2 Микро со стояния системы: Квантовая механика

1.2.1 Квантовые многочастичные системы

1.2.2 Смешанные состояния

1.2.3 Равновесные состояния для квантовых систем

1.3 Макросостояния системы: Равновесная термодинамика

1.3.1 Принципы равновесной термодинамики

1.3.2 Термодинамические потенциалы

1.3.3 Принцип аддитивности

1.4 Определение равновесной обобщённой статистической механики

с произвольной статистической энтропией

1.4.1 Общая формулировка

1.4.2 Статистические ансамбли

Глава 2. Неэкстенсивная статистическая механика Цаллиса

2.1 Микроканонический ансамль

2.1.1 Термодинамика микроканонического ансамбля

2.1.2 Нерелятивистский идеальный газ в микроканоническом ансамбле

2.1.3 Нерелятивистский идеальный газ в термодинамическом пределе

2.2 Канонический ансамбль

2.2.1 Нерелятивистский идеальный газ в каноническом ансамбле

2.2.2 Нерелятивистский идеальный газ в термодинамическом пределе

2.2.3 Эквивалентность канонического и микроканонического ансамблей

2.3 Большой канонический ансамбль

2.3.1 Нерелятивистский идеальный газ в большом каноническом ансамбле

2.3.2 Нерелятивистский идеальный газ в термодинамическом пределе

2.3.3 Эквивалентность канонического и большого канонического ансамблей

2.3.4 Эквивалентность микроканонического и большого канонического ансамблей

2.3.5 Численные результаты

Глава 3. Распределения адронов по поперечному импульсу в

неэкстенсивной статистической механике

3.1 Статистическая механика Цаллиса-1: Большой канонический

ансамбль

3.1.1 Общий формализм

3.1.2 Ультрарелятивистский идеальный газ адронов

3.1.3 Релятивистский идеальный газ адронов

3.2 Статистическая механика Цаллиса-2: Большой канонический

ансамбль

3.2.1 Общий формализм

3.2.2 Ультрарелятивистский идеальный газ адронов

3.2.3 Релятивистский идеальный газ

3.3 q-дуальная статистическая механика

3.3.1 Формулировка q-дуальной статистической механики

3.3.2 Распределение по поперечному импульсу

3.4 Сравнение с экспериментом для рр столкновений

3.4.1 Ультрарелятивистское распределение по поперечному импульсу

3.4.2 Релятивистские распределения по поперечному импульсу

Глава 4. Релятивистская термодинамика движущегося тела

4.1 Релятивистская динамика

4.2 Релятивистская термодинамика

4.2.1 Импульс Р как независимая переменная состояния в гамильтониане

4.2.2 Скорость V как независимая переменная состояния в гамильтониане

Глава 5. Адронная статистическая модель с точным законом

сохранения странности

5.1 Классическая статистика

5.1.1 Прямой метод решения статистической суммы

5.1.2 Метод рекуррентных уравнений

5.1.3 Средние по ансамблю

5.2 Квантовая статистика

5.3 Функция возбуждения странности

Глава 6. Ядерный фазовый переход жидкость-газ в релятивистской

адронной модели среднего поля

6.1 Релятивистская адронная модель среднего поля

6.2 Фазовый переход первого рода в адронной материи

6.2.1 Большой канонический ансамбль (Т,У,ц)

6.2.2 Изобарический ансамбль (Т,р,В)

6.2.3 Канонический ансамбль (Т,У,В)

6.2.4 Калорическая кривая и уравнение состояния

Глава 7. Масштабированная кварк-адронная дуальность

7.1 Идеальный газ адронов

7.2 Кварк-адронная дуальность в масштабированных переменных

Глава 8. Статистическая механика нейтрального скалярного поля

8.1 Вещественное скалярное поле

8.2 Континуальный предел

8.3 Физические термодинамические величины на конечной решётке

Заключение

Список литературы

Приложение А. Классическое пространство-время

Приложение Б. Симметрии классического пространства-времени:

Группа Галилея

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Статистическое описание релятивистских адронных систем в столкновениях протонов с протонами и тяжелых ионов»

Введение

В современной научной парадигме материя на фундаментальном уровне состоит из элементарных частиц - неделимых точечноподобных квантов энергии (фундаментальных частиц размера меньше 10"16 см), взаимодействующих посредством калибровочных бозонов в четырёхмерном псевдоевклидовом пространстве-времени событий ^4 3. Такое представление содержится в Стандартной модели (СМ) [1—3] физики элементарных частиц, которая описывает свойства кварков, лептонов и калибровочных бозонов с большой точностью на уровне электрослабого масштаба, ~ 100 — 200 ГэВ. Стандартная модель обеспечивает удовлетворительное описание всей видимой материи нашей Вселенной. Стандартная модель состоит из теории электрослабого взаимодействия, объединяющей слабое и электромагнитное взаимодействия, и Квантовой хро-модинамики (КХД) - единственной теории, описывающей на сегодняшний день сильное взаимодействие. С экспериментальным открытием бозона Хиггса [4, 5], частицы, предсказанной в [6], программа открытия частиц СМ была завершена. Несмотря на успех СМ в описании большинства экспериментов с большой долей точности, в физике элементарных частиц и космологии существует множество открытых проблем, которые в рамках СМ не имеют решения. Такие, как проблема тёмной материи [7], ненулевой массы нейтрино [8], барионной асимметрии Вселенной [9], проблема калибровочной иерархии [10], проблема великого объединения сильного и электрослабого взаимодействий [11], аномальный магнитный момент мюона [12], нарушение барионного и лептонного чисел [13] и др. Поэтому предполагается, что СМ - это эффективная теория поля и должна существовать более фундаментальная теория, объясняющая физику за пределами СМ. Основными экспериментальными сигналами поиска физики за пределами СМ являются [14]: сигналы, включающие лептоны, струи и фотоны с высоким поперечным импульсом (рт) или недостающим поперечным импульсом; сигналы, включающие долгоживущие частицы; сигналы с усиленными коллими-рованными массивными адронными струями и др.

Адроны - составные частицы, участвующие во всех четырёх известных типах взаимодействий: сильном, электромагнитном, слабом и гравитационном. Лептоны - это именно те фундаментальные частицы, которые в сильных взаимодействиях не участвуют. Сильное взаимодействие - это одно из фундаментальных

взаимодействий, которое ответственно за образование адронов, ядер атомов, а также за распад некоторых нестабильных элементарных частиц (резонансов). Эта сила является короткодействующей с радиусом порядка 10—13 см. Время жизни нестабильных частиц, распады которых происходят за счёт сильных взаимодействий, имеет порядок 10—22 — 10—24 с. Такое короткое время жизни связано с большой величиной интенсивности сильного взаимодействия по сравнению с другими силами. В процессах взаимодействий и превращений частиц под действием сильных взаимодействий выполняются все законы сохранения - как аддитивные законы сохранения (энергии, импульса, момента импульса, зарядов и изоспина), так и мультипликативные (зарядовая четность, Р-, Т- четности, СР- четность и СРТ- инвариантность) [15]. Это одна из особенностей сильного взаимодействия, являющихся источником сильной СР - проблемы, а именно - загадочного сохранения СР симметрии в сильных взаимодействиях [16, 17]. В наши дни для описания сильных взаимодействий кварков и глюонов принято использовать Квантовую хромодинамику [18—20] - неабелеву калибровочную теорию поля, основанную на локальной калибровочной симметрии относительно цветовой группы SUc(3). Идея кварков как фундаментальных составляющих адронов была введена в [21, 22]. Предполагается, что сильные взаимодействия обладают точной симметрией группы SUc(3), обеспечивающей безмассовость глюона - неабелева калибровочного бозона, переносчика сильного взаимодействия между цветовыми зарядами кварков [23]. При этом три цветных кварка реализуют фундаментальное представление группы SUc(3). Глюоны электрически нейтральны, но при этом несут на себя цветовой и антицветовой заряды из-за некоммутативности группы симметрии. Цветовой заряд экспериментально не наблюдаем. Введение цвета в КХД следует из трудностей кварковой модели [24]. Однако утроение кварковых состояний не приводит к увеличению адронных состояний, которые можно классифицировать лишь мультиплетами по квантовым числам ароматов [23]. Поэтому в КХД вводится дополнительный постулат, носящий название конфайнмента или принципа бесцветности: все адронные состояния и физические наблюдаемые - синглеты (инварианты) относительно преобразований цветовой группы [24]. Только бесцветные состояния могут быть наблюдаемы. Специфическая черта КХД - это наличие самодействия глюонного поля. Глюоны переносят цветовой заряд, поэтому они могут взаимодействовать между собой. Эта особенность, характерная для любой неабе-левой калибровочной теории, приводит к свойству асимптотической свободы, т.е.

уменьшению константы связи на малых расстояниях [23]. Антиэкранировка цветового заряда при поляризации вакуума КХД виртуальными глюонами, которые размазывают цветовой заряд кварка по окружающей его области пространства, приводит к ослаблению силы цветового взаимодействия двух кварков при их сближении друг с другом [15]. В КХД эффективная константа связи аДО2} как функция переданного импульса О2 возрастает при малых передаваемых импульсах (больших расстояниях) и логарифмически убывает при больших О2 ^ то (малых расстояниях) [25]. Физически рост константы связи на больших расстояниях (небольших энергиях) приводит к конфайнменту (удержанию) цветных кварков внутри адронов. Кварки и глюоны не могут существовать вне области их сильного взаимодействия. Другим важным свойством КХД является спонтанное нарушение киральной симметрии [26, 27].

Свойства конфайнмента и асимптотической свободы сильного взаимодействия могут привести к некоторым важным физическим следствиям. В нормальных условиях цветовые заряды в адронах удерживаются неабелевым калибровочным полем, образующим бесцветные нейтральные состояния. Однако при помещении некоторой системы адронов в экстремальные условия при больших передачах импульса О2, т.е. при больших температурах, и/или в пространственной области, где адроны сильно перекрывают друг друга (больших плотностях) может произойти явление деконфайнмента [28—32], т.е. высвобождения цветового заряда из адронов в ограниченной области пространства вакуума КХД, меньшей по размеру, чем аддитивная сумма размеров всех взаимодействующих адронов, и образования бесцветного нейтрального состояния для системы в целом. Такое особенное состояние вещества принято называть кварк-глюонной плазмой (КГП) [33--36]. Наоборот, при удалении кварков друг от друга в силу того, что эффективный потенциал взаимодействия между кварками посредством глюонного поля линейно растет [37], после достижения энергии критического значения происходит обратный процесс адронизации, когда энергия связи становится достаточно большой для рождения кварк-антикварковой пары и сепарации глюонного поля в две разные бесцветные области, соответствующие двум новым адронам. При этом оба эти явления - цветового деконфайнмента и адронизации - могут привести к появлению кварк-адронного фазового перехода [38—41], т.е. фазового перехода между адронной фазой и фазой КГП. Фазовые переходы КХД обычно принято описывать посредством фазовой диаграммы Т — цв, зависимости температуры от барионного химического потенциала [42—45]. Точки на

этой фазовой диаграмме представляют собой фазовые состояния сильно взаимодействующей системы, а разные фазы такой системы разделены линиями, при пересечении которых КХД система претерпевает фазовый переход. Другим важным фазовым переходом КХД является киральный фазовый переход, связанный с киральной симметрией лагранжиана КХД в приближении безмассовых кварков [42, 46, 47]. Так как сильные взаимодействия при высоких энергиях приближённо инвариантны относительно киральной группы симметрий, то КГП кирально симметрична. Однако спонтанное нарушение киральной симметрии приводит к неисчезающим вакуумным средним значениям и генерации динамической массы у безмассовых кварков из-за образования конденсата кварков и антикварков, т.е. кирального конденсата, при образовании адронов.

Эффективным численным рабочим инструментом для теории квантовой хромодинамики, используемым для описания термодинамических свойств кварк-глюонной плазмы и фазовой диаграммы КХД, является решеточная КХД [48—55]. Решеточная КХД - это статистическая модель полей квантовой хромодинамики, построенная на основе равновесной статистической механики и термодинамики. Однако решеточная КХД как фундаментальная теория даёт достоверные результаты для физических величин только при нулевом химическом потенциале. При ненулевых значениях химического потенциала решеточная КХД не может описывать термодинамические состояния КГП из-за возникновения так называемой проблемы знака, т.е. статистическая сумма КХД при ненулевых значениях химического потенциала становится комплексным числом, а термодинамические величины становятся нефизическими. Поэтому поиск происхождения проблемы знака в решёточной КХД и её решения становится первоочередной задачей физики высоких энергий сильных взаимодействий в непертурбативной области.

Предполагается, что кварк-глюонная плазма образуется при высоких температурах Т > 170 МэВ или больших значениях барионной плотности рв ~ (5 — 10) ро, когда плотность энергии достигает « 1 ГэВ/фм3. В природе эти два условия достигаются в ранней вселенной после большого взрыва и в ядрах нейтронных или кварковых звёзд. Однако в лабораторных условиях кварк-глюонная плазма, возможно, может быть образована только в релятивистских столкновениях тяжёлых ионов высоких энергий [33, 56—61]. Поиск кварк-глюонной плазмы в релятивистских столкновениях тяжёлых ионов был произведен на двух основных установках - RHIC и LHC. Открытие сильно взаимодействующей кварк-глюонной плазмы, имеющей свойства идеальной жидкости, было объявле-

но совместно четырьмя коллаборациями RHIC [62—65]. На будущих установках FAIR и NICA планируется исследовать свойства КГП при более низких энергиях столкновения. Кварк-глюонная плазма, образованная в столкновениях тяжёлых ионов, существует в пространственном и временном масштабах в несколько фм и несколько фм/с соответственно и не может быть напрямую наблюдаема. Поэтому о её образовании можно судить лишь опосредовано из результатов измерения, наблюдаемых в конечном состоянии процесса столкновений двух ядер. Сигналами КГП в столкновениях тяжёлых ионов могут служить следующие наблюдаемые [47]: 1.) повышенный выход квантовых чисел странности и очарованности, 2.) повышенный выход античастиц, 3.) увеличенный выход термальных фотонов и дилептонов, 4.) потеря энергии партоном в КГП и соответствующий подавленый выход адронов с большими значениями pT, 5.) коллективный поток и соответствующие азимутальные анизотропии, 6.) модификация свойств тяжёлых мезонов из-за антиэкранировки цветного заряда в КГП, 7.) модификация массы и ширины распада лёгких векторных мезонов из-за восстановления киральной симметрии и др.

Неэкстенсивная статистика Цаллиса, введённая в науку К. Цаллисом [66], представляет собой обобщённую равновесную статистическую механику, построенную на основе математического переопределения статистической энтропии Больцмана-Гиббса и применения принципов равновесной термодинамики. В настоящее время существуют по крайней мере три версии статистики Цаллиса [66, 67], основанные на одной и той же обобщённой энтропии [68—70], известной как энтропия Цаллиса [66, 67] (см. более конкретные пояснения в [71]), которые отличаются друг от друга только определением математических ожиданий операторов. Первый вариант статистики Цаллиса [66, 67, 72, 73], также называемый статистикой Цаллиса-1, определяется стандартным математическим ожиданием, как в статистике Больцмана-Гиббса. Такие математические ожидания согласуются с условием нормировки вероятностей в полном соответствии с требованиями статистической механики и теории вероятностей. Второй вариант статистики Цаллиса (статистика Цаллиса-2) [66, 67, 74] основан на обобщённых математических ожиданиях операторов, которые не согласуются с условием нормировки вероятностей. Такие нетрадиционные математические ожидания приводят к противоречивой связи между статистической механикой, теорией вероятностей и теорией равновесной термодинамики в силу того, что (1) = 1. В третьем варианте статистики Цаллиса [67], называемом статистикой

Цаллиса-3, используются нормированные обобщённые математические ожидания операторов. Однако, в отличие от статистики Цаллиса-2, нормированные значения обобщённого математического ожидания статистики Цаллиса-3 согласуются с условием нормировки вероятностей микросостояний. Распределения вероятностей для всех трёх вариантов статистики Цаллиса имеют степенной вид вместо экспоненциального, и в пределе q ^ 1 все три версии этой статистики полностью приводятся к статистике Больцмана-Гиббса. Энтропия Цаллиса - неэкстенсивная величина, т.е. при делении системы на две и более подсистем энтропия системы неаддитивна [66], если энтропийный параметр q -фундаментальная константа. При этом средняя энергия системы неаддитивна (неэкстенсивна) для статистики Цаллиса-2 и аддитивна (экстенсивна) для статистики Цаллиса-1 и Цаллиса-3 [67, 71]. Одним из самых больших недостатков статистики Цаллиса-2, кроме неправильно нормированных средних по ансамблю, является тот факт, что распределение вероятностей статистики Цаллиса-2 не инвариантно относительно однородного сдвига энергетического спектра [67, 75]. При этом распределения вероятностей для статистики Цаллиса-1, статистики Цаллиса-3 и q - дуальной статистики инвариантны относительно таких однородных трансляций энергии [75, 76]. Несмотря на успех статистики Цаллиса в описании экспериментальных данных во многих областях физики, до сих пор теоретическое обоснование статистики Цаллиса [66, 67] далеко от окончательного. Обобщённая статистическая механика Цаллиса по определению формулируется в точке теплового равновесия, так же как и обычная статистика Больцмана-Гиббса, только с обобщённой статистической энтропией. Таким образом, доказательство термодинамической самосогласованности статистики Цаллиса остаётся первоочередной задачей, хотя некоторый прогресс был достигнут. В этом направлении существует несколько подходов [72, 73, 77—84]. К сожалению, обобщённая статистическая механика Цаллиса имеет проблемы с нулевым законом термодинамики из-за неэкстенсивности энтропии Цаллиса. Было обнаружено, что ни один из вариантов статистики Цаллиса не удовлетворяет нулевому закону термодинамики, если параметр q является универсальной константой. Смотрите критику и последующие обсуждения q-энтропии статистики Цаллиса в работах [85—87]. Для того чтобы решить эту проблему, Абе и др. [77] ввели в рамках канонического ансамбля некую физическую температуру и давление, удовлетворяющие нулевому закону термодинамики. Также было введено экстенсивное представление для неэкстенсивной энтропии Цаллиса [88, 89]. Однако, как было показано

в [83, 90—92], такие преобразования переменных, включая энтропию, приводят лишь к переходу от термостатистики Цаллиса к экстенсивной статистической механике Гиббса или Реньи, но при этом они не решают проблему нулевого закона термодинамики для статистики Цаллиса. В [81] было предположено использовать некий неаддитивный микроскопический гамильтониан специального вида, подобный по форме неэкстенсивной энтропии Цаллиса. В этом случае гамильтониан зависит от температуры системы, что влечёт за собой изменение термодинамических соотношений и приводит к потере самосогласованности такой статистической механики. С проблемой нулевого закона термодинамики близко связан принцип аддитивности в термодинамическом пределе. Известно, что равновесная термодинамика - это теория, определённая в термодинамическом пределе. В равновесной термодинамике все термодинамические величины принадлежат классу однородных функций первого (экстенсивные величины) и нулевого (интенсивные величины) порядка. Следовательно концепция термодинамического предела играет решающую роль в сравнении равновесной статистической механики и термодинамики. В этом случае для термодинамических систем граничными эффектами пренебрегают и берутся в учёт только короткодействующие силы взаимодействия. В термодинамическом пределе средние по ансамблю с соответствующим распределением вероятностей должны обеспечивать выполнение нулевого, первого, второго, и третьего законов равновесной термодинамики, а также принцип аддитивности, который делит все термодинамические переменные на экстенсивные и интенсивные. Более того, должны выполняться также фундаментальное уравнение термодинамики, соотношение Гиббса-Дюгема и теорема Эйлера. В работе Абе [82] была предпринята попытка определить термодинамический предел на частном примере идеального газа в каноническом ансамбле. Однако такой термодинамический предел не согласован. Правильное определение термодинамического предела для статистики Цаллиса в частном случае было приведено в Ботет и др. [92, 93], а для общего случая было разработано в [72]. Отметим, что важным критерием правильности термодинамического предела является эквивалентность всех ансамблей. Вывод фундаментального уравнения термодинамики для термостатистики Цаллиса на основе распределения вероятностей канонического ансамбля был выполнен в [83, 91]. По сравнению с предыдущими исследованиями, в работах [72, 73, 84] был предложен прямой термодинамический метод доказательства нулевого закона термодинамики для статистики Цаллиса, основанный на ис-

следовании термодинамических величин как функций от переменных состояния системы в термодинамическом пределе в соответствии с требованиями равновесной термодинамики. В работе [72] из математического анализа энтропии Цаллиса было выявлено в общем виде, что в статистике Цаллиса величина ^ = 1/^ — 1) является экстенсивной переменной, а не константой. В [72] было доказано, что статистическая механика Цаллиса в микроканоническом ансамбле удовлетворяет всем требованиям равновесной термодинамики и нулевой закон в термодинамическом пределе выполняется лишь в том случае, когда энтропийный индекс 1/^—1) - экстенсивная переменная состояния системы. То же самое было доказано для канонического и большого канонического ансамблей статистики Цаллиса в работах [73, 84]. Аналогичные результаты были получены для статистики Реньи с ^ = 1/(^ — 1) [94] и неполной неэкстенсивной статистики с ^ = q/(1 — q) [95]. Связь с термодинамикой для неэкстенсивной статистики Ландсберга-Ведрала, введённой в работе [96], была изучена в [96, 97]. Критика метода мультиномиальных коэффициентов для статистики Цаллиса и Реньи была дана в работе [98].

Спектры адронов по поперечному импульсу (рт) несут важную информацию о механизме рождения адронов, образованных в протон-протонных (рр) и ядро-ядерных (АА) столкновениях высоких энергий. Эти распределения позволяют определять многие другие экспериментальные величины [47], такие как коллективные потоки, факторы ядерной модификации, отношения выходов адро-нов и т. д. В настоящие время для описания экспериментальных распределений по поперечному импульсу частиц, рождённых в протон-протонных реакциях и релятивистских столкновениях тяжёлых ионов при энергиях LHC и RHIC, обычно используются степенные функции [99—104], а также вдохновленные статистикой Цаллиса [66] Цаллиса-подобное распределение [105—110] и феноменологическое распределение Цаллиса по поперечному импульсу [111—131]. Феноменологические распределения Цаллиса по поперечному импульсу были введены в работах [114, 132—134] и получили широкое применение в физике высоких энергий. Однако как Цаллиса-подобное распределение по поперечному импульсу, так и феноменологическое распределение Цаллиса имеют проблемы фундаментального характера. В работе [135] было показано, что в изначальной работе [136] при выводе Цаллиса-подобного классического [1 — (1 — q)(£p — Ц-)/Т]— и квантового 1 / ([1 — (1 — q)(ep — Ц-)/Т]— ± 1) распределений из статистики Цаллиса [66, 67] в приближении факторизации была допущена математическая неточность, приведшая к нарушению связи между этими одно-частичными распределениями и

статистикой Цаллиса. Математическая неточность в [136] заключается в том, что функция распределения вероятностей была получена из принципа максимальной энтропии с использованием обобщённого определения значений математического ожидания для статистики Цаллиса-2, но при этом одночастичные функции распределения были рассчитаны на основе этого распределения вероятностей статистики Цаллиса-2 с использованием стандартного определения значений математического ожидания для нормализованной статистики Цаллиса-1. Эта процедура противоречива и приводит к неверным результатам. Феноменологические распределения Цаллиса были получены в работах [114, 132] путём максимизации обобщённой энтропии идеального газа вместо максимизации энтропии Цаллиса. Этот метод даёт правильные результаты только для обычной статистики Больцмана-Гиббса [137]. Однако в случае статистики Цаллиса такой метод приводит к несогласованным результатам (см. доказательство в [138]). Более того, недавно было аналитически доказано, что феноменологическое распределение Цаллиса, введённое в работах [114, 132], в случае безмассовых частиц соответствует приближению нулевого члена для статистики Цаллиса-2 (см. работу [138]). В случае массивных частиц этот результат был подтвержден в работе [139]. Статистика Цаллиса-2 по определению математически противоречива [67, 75, 138, 139], так как в этой статистике математические ожидания операторов не согласованы с уравнением нормировки распределения вероятностей, в частности (1) = 1. Таким образом, феноменологическое распределение Цаллиса по поперечному импульсу, введённое в работах [114, 132], в случае, когда оно принадлежит статистике Цаллиса [66, 67], основанной на энтропии Цаллиса, не обосновано с точки зрения основ статистической механики. Для того чтобы решить эту проблему и правильно связать феноменологическое распределение Цаллиса с основами статистической механики, в работе [140] была специально введена новая неэкстенсивная статистика, названная д - дуальной статистикой, в рамках большого канонического ансамбля на основе д - дуальной энтропии вместо энтропии Цаллиса. В этом случае проблема (1) = 1 устраняется и феноменологическое распределение Цаллиса становится обоснованным с точки зрения основ статистической механики. В работе [140] было показано, что феноменологическое распределение Цаллиса эквивалентно одно-частичному распределению по поперечному импульсу для д - дуальной статистики в приближении нулевого члена. Таким образом, феноменологическое распределение Цаллиса [114, 132] обосновано с точки зрения основ статистической механики лишь в том случае, если оно

принадлежит q - дуальной статистике вместо статистики Цаллиса [140]. Следует отметить, что q - дуальная статистика в рамках канонического ансамбля впервые была введена в физику в работе [75].

Впервые точные распределения по поперечному импульсу и в приближении нулевого члена для статистики Цаллиса были найдены в работах [138, 141, 142]. Эти распределения были вычислены в рамках статистики Цаллиса-1 в ультрарелятивистском приближении для безмассовых частиц Максвелла-Больцмана. В ультрарелятивистском приближении для термодинамических величин статистики Цаллиса удаётся получить точные аналитические выражения [138, 141, 142]. Для массивных частиц точные результаты удаётся записать только в интегральной форме для всех трёх статистик частиц (Максвелла-Больцмана, Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна) [139]. Аналитические результаты для массивных частиц в приближении первого и второго членов разложения были найдены в [143]. Точные распределения по поперечному импульсу и в приближении нулевого члена для q - дуальной статистики в большом каноническом ансамбле были найдены в работе [140]. Впервые точные распределения по поперечному импульсу для статистики Цаллиса-1 были применены для описания экспериментальных данных для протон-протонных столкновений при энергиях LHC и RHIC в работах [138, 141].

В настоящее время релятивистская статистическая механика широко используется для описания экспериментальных данных и объяснения явлений в физике высоких энергий, космологии и астрофизике [144—149]. Для этого успешно используются не только распределения вероятностей статистики Больцмана-Гиббса, но и функции распределения, основанные на обобщённой статистической механике, такие как статистика Цаллиса или Реньи [109, 111, 112, 150]. Любая равновесная статистическая механика строится на основе законов равновесной термодинамики. Поэтому в основе релятивистской статистической механики лежит теория релятивистской термодинамики. В современной физике существует несколько формулировок релятивистской термодинамики движущегося тела на основе специальной теории относительности (СТО). Первые попытки дать релятивистскую формулировку для термодинамики были предприняты ещё Планком [151], Эйнштейном [152], фон Лауэ и другими (см., например, работу [153] и приведённые там ссылки). Однако до сих пор не существует единой окончательной формулировки теории релятивистской термодинамики, и эта проблема фундаментальной физики остаётся открытой [153, 154]. На сегодняш-

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Парван Александру, 2023 год

г - е

1+ О

- т

= 1 для я < 1

(3.12)

и

г( к—г) -е—

- т

Я — и 2п

дг = 1 для я > 1,

(3.13)

с

где в' = г(1 — я)/яТ и

По (в') = — у 1п ^ (в'),

^ (в') = £ е

г

— в '(Е—»Ъ)

(3.14)

(3.15)

Уравнения (3.12) и (3.13) связывают нормировочную функцию Цаллиса-1 Л с термодинамическим потенциалом (3.14) статистики Больцмана-Гиббса. Средние статистические значения (3.9) также можно записать в интегральном представлении. Используя уравнения (2.96) и (2.97) для я < 1 и я > 1 соответственно, получаем [139, 142]:

(А) =

1

оо

Г ' 1—97 0

г1-- е

1+ ,-1л-^о (в')

(А)с (в') дг для Я< 1

(3.16)

и

(А) = Г

с

-г

1+ ,-1Л-"о(в')

(А)с (в') дг для Я> 1,

где

1

(А)* <в')=А

в' (Е—^)

(3.17)

(3.18)

Уравнения (3.16) и (3.17) связывают средние по ансамблю для статистики Цаллиса-1 с соответствующими средними по ансамблю (3.18) для статистики Больцмана-Гиббса.

е

3.1.2 Ультрарелятивистский идеальный газ адронов

Вычисления в этом подпараграфе следуют работе [138].

Точный результат

Рассмотрим ультрарелятивистский идеальный газ частиц с классической статистикой Максвелла-Больцмана в рамках статистики Цаллиса-1 в большом каноническом ансамбле. Термодинамический потенциал для частиц Максвелла-Больцмана в представлении чисел заполнения можно записать в следующем виде [84, 138]:

П = £ Р,[Л + Т (1 - с1 )]= Е

1

[Пря]

П Приври

1

1

Л + (д - 1) Е при(^р - М-)

ри

1 +

л при(^р - м-)

1 — 1 ри

1

т

1

9-1

(3.19)

где £р = \р\ - одночастичная энергия и при = 0,1,... - числа заполнения. Подставляя уравнение (3.7) в формулу (3.19), получаем [138]:

П = ± [Л + (1 - 1)(Е - ^(М))], 1

(3.20)

где Е = ^2г РЕ - энергия и N) = ^ г $,¡N1 - среднее число частиц системы.

Нормировочное уравнение (3.8) для частиц Максвелла-Больцмана статистики Цаллиса-1 в большом каноническом ансамбле принимает вид [138]

Е

[пр&]

1

П при!

ри

1+

л -^2 при(.^р - м-)

1 - 1 р и

1

т

1

9-1

= 1.

(3.21)

Отметим, что при д < 1 сумма по числам заполнения в уравнении (3.21) расходится. Это происходит потому, что степенная функция в этой сумме при больших значениях числа частиц N и энергии Е системы может не подавлять сильного

роста числа микро со стояний системы, соответствующих этим значениям N и Е. Следовательно, чтобы извлечь физические состояния системы при фиксированных значениях д < 1, сумма должна быть ограничена при больших значениях N. Конкретное определение схемы обрезания при д < 1 даётся ниже. В случае, когда д > 1, аргумент степенной функции в уравнении (3.21) может быть отрицательным числом при больших значениях энергии Е. Поэтому для д > 1 мы накладываем предписание для обрезания Цаллиса [281].

Средние числа заполнения для частиц Максвелла-Больцмана статистики Цаллиса-1 можно записать как [138]

ПрИ) -

Е

{про}

'ри

П при!

ри

1 +

Л - Е Прц(£рР - Ц-)' д — 1 ри

д

Т

1

9-1

(3.22)

Среднее число частиц системы в большом каноническом ансамбле определяется выражением [138]

N) - -

д &

д ц

ТУ г

Е

ри

п

ри

Е

при

ри

{Про}

П при!

ри

1+

Л - Е при(.£р - ц)

д - 1 р и

1

9-1

дТ

Энергия системы в большом каноническом ансамбле равна [138]

(3.23)

Е-

Т2дТ(Й у. + ^) - ^^

Е

{Про}

Прц\

ри

1+

л - Е при(^р - ц)

д - 1 р и

д

Т

1

9-1

(3.24)

1

Энтропия системы Я для частиц Максвелла-Больцмана статистики Цаллиса-1 может быть записана как [138]

i от) ^ ¿п nW

■pvi pg

1 Л - X] При ( £р - Ц.)

pg

q Т

Л — ^ Прст(бр - Ц-)

1 + q — 1 pg_

q Т

1

9-1

(3.25)

Тогда энтропия (3.25) и термодинамический потенциал (3.19) удовлетворяют соотношениям [138]

Я = - 1Л - Е+ ^> ^^ (3.26)

Я Т я - 1 т v '

и

Я = - " - Е+ ^}, (3.27)

где последнее уравнение - это преобразование Лежандра.

Распределение числа частиц по поперечному импульсу и быстроте выражаются через числа заполнения в следующем виде [138]:

(2М V

dpT dy (2п)3

/ dфpт£рр {npg) (3.28)

g о

и

2п с»

dN V

..........(п.

dy (2п)3

J dф J dpTPTер {npg), (3.29)

g о о

где ер = pT cosh y для ультрарелятивистских частиц, pT и y - поперечный импульс и быстрота соответственно, а {npg) - средние числа заполнения, определяемые уравнением (3.22).

Вычислим суммы в уравнениях (3.19) и (3.21)-(3.25). Подставляя уравнение (2.96) для q < 1 и уравнение (2.97) для q > 1 в формулу (3.21) и используя статистическую сумму для ультрарелятивистского идеального газа Максвелла-Больцмана в статистике Больцмана-Гиббса в большом каноническом ансамбле [138]

Z = exp (9Vt e"/T) ' (3.30)

получаем

N0 ~ М

£ Nмо)

N=0

1 +

д - 1 Л + цЖ

д

Т

-Ч +3N

д-1

где

и

Лл(^) =

П)Г( ^ - £ - 3(Ж + п))

^л(^) =

Г( 1-1 - « (- )3^+п)г( 1-1 + £)

= 1.

для д < 1

1-1

г( 1-1 + I + 3(Ж + п))

для д > 1.

(3.31)

(3.32)

(3.33)

Здесь Си = дУТ3/п2 и д - фактор спинового вырождения. Для д < 1 верхняя граница суммирования Ж0 в уравнении (3.31) фиксируется из условия N < — 1/3(д - 1) и точки перегиба логарифма функции [138]:

си

N

Ф(Ж) = ж М0)

1+

д - 1 Л + цЖ

д

Т

-ГГ +3N --1

(3.34)

Тогда N = N является решением уравнения [138]

д21п ф(Ж) дЖ2

= 0.

(3.35)

Это ограничение представляет собой наш рецепт регуляризации расхождений, возникающих при д < 1. Для д > 1 верхнюю границу суммирования Ж0 в уравнении (3.31) следует определять из условий 1 + (д - 1)(Л + цЖ)/(дТ) > 0 и д/(д - 1) + 3Ж < ж. Отметим, что после решения уравнения (3.31) функция нормировки Л становится функцией от переменных состояния (Т.У.д. ц). В пределе Гиббса д ^ 1 функция нормировки Л из уравнения (3.31) восстанавливает свое значение для статистики Больцмана-Гиббса [138]:

Л = — Т 1п Z =

дУТ4

ц/т

п2

(3.36)

и это термодинамический потенциал большого канонического ансамбля.

Подставляя уравнения (2.96), (2.97) в формулу (3.22) и используя статистическую сумму (3.30) и средние числа заполнения для ультрарелятивистского идеального газа Максвелла-Больцмана в статистике Больцмана-Гиббса [138,142]

Р -> — I!

(3.37)

при / — р

— р т

получаем:

При/ -

N0 и

£ Nмо)

N=0

N!

1+

д - 1Л - ер + ц(Ж + 1)

д

Т

-ГГ +3N

д—1

(3.38)

где Л вычисляется из уравнений (3.31)-(3.33). Для д < 1 верхняя граница суммирования N0 такая же, как в уравнении (3.31). Однако для д > 1 верхний предел N0 должен определяться из условий 1 + (д — 1)(Л — £р + |х(Щ + 1))/(дТ) > 0 и д/(д — 1) + 3Щ < то. Таким образом, при фиксированных значениях д > 1 одночастичные энергии ограничиваются условием £р < Л + ^ + дТ/(д — 1). В пределе Гиббса д ^ 1 средние числа заполнения (3.38) принимают значения Больцмана-Гиббса (3.37).

Подставляя уравнения (2.96), (2.97) в формулу (3.23) и используя статистическую сумму (3.30) и среднее число частиц для ультрарелятивистского идеального газа Максвелла-Больцмана для статистики Больцмана-Гиббса [138],

(Щ> = ^ е»/т, (3.39)

п2

получаем:

с N +1

Щ!

(Щ> = Е ^Т М0)

си"-. _ , д - 1 Л + ц.(Щ + 1)

1 +

дТ

—+3(N +1)

(3.40)

N=0

где верхняя граница суммирования Щ0 для д < 1 такая же, как и в уравнении (3.31). Для д> 1 Щ0 определяется из условий 1 + (д - 1)(Л + ц.(Щ + 1))/(дТ) > 0 и д/(д - 1) + 3(Щ + 1) < то. В пределе Гиббса д ^ 1 среднее число частиц (3.40) приводится к своему значению для статистики Больцмана-Гиббса (3.39).

Подставляя уравнения (2.96), (2.97) в формулу (3.24) и используя статистическую сумму (3.30) и энергию для ультрарелятивистского идеального газа Максвелла-Больцмана в статистике Больцмана-Гиббса [138],

Е = в»/т, (3.41)

п2

имеем:

N0 „ы + 1 г .л . . ччи — + 3^+1)

, N +1

Е = 3Т£^Г 1ч <1)

N=0

си"-. _ , д - 1 Л + ^(Щ + 1)

1+

дТ

(3.42)

где верхняя граница суммирования Щ0 для д < 1 такая же, как и в уравнении (3.31). Для д> 1 Щ0 определяется из условий 1 + (д - 1)(Л + ц.(Щ + 1))/(дТ) > 0 и 1/(д - 1) + 2 + 3(Щ + 1) < то. В пределе Гиббса д ^ 1 энергия (3.42) приводится к своему значению для статистики Больцмана-Гиббса (3.41).

Используя уравнения (3.19), (2.96), (2.97), (3.30), (3.39) и (3.41), получаем термодинамический потенциал для ультрарелятивистского идеального газа в

большом каноническом ансамбле в виде [138]

^=1л + я-1Т

дд

3 - ц+д—13Л

Т д Т

^ С N+1

£

N=0

N!

М1)

1+

д - 1Л + ц(N + 1)

д

Т

-—Г+3^ +1)

(3.43)

где верхняя граница суммирования N0 такая же, как в уравнении (3.31) для д < 1, и такая же, как в уравнение (3.42) для д > 1. В пределе Гиббса д ^ 1 термодинамический потенциал (3.43) приводится к термодинамическому потенциалу для статистики Больцмана-Гиббса (3.36) [138]:

дУТ4

^ = Л =

ц/т

п2

(3.44)

Используя уравнения (3.25), (2.96), (2.97), (3.30), (3.39) и (3.41), получаем энтропию ультрарелятивистского идеального газа в большом каноническом ансамбле в форме [138]:

* = - V1

дТ д

ц д - 1 3Л

3 -г: + а--

Т д Т

^ си N +1

£

N=0

N!

М1)

1+

д - 1Л + ц^ + 1)

д

Т

-—г+3^+1)

(3.45)

где верхняя граница суммирования N0 такая же, как в уравнении (3.31) для д < 1, и такая же, как в уравнении (3.42) для д > 1. В пределе Гиббса д ^ 1 энтропия (3.45) приводится к энтропии для статистики Больцмана-Гиббса [138] -

* = 4-

ц \ дУТ3

ц/Т

Т п2

(3.46)

Подставляя уравнение (3.38) в формулу (3.28), получаем распределение по поперечному импульсу для ультрарелятивистских частиц Максвелла-Больцмана в большом каноническом ансамбле для статистики Цаллиса-1 в виде [138,141,142]:

(2 N дУ

N0 ~ N си

(рТ (у (2п)2

рТ сояЬ у Е N ^(0)

N=0

1+

д — 1 Л — рТ совЬ у + ц^ + 1)

д

Т

-ГГ+3!

д—1

(3.47)

где верхняя граница суммирования N0 такая же, как в уравнении (3.31) для д < 1. Однако для д > 1 верхний предел N0 фиксируется из условий 1 + (д — 1)(Л —

Рисунок 3.1 — Распределения по поперечному импульсу и быстроте для ультрарелятивистских п— пионов для статистики Цаллиса-1 (сплошные линии) и статистики Больцмана-Гиббса (штриховые линии) при температуре T = 100 МэВ, радиусе R = 4 fm, | = 0 и разных значениях параметра q. Кривые 1,2,3,4 и 5 являются расчётами для q = 0.99,0.995,1.0,1.005 и 1.01 соответственно. Рисунок взят

из работы [138].

pT cosh y + |(N + 1))/(qT) > 0 и q/(q — 1) + 3N < о, где поперечный импульс частиц ограничен своим максимальным значением pmax = (Л + | + qT/(q — 1))/ coshy. В пределе Гиббса q ^ 1 распределение по поперечному импульсу (3.47) приводится к распределению Максвелла-Больцмана по поперечному импульсу для статистики Больцмана-Гиббса [138] -

d^N gV 2 л ptcoshy-y-

pT cosh ye T . (3.48)

dpT dy (2п)2

Интегрируя уравнение (3.47) по переменной pT в пределах от 0 до о, приходим к распределению по быстроте для ультрарелятивистских частиц Максвелла-Больцмана в большом каноническом ансамбле в рамках статистики Цаллиса-1 в форме [138]

f = , (3.49)

dy 2 cosh2 y

где (N) - среднее число частиц, заданное формулой (3.40). В пределе Гиббса q ^ 1 среднее число частиц (N) в уравнении (3.49) приводится к виду (3.39).

На рисунке 3.1 показано распределение по поперечному импульсу (левая панель) при фиксированной быстроте y = 0 и распределение по быстроте (правая панель) для ультрарелятивистских п— пионов в рамках статистики Цаллиса-1 и статистики Больцмана-Гиббса при температуре T = 100 МэВ, радиусе R = 4

фм, ц = 0 и различных значениях параметра q. При уменьшении значений параметра q по отношению к единице распределение Цаллиса по поперечному импульсу значительно отклоняется от распределения Больцмана-Гиббса по поперечному импульсу в сторону больших значений pT. Напротив, с увеличением значений параметра q по сравнению с единицей распределение Цаллиса по поперечному импульсу отклоняется от распределения Больцмана-Гиббса по поперечному импульсу в сторону меньших значений pT [138]. Значения параметра q > 1 подавляют появление частиц с большими значениями поперечного импульса. Однако значения параметра q < 1 способствуют рождению частиц с большим поперечным импульсом. Распределение Больцмана-Гиббса по поперечному импульсу быстро убывает с ростом pT и не описывает экспериментальные данные адронов, рожденных в протон-протонных столкновениях высоких энергий. Такое распределение адронов в столкновениях высоких энергий удовлетворительно описывается только значениями параметра Цаллиса q < 1 [138].

Распределения Цаллиса и Больцмана-Гиббса по быстротам имеют вид (3.49) и пропорциональны среднему числу частиц (N). С уменьшением значений параметра q по сравнению с единицей распределение Цаллиса по быстроте увеличивается и становится шире по сравнению с распределением Больцмана-Гиббса (q = 1), а среднее число частиц растет (см. правую панель на рисунке 3.1). Напротив, с увеличением значений параметра q по сравнению с единицей распределение Цаллиса по быстроте уменьшается и сужается по сравнению с распределением Больцмана-Гиббса, а среднее число частиц уменьшается. В общем, среднее число частиц в системе уменьшается с ростом q. Например для q = 0.99,0.995,1.0,1.005 и 1.01 мы имеем среднее число частиц (N) = 7.2,4.9,3.5,2.9 и 2.6 соответственно [138].

Приближение нулевого члена для q < 1

Значение верхней границы суммирования No в уравнении (3.31) уменьшается с отклонением значения q от единицы в диапазоне q < 1. При больших отклонениях q от единицы верхняя граница суммирования обращается в нуль, N0 = 0. Рисунок 3.2 представляет вторую производную логарифма функции (3.34) по N как функцию от N при температуре T = 100 МэВ, радиусе R = 4 фм, ц = 0

и различных значениях параметра д. Для д = 0.9,0.95,0.99,0.995 и 0.999 мы имеем N = 0,1,7,16 и 82 соответственно. Однако из условия конечности энергии (3.42) для статистики Цаллиса-1 следует ограничение д > 3/4 [138].

Будем называть приближением нулевого члена для статистики Цаллиса-1 при д < 1 приближение, при котором суммирование по N обрезается верхним пределом N = 0 [138]. Решая уравнение (3.31) при условии N = 0, получаем функцию нормировки Л = 0. Подставляя это значение Л в уравнение (3.38) и учитывая верхнюю границу N = 0, мы получаем средние числа заполнения в виде [138]

При/ -

1

д - 1 - ц

д

т

1

--1

(3.50)

В пределе Гиббса д ^ 1 уравнение (3.50) приводится к уравнению (3.37), т.е.

п

•ри

= ехр(-

^р-ц т

). Среднее число частиц для статистики Цаллиса-1 (3.40) при

N0 = 0 принимает вид [138]

N) =

дУТ М—

3

г( — - з

П2

Г(

1-д

1 +

д -1 ц

д т

А+з

9-1

(3.51)

В пределе Гиббса д ^ 1 уравнение (3.51) приводится к среднему числу частиц (3.39) для статистики Больцмана-Гиббса, N) = (дУТ3/п2)вц/т. Энергия для статистики Цаллиса-1 (3.42) в приближении нулевого члена приводится к виду [138]

Е =

ЗдУТ4

тМ Г

1-д

1-д

3

П2

Г(

1-д

1+

д -1 ц д т.

-Ч +3

9-1

(3.52)

В пределе Гиббса д ^ 1 уравнение (3.52) приводится к уравнению для энергии (3.41) для статистики Больцмана-Гиббса, Е = (ЗдУТ4/п2)ец/т. Энергия (3.52) для статистики Цаллиса-1 в приближении нулевого члена также ограничена условием д > 3/4.

В приближении нулевого члена термодинамический потенциал (3.43) переписывается как [138]

дУ^ д-1( ц

П2

д

т

3

14 г - з

1-д/ V 1-д

Г( ^

1-д

1+

д -1 ц д т.

А+з

9-1

(3.53)

3

ч

Й

-1