Статистическое моделирование сообщества взаимодействующих особей с учетом их индивидуальных параметров тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Пичугин, Борис Юрьевич

• Пичугин, Борис Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Пичугин, Борис Юрьевич

Введение

Глава 1. Модель изолированной популяции с сезонным размножением и самолимитированием

§1.1 Описание модели.

§1.2 Постоянная интенсивность самолимитирования.

§1.3 Алгоритм моделирования.

§1.4 Условия вырождения популяции.

§1.5 Результаты численных исследований.

Глава 2. Модель сообщества взаимодействующих особей, охарактеризованных набором параметров

§2.1 Описание модели.

§2.2 Алгоритм моделирования.

§2.3 Программная реализация и язык моделирования.

§2.4 Тестовые расчеты

2.4.1 Ветвящийся процесс Беллмана-Харриса.

2.4.2 Общий ветвящийся процесс.

2.4.3 Случайный сигнал.

2.4.4 Модель процесса регулируемого размножения нейтронов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Статистическое моделирование сообщества взаимодействующих особей с учетом их индивидуальных параметров»

Одним из современных направлений математического моделирования является изучение закономерностей социально-демографических и эпидемических процессов, исследование процессов эволюции видов и проблем биологического разнообразия, анализ особенностей развития различных экосистем. Об актуальности этого направления свидетельствует большое количество публикуемых работ и ежегодно проводимых научных конференций, посвященных указанным вопросам.

В ряде прикладных задач в качестве объектов исследования выступают сообщества особей, имеющие достаточно сложную структуру, обусловленную параметрами, характеризующими каждую отдельную особь. К таким параметрам могут относиться возраст, масса, размер особи, ее принадлежность к фиксированной группе и т.д. Взаимодействие особей и изменения их индивидуальных параметров могут существенно влиять на структуру сообщества (численность, возрастной состав, классификация по заданным признакам и пр.). В связи с этим построение математических моделей таких сообществ должно опираться на отдельно взятых особей и их параметрическое описание (модели типа individual-based models, см. обзор [35]).

Один из наиболее адекватных способов изучения сообщества особей с учетом их взаимодействия и изменения индивидуальных параметров состоит в применении вероятностных моделей и численных методов Монте-Карло. В приложениях широко используются общие ветвящиеся процессы ([1], [37], [2], [33], [43], [39], [5]), ветвящиеся процессы с взаимодействием частиц, процессы рождения и гибели ([45], [46], [21], [34], [38], [23], [19], [12], [13], [14]), стохастические дифференциальные уравнения ([32], [8], [17]), а также стохастическая модель Райта-Фишера и ее модификации ([51], [42], [48], [49]). Вместе с тем, для многих сообществ взаимодействие особей существенно зависит от их индивидуальных параметров, включая возраст, распределение времени жизни особей отличается от экспоненциального, первоначально существующие особи имеют достаточно сложные распределения и по возрасту, и по индивидуальным параметрам. Все эти особенности приводят к значительным сложностям при использовании указанного математического аппарата как на этапе создания, так и при исследовании математических моделей таких сообществ.

Целью работы является построение вероятностной модели, описывающей сообщества взаимодействующих особей с учетом их индивидуальных параметров и создание моделирующей программы.

Задачи работы состоят в следующем:

1. Построение и исследование модели изолированной популяции с сезонным размножением, самолимитированием и произвольным распределением времени жизни особей.

2. Построение вероятностной модели, описывающей сообщества взаимодействующих особей с учетом их индивидуальных параметров.

3. Разработка алгоритма имитационного моделирования.

4. Создание и тестирование программного комплекса, состоящего из языка описания модели на ЭВМ и моделирующей программы.

5. Демонстрация работоспособности программного комплекса на примерах сообществ достаточно сложной структуры, возникающих в задачах демографии и экологии.

При построении моделей применялись: теория общих ветвящихся случайных процессов, процессы рождения и гибели, а также марковские случайные процессы. При разработке моделирующей программы широко использовались различные алгоритмы метода Монте-Карло и технология представления данных в виде сбалансированных деревьев. Анализ результатов вычислений осуществлялся методами математической статистики.

Проведенное исследование является продолжением работ по развитию теоретических основ и методов математического моделирования динамики популяций. В работе построен новый класс стохастических моделей, позволяющих учитывать для каждой особи сообщества случайность времени жизни и динамическое изменение ее индивидуальных параметров, а также описывать различные взаимодействия между особями. Разработаны алгоритмы моделирования, структуры данных, язык описания модели и моделирующая программа, которые позволяют эффективно проводить вычислительные эксперименты по исследованию сообществ с достаточно сложной структурой и численностью в десятки и сотни тысяч особей.

Работа состоит из введения, четырех глав и заключения.

В первой главе построена и исследована модель изолированной популяции с сезонным размножением. Рассмотрен случай постоянной интенсивности самолимитирования. Для построенной модели разработан и обоснован алгоритм имитационного моделирования. Аналитически получены необходимые условия вырождения популяции почти наверное. Численно показана достаточность этих условий.

Во второй главе строится модель сообщества взаимодействующих особей с учетом их индивидуальных параметров. Для построенной модели разработан и обоснован алгоритм имитационного моделирования. Описываются программная реализация алгоритма и синтаксис языка моделирования. Указаны возможности моделирующей программы. Произведено тестирование программного комплекса.

В третьей главе приводятся четыре примера, которые иллюстрируют возможности разработанного программного комплекса для описания моделей и проведения вычислительного эксперимента. В этих примерах рассматриваются сообщества, для которых взаимодействие особей существенно зависит от их индивидуальных параметров, распределение времени жизни особей отличается от экспоненциального, первоначально существующие особи имеют достаточно сложные распределения и по возрасту, и по инди- видуальным параметрам.

В заключении перечислены семинары и конференции, на которых обсуждались результаты работы. Приведен список используемой литературы, включая список работ, опубликованных по теме диссертации.

Автор благодарит своего научного руководителя Перцева Н.В. за постановку задач исследования, Нагаева C.B., Недорезова JI.B. и Вахтеля В.И. за их статью [19], которая оказала большое влияние на направление исследований, а также Михайлова Г.А., Топчия В.А. и Добровольского С. М. за внимание, проявленное к работе.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Пичугин, Борис Юрьевич

Результаты работы состоят в следующем.

1. Построена и исследована модель изолированной популяции с сезонным размножением, самолимитированием и произвольным распределением времени жизни особей. Аналитически получены необходимые условия вырождения популяции п.н. Численно установлено, что эти условия являются и достаточными.

2. На основе общих ветвящихся процессов и процессов со взаимодействием частиц построена новая вероятностная модель, описывающая сообщества взаимодействующих особей с учетом их индивидуальных параметров.

3. На основе методов Монте-Карло построен алгоритм имитационного моделирования. Разработаны структуры данных, позволяющие значительно снизить вычислительные затраты при реализации полученного алгоритма на ЭВМ.

4. Создан и протестирован программный комплекс, состоящий из языка описания модели на ЭВМ и моделирующей программы.

5. Работоспособность программного комплекса продемонстрирована на примерах сообществ достаточно сложной структуры, возникающих в задачах демографии и экологии.

По теме диссертации опубликовано 8 работ: [25], [26], [27], [28], [29], [30],

24], [50].

Результаты диссертации докладывались на 39 международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2001 г.), на международных конференциях молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (г. Новосибирск, 2002 г., г. Красноярск, 2003 г.), на международных конференциях по вычислительной математике 1ССМ 2002, МКВМ 2004 (г. Новосибирск, 2002 г., 2004 г.), на первом байкальском рабочем совещании по эволюционной биологии (г. Иркутск, 2004 г.), на семинарах отдела численных методов Монте-Карло института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН (г. Новосибирск, 2003 г., 2004 г.), на семинарах «Математическое моделирование и численные методы» кафедры математического моделирования Омского государственного университета и Омского филиала Института математики СО РАН (г. Омск, 2003 г., 2004 г.), на семинаре лаборатории теории вероятностей Омского филиала института математики СО РАН им. С.Л. Соболева (г. Омск, 2004 г.).

Заключение

Основной итог диссертации состоит в разработке вероятностной модели и программного комплекса, позволяющих исследовать сообщества взаимодействующих особей с учетом их индивидуальных параметров.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Пичугин, Борис Юрьевич, 2004 год

1. Бартлетт М.С. Введение в теорию случайных процессов. — М.: Иностранная литература, 1958. — 384 с.

2. Баруча-Рид А.Т. Элементы теории марковских случайных процессов и их приложения. — М.: Наука, 1969. — 512 с.

3. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. — М.: Мир, 1967. 548 с.

4. Булинский A.B., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 400 с.

5. Ватутин В.А., Зубков A.M. Ветвящиеся процессы. II. — В кн.: Итоги науки и техники // Теория вероятностей и математическая статистика. Том 2. М.: ВИНИТИ, 1993. - 79 с.

6. Гихман И.И., Скороход A.B. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1965. — 656 с.

7. Дибров Б.Ф., Лившиц М.А. Волькенштейн М.В. Математическая модель иммунной реакции И. Стохастические аспекты. // Биофизика. — 1977. Т. 22. - С. 313-317.

8. Диментберг М.Ф. Случайные процессы в динамических системах с переменными параметрами. — М.: Наука, 1989. — 175 с.

9. Добрынский В.А. Об условиях устойчивого существования двух популяций одного вида организмов // Дифференциальные уравнения. — 2001. Т. 37, № 12. - С. 1680-1685.

10. Дорогов В.И., Чистяков В.П. Вероятностные модели превращения частиц. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — 112 с.

11. И. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Курс статистического моделирования.- М.: Наука, 1976. 320 с.

12. Калинкин A.B. Точные решения уравнений Колмогорова для критического ветвящегося процесса с двумя комплексами взаимодействия частиц // Успехи математических наук. — 2001. — Т. 56, Вып. 3. — С. 173-174.

13. Калинкин A.B. О вероятности вырождения ветвящегося процесса с двумя комплексами взаимодействия частиц // Теория вероятностей и ее применения. 2001. - Т. 46, № 2. - С. 376-381.

14. Калинкин A.B. Марковские ветвящиеся процессы с взаимодействием // Успехи математических наук. — 2002. — Т. 57, Вып. 2(344). — С. 2584.

15. Карлин С. Основы теории случайных процессов. — М.: Мир, 1971. — 537 с.

16. Козлов М.В., Прохоров A.B. Введение в математическую статистику.- М.: Изд-во МГУ, 1987. ??? с.

17. Колмановский В.Б., Тихонов A.B. Об устойчивости по вероятности системы Лотки-Вольтерра // Дифференциальные уравнения. — 1996.- Т. 32, № 11. С. 1480-1487.

18. Моран П. Статистические процессы эволюционной теории. — М.: Наука, 1973. 287 с.

19. Нагаев C.B., Недорезов Л.В., Вахтель В.И. Вероятностная непрерывно-дискретная модель динамики численности изолированной популяции // Сибирский журнал индустриальной математики. — 1999. T. II, Вып. 2(4). - С. 147-152.

20. Недорезов Л.В., Назаров И.Н. Непрерывно-дискретные модели динамики изолированной популяции и двух конкурирующих видов // Математические структуры и моделирование. — Омск: ОмГУ, 1998. — Вып. 2. С. 77-91.

21. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах.- М.: Мир, 1979. 277 с.

22. Родионов A.M. О некоторых дискретных моделях межвидового взаимодействия // Автоматика и телемеханика. — 2000. — № 12. — С. 122129.

23. Перцев Н.В. Вероятностная модель динамики взаимодействующих частиц с ограниченным временем жизни // Математические структуры и моделирование. — Омск: ОмГУ, 1998. — Вып. 1. — С. 60-71.

24. Перцев Н.В., Пичугина А.Н., Пичугин Б.Ю. Поведение решений дис-сипативной интегральной модели Лотки-Вольтерра // Сиб. журн. ин-дустр. математики. 2003. - Т. 6, № 2(14). - С. 95-106.

25. Пичугин Б.Ю., Перцев Н.В. Статистическое моделирование популяций взаимодействующих частиц с произвольным распределением времени жизни // Математические структуры и моделирование. — Омск: ОмГУ, 2001. Вып. 7. - С. 67-78.

26. Пичугин Б.Ю. Точечные распределения в модели взаимодействия частиц // Материалы 39 международной научной студенческой конференции «Студент и научнотехнический прогресс»: Математика. — Новосибирск: НГУ, 2001. С. 80.

27. Пичугин Б.Ю. Стохастическая модель изолированной популяции с сезонным размножением и самолимитированием // Сиб. журн. индустр. математики. 2003. - Т. 6. - № 4(16). - С. 75-81.

28. Пичугин Б.Ю. Стохастическая модель сообщества взаимодействующих особей, охарактеризованных набором параметров // Труды международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004.

29. I / Под ред. Г.А. Михайлова, В.П. Ильина, Ю.М. Лаевского. — Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2004. С. 303-309.

30. Пригарин С.М. Введение в численное моделирование случайных процессов и полей. Часть II. — Новосибирск: НГУ, 1999. — 113 с.

31. Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. — М.: Наука, 1987. — 366 с.

32. Севастьянов Б.А. Ветвящиеся процессы. — М.: Наука, 1971. — 436 с.

33. Севастьянов Б.А., Калинкин А.В. Ветвящиеся случайные процессы с взаимодействием частиц // Доклады АН СССР. — 1982. — Т. 264, Ж 2. С. 306-308.

34. Фурсова П. В., Левич А. П. Математическое моделирование в экологии сообществ // Проблемы окружающей среды (обзорная информация ВИНИТИ) 2002. - № 9. - 106 с.

35. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. — М.: Наука, 1973. — 312 с.

36. Харрис Т.Е. Теория ветвящихся случайных процессов. — М.: Мир, 1966. 355 с.

37. Aagaard-Hansen Н., Yeo G.F. A stochastic discrete generation birth, continuous death population growth model and its approximate solution // J. Math. Biol. 1984. - V. 20. - P. 69-90.

38. Asmussen S., Hering H. Branching Processes. — Stuttgart: Birkhauser, 1983. 461 p.

39. Anderson R.M., May R.M. Population biology of infectious disease. Part I // Nature. 1979. - V. 280. - P. 361-367.

40. Bagdonavicius V., Nikulin M. Accelerated life models: modeling and statistical analysis. — Charman and Hall / CRC, 2002. — 334 p.

41. Bobrowski A., Wang N., Chakraborty R., Kimmel M. Non-homogeneous infinite sites model under demographic change: mathematical description and asymptotic behavior of pairwise distributions // Mathematical Biosciences. 2002. - V. 175. - P. 83-115.

42. Jagers P. Branching processes with biological applications. — London: Wiley and Sons, 1975. — 268 c.

43. Jagers P. Coupling and population dependence in branching processes // The Annals of Appl. Prob. 1997. - V. 7, N. 2. - P. 281-298.

44. Kostitzin V.A. La Biologie Mathematique. — Paris: A. Colin, 1937. — 198 c.

45. Leslie P.H. A stochastic model for studying the properties of certain biologycal systems by numerical methods // Biometrika. — 1958. — V. 45.- P. 16-31.

46. Michelson S. A system for Monte-Carlo simulation of heterogeneous tumar cell population // Computers and Math. Applic. — 1990. — V. 20. — N. 4- 6. P. 139-148.

47. Mohle M. Forward and backward process in bisexual models with fixed population sizes //J. Applied Probability. — 1994. — V. 31. — P. 309-332.

48. Mohle M., Sagitov S. Coalescent patterns in diploid exchangeable population models // J. Math. Biol. 2003. - V. 47. - P. 337-352.

49. Polanski A., Kimmel M., Chakraborty R. Application of a time-dependent coalescence process for inferring the history of population size changes from DNA sequence data // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1998. - Vol. 95. — P. 5456-5461.