Статистическое моделирование рекордов и экстремальных величин тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат наук Пахтеев Артем Игоревич

• Пахтеев Артем Игоревич
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Пахтеев Артем Игоревич

Оглавление

1 Введение

1.1 Общая информация

1.2 Краткое содержание работы

2 Общая информация о порядковых статистиках, рекордах и методах генерирования случайных величин

2.1 Порядковые статистики

2.2 Рекорды

2.3 Основные методы генерирования случайных величин

2.3.1 Дискретный случай

2.3.2 Непрерывный случай

3 Методы генерирования непрерывных рекордов

3.1 Генерирование рекордов в случае гамма-распределения

3.1.1 Алгоритм генерирования гамма-рекордов при а € (0,1)

3.1.2 Алгоритм генерирования гамма-рекордов при а >

3.1.3 Визуальное сравнение результатов статистического моделирования и численных расчетов

3.1.4 Критерий хи-квадрат

3.2 Генерирование рекордов в случае нормального распределения

3.2.1 Сравнение алгоритмов и их асимптотические свойства

3.2.2 Критерий хи-квадрат

3.2.3 Сравнения наших алгоритмов с ранее известными алгоритмами

3.3 Генерирование рекордных моментов

3.4 Генерирование нормальных максимумов

4 Предельные теоремы для спейсингов дискретных рекордов

4.1 Спейсинги дискретных рекордных величин

4.2 Предельные теоремы для спейсингов дискретных рекордов

4.3 Сильные предельные теоремы для спейсингов дискретных рекордов

5 Генерирование дискретных рекордов

5.1 Алгоритмы генерирование дискретных рекордов

5.2 Примеры

Заключение

Литература

Приложение Коды генерирования

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Статистическое моделирование рекордов и экстремальных величин»

Глава 1 Введение § 1.1 Общая информация

Актуальность исследований. Теория экстремальных порядковых статистик и рекордов важна и актуальна в связи с различными приложениями, возникающими в актуарной и финансовой математике, метеорологии, гидрологии, в теории надежности и медицине. Математическая теория рекордов берет свое начало со статьи Чендлера [13] (Chandler "The distribution and frequency of record values" 1952), опубликованной в 1952 году и стимулирующей появление последующих работ этой тематики. Первые исследования, посвященные порядковым статистикам, начали проводиться намного ранее. Теория порядковых статистик была подробно изложена в книге Дэйвида и Нагараджи [14] (David and Nagaraja "Order Statistics" 2003).

В ходе развития теории экстремальных порядковых статистик и рекордов в ней выделились отдельные направления. Интересным и востребованным современным направлением развития теории экстремальных порядковых статистик и рекордов является статистическое моделирование этих случайных величин. Моделирование рекордов и экстремумов важно для различных прикладных задач. Это могут быть задачи, связанные с промышленным напряжением и испытанием на прочность, задачи теории игр и финансовой математики, приложения, связанные с отказом технических устройств и конструкций. Приведем пример одной из таких задач, возникающей в биостатистике. Предположим, что разработчиков некоторого медицинского препарата интересует влияние препарата на показатели артериального давления пациентов. Клинические исследования показывают, что показатели артериального давления после применения данного препарата имеют нормальное распределение. Генерирование максимумов и минимумов больших нормальных выборок позволяет моделировать поведение максимумов и миниму-

мов артериального давления пациентов при массовом применении препарата.

Состояние исследований. Подробную информацию о порядковых статистиках, рекордах и индуцированных ими случайных величинах можно найти в книгах Галамбоша [1] ("Асимптотическая теория экстремальных порядковых статистик" 1984), Невзорова [3] ("Рекорды. Математическая теория" 2000), в обзорных статьях Пайка [22] (Pyke "Spacings - with discussion" 1965) и Нагараджи [18] (Nagaraja Record values and related statistics - A review 1988), в статье Верваата [31] (Vervaat "Limit theorems for records from discrete distributions" 1973), в книгах Арнольда, Ба-лакришнана и Нагараджи [6], [7] (Arnold, Balakrishnan and Nagaraja "A first course in order statistics" 1992, "Records" 1998), Ахсануллаха и Невзорова [4] (Ahsanullah and Nevzorov "Ordered random variables" 2001 и [5] "Record via Probability Theory" 2015), а также в уже упоминавшейся книге Дэйвида и Нагараджи [14] (David and Nagaraja "Order Statistics" 2003).

Как уже отмечалось выше, новым и интересным направлением дальнейшего развития теории рекордов и экстремальных порядковых статистик является разработка алгоритмов генерирования этих величин и моделирование процессов, связанных с рекордами и экстремумами. Первыми публикациями в этой области были труды Байрамова и Степанова [8] (Bairamov and Stepanov "Numbers of near bivariate record-concomitant observations" 2011), Лакетта [17] (Luckett "Statistical Inference Based on Upper Record Values" 2013), Невзорова и Степанова [20] (Nevzorov and Stepanov "Records with confirmation" 2014), Степанова, Берреда и Невзорова [30] (Stepanov, Berred and Nevzorov "Concomitants of records: Limit results, generation techniques, correlation" 2016).

В завершении краткого обзора публикаций рекордной тематики приведем ряд наших работ, посвященных статистическому моделированию рекордов и экстремумов: [33]-[39].

Целью диссертационной работы является разработка алгоритмов генери-

рования больших последовательностей рекордных моментов, величин и максимумов на основе метода обратного преобразования и метода выборки с отклонением, а также проведение экспериментов статистического моделирования с рекордами и максимумами и вывод предельных теорем для спейсингов дискретных рекордных величин.

Научная новизна. Предложены и реализованы новые эффективные алгоритмы генерирования больших последовательностей рекордных величин, рекордных моментов и нормальных максимумов. Выведены предельные теоремы для спей-сингов дискретных рекордов.

Апробация результатов. По результатам диссертационной работы опубликовано 7 работ, из них 4 в журналах, индексируемых Scopus, 1 в журнале, рекомендованным ВАК. Основные результаты доложены на 2 научных семинарах, на 1 международной и 1 региональной конференциях. Среди них были конференции и семинары:

• семинар кафедры Статистического Моделирования Математико-Механического факультета СПбГУ. 11 апреля 2017 г.;

• семинар 6 отдела (Методы вычислительной физики) института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН. 24.10.2017 г.;

• международная конференция «Аналитические и вычислительные методы в теории вероятностей и ее приложениях — АВМТВ 2017». РУДН 24.10.2017 г.;

• межвузовский научный семинар БФУ им. И. Канта совместно с Военно-морским институтом (ВМИ). 08.02.2018 г.

Основные положения, выносимые на защиту

• Алгоритмы, обоснования и расчеты для генерирования больших последовательностей рекордов, полученных из выборок, имеющих нормальное распределение и гамма-распределение;

• алгоритмы, обоснования и расчеты для генерирования больших последовательностей рекордных моментов и нормальных максимумов;

• алгоритмы, обоснования и расчеты для генерирования больших последовательностей рекордов, имеющих дискретные распределения;

• предельные теоремы для спейсингов дискретных рекордов.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из пяти глав, заключения, списка литературы из 39 наименований и приложения. Общий объем работы 100 страниц.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору А.В. Степанову за помощь при проведении научных исследований по теме диссертационной работы.

§1.2 Краткое содержание работы

Глава 1 является введением диссертации. В параграфе 1.1 представлена основная информация по теме исследований. В параграфе 1.2 приводятся основные понятия и обозначения, используемые в диссертационной работе, и кратко излагается содержание работы. Нумерация формул, лемм, теорем, алгоритмов и утверждений, приводимых в данном параграфе, совпадает с нумерацией, используемой в соответствующих главах.

Основные понятия и обозначения, используемые в диссертации. Пусть

Х\,Х2,... - последовательность случайных величин. Везде в диссертации будем

предполагать, что такие величины заданы на одном вероятностном пространстве. 0 < р п.н. г г

Записи ^ и ^ будут использоваться для обозначения сходимости по распределению, по вероятности и с вероятностью единица, соответственно. В диссерта-

ционной работе будем использовать следующие обозначения:

Р(х) = Р{X < х}, f (х) = Р'(х),

рп = Р{X = п}, дп = Р{X ^ п}.

Записи X(п), Ь(п) будут, соответственно, использоваться для обозначения п-й рекордной величины и п-го рекордного момента. Буквы Ф и ф будут использоваться для обозначений стандартной нормальной функции распределения и ее плотности, т.е.

В дискретном и непрерывном случаях обратную функцию функции распределения

Кратко изложим содержание диссертации. В главе 2 диссертационной работы приводится общая информация, касающаяся порядковых статистик, рекордов и методов генерирования случайных величин. В параграфе 2.1 дается краткий обзор тематики порядковых статистик. В параграфе 2.2 рассматриваются рекордные времена и величины и приводится ряд важных формул из теории рекордов. Параграф 2.3 содержит в себе основные методы генерирования случайных величин в дискретном и непрерывном случаях.

В главе 3 диссертации разрабатываются методы и алгоритмы генерирования рекордов, полученных из выборок, имеющих непрерывные распределения. В параграфе 3.1 предлагаются алгоритмы генерирования последовательностей рекордных величин X(п) (п ^ 1), полученных из выборок, имеющих гамма-распределение с параметром формы 0 < а < 1 и а > 1, соответственно. Приведем эти алгоритмы.

и

Р(х) определим равенством Р :(х) = т£{у : Р(у) > х}.

Алгоритм 3.1.2 При 0 < а < 1 последовательность X(п) (п ^ 1) может быть сгенерирована в несколько этапов.

Шаг 1. Генерируем X(1) = х\ с гамма-распределением Г(х\а) методом выборки с отклонением. При п ^ 1 применяем метод выборки с отклонением и следующий рекурсивный подход. Предполагаем, что величина X (п) — хп уже сгенерирована.

Шаг 2. Генерируем случайное число — щ. Генерируем У — у о плотностью

д(у\хп) = е—у+Хп (у > хп),

то есть находим значение у из равенства у — хп — 1пщ.

Шаг 3. Генерируем случайное число и2 — и2. Если и2 < ^ , то полагаем

X(п + 1) — у. Иначе возвращаемся к шагу 2.

Алгоритм 3.1.3 При а > 1 последовательность гамма-рекордов X(п) (п ^ 1) может быть сгенерирована в несколько этапов.

Шаг 1. Генерируем X(1) — XI с гамма-распределением Г(х\а) методом выборки с отклонением. При п ^ 1 применяем метод выборки с отклонением и следующий рекурсивный подход. Предполагаем, что величина X (п) — хп уже сгенерирована.

Шаг 2. Генерируем случайное число — щ. Генерируем У — у о плотностью

1 У-Хп

д(у \ хп,Мл) — — е (у>хп),

мА

где Мл —-/Хп 2 =. Для этого полагаем у равным хп — мА 1п Щ.

Хп а+Л/ (Хп +4хп

Шаг 3. Генерируем случайное число и2 — и2.

Если

Щ. <

(у (1 - А^ V 1 „-*( 1-^ ) +а—1

а-1

то полагаем X(п + 1) = у. Иначе возвращаемся к шагу 2.

Данные алгоритмы тестируются далее в параграфе 3.1 экспериментами статистического моделирования. Показывается эффективность этих алгоритмов.

В параграфе 3.2 рассматриваются методы и алгоритмы генерирования нормальных рекордов. Приведем основной алгоритм генерирования нормальных рекордов.

Пусть XI ^2,... - последовательность независимых одинаково распределенных величин, имеющих функцию распределения Ф, а X(1)^(2),... - последовательность соответствующих нормальных рекордов.

Алгоритм 3.2.1 Последовательность X(п) (п ^ 1) может быть сгенерирована в несколько этапов.

Шаг 1. Генерируем X(1) = X1,X(2),...,X(г) (г ^ 1) прямым методом генерирования рекордов до тех пор, пока не произойдет событие {X(г) > 0}.

При п ^ г применяем метод выборки с отклонением и следующий рекурсивный подход. Предполагаем, что величина X(п) = хп уже сгенерирована.

Шаг 2. Генерируем случайные числа и1 = и1, и2 = и2 и вводим обозначение

в * _ хи + л/хП+4

Рп 2 .

Шаг 3. Если

—21пи > (хп - 1пи1/РП - РП)2, то полагаем X(п + 1) = хп — 1п и1 /Рп. Иначе возвращаемся к шагу 2.

Алгоритм 3.2.1 и другие алгоритмы данного параграфа (не приводимые здесь) тестируются экспериментами статистического моделирования. Показывается эф-

фективность этих алгоритмов.

В параграфе 3.3 разрабатываются методы генерирования рекордных моментов в общем непрерывном случае. В параграфе 3.4 предлагаются алгоритмы генерирования максимумов нормальных выборок.

В главе 4 выводятся предельные теоремы для спейсингов X (n + m) — X (n) дискретных рекордных величин. В частности, приводятся следующие результаты.

Теорема 4.2.1 Пусть lim ßn = ß £ (0,1), где ßn = qn±L. Тогда величины

X(n + 1) — X(n),... ,X(n + m) — X(n + m — 1) асимптотически независимы для любого фиксированного m ^ 2 и

где ХБ(1—ртт) - отрицательная биномиальная случайная величина с параметрами 1 — в и т, т.е.

n

X(n + m) — X(n) NB(i—ßm) (n — то),

P(NB{l—ßm) = k) = Cm——11(1 — ß)mßk—m (k > m).

Теорема 4.3.1 Пусть

Тогда

X (n + 1) — X (n) — то.

п.н.

Теорема 4.3.2 Пусть ^ТО=1 ßn < то. Тогда

X (n + 1) — X (n) - 1.

Глава 5 посвящена методам генерования дискретных рекордов. Пусть X1,X2,... - независимые одинаково распределенные случайные величины, принимающие значения 0,1,... с функцией распределения Г, такой что Г(п) < 1 (п ^ 1). Для случая, когда обратная функция распределения Г—1 может быть найдена явно, для генерирования дискретных рекордных величин приводится алгоритм 5.1.1. В случае же, когда обратную функцию распределения Г—1 нельзя найти явно, для генерирования дискретных рекордов используется алгоритм 5.1.2, основанный на методе выборки с отклонением. Предположим, что величина

X (п) = г ^ п — 1

уже сгенерированна. Пусть У - дискретная случайная величина (которая может быть сгенерирована методом обратного преобразования) с функцией вероятности дк,г+ь определенной на множестве {г + 1, г + 2,...}.

Алгоритм 5.1.2 Последовательность дискретных рекордов X(п) (п ^ 1) генерируем в несколько этапов.

Шаг 1. Генерируем X (1) = X1. При п ^ 1 применяем метод выборки с отклонением и следующий рекурсивный подход. Предполагаем, что случайная величина X (п) = г ^ п — 1 уже сгенерирована.

Шаг 2. Генерируем У = к с функцией вероятности дк,г и случайное число и = и.

Шаг 3. Если

Рк

и <

дк,г+1 йир (Р3/д3,1+1)' 3 >г+1

то полагаем X(п + 1) = к. Иначе возвращаемся к шагу 2.

Заключение диссертации по теме «Теория вероятностей и математическая статистика», Пахтеев Артем Игоревич

Заключение

В данной диссертационной работе разрабатывались методы и алгоритмы генерирования экстремальных порядковых статистик и рекордов и выводились предельные теоремы для спейсингов дискретных рекордных величин. Во введении диссертации было показано, что разработка алгоритмов генерирования рекордов и экстремумов позволяет моделировать поведение этих случайных величин для решения различных прикладных задач. Это могут быть задачи, связанные с промышленным напряжением и испытанием на прочность, задачи теории игр и финансовой математики, приложения, связанные с отказом технических устройств и конструкций. Данное направление исследований является новым, интересным направлением развития математической теории рекордов и экстремумов.

Работа состоит из пяти глав, заключения, списка литературы, насчитывающего 39 наименований, и приложения, содержащего коды программ. Первая глава диссертации является введением. В главе 2 диссертационной работы приводится общая информация, касающаяся порядковых статистик, рекордов и методов генерирования случайных величин. В главе 3 диссертации разрабатываются методы и алгоритмы генерирования рекордов, полученных из выборок, имеющих непрерывные распределения. В главе 4 выводятся предельные теоремы для спейсингов дискретных рекордных величин. Глава 5 посвящена методам генерирования дискретных рекордов.

Все поставленные научным руководителем цели были достигнуты:

- были предложены и реализованы новые эффективные алгоритмы генерирования больших последовательностей рекордных величин, рекордных моментов и нормальных максимумов.

- были выведены предельные теоремы для спейсингов дискретных рекордов.

Разработанные в диссертации новые алгоритмы генерирования рекордов име-

ют практическую ценность. Алгоритмы генерирования гамма-рекордов позволяют генерировать большие последовательности рекордов (до двух миллиардов рекордных величин). Разработанные новые эффективные алгоритмы генерирования нормальных рекордных величин значительно превосходят по быстродействию и эффективности работы все ранее известные алгоритмы генерирования. В диссертации впервые разработаны алгоритмы генерирования больших последовательностей рекордных моментов в общем непрерывном случае и алгоритмы генерирования максимумов нормальных выборок.

Теоретическая значимость работы состоит в выводе предельных теорем для спейсингов дискретных рекордов при помощи метода анализа хвостов дискретных вероятностных распределений.

По результатам диссертационной работы опубликовано 7 статей, из них 4 в журналах, индексируемых Scopus, 1 в журнале, рекомендованным ВАК.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Пахтеев Артем Игоревич, 2020 год

Литература

1. Галамбош Я. Асимптотическая теория экстремальных порядковых статистик. - М.: Наука. 1984.

2. Ермаков С.М., Сипин А.С. Метод Монте-Карло и параметрическая разделимость алгоритмов. - Издательство СПбГУ. 2014.

3. Невзоров В.Б. Рекорды. Математическая теория. - М.: ФАЗИС. 2000.

4. Ahsanullah M. and Nevzorov V.B. Ordered random variables. - Nova Science Publisher. NY. 2001.

5. Ahsanullah M., Nevzorov V. B. Record via Probability Theory. - Atlantis Press. 2015.

6. Arnold B.C., Balakrishnan N., Nagaraja H.N. A first course in order statistics. -Wiley. New York. 1992.

7. Arnold B.C., Balakrishnan N., Nagaraja H.N. Records. - John Wiley & Sons. New York. 1998.

8. Bairamov I., Stepanov A. Numbers of near bivariate record-concomitant observations. // Journal of Multivariate Analysis. 2011. Vol. 102. P. 908-917.

9. Balakrishnan N., Chan P.S. On the normal record values and associated inference. // Statist. Probab. Lett. 1998. Vol. 39. P. 73-80.

10. Balakrishnan N., Stepanov. A. Runs based on records: Their distributional properties and an application to testing for dispersive ordering. // Methodol. Comput. Appl. Probab. 2013. Vol. 15. P. 583-594.

11. Balakrishnan N., Stepanov, A. Generalization of Borel-Cantelli lemma. // The Mathematical Scientist. 2010. Vol. 35. P. 61-62.

12. Balakrishnan N., So H.Y. Zhu, X.J. On Box-Muller Transformation and Simulation of Normal Record Data. // Communication in Statistics - Simulation and Computations. 2016. Vol. 45(10). P. 3670-3682.

13. Chandler K.N. The distribution and frequency of record values. //J. Royal Statist. Soc. ser. B. 1952. Vol. 14. P. 220-228.

14. David H.A., Nagaraja, H.N. Order statistics. - Wiley. 3rd edn. New York. 2003.

15. Hashorva E., Stepanov A. Limit theorems for the spacing of weak records. // Metrika. 2012. Vol. 75. P. 163-180.

16. Kundu D., Gupta R.D. A Convenient way of generating gamma random variables. // Computational Statistics and Data Analysis. 2007. Vol. 51. P. 2796-2802.

17. Luckett D.J. Statistical Inference Based on Upper Record Values. - PhD thesis. The College of William and Mary. 2013.

18. Nagaraja H.N. Record values and related statistics - A review. // Comm. Statist. Theory Methods. 1988. Vol. 17. P. 2223-2238.

19. Nagaraja H.N. Some characterizations of geometric tail distributions based on records. // Statistical Papers. 1989. Vol. 30(1). P. 147-155.

20. Nevzorov V.B., Stepanov A. Records with confirmation. // Statist. Probab. Lett. 2014. Vol. 95. P. 39-47.

21. Pakes A., Steutel F.W. On the number of records near the maximum. // Austral. N. Z. J. Statist. 1997. Vol. 39. P. 179-193.

22. Pyke R. Spacings (with discussions). // J Roy Stat Soc B. 1965. Vol. 27. P. 395449.

23. Renyi A. On the extreme elements of observations, In Selected papers of Alfred Renyi. Budapest: Akademiai Kiado. 1976. Vol. 3. P. 50-65. (Translation of the

paper - Edy megfigyelessorozat kiemelkedo elemeirol. Mag. Tud. Acad. 3 Oszt. Kozl. 1962. Vol. 12. P. 105-121. )

24. Ross S.M. Simulation. - Elsevier. 4-th Edition. 2006.

25. Shorrock R.W. A limit theorem for inter-record times. // Journal of Applied Probability. 1972. Vol. 9(1). P. 219-223.

26. Shorrock R. W. On record values and record times. // Journal of Applied Probability. 1972. Vol. 9. P. 316-326.

27. Stepanov A. Characterizations of a Geometric Class of Distributions. // Theor. Probability and Math. Statist. 1990. Vol. 41. P. 133-136.

28. Stepanov A. Conditional moments of record times. // Statist. Pap. 2003. Vol. 44(1). P. 131-140.

29. Stepanov, A. On Simulation of Weak Records. // Communication in Statistics -Simulation and Computation. 2019. Volume 48. P. 796-806

30. Stepanov A., Berred A., Nevzorov V.B. Concomitants of records: Limit results, generation techniques, correlation. // Statistics & Probability Letters. 2016. Vol.109. P. 184-188.

31. Vervaat W. Limit theorems for records from discrete distributions. // Stochastic Processes and their Applications. 1973. Vol. 1. P. 317-334.

32. Wichura M. J. Algorithms AS 241: The percentage points of the normal distribution. // Journal of the Royal Statistical Society. Ser. C. 1998. Vol. 37. P. 477-484.

Список публикаций по теме диссертации

Статьи в журналах, индексируемых Scopus:

33. Pakhteev A. and Stepanov A. Simulation of Gamma Records. // Statist. Probab. Lett. 2016. Vol. 119. P. 204-212.

34. Pakhteev A., Stepanov A. Generating Large Sequences of Normal Maxima via Record Values. // Vestnik St. Petersburg State University, Mathematics. 2018. Vol. 51(3). P. 260-266.

35. Pakhteev A. and Stepanov A. Discrete records: Limit theorems for their spacings and generation methods. // Statist. Probab. Lett. 2019. Vol. 148. P. 134-142.

36. Pakhteev A. and Stepanov A. On Simulation of Normal Records. // Communication in Statistics - Simulation and Computation. 2019. Vol. 48(8). P. 2413-2424.

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК РФ для публикации научных результатов диссертационных исследований:

37. Пахтеев А. И., Алгоритм генерирования нормальных рекордных величин: асимптотические свойства. // Наука. Общество. Оборона. 2018. Вып. №2(19). DOI: 10.24411/2311-1763-2019-10191

Статьи в прочих журналах:

38. Пахтеев А. И., Степанов А. В. Генерирование рекордов методом выборки с отклонением. // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Серия: Физико-математические и технические науки. 2016. Вып.(№3). С. 2431.

39. Pakhteev A.I. Some Algorithms of Record Generation. Аналитические и вычислительные методы в теории вероятности и ее приложениях (АВМТВ-2017) // Analytical and Computation Methods in Probability Theory and its Applications (ACMPT-2017): материалы Международной научной конференции. Россия, Москва. 23-27 октября 2017 г. / под общ. ред. А.В. Лебедева - Москва: РУДН. 2017. - 743с. С. 467-470.