Статистическое моделирование процессов переноса в случайных полях скоростей на примере пористых и турбулентных сред тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Колюхин, Дмитрий Романович

• Колюхин, Дмитрий Романович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Колюхин, Дмитрий Романович

Введение.

1. Спектральная стохастическая эйлерова модель трехмерного потока в пористой среде.

1.1 Описание модели.

1.2 Спектр случайного поля скорости.

1.3 Численная процедура моделирования случайного поля скорости.

1.4 Эйлеровы статистические характеристики потока.

1.4.1 Примеры реализаций случайного поля скорости.

1.4.2 Тестирование моделирующей процедуры.

1.4.3 Моделирование поля вихря.

1.5 Лагранжевы статистические характеристики потока.

2. Прямое моделирование потока в пористых средах.

2.1 Процедура прямого численного моделирования.

2.2 Тестирование моделирующей процедуры.

2.3 Численные результаты. Сравнение численных результатов прямого моделирования с результатами модели, полученной в приближении малых флук-туаций поля гидравлической проводимости.

2.3.1 Эйлеровы статистические характеристики потока.

2.3.2 Лагранжевы статистические характеристики потока.

3. Двухмерная спектральная стохастическая эйлерова модель горизонтального потока в безнапорном водоносном слое.

3.1 Описание модели.

3.2 Спектр случайного поля скорости.

3.3 Эйлеровы статистические характеристики потока.

3.3.1 Примеры реализаций случайного поля скорости.

3.3.2 Тестирование моделирующей процедуры.

3.3.3 Пространственная структура поля скорости.

3.4 Лагранжевы статистические характеристики потока.

4. Стохастическая лагранжева модель рассеяния двух частиц в турбулентном потоке.

4.1 Обзор стохастических моделей турбулентного рассеяния.

4.2 Описание модели.

4.2.1 Модель псевдотурбулентности.

4.2.2 Комбинированная эйлерово-лагранжева модель.

4.3 Численные результаты.

4.3.1 Средний квадрат расстояния между двумя частицами.

4.3.2 Принцип Томсона "два к одному".

4.3.3 Интенсивность флуктуаций концентрации пассивной примеси.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Статистическое моделирование процессов переноса в случайных полях скоростей на примере пористых и турбулентных сред»

При решении научных и технических задач широко применяется математическое моделирование Для изучения многих сложных физических и естественнонаучных процессов часто используется статистический подход Статистическое описание естественно применяется в статистическои механике, теории турбулентности, физико-химической кинетике и других областях науки Одной из наиболее важных и актуальных проблем при этом является построение математических моделей, адекватно описывающих изучаемые процессы, и разработка численных методов, позволяющих эффективно решать поставленные задачи с использованием современной вычислительной техники В связи с этим, в последнее время остается высок интерес к методам Монте-Карло

Основная часть данной диссертационной работы посвящена построению и исследованию стохастических моделей потоков в пористых средах Пористая среда - это двухфазная формация, состоящая из жесткой матрицы (твердая фаза), и соединяющихся друг с другом пустот (пор), которые могут быть заполнены жидкостью или газом (жидкая фаза) В данной работе мы будем считать, что деформации жесткой матрицы незначительны, и ее можно считать неподвижной

Обычно практический интерес к математическому моделированию течения жидкости в пористых средах связан с изучением течений подземных вод Формирование подземных вод связано с процессами инфильтрации атмосферных осадков, снеготалых вод и конденсации атмосферной влаги Часто подземные воды делят по принадлежности к одной из двух вертикальных зон, в зависимости от степени заполнения пор водой "зону насыщения", в которой все поры полностью заполнены водой, и лежащую над ней "зону аэрации", в которой поры заполнены как водой, так и воздухом Границей между этими зонами является уровень грунтовых вод Движение грунтовых вод подчиняется силе тяжести и осуществляется в виде потоков по сообщающимся порам или трещинам Течение грунтовой воды называется фильтрацией Она зависит от наклона уровня грунтовых вод (или от гидравлического градиента), а также от водопроницаемости почвы

Отличительная особенность естественных пористых сред - нерегулярное распределение форм и размеров пор Поэтому при детерминированном подходе провести необходимые измерения характеристик среды и использовать их, как данные для численной модели, обычно не представляется возможным Расчет для репрезентативной области (протяженность может достигать нескольких километров) потребует большого количества узлов (106 - 10°), и будет слишком трудоемким И, что даже более важно - сама процедура измерения может существенно изменить свойства среды

Первые работы посвященные применению статистического моделирования для решения задач фильтрации были сделаны еще в середине прошлого века Методы Монте-Карло для них применялись в [5], [б] В [7] методом блуждания по решеткам решается задача неустановившейся фильтрации в безнапорном пласте Коэффициент фильтрации в модели считался постоянным

В середине семидесятых годов прошлого века в исследовании подземных вод сформировался новый раздел - стохастическое моделирование потока и переноса примесей в почве Этот подход основан на стагистическом описании сильно меняющихся в пространстве физических параметров потоков При статистическом подходе не требуется знать точные значения параметров модели во всей среде Достаточно определить их вероятностные распределения В [18] Фриз проанализировал существовавшие в литературе данные о коэффициенте фильтрации (далее мы будем чаще употреблять термин - гидравлическая проводимость, в англоязычной литературе - hydraulic conductivity) К (х) Он первым предложил использовать для описания нерегулярного пространственного поведения ii(x) математический аппарат случайных полей и попытался найти вероятностное распределение, наиболее точно описывающее экспериментальные данные [16] Его результаты показали, что коэффициент фильтрации лучше всего описывается случайным полем с логнормальным распределением То есть In К можно считать гауссовским случайным полем N{rrif,Gf) со средним значением mj и средним отклонением ст/ При таком подходе и другие физические характеристики потока естественно рассматривать, как случайные поля

Обычно при решении дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами для нахождения статистических характеристик решения используются два подхода метод малых возмущений и прямое численное решение дифференциальных уравнений с некоторыми реализациями случайных параметров

Метод малых возмущений применим только в случае малости флуктуа-ций случайных параметров Несмотря на сильные ограничения, этот метод широко используется в статистической гидрологии Например, в приближении малых возмущений поля логпроводимости (малых aj) характеристики потока представляют в виде суммы убывающего ряда, где нулевой член соответствует решениям уравнений движения при aj = 0 или средним значениям этих характеристик Тогда решение задачи для п первых членов ряда называют решением в аппроксимации n-ого порядка В [9] Барк и др в аппроксимации первого порядка получили формулы для корреляционных функций гидравлического потенциала в случае одномерного и трехмерного потоков В продолжении этой работы в [23] исследовалась зависимость между <т/ и точностью вычисления дисперсии гидравлического потенциала сг| В одномерном случае относительная погрешность результатов, полученных для аппроксимации первого порядка по сравнению с точными значениями дисперсии составила 7% при оj = 1 и увеличилась до 50% при сг/ = 2

Используя спектральные методы и аппроксимацию второго порядка, Да-ган [15] вывел поправку для корреляционной функции потенциала в трехмерном случае Он заметил, что аппроксимация первого порядка достаточно точна Даже при значении дисперсии In К, равном единице, поправка второго порядка аппроксимации для дисперсии гидравлического потенциала составляет меньше 10% от результатов аппроксимации первого порядка В [17] проводилось исследование точности приближения первого порядка при вычислении дисперсии скорости Авторы пришли к выводу, что при а^ << 1 поправка второго порядка аппроксимации относительно мала, но при значениях а^ сравнимых с единицей она уже становится существенной

Статистический подход применялся также для описания переноса примесей в пористых средах, например в [35], [20], [21], [14] Обширный обзор работ по данной теме можно найти в монграфиях [16], [22] Существуют модели, основанные на статистическом описании других физических величин, например, коэффициента химической абсорбции [12] или деградации констант [26] Асимптотический анализ параметров переноса и сравнение двух процедур осреднения по статистическому ансамблю приведены в [36]

В общем случае, когда флуктуации случайных параметров не малы, строгое решение задачи можно получить только прямым численным моделированием Этот подход позволяет также решить задачу в сложной области, но требует больших вычислительных ресурсов Было сделано несколько попыток построить модель потока в трехмерной пористой среде для произвольных значений сг/

В [45] и [46] проведен анализ одномерного и двухмерного устойчивых грунтовых потоков в ограниченной области Модельная область имела блочную структуру с коррелириванными значениями гидравлической проводимости в соседних блоках Для такой блочнопостоянной аппроксимации поля проводимости методом конечных разностей численно решалось уравнение Дарси и находились реализации поля гидравлического потенциала Это позволило авторам оценить дисперсию гидравлического потенциала, не используя предположения о малости возмущений 1п К Нужно заметить, что такой метод моделирования случайного поля не гарантирует ни его однородности ни заданной корреляционной структуры Модифицированная версия, основанная на методе прямой матричной инверсии, использовалась в [11], однако эта моделирующая процедура отличается большой трудоемкостью

Попытка построить модель трехмерного стационарного насыщенного потока, свободную от предположения малости флуктуаций поля гидравлической проводимости, была сделана в [8] Однако авторы столкнулись с существенными вычислительными сложностями В частности, им удалось использовать 125000 узлов сетки, хотя по их собственным оценкам для получения содержательных результатов необходимо N > 106 узлов В работе была получена оценка дисперсии гидравлического потенциала, проведено сравнение с полученными в аппроксимации первого порядка асимптотическими формулами Авторы пришли к выводу, что для оценки статистических характеристик случайного поля скорости, в случае сильно гетерогенной среды, необходимо использовать большую расчетную область, и меньший шаг сетки Как продолжение этой работы, в [48] была построена модель переноса примеси в трехмерной пористой среде Статистические характеристики трехмерной скорости с помощью прямого моделирования оценивались также в [34]

Численно применимость аппроксимации первого порядка в двухмерном случае исследовалась в [24] Для этого вычислялась корреляционная функция скорости вдоль направления средней скорости потока Был сделан вывод, что модели, выведенные в приближении малых возмущений, достаточно точно воспроизводят корреляционную функцию продольной скорости даже при значениях <7/ порядка единицы Однако корреляционная функция поперечной скорости при этих сгf уже сильно отличается от результатов прямого моделирования

В [13] методом Монте-Карло исследуется точность моделей трехмерного потока, основанных на аппроксимации первого порядка Полученные методом малых возмущений эйлерова и лагранжева корреляционные функции сравниваются с результатами прямого моделирования Для моделирования поля логпроводимости использовался алгоритм, описанный в [47] Случайное поле здесь представлялось, как суперпозиция одномерных случайных процессов, и такой алгоритм нельзя назвать эффективным Также, в расчетах методом конечных разностей, бралась слишком грубая сетка (два узла на одну длину корреляции поля логпроводимости)

В [34] построена первая стохастическая модель ланжевеновского типа, в виде системы стохастических дифференциальных уравнений, описывающей положения частиц и их скорости Стоит заметить, что ранее такой подход также широко применялся в решении задач переноса в атмосфере, см [32],[43] Статистические характеристики поля скорости, необходимые для параметризации модели, в этой работе также оценивались с помощью прямого численного моделирования, но достаточной для получения искомых результатов точности достичь не удалось

Другим важным примером статистического описания физических процессов является изучение турбулентных потоков [4] В [56] для исследования турбулентной диффузии Крейчнан построил формулы, моделирующие случайное поле скорости В [57], [65] моделировалось случайное поле скорости со спектром Колмогорова-Обухова

Подобный подход используется в первой и в третьей главах данной работы Для построения стохастических моделей потока в пористых средах применяется техника моделирования случайных полей [40] по спектрам, выведенным из уравнений движения в аппроксимации первого порядка для малых значений сг/ В [44] моделирующие формулы Крейчнана [56] применялись также для анализа диффузии в статистически однородной пористой среде

Настоящая диссертационная работа посвящена построению и исследованию стохастических моделей переноса в пористых и турбулентных средах Основная задача состоит в моделировании сложных полей скоростей потоков Работа состоит из введения, четырех глав и заключения

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Колюхин, Дмитрий Романович

Заключение

Построена стохастическая эйлерова модель трехмерного потока в статистически изотропной и анизотропной пористых средах в предположении малых флуктуаций поля гидравлической проводимости, основанная на спектральном представлении случайных попей

Численные эксперименты показали высокую точность и эффективность моделирующего метода Полученные с помощью спектральных моделей численные результаты в случае малых флуктуаций хорошо согласуются с существующими асимптотическими формулами Это позволило определить область применимости этих асимптотик Вычислены основные статистические характеристики потоков дисперсии продольного и поперечного смещения, лагранжевы корреляционные функции, лагранжевы структурные функции и среднее расстояние между двумя частицами В частности, обнаружен временной интервал с режимом супердиффузии в поперечном рассеянии

Предложена и реализована процедура прямого численного решения системы уравнений, описывающей трехмерный поток в пористой среде Коэффициент гидравлической проводимости среды в законе Дарси представляется как случайное поле с логнормальным распределением, при этом па величину флуктуаций поля гидравлической проводимости не накладывается ограничение малости Исследована область применимости метода малых возмущений Вычислено, что еще при а/ — 0 3 статистические характеристики потока, полученные прямым моделированием, хорошо совпадают с результатами, полученными на основе спектральных моделей При больших а следует использовать предложенный метод прямого моделирования

Разработана двумерная спектральная модель горизонтального потока со свободной поверхностью в случае статистически изотропной пористои среды в аппроксимации "мелкой воды"Дюпюи В поведении эйлеровых и лагранже-вых корреляционных функций и других статистичаских характеристик потока обнаружено подобие в предложенных безразмерных координатах для описания этих функции вместо длины корреляции случайного поля логпро-водимости и средней толщины водоносного пласта можно использовать их отношение, что существенно упрощает качественный анализ

Предложенные стохастические модели позволяют рассчитывать различные статистические характеристики переноса частиц в случайных полях скоростей В частности, в задаче об относительном рассеянии двух частиц в развитом турбулентном потоке численно исследована стохастическая эйлерово-лагранжева модель, удовлетворяющая кубическому закону Ричардсона

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Колюхин, Дмитрий Романович, 2005 год

1. СМ Ермаков, ГА Михайлов Курс статистического моделирования "Наука" М , 1976

2. В П Ильин Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений Новосибирск, Изд ИВМиМГ, 2001

3. ГА Михайлов, К К Сабельфельд О численном моделировании рассеяния частиц в случайных полях скоростей Изв АН СССР, Физика Атмосферы и Океана, Т 16 , N3, 229-235 , 1980

4. АС Монин, А М Яглом Статистическая гидромеханика, Т 1,2 М "Наука", 1967

5. М И Швиндлер Решение плоских фильтрационных задач методом Монте-Карло Изв АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, 1963, N1

6. М И Швиндлер Фильтрационные течения в неоднородных средах М "Госто-птехиздат", 1963

7. В Н Эмих Решение одной плановой задачи неустановившейся фильтрации грунтовых вод методом статистических испытаний Журнал прикладной механики и технической физики, 1967, N4

8. Rachid Ababou, Dennis McLaughlin, Lynn W Gelhai, and Andrew F В Tompson Numerical Simulation of Thiee DimensioHal Saturated Flow m Randomly Heterogeneous Poious Media Transport m Porous Media, 4, 549-565, 1989

9. Bark, A A , L W Gelhar, A L Gutjahr, and J R MacMillan Stochastik analysis of spatial variability m subsurface flows, 1, Comparison of one- and thiee- dimensional flows Water Resour Res , 14(2), 263-271, 1978

10. Beai, J , Dynamics of Fluids m Porous Media American Elseviai, New Yoik, 1972

11. Albeito Bellm, Paolo Salandm, and Andrea Rmaldo Simulation of dispersion m heterogeneous porous foimations statistics, first oider theones, convergence of computations Water Resour Res , 28(9), 2211-2227, 1992

12. Bellm A , Rmaldo A , Bosma W , van der Zee S , Rubm Y Lineai equilibrium adsorbing solute transport m physically and chemiacally heterogeneous porous formations 1 Analytic solutions Water Resour Res , 29, 4019-4031, 1993

13. Chm, D A , and T Wang An investigation of the validity of the first-ordei stochastic dispersion theories m isotiopic poious media Water Resour Res , 28(6), 1531-1542, 1972

14. Dagan G Solute transport m heterogeneous porous formations J Fluid Mech , 145, 151-177, 1984

15. G Dagan A note of the higher-order corrections of the head covanences m steady aquifer flow Water Resour Res , 21, 573-578, 1985

16. G Dagan Flow and Transport m Porous Formation Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, 1989

17. F -W Deng and J H Cushman On higher ordei coriections to the flow velocity covanence tensor Water Resour Res , 31 (), 1659-1672, 1995

18. Freeze R A A stochastic-conceptual analysis of groundwater flow m non-umfoim, homogeneous media Water Resoui Res 11(5), 725 741, 1975

19. Gelhar L W , Gutjahr A L and Naff R L Stochastic analysis of macro-dispersion m a stratified aquifer Water Resour Res , 19, 161-180, 1979

20. Gelhai, LJ, and CL Axness Three-dimentional stochasic analysis of macrodispeision m aquifers Water Resour Res , 19, 161 180, 1983

21. L W Gelhar Stochastic Subsurface Hydrology Englewood Cliffs, New Jersey Pi entice Hall, 1992

22. A L Gutjahr, L W Gelhar, A A Bark and J R MacMillan Stochastik analysis of spatial variability m subsurface flows, 2, Evaluation and Application Water Resour Res , 14(5), 953 959 1978

23. A E Hassan, J H Cushman, J W Delleur A Monte Carlo assessment of Eulerian flow and transpoit pertuibation models Water Resour Res , 34, 1143-1163, 1998

24. Hoeksema R J and P K Kitamdis Analysis of spatial structure of properties of selected aquifer Water Resour Res , 21, 563 572, 1985

25. Kabala Z J and Sposito G Stochastic model of reactive solute transport with time varying velocity m a heterogeneous aquifer Water Resour Res , 27(3), 341-350, 1991

26. Vivek Kapoor Vorticity m three-dimensional random porous media Transport in Porous Media, 26 109-119, 1997

27. Dmitry Kolyukhm and Karl Sabelfeld Stochastic Eulenan model for the flow simulation in porous media Unconfined aquifers Monte Carlo Methods arid Applications (2004), V 10, N 3-4, 341-366

28. Dmitry Kolyukhm and Karl Sabelfeld Stochastic flow simulation m 3D porous media Monte Carlo Methods and Applications (2005), V 11, N 1

29. OA Kuibanmuiadov Weak convergence of randomized spectral models of Gaussian random vectoi fields Bull Nov Comp Center, Nim Anal , 4 (1993), 19-25

30. O A Kuibanmuiadov Convergence of numerical models for the Gaussian fields Russ J Numer Anal Math Modelling, Vol 10 N 4 (1995), 311-323

31. Kuibanmuradov 0 , Sabelfeld K , Smidts 0 and Vereecken H A Lagrangian stochastic model for the transport m statistically homogeneous poious media Monte Carlo Methods and Applications 9 (2003), N 4, 341 366

32. Matheron and de Marsiiy Is transport m porous media always diffusive7 A counter example Water Resour Res , 16(5), 901 917, 1980

33. Metzger D , Kmzelbach H , Neuweiler I and Kmzelbach W Asymptotic transport parameters m a heterogeneous porous medium Comparison of two ensemble averaging procedures Stochastic Environmental research and Risk Assesment, 13 396 415, 1999

34. R L Naff and A V Vecchia Stochastic analysis of three-dimensional flow m a bounded domain Water Resour Res , 22, 695-, 1986

35. Y Rubin and G Dagan Stochastic Analysis of Boundaries Effects on Head Spatial Variability m Heterogeneous Aquifers, 1 Constant Head Boundary Water Resour Res , 24(10), 1689 1697, 1988

36. Y Rubm and G Dagan Stochastic Analysis of Boundaries Effects on Head Spatial Variability in Heterogeneous Aquifers, 2 Impervious Boundary Water Resour Res , 25(4), 707 712, 1989

37. K K Sabelfeld Monte Carlo Methods m Boundary Value Problems New Yoik 1991

38. Karl Sabelfeld and Dmitry Kolyukhm Stochastic Eulerian model for the flow simulation m porous media Monte Carlo Methods and Applications (2003), V 9, N 3, 271-290

39. Sabelfeld K K and Kurbanmuradov O A Stochastic Lagrangian Models for Two-Particle Motion m Turbulent Flow Monte Carlo Methods and Applications (1997), 3, 53-72

40. Sabelfeld and O A Kuibanmuradov One particle stochastic Lagrangian model for turbulent dispersion m horizontally homogeneous turbulence

41. Monte Carlo Methods and Applications, vol 4 (1998), N2, 127-140

42. H Schwarze, U Jaekel and H Vereecken Estimation of Macrodispersion by Different Approxrmatron Methods for Flow and Transport m Randomly Heterogeneous Medra Transport in Porous Media (2001), V 49, N 2, 267 287

43. L Smith and R A Freeze Stochastic Analysis of Steady State Groundwater Flow m a Bounded Domarn, 1 One-Dimensional Simulation Water Resour Res , 15(3), 521-528, 1979

44. L Smith and R A Freeze Stochastic Analysis of Steady State Groundwater Flow m a Bounded Domain, 2 Two-Dimensional Simulation Water Resour Res , 15(6), 1543-1559, 1979

45. Andrew F В Tompson, A F В , Rachid Ababou, and Lynn W Gelhar Implementation of the three dimensional turning bands random field generatoi Water Resour Res , 25(10), 2227-2243, 1989

46. Andrew F В Tompson, Lynn W Gelhar Numerical Simulation of Solute Transport m Thiee Dimensional Randomly Heterogeneous Porous Media Water Resour Res ,10(26), 2541-2562, 19901. Глава 4

47. Borgas M S and Sawford В L A family of stochastic models foi two particle dispersion m isotropic homogeneous stationary turbulence J Fluid Mech (1994), 279, 69-99

48. Durbm PA A stochastic model of two-particle dispersion and concentration fluctuations m homogeneous turbulence J Fluid Mech (1980), 100, 279-302

49. Elliott F W , Majda A J A Wavelet Monte Carlo Method for Turbulent Diffusion with Many Spatial Scales J Comput Physics (1994), 113, 82-111

50. Elliott F W , Majda A J A dispersion over an meitial range spanning many decades Phys Fluids (1996), 8, 1052-1060

51. Frish U Turbulence Cambridge University Press, 1996

52. Fung J С H Sheai flow turbulence structure and its Lagrangian statistics Fluid Dynamics Research (1996), 17, 147-180

53. Fung J С H , Hunt J С R , Malik N A and Perkins R J Kinematic simulation of homogeneous turbulence by unsteady random Fourier modes J Fluid Mech (1992), 236, 281-318

54. Kraichnan RH Diffusion by a random velocity field Phys Fluids (1970), 13, 1, 22-31

55. Kurbanmuradov О A and Sabelfeld К К Statistical modelling of turbulent motion of particles m random velocity fields Soviet J Numerical Analysis and Math Modelling (1989), 4, No 1, 53-68

56. Kurbanmuradov О A A 3D stochastic model of relative dispersion of particle pairs m local-isotropic turbulence Monte Carlo Methods and Applications (1995), 1, No 4, 301-329

57. Kurbanmuradov О A Lagrangian stochastic model of two-particle relative dispersion m high-Reynolds number tuibulence Monte Carlo Methods and Applications (1997), 3, No 1, 53-72

58. Li A , Ahmadi G Dispersion and deposition of spherical particles from pomt sources m a turbulent channel flow Aerosol Science and Technology (1992), 16, 209-236

59. Lundgren R H Turbulent pairs dispersion and scalar diffusion J Fluid, Mech (1981), 111, 27-57

60. Maxey M R The motion of small spherical particles in a cellular flow field Phys Fluids (1987), 30, 1915-1928

61. Orszag S A and Patterson G S Jr Numerical Simulation of Three-Dimensional Homogeneous Isotropic Turbulence Phys Rev Lett (1972), 28, 2, 76-79

62. Pope S B Lagrangian PDF Methods for Turbulent Flows Annu Rev Fluid Mech (1994), 26, 23-63

63. Sabelfeld K K and Kurbanmuradov O A Numerical statistical model of classical incompressible isotropic turbulence Sov Journal on Numer Analysis and Math Modelling (1990), 5, No 3, 251-263

64. Sabelfeld K K and Kurbanmuradov O A Stochastic Lagrangian Models for Two Particle Motion in Turbulent Flows Monte Carlo Methods and Appl (1997), 3, 53-72

65. Sawford B L The effect of Gaussian particle-pair distribution function m the statistical theory of concentration fluctuations in homogeneous turbulence Quart J R Met Soc (1983), 109, 339-354

66. Thomson D J A stochastic model for the motion of particle pairs m isotropic high-Reynolds-number turbulence, and its application to the problem of concentration variance J Fluid Mech (1990), 210, 113-153

67. Thomson D J and Davenish B J Particle pair m kinematic simulations J Fluid Mech (2005), 526, 277-302

68. Yeung PK Direct numerical simulation of two particle relative diffusion m isotropic turbulence Phys Fluids (1994), 6, 3416-3428

69. Yeung PK and Pope S B Lagrangian statistics from direct numencal simulation of isotropic turbulence J Fluid Mech (1989), 207, 531