Статистическое моделирование нелинейных преобразований случайных процессов изменения параметров режима и ЭМС систем электроснабжения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.14.02, кандидат наук Булгаков Александр Александрович

• Булгаков Александр Александрович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Булгаков Александр Александрович

Введение........................................................................................................................................................................5

1 Современное состояние проблемы. Цель и задачи диссертации..........................12

1.1 Принцип обзора литературы..............................................................................................................12

1.2 Вероятностная модель процессов изменения параметров режима и ЭМС в системах электроснабжения......................................................................................................14

1.3 Методы имитации случайных эргодических процессов с заданными характеристиками................................................................................................................................................16

1.4 Задачи квадратичного инерционного сглаживания (КИС) и квадратичного кумулятивного усреднения (ККУ) процессов в системах электроснабжения................................................................................................................................................19

1.5 Приближенные методы расчета эффективных максимумов................................24

1.6 Разложение законов распределения квадратичных процессов в ряды Эджворта и Грамма-Шарлье класса А................................................................................................27

1.7 Выводы..................................................................................................................................................................29

2 Решения задач безынерционных преобразований случайных электроэнергетических величин методом статистических испытаний..............31

2.1 Предварительные замечания..............................................................................................................31

2.2 Сущность статистического моделирования для решения задач нелинейных безынерционных преобразований....................................................................................32

2.3 Статистическое моделирование потерь активной мощности..............................39

2.4 Статистическое моделирование модуля вектора падения напряжения ... 43

2.5 Задача расчета удельного расхода электроэнергии......................................................46

2.6 Выводы..................................................................................................................................................................53

3 Статистическое моделирование квадратичного инерционного сглаживания электрической нагрузки в системах электроснабжения..................55

3.1 Предварительные замечания..............................................................................................................55

3.2 Применение метода статистических испытаний для решения задач нелинейных преобразований случайных электроэнергетических процессов 57

3.3 Тестовые задачи............................................................................................................................................58

3.3.1 Безынерционное квадратичное преобразование случайной электрической нагрузки..................................................................................................................................58

3.3.2 Аналитическое решение задачи нахождения моментов распределения квадратичного инерционного процесса тока ........................................................................................................62

3.3.3 Допустимые пределы погрешностей имитации..............................................................................64

3.4 Имитация квадратичного инерционного сглаживания и переходный процесс............................................................................................................................................................................65

3.5 Проверка качества исходных имитационных реализаций. Коррекция ... 67

3.6 Выбор шага дискретизации и количества ординат в реализации....................68

3.7 Реализации в ансамбле............................................................................................................................72

3.8 Алгоритм решения задачи методом имитации..................................................................73

3.9 Результаты выполнения тестовых задач..................................................................................74

3.10 ^-характеристики......................................................................................................................................81

3.11 Статистическое моделирование расчетной случайной нагрузки подстанции горных выработок..................................................................................................................83

3.12 Аппроксимация решения задачи квадратичного инерционного сглаживания гамма-распределением..................................................................................................85

3.13 Выводы................................................................................................................................................................89

4 Статистическое моделирование квадратичного кумулятивного усреднения параметров режимов и ЭМС в электроэнергетических

системах..........................................................................................................................................................................91

4.1 Предварительные замечания ......................................91

4.2 Сопоставление инерционного и кумулятивного принципов оценки ЭМС....................................................................................................................................................................................92

4.3 Моделирование квадратичного кумулятивного усреднения................................98

4.4 Тестовая задача определения моментов распределения квадратичного кумулятивного процесса................................................................................................................................100

4.5 Результаты тестовой проверки и 0-характеристики......................................................103

4.6 Статистическое моделирование случайной несимметрии напряжений... 108

4.7 Выводы..................................................................................................................................................................110

5 Приближенные методы расчета эффективных инерционных максимумов

электроэнергетических процессов........................................................................................................111

5.1 Предварительные замечания..............................................................................................................111

5.2 Свойства ^-характеристик..................................................................................................................112

5.3 Метод коэффициента разностей......................................................................................................116

5.4 Сопоставление приближенных методов пересчета......................................................118

5.5 Оценка применимости приближенных методов..............................................................120

5.6 Выводы..................................................................................................................................................................123

Заключение..................................................................................................................................................................125

Список сокращений и условных обозначений............................................................................127

Список литературы....................................................................................................................................................129

Приложение А Результаты внедрения диссертационной работы..............................150

Приложение Б Опытные характеристики плавок в ДСП..........................................................151

Приложение В Результаты исследования качества воспроизведения

числовых характеристик при имитации..........................................................................................153

Приложение Г Расчетные максимумы квадратичных инерционных и

кумулятивных процессов..............................................................................................................................159

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Статистическое моделирование нелинейных преобразований случайных процессов изменения параметров режима и ЭМС систем электроснабжения»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы диссертации и степень ее разработанности. Одними из основных технических требований к системам электроснабжения являются обеспечение пропускной способности сети по нагреву и электромагнитной совместимости (ЭМС). Завышение требований ведет к необоснованному увеличению капитальных затрат, а занижение - к ущербу от недовыпуска и брака продукции, снижению производительности труда, дополнительным потерям мощности, сокращению срока службы электротехнического оборудования спроектированной системы. В связи с этим актуальной для практики является разработка методов моделирования нелинейных преобразований параметров режима и ЭМС в системах электроснабжения промышленных предприятий. В решение этой задачи большой вклад внесли Каялов Г.М., Гнеденко Б.В., Шидловский А.К., Куренный Э.Г., Вагин Г.Я., Степанов В.П., Надтока И.И., Жежеленко И.В., Дмитриева Е.Н., Саенко Ю.Л., Мешель Б.С..

Некоторые практические задачи решаются в рамках математической модели безынерционного преобразования исходной системы взаимосвязанных нормальных случайных величин (активная и реактивная мощности, выпуск продукции и электропотребление). В этих случаях можно получить аналитические решения, но они являются громоздкими, трансцендентными, не всегда достаточными для оценки влияния каждой случайной величины на конечный результат.

В большинстве же задач практики оценка воздействий1 входного процесса (ток, напряжение, параметры ЭМС) выполняется в рамках двух математических моделей, каждая из которых содержит квадратор, но отличается способом моделирования инерционности объекта. В одной из них имеется инерционное звено, а во второй - кумулятивное (окно Дирихле). В целом первая модель осуществляет нелинейное квадратичное инерционное сглаживание (КИС), вторая - квадратичное кумулятивное усреднение (ККУ).

1 Как правило, в системах электроснабжения определяющим является тепловое воздействие, однако, например, в модели фликерметра блок КИС моделирует негативное воздействие на человека колебаний источника света.

Распространенной моделью электроэнергетических процессов в системах электроснабжения является их представление в виде случайных эргодических процессов с нормальным законом распределения. В литературе по прикладным методам теории случайных функций (Бартлетт М.С., Свешников А.А., Тихонов В.И. и др.) рекомендуется изучать такие процессы по одной реализации, теоретически бесконечной длительности. Однако в практике из-за ограниченной длительности реализации статистические характеристики случайным образом отличаются от теоретических, с неконтролируемой погрешностью. Кроме того для одной реализации нет понятия «количество опытов», что делает практически невозможной проверку соответствия статистического и теоретического законов распределения по критериям согласия.

Нелинейная задача нахождения числовых законов распределения процесса после КИС или ККУ не имеет точного аналитического решения. Поэтому существующие методы являются приближенными. Их можно разделить на две группы. К первой, наиболее многочисленной группе относятся методы, использующие модель без квадратора, для которой расчетные максимумы выходных процессов после инерционного сглаживания (ИС) и кумулятивного усреднения (КУ) определяются точно. По ним приближенно рассчитываются искомые максимумы: например, в методе статистического коэффициента (Каялов Г.М.), методах сдвига и пропорционального пересчета (Куренный Э.Г.), степенном методе (Дмитриева Е.Н.). Во второй группе используются представления вероятностных распределений квадратичных инерционных и кумулятивных процессов в виде разложений в ряд Эджворта (Куренный Э.Г.) и ряд Грамма-Шарлье класса А (Жежелен-ко И.В., Степанов В.П.). Конечное количество членов ряда приводит к отрицательным значениям плотности распределения, что противоречит физическому смыслу. Отсутствие точных решений не позволяет оценить погрешности приближенных методов расчета обеих групп.

Таким образом, на сегодня наиболее актуальной является разработка метода определения расчетных максимумов случайных процессов после КИС и ККУ свободного от указанных методических недостатков. Кроме того, в ряде практиче-

ских задач целесообразно иметь метод получения массива значений нелинейного безынерционного преобразования системы случайных величин с разными единицами измерения.

Целью работы является получение статистически точных оценок воздействий случайных процессов изменения параметров режима и ЭМС. Для ее достижения ставятся и решаются следующие задачи.

1. Найти способ проверки качества имитации системы случайных величин, выраженных в разных именованных единицах.

2. Получить аналитические и статистические решения для распределения потерь мощности, падения напряжения и электропотребления. Проверить точность решений, полученных методом статистического моделирования.

3. Найти аналитические решения для моментов третьего и четвертого порядка квадратичного инерционного процесса (КИП) после КИС при нулевом среднем исходного процесса.

4. Найти ^-характеристики: зависимости расчетных максимумов КИП после КИС от постоянной инерции Т объекта. Выполнить их аппроксимацию.

5. Получить аналитические решения для моментов высшего порядка квадратичного кумулятивного процесса (ККП) после ККУ.

6. Найти зависимости расчетных максимумов после ККУ от длительности 0 интервала усреднения (0-характеристики).

7. Оценить погрешности существующих методов расчета и разработать приближенный метод нахождения искомых характеристик с большей точностью.

Методология и методы исследования. При решении поставленных задач использовалась методология статистического моделирования случайных величин и процессов. Для вероятностного моделирования электроэнергетических процессов и разработки тестовых задач применялись прикладные методы теории слу-

чайных функций. Численные эксперименты и тестирование выполнялись в программах Mathcad и SMath Studio.

Научная новизна работы заключается в следующем.

1. Предложена методология статистического моделирования повышенной точности нелинейных преобразований эргодических электроэнергетических процессов, отличающаяся тем, что статистически достоверные решения нелинейных задач при входных эргодических процессах находятся не по одной имитируемой реализации, как это принято в существующей практике, а по ансамблю реализаций.

2. Впервые найдено точное аналитическое выражение для плотности распределения удельного расхода электроэнергии как отношения двух случайных нормальных величин: количества затраченной электроэнергии и объема выпуска продукции, что позволяет планировать электропотребление.

3. Впервые получены аналитические решения задач о начальных ординатах Т- и 0-характеристик при любых средних значениях исходного процесса, а также о моментах распределения третьего и четвертого порядков при нулевом среднем значении случайных процессов с экспоненциальной авто-корреляционной функцией (КФ), что позволяет оценивать достоверность статистического решения нелинейных преобразований случайных электроэнергетических процессов в системах электроснабжения.

4. Впервые найдены статистически точные решения аналитически неразрешимых задач определения законов распределения квадратичных инерционных и квадратичных кумулятивных случайных процессов, а также их квантилей, что позволяет оценивать воздействия случайных процессов изменения параметров режима и ЭМС в системах электроснабжения.

5. Разработан приближенный метод «коэффициента разностей» для определения расчетных эффективных инерционных и кумулятивных максимумов, отличающийся от существующих точным воспроизведением начальных ординат искомых Т-, 0-характеристик и способом пересчета,

что обеспечивает достоверность выбора проводников и оценок ЭМС при проектировании систем электроснабжения.

Теоретическая значимость результатов диссертационной работы заключается в обобщении метода статистического моделирования на систему случайных величин, выраженных в разных именованных единицах (активная и реактивная мощности, выпуск продукции и расход электроэнергии), что позволяет получать статистические решения задач их нелинейных функциональных преобразований; предложенной методологической схеме анализа «по ансамблю», которая позволяет получать статистически достоверные решения задач любых нелинейных преобразований эргодических электроэнергетических процессов; предложенных тестовых задачах для оценки качества полученных решений; найденных статистических распределениях процессов после КИС- и ККУ-преобразований, а также полученных Т- и 0-характеристиках; оценках точности существующих приближенных методов определения квантилей КИП, ККП и разработанного метода «коэффициента разностей» повышенной точности для случаев теоретически минимального необходимого объема исходной информации.

Практическая значимость результатов диссертационной работы заключается в том, что найденные статистически точные решения задачи нелинейного преобразования случайных электроэнергетических процессов позволяют оценивать воздействия случайных процессов изменения параметров режима и ЭМС в системах электроснабжения. Результаты диссертационной работы внедрены в учебный процесс ФГБОУ ВО «Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова», г. Новочеркасск, что подтверждено актом внедрения (Приложение А). Полученные результаты могут быть использованы при проектировании систем электроснабжения, которые обеспечивают нормальную работу потребителей, без необоснованного завышения капитальных затрат и ущерба от занижения качества электроэнергии. Полученные научные выводы рекомендуется использовать для развития теории электрических нагрузок и оценки электромагнитной совместимости в системах электроснабжения.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Методология статистического моделирования повышенной точности нелинейных преобразований эргодических электроэнергетических процессов.

2. Метод статистических испытаний для решения нелинейных преобразований системы случайных величин и результаты его применения для оценки падений напряжения, потерь мощности и электропотребления.

3. Зависимость расчетных квадратичных инерционных максимумов от постоянной инерции объекта и квадратичных кумулятивных максимумов от длительности интервала усреднения - для оценки воздействий процессов изменения параметров режима на объекты системы электроснабжения и ЭМС.

4. Приближенный «метод разностей» для получения Т- и 0-характеристик при теоретически минимальном необходимом объеме исходной информации.

Достоверность полученных результатов подтверждена корректным использованием математических методов (теории случайных процессов, Монте Карло); тестовыми проверками результатов имитации с повышенными требованиями к точности воспроизведения числовых характеристик (для эффективного значения - не более 1%); уточнением начальных ординат Т- и 0-характеристик в «методе разностей» и проверкой его точности по сравнению с решениями, полученными имитацией.

Апробация работы. Основные положения работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

- IV Международная научно-техническая конференция «Управление режимами работы объектов электрических и электромеханических систем» (Украина, г. Донецк, 2013 г.);

- III Международная конференция «Интеллектуальные энергетические системы - IES (ESS43)» (Украина, г. Мукачево, 2013 г.);

- XII Международная научно-техническая конференция «Завалишинские чтения - 2017». (Россия, г. Санкт-Петербург, 2017 г.);

-14-ая Международная научно-практическая конференция «Современные энергетические системы и комплексы и управление ими» (ЮРГПУ, г. Новочеркасск, 2017 г.);

- XXXIX сессия всероссийского научного семинара Академии наук Российской Федерации «Кибернетика электрических систем» по тематике «Электроснабжение» (ЮРГПУ, г. Новочеркасск, 2017 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 печатных работ, в том числе 5 статей в журналах, входящих в перечень рецензируемых научных изданий из списка ВАК, 1 статья в журнале, включенном в международную базу цитирования SCOPUS, 10 статей в других изданиях.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы. Полный объем диссертации составляет 165 стр. печатного текста, из них: 43 рисунка по тексту, 17 таблиц по тексту, 186 наименований использованных источников на 21 странице, 4 приложения на 1 6 страницах.

Соответствие паспорту специальности. Диссертационная работа соответствует формуле научной специальности 05.14.02 - «Электрические станции и электроэнергетические системы» и следующим областям исследований:

- п. 6 «Разработка методов математического и физического моделирования в электроэнергетике»;

- п. 12 «Разработка методов контроля и анализа качества электроэнергии и мер по его обеспечению»;

- п. 13 «Разработка методов использования ЭВМ для решения задач в электроэнергетике».

1 СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ.

ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ДИССЕРТАЦИИ

1.1 Принцип обзора литературы

Решение задач о нелинейных преобразованиях случайных электроэнергетических процессов обусловлено необходимостью расчета электрических нагрузок

л

и оценки ЭМС в системах электроснабжения. Список литературы по этим направлениям весьма обширен, поэтому в работе коснемся только тех источников, известных автору, которые имеют наиболее тесное отношение к предлагаемым в диссертации методам.

Определим некоторым термины, используемые в работе. Под моделью понимается математическое описание процессов и объектов. Согласно теории автоматического управления модели разделяются на статические и динамические [6].

Имитация - получение случайных величин, процессов, их преобразований и числовых характеристик путем компьютерной генерации (воссоздание на компьютере). Статистическое моделирование - это частный случай математического моделирования. Статистическую модель используют чаще всего, когда аналитическая модель оказывается довольно сложной или решений не существует вовсе.

Для исключения разночтений в работе принята следующая терминология. Под вероятностным решением задачи будем понимать некоторое теоретическое аналитическое решение, основанное на математическом аппарате теории вероятности. Статистическое решение базируется на анализе и статистической обработке экспериментальных данных, полученных путем имитации или проведения опыта на реальном объекте. Имитационное решение предполагает получение результатов путем имитации (чаще всего компьютерной) исходных величин, процессов, их преобразования и статистической обработки [7]. Оба метода решения: имитационный и статистический, предполагают собой статистическую обработку для получения решения. Решение методом статистических испытаний (Монте-

2 Общее понятие ЭМС достаточно широко [1-5], в работе рассмотрены вопросы в области кондуктивных помех и показателей качества электроэнергии.

Карло) и методом имитации в контексте диссертации выступают синонимами под обобщающим названием статистическое моделирование.

Методы и модели, используемые в диссертации, описаны кратко: вероятностная модель процессов в системах электроснабжения (п.1.2), методы имитации случайных процессов с заданными характеристиками, а также систем случайных коррелированных величин (п.1.3), модели КИС и ККУ (п. 1.4). Поскольку точного аналитического решения задач КИС и ККУ не существует, ранее были разработаны приближенные методы расчета (п.1.5), а также приближенное решение, основанное на разложении искомого закона распределения в ряд (п. 1.6).

Отметим, что терминология, связанная с задачами КИС и ККУ, не является установившейся. Например, для обозначения максимальных и минимальных значений процессов с заданной интегральной вероятностью используются разные термины: «впадины и пики», «экстремумы», «выбросы и провалы», «максимумы

3

и минимумы» .

По возможности, используются обозначения, которые были приняты в оригиналах работ [21-22, 6], а также действующие в настоящее время. Иные вводятся в диссертации по необходимости для обеспечения общности и единства восприятия. Например, при обозначении квадратичного инерционного процесса щ(Т, ^), который является функцией времени и зависит от постоянной инерции Т, последнюю отнесем к нижнему индексу щ(Т, ^) = щ (). При использовании в уравнениях переменных, обозначающих процессы, для облегчения восприятия аргумент времени может быть опущен, например, щ (I) = щ. Поскольку обозначения математических величин не всегда согласуются в различных источниках, предположительно возможны некоторые их расхождения с текстом диссертации.

Обзор состояния проблемы дан на 18 декабря 2017 г.

3 В источниках [8-10] для обозначения максимальных значений процессов используют термин «пиковые» значения, «пики и впадины», в [11-15] эти величины называют «выбросы и провалы» в [16-20] - максимальные значения, максимумы. Далее в работе используется последний вариант.

1.2 Вероятностная модель процессов изменения параметров режима и ЭМС в системах электроснабжения

Согласно [7] математические модели можно разделить на детерминированные и стохастические. В общем случае электроэнергетические процессы в системах электроснабжения (изменение нагрузки, параметров ЭМС) имеют случайный характер, поскольку определяется индивидуальными особенностями множества отдельных электроприемников системы и технологическими процессами производства, которые могут содержать элементы случайности. Вероятностная модель изменения электрической нагрузки была предложена проф. Г.М. Каяловым [2324]. Теория случайных процессов получила широкое прикладное применение при описании процессов изменения параметров режима и показателей ЭМС в системах электроснабжения не только в рамках страны [25-46], но и за рубежом [4749].

Перейдем к случайному процессу [50-61]. Применительно к задачам в системах электроснабжения рассматривают стационарный эргодический случайный процесс ) с нормальным законом распределения [62-66] ординат. Например,

ток обратной последовательности (рис.1.1) при работе дуговой сталеплавильной печи (ДСП) емкостью 100 т в период расплавления. Для нестационарных процессов выделяют участки стационарности.

0 10 20 30 40 50 60 ^ с

Рисунок 1.1 - Ток обратной последовательности ДСП-100 (период расплавления)

Случайный процесс имеет неслучайные числовые характеристики: среднее значение хс, среднеквадратичное отклонение (СКО) ах, дисперсия Д, моменты

высших порядков. Автокорреляционная функция (КФ) отражает вид линейной связи в среднем между ординатами процесса

1 т

К(т) = — |х(г + т)х(?)йг - хс2. (1.1)

Т 0

Для дискретного процесса

1 Т-т

К(т) = — £(х,-хс)(хг+т - хс). (1.2)

Т — Т ,=1

Режимы работы с резкопеременной нагрузкой значительной мощности является одними из наиболее тяжелых для системы электроснабжения. Для процессов изменения тока при работе ДСП характерны экспоненциально-косинусоидальные КФ. Например, Для печей емкостью 5 и 40 тонн КФ даны в [67-72]:

К(т) = Вх ехр{-а|т|}^ю0т, (1.3)

где а = 1/тк - декремент затухания, обратно пропорциональный времени корреляции тк, ю0 - параметр, который характеризует периодичность. Тип регулятора положения электродов влияет на величины параметров. Параметры КФ для нагрузки металлообрабатывающих станков рассмотрены в [73].

В частном случае отсутствия периодичности, когда ю0 = 0, КФ принимает экспоненциальный вид

К (т) = Вх ехр{-а|т|}. (1.4)

Если же декремент затухания а = 0, то КФ приобретает вид незатухающих периодических колебаний по закону косинуса

К (т) = Вх cosю0т. (1.5)

Для электросварочных машин [74] КФ процессов изменения тока аппроксимируют выражениями вида (1.3)-(1.4), однако для описания резкопеременных электроэнергетических процессов могут быть приняты и более сложные КФ [75-76], например, экспоненциально-косинусоидально-синусоидальная

К(т) = Эх ехр{-а|т|}

а ю

СО8Ю0т Н--8тю0 т

о

(1.6)

Гипотезу о нормальном распределении допускают, если на процесс воздействует много случайных факторов и не один из них не оказывает доминирующего влияния. Этому условию отвечает ситуация, когда от точки общего присоединения питается группа электроприемников. Нормальный процесс полностью определен, если известны характеристики закона распределения его ординат и КФ.

Ансамбль - совокупность реализаций случайного процесса, таких, что всегда можно определить, принадлежит или не принадлежит реализация этой совокупности [51, 52].

1.3 Методы имитации случайных эргодических процессов с заданными характеристиками

Для прикладного моделирования электроэнергетических процессов используются методы имитации, которые позволяют получить реализации случайного процесса с заданными числовыми характеристиками и КФ.

Одна группа методов основывается на преобразовании белого шума [75, 77]. Если спектральную плотность моделируемого процесса можно представить в виде дробно-рационального выражения, удобно использовать метод непрерывных дробей (МНД) [78-82]. Согласно алгоритму метода получают рекуррентно-разностное уравнение, с помощью которого преобразуют исходный белый шум. Каждая последующая ордината модельного процесса зависит от соответствующей ординаты белого шума и одной или нескольких предыдущих ординат.

Метод позволяет получать реализации большой длительности и работает достаточно быстро. Для каждой КФ требуется определять индивидуальное рекур-рентно-разностное уравнение. Если качество воспроизведения КФ недостаточно, то реализацию отбрасывают и генерируют новую.

Эстафетный метод позволяет улучшить качество воспроизведения КФ готовой реализации или может быть использован, как самостоятельный метод для имитации [83]. Он основан на том факте, что любая перестановка ординат в пределах реализации не изменяет вид распределения и его моменты, но влияет на КФ. Эстафетный метод весьма эффективен при относительно небольшом количе-

стве контролируемых ординат процесса. Однако для реализаций большой длительности с малым шагом дискретизации по времени расчетное время возрастает значительно, так как для оценки каждой перестановки требуется вычисление КФ. В отдельных случаях результат может быть неудовлетворительным, так как количество перестановок ординат реализации, которые улучшают качество воспроизведения КФ, заранее неизвестно.

В методе элементных процессов [84] конечный процесс получается в результате сложения нескольких независимых неслучайных процессов. Этот метод, в отличие от МНД, позволяет имитировать реализации случайных процессов с любой спектральной плотностью. Суть его заключается в том, что при сложении независимых «элементных» процессов их КФ также складываются, а при перемножении центрированных независимых процессов - КФ перемножаются. Распределение элементных процессов может быть любым, так как оно не влияет на закон распределения. Действительно, при суммировании большого количества (а практически более 5-6) элементных процессов закон распределения результирующего процесса нормализуется. В качестве элементных процессов можно использовать последовательности прямоугольных, треугольных, экспоненциальных импульсов, для которых известны КФ.

Метод элементных процессов позволяет получить реализации заданной длительности. Вид требуемых элементных процессов для КФ, которые характерны для процессов в системах электроснабжения (1.3)-(1.6), уже известен, однако в общем виде задача решается подбором необходимых исходных элементных процессов и их комбинаций для получения заданной КФ.

Полученные имитацией исходные реализации случайных процессов следует проверять на соответствие закону распределения. В литературе [77, 78, 83, 84] упоминается лишь проверка качества воспроизведения КФ. Обычно проверку закона распределения случайной величины выполняют с помощью критериев соЛ

гласия Колмогорова или Пирсона (критерий %) [62-64]. Свойство эргодичности обозначает, что характеристики случайного процесса можно определять по одной его реализации [52, 85]. Однако применение критериев согласия для одиночной

реализации напрямую не представляется возможным, поскольку в обоих случаях фигурирует величина - «количество независимых опытов», которая для одиночной реализации случайного процесса не имеет смысла.

Рассматривая случайный процесс не корректно рассматривать одну ординату как один независимый опыт, поскольку в реализации случайного процесса ординаты являются зависимыми. Увеличение длительности реализации У или уменьшение шага дискретизации А увеличит количество ординат в реализации, хотя при этом реальный объем выборки останется тот же (одна реализация). Научное противоречие состоит в неопределенности понятия «количество опытов» для случайного процесса при использовании критериев согласия.

В [52, стр. 418] сделана теоретическая попытка применить видоизмененный критерий Пирсона для реализации случайного процесса. Необходимым условием для видоизмененного критерия является большая длительность реализации, хотя количественная оценка не приводится. Еще в [86, стр. 42] отмечалось, что практически получить заданный закон распределения при относительно большом количестве ординат (105-106 и более) сложнее, так как с ростом их количества критерии согласия становятся жестче. Сегодня современные математические программы существенных сложностей не испытывают. Видоизмененный критерий Пирсона требует относительно сложного численного интегрирования, и при больших длительностях конечное выражение представляет собой отношение малых величин, поэтому параметры распределения %2 определяются с большой неконтролируемой погрешностью.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Булгаков Александр Александрович, 2018 год

НИКОВ

И. о. заведующего кафедрой «Электроснабжение и электропривод», д.т.н., доцент

O.A. Кравченко

Профессор кафедры «Электроснабжение и электропривод», д.т.н., профессор

И.И. Надтока

ПРИЛОЖЕНИЕ Б ОПЫТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛАВОК В ДСП

Таблица Б.1 - Опытные характеристики плавок в ДСП

№ плавки V, о.е. К, о.е. #р, о.е. Р

1 2 3 4 5

1 0,8196 0,7957 0,8568 0,9708

2 0,8216 0,7239 0,8185 0,8810

3 0,8293 0,7452 0,7988 0,8986

4 0,8415 0,7199 0,7115 0,8556

5 0,8475 0,7300 0,7588 0,8614

6 0,8549 0,9183 0,9911 1,0742

7 0,8596 0,8422 0,8526 0,9797

8 0,8658 0,9272 0,8954 1,0709

9 0,8869 0,7498 0,7991 0,8455

10 0,8893 0,7967 0,8272 0,8959

11 0,8956 0,7146 0,8343 0,7979

12 0,9147 0,8440 0,8854 0,9227

13 0,9236 0,8239 0,7604 0,8920

14 0,9293 0,9106 0,9858 0,9799

15 0,9327 0,8036 0,9183 0,8616

16 0,9360 0,9231 0,9525 0,9862

17 0,9420 0,8598 0,9087 0,9127

18 0,9524 0,8308 0,8563 0,8724

19 0,9545 0,7966 0,8273 0,8346

20 0,9569 0,7494 0,7184 0,7831

21 0,9624 0,6653 0,7203 0,6913

22 0,9651 0,8224 0,8466 0,8521

23 0,9658 0,6945 0,7264 0,7190

24 0,9724 0,7089 0,7362 0,7291

25 0,9900 0,8864 0,9512 0,8954

1 2 3 4 5

26 0,9969 0,7509 0,8978 0,7532

27 1,0015 0,7883 0,7709 0,7871

28 1,0038 1,0675 1,0391 1,0634

29 1,0095 0,9091 0,9671 0,9006

30 1,0116 0,9395 0,9731 0,9287

31 1,0258 0,8017 0,8817 0,7815

32 1,0367 1,0526 1,0570 1,0153

33 1,0451 0,8564 0,9422 0,8195

34 1,0516 0,8892 0,9237 0,8456

35 1,0638 0,8166 0,8796 0,7676

36 1,0795 1,0972 1,1759 1,0165

37 1,0858 0,9957 1,0875 0,9170

ПРИЛОЖЕНИЕ В

РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ КАЧЕСТВА ВОСПРОИЗВЕДЕНИЯ ЧИСЛОВЫХ

ХАРАКТЕРИСТИК ПРИ ИМИТАЦИИ

Таблица В.1 - Погрешности воспроизведения характеристик КФ исходного процесса по ансамблю т = 50 реализаций

при Д = 0,04 и различном количестве N ординат

Величина N, тыс. 5,%

1,25 2 5 10 20 40 60 80 100 120 140 160 180

а, с-1 1,097 1,063 0,985 1,005 1,004 1,005 1,003 1,004 0,999 0,997 1,002 1,003 1,001 ±2

тах Д^,% 4,462 3,406 0,844 1,217 0,323 0,431 0,43 0,177 0,13 0,239 0,129 0,338 0,112 ±2

Таблица В.2 - Погрешности воспроизведения характеристик процесса^(0 по ансамблю т = 50 реализаций при \ = 0,04, = 0 и различном количестве N ординат

Точно 5,% N, тыс. 5,%

1,25 2 5 10 20 40 60 80 100

w 3,841 -0,77 0,87 0,12 0,09 -0,38 0,01 0,12 -0,12 -0,09 ±2

^0* , о е.2 2 5 DwT -7,15 -3,35 0,2 -1,2 -1,45 0,4 0,65 0,15 0 ±4

^0*, о.е. 1,414 5ow 0 -3,64 -1,69 0,1 -0,6 -0,73 0,2 0,32 0,08 0 ±2

^0* , о.е.3 8 5,3 -24,78 -16,92 -3,26 -5,56 -3,81 0,123 1,0 0,85 0,09 ±6

Бк 2,828 5 » -15,93 -12,57 -3,55 -3,83 -1,68 -0,48 0,02 0,62 0,09 ±12

4 ^4w0* , о.е. 60 5Ц4 -40,8 -31,34 -8,64 -10,84 -1,20 -1,48 0,29 2,37 0,33 ±8

Ех 12 -39,1 -33,12 -11,25 -10,83 -3,17 -2,83 -1,25 2,58 0,42 ±20

Продолжение таблицы В.2

Точно 5,% N тыс. 5,%

120 140 160 180 200 250 300 500

w 3,841 5w0M -0,06 -0,01 0,12 -0,09 0,04 0,07 -0,01 -0,14 ±2

^0* , о е.2 2 5 DwT -0,65 -0,1 0,15 -0,35 -0,15 0,4 -0,3 -0,4 ±4

^0*, о.е. 1,414 5ow 0 -0,33 -0,05 0,08 -0,18 -0,08 0,2 -0,15 -0,2 ±2

3 ^3w0* , о.е. 8 5,3 -2,21 -0,55 -0,11 -0,79 -0,77 1,19 -1,06 -0,97 ±6

Бк 2,828 5» -1,25 -0,40 -0,33 -0,26 -0,55 0,59 -0,62 -0,37 ±12

4 ^4w0* , о.е. 60 5ц4 -4,28 -1,6 -1,24 -0,63 -1,63 1,88 -2,19 -1,39 ±8

Ех 12 5 & -3,75 -1,75 -1,92 0,08 -1,67 1,33 -2 -0,75 ±20

Таблица В.3 - Погрешности воспроизведения характеристик процесса^(?) по ансамблю т = 50 реализаций при

Л* = 0,04, = 1 и различном количестве N ординат

Точно 6,% N тыс. 5,%

1,25 2 5 10 20 40 60 80 100

w 7,002 ^0М 0,54 0,96 0,49 0,19 0,03 -0,2 0,41 0,24 0 ±2

Я0* > о е.2 6 6 DwT -0,63 -0,02 -0,97 0,47 -0,3 0,15 1,22 7,85 -0,48 ±4

^0*> о.е. 2,449 6ow 0 -0,32 -0,001 -0,49 0,23 -1,15 0,08 0,61 3,85 -0,24 ±2

w0* > о.е.3 32 6,3 -12,15 -7,07 -6,08 0,55 -1,15 0,12 3,27 10,96 -1,88 ±6

Бк 2,177 6» -11,31 -7,04 -4,7 -0,15 -0,70 -0,11 1,41 -0,93 -1,16 ±12

4 ^4w0* > ае. 348 6ц4 -23,66 -15,18 -11,19 0,81 -2,5 -0,64 5,26 8,26 -3,64 ±8

Ех 6,667 6 & -32,89 -21,97 -13,71 -0,18 -2,77 -1,36 3,98 -10,05 -3,91 ±20

Продолжение таблицы В.3

Точно 5,% N тыс. 5,%

120 140 160 180 200 250 300 500

w 7,002 ^0М 0,06 0,01 -0,24 0,06 -0,1 0,04 -0,07 -0,03 ±2

Dw0* > о е.2 6 '6DwT -0,07 -0,22 -0,18 -0,93 -0,38 0,22 -0,23 -0,03 ±4

°w0*> ае. 2,449 5ow 0 -0,03 -0,11 -0,09 -0,47 -0,19 0,11 -0,12 -0,02 ±2

3 ^3w0* > ае. 32 6,3 -0,44 -0,8 -0,02 -1,91 -1,18 0,73 -0,82 -0,16 ±6

Бк 2,177 6 -0,34 -0,47 0,26 -0,52 -0,61 0,4 -0,47 -0,11 ±12

4 ^4w0* > о.е. 348 6ц4 -1,07 -1,51 0,49 -3,28 -1,89 1,11 -1,68 -0,37 ±8

Ех 6,667 6 Ех -1,36 -1,57 1,25 -2,1 -1,65 0,98 -1,77 -0,45 ±20

Таблица В.4 - Погрешности воспроизведения характеристик КФ исходного процесса по ансамблю т = 50 реализаций при / = 0, N = 20000 и различном шаге Л

Величина Л* 5,%

0,001 0,002 0,004 0,005 0,006 0,008 0,01 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1

а, с"1 1,22 1,026 1,018 1,057 1,029 1,011 1,022 1,026 1,004 1 1,001 1,002 ±2

тах Л^,% 8,328 1,655 1,775 2,263 2,438 1,33 1,129 1,885 0,563 0,238 0,679 0,328 ±2

Таблица В.5 - Погрешности воспроизведения характеристик КФ исходного процесса по ансамблю т = 50 реализаций при Е = 1, N = 20000 и различном шаге Л

6

Величина Л* 5,%

0,001 0,002 0,004 0,005 0,006 0,008 0,01 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1

а, с"1 1,284 1,282 1,1 1,068 1,04 1,04 1,037 1,014 1,016 1,017 1,012 0,994 ±2

тах Л^,% 15,754 9,802 4,471 2,568 1,932 2,282 1,497 1,293 1,236 0,698 0,57 0,412 ±2

Таблица В.6 -Погрешности воспроизведения характеристик процесса (£) по ансамблю т = 50 реализаций при = 0, N = 20000 и различном шаге Л*

Точно 6,% Л, с 5,%

0,001 0,002 0,004 0,005 0,006 0,008 0,01 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1

w 3,841 ^0М 0,07 1,08 -0,01 1,08 -1,26 -0,27 0,14 -0,43 0,27 0,48 -0,17 0,09 ±2

^0* , о е.2 2 6 DwT -11,40 -6,0 -3,85 -1,25 -5,55 -0,2 -1,1 -1,1 0,3 1 -0,6 -0,2 ±4

^0*, о.е. 1,414 6ow0 -5,87 -3,05 -1,94 -0,63 -2,82 -0,1 -0,55 -0,55 0,15 0,50 -0,3 -0,1 ±2

^0* , ае.3 8 6,3 -36,8 -24,60 -15,5 -10,21 -16,4 -4,09 -5,69 -3,33 -0,77 2,13 -1,47 -1,13 ±6

8к 2,828 6» -24,3 -17,27 -10,37 -8,5 -8,93 -3,8 -4,12 -1,71 -1,22 0,62 -0,58 -0,83 ±12

4 ^4w0* , о.е. 60 6ц4 -56,14 -42,32 -28,33 -21,65 -26,72 -9,63 -12,5 -5,32 -2,69 3,30 -1,59 -2,59 ±8

Ех 12 6 ЕХ -55,16 -43,4 -28,09 -24,57 -22,32 -11,58 -13,17 -4 -4,08 1,58 -0,5 -3,08 ±20

Ул 7

Таблица В.7 - Погрешности воспроизведения характеристик процесса^) по ансамблю т = 50 реализаций при Е = 1. N = 20000 и различном шаге Л*

Точно 8,% Л, с 8,%

0,001 0,002 0,004 0,005 0,006 0,008 0,01 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1

w 3,841 ^0М -2,73 3,04 0,5 -0,91 -0,76 0,7 -0,73 0,89 -0,27 -0,21 0,03 -0,1 ±2

^0* , о е.2 2 8 DwT -11,53 0,47 -2,93 -1,57 -3,53 -0,92 -2,77 2,45 -0,37 -0,27 -0,42 0,38 ±4

°w0*, о.е. 1,414 8ow0 -5,94 0,23 -1,48 -0,79 -1,78 -0,46 -1,39 1,22 -0,18 -0,13 -0,21 0,19 ±2

w0* , о.е.3 8 8,3 -37,25 -13,93 -17,91 -8,59 -12,80 -7,73 -10,96 3,87 -2,3 -1,38 -2,56 1,44 ±6

8к 2,828 8» -24,59 -14,53 -14,16 -6,40 -7,96 -6,45 -7,13 0,17 -1,76 -0,98 -1,99 0,86 ±12

4 ^4w0* , о.е. 60 8ц4 -52,19 -27,58 -30,37 -14,91 -19,91 -15,52 -18,43 2,76 -4,14 -2,72 -5,61 2,51 ±8

Ех 12 -56,43 -40,96 -37,84 -17,67 -20,2 -20,23 -19,9 -3,04 -4,98 -3,19 -6,99 2,51 ±20

Ул

00

ПРИЛОЖЕНИЕ Г РАСЧЕТНЫЕ МАКСИМУМЫ КВАДРАТИЧНЫХ ИНЕРЦИОННЫХ И

КУМУЛЯТИВНЫХ ПРОЦЕССОВ

Таблица Г.1 - КИТ-характеристики, о.е.2

Т, о.е. 4 , ое

0 1 2 3 4 5

1 2 3 4 5 6 7

0 3,841 7,006 13,300 21,566 31,862 44,070

0,1 3.601 6.707 12,829 20,939 31,129 43,285

0,2 3.403 6.449 12,432 20,403 30,454 42,476

0,3 3.242 6.228 12,094 19,943 29,889 41,782

0,4 3.107 6.038 11,804 19,541 29,374 41,167

0,5 2.992 5.871 11,544 19,186 28,920 40,626

0,6 2.892 5.723 11,308 18,869 28,510 40,132

0,7 2.805 5.588 11,093 18,583 28,137 39,684

0,8 2.730 5.467 10,902 18,319 27,795 39,278

0,9 2.664 5.357 10,724 18,074 27,487 38,906

1,0 2,596 5,272 10,594 17,870 27,216 38,500

1,1 2.551 5.169 10,410 17,645 26,944 38,240

1,2 2.501 5.086 10,271 17,458 26,702 37,947

1,3 2.457 5.010 10,141 17,280 26,478 37,674

1,4 2.416 4.938 10,019 17,115 26,267 37,417

1,5 2.378 4.873 9,906 16,960 26,068 37,170

1,6 2.343 4.809 9,802 16,813 25,882 36,937

1,7 2.311 4.748 9,702 16,674 25,706 36,719

1,8 2.281 4.693 9,607 16,544 25,537 36,514

1,9 2.253 4.64 9,518 16,422 25,380 36,323

2,0 2,219 4,588 9,459 16,316 25,230 36,102

2,1 2.201 4.542 9,356 16,197 25,086 35,964

2,2 2.178 4.497 9,280 16,092 24,950 35,795

1 2 3 4 5 6 7

2,3 2.156 4.454 9,208 15,993 24,820 35,635

2,4 2.135 4.412 9,139 15,897 24,696 35,484

2,5 2.116 4.373 9,074 15,804 24,576 35,339

2,6 2.097 4.335 9,011 15,716 24,462 35,199

2,7 2.079 4.299 8,951 15,634 24,354 35,065

2,8 2.062 4.264 8,894 15,555 24,250 34,937

2,9 2.046 4.230 8,839 15,478 24,151 34,814

3,0 2,030 4,195 8,805 15,414 24,052 34,694

3,1 2.015 4.166 8,736 15,333 23,963 34,586

3,2 2.001 4.136 8,686 15,266 23,876 34,478

3,3 1.987 4.108 8,639 15,199 23,790 34,373

3,4 1.974 4.081 8,593 15,134 23,708 34,273

3,5 1.961 4.055 8,549 15,074 23,628 34,175

3,6 1.949 4.030 8,507 15,016 23,551 34,080

3,7 1.937 4.006 8,465 14,959 23,477 33,989

3,8 1.926 3.983 8,424 14,903 23,404 33,900

3,9 1.915 3.960 8,386 14,849 23,334 33,813

4,0 1.904 3,933 8,349 14,796 23,262 33,760

4,1 1.894 3.917 8,312 14,746 23,202 33,651

4,2 1.884 3.897 8,278 14,697 23,139 33,572

4,3 1.874 3.877 8,244 14,648 23,077 33,497

4,4 1.865 3.858 8,211 14,601 23,018 33,422

4,5 1.855 3.839 8,179 14,556 22,961 33,350

4,6 1.846 3.821 8,148 14,512 22,905 33,279

4,7 1.838 3.804 8,118 14,469 22,851 33,209

4,8 1.829 3.787 8,089 14,427 22,798 33,140

4,9 1.815 3.770 8,060 14,386 22,745 33,074

5 1,804 3,751 8,030 14,346 22,676 33,060

6 1,732 3,600 7,808 14,004 22,220 32,526

1 2 3 4 5 6 7

7 1,678 3,485 7,605 13,726 21,856 32,094

8 1,635 3,389 7,440 13,496 21,556 31,732

9 1,598 3,309 7,304 13,306 21,308 31,424

10 1,566 3,240 7,187 13,142 21,088 31,154

11 1,539 3,181 7,083 13,004 20,898 30,920

12 1,514 3,128 6,990 12,876 20,732 30,716

13 1,493 3,081 6,908 12,766 20,582 30,528

14 1,475 3,039 6,835 12,662 20,448 30,368

15 1,458 3,001 6,770 12,570 20,326 30,218

16 1,442 2,966 6,710 12,484 20,218 30,084

17 1,428 2,935 6,655 12,408 20,120 29,958

18 1,415 2,906 6,605 12,336 20,026 29,848

19 1,403 2,880 6,559 12,270 19,942 29,746

20 1,392 2,855 6,518 12,208 19,864 29,650

21 1,381 2,833 6,479 12,152 19,792 29,562

22 1,372 2,812 6,443 12,100 19,724 29,474

23 1,363 2,793 6,409 12,050 19,662 29,394

24 1,354 2,774 6,376 12,000 19,602 29,318

25 1,346 2,757 6,345 11,958 19,548 29,244

26 1,338 2,740 6,317 11,916 19,492 29,178

27 1,331 2,724 6,289 11,876 19,442 29,108

28 1,324 2,709 6,263 11,840 19,392 29,048

29 1,318 2,695 6,237 11,804 19,346 28,986

30 1,311 2,681 6,213 11,768 19,302 28,928

31 1,305 2,668 6,190 11,736 19,260 28,876

32 1,300 2,656 6,168 11,706 19,220 28,826

33 1,294 2,644 6,147 11,676 19,180 28,774

34 1,289 2,632 6,127 11,646 19,142 28,726

35 1,284 2,621 6,107 11,616 19,110 28,680

1 2 3 4 5 6 7

36 1,280 2,611 6,088 11,590 19,070 28,638

37 1,275 2,601 6,071 11,564 19,040 28,590

38 1,270 2,591 6,054 11,540 19,008 28,548

39 1,266 2,582 6,037 11,514 18,978 28,510

40 1,262 2,572 6,020 11,490 18,948 28,472

41 1,258 2,563 6,005 11,468 18,914 28,434

42 1,254 2,555 5,990 11,442 18,884 28,396

43 1,250 2,547 5,975 11,422 18,858 28,358

44 1,247 2,538 5,961 11,398 18,832 28,324

45 1,243 2,530 5,947 11,378 18,802 28,288

46 1,239 2,523 5,933 11,358 18,776 28,256

47 1,236 2,515 5,920 11,338 18,752 28,220

48 1,233 2,508 5,907 11,318 18,726 28,188

49 1,230 2,501 5,895 11,298 18,700 28,156

50 1,227 2,494 5,882 11,282 18,676 28,124

да 1 2 5 10 17 26

Таблица Г.2 - КК0-характеристики, о.е.2

0,, о.е. хс*, о.е.

0 1 2 3 4 5

1 2 3 4 5 6 7

0 3,802 7,000 13,27 21,559 31,844 44,131

0,1 3,780 6,927 13,179 21,440 31,738 43,933

0,2 3,664 6,784 12,971 21,163 31,392 43,514

0,3 3,596 6,700 12,843 20,991 31,191 43,262

0,4 3,499 6,580 12,660 20,756 30,895 42,906

0,5 3,440 6,504 12,548 20,598 30,708 42,675

0,6 3,356 6,393 12,384 20,379 30,437 42,341

0,7 3,303 6,323 12,279 20,241 30,255 42,130

0,8 3,230 6,223 12,130 20,048 30,004 41,834

1 2 3 4 5 6 7

0,9 3,183 6,161 12,034 19,919 29,835 41,644

1 3,101 6,103 11,900 19,692 29,505 41,342

1,1 3,075 6,018 11,804 19,609 29,432 41,185

1,2 3,016 5,933 11,672 19,435 29,209 40,921

1,3 2,979 5,879 11,587 19,323 29,067 40,750

1,4 2,926 5,800 11,462 19,156 28,856 40,504

1,5 2,892 5,751 11,381 19,047 28,723 40,340

1,6 2,845 5,681 11,268 18,890 28,536 40,106

1,7 2,814 5,635 11,196 18,790 28,409 39,951

1,8 2,770 5,567 11,092 18,644 28,219 39,723

1,9 2,742 5,524 11,025 18,549 28,099 39,577

2 2,683 5,491 10,94 18,381 27,848 39,333

2,1 2,676 5,426 10,870 18,323 27,812 39,225

2,2 2,641 5,368 10,779 18,193 27,646 39,029

2,3 2,620 5,332 10,720 18,108 27,537 38,897

2,4 2,588 5,279 10,636 17,991 27,383 38,713

2,5 2,569 5,243 10,583 17,913 27,279 38,591

2,6 2,540 5,193 10,503 17,802 27,133 38,416

2,7 2,521 5,160 10,452 17,728 27,034 38,304

2,8 2,494 5,113 10,374 17,618 26,888 38,145

2,9 2,477 5,084 10,322 17,548 26,798 38,040

3 2,443 5,057 10,24 17,432 26,638 37,870

3,1 2,438 5,010 10,201 17,385 26,582 37,784

3,2 2,416 4,969 10,133 17,290 26,457 37,638

3,3 2,402 4,943 10,088 17,226 26,379 37,544

3,4 2,380 4,903 10,024 17,131 26,263 37,409

3,5 2,366 4,878 9,980 17,070 26,193 37,314

3,6 2,346 4,841 9,918 16,981 26,085 37,179

3,7 2,333 4,816 9,877 16,925 26,017 37,092

3,8 2,314 4,780 9,817 16,838 25,914 36,965

3,9 2,302 4,758 9,778 16,781 25,846 36,884

4 2,280 4,742 9,703 16,703 25,705 36,711

4,1 2,272 4,703 9,686 16,651 25,684 36,691

1 2 3 4 5 6 7

4,2 2,255 4,671 9,631 16,574 25,586 36,583

4,3 2,244 4,649 9,595 16,525 25,525 36,509

4,4 2,228 4,619 9,543 16,451 25,430 36,403

4,5 2,218 4,599 9,509 16,404 25,370 36,334

4,6 2,204 4,571 9,459 16,336 25,281 36,229

4,7 2,195 4,553 9,427 16,291 25,224 36,159

4,8 2,183 4,527 9,382 16,227 25,143 36,063

4,9 2,174 4,509 9,351 16,184 25,090 35,999

5 2,151 4,493 9,293 16,145 24,993 35,806

5,1 2,152 4,467 9,277 16,081 24,959 35,843

5,2 2,139 4,445 9,235 16,026 24,885 35,753

5,3 2,130 4,429 9,206 15,991 24,833 35,694

5,4 2,118 4,406 9,166 15,935 24,761 35,610

5,5 2,110 4,391 9,140 15,898 24,713 35,555

5,6 2,099 4,371 9,102 15,845 24,645 35,473

5,7 2,091 4,355 9,076 15,809 24,598 35,418

5,8 2,080 4,333 9,039 15,756 24,528 35,334

5,9 2,073 4,317 9,014 15,722 24,483 35,280

6 2,060 4,297 8,973 15,706 24,431 35,085

7 1,992 4,139 8,713 15,320 23,934 34,519

8 1,928 4,009 8,489 15,000 23,524 34,012

9 1,875 3,895 8,299 14,729 23,176 33,594

10 1,831 3,793 8,131 14,502 22,881 33,230

11 1,792 3,716 7,986 14,306 22,631 32,910

12 1,756 3,646 7,864 14,133 22,407 32,618

13 1,724 3,577 7,751 13,967 22,190 32,371

14 1,699 3,521 7,655 13,817 21,995 32,128

15 1,673 3,467 7,570 13,692 21,833 31,923

16 1,65 3,417 7,487 13,576 21,680 31,737

17 1,630 3,372 7,404 13,474 21,551 31,569

18 1,609 3,332 7,335 13,369 21,413 31,415

19 1,590 3,291 7,270 13,275 21,291 31,268

20 1,569 3,352 7,211 13,195 21,186 31,137

1 2 3 4 5 6 7

21 1,555 3,224 7,156 13,116 21,085 31,008

22 1,544 3,197 7,105 13,049 20,997 30,890

23 1,530 3,172 7,055 12,982 20,909 30,781

24 1,515 3,148 7,008 12,921 20,831 30,673

25 1,505 3,127 6,963 12,863 20,755 30,574

26 1,492 3,105 6,921 12,807 20,686 30,478

27 1,482 3,083 6,883 12,753 20,615 30,388

28 1,471 3,063 6,847 12,701 20,549 30,305

29 1,462 3,042 6,811 12,653 20,487 30,227

30 1,452 3,021 6,782 12,611 20,431 30,152

да 1 2 5 10 17 26