Статистический анализ стохастических скачкообразных процессов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат наук Кириллов, Владислав Сергеевич

• Кириллов, Владислав Сергеевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Кириллов, Владислав Сергеевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

1. МОДЕЛИ СТОХАСТИЧЕСКИХ СКАЧКООБРАЗНЫХ ПРОЦЕССОВ В ОПТИКЕ

1.1. Дважды стохастические пуассоновские процессы с постоянной интенсивностью

1.1.1. Выходной процесс фотодетектора при воздействии суперпозиции узкополосных сигнала и гауссовского шума

1.1.2. Выходной процесс фотодетектора при воздействии сигналов с замираниями

1.2. Процессы с самовозбуждением

1.3. Дробовой шум

1.4. Процессы с самовозбуждением как дважды стохастические пуассоновские

2. АЛГОРИТМЫ ОБРАБОТКИ ПУАССОНОВСКИХ ПРОЦЕССОВ СО СЛУЧАЙНОЙ ИНТЕНСИВНОСТЬЮ

2.1. Структура алгоритмов обнаружения и различения пуассоновских процессов с независимыми от времени случайными интенсивностями

2.2. Алгоритм обнаружения узкополосного оптического сигнала на фоне узкополосного гауссовского шума по статистике фотоотсчётов и анализ его характеристик

2.3. Алгоритм различения узкополосных оптических сигналов с различными интенсивностями на фоне узкополосного гауссовского шума по статистике фотоотсчётов и анализ его характеристик

2.4. Обнаружение оптических сигналов с неизвестной формой интенсивности

3. АППРОКСИМАЦИИ СТАТИСТИК ФОТООТСЧЁТОВ ОПТИЧЕСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

3.1. Аппроксимации статистики фотоотсчётов сигнала лазера с флуктуирующей амплитудой

3.2. Аппроксимации статистики фотоотсчётов суперпозиции сигнала лазера с флуктуирующей амплитудой и узкополосного гауссовского шума

4. АЛГОРИТМЫ ОБРАБОТКИ ПРОЦЕССОВ РОЖДЕНИЯ И ГИБЕЛИ

4.1. Вероятностные характеристики процесса рождения, гибели и иммиграции

4.2. Эффективность обнаружения процессов рождения, гибели и иммиграции

4.3. Эффективность обнаружения и оценки параметров неоднородного процесса чистого рождения

4.4. Алгоритм обнаружения и оценки параметров однородного процесса

рождения-гибели-иммиграции

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Статистический анализ стохастических скачкообразных процессов»

Введение

Актуальность работы. Активное освоение оптического диапазона длин волн для целей связи и локации (в координаторах цели лазерных головок самонаведения, авиационных, артиллерийских и танковых лазерных прицелах, биноклях-дальномерах) [15,20 и др.] привело к развитию оптико-электронных систем (ОЭС). В большинстве известной литературы для описания сигналов и шумов таких систем используются либо гауссовская [32], либо пуассоновская модели [33]. Применение пуассоновской модели связано с дискретностью выходного процесса фотодетектора. Особенно заметным это явление становится при малых интенсивностях сигнала и шума. Только при больших значениях интенсивности пуассоновская модель естественным образом переходит в гауссовскую. Однако, во многих случаях и пуассоновское представление выходного сигнала фотодетектора весьма приближённо и не соответствует физической природе явлений [24,41,45,60,65]. Следовательно, необходимо использовать более сложные модели разрывных (скачкообразных) марковских процессов, например, достаточно широкий класс ветвящихся процессов [55]. Под скачкообразным процессом будем понимать такой случайный процесс, который изменяет свое состояние только в случайные моменты времени, образующие возрастающую последовательность (процесс с кусочно постоянными траекториями). Примером такого процесса может служить дважды стохастический пуассоновский процесс, интенсивность которого сама является случайным процессом. Этот вид разрывных (скачкообразных) марковских процессов позволяет учесть, например, такие явления как флуктуации амплитуды и фазы оптических квантовых генераторов, замирания сигнала в канале распространения и др. Выходной сигнал фотодетектора может быть описан этим классом процессов как в случае полуклассического, так и квантового описания взаимодействия излучения с веществом [18].

Однако, в известной литературе по оптимальному приёму оптических сигналов чаще всего используется приближённая пуассоновская модель процесса на выходе фотодетектора в связи со сложностью построения достаточной статистики для более реальной модели - ветвящихся процессов [55]. В современной теории оптической связи наиболее активно используются три класса таких процессов: дважды стохастические пуассоновские, процессы с самовозбуждением и процессы типа дробового шума [60,63]. Про первые из них сказано чуть выше, вторые отражают явление «мёртвого времени» фотодетектора, а третьи учитывают конечную длительность каждого импульса тока, вызванного эмиссией фотоэлектрона. Таким образом, построение функционалов плотности вероятности для каждого из этих видов ветвящихся процессов, а также обнаружение и оценка параметров таких процессов являются задачами актуальными в современной теории оптической связи и локации. Причём методы, развитые в разделе 4 для процессов с самовозбуждением, могут быть использованы и для дважды стохастических пуассоновских процессов с любой плотностью вероятности интенсивности. Как известно из [60], этот вид скачкообразных марковских процессов всегда может быть представлен в виде процессов с самовозбуждением.

Цель работы. Целью работы является синтез и анализ алгоритмов временной обработки разрывных (скачкообразных) марковских процессов, широко используемых в теории оптической связи и локации с учётом дискретной структуры процесса фотодетектирования. Для реализации этой цели в диссертационной работе поставлены и решены следующие задачи:

1. Синтезированы оптимальные алгоритмы временной обработки пуассоновских процессов со случайной интенсивностью и проведён их анализ

2. Синтезирован алгоритм обнаружения сигнала с неизвестной формой интенсивности и проведён его анализ

3. Предложены различные виды аппроксимаций статистики фотоотсчетов сигнала лазера с флуктуирующей амплитудой и суперпозиции такого сигнала с узкополосным гауссовским шумом

4. Найдены статистические характеристики линейного однородного процесса рождения-гибели-иммиграции и характеристики обнаружения сигнала на выходе усилителя Люиселла при детерминированном и пу-ассоновском входном числе фотонов

5. Синтезированы алгоритмы обнаружения линейного неоднородного процесса рождения с неизвестным временем прихода (моментом разладки) и оценки момента разладки и проведён их анализ. Синтезированы алгоритмы обнаружения линейного однородного процесса рождения-гибели-иммиграции с неизвестным моментом разладки и оценки момента разладки

Проблема исследования. Проблемой, исследуемой в работе, является разработка и статистический анализ алгоритмов обработки непуассоновских выходных сигналов фотодетекторов с учётом дискретной природы процесса фотодетектирования.

Методы проведения исследований. При решении поставленных задач в диссертации используются методы статистической радиофизики, математического анализа, теории вероятностей, теории статистических решений, теории марковских процессов. Для экспериментального исследования характеристик алгоритмов обработки сигналов на фоне помех использовались методы статистического моделирования.

Научная новизна работы. В данной работе получены следующие новые научные результаты:

1. Выполнен синтез и анализ алгоритма обнаружения узкополосного сигнала на фоне ограниченного по полосе гауссовского шума с учетом того, что наблюдаемый процесс является дважды стохастическим пуас-соновским. Отличие полученного алгоритма от построенного при пуас-соновской аппроксимации наблюдаемого процесса состоит в более сложном расчёте порога обнаружения. На примере задачи приема узкополосного сигнала на фоне ограниченного по полосе гауссовского шума установлены диапазоны значений параметров сигнала и шума,

для которых наблюдается удовлетворительное совпадение вероятностей общей ошибки при пуассоновской аппроксимации наблюдаемого процесса и без неё.

2. Синтезирован алгоритм приёма пуассоновского потока с неизвестной формой интенсивности и проведён его анализ. В отличие от известных работ, в которых определяется проигрыш по каким-либо характеристикам (например, по ОСШ) при отклонении формы интенсивности от предполагаемой, в предложенном алгоритме осуществляется оценка непосредственно самой интенсивности на фиксированных интервалах времени, что позволяет определить эффективность обнаружения такого сигнала.

3. Предложены и исследованы различные варианты аппроксимаций распределений фотоотсчётов сигнала лазера с флуктуирующей амплитудой и его суперпозиции с узкополосным гауссовским шумом. В отличие от прямого использования этих распределений в алгоритмах обработки соответствующих процессов процедура расчета порога существенно упрощается.

4. Найдено распределение вероятностей числа фотоотсчётов однородного линейного процесса рождения-гибели-иммиграции и определены характеристики обнаружения такого процесса. В отличие от формулы для этого распределения, представленной в [41], получен явный вид распределения для любых параметров процесса.

5. Синтезированы алгоритмы обнаружения линейного неоднородного процесса рождения и однородного процесса рождения-гибели-иммиграции с неизвестным временем прихода (моментом разладки) и оценки момента разладки. Рассчитаны характеристики обнаружения и оценки момента разладки для линейного неоднородного процесса рождения. Показана возможность применения этого алгоритма для неоднородных пуассоновских процессов, интенсивность которых масштабирована случайным множителем с произвольным вероятностным рас-

пределением. В отличие от случая отсутствия параметрической априорной неопределённости требуется измерять не только количество скачков процесса на интервале наблюдения, но и моменты времени каждого скачка.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие результаты, впервые полученные в данной работе:

1. Границы применимости пуассоновской аппроксимации наблюдаемого процесса применительно к задачам обнаружения и различения узкополосных оптических сигналов на фоне ограниченного по полосе гаус-совского шума.

2. Оптимальный алгоритм обнаружения пуассоновского потока с неизвестной формой интенсивности, характеристики обнаружения и оптимальные в смысле минимума вероятности общей ошибки параметры алгоритма.

3. Различные варианты аппроксимаций распределений фотоотсчётов сигнала лазера с флуктуирующей амплитудой и его суперпозиции с узкополосным гауссовским шумом и исследование их точности.

4. Вероятностные характеристики однородного линейного процесса рождения-гибели-иммиграции и характеристики обнаружения такого процесса на фоне пуассоновского шума.

5. Алгоритмы обнаружения линейного неоднородного процесса рождения с неизвестным временем прихода (моментом разладки) ц оценки момента разладки. Характеристики обнаружения неоднородного процесса рождения и оценки времени прихода (момента разладки). Алгоритмы обнаружения линейного однородного процесса рождения-гибели-иммиграции с неизвестным временем прихода (моментом разладки) и оценки момента разладки.

6. Алгоритмы обнаружения при неизвестном времени прихода (моменте разладки) и оценки момента разладки для неоднородных пуассонов-

ских процессов, интенсивность которых масштабирована случайным множителем с произвольным вероятностным распределением. Теоретическая значимость. Построены функционалы плотности вероятности для различных непуассоновских процессов как на основе распределений числа событий на фиксированном интервале времени, так и на основе уравнения Колмогорова. В случаях, когда применение первого метода затруднительно из-за отсутствия явного вида распределения или присутствует параметрическая априорная неопределённость, второй метод является эффективным. Кроме того, построен функционал плотности вероятности пуас-соновского процесса с неизвестной формой интенсивности.

Практическая ценность. Разработанные алгоритмы временной обработки оптических сигналов позволяют реализовывать оптимальные приёмные устройства в случае малой интенсивности сигнала, когда использование непрерывной гауссовской модели наблюдаемого процесса не соответствует физической сущности явлений. Кроме того, и в случае относительно сильного сигнала предлагаемые в работе модели оптических сигналов позволяют упростить синтез и анализ алгоритмов оптимального приёма для ряда задач. Например, предложенные в диссертационной работе алгоритмы могут найти применение при исследовании: систем оптической связи, активной и пассивной локации; сигналов в медицинской и технической диагностике; физических и статистических свойств природных объектов и материалов по их спонтанному и вынужденному излучению.

Достоверность и обоснованность результатов и научных выводов. Достоверность и обоснованность полученных результатов и выводов подтверждается физической аргументированностью и математической корректностью применяемых методов, строгостью принятых допущений и введенных ограничений, использованием фундаментальных положений теории приема и обработки сигналов, доказанных ранее и проверенными практикой, использованием апробированного математического аппарата (теории математической статистики, статистической теории связи, прикладной теории

случайных процессов), совпадением результатов расчета с результатами моделирования на ЭВМ, совпадением полученных результатов при переходе к частным случаям с известными.

Апробация работы. Результаты исследований, приведенные в данной диссертации, были представлены в виде докладов и обсуждались на: XIV, XVI, XVII Международных научно-технических конференциях «Радиолокация, навигация, связь - КЫ^С», Воронеж, 2008, 2010, 2011 гг.

Публикации. По теме исследования опубликовано 7 печатных работ, четыре из которых в журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов диссертационных работ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех разделов, заключения и списка литературы.

В первом разделе проводится классификация выходных процессов фотодетектора в зависимости от его типа и входных воздействий. Кроме того, рассматривается модель Люиселла лазерного усилителя при различных входных сигналах и модели выходных процессов фотодетектора усиленного сигнала.

Во втором разделе выводится функционал правдоподобия для пуассо-новского процесса со случайной интенсивностью с произвольной плотностью вероятности, синтезируется устройство обнаружения узкополосного сигнала на фоне узкополосного гауссовского шума, а также устройство различения двух таких сигналов с различными интенсивностями. Проводится анализ синтезированных устройств по критерию идеального наблюдателя. Кроме того, предложен алгоритм обнаружения пуассоновского процесса с неизвестной формой интенсивности и проведён его анализ по критерию идеального наблюдателя.

В третьем разделе в целях упрощения расчёта порога в алгоритмах, синтезированных в разделе 2, рассматриваются аппроксимации статистики фотоотсчётов для некоторых процессов со сложными многопараметрическими распределениями интенсивности. В частности, рассмотрены аппроксима-

ции статистики фотоотсчётов лазера с флуктуирующей амплитудой в подпо-ровом режиме шестью различными однопараметрическими распределениями, в надпороговом - двумя однопараметрическими распределениями. Кроме того, рассмотрена аппроксимация суперпозиции сигнала лазера с флуктуирующей амплитудой в надпороговом режиме с узкополосным гауссовским шумом.

В четвёртом разделе найдены распределения выходных процессов усилителя Люиселла при детерминированном и пуассоновском входном числе фотонов. Рассчитаны характеристики обнаружения усиленных сигналов по критерию идеального наблюдателя. Кроме того, синтезированы алгоритмы обнаружения неоднородного линейного процесса рождения и однородного линейного процесса рождения-гибели-иммиграции с неизвестным временем прихода (моментом разладки) и оценки момента разладки. Методом статистического моделирования найдены характеристики этих алгоритмов для неоднородного линейного процесса рождения.

1. МОДЕЛИ СТОХАСТИЧЕСКИХ СКАЧКООБРАЗНЫХ ПРОЦЕССОВ

В ОПТИКЕ

Для регистрации оптического излучения чаще других используются энергетические фотоприёмники, которые часто называют приёмниками прямого детектирования или некогерентными. Такие приёмники применяются, когда передаваемая информация содержится в вариациях мощности принимаемого поля. В некотором диапазоне интенсивностей падающего на фотоприёмник поля к обработке оптических сигналов применим полуклассический подход: распространение волны можно рассматривать как классический процесс, а взаимодействие с веществом - как квантовый. При этом на выходе фотоприёмника наблюдаются отдельные импульсы тока, вызванные эмиссией отдельных фотоэлектронов. Модель генерации тока показана на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Модель формирования сигнала в фотодетекторе 1 - фоточувствительная поверхность; 2 - входное поле; 3 - эмиттированные электроны; 4 - коллекторный анод; 5 - выходной ток; Я - нагрузочное сопротивление

5

О

Я

При взаимодействии входного оптического поля с фоточувствительной поверхностью высвобождаются электроны. Свободные электроны затем перемещаются к аноду. В результате движения электрона на выходе детектора появляется импульс тока. Процесс генерации электронов носит случайный характер. Следовательно, ток на выходе фотодетектора будет точечным случайным процессом или потоком. При прямом фотодетектировании и отсутствии интерференции между модами, наблюдаемый выходной процесс будет марковским, т.е. последующая его эволюция зависит лишь от времени одного предыдущего скачка. Применительно к точечным процессам это означает, что число скачков в определённом интервале времени зависит лишь от времени одного предыдущего скачка и длительности этого интервала времени. Число импульсов в определенном интервале времени при детерминированной интенсивности падающей световой волны будет иметь пуассоновскую статистику. При этом параметр пуассоновского распределения Л определяется проинтегрированной по времени наблюдения и площади регистрации интенсивностью оптического излучения [10]:

/+Г

л=7711 1{т,р^хар. (1.1)

А *

Здесь Г] - квантовая эффективность фотодетектора (имеет размерность, обратную энергии), А - площадь фотодетектора, Т— время наблюдения, 1(т,р)- интенсивность, как функция координат и времени. Как видно из формулы (1.1), свойства потока фотоэлектронов зависят как от временных, так и пространственных свойств детектируемого поля. Если же интенсивность падающей волны случайна, то число импульсов в определённом интервале времени будет подчиняться условно-пуассоновской (УП) статистике.

Причём для получения явного вида УП распределения вероятностей необходимо пуассоновское распределение усреднить дополнительно по распределению ^(Л) интегральной интенсивности (1.1):

со

Р(п) = (1.2)

о

Соотношение (1.2) известно из литературы [10] как полуклассическая формула Манделя. Однако в случае произвольной зависимости интенсивности падающей волны 1{т,р) от координат и времени найти распределение интегральной интенсивности А затруднительно.

1.1. Дважды стохастические пуассоновские процессы с постоянной интенсивностью

Формула (1.2) существенно упростится при выполнении условия «короткого отсчётного интервала», т.е. при условии, что интенсивность падающей волны медленно меняется за интервал наблюдения Т. Если, кроме того, она также практически постоянна на площади детектирования А ? То формула (1.2) перепишется в виде:

Р(п) = , (1.3)

о п'

где распределение мгновенной интенсивности падающей волны £(т,р)

на интервале наблюдения Т и площади детектирования А. Однако и при невыполнении условия «короткого отсчётного интервала» формула (1.2) может быть упрощена. В этом случае потребуется разложение огибающей Е(т,р) процесса р) в ряд по системе ортогональных детерминированных функций (например, гармонических) со случайными комплексными коэффициентами. Они будут некоррелированными случайными величинами только в случае специального разложения Карунена-Лоева [10, 56]. Квадрат модуля

каждого коэффициента представляет собой мгновенную интенсивность каждой гармоники (моды). Таким образом, можно легко получить условно-пуассоновское распределение выходного процесса фотодетектора для каждой гармоники (моды). Тем не менее, распределение суммарного выходного процесса можно находить только для гауссовых полей, т.к. только в этом случае коэффициенты разложения будут независимыми случайными величинами. В общем случае число гармоник разложения процесса бесконечно, поэтому требуется брать бесконечнократную свёртку распределений каждой гармоники. В случае когерентно-сепарабельного поля можно обобщить предложенный выше подход на некогерентные на площади детектирования поля, раскладывая его как по временным, так и по пространственным модам [10]. В большинстве практически важных случаев можно ограничиться конечным числом как пространственных, так и временных мод. Общее их число будет определяться при этом произведением числа пространственных и временных мод в отдельности [10]. Тем не менее, всё равно для произвольного спектра входного процесса £(т,р) найти явный вид такой свертки невозможно. Для некоторых частных случаев пространственно-временного спектра он найден в [56]. В дальнейшем будем рассматривать только простейший случай: число мод ограничено, и каждая имеет одинаковую интенсивность. Кроме того, для простоты расчетов вероятностных характеристик процессов на входе и выходе приемного устройства будем полагать число пространственных мод равным 1. Для систем лазерного зондирования в случае слабокогерентных отсчётов такое приближение оправдано. Рассмотрим выходные процессы фотодетектора для некоторых типовых моделей входных сигналов.

1.1.1. Выходной процесс фотодетектора при воздействии суперпозиции узкополосных сигнала и гауссовского шума

Рассмотрим процесс на выходе фотодетектора, когда на его вход поступает узкополосный гауссовский шум n{t):

n{t) = p{t)cos{coQt + (p{t)), (1.4)

где p{t) и <p(t) - случайные амплитуда (огибающая) и фаза.

Учтем, что интенсивность процесса I = р2 ¡2 (р- огибающая процесса п ). Тогда расчет плотности распределения вероятности интенсивности легко может быть выполнен с использованием известного метода [3]:

-//

W{I) = ^e (1.5)

<7

где а2 — дисперсия узкополосного гауссовского шума.

Вычисляя интеграл (1.3), получим известное геометрическое распределение числа фотоотсчётов [10]:

Р(п) = М0*(1 + //0Г("+1), (1.6)

где /¿о = *1&2АТ.

Теперь обобщим распределение (1.6) на случай ограниченного по полосе гауссовского шума с постоянной спектральной плотностью и шириной полосы В. В этом случае распределение интенсивности будет характеризоваться с- кратной свёрткой распределений (1.5) и имеет вид [10]:

..И"

/

с-1 _ I/

Л

щ!)=к ;(с) */<т, (1.7)

где с = \ + 2ВТ. Вычисляя интеграл (1.3), получим известное отрицательно биномиальное распределение фотоотсчётов [10]:

Р(п) =-^-1-—. (1.8)

Г(с)Г(и + 1)(1 + //0р

Рассмотрим процесс на выходе фотодетектора, когда на его вход поступает узкополосный гауссовский процесс ¿;(t), представляющий собой сумму узкополосного гауссовского шума и монохроматического сигнала:

£(0 = 5(0 + "(0 = Um cos O)0t + p(t)cos((D0t + (pit)). (1.9)

При постоянной амплитуде Um сигнала известно распределение огибающей процесса £ - обобщённое релеевское (Релея-Райса). Плотность распределения вероятности интенсивности в этом случае будет иметь вид:

21+Ul

'UJ2l'

W(I) = ±-e ^ 2^ (1.10)

Вычисляя интеграл (1.3), получим известное лагерровское распределение фотоотсчётов [10]:

.п

Р{п) =-&- ехр --^-1 Ln---р-—т , (1.11)

(1 + Мо) I 1 + ^oJ Ч Ml + Mo)J' v ;

где ^^TjTU^/l, Ln{•) - полином лагерра и-ного порядка [1], ¡л^ =r¡<j2T.

Математическое ожидание и дисперсия для этого распределения описываются формулами

= + Щ=Мо(1 + Мо) + М1 + 2Мо)- (1-12)

Теперь обобщим распределение (1.7) на случай узкополосного сигнала с той же шириной полосы В, что и у гауссовского шума с постоянной спектральной плотностью. Тогда распределение интенсивности суммарного сигнала будет характеризоваться с-кратной свёрткой распределений (1.10) [10]:

с-13)

А л

С

1 Х-1 ^

где и 1с_](х) - модифицированная функция Бесселя порядка

М

с-1, ищ — амплитуда каждой гармоники (моды).

Вычисляя интеграл (1.3), получим известное обобщённое лагерровское распределение фотоотсчётов [10]:

Р{п) - exp

(1.14)

где Ms =îjTE, Lcn(-) - обобщённый полином лагерра п -ного порядка с индексом с[1].

Математическое ожидание и дисперсия для этого распределения описываются формулами

Формулы (1.8), (1.14) будут использованы в дальнейшем для построения алгоритмов обнаружения и различения узкополосных сигналов на фоне ограниченного по полосе гауссовского шума и их анализа.

1.1.2. Выходной процесс фотодетектора при воздействии

сигналов с замираниями

Рассмотрим теперь еще одно обобщение модели выходного процесса (1.11) на случай замирания сигнала в канале распространения, т.е. возникновения случайных флуктуаций его уровня [37]. В современных системах оптической связи с таким явлением приходится считаться. Обычно разделяют два вида флуктуаций - быстрые и медленные. В дальнейшем будут рассматриваться лишь быстрые замирания, основной причиной которых является многолучевая структура сигнала и интерферирующих лучей. Наибольшее распространение получили модели замираний, описываемые следующими распределениями: распределением Релея, Релея-Райса (обобщенное релеев-ское) и Накагами. В таких каналах иногда приходится использовать более сложные модели распределения огибающих, чем представленные в пункте 1.1.1. В этом случае статистика фотоотсчётов будет отличаться от лагерров-ской. Формула (1.7) получена в предположении, что амплитуда сигнала 1/т постоянна. Реальные условия распространения электромагнитных волн приводят к тому, что амплитуда оптического сигнала флуктуирует (каналы с за-

Eq=cMq+Ms, D0 =C//0(1 + //0) + MS(1 + 2//0).

(1.15)

миранием). В этом случае параметр ит будет случайной величиной с плотностью вероятности ¡¥(1/т), а плотность вероятности смеси £ (1.9) будет определяться по формуле

00

= ит)Ж(ит)с1ит , (1.16)

о

где - плотность вероятности Релея-Райса (плотность распределе-

ния вероятности огибающей процесса £ в предположении постоянства амплитуды сигнала ит). Рассчитав безусловную плотность вероятности по формуле (1.16) и далее - плотность вероятности интенсивности

найдём статистику фотоотсчётов по формуле Манделя (1.3). Отметим, что расчет статистики фотоотсчетов можно осуществлять несколько по иному, усредняя лагерровское распределение (1.7) по плотности вероятности величины 1ц 2:

(1л7)

Пользуясь формулами (1.3), (1.16) или (1.17), рассчитаем распределения фотоотсчётов для некоторых, наиболее часто используемых, моделей замираний.

В случае Релеевской модели замираний распределение вероятности амплитуды сигнала имеет вид

и ( и2 У Л

_ ТП /

2ст2

,Um> 0. (1.18)

'm V /

Подставляя (1.18) в (1.16) и далее в (1.3), получаем, что распределение фотоотсчетов в данном случае выглядит следующим образом:

У (1-19)

где = Mo f^m ' Mo = Mm = V^l1 ■

Математическое ожидание и дисперсия для этого распределения описываются формулами:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кириллов, Владислав Сергеевич, 2013 год

Литература

1. Абрамовиц М. Справочник по специальным функциям / М. Абрамович, И. Стиган. - Пер. с англ. под ред. В.А. Диткина и JI.H. Кар-мазиной.-М.: Наука, 1979. - 832 с.

2. Акимов П.С. Теория обнаружения сигналов / П.С. Акимов, П.А. Бакут. - М.: Радио и связь, 1984. - 440 с.

3. Ахманов С.А. Введение в статистическую радиофизику и оптику / С.А. Ахманов, Ю.Е.Дьяков, А.С.Чиркин. - М.:Наука, 1981. - 640 с.

4. Березин В.В. Обнаружение и оценивание координат изображений точечных объектов в задачах астронавигации и адаптивной оптики / В.В. Березин, А.К. Цыцулин // Вестник ТОГУ. - 2008. - №1(8). -С.11-20.

5. Большаков И.А. Прикладная теория случайных потоков / И.А. Большаков, B.C. Ракошиц. - М.: Сов. радио, 1978. - 248 с.

6. Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике / В.В. Быков. - М.: Сов. радио, 1971. - 328 с.

7. Вентцель Е.С., Овчаров JI.A. Теория вероятностей и её инженерные приложения / Е.С. Вентцель. - М.: Академия, 2003. - 464 с.

8. Вирченко Ю.П. Одновершинность распределения числа фотоотсчетов гауссовских оптических полей / Ю.П. Вирченко, A.C. Маз-манишвили // Проблемы передачи информации. - 1995.- т. 31, вып.1.-С. 84-89.

9. Галун С.А., Трифонов А.П. Обнаружение и оценка момента изменения интенсивности пуассоновского потока / С.А. Галун, А.П. Трифонов // Автоматика и телемеханика. - 1982. - №6. - С. 95-105.

Ю.Гальярди P.M. Оптическая связь / P.M. Гальярди, Ш. Карп. - Пер. с англ. под ред. А.Г. Шереметьева. - М.: Связь, 1978. - 424 с.

П.Глаубер Р. Оптическая когерентность и статистика фотонов / Р. Глаубер. - М.: Мир, 1966. - 451 с.

12.Градштейн И.С. Таблицы сумм, рядов и интегралов / И.С. Град-штейн, И.М. Рыжик. - М.: Наука, 1971. - 1108 с.

13.Гудмэн Дж. Статистическая оптика / Дж. Гудмэн. - М.: Мир, 1988. - 527 с.

14.Клейнрок JI. Теория массового обслуживания / JI. Клейнрок. - М.: Машиностроение, 1979.-432 с.

15.Козинцев М.П. Основы импульсной лазерной локации / М.П. Козинцев, В.М. Белов и др. - М.: Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. -512 с.

16.Козловский A.B. Генерация сжатого (субпуассоновского) света многомодовым лазером / A.B. Козловский // Успехи физических наук. - 2007. - Т. 77, №12. - С. 1345-1360.

17.Крамер Г. Математические методы статистики / Г. Крамер. - М.: Мир, 1975.-648 с.

18.Курикша A.A. Квантовая оптика и оптическая локация / A.A. Ку-рикша. - М.: Сов. Радио, 1973. - 134 с.

19.Куцов Р.В. Обнаружение и оценка вектора скорости движения неоднородного пространственно-протяженного объекта по изображению / А.П. Трифонов, Р.В. Куцов // Автоматика и телемеханика. -2009.-№8. -С. 96-109.

20.Лебедько Е.Г. Системы оптической локации / Е.Г. Лебедько. -СПб.: НИУ ИТМО, 2012. - 129 с.

21.Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Книга вторая. Изд. 2-е, перераб. и дополнен. / Б.Р. Левин. - М.: Сов. Радио, 1975.-392 с.

22.Лукач Е. Характеристические функции / Е. Лукач. - Пер.с англ. -М.: Наука, 1979. - 424 с.

23.Овчинникова Т.М. Алгоритмы статистического анализа оптических сигналов и их свойства: дис. к-та физ. мат. наук / Т.М. Овчинникова. - Воронеж, 1990. - 206 с.

24.Перина Я. Квантовая статистика линейных и нелинейных оптических явлений / Я. Перина. - М.: Мир, 1987. - 368 с.

25.Расщепляев Ю. С., Хуторцев В. В. Совместное обнаружение и оценивание процессов Юла-Фарри / Ю.С. Расщепляев, В.В. Хуторцев // Автоматика и телемеханика. - 2009. - №3. - С. 68-77

26.Рогачёв В.А. Классификация режимов работы фоторегистраторов в системах локации / В.А. Рогачёв // Инфокоммуникационные технологии. - 2008. - №3. - С. 42-46.

27.Скалли М.О. Квантовая оптика / М.О. Скалли, М.С. Зубайри. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 510 с.

28.Соболев В. В. / Максимально правдоподобные оценки параметров оптических сигналов с учётом дробового и фонового шумов / B.C. Соболев, Ю.А. Полещук // Компьютерная оптика. - 2006. -Т.30.-С. 98-106.

29.Тихонов В.И. Марковские процессы / В.И. Тихонов, М.А. Миронов. - М.: Сов. радио, 1977. - 477 с.

30.Тихонов В.И. Оптимальный приём сигналов / В.И.Тихонов. - М.: Радио и связь, 1983. - 320 с.

31.Тихонов В.И. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем / В.И. Тихонов, В.Н. Харисов. - М.: Радио и связь, 1991.-608 с.

32.Тришенков М.А. Фотоприёмные устройства и ПЗС. Обнаружение слабых оптических сигналов. М.: Радио и связь, 1992. - 400 с.

33.Федосеев В.И. Обнаружение и оценка положения источника сигнала, модулирующего пуассоновское случайное поле / В.И. Федосеев, Ф.В. Широков // Известия высших учебных заведений. -1975. - Т 18, №2. - С. 246-252.

34.Федосеев В.И. Приём пространственно-временных сигналов в оптико-электронных системах. - М.: Университетская книга, 2011. -232с.

35.Феллер В. Теория вероятностей / В.Феллер. - М.: Мир, 1975. - 421 с.

36.Ханин Я.И. Динамика квантовых генераторов / Я.И. Ханин. - Т.2. - М.: Сов. Радио, 1975. - 496 с.

37.Шелухин О.И. Негауссовские процессы в радиотехнике / О.И. Ше-лухин. - М.: Радио и связь, 1999. - 310 с.

38.Шинаков Ю.С. Совместное различение сигналов и оценка их параметров на фоне помех / Ю.С. Шинаков, А.П. Трифонов. - М.: Радио и связь, 1986. - 264 с.

39.Albota М.А. Three-Dimensional Imaging Laser Radars with GeigerMode Avalanche Photodiode Arrays / M.A. Albota, B.F. Aull // Lincoln Laboratory Journal. - 2002. - vol. 2, No 13. - P. 351-370.

40.Babu G.H., Singh K. Edgeworth expansions for compound poisson processes and the bootstrap / G.H. Babu, K. Singh, Y. Yang // Ann. Institut. Statist. Math. - 2003. - vol. 55, No 1. - P. 83-94.

41.Diament P., Teich M.C. Evolution of the Statistical Properties of Photons Passed Through a Traveling-Wave Laser Amplifier / P. Diament, M.C. Teich // IEEE Journal of quantum electronics. - 1992. - vol. 28, No 5.-P. 1325-1334.

42.Diament P. Photoelectron-Counting Distributions for Irradiance-Modulated Radiation / P. Diament, M.C. Teich // Journal of the optical society of America. - May 1970. - vol. 60, No 5. - P. 682-689.

43.Dossou-Gbete S., Mizere D. An overview of probability models for statistical modeling of count data / S. Dossou-Gbete, D. Mizere // Monografías del Seminario Matemático Garsia de Galdeano. - 2006. - vol. 33.-P. 237-244.

44.Falie D., Buzuloiu V. Noise Characteristics of 3D Time-of-Flights Cameras / D. Falie, V. Buzuloiu // IEEE International Symposium on Signals, Circuits and Systems. - 2007. - vol. 1. - P. 1-4.

45.Fray S. Photon-Counting distributions of Modulated Laser Beams / S. Fray, E.R. Pike // Physical Review. - Jan. 1967. - vol. 153, No 2. - P. 357-359.

46.Gleyzes S., Kuhr S. Quantum jumps of light recording the birth and death of a photon in a cavity / S. Gleyzes, S. Kuhr // European Conference on Lasers and Electro-Optics and the International Quantum Electronics Conference. - 2007. - P. 1-5.

47.Kong H.J. Development and analysis of a photon-counting three-dimensional imaging laser detection and ranging (LADAR) systems / H.J. Kong, B.W. Kim // J. Opt. Soc. Am. A. - April 2011. - vol. 28, No 5.-P. 759-765.

48.Loudon R., Shepherd T.J. Properties of the optical quantum amplifier / R. Loudon, T. J. Shepherd // Opt. Acta. - 1984. - vol. 31. - P. 12431269.

49.Louisell W.H. Radiation and Noise in Quantum Electronics / W.H. Louisell. - New York: McGraw-Hill, 1964. - 320 p.

50.Matsuo K. Thomas point processes in Pulse, Particle and Photon Detection / K. Matsuo, M.C. Teich // Applied optics. - 1983. - vol. 22, No 12.-P. 1898-1909.

51.Prucnal P.R. Statistical properties of counting distributions for intensity-modulated sources / P.R. Prucnal, M.C. Teich // J. Opt. Soc. Am. -April 1979. - vol. 69, No 4. - P. 539-543.

52.Richardson W.H. Squeezed photon-number noise and sub-Poissonian electrical partition noise in a semiconductor laser / W.H. Richardson, S. Machida, Y. Yamamoto // Phys. Rev. Lett. - June 1991. - vol. 66, Issue 22.-P. 2867-2870.

53.Rostami A., Leilaeioun M. Self-consistent performance modeling for dual band MIS UV photodetectors based on Si/Si02multilayer structure / A. Rostami, M. Leilaeioun // Applied Optics. - 2012. - vol. 51, Issue 16.-P. 3508-3518.

54.Saleh B.E.A. Coherence and photon statistics for optical fields generated by Poisson random emissions / B.E.A. Saleh, D. Stoler // Physical Review A. - 1983. - vol. 27, No 1. - P. 360-374.

55.Saleh B.E.A. Multiplied-Poisson noise in Pulse, Particle and Photon Detection / B.E.A. Saleh, M.C. Teich // Proceeding on the IEEE. -1982. - vol. 70, No 3. - P. 229-245.

56.Saleh B.E.A. Photoelectron Statistics With Applications to Spectroscopy and Optical Communication / B.E.A. Saleh. - Berlin: SpringerVerlag, 1978.-441 p.

57. Shapiro J.H. Theory of light detection in the presence of feedback / J.H. Shapiro, P. Kumar // J. Opt. Soc. Am. B. - 1987. - vol. 4, No 10. - P. 1604-1620.

58.Shepherd T.J., Jakeman E. Statistical analysis of an incoherently coupled, steady-state optical amplifier / T. J. Shepherd, E. Jakeman // J. Opt. Soc. Amer. B. - Nov. 1987. - vol. 4, No 11. - P. 1860-1869.

59.Shimoda K. Fluctuations in amplification of quanta with application to maser amplifiers / K. Shimoda, H. Takahasi, C.H. Townes // J. Phys. Soc. Japan. - June 1957. - vol. 12, No 6. - P. 687-700.

60.Snyder D.L., Miller M. Random Point Processes in Time and Space / D.L. Snyder, M. Miller. - Springer-Verlag, 1991.-480 p.

61. Sumitomo H., Yamanishi M. Photon-number squeezing by the nonlinear backward pump process in a constant voltage heterojunction LED / H. Sumitomo, M. Yamanishi // Phys. Rev. B. - Apr. 2002. - vol. 65. -P. 165325-1-165325-9.

62.Teich M.C. Approximate photocounting statistic of shot-noise light with arbitrary spectrum / M.C. Teich, B.E.A. Saleh // Journal of modern optics. - 1987.-vol. 34,No 9.-P. 1169-1178.

63.Teich M.C., Saleh B.E.A. Branching Processes in Quantum Electronics / M.C. Teich, B.E.A. Saleh // IEEE Journal on selected topics in qafai?-tum electronics. - 2000. - vol. 6, No 6. - P. 1450-1456.

64.Teich M.C. Cascaded Stochastic Processes in Optics / M.C. Teich, B.E.A. Saleh // Traitment du Signal. - 1998. - vol. 15, No 6. - P. 457465.

65.Teich M.C. Information, Error, and Imaging in Deadtime-Perturbed Doubly Stochastic Poisson Counting Systems / M.C. Teich, B.I. Cantor // IEEE Journal of quantum electronics. - 1978. - vol. QE-14, No 12. -P. 993-1003.

66.Teich M.C. Neural counting and photon counting in the presence of dead-time / M.C. Teich, W.J. McGill // Physical Review Letters. -March 1976. - vol. 36, No 13. - P. 754-758.

67.Teich M.C., Prucnal, P. R., Vannucci, G. Optimum photon detection with a simple counting processor / M.C. Teich, P.R. Prucnal, G. Vannucci // OPTICS LETTERS. - 1977. - vol. 1, No 6. - P. 208-211.

68.Teich M.C. Photocounting distributions for exponentially decaying sources / M.C. Teich, H.C. Card // OPTICS LETTERS. - May 1979. -vol. 4, No 5.-P. 146-148.

69.Teich M.C. Role of doubly-stochastic Neyman type-A and Thomas counting distributions in photon detection / M.C. Teich // Applied optics. - 1981. - vol. 20, No 14. - P. 2457-2467.

70.Wang M. Nonhomogeneous birth-dearth processes / M. Wang. -Pomona: California State Polytechnic University, 2005. - 52 p.

71.Yamamoto Y. Preparation, measurement and information capacity of optical quantum states / Y. Yamamoto, H. A. Haus // Rev. Mod. Phys. -1986. - vol. 58, Issue 4. - P. 1001-1020.

72.Zhang J., Wang J. Optical Fock-state generation with large number of photons based on atoms coupled to an optical parametric oscillator / J. Zhang, J. Wang // J. Opt. Soc. Amer. B. - 2012. - vol. 29, Issue 6. - P. 1473-1478.

73.3юльков A.B. Условно-пуассоновские вероятностные модели / A.B. Зюльков, B.C. Кириллов // Радиолокация, навигация, связь:

XIV Междунар. науч.-техн. конф., г. Воронеж, 15-17 апр. 2008 г. -Воронеж, 2008. - Т. 1. - С. 326-330.

74.Парфёнов В.И. Различение слабых оптических сигналов с различными энергиями / В.И. Парфёнов, B.C. Кириллов // Радиолокация, навигация, связь: XVI Междунар. науч.-техн. конф., г. Воронеж, 13-15 апр. 2010 г. - Воронеж, 2010. - Т. 1. - С. 729-735.

75.Лазарев И.В. Методика определения порогового уровня решения при оценивании информативных признаков дальностных радиолокационных портретов / И.В. Лазарев, B.C. Кириллов // Вестник Воронежского государственного университета. Сер. Физика. Математика. - Воронеж, 2010. - № 2. - С. 261-265.

76.Парфёнов В.И. Статистики фотоотсчётов оптических сигналов с замираниями / В.И. Парфёнов, B.C. Кириллов // Радиолокация, навигация, связь: XVII Междунар. науч.-техн. конф., г. Воронеж, 1214 апр. 2011 г. - Воронеж, 2011. - Т. 3. - С. 2413-2418.

77.Парфёнов В.И. Аппроксимация статистики фотоотсчётов лазерного излучения / В.И. Парфёнов, B.C. Кириллов // Теория и техника радиосвязи. - 2011. - Вып. 3. - С. 106-113.

78.Парфёнов В.И. Обнаружение оптических сигналов при приёме потока фотоэлектронов с неизвестной формой плотности / В.И. Парфёнов, B.C. Кириллов // Компьютерная оптика. - 2012 .- Т. 36. - № 4.-С. 617-621.

79.Парфёнов В.И. Анализ характеристик обнаружения слабых оптических сигналов с предусилением / В.И. Парфёнов, B.C. Кириллов // Вестник Воронежского государственного университета. Сер. Физика. Математика. - Воронеж, 2012. - № 2. - С. 66-72.

80.Парфёнов В.И. Обнаружение и оценивание момента разладки не-одродных процессов рождения / В.И. Парфёнов, B.C. Кириллов // Теория и техника радиосвязи. - 2013. - Вып. 2. - С. 94-101.