Статистические модели радиационно-столкновительных процессов в термоядерной плазме тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Леонтьев Дмитрий Сергеевич

• Леонтьев Дмитрий Сергеевич
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Леонтьев Дмитрий Сергеевич

Введение

Глава 1. Обзор литературных данных

1.1 Статистическая модель

1.2 Диэлектронная рекомбинация тяжелых многозарядных ионов

1.3 Радиационные потери в плазме

1.4 Квазиконтинуум тяжелых ионов

1.5 Заключение по главе

Глава 2. Статистические модели диэлектронной рекомбинации

2.1. Обзор статистических моделей

2.2. Диэлектронная рекомбинация

2.2.1. Общая формула скорости диэлектронной рекомбинации

2.2.2 Скорость диэлектронной рекомбинации в статистической модели

2.2.3 Усреднение скорости диэлектронной рекомбинации по орбитальному моменту

2.3 Применение статистических распределений электронной плотности для вычисления скорости диэлектронной рекомбинации

2.3.1 Модель локальной плазменной частоты

2.3.2 Модель локальной плазменной частоты с селективной электронной плотностью

2.3.3 Модель Роста

2.4 Результаты расчетов скорости диэлектронной рекомбинации по статистической модели

2.5 Заключение по главе

Глава 3. Радиационные потери быстрых заряженных частиц при столкновениях с тяжелыми ионами

3.1 Предварительные оценки

3.2 Статистическая модель радиационных потерь быстрых тяжелых частиц

3.3 Кулон-борновское приближение

3.4 Сравнение с электронными радиационными потерями

3.5 Заключение по главе

Глава 4. Статистическая модель квазиконтинуума тяжелых ионов

4.1 Статистический подход к моделированию квазиконтинуума

4.2 Спектральное распределение линейчатых радиационных потерь в статистической модели

4.3 Результаты расчета квазиконтинуума в статистической модели

4.4 Статистические данные для массива поуровневых переходов

4.5 Заключение по главе

Заключение

Литература

Введение

Актуальность расчетов радиационно-столкновительных процессов с тяжелыми многоэлектронными ионами обусловлена использованием тяжелых элементов, в первую очередь вольфрама, в современных термоядерных установках, в том числе в конструкции будущего термоядерного реактора ИТЭР. При взаимодействии плазмы с пластинами дивертора, сделанных из вольфрама, происходит накопление тяжелых примесей в разряде. Присутствие в плазменном шнуре тяжелых примесей существенно влияет на энергобаланс плазмы вследствие высокой излучательной способности, поскольку даже при больших электронных температурах ионы этих примесей будут содержать большое число связанных электронов. Кроме того, данный эффект имеет тенденцию усиливаться в результате наблюдаемой в экспериментах аккумуляции тяжелых примесей. Помимо этого, накопление вольфрама в центре плазменного шнура в Н-режиме может приводить к потере устойчивости из-за развития МГД процессов, срыву разряда, переходу в Ь-моду. Поэтому важно проводить постоянный мониторинг плазмы, в частности следить за содержанием примесей тяжелых ионов в плазме. Для определения ионизационного баланса необходимо рассчитывать скорости радиационно-столкновительных процессов, что является весьма нетривиальной задачей в случае многоэлектронных ионов. Существующие численные коды, восходящие к работам Кована, весьма громоздки и требуют значительного времени для расчета спектров многоэлектронных ионов. Кроме того, точность расчетов по этим кодам достаточно ограничена [1] и для их верификации нередко требуется привлечение экспериментальных данных.

С точки зрения атомной физики вольфрам выделяется среди всех других примесей в плазме, чрезвычайной сложностью атомной структуры и диапазоном возможных изменений заряда ионов (75 возможных зарядовых состояний). При этом диапазон изменения плазменных параметров (особенно температуры) оказывается чрезвычайно широким: от 1 эВ в пристеночной плазме до 20-30 кэВ в центре плазменного шнура. Это обстоятельство требует развития теоретических

моделей расчета атомных процессов в широком диапазоне энергий. В настоящей работе в качестве такого метода расчета использованы статистические модели многоэлектронных ионов. Такой метод позволяет получить универсальные результаты для различных атомных процессов в виде достаточно простых функционалов от распределения электронной плотности в многоэлектронных ионах. Первые расчеты процессов фотоионизации, основанные на модели локальной плазменной частоты (ЛПЧ), были проведены Брандтом и Лундквистом [2]. Обоснование плазменной модели атома на основе решения уравнения Власова для Томас-Фермиевского атома было дано Виноградовым и Толстихиным [3]. В данной работе статистические методы расчета применены к широкому кругу атомных процессов, ответственных за излучение плазмы с тяжелыми примесями.

Основным каналом рекомбинации тяжелых ионов является диэлектронная рекомбинация, включающая процессы электронного захвата, автоионизации и радиационной релаксации. Эти данные наряду со статистическими моделями ионизации необходимы для определения ионизационного равновесия ионов в плазме.

Важной характеристикой плазмы являются радиационные потери энергии на примесях, вызванные возбуждением ионов примеси электронами, приводящие к остыванию плазмы. Однако, тяжелые примеси, в первую очередь вольфрам, сохраняют достаточно большое число связанных электронов даже при температурах, близких к протеканию термоядерной реакции. Это приводит к появлению нового канала радиационных потерь, связанного с возбуждением примесей не только электронами, но и ионами плазмы. В частности, возможно прямое возбуждение примесей альфа-частицами, приводящее к их радиационным потерям энергии. Обычная схема релаксации энергии альфа-частиц связана с их упругими столкновениями с электронами плазмы, которые затем теряют энергию на возбуждении примесей. Оценка прямого канала радиационных потерь альфа -частиц представляет общефизический интерес. Расчеты скоростей возбуждения многоэлектронных ионов примеси ионами плазмы является

многоконфигурационной задачей теории столкновений, достаточно сложной даже для простейших двухуровневых систем. Использование статистических методов расчета позволяет дать разумные оценки этих эффектов.

У тяжелых элементов неоднократно наблюдались массивы линий, соответствующих радиационным переходам от всех представленных в зарядовом распределении ионов, образующие квазинепрерывный спектр излучения, называемый «квазиконтинуум». В частности, для исследования транспорта вольфрама в современных термоядерных установках нужно исследовать возбуждение и интенсивность высвечивания как отдельных линий, так и массивов линий. Поэтому актуальной задачей является описание распределения радиационных потерь энергии по частотам или длинам волн радиационных переходов в ионах примеси. Такие переходы происходят в пределах одной электронной оболочки и имеет сложную структуру, возникающую от множества переходов между близкими атомными состояниями, образующих квазинепрерывный спектр, сосредоточенный в узком диапазоне длин волн 2-8 нм и имеющий характерный профиль, обрывающийся в области малых длин волн. Расчет большого числа переходов представляет собой весьма трудоемкую задачу, поэтому разумно использовать статистическую модель и рассматривать возбуждение переходов как коллективные возбуждения атомной оболочки с частотами и интенсивностями, задаваемые статистически через распределение плотности электронов в атоме, что позволяет получить огибающие спектров массива радиационных переходов.

Цели и задачи исследования

Целью представленной работы является теоретическое исследование радиационно-столкновительных процессов с участием тяжелых ионов в рамках статистической модели атома.

Для достижения цели были поставлены и решены следующие задачи:

Разработка моделей расчета скорости диэлектронной рекомбинации на базе статистической теории атома.

• Создание численного кода и проведение численных расчетов скоростей диэлектронной рекомбинации для ряда многоэлектронных ионов различных химических элементов и их тестирование путем сравнения с данными более детальных квантовомеханических кодов.

• Исследование нового канала радиационных потерь - радиационные потери быстрых альфа-частиц на тяжелых примесях и сравнение их с радиационными потерями электронов в термоядерной плазме.

• Исследование спектральных радиационных потерь (квазиконтинуума) тяжелых элементов (в частности, вольфрама) в условиях термоядерной плазмы. Сравнение с экспериментами на современных термоядерных установках.

• Вычисление вероятности переходов внутри многоэлектронного тяжелого иона. Сравнение огибающих спектров с результатами поуровневых расчетов.

Методы исследования

Радиационно-столкновительные процессы в плазме с участием тяжелых ионов рассматриваются в различных статистических моделях с использованием непрерывных распределений плотности электронов внутри иона, в частности распределения Томаса-Ферми. Для расчетов характеристик процессов используются авторские коды. Все численные расчеты выполнены на языке программирования Python 2.7 с использованием дополнительных библиотек NumPy и SciPy.

Научная новизна результатов проведенных исследований

• Впервые получены аналитические выражения для расчета радиационно-столкновительных процессов, рассматриваемых в работе. Сравнение предварительных оценок, выполненных по этим выражениям, показало согласие с численными расчетами по порядку величины.

• Впервые статистическая модель была применена для расчета скорости диэлектронной рекомбинации тяжелых ионов.

• Рассмотрен новый канал радиационных потерь быстрых частиц: альфа-частиц, дейтронов и тритонов. Потери рассчитаны в рамках статистической и столкновительной (кулон-борновском приближении) моделях.

• Впервые был смоделирован квазиконтинуум тяжелых ионов в термоядерной плазме в рамках статистической модели, получены огибающие величин вероятностей радиационных переходов в ионах.

Практическая значимость результатов проведенных исследований

• Построенная статистическая модель расчета скорости диэлектронной рекомбинации тяжелых ионов занимает меньшее на порядки величин время по сравнению с поуровневыми кодами, при этом результаты расчетов по статистическим моделям попадают в интервал разброса данных поуровневых кодов между собой, и в этом смысле точность статистической теории не отличается от точности апробированных квантово-механических кодов. Это открывает возможности быстрого расчета ионизационного равновесия примесей в термоядерной плазме.

• Произведен расчет нового канала радиационных потерь быстрых альфа-частиц и изотопов водорода на тяжелых ионах. Показано, что радиационные

потери быстрых ионов в плазме могут быть сравнимы с электронными потерями.

• Проведенное моделирование квазиконтинуума тяжелых ионов пригодно к использованию для диагностики и мониторинга содержания тяжелых примесей в плазменном шнуре.

Степень достоверности результатов проведенных исследований

Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, обусловлена строгостью проделанных аналитических и численных расчётов и подтверждается корректным предельным переходом к ранее известным результатам, полученными другими авторами. Достоверность численных расчётов, проведённых в ходе работы при помощи авторского компьютерного кода, верифицирована на модельных задачах, допускающих точные аналитические решения.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту

• Построена статистическая модель расчета скорости диэлектронной рекомбинации тяжелых ионов в горячей плазме.

• Создан численный код и проведено сравнение статистической модели с результатами поуровневых расчетов скорости диэлектронной рекомбинации, подтверждающее достаточно высокую точность развитой модели.

• Произведен расчет нового канала радиационных потерь альфа-частиц, дейтронов и тритонов на тяжелых ионах на основе статистических моделей возбуждения многоэлектронных ионов тяжелыми частицами.

• Предложена статистическая модель квазиконтинуума тяжелых ионов и обоснована характерная форма их спектров, связанная с обрывом в области малых длин волн. Сравнение расчетов для серии ионных спектров ряда тяжелых элементов (гадолиния, вольфрама, золота, свинца) находится в

удовлетворительном согласии с экспериментами на современных термоядерных установках таких как LHD и TEXT.

• Проведены расчеты огибающих квазиконтинуума ряда электронных конфигураций многоэлектронных ионов. Сравнение с результатами поуровневых расчетов подтверждает точность развитых статистических моделей.

Личный вклад автора

Лично автор проводил все расчеты при помощи самостоятельно написанных кодов, использующих статистическую модель. Также он обрабатывал и интерпретировал результаты, которые легли в основу представленной работы. Постановка задач проводились автором совместно с научным руководителем и научной группой (Лисицей В. С., Демурой А.В. и Шурыгиным В.А.)

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Статистические модели радиационно-столкновительных процессов в термоядерной плазме»

Апробация работы

Основные результаты работы неоднократно докладывались и обсуждались на тематическом семинаре «Теория магнитного удержания плазмы» в НИЦ «Курчатовский институт», а также на 14 международных и всероссийских научных конференциях и молодежных школах:

- XLIII Международная Звенигородская конференция по физике плазмы и УТС, Москва, Россия, 2016;

- XXV Съезд по спектроскопии, Троицк, Россия, 2016;

- XIV Курчатовская междисциплинарная молодежная школа, Москва, Россия, 2016;

- X конференция «Современные средства диагностики плазмы и их применение», Москва, Россия, 2016;

- XLIV Международная Звенигородская конференция по физике плазмы и УТС, Москва, Россия, 2017;

- 44th European Physical Society Conference on Plasma Physics, Belfast, Northern Ireland, 2017;

- 5th International FAIR School, Castiglione della Pescaia, Italy, 2017;

- XLV Международная Звенигородская конференция по физике плазмы и УТС, Москва, Россия, 2018;

- XI конференция «Современные средства диагностики плазмы и их применение», Москва, Россия, 2018;

- XLVI Международная Звенигородская конференция по физике плазмы и УТС, Москва, Россия, 2019;

- 46th European Physical Society Conference on Plasma Physics, Milan, Italy, 2019;

- XLVII Международная Звенигородская конференция по физике плазмы и УТС, Москва, Россия, 2020;

- XII конференция «Современные методы диагностики плазмы и их применение», Москва, Россия, 2020;

- XLVIII Международная Звенигородская конференция по физике плазмы и УТС, Москва, Россия, 2021;

В качестве объекта интеллектуальной собственности зарегистрирована программа для ЭВМ QuasiLPF

Полнота изложения материалов диссертации в работах, опубликованных соискателем

Основные научные результаты, содержащиеся в диссертации, отражены в следующих публикациях:

1. D.S. Leontyev, V.S. Lisitsa Statistical Model of Dielectronic Recombination of Heavy Ions in Plasmas // Contr. Plasma Phys. 56, №9 P 846-854, 2016

2. А.В. Демура, Д.С. Леонтьев, В.С. Лисица, В.А. Шурыгин Статистические скорости диэлектронной рекомбинации многоэлектронных ионов в плазме // ЖЭТФ, т. 152, вып. 4, стр. 781-798, 2017

3. Д.С. Леонтьев Сопоставление статистических моделей для расчета скорости диэлектронной рекомбинации на тяжелых примесях в термоядерной плазме // ВАНТ ТС, т. 40, вып 2, стр. 19-22, 2017

4. А.В. Демура, Д.С. Леонтьев, В.С. Лисица, В.А. Шурыгин Радиационные потери альфа-частиц на тяжелых ионах в термоядерной плазме // Письма в ЖЭТФ, т. 106, вып. 7, стр 417-421, 2017

5. V.A. Krupin, M.R. Nurgaliev, L.A. Klyuchnikov, D.S. Leontyev и др. Experimental study of tungsten transport properties in T-10 plasma // Nuclear Fusion, V.10, №3, 2017

6. А.В. Демура, Д.С. Леонтьев, В.С. Лисица, В.А. Шурыгин Статистическая модель квазиконтинуума тяжелых ионов в горячей плазме // Физика плазмы, том 46, вып 3, стр 195-205, 2020

7. Д.С. Леонтьев, В.С. Лисица QUASILPF // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2020612088 от 14 февраля 2020

Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, аналитического обзора литературы (Глава 1),

трех основных глав (Главы 2-4), заключения (содержащего общие результаты и

выводы) и списка библиографии (117 наименований). Работа изложена на 118

страницах, содержит 25 рисунков и 5 таблиц.

Глава 1. Обзор литературных данных 1.1 Статистическая модель

Численные расчеты распределения заряда и поля в многоэлектронном атоме, основанные на квантовомеханическом подходе, довольно сложны и времезатратны. Статистическая модель служит для упрощения расчетов распределения заряда в атоме. Главной идеей этого метода [4,5] является тот факт, что в сложном атоме большинство электронов имеют большие квантовые числа, что позволяет использовать квазиклассическое приближение [6,7]. Используя статистический подход, можно получить распределения электронной плотности внутри многоэлектронного иона. А затем, как будет показано в дальнейшем, выразить через неё сечения радиационных процессов.

Статистическая модель атома была предложена еще в 1932 году Э. Ферми [5] для описания свойств многоэлектронных элементов. Она позволяла предсказывать некоторые закономерности в строении атома, в частности заполнение электронных оболочек. Дальнейшее развитие модели заключалось в учете обменного взаимодействия и других квантовомеханических эффектов, а также, с совершенствованием вычислительных процессов, в введении различных поправок к решению уравнения Томаса-Ферми [8].

Статистическая модель широко применялась и применяется для расчета различных процессов, протекающих в плазме. В работах [2,9] было предложено рассматривать коллективные возбуждения с плазменными частотами, определяемые электронной плотностью внутри атома (так называемая модель локальной плазменной частоты). Кроме того, силы осцилляторов возбуждаемых переходов также были выражены через электронную плотность и плазменную частоту. Дальнейшее развитие эти идеи получили в работах [3,10] В них в рамках статистического метода проводился расчет поляризуемости атомов и ионов. Пользуясь решениями кинетического уравнения Власова, авторы показали, что модель локальной плазменной частоты не учитывает поляризационное поле,

вызванное внешним возмущением распределения электронной плотности атомов. Тем не менее, расхождение этих моделей [11-14] находится в пределах точности для расчета радиационно-столкновительных процессов. В [15] были рассмотрены классическая и квантовая теории поляризационного тормозного излучения в статистическом потенциале сложных многоэлектронных атомов и ионов. Разработанные в данной работе универсальные методы описания поляризационных эффектов процессах излучения как раз были основаны на приближении локальной плазменной частоты, предложенной в [2] с использованием электронной плотности иона в модели Томаса-Ферми-Дирака [8]. Кроме того, поляризационные эффекты также были описаны в рамках обобщенного вращательного приближения [16] (так называемой крамеросовской электродинамики), которая показывает хорошие результаты в пределе больших частот. Согласно этому приближению, излучение частот рассматриваемого спектрального диапазона происходит такие участки траектории налетающей частицы, при которых она максимально сближается с центром поля. При этом каждой точке траектории ставится в соответствие вращательная частота, которая считается равной частоте излучения. В работе [17] во вращательном приближении также был рассмотрен поляризационный канал излучения и рекомбинации электронов с тяжелыми ионами. Разработанный подход показал, что вклад поляризационного канала сравним или превосходит обычный канал при достаточно большом количестве связанных электронов остова. Помимо этого, были рассчитаны температурные зависимости скорости рекомбинации, и было обнаружено, что скорость поляризационной фоторекомбинации имеет максимум. В обзоре [18] сделана попытка объединить различные типы эффектов поляризации ионов при переходах заряженных частиц в поле многоэлектронного атома. В нем подводится итог исследований различных поляризационных эффектов, в том числе и в рамках статистических теорий: локальной плазменной частоты и вращательного приближения (крамеросовской электродинамики). В дальнейшем эти методы применялись для тормозного и рекомбинационного излучения при столкновениях электронов с ионами вольфрама [19]. В данной работе были

получены спектры излучения с учетом поляризационного и статичного каналов при различных энергиях налетающего электрона и заряда иона вольфрама. Сравнение их вкладов в эффективное излучение показало, что при малых частотах поляризационное излучение превосходит статичное, что может представлять интерес для современной физики плазмы и исследований взаимодействия заряженных частиц с веществом.

В работе [20] были рассмотрены поправки на колебания радиальной электронной плотности. Полученные результаты хорошо совпадают с данными, рассчитанными методом Хартри-Фока, в отличии от первоначальной модели Томаса-Ферми, которая не воспроизводит осцилляции радиального распределения электронов. При этом в работе видно, что точность описания радиального распределения электронов возрастает при росте заряда ядра. Серия работ [11-14] посвящена применению и усовершенствованию квазиклассической теории применительно к описанию строения вещества. В окончательном обзоре [14] дано полное представление о квазиклассическом способе описания локальных и интегральных характеристиках квантовых точек, атомов, и атомных кластеров. Также был произведен расчет уравнения состояния плазмы и сравнение результатов квазиклассического метода с данными, полученными более сложными квантовомеханическими методами.

В работе [21] в рамках статистической модели Томаса-Ферми были оценены статистические суммы свободных ионов. Сравнение показало, что результаты такого метода достаточно хорошо согласуются с эмпирическими данными, за исключением оболочечных осцилляций. Одним из плюсов статистической аппроксимации является то, что она позволяет проводить расчет статистических сумм ионов любой кратности любого элемента без всякой дополнительной информации.

Еще одним приложением статистической модели Томаса-Ферми является расчет полной энергии мультивакантного атома, произведенный в [22]. Результаты

вычислений для атомов неона, аргона, меди и молибдена с вакансиями в 1 s и 2p оболочках показали хорошее согласие с экспериментальными спектроскопическими данными, а также с результаты расчетов, выполненных методом Хартри-Фока. Разработанная модель может быть применена к описанию рентгеновского спектра подобного рода атомов.

В серии работ [23-27] статистическая модель применялась для расчета некоторых радиационно-столкновительных процессов в плазме с участием тяжелых ионов. В [23] впервые применяется статистическое приближение локальной плазменной частоты для расчета радиационных потерь плазмы на тяжелых ионах, в частности вольфрама. Учитывался только вклад в радиационные потери от возбуждения связанных состояний в ионе электронами плазмы, которые описывались в приближении эквивалентных фотонов Ферми [28]. Сравнение результатов статистического подхода с данными различных численных кодов [2933] показало достаточно хорошее согласие. Наибольшее расхождение наблюдалось в области низких температур. Это, как объясняют авторы, связано с тем, что в данном диапазоне становится существенным возбуждение внешней оболочки ионов, и использование статистической модели становится некорректным. Продолжением этой работы является [24], в которой были рассчитаны сечения ионизации электронным ударом для различных ионов вольфрама в приближении локальной плазменной частоты. Как и в предыдущей статье, взаимодействие налетающих электронов с ионами вольфрама описывалось методом эквивалентных фотонов [28], согласно которому воздействие электрическое поля электронов плазмы описывается как фотопоглощение потока эквивалентных фотонов. Интенсивность этого потока определяется путем фурье-преобразования электрического поля от электронов, двигающихся по классической траектории в потенциале иона, который представлен в модели Томаса-Ферми. Эти электроны порождают электромагнитное поле, которое поглощается электронами иона с частотами, которые соответствуют атомным плазменным осцилляциям. Таким образом, можно связать ионизацию электронным ударом с сечением

фотоионизации. Еще одним достоинством этого метода является то, что сечение любого элементарного процесса, включающего в себя взаимодействие многоэлектронного иона с заряженными частицами плазмы, может быть выражено в дипольном приближении с сечениями фотопроцессов. Сечения и скорости ионизации, рассчитанные с помощью статистической модели для ионов вольфрама различной степени ионизации, сравнивались с данными численного кода CADW (например [34-36]), а также с экспериментально полученными значениями (см. [37]). Было показано, что результаты статистической модели и численного кода являются в хорошем согласии друг с другом, что демонстрирует эффективность и универсальность статистического подхода при описании атомных процессов с участием многоэлектронных ионов. В работе [25] также в статистической модели и при помощи метода эквивалентных фотонов рассматривается ионизация электронным ударом, но уже для многоэлектронных ионов различных тяжелых элементов, таких как уран, ксенон, криптон, железо, аргон. Сравнение результатов статистического метода и данных экспериментов и других численных кодов показало удовлетворительное согласие между ними. Некоторые расхождения характеры для систем с относительно небольшим числом электронов в ионе. Как пишут авторы работы, разумное согласие статистической модели с экспериментальными данными по сечениям электронной ударной ионизации тяжелых ионов, по-видимому, обусловлено неявным описанием значительного вклада каскадов возбуждения-автоионизации в процессы ионизации. Эти каналы, по-видимому, частично учитываются в статистической модели из-за коллективного характера процессов ионизации в статистической модели. Большие расхождения наблюдаются в случае слабоионизованных многоэлектронных ионов. В этом случае расхождение в основном связано с существенным различием между реальными потенциалами ионизации и теми, которые используются в статистической модели. Фактически первые потенциалы ионизации существенно больше, чем в статистической модели (ионы более компактны). Однако для сохранения самосогласованности рассмотрения статистического метода взяты именно статистические потенциалы ионизации. Кроме того, предполагалось, что

плазма не нарушает внутренний ионный потенциал. Это уместно для слабосвязанной плазмы при достаточно низких плотностях плазмы и высоких температурах, характерных для установок с магнитным удержанием плазмы. В [25,26] продолжены исследования радиационно-столкновительных процессов с участием вольфрама. Пользуясь моделями, представленными в предыдущих работах, авторы провели расчёты ионизационного равновесия в плазме, а затем рассчитали радиационные потери в корональном приближении. Поскольку оно верно лишь при малых плотностях и больших температурах плазмы, то далее была сделана попытка перейти к больцмановскому пределу и учесть влияние плотности плазмы на радиационные потери на тяжелых примесях. Полученные в данных работах выражения дают в пределах малых (корональное приближение) и больших плотностей (больмановское приближение) результаты, которые совпадают с данными других численных численных кодов, таких как ADPAK, AIM ADPAK, ADAS и других, и экспериментом. Таким образом, в серии работ [23-27] был разработан универсальный статистический подход для расчета скоростей возбуждения, ионизации, спонтанного и индуцированного излучения многоэлектронных ионов в плазме. Результаты скоростей возбуждения и ионизации многоэлектронных ионов в рамках статистического подхода удовлетворительно согласуются с результатами расчетов в различных обычно используемых квантово-механических, эмпирических и аппроксимирующих приближениях. Статистический подход обеспечивает скорости ионизации, возбуждения и радиационных потерь тяжелых многоэлектронных ионов, которые находятся в пределах разброса данных результатов, полученных другими методами. Как замечают авторы, статистический подход из-за его универсальности может рассматриваться как эталон для сложных кодов, надежность которых может быть трудно оценить.

Также следует отметить статистический квазиклассический подход, развитый в работах [38-41] для описания излучения плазмы. Он основан на водородоподобном приближении для уровней энергии внешних электронов, а

движение электронов в поле заряда ядра иона считается квазиклассическим. В [38], как и в [3], отталкиваясь от решения уравнения Власова, было получено спектральное распределение сил осцилляторов для нейтрального атома. В дальнейшем результаты этой работы были применены для расчета спектра излучения многозарядной плазмы [40], а также для расчета спектральных и росселандовых пробегов [41]. В последнем случае было спектральное вычисление сил осцилляторов для ионов Томаса-Ферми, которое отличается от спектрального распределения сил осцилляторов для нейтральных атомов асимптотикой при малых частотах. В работе [39] были рассмотрены процессы ионизации и рекомбинации в статистическом приближении. Данные процессы представлены как парные столкновения электронов, а число столкновений в единицу времени находится из кинетического уравнения. Как пишут авторы, данная модель позволяет описывать скорость ионизации с достаточно большой точностью, и, кроме того, проводить аналитические расчеты вплоть до окончательных формул. Таким образом, результаты для скорости ионизации и рекомбинации выражаются в аналитическом виде, что позволяет их использование в других моделях.

1.2 Диэлектронная рекомбинация тяжелых многозарядных ионов

Первой точкой приложения статистического метода являлся расчет скорости диэлектронной рекомбинации тяжелых ионов в термоядерной плазме. Диэлектронная рекомбинация является сложным процессом, состоящим из образования промежуточных автоионизационных состояний с их последующим радиационным распадом [42]. Он играет важную роль в установлении ионизационного равновесия в горячей плазме [43]. Расчет скоростей диэлектронной рекомбинации требует, в свою очередь, знания скоростей автоионизационного и радиационного распадов, которые, как правило, рассчитываются с помощью квантовомеханических кодов. Применение статистической модели позволяет оперировать усредненными атомными характеристиками и тем самым резко упростить вычисления. Отметим, что для плазменных приложений требования к точности расчетов скоростей атомных

процессов не слишком высоки, поскольку сами параметры плазмы (в особенности, температура) испытывают достаточно сильные турбулентные флуктуации. В данном случае главным преимуществом является универсальность описания процессов в широком интервале температур и возможность использования атомных данных в более сложном комплексном моделировании плазмы.

В работе [44] производилось исследование натриевоподобного молибдена (ион Mo31+). Для вычисления вероятностей радиационного и автоионизационного распадов здесь использовались нерелятивистские волновые функции Хартри-Фока. В более ранних работах используются, как указывают авторы статьи, волновые функции Хартри-Фока с нелокальным обменным [45] и локальным обменным [46] приближением. Использование волновых функций Хартри-Фока улучшают предыдущие методы расчета скоростей диэлектронной рекомбинации, в которых использовались более простые водородоподобные функции. Авторы отмечают, что результаты статьи [46] отлично совпадают с данными расчетов по формуле Берджесса-Мертса в области температур 1.0-6.0 кэВ, но плохо ниже 1.0 кэВ. Результат этой работы является первым, в котором изучаются открытые оболочки. Этот расчет оказался важным для совершенствования феноменологической формулы Берджесса. В работе пренебрегалось несколькими эффектами, требующими дальнейшего изучения: релятивистскими поправками, которые могут сыграть большую роль для перехода с Дп=0 и эффект, связанный с плотностью плазмы. Это была одна из первых работ, связанных с расчетами скорости диэлектронной рекомбинации с использованием полуэмпирических формул Берджесса. Было выявлено, какой наибольший вклад дают переходы с изначально возбужденных состояний. Дальнейшим развитием работы стало исследование ряда натриевоподобных ионов.

В работе [47] описаны более ранние эксперименты на установке TSR, проводимыми с ионами меди. В ходе эксперимента была измерена скорость диэлектронной рекомбинации для литиевоподобного иона меди Cu25+ через различные промежуточные состояния. Детальное сравнение случая с Дп=0 и

результата эксперимента показало хорошее совпадение. То же самое можно сказать и о другом случае с переходом Дп=1. Эти измерения представили строгий тест теории диэлектронной рекомбинации для литиевоподобных ионов с большим зарядом ядра и показали, что теоретическое описание действительно довольно надежно.

В работе [48] проводился расчет подгоночных коэффициентов для вычисления скоростей радиационных охлаждающих процессов, в частности диэлектронной рекомбинации, для аргона в плазме низкой плотности. Для получения подгоночных функций были использованы результаты других исследований диэлектронной рекомбинации. Из данных, представленных в статье, можно сделать вывод, что с увеличением заряда иона скорость рекомбинации снижается. Исключение составляет Ar1+, скорость рекомбинации которого мала, по сравнению с более ионизированными ионами Ar2+ и Ar3+.

Обширное исследование диэлектронной рекомбинации ионов железа было проведено в работе [49]. Эти экспериментальные исследования проводились на установке TSR в институте Макса Планка, Германия. В этой установке производятся эксперименты, в ходе которых происходят столкновения пучков тяжелых ионов и электронов. Ионы, которые рекомбинировали, отделяются от основного пучка и направляются в детектор. Эффективность регистрации частиц достигает 100%, так как процесс образования частиц очень быстр, и движутся они в достаточно узком конусе. Измерения показали, что нельзя делать какие-то выводы о скоростях диэлектронной рекомбинации путем интерполяции по изонуклонной последовательности. В качестве примера, можно взять два иона Fe8+ и Fe16+. Они имеют структуру инертных газов, неона и аргона, соответственно. Однако скорость диэлектронной рекомбинации аргоноподобного иона резко падает по сравнению с другими иона, с L-оболочкой. В то время как скорость диэлектронной рекомбинации неоноподобного иона ведет себя также, как и остальных ионов.

Значительный интерес представляет вычисление скоростей диэлектронной рекомбинации для различных ионов вольфрама, поскольку он является одним из конструкционных материалов, применяемых в токамаках. Вольфрам может испаряться с поверхности конструкций и в результате попасть внутрь плазменного шнура. В результате в горячей области плазмы могут образовываться различные ионы вольфрама, включая высокоионизованные неоноподобные ионы W64+.

В работе [50] проводилось изучение излучения от магниевоподобного иона вольфрама, которое возникало из-за диэлектронной рекомбинации натриевоподобного иона. Эти ионизационные состояния ожидаются в будущей плазме строящегося реактора ИТЭР. Расчеты скорости диэлектронной рекомбинации проводились с помощью трех компьютерных кодов: мультиконфигурационный Хартри-Фоковский код, разработанный Кованом (COWAN), мультиконфигурационный релятивисткий атомный код HULLAC и релятивисткий многочастичный код теории возмущений (RMBPT). Эти три кода позволили проверить точность вычислений, а также соответствие между результатами расчетов от каждого кода доказало, что теоретические предположения верны. Вычисления проводились для определенного числа состояний вплоть до тысячи. Вначале были проведены вычисления скоростей диэлектронной рекомбинации с различных возбужденных уровней, результаты которых были просуммированы, чтобы получить полную скорость диэлектронной рекомбинации.

В работах [51-53] проводятся экспериментальные измерения скорости диэлектронной рекомбинации для ионов W18+ - W20+, которые сравниваются с результатами численных квантовомеханических расчетов. Хотя до этого было проведено множество экспериментов по изучению спектрального излучения многозарядных ионов вольфрама, особенно в улучшенном токамаке ASDEX, но только сейчас были проведены экспериментальные измерения диэлектронной рекомбинации с помощью метода столкновения электрон-ионных пучков в накопительном кольце тяжелых ионов. Полученные экспериментальные данные

превышают результаты теоретических численных расчетов приблизительно в 10 раз. Одной из причин является тот факт, что при проведении эксперимента получаются возбужденные метастабильные состояния, которые не могут перейти в основное из-за правила отбора. Изучение диэлектронной рекомбинации продолжились в работе [54] для ионов W19+ и W21+, в ходе которых также было выявлено расхождение эксперимента с теоретическими расчетами. Эксперимент проводился на установке TSR. Ионы вольфрама вводились в накопительное кольцо и сначала охлаждались там в течение 1.5 секунд, чтобы исчезли возбужденные метастабильные состояния. Тем не менее, в пучках ионов все равно остаются эти состояния, с временами жизни больше 1.5 секунд и значительными энергиями возбуждения. Эти состояния могут давать существенный вклад в скорость диэлектронной рекомбинации. В статье [55] высказывается предположение, что расхождение экспериментальных данных с теоретическими расчетами может быть связано с тем, что решающую роль в несоответствие результатов дает пренебрежение возбуждениями тонкой структуры остова иона.

В работе [55] проводились исследования иона вольфрама W37+. В ней указывается, что скорости диэлектронной рекомбинации, которые имелись на тот момент в базах данных ADAS (база атомных данных и аналитической структуры), рассчитывались по полуэмпирической формуле Берджесса-Мертса [43,56,57] и обобщенной столкновительно-излучательной модели [58]. В данной работе изучался ион вольфрама, имеющим электронную конфигурацию рубидия, с одним 4d электроном. Этот ион имеет гораздо более простую структуру оболочек и большие расстояния между уровнями, чем ионы с открытой 4f оболочкой. Для расчета скорости диэлектронной рекомбинации применялся гибкий атомный код (FAC). В его основе лежит релятивисткий метод, полная скорость диэлектронной рекомбинации является суммой частных вкладов отдельных возбуждений подоболочек, рассчитанных в интервале электронных температур от 1 эВ до 50 кэВ. В отличие от предыдущих работ [53], в этих расчетах были учтены все важные возбуждения тонкой структуры. Детальное сравнение отдельных скоростей

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Леонтьев Дмитрий Сергеевич, 2021 год

Литература

1. Kramida A. Cowan Code: 50 Years of Growing Impact on Atomic Physics // Atoms. - 2019. - Vol. 7. - № 3. - P. 64.

2. Brandt W., Lundqvist S. Atomic Oscillations in the Statistical Approximation // Physical Review. - 1965. - Vol. 139. - P. 612-617.

3. Vinogradov A. V., Tolstikhin O.I. Plasma approach to the theory of photoabsorption and polarizability of complex atoms // JETP. - 1989. - Vol. 69. -P. 683-688.

4. Thomas L.H. The calculation of atomic fields // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. - 1927. - Vol. 23. - P. 542-548.

5. Fermi E. Eine statistische Methode zur Bestimmung einiger Eigenschaften des Atoms und ihre Anwendung auf die Theorie des periodischen Systems der Elemente // Zeitschrift für Phys. - 1928. - Vol. 48. - P. 73-79.

6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. В десяти томах. Том III. Квантовая механика (нерелятивистская теория). М.: Физматлит, 2001. 808 с.

7. Буреева, Л.А., Лисица В.С. Возмущенный атом. М.: ИздАТ, 1997. 463 с.

8. Гамбош П. Статистическая теория атома и ее применения. М: Издательство Иностранной литературы, 1951. 394 p.

9. Brandt W., Lundqvist S. Collective effects in atomic spectra // J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transf. - 1964. Vol. 4. - P. 679-689.

10. Vinogradov A.V., Pustovalov V., Shevel'Ko V. Statistical Theory of the Polarizability of Atoms and Ions // JETP. - 1973. - Vol. 36 - P. 252.

11. Kirzhnits D.A., Shpatakovskaya G. V. Oscillations of the elastic parameters of compressed matter // JETP. - 1974. - Vol. 39. - P. 899-906.

12. Kirzhnits D.A., Shpatakovskaya G. V. Correction of the statistical model of matter near nuclei // JETP. - 1994. Vol. 59. - P. 446-450.

13. Kirzhnits D.A., Shpatakovskaya G. V. Statistical model of matter, corrected in the neighborhood of nuclei // JETP. - 1995. - Vol. 81. - P. 679-686.

14. Шпатаковская Г. В. Квазиклассическая модель строения вещества // Успехи Физических Наук. - 2012. - Т. 182. - В. 5.- с. 457-494.

15. Астапенко В.А., Буреева Л.А., Лисица В.С. Классическая и квантовая теории поляризационного тормозного излучения в модели локальной плазменной электронной плотности // ЖЭТФ. - 2000. - В. 117. - В. 3. - с. 496-510.

16. Kogan V.I., Kukushkin A.B., Lisitsa V.S. Kramers electrodynamics and electron-atomic radiative-collisional processes // Phys. Rep. - 1992. - Vol. 213. - P. 1116.

17. Астапенко В.А., Буреева Л. А., Лисица В.С. Поляризационный канал излучения и рекомбинации электронов в плазме с тяжелыми ионами // Физика плазмы. - 2002. - Т. 28. - В. 3. - c. 1-9.

18. Астапенко В.А., Буреева Л.А., Лисица В.С. Поляризационные эффекты в атомных переходах // Успехи Физических Наук. - 2002. - Т. 172. -В. 3. -c. 155-192.

19. Astapenko V.A., Lisitsa V.S., Rosmej F.B. Radiation emission in electron-tungsten ions collisions: Polarization vs static channels // Phys. Lett. Sect. A Gen. At. Solid State Phys. - 2011. - Vol. 375. - P. 2374-2376.

20. Kirzhnits D.A., Shpatakovskaya G. V. Atomic Structure Oscillation Effects // JETP. - 1972. - Vol. 35. - P. 1088-1094.

21. Шпакатовская Г.В. Потенциалы ионизации и статистические суммы ионов в квазиклассической модели // Письма в Жэтф. - 2007. - Т. 86. - В. 1. - c. 1115.

22. Marchenko S. Quantum-statistical model of an atom with multiple vacancies // JETP. - 1988. - Vol. 66. - P. 924-930.

23. Демура А.В., Кадомцев А. В., Лисица В. С., Шурыгин В. А. Статистическая модель радиационных потерь тяжелых ионов в плазме // Письма в ЖЭТФ. -2013. - Т. 98. - В. 12. - c. 886-890.

24. Demura A. V., Kadomtsev M. B., Lisitsa V. S., Shurygin V. A. Electron impact ionization of tungsten ions in a statistical model // JETP Lett. - 2015. - Vol. 101. - P. 90-93.

25. Demura A. V., Kadomtsev M. B., Lisitsa V. S., Shurygin V. A. Statistical model of electron impact ionization of multielectron ions // J. Phys. B At. Mol. Opt. Phys. - 2015. - Vol. 48. - P.055701.

26. Demura A. V., Kadomtsev M. B., Lisitsa V. S., Shurygin V. A. Tungsten ions in plasmas: Statistical theory of radiative-collisional processes // Atoms. - 2015. -Vol. 3. - P. 162-181.

27. Demura A. V., Kadomtsev M. B., Lisitsa V. S., Shurygin V. A. Universal statistical approach to radiative and collisional processes with multielectron ions in plasmas // High Energy Density Phys. - 2015. - Vol. 15. - P. 49-58.

28. Fermi E. Über die Theorie des Stoßes zwischen Atomen und elektrisch geladenen Teilchen // Zeitschrift für Phys. - 1924. - Vol. 29. - P. 315-327.

29. Post D., Abdallah J., Clark R. E. H. at al. Calculations of Energy Losses due to Atomic Processes in Tokamaks with Applications to the ITER Divertor // Phys. of Plasmas. - 1995. - Vol. 2. - P. 2328-2336.

30. Neu R., Dux R., Kallenbach A. et al. Tungsten: An option for divertor and main chamber plasma facing components in future fusion devices // Nucl. Fusion. -2005. - Vol. 45. - P. 209-218.

31. Leonov V.M., Zhogolev V.E. Simulation of high-Z impurity behaviour for ITER operational scenarios using the ZIMPUR impurity code // Plasma Phys. Control. Fusion. - 2005.- Vol. 47. - 903-918.

32. Pütterich T., Neu R., Dux R. et al. Calculation and experimental test of the cooling

factor of tungsten // Nucl. Fusion. - 2010. - Vol. 50. - P.025012.

33. Abdallah J., Colgan J.,Clark R. et al. A collisional-radiative study of low temperature tungsten plasma // J. Phys. B At. Mol. Opt. Phys. - 2011. - Vol. 44. -P. 075701.

34. Pindzola M.S., Griffin D.C. Electron-impact ionization of the tungsten atom // Phys. Rev. A. - 1992. - Vol. 46. - P. 2486-2488.

35. Loch S.D. Ludlow J., Pindzola M. et al. Electron-impact ionization of atomic ions in the W isonuclear sequence // Phys. Rev. A: At. Mol. Opt. Phys. - 2005. - Vol. 72. - P. 052716.

36. Putterich T., Neu R., Dux R. et al. Modelling of measured tungsten spectra from ASDEX Upgrade and predictions for ITER // Plasma Phys. Control. Fusion. -2008. - Vol. 50. - P. 1-27.

37. Stenke M., Aichele K., Harthiramani D. et al. Electron-impact single-ionization of singly and multiply charged tungsten ions // J. Phys. B At. Mol. Opt. Phys. -1995. - Vol. 28. - P. 2711-2721.

38. Гаранин С.Ф., Палагина Е.М. Сечение фотопоглощения на атоме Томаса-Ферми // ЖЭТФ. - 2004. - Т. 125. - В. 6.- c. 1258-1268.

39. Гаранин С.Ф., Палагина Е.М. Рассмотрение процессов ионизации и рекомбинации на основе статистической модели атома в случае коронального равновесия // Физика плазмы. - 2007. - Т. 2. -В. 8. - c. 750761.

40. Гаранин С.Ф., Кравец Е.М., Мамышев В. И., Токарев В. А. Статистический подход к рассмотрению излучения многозарядных ионов в плазме с корональным равновесием // Физика плазмы. - 2009. - Т. 35. - В. 8. - c. 744757.

41. Гаранин С.Ф., Кравец Е.М. Расчет спектральных и росселандовых пробегов в плазме с многозарядными ионами на основе статистического подхода //

ЖЭТФ. - 2012. - Т. 142. - В. 5. - с. 1052-1066.

42. Бычков К.В., Холтыгин А.Ф. Элементарные процессы в астрофизической плазме: учебное пособие. М.: ГАИШ МГУ. 2008. 199 с.

43. Burgess A. Delectronic Recombination and the Temperature of the Solar Corona. // Astrophys. J. - 1964. - Vol. 139. - P. 776.

44. Hahn Y., LaGattuta K.J. Dielectronic recombination rate for Mo31+ // Phys. Rev. A. - 1981. - Vol. 24. - P. 2-9.

45. Gau J.N., Hahn Y., Retter J.A. Dielectronic recombination of positive ions-II. Rate coeffecients for Mo38+ // J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transf. - 1980. - Vol. 23. - P. 131-146.

46. Roszman L.J. Dielectronic recombination rate of MoXXXIII // Phys. Rev. A. -1979. - Vol. 20. - P. 673-676.

47. Kilgus G., Habs D., Schwalm D. et al. High-resolution measurement of dielectronic recombination of lithiumlike Cu26+ // Phys. Rev. A. - 1992. - Vol. 46. - P. 5730-5740.

48. Fournier K.B., Cohen M., May M. et al. Ionization State Distribution and Radiative Cooling Rate for Argon in a Low-Density Plasma // At. Data Nucl. Data Tables. - 1998. - Vol. 70. - P. 231-254.

49. Schippers S., Lestinsky M., Müller A. et al. Dielectronic recombination data for astrophysical applications: Plasma rate-coefficients for Feq+ (q=7-10, 13-22) and Ni25+ ions from storage-ring experiments // Inter. Rev. of Atom. and Mol. Phys. -2010. - Vol. 1. - P. 109-121.

50. Safronova U.I., Safronova A.S., Beiersdorfer P. Excitation energies, radiative and autoionization rates, dielectronic satellite lines, and dielectronic recombination rates for excited states of Na-like W from Ne-like W // At. Data Nucl. Data Tables. - 2009. - Vol. 95. - P. 751-785.

51. Spruck K., Badnell N., Krantz C. et al. Recombination of W18 + ions with electrons: Absolute rate coefficients from a storage-ring experiment and from theoretical calculations // Phys. Rev. A. - 2014. - Vol. 90. - P. 032715.

52. Spruck K., Badnell N., Krantz C. et al. Recombination of W19+ ions with electrons: Absolute rate coefficients from a storage-ring experiment and from theoretical calculations // Phys. Rev. A. - 2014. - Vol. 93. - P. 1-10.

53. Badnell N.R., Balance N., Griffin D. et al. Dielectronic recombination of W20 + (4d104f8): Addressing the half-open f shell // Phys. Rev. A - At. Mol. Opt. Phys. -2012. - Vol. 85. - P. 1-9.

54. Spruck K. Dielectronic Recombination Experiments with Tungsten Ions at the Test Storage Ring and Development of a Single-Particle Detector at the Cryogenic Storage Ring. diss. .. .doct. of nat. sci.- Gießen, 2015. - P. 177.

55. Wu Z., Zhang Y., Fu Y. et al. Dielectronic recombination rate coefficients of initially rubidium-like tungsten // Eur. Phys. J. D. - 2015. - Vol. 69. - P.140.

56. Burgess A. A General Formula for the Estimation of Dielectronic Recombination Co-Efficients in Low-Density Plasmas. // Astrophys. J. - 1965. - Vol. 141. -P.1588.

57. Burgess A., Summers H.P. The effects of electron and radiation density on dielectronic recombination // Astrophys. J. - 1969. - Vol. 157. - P. 1007.

58. Badnell N.R., O'Mullane M. G., Summers H. et al. Dielectronic recombination data for dynamic finite-density plasmas. I. Goals and methodology // Astron. Astrophys. - 2003. - Vol. 406. - P. 1151-1165.

59. Wu Z., Fu Y., Ma X. et al. Electron Impact Excitation and Dielectronic Recombination of Highly Charged Tungsten Ions // Atoms. - 2015. - Vol. 3. - P. 474-494.

60. Ballance C.P., Loch S., Pindzola M. et al. Dielectrocnic recombination of W35 + // J. Phys. B At. Mol. Opt. Phys. - 2010. - Vol. 43. - P. 205201.

61. Peleg A., Behar E., Mandelbaum P. et al. Total dielectronic recombination rate coefficient for Ar-like tungsten // Phys. Rev. A. - 1998. - Vol. 57. - P. 3493.

62. Behar E., Mandelbaum P., Schwob J. et al. Dielectronic recombination rate coefficients for highly ionized Ni-like atoms // Phys. Rev. A - At. Mol. Opt. Phys.

- 1996. - Vol. 54. - P. 3070-3077.

63. Preval S.P., Badnell N.R., O'Mullane M.G. Partial and total dielectronic recombination rate coefficients for W73+ to W56+ // Phys. Rev. A. - 2016. -Vol. 93. - P. 042703.

64. Preval S.P., Badnell N.R., O'Mullane M.G. Partial and total dielectronic recombination rate coefficients for W55+ to W38+ // J. Phys. B At. Mol. Opt. Phys.

- 2017. - Vol. 50. - P. 105201.

65. Preval S.P., Badnell N.R., O'Mullane M.G. Dielectronic recombination of the open 4d-shell of tungsten: W37+-W28+ // J. Phys. B At. Mol. Opt. Phys. - 2018. -Vol. 51. - P. 045004.

66. Rosmej F.B., Astapenko V.A., Lisitsa V.S., Vainstein L.A. Dielectronic recombination in non-LTE plasmas // Matter Radiat. Extrem. - 2020. - Vol. 5. -P.064201.

67. Путвинский С.В. Альфа-частицы в токамаке // Вопросы теории плазмы. -1990. - Т. 18. - c. 209-318.

68. Базылев В. А., Чибисов М. И. Возбуждение и ионизация многозарядных ионов электронами // Успехи Физических Наук. - 1981. - Т. 133. - В. 4.- c. 617-652.

69. Skobelev I.Y., Vinogradov A. V. Coulomb-Born and unitarised Coulomb-Born cross sections and rates of inelastic transitions in ion-ion collisions // J. Phys. B At. Mol. Phys. - 1978. - Vol. 11. - P. 2899-2905.

70. Виноградов А.В, Скобелев И.Ю., Урнов А. М., Шевелько В. И. Сечения и скорости неупругих переходов между близкими уровнями // Успехи

Физических Наук. - 1980. - T. 119. - c. 120-129.

71. Абрамов В.А., Гонтис В.Г., Лисица В.С. Возбуждение примесей тяжелыми частицами и радиационные потери термоядерной плазмы // Физика плазмы. - 1984. - Т. 10. - В. 2. - с. 400-406.

72. Isler R.C., Neidigh R. V., Cowan R.D. Tungsten radiation from tokamak-produced plasmas // Phys. Lett. A. - 1977. - Vol. 63. - P. 295-297.

73. Hinnov E., Mattioli M. Observations of multiply ionized tungsten radiation in the PLT discharges // Phys. Lett. A. - 1978. - Vol. 66. - P. 109-111.

74. Johnson B.M., Jones K., Cecchi J. et al. Comparison of tungsten and gold radiation from beam-foil excitation and tokamak-produced plasmas // Phys. Lett. A. 1979. - Vol. 70. - P. 320-322.

75. Finkenthal M., Huang L., Lippmann S. et al. Soft x-ray bands of highly ionized tungsten, gold and lead emitfed by the text tokamak plasma // Phys. Lett. A. -1988. - Vol. 127. - P. 255-258.

76. Asmussen K., Fournier K., Laming J. et al. Spectroscopic investigations of Tungsten in the EUV region and the determination of ITS concentration in tokamaks // Nucl. Fusion. - 1998. - Vol. 38. - P. 967-986.

77. Putterich T., Neu R., Biedermann C. et al. Disentangling the emissions of highly ionized tungsten in the range 4-14 nm // J. Phys. B At. Mol. Opt. Phys. - 2005. -Vol. 38. - P. 3071-3082.

78. Nakano T., Asakura N., Kubo H. et al. Tungsten accumulation in H-mode plasmas of JT-60U // Nucl. Fusion. - 2009. - Vol. 49. - P. 115024.

79. Suzuki C., Kato T., Sakaue H. et al. Analysis of EUV spectra of Sn XIX-XXII observed in low-density plasmas in the Large Helical Device // J. Phys. B At. Mol. Opt. Phys. - 2010. - Vol. 43. - P. 074027.

80. Harte C.S., Suzuki C., Kato T. et al. Tungsten spectra recorded at the LHD and

comparison with calculations // J. Phys. B At. Mol. Opt. Phys. - 2010. - Vol. 43. -P. 205004.

81. Yanagibayashi J., Nakano T., Iwamae A. et al. Highly charged tungsten spectra observed from JT-60U plasmas at T e ~ 8 and 14 keV // J. Phys. B At. Mol. Opt. Phys. - 2010. - Vol. 43. - P. 144013.

82. Yanagibayashi J., Nakano T., Iwamae A. et al. Calculation of highly charged tungsten ion spectra at Te=2-10 keV and comparison with JT-60U spectra // Nucl. Instruments Methods Phys. Res. Sect. A Accel. Spectrometers, Detect. Assoc. Equip. - 2010. - Vol. 623. - P. 741-743.

83. Suzuki C., Koike F., Murakami I., Tamura N., and Sudo S. Systematic observation of EUV spectra from highly charged lanthanide ions in the large helical device // Atoms. - 2018. - Vol. 6. - P. 1-11.

84. Suzuki C., Koike F., Murakami I. et al. Observation of EUV spectra from gadolinium and neodymium ions in the Large Helical Device // J. Phys. B At. Mol. Opt. Phys. - 2012. - Vol. 45. - P. 135002.

85. Suzuki C., Murakami I., Koike F. et al. Extreme ultraviolet spectroscopy and atomic models of highly charged heavy ions in the Large Helical Device // Plasma Physics and Controlled Fusion. - 2017. - Vol. 59. - P. 014009.

86. Bauche J., Bauche-Arnoult C., Peyrusse O. Atomic properties in hot plasmas: From levels to superconfigurations. Springer. 2015. 379 p.

87. Churilov S.S. et al. EUV spectra of Gd and Tb ions excited in laser-produced and vacuum spark plasmas // Phys. Scr. - 2009. - Vol. 80. - P. 045303.

88. Putterich T., Dux R., Neu R. et al. Observations on the W-transport in the core plasma of JET and ASDEX Upgrade // Plasma Phys. Control. Fusion. - 2013. -Vol. 55. - P. 124036.

89. Земцов И. А., Крупин В. А., Нургалиев М. Р. и др. Моделирование поведения вольфрама в плазме токамака Т -10 // ВАНТ ТС. - 2017. - Т. 40. -

В. 2. - c. 29-35.

90. Krupin V.A., Nurgaliev M. R., Klyuchnikov, L. A. et al. Experimental study of tungsten transport properties in T-10 plasma // Nucl. Fusion. - 2017. - Vol. 57. -P. 066041.

91. Krupin V.A., Klyuchnikov, L. A., Nurgaliev M. R. et al. Impurity transport in T-10 plasmas with ohmic heating // Plasma Phys. Control. Fusion. - 2018. - Vol. 60. - P. 115003.

92. Zhang L. et al. Suppression of tungsten accumulation during ELMy H-mode by lower hybrid wave heating in the EAST tokamak // Nucl. Mater. Energy. - 2017. -Vol. 12. - P. 774-778.

93. Мигдал А.В. Качественные методы в квантовой физике. М.: Наука, 1975. 335 с.

94. Ферми Э. Научные труды, т.1. М.: Наука, 1971. 818 с.

95. Мигдал А.В., Крайнов В.П. Приближенные методы квантовой механики. М.: Наука, 1966. 152 с.

96. Вайнштейн Л.А., Собельман И. И., Юков Е.А. Возбуждение атомов и уширение спектральных линий. М.: Наука. 1979. 319 с.

97. Bethe H.A., Salpiter E.E. Quantum mechanics of one- and two-electron atoms. Berlin: Springer-Verlag, 1957. 375 p.

98. Rost J.M. Analytical total photo cross section for atoms // J. Phys. B At. Mol. Opt. Phys. -1995. - Vol. 28. - P. L601-L606.

99. Goreslavskii S.P., Delone N.B., Krainov V.P. Probabilities of radiative transitions between highly excited atomic states // JETP. - 1982. - Vol. 55. - P. 1032-1036.

100. Tucker W.H., Gould R.J. Radiation from a Low-Density Plasma at 106-108 K // Astrophys. J. - 1966. - Vol. 146. - P. 330.

101. Zhdanov V. P. Dielectronic recombination of electrons in collisions with ions //

JETP. - 1978. - Vol. 48. - P. 611-614.

102. Betgman L., Vatnshtein L.A., Chichkov N. Dielectron recombination // JETP. -1981. - Vol. 53. - P. 490-494.

103. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматлит, 1963. 1100 с.

104. Schippers S., Bernhard D., Müller A. et al. Dielectronic recombination of xenonlike tungsten ions // Phys. Rev. A. - 2011. - Vol. 83. - P. 1-6.

105. Gu M.F. Dielectronic Recombination Rate Coefficients for H-like through Ne-like Isosequences of Mg, Si, S, Ar, Ca, Fe, and Ni // Astrophys. J. - 2003. - Vol. 590. - P. 1131-1140.

106. Gu M.F. The flexible atomic code // Can. J. Phys. - 2008. - Vol. 86. -P. 675-689.

107. Li B., Sullivan G.O., Dong C. Partial and total dielectronic recombination rate coefficients for W55+ to W38+. - 2017. - Vol. 50. - P. - 105201.

108. Behar E., Mandelbaum P., Schwob J. L. et al. Dielectronic recombination of Ni-like ions through the 3d94ln';l'; (n';=4,5) Cu-like configurations // Phys. Rev. A. -1995. - Vol. 52. - P. 3770.

109. Li B.W., O'Sullivan G., Fu Y. et al. Dielectronic recombination of Rh-like Gd and W // Phys. Rev. A. - 2012. - Vol. 85. - P. 052706.

110. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. В десяти томах. Том II. Теория Поля. М: Наука, 1973. 503 с.

111. Иванов В.В., Кукушкин А.Б., Коган В.И. Аналитическое описание спектров тормозного излучения электронов плазмы на многоэлектронных ионах // Физика плазмы. - 1989. - В. 15 - В. 12. - с. 1531-1535.

112. Demura A. V., Kadomtsev M. B., Lisitsa V. S., Shurygin V. A. et al. Statistical model of radiation losses for heavy ions in plasmas // JETP Lett. - 2014. - Vol. 98. - P. 786-789.

113. Собельман И.И. Введение в теорию атомных спектров. М.: Физматгиз. 1963. 640 с.

114. Slater J.C. Atomic shielding constants // Phys. Rev. - 1930. - Vol. 36. - P. 57-64.

115. Fano U., Cooper J.W. Spectral distribution of atomic oscillator strengths // Rev. Mod. Phys. - 1968. - Vol. 40. - P. 441-507.

116. Demura A. V., Leont'iev D. S., Lisitsa V. S., Shurygin V. A. Statistical dielectronic recombination rates for multielectron ions in plasma // JETP. - 2017. - Vol. 125. - P. 663-678.

117. Sobelman I.I. Atomic Spectra and Radiative Transitions. Springer Berlin Heidelberg. 1992. 376 p.